Co to jest pierwiastek kwadratowy. Co to jest pierwiastek kwadratowy

Formuły korzeniowe. właściwości pierwiastków kwadratowych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

W poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, jakie są formuły na korzenie, czym są właściwości korzenia i co można z tym wszystkim zrobić.

Formuły korzeni, właściwości korzeni i reguły działań z korzeniami- to w zasadzie to samo. Istnieje zaskakująco mało wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co oczywiście się podoba! Raczej można napisać wiele różnego rodzaju formuł, ale tylko trzy wystarczą do praktycznej i pewnej pracy z pierwiastkami. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wielu błądzi w trzech formułach korzeni, tak ...

Zacznijmy od najprostszego. Tutaj jest:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Czas na demontaż metody ekstrakcji korzeni. Opierają się na właściwościach pierwiastków, w szczególności na równości, która jest prawdziwa dla każdej nieujemnej liczby b.

Poniżej rozważymy z kolei główne metody ekstrakcji korzeni.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tablicy kwadratów, tablicy sześcianów itp.

Jeśli tabele kwadratów, kostek itp. nie jest pod ręką, logiczne jest użycie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastka na proste czynniki.

Osobno warto się zastanowić, co jest możliwe dla pierwiastków o nieparzystych wykładnikach.

Na koniec rozważ metodę, która pozwala sekwencyjnie znaleźć cyfry wartości pierwiastka.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wydobycie korzeni. Czym są te stoły?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli znajduje się na szarym tle, zaznaczając określony wiersz i określoną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy rząd 8 dziesiątek i kolumnę 3 jednostek, tym samym naprawiliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda z jego komórek znajduje się na przecięciu pewnego rzędu i pewnej kolumny i zawiera kwadrat o odpowiedniej liczbie od 0 do 99 . Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jednej znajduje się komórka o numerze 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablic kwadratów, tylko zawierają sześciany, czwarte potęgi itd. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tabele kwadratów, kostek, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio z numerów w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich zastosowania w ekstrakcji korzeni.

Powiedzmy, że musimy wydobyć n-ty pierwiastek liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych stopni. Zgodnie z tą tabelą znajdujemy liczbę b taką, że a=b n . Następnie , dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak wyodrębnia się korzeń kostki 19683 za pomocą tabeli kostki. Znajdujemy liczbę 19 683 w tabeli sześcianów, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego .

Oczywiste jest, że tabele n-tego stopnia są bardzo wygodne podczas ekstrakcji korzeni. Jednak często nie są one pod ręką, a ich kompilacja wymaga pewnej ilości czasu. Co więcej, często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach trzeba uciekać się do innych metod wydobywania korzeni.

Rozkład liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony korzeń) jest rozłożenie pierwiastka na czynniki pierwsze. Jego esencja jest następująca: po tym dość łatwo jest przedstawić go jako stopień z pożądanym wskaźnikiem, który pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy ten punkt.

Niech pierwiastek n-tego stopnia zostanie wydobyty z liczby naturalnej a, a jego wartość będzie równa b. W tym przypadku równość a=b n jest prawdziwa. Liczbę b jako dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 p 2 p m , a pierwiastek a w tym przypadku jest reprezentowany jako (p 1 p 2 ... p m) n . Ponieważ dekompozycja liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczna, dekompozycja pierwiastka a na czynniki pierwsze będzie wyglądać następująco (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , co umożliwia obliczenie wartości pierwiastka jako .

Zauważ, że jeśli faktoryzacji pierwiastka a nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , to pierwiastek n-tego stopnia z takiej liczby a nie jest całkowicie wyodrębniony.

Zajmijmy się tym przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z 144 .

Decyzja.

Jeśli przejdziemy do tabeli kwadratów podanej w poprzednim akapicie, to widać wyraźnie, że 144=12 2 , z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 wynosi 12 .

Ale w świetle tego punktu interesuje nas, jak wyodrębnia się pierwiastek przez rozłożenie pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 na czynniki pierwsze:

Czyli 144=2 2 2 2 3 3 . Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Stąd, .

Wykorzystując właściwości stopnia i właściwości korzeni, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Decyzja.

Pierwsza faktoryzacja liczby pierwiastkowej 243 wynosi 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastka jest liczbą całkowitą?

Decyzja.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić jako sześcian liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 3 6 7 2 . Wynikowy rozkład nie jest reprezentowany jako sześcian liczby całkowitej, ponieważ stopień czynnika pierwszej 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego pierwiastek sześcienny 285 768 nie jest w całości pobierany.

Odpowiedź:

Nie.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, w jaki sposób korzeń jest wyodrębniany z liczby ułamkowej. Niech pierwiastek ułamkowy zostanie zapisany jako p/q . Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu, prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika reguła pierwiastka ułamkowego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi dzielenia pierwiastka licznika przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębniania korzenia z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy ze wspólnego ułamka 25/169.

Decyzja.

Zgodnie z tabelą kwadratów, pierwiastek kwadratowy licznika pierwotnego ułamka wynosi 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika wynosi 13. Następnie . To kończy ekstrakcję korzenia ze zwykłej frakcji 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej jest wyodrębniany po zastąpieniu liczb pierwiastkowych zwykłymi ułamkami.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny z liczby dziesiętnej 474,552.

Decyzja.

Zaprezentujmy oryginalny ułamek dziesiętny jako zwykły ułamek: 474.552=474552/1000 . Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka. Jak 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , to oraz . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby ujemnej

Osobno warto zastanowić się nad wydobywaniem pierwiastków z liczb ujemnych. Podczas badania pierwiastków powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Takim zapisom nadaliśmy następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1 mamy . Ta równość daje reguła wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wyodrębnić pierwiastek przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość główną.

Decyzja.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod znakiem głównym pojawiła się liczba dodatnia: . Teraz zastępujemy liczbę mieszaną zwykłym ułamkiem: . Stosujemy zasadę wydobywania korzenia ze zwykłego ułamka: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka: .

Oto podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe znajdowanie wartości głównej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu omówionych powyżej technik nie można przedstawić jako n-tej potęgi żadnej liczby. Ale jednocześnie trzeba znać wartość danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala konsekwentnie uzyskiwać wystarczającą liczbę wartości cyfr pożądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest znalezienie najbardziej znaczącego bitu wartości pierwiastka. Aby to zrobić, liczby 0, 10, 100, ... są sukcesywnie podnoszone do potęgi n, aż do uzyskania liczby przekraczającej liczbę pierwiastkową. Wtedy liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n w poprzednim kroku, wskaże odpowiedni wysoki rząd.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu, gdy wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z pięciu. Bierzemy liczby 0, 10, 100, ... i podnosimy je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5 . Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jednostek. Wartość tego bitu, a także niższych, zostanie znaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji korzenia.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sukcesywne doprecyzowanie wartości pierwiastka ze względu na to, że znajdują się wartości kolejnych cyfr pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższej . Na przykład wartość korzenia w pierwszym kroku wynosi 2 , w drugim - 2.2 , w trzecim - 2.23 i tak dalej 2.236067977 ... . Opiszmy, jak znajdują się wartości bitów.

Znajdowanie bitów odbywa się poprzez wyliczenie ich możliwych wartości 0, 1, 2, ..., 9 . W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas wartość cyfry odpowiadającej poprzedniej wartości uważa się za znalezioną i następuje przejście do następnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastków, jeśli tak się nie dzieje, wtedy wartość tej cyfry wynosi 9 .

Wyjaśnijmy wszystkie te punkty, używając tego samego przykładu wyciągania pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdź wartość cyfry jednostek. Będziemy iterować po wartościach 0, 1, 2, …, 9 , obliczając odpowiednio 0 2 , 1 2 , …, 9 2 aż otrzymamy wartość większą niż liczba radykalna 5 . Wszystkie te obliczenia są wygodnie przedstawione w formie tabeli:

Więc wartość cyfry jednostek wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości dziesiątego miejsca. W takim przypadku podniesiemy do kwadratu liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, porównując uzyskane wartości z pierwiastkiem nr 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , to wartość dziesiątego miejsca wynosi 2 . Możesz przejść do znalezienia wartości setnych miejsc:

Więc znaleziono następną wartość pierwiastka z piątki, która jest równa 2,23. A więc możesz dalej szukać wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy ekstrakcję korzenia z dokładnością do setnych części za pomocą rozważanego algorytmu.

Najpierw definiujemy cyfrę seniora. Aby to zrobić, wstawiamy w kostkę liczby 0, 10, 100 itd. aż otrzymamy liczbę większą niż 2151,186 . Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , więc najbardziej znacząca jest cyfra dziesiątek.

Określmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2151,186 , to wartość cyfry dziesiątek wynosi 1 . Przejdźmy do jednostek.

Tak więc wartość jedynego miejsca wynosi 2 . Przejdźmy do dziesięciu.

Ponieważ nawet 12,9 3 to mniej niż radykalna liczba 2 151,186 , wartość dziesiątego miejsca wynosi 9 . Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, poda nam on wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość korzenia sięga do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów na wydobycie korzeni. Ale w przypadku większości zadań te, które omówiliśmy powyżej, są wystarczające.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele ręcznie obliczali pierwiastki kwadratowe. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne podają dokładną odpowiedź.

Kroki

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozłóż pierwiastek na czynniki, które są liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby pierwiastków otrzymasz przybliżoną lub dokładną odpowiedź. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają pierwotną liczbę. Na przykład dzielniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami , które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć pierwiastek na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. W ten sposób 400 można rozłożyć na czynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy z iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z każdego czynnika kwadratowego i pomnóż wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie wyjmij pierwiastek kwadratowy z 25 i 16.
     • √(25x16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jeśli pierwiastek nie dzieli się na dwa czynniki kwadratowe (a tak jest w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale możesz uprościć problem, rozkładając pierwiastek na czynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z czynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze zwykłego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa czynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oceń wartość korzenia. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znajdź przybliżoną wartość), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliższe (po obu stronach osi liczbowej) pierwiastkowi. Otrzymasz wartość pierwiastka jako ułamek dziesiętny, który należy pomnożyć przez liczbę za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastek liczby to 3. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się między 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Tę wartość mnożymy przez liczbę przy znaku korzenia: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12.13, co jest bardzo bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również z dużymi liczbami. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastek to 35. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 leży między 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 jest tylko o 1 mniej niż 36), możemy stwierdzić, że √35 jest nieco mniejsze niż 6. Weryfikacja za pomocą kalkulatora daje nam odpowiedź 5,92 - mieliśmy rację.

4. Innym sposobem jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to liczby, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Napisz czynniki pierwsze z rzędu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można usunąć ze znaku korzenia.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozkładamy pierwiastek na czynniki pierwsze: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Zatem √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 można wyjąć ze znaku pierwiastka: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Rozważ inny przykład: √88.
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11). Masz trzy mnożniki 2; weź kilka z nich i wyjmij je ze znaku korzenia.
     • = 2√(2x11) = 2√2x√11. Teraz możemy ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Korzystanie z podziału kolumn

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długiego i daje dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie narysuj poziomą linię w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza do linii pionowej. Teraz podziel pierwiastek na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz liczbę w lewym górnym rogu jako „7 80, 14”. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek podanej liczby) zostanie zapisana w prawym górnym rogu.

   2. Mając pierwszą parę liczb (lub jedną liczbę) od lewej, znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub jednej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową, która jest najbliższa, ale mniejsza niż, pierwsza para liczb (lub pojedyncza liczba) od lewej i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z tej liczby; otrzymasz numer n. Napisz znalezione n w prawym górnym rogu i zapisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą cyfrą od lewej będzie cyfra 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub jednej liczby) od lewej. Zapisz wynik obliczenia pod odcinkiem (kwadrat liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7, aby otrzymać 3.

   4. Zanotuj drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby z prawego górnego rogu daje 4. Wpisz „4_×_=” od prawego dolnego rogu.

   5. Uzupełnij puste miejsca po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast kresek umieścimy liczbę 8, to 48 x 8 \u003d 384, czyli więcej niż 380. Dlatego 8 to zbyt duża liczba, ale 7 jest w porządku. Napisz 7 zamiast kresek i uzyskaj: 47 x 7 \u003d 329. Napisz 7 od prawego górnego rogu - to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Zapisz wynik z poprzedniego kroku pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjętą.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co daje 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeśli usuwana para liczb jest częścią ułamkową oryginalnej liczby, umieść separator (przecinek) części całkowitych i ułamkowych w żądanym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Po lewej przenieś następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780.14, więc umieść separator części całkowitej i części ułamkowej w wymaganym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Zburz 14 i zapisz w lewym dolnym rogu. Podwójny prawy górny róg (27) to 54, więc wpisz „54_×_=” w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę w miejscu kresek po prawej stronie (zamiast kresek musisz podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc dziesiętnych dla pierwiastka kwadratowego, wpisz parę zer obok bieżącej liczby po lewej stronie i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz dokładność odpowiedzi, której potrzebujesz (liczba miejsca dziesiętne).

   Zrozumienie procesu

   Aby opanować tę metodę, wyobraź sobie liczbę, której pierwiastek kwadratowy musisz znaleźć jako pole kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukał długości boku L takiego kwadratu. Oblicz wartość L, dla której L² = S.

   Wpisz literę dla każdej cyfry w swojej odpowiedzi. Oznacz przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

   Określ literę dla każdej pary cyfr wiodących. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr w wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

   Wyjaśnij związek tej metody z długim dzieleniem. Podobnie jak w operacji dzielenia, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko jedna następna cyfra liczby podzielnej, przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy z parą cyfr po kolei (aby uzyskać następną cyfrę w wartości pierwiastka kwadratowego) .

   1. Rozważ pierwszą parę cyfr Sa liczby S (Sa = 7 w naszym przykładzie) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A poszukiwanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie taka cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (czyli szukamy takiej A, która spełnia nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: bierzemy pod uwagę pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która po pomnożeniu przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Czyli szukamy liczba d, dla której nierówność jest prawdziwa: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Wyobraź sobie w myślach kwadrat, którego pole musisz obliczyć. Szukasz L, czyli długości boku kwadratu, którego powierzchnia to S. A, B, C to liczby w liczbie L. Możesz to napisać inaczej: 10A + B \u003d L (dla dwóch -cyfrowy numer) lub 100A + 10B + C \u003d L (dla numeru trzycyfrowego) i tak dalej.

      • Zostawiać (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B to liczba, której B oznacza jedynki, a A dziesiątki. Na przykład, jeśli A=1 i B=2, to 10A+B równa się liczbie 12. (10A+B)² to powierzchnia całego placu, 100A² to powierzchnia dużego wewnętrznego placu, B² to powierzchnia małego wewnętrznego placu, 10A×B to pole powierzchni każdego z dwóch prostokątów. Dodając obszary opisanych figur, znajdziesz obszar pierwotnego kwadratu.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.