като онтологична категория отразява мярката за възможността за възникване на всяка единица при всякакви условия. За разлика от математическите и логическите интерпретации на това понятие, онтологичният V. не се свързва с необходимостта от количествен израз. Стойността на В. се разкрива в контекста на разбирането на детерминизма и природата на развитието като цяло.
Страхотна дефиниция
Непълна дефиниция ↓
ВЕРОЯТНОСТ
понятие, което характеризира количествата. мярка за възможността за появата на определено събитие в определен момент. условия. В научната знание има три интерпретации на V. Класическата концепция на V., възникнала от мат. анализ хазарти най-пълно разработен от Б. Паскал, Дж. Бернули и П. Лаплас, разглежда V. като отношението на броя на благоприятните случаи към общ бройвсички еднакво възможни. Например Ири хвърляне зарове, който има 6 лица, загубата на всяко от тях може да се очаква с V. равно на 1/6, тъй като нито едно лице няма предимства пред другото. Такава симетрия на резултатите от опита се взема предвид специално при организирането на игри, но е сравнително рядка при изучаването на обективни събития в науката и практиката. Класически Тълкуването на В. отстъпи място на статистическото. Концепции на В., в основата на които са валидни. наблюдение на появата на определено събитие по време на продължителността. опит при точно определени условия. Практиката потвърждава, че колкото по-често се случва едно събитие, толкова по-голяма е степента на обективната възможност за неговото възникване или V. Следователно статист. Тълкуването на В. се основава на концепцията за отношението. честоти, разрезът може да се определи емпирично. V. като теоретични. концепцията никога не съвпада с емпирично определена честота, но по много начини. случаи, практически се различава малко от роднината. честота, установена в резултат на продължителността. наблюдения. Много статистици разглеждат V. като "двойник". честота, ръбът се определя от статистически. изследване на резултатите от наблюденията
или експерименти. По-малко реалистично беше определението на V. във връзка с границата. честоти на масови събития или колективи, предложени от Р. Мизес. Като по-нататъчно развитиечестотният подход към V. предлага диспозиционна или склонна интерпретация на V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Според това тълкуване V. характеризира свойството да генерира условия, напр. експеримент. инсталация, за да се получи поредица от масивни случайни събития. Това е отношението, което поражда физическото предразположения или предразположения, V. to-rykh може да се провери с помощта на относителен. честоти.
Статистически Интерпретацията на В. доминира в науч. знание, защото отразяват специф. естеството на закономерностите, присъщи на масовите явления със случаен характер. В много физически, биологични, икономически, демографски и други социални процеси, е необходимо да се вземе предвид действието на много случайни фактори, които се характеризират със стабилна честота. Идентифициране на тази стабилна честота и количества. оценката му с помощта на В. дава възможност да се разкрие необходимостта, която си проправя път чрез кумулативното действие на много злополуки. Тук намира своето проявление диалектиката на превръщането на случайността в необходимост (вж. Ф. Енгелс, в книгата: К. Маркс и Ф. Енгелс, Съч., том 20, стр. 535-36).
Логическите или индуктивни разсъждения характеризират връзката между предпоставките и заключението на недемонстративните и по-специално индуктивните разсъждения. За разлика от дедукцията, предпоставките на индукцията не гарантират истинността на заключението, а само го правят повече или по-малко правдоподобно. Тази достоверност, с точно формулирани предпоставки, понякога може да бъде оценена с помощта на V. Стойността на това V. най-често се определя чрез сравняване. понятия (по-голямо, по-малко или равно), а понякога и по числов начин. Логика интерпретацията често се използва за анализ на индуктивните разсъждения и изграждане на различни системи от вероятностни логики (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантичното логически понятия. V. често се определя като степента на потвърждение на едно твърдение от други (например хипотезата на неговите емпирични данни).
Във връзка с развитието на теориите за вземане на решения и игри, т.нар. персоналистична интерпретация на V. Въпреки че V. в този случай изразява степента на вяра на субекта и настъпването на определено събитие, самите V. трябва да бъдат избрани по такъв начин, че да бъдат изпълнени аксиомите на изчислението на V. Следователно , В. с такова тълкуване изразява не толкова степента на субективна, а по-скоро разумна вяра. Следователно решенията, взети въз основа на такъв V., ще бъдат рационални, тъй като не отчитат психологическото. характеристики и наклонности на субекта.
От епистемологични t. sp. разлика между статист., лог. и персоналистичните интерпретации на В. се крие във факта, че ако първото характеризира обективните свойства и отношения на масови явления от случаен характер, то последните две анализират характеристиките на субективното, познаващо. човешка дейност в условия на несигурност.
ВЕРОЯТНОСТ
един от най-важните понятиянаука, характеризираща специална системна визия за света, неговата структура, еволюция и познание. Чрез включването в числото се разкрива спецификата на вероятностния възглед за света основни понятиясъществуването на концепциите за случайност, независимост и йерархия (идеи за нива в структурата и детерминацията на системите).
Идеите за вероятността възникват в древността и са свързани с характеристиките на нашето знание, като се признава наличието на вероятностно знание, което се различава от надеждното знание и от фалшивото. Влиянието на идеята за вероятността върху научно мислене, върху развитието на знанието е пряко свързано с развитието на теорията на вероятностите като математическа дисциплина. Произходът на математическата доктрина за вероятността датира от 17 век, когато се развива ядрото на концепциите, които позволяват. количествени (числови) характеристики и изразяване на вероятностна идея.
Интензивните приложения на вероятността за развитието на знанието попадат на 2-ри етаж. 19- ет. 1. 20-ти век Вероятността е влязла в структурите на такива фундаментални науки за природата като класическата статистическа физика, генетика, квантова теория, кибернетика (теория на информацията). Съответно вероятността олицетворява този етап от развитието на науката, който сега се определя като некласическа наука. За да се разкрие новостта, характеристиките на вероятностния начин на мислене, е необходимо да се изхожда от анализа на предмета на теорията на вероятностите и основите на многобройните му приложения. Теорията на вероятностите обикновено се определя като математическа дисциплина, която изучава законите на масовите случайни явления при определени условия. Случайността означава, че в рамките на масовия характер съществуването на всяко елементарно явление не зависи и не се определя от съществуването на други явления. В същото време самият масов характер на явленията има стабилна структура, съдържа определени закономерности. Едно масово явление е доста строго разделено на подсистеми, а относителният брой на елементарните явления във всяка от подсистемите (относителна честота) е много стабилен. Тази стабилност се сравнява с вероятността. Масовото явление като цяло се характеризира с разпределение на вероятностите, т.е. определянето на подсистемите и съответните им вероятности. Езикът на теорията на вероятностите е езикът на вероятностните разпределения. Съответно теорията на вероятностите се определя като абстрактна наука за работа с разпределения.
Вероятността породи в науката идеи за статистически закономерности и статистически системи. Скорошна есенциясистеми, образувани от независими или квазинезависими единици, тяхната структура се характеризира с вероятностни разпределения. Но как е възможно да се формират системи от независими единици? Обикновено се приема, че за да се образуват системи, които имат интегрални характеристики, е необходимо между техните елементи да съществуват достатъчно стабилни връзки, които циментират системите. Стабилността на статистическите системи се дава от наличието на външни условия, външна среда, външна и не вътрешни сили. Самото определение на вероятността винаги се основава на определяне на условията за формиране на първоначалното масово явление. Друга важна идея, която характеризира вероятностната парадигма, е идеята за йерархия (подчинение). Тази идея изразява връзката между характеристиките на отделните елементи и интегралните характеристики на системите: последните, така да се каже, са изградени върху първите.
Значението на вероятностните методи в познанието се състои в това, че те ни позволяват да изследваме и теоретично да изразим моделите на структура и поведение на обекти и системи, които имат йерархична, "двустепенна" структура.
Анализът на естеството на вероятността се основава на нейната честота, статистическа интерпретация. Въпреки това много дълго времев науката доминира такова разбиране за вероятността, което се нарича логическа или индуктивна вероятност. Логическата вероятност се интересува от въпросите за валидността на отделна индивидуална преценка при определени условия. Възможно ли е да се оцени степента на потвърждение (надеждност, истинност) на индуктивно заключение (хипотетично заключение) в количествена форма? В хода на формирането на теорията на вероятностите подобни въпроси бяха многократно обсъждани и те започнаха да говорят за степените на потвърждение на хипотетичните заключения. Тази мярка за вероятност се определя от наличните този човекинформация, неговия опит, възгледи за света и психологическо мислене. Във всички подобни случаи величината на вероятността не подлежи на строги измервания и на практика е извън компетенциите на теорията на вероятностите като последователна математическа дисциплина.
Обективно, честотно тълкуване на вероятността беше установено в науката със значителни трудности. Първоначално разбирането за природата на вероятността беше силно повлияно от онези философски и методологически възгледи, които бяха характерни за класическа наука. Исторически формирането на вероятностните методи във физиката се случи под решаващото влияние на идеите на механиката: статистическите системи се третираха просто като механични. Тъй като съответните проблеми не бяха решени със строги методи на механиката, възникнаха твърдения, че прибягването до вероятностни методи и статистически закономерности е резултат от непълнотата на нашите знания. В историята на развитието на класическата статистическа физика са правени многобройни опити тя да се обоснове на базата на класическата механика, но всички те са се провалили. Основата на вероятността е, че тя изразява характеристиките на структурата на определен клас системи, различни от системите на механиката: състоянието на елементите на тези системи се характеризира с нестабилност и специален (не свеждащ се до механиката) характер на взаимодействията .
Навлизането на вероятността в познанието води до отричане на концепцията за твърд детерминизъм, до отричане на основния модел на битие и познание, разработен в процеса на формиране на класическата наука. Основните модели, представени от статистическите теории, са различни, повече общ характер: те включват идеите за произволност и независимост. Идеята за вероятността е свързана с разкриването на вътрешната динамика на обекти и системи, които не могат да бъдат напълно определени от външни условия и обстоятелства.
Концепцията за вероятностна визия за света, основана на абсолютизирането на идеите за независимост (както преди, парадигмата на твърдата детерминация), сега разкри своите ограничения, което най-силно засяга прехода съвременна наукада се аналитични методиизследвания на сложни системи и физически и математически основи на явленията на самоорганизация.
Страхотна дефиниция
Непълна дефиниция ↓
Искате ли да знаете кои математически шансовеза успеха на вашия залог? Тогава има две за вас. добри новини. Първо: за да изчислите способността за преминаване през страната, не е необходимо да извършвате сложни изчисления и да харчите голям бройвреме. Достатъчно, за да се възползвате прости формули, което ще отнеме няколко минути за работа. Второ, след като прочетете тази статия, вие лесно ще можете да изчислите вероятността да преминете някоя от сделките си.
За да определите правилно проходимостта, трябва да предприемете три стъпки:
- Изчислете процента на вероятността от изхода на дадено събитие според букмейкърската кантора;
- Изчислете сами вероятността от статистически данни;
- Разберете стойността на залог при двете вероятности.
Нека разгледаме подробно всяка от стъпките, като използваме не само формули, но и примери.
Бързо преминаване
Изчисляване на вероятността, заложена в коефициентите за залагане
Първата стъпка е да разберете с каква вероятност букмейкърът оценява шансовете за определен изход. В крайна сметка е ясно, че букмейкърите не залагат коефициенти просто така. За целта използваме следната формула:
Пб=(1/K)*100%,
където P B е вероятността за изход според букмейкърската кантора;
K - коефициентът на букмейкъра за резултата.
Да кажем, че коефициентът за победа на лондонския Арсенал в двубоя срещу Байерн е 4. Това означава, че вероятността за победата му от БК се приема като (1/4) * 100% = 25%. Или Джокович играе срещу Юг. Коефициентът за победа на Новак е 1.2, шансовете му са равни на (1/1.2)*100%=83%.
Ето как самият букмейкър оценява шансовете за успех на всеки играч и отбор. След като завършихме първата стъпка, преминаваме към втората.
Изчисляване на вероятността за събитие от играча
Втората точка от нашия план е нашата собствена оценка на вероятността от събитието. Тъй като математически не можем да вземем предвид такива параметри като мотивация, игрови тонус, ще използваме опростен модел и ще използваме само статистиката от предишни срещи. За да изчислим статистическата вероятност за резултат, използваме формулата:
ПИ\u003d (UM / M) * 100%,
къдетоПИ- вероятността на събитието според играча;
UM - броят на успешните мачове, в които се е случило такова събитие;
M е общият брой съвпадения.
За да стане по-ясно, нека дадем примери. Анди Мъри и Рафаел Надал са изиграли 14 мача. В 6 от тях са регистрирани общо под 21 мача, в 8 - общо над. Необходимо е да разберете вероятността следващият мач да се играе за общ над: (8/14)*100=57%. Валенсия изигра 74 мача на Местая срещу Атлетико, в които постигна 29 победи. Вероятност за победа на Валенсия: (29/74)*100%=39%.
И всички знаем това само благодарение на статистиката от предишни игри! Естествено, такава вероятност не може да бъде изчислена за нов отбор или играч, така че тази стратегия за залагане е подходяща само за мачове, в които противниците не се срещат за първи път. Сега знаем как да определяме залаганията и собствените вероятности за резултати и имаме всички знания, за да стигнем до последната стъпка.
Определяне на стойността на залог
Стойността (стойността) на залога и възможността за преминаване са пряко свързани: колкото по-висока е оценката, толкова по-голям е шансът за пас. Стойността се изчислява, както следва:
V=ПИ*K-100%,
където V е стойността;
P I - вероятността за изход според по-добрия;
K - коефициентът на букмейкъра за резултата.
Да кажем, че искаме да заложим, че Милан ще спечели мача срещу Рома и сме изчислили, че вероятността червено-черните да спечелят е 45%. Букмейкърът ни предлага коефициент 2.5 за този резултат. Би ли бил ценен такъв залог? Извършваме изчисления: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Страхотно, имаме ценен залог с добри шансове за преминаване.
Да вземем друг случай. Мария Шарапова играе срещу Петра Квитова. Искаме да направим сделка Мария да спечели, което по наши изчисления е с 60% вероятност. Букмейкърите предлагат множител от 1,5 за този резултат. Определете стойността: V=60%*1.5-100=-10%. Както можете да видите, този залог е без стойност и трябва да се въздържате от него.
Всичко в света се случва детерминистично или произволно...
Аристотел
Вероятност: Основни правила
Теорията на вероятностите изчислява вероятностите за различни събития. Основно в теорията на вероятностите е понятието случайно събитие.
Например, хвърлите монета, тя пада на случаен принцип върху герб или опашки. Не знаеш предварително от коя страна ще падне монетата. Сключваш застрахователен договор, не знаеш предварително дали ще има плащания или не.
При актюерските изчисления човек трябва да може да оцени вероятността от различни събития, така че теорията на вероятностите играе ключова роля. Никой друг клон на математиката не може да се справи с вероятностите за събития.
Нека разгледаме по-подробно хвърлянето на монета. Има 2 взаимно изключващи се резултата: герб или опашки. Резултатът от хвърлянето е случаен, тъй като наблюдателят не може да анализира и вземе предвид всички фактори, които влияят на резултата. Каква е вероятността за герб? Повечето ще отговорят ½, но защо?
Нека официално НОобозначава загубата на герба. Оставете монетата да хвърли нведнъж. Тогава вероятността от събитието НОможе да се определи като съотношението на тези ролки, които водят до герб:
където нобщ брой хвърляния n(A)броят на гербовете.
Отношението (1) се нарича честотаразработки НОв дълга поредица от тестове.
Оказва се, че в различни серии от тестове съответната честота като цяло нклъстери около някаква постоянна стойност P(A). Тази стойност се нарича вероятност за събитие НОи се отбелязва с буквата Р- съкратено от английска дума вероятност - вероятност.
Формално имаме:
(2)
Този закон се нарича законът на големите числа.
Ако монетата е правилна (симетрична), тогава вероятността да получите герба е равна на вероятността да получите опашки и е равна на ½.
Позволявам НОи ATопределени събития, например дали е настъпило или не застрахователно събитие. Обединението на две събития е събитие, състоящо се в изпълнението на събитие НО, разработки AT, или двете събития заедно. Пресечната точка на две събития НОи ATнаречено събитие, състоящо се в изпълнението като събитие НО, и събития AT.
Основни правилавероятностите за събитие са както следва:
1. Вероятността за всяко събитие е между нула и едно:
2. Нека A и B са две събития, тогава:
Той гласи така:вероятността за комбиниране на две събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития минус вероятността за пресичане на събитията. Ако събитията са несъвместими или не се припокриват, тогава вероятността за комбиниране (сумата от) две събития е равна на сумата от вероятностите. Този закон се нарича закон допълнения вероятности.
Казваме, че едно събитие е сигурно, ако вероятността му е равна на 1. Когато анализираме определени явления, възниква въпросът как се отразява настъпването на дадено събитие ATза събитието НО. За целта влезте условна вероятност :
(4)
Той гласи така:вероятност за възникване НОв състояние ATе равна на вероятността за пресичане НОи ATразделено на вероятността за събитието AT.
Формула (4) предполага, че вероятността от събитие ATНад нулата.
Формула (4) може да бъде записана и като:
(5)
Това е формулата умножение на вероятностите.
Известен също като условна вероятност. a posteriori вероятност за събитие НО- вероятност за възникване НОслед началото AT.
В този случай се нарича самата вероятност априори вероятност. Има няколко други важни формули, които се използват широко в актюерските изчисления.
Формула за пълна вероятност
Да предположим, че се провежда експеримент, чиито условия могат да бъдат направени предварително взаимновзаимно изключващи се допускания (хипотези):
Предполагаме, че или хипотезата се осъществява, или ... или. Вероятностите на тези хипотези са известни и равни:
Тогава формулата е в сила пъленвероятности :
(6)
Вероятност за събитие НОе равна на сумата от произведенията на вероятността за възникване НОза всяка хипотеза относно вероятността на тази хипотеза.
Формула на Бейс
Формула на Бейс
ви позволява да преизчислите вероятността от хипотези в светлината на нова информация, което даде резултат НО.
Формулата на Бейс в в известен смисъле обратното на формулата за обща вероятност.
Разгледайте следния практически проблем.
Задача 1
Да предположим, че е станала самолетна катастрофа и експертите са заети да разследват причините за нея. Предварително са известни четири причини, поради които е настъпила катастрофата: или причината, или, или, или. Според наличната статистика тези причини имат следните вероятности:
При изследване на мястото на катастрофата са открити следи от запалване на гориво, според статистиката вероятността от това събитие по една или друга причина е следната:
Въпрос: каква е най-вероятната причина за бедствието?
Изчислете вероятностите на причините при условие на възникване на събитието НО.
Това показва, че първата причина е най-вероятна, тъй като нейната вероятност е максимална.
Задача 2
Помислете за кацане на самолет на летище.
При кацане метеорологичните условия могат да бъдат както следва: няма ниска облачност (), има ниска облачност (). В първия случай вероятността за успешно кацане е P1. Във втория случай - R2. Това е ясно P1>P2.
Устройствата, които осигуряват сляпо кацане, имат вероятност за безпроблемна работа Р. Ако има ниска облачност и инструментите за сляпо кацане се повредят, вероятността за успешно кацане е P3, и P3<Р2 . Известно е, че за дадено летище делът на дните в годината с ниска облачност е равен на .
Намерете вероятността за безопасно кацане на самолета.
Трябва да намерим вероятността.
Има две взаимно изключващи се опции: устройствата за сляпо кацане работят, устройствата за сляпо кацане са се повредили, така че имаме:
От тук, според формулата за обща вероятност:
Задача 3
Застрахователна компания се занимава с животозастраховане. 10% от застрахованите в тази компания са пушачи. Ако застрахованият не пуши, вероятността от смъртта му през годината е 0,01, а ако е пушач, тогава тази вероятност е 0,05.
Какъв е делът на пушачите сред починалите осигурени през годината?
Опции за отговор: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Решение
Да влезем в събитията:
Условието на проблема означава, че
В допълнение, тъй като събитията и образуват пълна група от несъвместими по двойки събития, тогава .
Вероятността, която ни интересува, е .
Използвайки формулата на Bayes, имаме:
така че правилният вариант е ( AT).
Задача 4
Застрахователната компания продава животозастрахователни договори в три категории: стандартни, привилегировани и ултра-привилегировани.
50% от всички застраховани са стандартни, 40% са предпочитани и 10% са ултра предпочитани.
Вероятността за смърт в рамките на една година за стандартно осигурено лице е 0,010, за привилегировано е 0,005, а за свръхоблагодетелствано е 0,001.
Каква е вероятността починалият осигурен да е свръхпривилегирован?
Решение
Нека разгледаме следните събития:
По отношение на тези събития, вероятността, която ни интересува, е . По условие:
Тъй като събитията , , образуват пълна група от несъвместими по двойки събития, използвайки формулата на Бейс, имаме:
Случайни величини и техните характеристики
Нека някаква случайна променлива, например щети от пожар или размер на застрахователните плащания.
Случайната променлива се характеризира напълно със своята функция на разпределение.
Определение.функция 
Наречен разпределителна функция
случайна величина ξ
.
Определение.Ако съществува функция, такава че за произволно а изпълнени
тогава казваме, че случайната променлива ξ То има плътност на разпределение на вероятността f(x).
Определение.Позволявам . За непрекъсната функция на разпределение Е теоретичен α-квантилсе нарича решение на уравнението.
Това решение може да не е единственото.
Квантил на ниво ½ наречена теоретична Медиана , квантили на ниво ¼ и ¾ -долни и горни квартили съответно.
В актюерските приложения важна роля играят Неравенството на Чебишев:
за всякакви
Символ за математическо очакване.
Той гласи така:вероятността модулът да е по-голям от по-малък или равен на очаквания модул, разделено на .
Животът като случайна променлива
Несигурността на момента на смъртта е основен рисков фактор при животозастраховането.
За момента на смъртта на индивида не може да се каже нищо определено. Но ако имаме работа с голяма хомогенна група от хора и не се интересуваме от съдбата на отделни хора от тази група, тогава ние попадаме в рамките на теорията на вероятностите като наука за масовите случайни явления със свойството стабилност на честотата.
съответно можем да говорим за продължителността на живота като случайна променлива T.
функция за оцеляване
В теорията на вероятностите те описват стохастичната природа на всяка случайна променлива Tразпределителна функция F(x),което се определя като вероятността случайната променлива Tпо-малко от число х:
.
В актюерската математика е приятно да се работи не с разпределителна функция, а с допълнителна разпределителна функция 
.
По отношение на дълголетието, това е вероятността човек да доживее до възрастта хгодини.
Наречен функция за оцеляване(функция за оцеляване):
Функцията за оцеляване има следните свойства:
В таблиците за живота обикновено се приема, че има възрастова граница (ограничаване на възрастта) (като правило години) и съответно при x>.
Когато се описва смъртността чрез аналитични закони, обикновено се приема, че продължителността на живота е неограничена, но видът и параметрите на законите са избрани така, че вероятността от живот над определена възраст е незначителна.
Функцията за оцеляване има просто статистическо значение.
Да кажем, че наблюдаваме група новородени (обикновено ), които наблюдаваме и можем да запишем моментите на тяхната смърт.
Нека означим броя на живите представители на тази група на възраст чрез . Тогава:
.
Символ дтук и по-долу се използва за означаване на математическото очакване.
И така, функцията на оцеляване е равна на средния дял на онези, които са оцелели до възраст от определена фиксирана група новородени.
В актюерската математика често се работи не с функция за оцеляване, а с току-що въведена стойност (като е фиксиран първоначалният размер на групата).
Функцията на оцеляване може да бъде реконструирана от плътността:
Характеристики на продължителността на живота
От практическа гледна точка са важни следните характеристики:
1 . Средно аритметичноживот
,
2
. дисперсияживот
,
където 
,
- Вероятност - степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на някакво събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) е по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на "нива" на вероятност.
Изследването на вероятността от математическа гледна точка е специална дисциплина - теорията на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика концепцията за вероятност е формализирана като числена характеристика на събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), приемащи стойности от
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значение
(\displaystyle 1)
Съответства на валидно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е
(\displaystyle p)
Тогава вероятността да не се случи е равна на
(\displaystyle 1-p)
По-специално, вероятността
(\displaystyle 1/2)
Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитието.
Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за равновероятността на резултатите. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват дадено събитие, към общия брой на еднакво вероятните резултати. Например, вероятността да получите „глави“ или „опашки“ при случайно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се срещат само тези две възможности и те са еднакво вероятни. Тази класическа "дефиниция" на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако дадено събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някаква ограничена област на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки .
Емпиричното "дефиниране" на вероятността е свързано с честотата на настъпване на дадено събитие, въз основа на факта, че при достатъчно голям брой опити честотата трябва да клони към обективната степен на вероятност на това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично, като частен случай на абстрактната теория за мярката на множество. Връзката между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за едно събитие обаче, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не е практически възможно и целесъобразно. В квантовата физика самите описани процеси имат вероятностен характер.
Теорията на вероятностите е дял от математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях.
Дълго време теорията на вероятностите нямаше ясна дефиниция. Той е формулиран едва през 1929 г. Възникването на теорията на вероятностите като наука се отдава на Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (хвърляне, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер дьо Ферма откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове, докато изучават прогнозирането на печалбите в хазарта.
Теорията на вероятностите възниква като наука от убеждението, че определени закономерности са в основата на масивни случайни събития. Теорията на вероятностите изучава тези модели.
Теорията на вероятностите се занимава с изучаването на събития, чието настъпване не е известно със сигурност. Тя ви позволява да прецените степента на вероятност за настъпване на някои събития в сравнение с други.
Например: невъзможно е недвусмислено да се определи резултатът от монета, хвърляща глави или опашки, но при многократно хвърляне изпадат приблизително еднакъв брой глави и опашки, което означава, че вероятността да паднат глави или опашки ", е равна до 50%.
теств този случай се нарича изпълнението на определен набор от условия, тоест в този случай хвърлянето на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай комплексът от условия включва случайни фактори.
Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:
- Надеждно (винаги възниква в резултат на тестване).
- Невъзможно (никога не се случва).
- Случаен (може или не може да възникне в резултат на теста).
Например, при хвърляне на монета, невъзможно събитие - монетата ще се окаже на ръба, случайно събитие - загуба на "глави" или "опашки". Конкретният резултат от теста се извиква елементарно събитие. В резултат на теста възникват само елементарни събития. Извиква се съвкупността от всички възможни, различни, специфични резултати от теста елементарно пространство за събития.
Основни понятия на теорията
Вероятност- степента на вероятност за настъпване на събитието. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.
Случайна стойност- това е стойност, която в резултат на теста може да приеме една или друга стойност, като не се знае предварително каква. Например: броя на пожарните на ден, броя на попаденията с 10 изстрела и т.н.
Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.
- Дискретна случайна променливасе нарича такова количество, което в резултат на теста може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Това множество може да бъде крайно или безкрайно. Например броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна случайна променлива, т.к. тази стойност може да приеме безкраен, макар и изброим брой стойности.
- Непрекъсната случайна променливае количество, което може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.
Вероятностно пространство- концепцията, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на миналия век, за да формализира концепцията за вероятността, което дава началото на бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.
Вероятностното пространство е тройка (понякога оградена в ъглови скоби: , където
Това е произволно множество, чиито елементи се наричат елементарни събития, резултати или точки;
- сигма-алгебра от подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-добавена крайна мярка, така че .
Теорема на Моавр-Лаплас- една от ограничаващите теореми на теорията на вероятностите, създадена от Лаплас през 1812 г. Тя заявява, че броят на успехите при повторение на един и същ случаен експеримент с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.
Ако за всеки от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността за валидност на неравенството е близка (за големи ) до стойността на интеграла на Лаплас.
Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на случайна променлива или случаен вектор; вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. При определени условия той напълно определя случайна променлива.
Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива (това е вероятностното разпределение на случайна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В английската литература се обозначава с, на руски -. В статистиката нотацията често се използва.
Нека е дадено вероятностно пространство и произволна променлива, дефинирана върху него. Това е, по дефиниция, измерима функция. Тогава, ако съществува интеграл на Лебег от над пространството, тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се означава с .
Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна величина, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначен в руската литература и в чуждестранната. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред.
Нека е случайна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава
където символът означава математическото очакване.
В теорията на вероятностите се наричат две случайни събития независимаако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависимако стойността на един от тях влияе върху вероятността от стойностите на другия.
Най-простата форма на закона за големите числа е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаването на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността за събитието и престава да бъде случаен.
Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средната аритметична стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна стойност на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията има слаб закон на големите числа, когато има сходимост във вероятността, и силен закон на големите числа, когато почти сигурно има конвергенция.
Общото значение на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.
На това свойство се основават методи за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка. Добър пример е прогнозирането на изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.
Централни гранични теореми- клас теореми в теорията на вероятностите, според които сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакъв мащаб (нито един от членовете не доминира, не прави решаващ принос към сумата) има разпределение, близко до нормално.
Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да се спазва условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават прилагането на нормалното разпределение.
