История на заровете. Зарове онлайн Зарове и независимост

Твърдението на Айнщайн, че Бог не играе на зарове с Вселената, е изтълкувано погрешно

Малко от крилатите фрази на Айнщайн са толкова широко цитирани, колкото забележката му, че Бог не играе на зарове с Вселената. Хората естествено приемат този негов остроумен коментар като доказателство, че той е бил догматичен противник на квантовата механика, която смята случайността за характеристика на физическия свят. Когато ядрото на радиоактивен елемент се разпада, това се случва спонтанно, няма правило, което да ви каже точно кога или защо това ще се случи. Когато частица светлина падне върху полупрозрачно огледало, тя или се отразява от него, или преминава през него. Резултатът може да бъде всякакъв до момента, в който се случи това събитие. И не е нужно да ходите в лабораторията, за да видите този вид процес: много интернет сайтове показват потоци от произволни числа, генерирани от броячи на Гайгер или устройства с квантова оптика. Тъй като са непредвидими дори по принцип, такива числа са идеални за криптография, статистика и онлайн покер турнири.

Айнщайн, както гласи стандартната легенда. отказа да приеме факта, че някои събития са неопределени поради естеството си. - просто се случват и нищо не може да се направи, за да се разбере защо. Останал почти в прекрасна изолация, заобиколен от равни, той се вкопчи с две ръце в механичната Вселена на класическата физика, механично отмерваща секундите, в които всеки момент предопределя какво ще се случи в следващия. Линията на зарове стана показателна за другата страна на живота му: трагедията на революционер, превърнал се в реакционер, който революционизира физиката със своята теория на относителността, но - както дипломатично се изрази Нилс Бор - изправен пред квантовата теория, „оставен на вечеря“.

През годините обаче много историци, философи и физици поставиха под съмнение тази интерпретация на историята. Потапяйки се в морето от всичко, което Айнщайн действително е казал, те откриват, че неговите преценки за непредсказуемостта са по-радикални и по-нюансирани, отколкото обикновено се представя. „Опитът да се разрови истинската история се превръща в нещо като мисионерство“, казва Дон Хауърд (Don A. Howard), историк от университета Нотр Дам. Както той и други историци на науката показаха, Айнщайн призна недетерминистичния характер на квантовата механика - което не е изненадващо, тъй като именно той откри нейния индетерминизъм. Това, което той никога не е признавал, е, че индетерминизмът е фундаментален по природа. Всичко това показва, че проблемът възниква на по-дълбоко ниво на реалността, която теорията не отразява. Неговата критика не е мистична, а е насочена към конкретни научни проблеми, които остават нерешени и до днес.

Въпросът дали Вселената е часовников механизъм или маса със зарове подкопава основите на това, което смятаме, че е физиката: търсенето на прости правила, които са в основата на удивителното разнообразие на природата. Ако нещо се случи без причина, това слага край на рационалното изследване. „Фундаменталният индетерминизъм би означавал края на науката“, каза Андрю С. Фридман, космолог от Масачузетския технологичен институт. И все пак философите през цялата история са вярвали, че индетерминизмът е необходимо условие за човешката свободна воля. Или всички ние сме зъбни колела на часовников механизъм и следователно всичко, което правим, е предопределено, или ние сме агенти на собствената си съдба, в който случай Вселената все още не трябва да бъде детерминистична.

Тази дихотомия има много реални последици в начина, по който обществото държи хората отговорни за техните действия. Нашата правна система се основава на предположението за свободна воля; за да бъде признат обвиняемият за виновен, той трябва да е действал умишлено. Съдилищата непрекъснато се озадачават над въпроса: какво ще стане, ако човек е невинен поради лудост, младежка импулсивност или гнила социална среда?

Въпреки това, когато хората говорят за дихотомия, те са склонни да се опитват да я изложат като погрешно схващане. Всъщност много философи смятат, че е безсмислено да се говори за това дали Вселената е детерминистична или недетерминистична. Може да бъде и двете, в зависимост от това колко голям или сложен е предметът на изследване: частици, атоми, молекули, клетки, организми, психика, общности. „Разликата между детерминизма и индетерминизма е разлика в зависимост от нивото на изследване на проблема“, казва Крисчън Лист, философ от Лондонското училище по икономика и политически науки, „Дори ако наблюдавате детерминизма на определено ниво, това е напълно в съответствие с индетерминизма както на по-високи, така и на по-ниски нива." Атомите в нашия мозък могат да се държат по напълно детерминистичен начин, като в същото време ни оставят свобода на действие, тъй като атомите и органите функционират на различни нива.

По подобен начин Айнщайн търси детерминистично субквантово ниво, като в същото време не отрича, че квантовото ниво е вероятностно.

Срещу какво възрази Айнщайн?

Как Айнщайн си е спечелил етикета на антиквантовата теория е мистерия, голяма почти колкото самата квантова механика. Самата концепция за квант - дискретна единица енергия - е плод на неговите размишления през 1905 г. и в продължение на десетилетие и половина той почти сам я защитава. Айнщайн предполага това. това, което физиците днес считат за основните характеристики на квантовата физика, като например странната способност на светлината да действа като частица и като вълна, и именно от разсъжденията си върху вълновата физика Ервин Шрьодингер разработи най-широко приетата формулировка на квантовата теория през 1920 г. Айнщайн също не е бил противник на случайността. През 1916 г. той показа, че когато атомите излъчват фотони, времето и посоката на излъчване са случайни променливи.

„Това противоречи на популярното представяне на Айнщайн в противовес на вероятностния подход“, твърди Ян фон Плато от университета в Хелзинки. Но Айнщайн и неговите съвременници са изправени пред сериозен проблем. Квантовите явления са случайни, но самата квантова теория не е. Уравнението на Шрьодингер е 100% детерминистично. Той описва частица или система от частици, използвайки така наречената вълнова функция, която използва вълновата природа на частиците и обяснява вълнообразния модел, който образува колекция от частици. Уравнението предсказва какво ще се случи с вълновата функция във всеки даден момент с пълна сигурност. В много отношения това уравнение е по-детерминистично от законите на движението на Нютон: то не води до объркване като сингулярност (където количествата стават безкрайни и следователно неописуеми) или хаос (където движението става непредвидимо).

Уловката е, че детерминизмът на уравнението на Шрьодингер е детерминизмът на вълновата функция, а вълновата функция не може да се наблюдава директно, за разлика от местоположението и скоростите на частиците. Вместо това вълновата функция определя величините, които могат да се наблюдават, и вероятността за всеки от възможните резултати. Теорията оставя открити въпросите какво представлява самата вълнова функция и дали трябва да се приема буквално като истинска вълна в нашия материален свят. Съответно, следният въпрос остава открит: наблюдаваната случайност присъщо присъщо свойство на природата ли е или просто нейна фасада? „Твърди се, че квантовата механика е недетерминистична, но това е твърде прибързано заключение“, казва философът Кристиан Вутрих от Женевския университет в Швейцария.

Вернер Хайзенберг, друг от пионерите, положили основите на квантовата теория, възприема вълновата функция като мъгла на потенциално съществуване. Ако не е възможно ясно и недвусмислено да се посочи къде е частицата, това е защото частицата наистина не се намира никъде на определено място. Само когато наблюдавате частица, тя се материализира някъде в космоса. Вълновата функция може да се размаже в огромна област от пространството, но в момента, в който се направи наблюдение, тя незабавно се свива, свива се в тясна точка, разположена на едно конкретно място, и внезапно там се появява частица. Но дори когато погледнете частицата, бам! - внезапно спира да се държи детерминистично и скача до крайното състояние, като дете, което грабва стол в игра на "музикални столове". (Играта се състои в това, че децата ходят в хоровод под музиката около столове, чийто брой е с един по-малък от броя на играчите, и се опитват да седнат на празно място, щом музиката спре).

Няма закон, който да управлява този колапс. Няма уравнение за това. Просто се случва - това е всичко! Колапсът се превърна в ключов елемент от интерпретацията на Копенхаген: възглед за квантовата механика, кръстен на града, където Бор и неговият институт, заедно с Хайзенберг, направиха по-голямата част от основополагащата работа. (По ирония на съдбата, самият Бор никога не е разпознавал колапса на вълновата функция.) Копенхагенската школа счита наблюдаваната случайност на квантовата физика за нейна номинална характеристика, която не подлежи на допълнително обяснение. Повечето физици са съгласни с това, една от причините за това е известният от психологията т. нар. ефект на котвата или ефектът на закотвяне: това е напълно задоволително обяснение и се появи първо. Въпреки че Айнщайн не е бил противник на квантовата механика, той определено е бил противник на нейната копенхагенска интерпретация. Той започна от идеята, че актът на измерване причинява прекъсване в непрекъснатата еволюция на физическата система, и именно в този контекст той започна да изразява своето противопоставяне на божественото хвърляне на зарове. „Точно по този въпрос Айнщайн се оплаква през 1926 г., а не върху всеобхватното метафизично твърдение за детерминизъм като абсолютно необходимо условие“, казва Хауърд.

Множественост на реалността.И все пак светът детерминиран ли е или не? Отговорът на този въпрос зависи не само от основните закони на движението, но и от нивото, на което описваме системата. Помислете за пет атома в газ, движещ се детерминистично (горна диаграма). Те започват от почти едно място и постепенно се разминават. Но на макроскопично ниво (долна диаграма) не се виждат отделни атоми, а аморфен поток в газа. След известно време газът вероятно ще бъде произволно разпределен в няколко потока. Тази произволност на макро ниво е страничен продукт от невежеството на наблюдателя относно законите на микро ниво, това е обективно свойство на природата, което отразява начина, по който атомите се събират. По подобен начин Айнщайн приема, че детерминистичната вътрешна структура на Вселената води до вероятностния характер на квантовата сфера.

Колапсът е малко вероятно да бъде реален процес, твърди Айнщайн. Това би изисквало мигновено действие от разстояние, мистериозен механизъм, чрез който, да речем, и лявата, и дясната страна на вълновата функция се свиват в една и съща малка точка, дори когато никаква сила не координира тяхното поведение. Не само Айнщайн, но всеки физик по негово време е вярвал, че подобен процес е невъзможен, той трябва да се случи по-бързо от скоростта на светлината, което е в очевидно противоречие с теорията на относителността. Всъщност квантовата механика не просто ви дава зарове, тя ви дава двойки зарове, които винаги излизат с едно и също лице, дори ако хвърлите единия във Вегас, а другия във Вега. За Айнщайн изглежда очевидно, че заровете трябва да бъдат заредени, което ви позволява да повлияете предварително на резултата от хвърлянията по скрит начин. Но училището в Копенхаген отрича подобна възможност, предполагайки, че кокалчетата на пръстите наистина моментално си влияят взаимно в огромното пространство. В допълнение, Айнщайн е загрижен за силата, която жителите на Копенхаген приписват на акта на измерване. Какво все пак е измерване? Може би това е нещо, което могат да правят само съзнателни същества или дори професори? Хайзенберг и други представители на Копенхагенската школа никога не са конкретизирали това понятие. Някои предполагат, че създаваме заобикалящата реалност в съзнанието си, докато я наблюдаваме, идея, която звучи поетично, може би твърде поетично. Айнщайн също смяташе, че е върхът на арогантността на Копенхаген да каже, че квантовата механика е завършена, че това е крайната теория, която никога няма да бъде изместена от друга. Той смяташе всички теории, включително и своята, за мостове към нещо още по-голямо.

Всъщност. Хауърд твърди, че Айнщайн би бил щастлив да приеме индетерминизма, ако можеше да получи отговори на всички свои проблеми, които трябва да бъдат решени - ако например някой можеше ясно да посочи какво е измерване и как частиците могат да останат синхронизирани без действие на далечни разстояния. Индикация, че Айнщайн смята индетерминизма за вторичен проблем, е, че той поставя същите изисквания към детерминистичните алтернативи на Копенхагенската школа и също ги отхвърля. Друг историк, Артър Файн от Вашингтонския университет. вярва. Че Хауърд преувеличава податливостта на Айнщайн към индетерминизма, но се съгласява, че неговите преценки се основават на по-силна основа, отколкото няколко поколения физици са свикнали да вярват, въз основа на откъси от неговите изказвания за играта на зарове.

случайни мисли

Ако приемете дърпането на въже от страната на Копенхагенската школа, смята Айнщайн, ще откриете, че квантовият безпорядък е като всички други видове безпорядък във физиката: той е продукт на по-дълбоко прозрение. Танцът на малки прахови частици в лъч светлина издава сложното движение на молекулите, а излъчването на фотони или радиоактивното разпадане на ядрата е подобен процес, смята Айнщайн. Според него квантовата механика е оценъчна теория, която изразява общото поведение на градивните елементи на природата, но няма достатъчна разделителна способност, за да улови отделни детайли.

Една по-дълбока, по-пълна теория ще обясни напълно движението – без мистериозни скокове. От тази гледна точка вълновата функция е колективно описание, като твърдение, че обикновен зар, ако бъде хвърлен много пъти, ще падне приблизително еднакъв брой пъти от всяка от страните му. Колапсът на вълновата функция не е физически процес, а придобиване на знания. Ако хвърлите шестстранен зар и излезе, да речем, четворка, диапазонът от опции от едно до шест се свива, или може да се каже, свива до действителната стойност на "четири". Подобен на бог демон, който може да проследи детайлите на атомната структура, която влияе на резултата от хвърляне на зара (т.е. да измери как точно ръката ви бута и завърта зара, преди да удари зара), никога няма да говори за колапс.

Интуицията на Айнщайн е подсилена от ранната му работа върху колективния ефект на молекулярното движение, изучаван в областта на физиката, наречена статистическа механика, в която той показва, че физиката може да бъде вероятностна, дори когато явленията се основават на детерминирана реалност. През 1935 г. Айнщайн пише на философа Карл Попър: „Не мисля, че сте прав в твърдението си, че е невъзможно да се направят статистически заключения въз основа на детерминистичната теория. Вземете, например, класическата статистическа механика (теорията на газовете или теорията на брауновото движение)." Вероятностите в разбирането на Айнщайн са толкова реални, колкото и в интерпретацията на Копенхагенската школа. Проявени в основните закони на движението, те отразяват други свойства на околния свят, те не са просто артефакти на човешкото невежество. Айнщайн предлага на Попър като пример да разгледа частица, която се движи в кръг с постоянна скорост; вероятността за намиране на частица в даден сегмент от кръгова дъга отразява симетрията на нейната траектория. По същия начин вероятността зарът да падне върху дадено лице е една шеста, защото има шест равни лица. „Той разбираше по-добре от повечето по онова време, че важната физика се крие в детайлите на статистическата механична вероятност“, казва Хауърд.

Друг урок от статистическата механика е, че количествата, които наблюдаваме, не е задължително да съществуват на по-дълбоко ниво. Например един газ има температура, но няма смисъл да говорим за температурата на отделна газова молекула. По аналогия Айнщайн вярва, че е необходима субквантова теория, за да означава радикално прекъсване на квантовата механика. През 1936 г. той пише: „Няма съмнение, че квантовата механика е уловила красивия елемент на истината<...>Не вярвам обаче, че квантовата механика ще бъде отправна точка в търсенето на тази основа, нито, обратно, не може да се премине от термодинамиката (съответно статистическата механика) към основите на механиката.“ За да запълни това по-дълбоко ниво, Айнщайн поведе търсенето в посока на единна теория, поле, в което частиците са производни на структури, които изобщо не са като частици. Накратко, общоприетата мъдрост, че Айнщайн е отказал да приеме вероятностния характер на квантовата физика, е погрешна. Той се опита да обяснете случайността, а не да изглежда, че тя изобщо не съществува.

Направете нивото си най-доброто

Въпреки че проектът за обединена теория на Айнщайн се провали, основните принципи на неговия интуитивен подход към случайността все още са верни: индетерминизмът може да възникне от детерминизма. Квантовите и субквантовите нива - или всяка друга двойка нива в йерархията на природата - са съставени от различни видове структури, така че се подчиняват на различни видове закони. Законът, който управлява едно ниво, може естествено да допуска елемент на случайност, дори ако законите на по-ниското ниво са напълно регулирани. „Детерминистичната микрофизика не поражда детерминистична макрофизика“, казва философът Джеръми Бътърфийлд от университета в Кеймбридж.

Представете си зарове на атомно ниво. Един куб може да бъде съставен от невъобразимо голям брой конфигурации от атоми, които са напълно неразличими една от друга с просто око. Ако следвате някоя от тези конфигурации, докато зарът се върти, това ще доведе до конкретен резултат - строго детерминистичен. В някои конфигурации зарът ще спре с една точка на горната страна, в други ще спре с две. и т.н. Следователно, едно макроскопично състояние (ако накарате куба да се върти) може да доведе до няколко възможни макроскопични резултата (една от шестте страни ще бъде на върха). „Ако опишем зар на макро ниво, можем да мислим за него като за стохастична система, която позволява обективна произволност“, казва Лист, който изучава конюгацията на ниво с Маркус Пивато, математик от университета Сержи-Понтоаз във Франция.

Въпреки че по-високото ниво надгражда по-ниското ниво, то е автономно. За да се опише зарът, човек трябва да работи на нивото, на което зарът съществува като такъв, и когато го направите, не можете да не пренебрегнете атомите и тяхната динамика. Ако кръстосвате едно ниво с друго, вие извършвате трик за заместване на категория: това е като да питате за политическата принадлежност на сандвич със сьомга (да използваме примера на философа от Колумбийския университет Дейвид Албърт). „Когато имаме феномен, който може да бъде описан на различни нива, трябва да сме концептуално много внимателни да не смесваме нива“, казва Лист. Поради тази причина резултатът от хвърлянето на зара не изглежда просто случаен. Наистина е случайно. Богоподобен демон може да се похвали, че знае точно какво ще се случи, но той знае само какво ще се случи с атомите. Той дори не подозира какво е зарове, тъй като това е информация от по-високо ниво. Демонът никога не вижда гората, а само дърветата. Той е като главния герой от разказа на аржентинския писател Хорхе Луис Борхес "Фунес паметливият" - човек, който помни всичко, но не схваща нищо. „Да мислиш означава да забравиш разликата, да обобщаваш, да абстрахираш“, пише Борхес. За да може демонът да знае от коя страна ще падне зарът, е необходимо да се обясни какво да търси. „Единственият начин демонът да проникне в случващото се на най-високото ниво е, ако му бъде дадено подробно описание на това как определяме границата между нивата“, казва Лист. Наистина след това демонът вероятно ще започне да ревнува, че сме смъртни.

Логиката на нивата също работи точно в обратната посока. Недетерминистичната микрофизика може да доведе до детерминирана макрофизика. Бейзболна топка може да бъде направена от частици, които показват хаотично поведение, но нейният полет е напълно предвидим; квантова случайност, осредняване. изчезва. По подобен начин газовете са изградени от молекули, които се движат в изключително сложни - и наистина недетерминирани - движения, но тяхната температура и други свойства следват закони, които са прости като две и две. По-спекулативно, някои физици, като Робърт Лафлин от Станфордския университет, предполагат, че долното ниво изобщо няма значение. Градивните елементи могат да бъдат всякакви и въпреки това тяхното колективно поведение ще бъде същото. В края на краищата толкова различни системи като водни молекули, звезди в галактика и автомобили на магистрала следват едни и същи закони на флуидния поток.

Най-накрая свободен

Когато мислите от гледна точка на нива, безпокойството, че индетерминизмът може да отбележи края на науката, изчезва. Няма висока стена около нас, която да защитава нашия законопослушен фрагмент от Вселената от склонната към анархия и неразбираемост останала част от нея. Всъщност светът е пластова торта от детерминизъм и индетерминизъм. Климатът на Земята, например, се управлява от детерминистичните закони на движение на Нютон, но прогнозата за времето е вероятностна, докато сезонните и дългосрочните климатични тенденции отново са предвидими. Биологията също следва от детерминистичната физика, но организмите и екосистемите изискват други методи за описание, като Дарвиновата еволюция. "Детерминизмът не обяснява абсолютно всичко, отбелязва философът Даниел Денет от университета Тъфтс. Защо се появиха жирафите? Защото кой определи: така да бъде?"

Хората са разпръснати в тази слоеста торта. Имаме силно чувство за свободна воля. Често вземаме непредвидими и най-вече жизненоважни решения, разбираме, че сме могли да постъпим различно (и често съжаляваме, че не сме го направили). В продължение на хилядолетия така наречените либертарианци, привърженици на философската доктрина за свободната воля (да не се бърка с политическото движение!), твърдят, че свободата на човек изисква свободата на частица. Нещо трябва да разруши детерминистичния ход на събитията, като например квантовата случайност или „отклоненията“, които, както смятат някои древни философи, атомите могат да изпитат по време на своето движение (концепцията за случайно непредсказуемо отклонение на атом от първоначалната му траектория е въведена в антична философия от Лукреций за защита на атомистичната доктрина на Епикур).

Основният проблем с тази линия на разсъждение е, че тя освобождава частиците, но ни оставя като роби. Няма значение дали вашето решение е било предопределено по време на Големия взрив или от малка частица, то все още не е ваше решение. За да бъдем свободни, се нуждаем от индетерминизъм, не на ниво частици, а на ниво човек. И това е възможно, защото човешкото ниво и нивото на частиците са независими едно от друго. Дори ако всичко, което правите, може да бъде проследено до първите стъпки, вие сте господарят на вашите действия, защото нито вие, нито вашите действия съществувате на ниво материя, а само на макро ниво на съзнанието. „Този ​​макроиндетерминизъм, базиран на микродетерминизъм, вероятно е това, което гарантира свободната воля“, каза Бътърфийлд. Макроиндетерминизмът не е причината за вашите решения. Това е ваше решение.

Сигурно някои ще възразят и ще ви кажат, че все още сте марионетка, а законите на природата действат като кукловод и че свободата ви не е нищо повече от илюзия. Но самата дума „илюзия“ напомня за миражи в пустинята и разполовени жени: всичко това не съществува в действителност. Макроиндетерминизмът не е същото. Това е съвсем реално, просто не е фундаментално. Може да се сравни с живота. Индивидуалните атоми са абсолютно нежива материя, но тяхната огромна маса може да живее и диша. „Всичко, което е свързано с агентите, техните състояния на намерения, техните решения и избори – нито едно от тези образувания няма нищо общо с концептуалния инструментариум на фундаменталната физика, но това не означава, че тези явления не са реални“, отбелязва Лист . просто означава, че всички те са явления от много по-високо ниво."

Би било категорична грешка, ако не и пълно невежество, да описвате човешките решения от гледна точка на механиката на движението на атомите в главата ви. Вместо това е необходимо да се използват всички понятия на психологията: желание, възможност, намерения. Защо пих вода, а не вино? Защото исках. Моите желания обясняват действията ми. В повечето случаи, когато задаваме въпроса "Защо?", търсим мотивацията на индивида, а не неговия физически произход. Психологическите обяснения допускат вида индетерминизъм, за който говори Лист. Например теоретиците на игрите моделират човешкото вземане на решения, като излагат набор от опции и обясняват коя бихте избрали, ако действате рационално. Вашата свобода да изберете конкретна опция ръководи избора ви, дори ако никога не изберете тази опция.

Със сигурност аргументите на Лист не обясняват напълно свободната воля. Йерархията на нивата отваря пространство за свободна воля, отделя психологията от физиката и ни дава възможност да правим неочаквани неща. Но трябва да се възползваме от тази възможност. Ако, например, вземаме всички решения чрез хвърляне на монета, това все още ще се счита за макроиндетерминизъм, но едва ли ще се квалифицира като свободна воля в някакъв смислен смисъл. От друга страна, вземането на решения от някои хора може да бъде толкова изтощително, че не може да се каже, че действат свободно.

Такъв подход към проблема за детерминизма дава смисъл на интерпретацията на квантовата теория, която беше предложена няколко години след смъртта на Айнщайн през 1955 г. Тя беше наречена интерпретация на много светове или интерпретация на Еверет. Нейните поддръжници твърдят, че квантовата механика описва колекция от паралелни вселени - мултивселена, която като цяло се държи детерминистично, но изглежда недетерминистична за нас, тъй като можем да видим само една единствена вселена. Например, един атом може да излъчва фотон надясно или наляво; квантовата теория оставя резултата от това събитие открит. Според многосветовата интерпретация такава картина се наблюдава, защото абсолютно същата ситуация се случва в безброй паралелни вселени: в някои от тях фотонът лети детерминистично наляво, а в останалите - надясно. Без да можем да кажем точно в коя от вселените се намираме, не можем да предвидим какво ще се случи, така че тази ситуация изглежда необяснима отвътре. „Няма истинска произволност в космоса, но събитията могат да изглеждат случайни за окото на наблюдателя", обяснява космологът Макс Тегмарк от Масачузетския технологичен институт, известен привърженик на тази гледна точка. „Случайността отразява вашата неспособност да определите къде ти си."

Все едно да кажеш, че зарове или мозък могат да бъдат изградени от която и да е от безбройните конфигурации на атоми. Самата тази конфигурация може да е детерминистична, но тъй като не можем да знаем коя съответства на нашите зарове или мозъка ни, сме принудени да приемем, че резултатът е недетерминистичен. Следователно паралелните вселени не са някаква екзотична идея, витаеща в болното въображение. Нашето тяло и нашият мозък са малки мултивселени, разнообразието от възможности е това, което ни осигурява свобода.

Най-често срещаната форма е под формата на куб, от всяка страна на който са изобразени числата от едно до шест. Играчът, който го хвърля върху равна повърхност, вижда резултата на горната повърхност. Костите са истински рупор на случайността, късмета или лошия късмет.

Злополука.
Кубовете (кости) съществуват от дълго време, но шестстранната форма, която стана традиционна, е придобита около 2600 г. пр.н.е. д. Древните гърци обичали да играят на зарове, а в техните легенди като техен изобретател се споменава героят Паламедес, несправедливо обвинен в предателство от Одисей. Според легендата той измислил тази игра, за да забавлява войниците, които обсаждали Троя, превзета благодарение на огромен дървен кон. Римляните по времето на Юлий Цезар също са се забавлявали с различни игри със зарове. На латински кубът се нарича datum, което означава "дадено".

Забрани.
През Средновековието, около 12-ти век, заровете стават много популярни в Европа: заровете, които можете да носите със себе си навсякъде, се харесват както на воини, така и на селяни. Говори се, че е имало над шестстотин различни игри! Производството на зарове става отделна професия. Крал Луи IX (1214-1270), завръщайки се от кръстоносен поход, не одобрява хазарта и нарежда забрана на производството на зарове в цялото кралство. Повече от самата игра властите бяха недоволни от вълненията, свързани с нея - тогава се играеше главно в таверни и купоните често завършваха с битки и намушквания. Но никакви забрани не попречиха на заровете да оцелеят във времето и да оцелеят до днес.

Кокали със "заряд"!
Резултатът от хвърляне на зара винаги се определя случайно, но някои измамници се опитват да променят това. Чрез пробиване на дупка в матрицата и изливане на олово или живак в нея е възможно да се гарантира, че ролката дава един и същ резултат всеки път. Такъв куб се нарича "зареден". Изработени от различни материали, независимо дали са злато, камък, кристал, кост, заровете могат да имат различни форми. Малки зарове във формата на пирамида (тетраедър) са открити в гробниците на египетските фараони, построили големите пирамиди! В различно време костите са правени с 8, 10, 12, 20 и дори 100 страни. Обикновено върху тях се прилагат цифри, но на тяхно място могат да се появят и букви или изображения, което дава поле за въображение.

Как се хвърля зарът.
Заровете се предлагат не само в различни форми, но и в различни начини на игра. Правилата на някои игри изискват хвърлянето да бъде хвърлено по определен начин, обикновено за да се избегне изчислено хвърляне или за да се предотврати спирането на зарчето в наклонено положение. Понякога към тях е прикрепено специално стъкло, за да се избегне измама или падане от игралната маса. В английската игра на креп и трите зара трябва задължително да ударят игралната маса или стената, за да не позволят на измамниците да фалшифицират хвърляне, като просто преместят зара, но не го обръщат.

Случайност и вероятност.
Зарът винаги дава случаен резултат, който не може да бъде предвиден. С един зар играчът има точно толкова шансове да хвърли 1, колкото и 6 - всичко се определя от случайността. От друга страна, при два зара нивото на случайност намалява, тъй като играчът има повече информация за резултата: например при два зара числото 7 може да се получи по няколко начина - чрез хвърляне на 1 и 6, 5 и 2, или 4 и 3 ... Но възможността да получите числото 2 е само една: да хвърлите два пъти 1. По този начин вероятността да получите 7 е по-висока, отколкото да получите 2! Нарича се теория на вероятностите. Много игри са свързани с този принцип, особено кеш игрите.

За използването на зарове.
Заровете могат да бъдат самостоятелна игра без други елементи. Единственото нещо, което практически не съществува, са игри за едно кубче. Правилата изискват поне две (напр. креп). За да играете покер със зарове, имате нужда от пет зара, химикал и хартия. Целта е да се попълват комбинации, подобни на комбинациите от едноименната игра на карти, като се записват точки за тях в специална таблица. В допълнение, кубът е много популярна част за настолни игри, която ви позволява да местите чипове или да решавате изхода от игрови битки.

Зарът е хвърлен.
През 49 пр.н.е. д. младият Юлий Цезар завладява Галия и се връща в Помпей. Но силата му се страхуваше от сенаторите, които решиха да разпуснат армията му, преди той да се върне. Бъдещият император, пристигайки на границите на републиката, решава да наруши заповедта, като я пресече с армията. Преди да пресече Рубикон (реката, която е била границата), той казал на своите легионери „Alea jacta est“ („зарът е хвърлен“). Тази поговорка се превърна в крилата фраза, чийто смисъл е, че както в играта, след като се вземат някои решения, вече не е възможно да се отстъпи.

Написано от дизайнера Тайлър Сигман за "Gamasutra". Наричам я с обич статията „косъм в ноздрите на орк“, но тя покрива доста добре основите на вероятностите в игрите.

Темата на тази седмица

До днес почти всичко, за което говорихме, беше детерминистично, а миналата седмица разгледахме по-отблизо транзитивната механика и я разбихме толкова подробно, колкото мога да я обясня. Но досега не сме обръщали внимание на огромен аспект на много игри, а именно недетерминистичните аспекти, с други думи - случайността. Разбирането на естеството на произволността е много важно за дизайнерите на игри, защото ние създаваме системи, които влияят върху опита на играча в дадена игра, така че трябва да знаем как работят тези системи. Ако има случайност в системата, трябва да разберете природатази произволност и как да я променим, за да получим желаните резултати.

Зарове

Нека започнем с нещо просто: хвърляне на зарове. Когато повечето хора мислят за зарове, те си представят шестстранен зар, известен като d6. Но повечето геймъри са виждали много други зарове: четиристранни (d4), осемстрани (d8), дванадесетстрани (d12), двадесетстрани (d20) ... и ако истинскиманиак, може да имаш някъде 30-странни или 100-странни зарове. Ако не сте запознати с тази терминология, "d" означава зар, а числото след него показва колко лица има. Ако преди„d“ означава число, то означава количествозарове при хвърляне. Например в Монопол хвърляте 2d6.

Така че в този случай фразата „зарове“ е конвенционално обозначение. Има огромен брой други генератори на произволни числа, които нямат формата на пластмасов блок, но изпълняват същата функция за генериране на произволно число от 1 до n. Една обикновена монета също може да се разглежда като двустенна матрица d2. Видях два дизайна на седемстранен зар: единият приличаше на зар, а вторият приличаше повече на седемстранен дървен молив. Тетраедричен дрейдел (известен също като титотум) е аналог на тетраедрична кост. Игралното поле с въртяща се стрела в играта „Chutes & Ladders“, където резултатът може да бъде от 1 до 6, съответства на шестстранен зар. Генераторът на случайни числа в компютъра може да създаде произволно число от 1 до 19, ако дизайнерът даде такава команда, въпреки че компютърът няма 19-странен зар (като цяло ще говоря повече за вероятността числата да паднат на компютър при следващияседмица). Въпреки че всички тези елементи изглеждат различно, те всъщност са еквивалентни: имате равен шанс да получите един от няколко резултата.

Заровете имат някои интересни свойства, за които трябва да знаем. Първо, вероятността някое от лицата да се появи е една и съща (предполагам, че хвърляте правилния зар, а не грешната геометрия). Така че, ако искате да знаете означаваролка (известна също сред вероятностните като „математическо очакване“), сумирайте стойностите на всички ръбове и разделете тази сума на количестволица. Средната стойност на хвърляне за стандартен шестстранен зар е 1+2+3+4+5+6 = 21, разделена на броя на лицата (6) и получаваме средната стойност от 21/6 = 3,5. Това е специален случай, защото приемаме, че всички резултати са еднакво вероятни.

Ами ако имате специални зарове? Например, видях игра с шестстранни зарове със специални стикери на лицата: 1, 1, 1, 2, 2, 3, така че се държи като странен тристранен зар, който е по-вероятно да хвърли числото 1 от 2 и 2 от 3. Каква е средната стойност на хвърляне за този зар? Така че 1+1+1+2+2+3 = 10 делено на 6 е равно на 5/3 или около 1,66. Така че, ако имате този конкретен зар и играчите хвърлят три зара и след това сумират резултатите, вие знаете, че приблизителната сума на техните хвърляния ще бъде около 5 и можете да балансирате играта въз основа на това предположение.

Зарове и независимост

Както вече казах, ние изхождаме от предположението, че отпадането на всяко лице е еднакво вероятно. Не зависи от това колко зара хвърляте. Всяко хвърляне на зарове независимо от това, което означава, че предишните хвърляния не влияят на резултатите от следващите хвърляния. С достатъчен брой тестове определено ще забележете„серия“ от числа, като например хвърляне предимно на по-високи или по-ниски стойности, или други характеристики, и ще говорим за това по-късно, но това не означава, че заровете са „горещи“ или „студени“. Ако хвърлите стандартен шестстранен зар и числото 6 се появи два пъти подред, вероятността следващото хвърляне да доведе до 6 също е 1/6. Вероятността не се увеличава от факта, че кубът е „загрят“. Вероятността не намалява, тъй като числото 6 вече е изпаднало два пъти подред, което означава, че сега ще изпадне друго лице. (Разбира се, ако хвърлите зар двадесет пъти и числото 6 се появява всеки път, шансът 6 да се появи на двадесет и първия път е доста висок... защото това може да означава, че имате грешен зар!) Но ако имате правилния зар, вероятността да изпаднете от всяко от лицата е една и съща, независимо от резултатите от другите хвърляния. Можете също така да си представите, че всеки път, когато сменяме заровете, така че ако числото 6 се хвърли два пъти подред, премахнете „горещите“ зарове от играта и ги заменете с нови шестстранни зарчета. Извинявам се, ако някой от вас вече е знаел за това, но трябваше да изясня това, преди да продължа.

Как да накарате заровете да се хвърлят повече или по-малко произволно

Нека поговорим за това как да получите различни резултати на различни зарове. Ако хвърлите зара само веднъж или няколко пъти, играта ще изглежда по-произволна, ако зарът има повече ръбове. Колкото повече пъти хвърлите зар или колкото повече зарове хвърлите, толкова повече резултатите се доближават до средните. Например, ако хвърлите 1d6+4 (т.е. стандартен шестстранен зар веднъж и добавите 4 към резултата), средната стойност ще бъде число между 5 и 10. Ако хвърлите 5d2, средната стойност също ще бъде число между 5 и 10. Но когато хвърляте шестстранен зар, вероятността да получите числата 5, 8 или 10 е една и съща. Резултатът от хвърляне 5d2 ще бъде предимно числата 7 и 8, по-рядко други стойности. Същата серия, дори същата средна стойност (7,5 и в двата случая), но естеството на случайността е различно.

Чакай малко. Не казах ли току-що, че заровете не се нагряват или охлаждат? И сега казвам, че ако хвърлите много зарове, резултатите от хвърлянията са по-близки до средните? Защо?

Нека обясня. Ако хвърляте единзарове, вероятността да изпаднат от всяко от лицата е една и съща. Това означава, че ако хвърлите много зарове, с течение на времето всяко лице ще се появи приблизително еднакъв брой пъти. Колкото повече зарове хвърлите, толкова повече общият резултат ще се доближава до средния. Не е защото хвърленото число "причинява" хвърлянето на друго число, което все още не е излязло. Тъй като малка поредица от 6s (или 20s, или каквото и да е) в крайна сметка не е голяма работа, ако хвърлите заровете още десет хиляди пъти и се появи предимно средната стойност... може би ще хвърлите няколко числа с висока стойност, но може би по-късно няколко числа с ниска стойност и с течение на времето те ще се доближат до средната стойност. Не защото предишните хвърляния засягат заровете (сериозно, заровете са направени от пластмаса, тя няма мозъка да си помисли „о, отдавна не се появи 2“), но защото това обикновено се случва при много хвърляния на зарове. Малка поредица от повтарящи се числа ще бъде почти невидима в голям брой резултати.

По този начин е сравнително лесно да се правят изчисления за едно произволно хвърляне на зара, поне що се отнася до изчисляването на средната стойност на хвърлянето. Има и начини да се изчисли „колко произволно“ е нещо, начин да се каже, че резултатите от хвърляне 1d6+4 ще бъдат „по-случайни“ от 5d2, за 5d2 разпределението на хвърлените резултати ще бъде по-равномерно, обикновено изчислявате стандартното отклонение за това и колкото по-голяма е стойността, толкова по-случайни ще бъдат резултатите, но това изисква повече изчисления, отколкото бих искал да дам днес (ще обясня тази тема по-късно). Единственото нещо, което ви моля да знаете е, че като общо правило колкото по-малко зарове са хвърлени, толкова по-случайни са. И още едно допълнение към тази тема: колкото повече страни има зарът, толкова по-голяма е произволността, тъй като имате повече възможности.

Как да изчислим вероятността с помощта на броене

Може да имате въпрос: как можем да изчислим точната вероятност за поява на определен резултат? Това всъщност е доста важно за много игри, защото ако хвърлите зар, вероятно първоначално ще има някакъв оптимален резултат. Отговорът е: трябва да изчислим две стойности. Първо, изчислете максималния брой резултати при хвърляне на зар (независимо какъв ще бъде резултатът). След това пребройте броя на благоприятните резултати. Като разделите втората стойност на първата, получавате желаната вероятност. За да получите процент, умножете резултата по 100.

Примери:

Ето един много прост пример. Искате да хвърлите 4 или повече и веднъж да хвърлите шестстранен зар. Максималният брой резултати е 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). От тях 3 изхода (4, 5, 6) са благоприятни. И така, за да изчислим вероятността, разделяме 3 на 6 и получаваме 0,5 или 50%.

Ето един пример, който е малко по-сложен. Искате четно число при хвърляне 2d6. Максималният брой резултати е 36 (6 за всеки зар и тъй като единият зар не влияе на другия, умножаваме 6 резултата по 6 и получаваме 36). Трудността при този тип въпроси е, че е лесно да се брои два пъти. Например, всъщност има два възможни резултата от 3 при хвърляне 2d6: 1+2 и 2+1. Изглеждат еднакви, но разликата е кое число е показано на първия зар и какво е на втория. Можете също да си представите, че заровете са с различни цветове, така че например в този случай единият зар е червен, а другият е син. След това пребройте броя на опциите за получаване на четно число: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Оказва се, че има 18 варианта за благоприятен изход от 36, като в предишния случай вероятността ще бъде 0,5 или 50%. Може би неочаквано, но доста точно.

Симулация Монте Карло

Ами ако имате твърде много зарове за това изчисление? Например, искате да знаете каква е вероятността да хвърлите общо 15 или повече при хвърляне на 8d6. Има МНОГО различни индивидуални резултати за осем зара и ще отнеме много време, за да ги изчислите на ръка. Дори и да намерим някакво добро решение за групиране на различни серии от хвърляния на зарове, броенето пак ще отнеме много време. В този случай най-лесният начин да се изчисли вероятността не е да се изчисли ръчно, а да се използва компютър. Има два начина за изчисляване на вероятността на компютър.

Първият начин може да получи точния отговор, но включва малко програмиране или скриптове. По същество компютърът ще премине през всяка възможност, ще оцени и преброи общия брой итерации и броя итерации, които съответстват на желания резултат, и след това ще предостави отговори. Вашият код може да изглежда така:

int wincount=0, totalcount=0;

за (int i=1; i<=6; i++) {

за (int j=1; j<=6; j++) {

за (int k=1; k<=6; k++) {

… // вмъкнете още цикли тук

if (i+j+k+… >= 15) (

float вероятност = wincount/totalcount;

Ако не разбирате много от програмирането и просто искате неточен, но приблизителен отговор, можете да симулирате тази ситуация в Excel, където хвърляте 8d6 няколко хиляди пъти и получавате отговора. За да превъртите 1d6 в Excel, използвайте следната формула:

FLOOR(RAND()*6)+1

Има име за ситуацията, когато не знаете отговора и просто опитвате много пъти - Симулация Монте Карлои е страхотно решение, към което да се прибягвате, когато се опитвате да изчислите вероятност и е твърде сложно. Страхотното е, че в този случай не е нужно да разбираме как работи математиката и знаем, че отговорът ще бъде „доста добър“, защото, както вече знаем, колкото повече хвърляния, толкова повече резултатът се доближава до средна стойност.

Как да комбинирате независими опити

Ако питате за множество повтарящи се, но независими изпитания, тогава резултатът от едно хвърляне не влияе върху резултата от други хвърляния. Има друго по-просто обяснение за тази ситуация.

Как да разграничим нещо зависимо от независимо? По принцип, ако можете да изолирате всяко хвърляне на зар (или поредица от хвърляния) като отделно събитие, тогава то е независимо. Например, ако искаме да хвърлим общо 15, като хвърлим 8d6, този случай не може да бъде разделен на няколко независими хвърляния на зарове. Тъй като изчислявате сумата от стойностите на всички зарове за резултата, резултатът, който се хвърля на един зар, влияе върху резултатите, които трябва да се хвърлят на други зарове, защото само чрез сумиране на всички стойности ще получите желания резултат.

Ето пример за независими хвърляния: играете игра на зарове и хвърляте шестстранни зарове няколко пъти. За да останете в играта, трябва да хвърлите 2 или повече при първото си хвърляне. За второ хвърляне, 3 или повече. Третото изисква 4 или повече, четвъртото изисква 5 или повече, петото изисква 6. Ако и петте хвърляния са успешни, вие печелите. В този случай всички хвърляния са независими. Да, ако едно хвърляне е неуспешно, това ще се отрази на резултата от цялата игра, но едно хвърляне не засяга друго хвърляне. Например, ако второто ви хвърляне на зара е много успешно, това не влияе на вероятността следващите да са също толкова успешни. Следователно можем да разгледаме вероятността за всяко хвърляне на зара поотделно.

Ако имате отделни, независими вероятности и искате да знаете каква е вероятността, че всичкоще дойдат събития, вие определяте всяка отделна вероятност и ги умножавате.Друг начин: ако използвате връзката „и“, за да опишете няколко условия (например каква е вероятността да се случи някакво случайно събитие инякакво друго независимо случайно събитие?), изчислете отделните вероятности и ги умножете.

Няма значение какво мислиш никогане сумирайте независимите вероятности. Това е често срещана грешка. За да разберете защо това не е наред, представете си ситуация, в която хвърляте монета 50/50, искате да знаете каква е вероятността да получите глави два пъти подред. Всяка страна има 50% шанс да излезе, така че ако добавите двете вероятности, получавате 100% шанс да излезете с глави, но знаем, че това не е вярно, защото могат да се появят две последователни опашки. Ако вместо това умножите тези две вероятности, получавате 50% * 50% = 25%, което е правилният отговор за изчисляване на вероятността да получите глави два пъти подред.

Пример

Нека се върнем към играта с шестстранни зарове, където първо трябва да хвърлите число, по-голямо от 2, след това по-голямо от 3 и т.н. до 6. Какви са шансовете при дадена серия от 5 хвърляния всички резултати да бъдат благоприятни?

Както бе споменато по-горе, това са независими опити, така че ние изчисляваме вероятността за всяко отделно хвърляне и след това ги умножаваме. Вероятността изходът от първото хвърляне да е благоприятен е 5/6. Второто - 4/6. Трети - 3/6. Четвъртият - 2/6, петият - 1/6. Умножавайки всички тези резултати, получаваме около 1,5%… Така че спечелването на тази игра е доста рядко, така че ако добавите този елемент към играта си, ще ви трябва доста голям джакпот.

Отрицание

Ето още един полезен съвет: понякога е трудно да се изчисли вероятността дадено събитие да се случи, но е по-лесно да се определи какви са шансовете дадено събитие да се случи. няма да дойде.

Например, да предположим, че имаме друга игра и вие хвърляте 6d6, и ако поне веднъжхвърля 6, вие печелите. Каква е вероятността да спечелите?

В този случай има много възможности за разглеждане. Може би ще изпадне едно число 6, т.е. един от заровете ще хвърли 6, а останалите ще хвърлят от 1 до 5 и има 6 опции за това кой от заровете ще хвърли 6. След това можете да хвърлите 6 на два зара, или три, или дори повече, и всеки път трябва да правим отделно изчисление, така че е лесно да се объркаме.

Но има и друг начин за решаване на този проблем, нека го погледнем от другата страна. Ти губяако не единот заровете няма да изпадне числото 6. В този случай имаме шест независими опита, вероятността за всяко от тях е 5/6 (всяко число, различно от 6, може да се падне на зара). Умножете ги и ще получите около 33%. Така вероятността да загубите е 1 към 3.

Следователно вероятността за печалба е 67% (или 2 към 3).

От този пример е очевидно, че ако изчислявате вероятността дадено събитие да не се случи, извадете резултата от 100%.Ако вероятността за печалба е 67%, тогава вероятността губя — 100% минус 67%, или 33%. И обратно. Ако е трудно да се изчисли една вероятност, но е лесно да се изчисли противоположната, изчислете противоположната и след това извадете от 100%.

Свързващи условия за един независим тест

Казах малко по-рано, че никога не трябва да сумирате вероятности в независими опити. Има ли случаи, в които могасумирам вероятностите? Да, в една конкретна ситуация.

Ако искате да изчислите вероятността за множество, несвързани, благоприятни резултати при едно и също изпитване, сумирайте вероятностите за всеки благоприятен резултат. Например, вероятността да хвърлите 4, 5 или 6 на 1d6 е сумавероятността да хвърлите 4, вероятността да хвърлите 5 и вероятността да хвърлите 6. Можете също да мислите за тази ситуация по следния начин: ако използвате връзката „или“ във въпрос относно вероятността (например какво е вероятността от илиразличен резултат от едно случайно събитие?), изчислете отделните вероятности и ги сумирайте.

Имайте предвид, че когато сумирате всички възможни резултатиигра, сумата от всички вероятности трябва да бъде равна на 100%. Ако сумата не е равна на 100%, вашето изчисление е направено неправилно. Това е добър начин да проверите отново изчисленията си. Например, анализирахте вероятността да получите всички комбинации в покера, ако съберете всички резултати, трябва да получите точно 100% (или поне стойност, доста близка до 100%, ако използвате калкулатор, може да имате малка грешка при закръгляване, но ако съберете точните числа на ръка, всичко трябва да се събере). Ако сумата не се сближава, най-вероятно не сте взели предвид някои комбинации или сте изчислили неправилно вероятностите за някои комбинации и след това трябва да проверите отново изчисленията си.

Неравни вероятности

Досега приемахме, че всяко лице на зара пада с еднаква честота, защото така работи зарът. Но понякога сте изправени пред ситуация, в която са възможни различни резултати и те различнипропуснете шансове. Например, в едно от разширенията на играта с карти „Ядрена война“ има игрално поле със стрелка, която определя изхода от изстрелване на ракета: основно нанася нормални щети, повече или по-малко щети, но понякога щетите се удвояват или се утроява, или ракетата експлодира на стартовата площадка и ви наранява, или се случва друго събитие. За разлика от дъската със стрели в "Chutes & Ladders" или "A Game of Life", резултатите от дъската в "Nuclear War" са неравностойни. Някои участъци от игралното поле са по-големи и стрелката спира върху тях много по-често, докато други участъци са много малки и стрелката спира върху тях рядко.

И така, на пръв поглед костта изглежда така: 1, 1, 1, 2, 2, 3; вече говорихме за това, това е нещо като претеглено 1d3, следователно трябва да разделим всички тези секции на равни части, да намерим най-малката мерна единица, която е кратна на всичко и след това да представим ситуацията като d522 (или някое други ), където наборът от лица на зарове ще покаже същата ситуация, но с по-голям брой резултати. И това е един от начините за решаване на проблема и е технически осъществим, но има по-лесен начин.

Нека се върнем към нашите стандартни шестстранни зарове. Казахме, че за да изчислите средната стойност на хвърляне за нормален зар, трябва да сумирате стойностите на всички лица и да ги разделите на броя на лицата, но как точностава ли изчислението? Можете да го изразите по различен начин. За шестстранни зарове вероятността всяко лице да се появи е точно 1/6. Сега се размножаваме Изходвсеки ръб на вероятносттози резултат (в този случай 1/6 за всяко лице), след което сумирайте получените стойности. Така че сумирането (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), получаваме същия резултат (3.5), както при изчислението по-горе. Всъщност ние изчисляваме това всеки път: умножаваме всеки резултат по вероятността за този резултат.

Можем ли да направим същото изчисление за стрелката на игралното поле в играта "Ядрена война"? Разбира се, че можем. И ако обобщим всички намерени резултати, получаваме средната стойност. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим вероятността за всеки резултат за стрелката на игралното поле и да умножим по резултата.

Друг пример

Този метод за изчисляване на средната стойност, чрез умножаване на всеки резултат по неговата индивидуална вероятност, също е подходящ, ако резултатите са еднакво вероятни, но имат различни предимства, като например ако хвърлите зар и спечелите повече на някои лица, отколкото на други. Например, нека вземем игра, която се случва в казино: залагате и хвърляте 2d6. Ако се появят три числа с ниска стойност (2, 3, 4) или четири числа с висока стойност (9, 10, 11, 12), вие ще спечелите сума, равна на вашия залог. Числата с най-ниска и най-висока стойност са специални: ако се паднат 2 или 12, вие печелите двойно повечеотколкото вашата оферта. Ако се появи друго число (5, 6, 7, 8), ще загубите залога си. Това е доста проста игра. Но каква е вероятността да спечелите?

Нека започнем, като преброим колко пъти можете да спечелите:

• Максималният брой резултати при хвърляне 2d6 е 36. Какъв е броят на благоприятните резултати?
• Има 1 вариант, че ще отпаднат две и 1 вариант, че ще отпаднат дванадесет.
• Има 2 варианта за хвърляне на три и единадесет.
• Има 3 опции за хвърляне на четири и 3 опции за хвърляне на десет.
• Има 4 опции за девет да се появят.
• Обобщавайки всички опции, получаваме броя на благоприятните резултати 16 от 36.

Така при нормални условия ще спечелите 16 пъти от 36 възможни... вероятността да спечелите е малко по-малка от 50%.

Но в два случая от тези 16 ще спечелите два пъти повече, т.е. все едно печелиш два пъти! Ако играете тази игра 36 пъти, залагайки $1 всеки път и всеки от всички възможни резултати се появи веднъж, ще спечелите общо $18 (всъщност печелите 16 пъти, но два от тези пъти ще се броят за две победи). Ако играете 36 пъти и спечелите $18, това не означава ли, че шансът е равен?

Отделете време. Ако преброите колко пъти можете да загубите, получавате 20, а не 18. Ако играете 36 пъти, залагайки $1 всеки път, ще спечелите общо $18, когато всички коефициенти се появят... но ще загубите общата сума от $20 за всички 20 лоши резултата! В резултат на това ще изостанете малко: губите средно $2 нетно за всеки 36 изиграни игри (можете също да кажете, че губите средно $1/18 на ден). Сега виждате колко лесно е да направите грешка в този случай и да изчислите вероятността неправилно!

Пермутация

Досега приемахме, че редът, в който се хвърлят числата, няма значение при хвърлянето на зара. Хвърлянето 2+4 е същото като хвърлянето 4+2. В повечето случаи ръчно броим броя на благоприятните резултати, но понякога този метод е непрактичен и е по-добре да се използва математическа формула.

Пример за тази ситуация е от играта със зарове „Farkle“. За всеки нов рунд хвърляте 6d6. Ако имате късмет и излязат всички възможни резултати от 1-2-3-4-5-6 (Straight), ще получите голям бонус. Каква е вероятността това да се случи? В този случай има много възможности за загуба на тази комбинация!

Решението е следното: един от заровете (и само един) трябва да хвърли числото 1! Колко начина да получите числото 1 на един зар? Шест, тъй като има 6 зара и всеки един от тях може да получи числото 1. Съответно вземете един зар и го оставете настрана. Сега на един от останалите зарове трябва да падне числото 2. Има пет опции за това. Вземете друг зар и го оставете настрана. След това следва, че четири от останалите зарове могат да хвърлят числото 3, три от останалите зарове могат да хвърлят числото 4, два от останалите зарове могат да хвърлят числото 5 и в резултат на това вие оставате с един зар, на което трябва да се падне числото 6 (във последния случай има само един зар и няма избор). За да преброим броя на благоприятните резултати за получаване на права комбинация, ние умножаваме всички различни, независими опции: 6x5x4x3x2x1 = 720 - изглежда, че има доста опции за тази комбинация.

За да изчислим вероятността да получим права комбинация, трябва да разделим 720 на броя на всички възможни резултати за хвърляне 6d6. Какъв е броят на всички възможни резултати? Всеки зар може да приземи 6 лица, така че умножаваме 6x6x6x6x6x6 = 46656 (много по-голямо число!). Разделяме 720/46656 и получаваме вероятност, равна приблизително на 1,5%. Ако сте проектирали тази игра, би било полезно да знаете това, за да можете да създадете подходяща система за точкуване. Сега разбираме защо в играта "Farkle" получавате толкова голям бонус, ако получите комбинация от "прав", защото тази ситуация е доста рядка!

Резултатът е интересен и по друга причина. Примерът показва колко рядко резултат, съответстващ на вероятността, всъщност изпада за кратък период от време. Разбира се, ако хвърлим няколко хиляди зара, различни страни на зара ще се появяват доста често. Но когато хвърлим само шест зара, почти никогане се случва всяко от лицата да изпадне! Изхождайки от това, става ясно, че е глупаво да очакваме, че сега ще изпадне друго лице, което все още не е изпаднало, „защото не сме изпускали числото 6 от дълго време, което означава, че сега ще изпадне. ”

Вижте, вашият генератор на случайни числа е повреден...

Това ни води до често срещано погрешно схващане за вероятността: предположението, че всички резултати се появяват с еднаква честота. за кратък период от време, което всъщност не е така. Ако хвърлим зара няколко пъти, честотата на всяко от лицата няма да е еднаква.

Ако някога сте работили върху онлайн игра с някакъв вид генератор на произволни числа преди, най-вероятно сте се сблъсквали със ситуация, при която играч пише на техническата поддръжка, за да каже, че вашият генератор на произволни числа е повреден и не показва произволни числа, и той стигна до това заключение, защото току-що уби 4 чудовища подред и получи 4 абсолютно еднакви награди, а тези награди трябва да падат само в 10% от времето, така че това Почти никогане трябва заеми място, което означава очевидноче вашият генератор на случайни числа е повреден.

Вие се занимавате с математика. 1/10*1/10*1/10*1/10 е равно на 1 на 10 000, което означава, че е доста рядко. И това е, което играчът се опитва да ви каже. Има ли проблем в този случай?

Всичко зависи от обстоятелствата. Колко играчи са на вашия сървър сега? Да предположим, че имате доста популярна игра и 100 000 души я играят всеки ден. Колко играчи ще убият четири чудовища подред? Всичко е възможно, няколко пъти на ден, но нека приемем, че половината от тях просто търгуват различни предмети на търгове или чатят на RP сървъри, или извършват други игрови дейности, така че само половината от тях всъщност ловуват чудовища. Каква е вероятността, че някойще отпадне ли същата награда? В тази ситуация можете да очаквате, че една и съща награда може да падне поне няколко пъти на ден!

Между другото, затова изглежда поне на всеки няколко седмици някойпечели от лотарията, дори ако този някой никогавие или вашите приятели не идвате. Ако достатъчно хора играят всяка седмица, има вероятност да има поне единкъсмет... но ако тииграете на лотарията, е по-малко вероятно да спечелите работа в Infinity Ward.

Карти и пристрастяване

Обсъдихме независими събития, като хвърляне на зар, и сега знаем много мощни инструменти за анализиране на случайността в много игри. Изчислението на вероятността е малко по-сложно, когато става въпрос за теглене на карти от тестето, тъй като всяка карта, която теглим, засяга останалите карти в тестето. Ако имате стандартно тесте от 52 карти и изтеглите 10 сърца, например, и искате да знаете вероятността следващата карта да е от същата боя, вероятността се е променила, защото вече сте премахнали една карта сърца от палуба. Всяка карта, която премахнете, променя вероятността за следващата карта в тестето. Тъй като в този случай предишното събитие влияе на следващото, ние наричаме това вероятност зависим.

Моля, имайте предвид, че когато казвам „карти“, имам предвид всякаквимеханика на играта, в която има набор от обекти и премахвате един от обектите, без да го замените, „колоде карти“ в този случай е аналогично на торба с чипове, от която изваждате един чип и не го заменяте, или урна, от която премахвате цветни топчета (всъщност никога не съм виждал игра, в която да има извадена урна с цветни топчета, но изглежда, че учителите по теория на вероятностите предпочитат този пример по някаква причина).

Свойства на зависимостта

Бих искал да поясня, че когато става въпрос за карти, предполагам, че теглите карти, гледате ги и ги премахвате от тестето. Всяко от тези действия е важно свойство.

Ако имах тесте от, да речем, шест карти, номерирани от 1 до 6, и ги разбърках и изтеглих една карта и след това отново разбърках всичките шест карти, това би било същото като хвърляне на шестстранен зар; един резултат не влияе на следващия. Само ако тегля карти и не ги заменя, резултатът от тегленето на карта 1 ще направи по-вероятно следващия път, когато изтегля карта 6 (вероятността ще се увеличи, докато евентуално изтегля тази карта или докато не разбъркам картите) .

Фактът, че ние ние гледамена карти също е важно. Ако извадя карта от тестето и не я погледна, нямам допълнителна информация и вероятността всъщност не се променя. Това може да звучи нелогично. Как простото обръщане на карта магически може да промени шансовете? Но е възможно, защото можете да изчислите вероятността за неизвестни елементи само от факта, че вие ти знаеш. Например, ако разбъркате стандартно тесте карти, разкриете 51 карти и нито една от тях не е дама купа, вие ще знаете със 100% сигурност, че останалата карта е дама купа. Ако разбъркате стандартно тесте карти и изтеглите 51 карти, въпрекивърху тях, тогава вероятността оставащата карта да е дама купа все още ще бъде 1/52. Когато отваряте всяка карта, получавате повече информация.

Изчисляването на вероятността за зависими събития следва същите принципи като за независими събития, с изключение на това, че е малко по-сложно, тъй като вероятностите се променят, когато отворите картите. Следователно трябва да умножите много различни стойности, вместо да умножавате една и съща стойност. Всъщност това означава, че трябва да комбинираме всички изчисления, които направихме, в една комбинация.

Пример

Разбърквате стандартно тесте от 52 карти и теглите две карти. Каква е вероятността да вземете чифт? Има няколко начина за изчисляване на тази вероятност, но може би най-простият е следният: каква е вероятността, ако изтеглите една карта, да не можете да изтеглите чифт? Тази вероятност е нула, така че няма особено значение коя първа карта ще изтеглите, стига да съвпада с втората. Без значение коя карта изтеглим първа, все още имаме шанс да изтеглим чифт, така че вероятността да успеем да изтеглим чифт, след като изтеглим първата карта, е 100%.

Каква е вероятността втората карта да съвпадне с първата? Остават 51 карти в тестето и 3 от тях съвпадат с първата карта (всъщност щеше да са 4 от 52, но вече сте премахнали една от съвпадащите карти, когато изтеглихте първата карта!), така че вероятността е 1 /17. (Така че следващия път, когато човекът от другата страна на масата, който играе Texas Hold'em, каже: „Страхотно, още един чифт? Имам късмет днес“, ще знаете, че има доста голям шанс той да блъфира.)

Ами ако добавим два жокера и сега имаме 54 карти в тестето и искаме да знаем каква е вероятността да изтеглим чифт? Първата карта може да е Жокера, а след това тестето ще съдържа само единкарта, а не три, които ще съвпаднат. Как да намерим вероятността в този случай? Разделяме вероятностите и умножаваме всяка възможност.

Първата ни карта може да бъде жокер или друга карта. Вероятността да изтеглите жокер е 2/54, вероятността да изтеглите друга карта е 52/54.

Ако първата карта е жокер (2/54), тогава вероятността втората карта да съвпадне с първата е 1/53. Умножаване на стойностите (можем да ги умножим, защото те са отделни събития и искаме и дветеслучили се събития) и получаваме 1/1431 - по-малко от една десета от процента.

Ако първо изтеглите друга карта (52/54), вероятността за съвпадение на втората карта е 3/53. Умножаваме стойностите и получаваме 78/1431 (малко повече от 5,5%).

Какво правим с тези два резултата? Те не се пресичат и искаме да знаем вероятността всекиот тях, така че обобщаваме стойностите! Получаваме крайния резултат 79/1431 (все пак около 5,5%).

Ако искахме да сме сигурни в точността на отговора, бихме могли да изчислим вероятността за всички други възможни резултати: изтегляне на жокер и несъвпадение на втората карта или изтегляне на друга карта и несъвпадение на втората карта и сумиране на всички с вероятността да спечелим, щяхме да получим точно 100%. Няма да давам математиката тук, но можете да опитате математиката, за да проверите отново.

Парадоксът на Монти Хол

Това ни води до един доста известен парадокс, който често обърква мнозина, парадоксът на Монти Хол. Парадоксът е кръстен на Монти Хол, водещ на телевизионното предаване Let's Make a Deal. Ако никога не сте гледали това шоу, то беше обратното на телевизионното шоу „Цената е правилна“. В „The Price Is Right“ водещият (бивш Боб Баркър, сега е… Дрю Кери? Както и да е…) е ваш приятел. Той исказа да спечелите пари или страхотни награди. Опитва се да ви даде всяка възможност да спечелите, стига да можете да познаете колко всъщност струват спонсорираните артикули.

Монти Хол се държеше различно. Той беше като злия близнак на Боб Баркър. Целта му беше да те накара да изглеждаш като идиот по националната телевизия. Ако бяхте в шоуто, той беше ваш опонент, играехте срещу него и шансовете бяха в негова полза. Може би съм рязък, но когато шансът да бъдеш избран за опонент изглежда е пряко пропорционален на това дали носиш смешен костюм или не, стигам до подобни заключения.

Но едно от най-известните мемета в шоуто беше следното: имаше три врати пред вас и те се наричаха Врата номер 1, Врата номер 2 и Врата номер 3. Можете да изберете всяка една врата... безплатно! Зад една от тези врати имаше страхотна награда, например нова кола. Зад другите врати нямаше награди, тези две врати нямаха стойност. Тяхната цел беше да ви унижат, така че не че нямаше нищо зад тях, те имаха нещо зад себе си, което изглеждаше глупаво, като коза или огромна туба паста за зъби зад тях, или нещо... нещо, какво точно беше ненова кола.

Избрахте една от вратите и Монти се канеше да я отвори, за да ви каже дали сте спечелили или не... но чакайте, преди да разберемнека да разгледаме един от тезивратата ти не е избран. Тъй като Монти знае зад коя врата е наградата, а има само една награда и двеврати, които не сте избрали, независимо какво, той винаги може да отвори врата, зад която няма награда. „Избирате ли врата номер 3? Тогава нека отворим врата 1, за да покажем, че зад нея няма награда." И сега, от щедрост, той ви предлага шанса да размените избраната от вас Врата № 3 за това, което е зад Врата № 2. Тук влиза в игра въпросът за вероятността: възможността да изберете различна врата увеличава или намалява шанса ви на победа, или си остава същото? Какво мислиш?

Правилен отговор: възможност за избор на друга врата се увеличававероятност за печалба от 1/3 до 2/3. Това е нелогично. Ако не сте се сблъсквали с този парадокс преди, вероятно си мислите: чакайте, отваряйки една врата, магически сме променили вероятността? Но както видяхме в примера на картата по-горе, това е точнокакво се случва, когато получим повече информация. Очевидно е, че вероятността да спечелите първия път, когато изберете, е 1/3 и предполагам, че всички ще се съгласят с това. Когато една врата се отвори, това изобщо не променя вероятността за печалба за първия избор, вероятността все още е 1/3, но това означава, че вероятността, че другправилната врата вече е 2/3.

Нека погледнем този пример от другата страна. Вие избирате врата. Вероятността за печалба е 1/3. Предлагам ви да промените дведруги врати, което Монти Хол всъщност предлага да направи. Разбира се, той отваря една от вратите, за да покаже, че зад нея няма награда, а той винагиможе да го направи, така че всъщност не променя нищо. Разбира се, ще искате да изберете друга врата!

Ако не разбирате напълно този проблем и се нуждаете от по-убедително обяснение, щракнете върху тази връзка, за да отидете на страхотно малко Flash приложение, което ще ви позволи да изследвате този парадокс по-подробно. Можете да започнете с около 10 врати и след това постепенно да преминете към игра с три врати; има и симулатор, където можете да изберете произволен брой врати от 3 до 50 и да играете или стартирате няколко хиляди симулации и да видите колко пъти бихте спечелили, ако играете.

Забележка от учителя по висша математика и специалист по игрови баланси Максим Солдатов, която, разбира се, Шрайбер не е имал, но без която е доста трудно да се разбере тази магическа трансформация:

Изберете врата, една от трите, вероятността да "спечелите" е 1/3. Сега имате 2 стратегии: промяна на избора след отваряне на грешната врата или не. Ако не промените избора си, тогава вероятността ще остане 1/3, тъй като изборът е само на първия етап и трябва незабавно да познаете, но ако промените, тогава можете да спечелите, ако първо изберете грешната врата ( след това отварят друг грешен, ще остане верен, променяте решението, просто го вземете)
Вероятността да изберете грешна врата в началото е 2/3, така че се оказва, че като промените решението си, вие правите вероятността да спечелите 2 пъти повече

Преразглеждане на парадокса на Монти Хол

Що се отнася до самото шоу, Монти Хол знаеше това, защото дори опонентите му да не бяха добри по математика, тойразбира я добре. Ето какво направи той, за да промени малко играта. Ако сте избрали вратата, зад която е била наградата, чиято вероятност е 1/3, тя винагиВи предложихме възможност да изберете друга врата. Защото си избрал кола и след това я сменяш на коза и изглеждаш доста глупав, което е точно това, от което той има нужда, защото той е някакъв зъл човек. Но ако изберете вратата, зад която няма да има награда, само на половинав такива случаи той ще ви подкани да изберете друга врата, а в други случаи просто ще ви покаже новата ви коза и вие ще напуснете сцената. Нека анализираме тази нова игра, където Monty Hall може избирамви предлага възможност да изберете друга врата или не.

Да предположим, че следва този алгоритъм: ако изберете врата с награда, той винаги ви предлага възможност да изберете друга врата, в противен случай вероятността да ви предложи друга врата или да ви даде коза е 50/50. Каква е вероятността да спечелите?

При една от трите опции веднага избирате вратата, зад която се намира наградата, а домакинът ви кани да изберете друга врата.

От останалите две опции от три (първоначално избирате врата без награда), половината от времето домакинът ще ви помоли да изберете друга врата, а другата половина от времето няма да го направи. Половината от 2/3 е 1/3, т.е. в един случай от три ще получите коза, в един случай от три ще изберете грешната врата и домакинът ще ви помоли да изберете друга и в един случай от три ще изберете дясна врата,и той ще ви подкани да изберете друга врата.

Ако домакинът предложи да изберем друга врата, ние вече знаем, че един от трите случая, когато ни дава коза и ние си тръгваме, не се е случил. Това е полезна информация, защото означава, че шансовете ни за печалба са се променили. Два от три пъти имаме избор, в единия случай това означава, че сме познали правилно, а в другия случай, че сме познали грешно, така че ако изобщо ни бъде предложен избор, това означава, че вероятността да спечелим е 50 /50 и няма математическипредимства, останете при избора си или изберете друга врата.

Подобно на покера, това вече е психологическа игра, а не математическа. Монти ти предложи избор, защото смята, че си глупак, който не знае, че изборът на друга врата е „правилното“ решение и че упорито ще се придържате към избора си, защото психологически ситуацията, когато изберете кола, а след това я загуби, по-трудно? Или те смята за умна и избира друга врата и ти предлага този шанс, защото знае, че си познал правилно първия път и че ще бъдеш закачен и в капан? Или може би е необичайно добър към себе си и ви подтиква да направите нещо във ваш личен интерес, защото отдавна не е дарявал кола, а продуцентите му казват, че публиката се отегчава и би било по-добре да даде скоро голяма награда, за да не падат рейтингите?

Така Монти успява да предложи избор (понякога) и общата вероятност за печалба остава 1/3. Не забравяйте, че вероятността да загубите веднага е 1/3. Има 1/3 шанс да познаете веднага и 50% от тези случаи ще спечелите (1/3 x 1/2 = 1/6). Вероятността първоначално да сбъркате, но след това да имате шанс да изберете друга врата е 1/3 и в 50% от тези случаи ще спечелите (също 1/6). Добавете две независими възможности за печалба и получавате вероятност от 1/3, така че независимо дали ще останете при избора си или изберете друга врата, общата вероятност за вашата печалба през цялата игра е 1/3... вероятността не става по-голяма отколкото в ситуация, в която бихте познали вратата и домакинът щеше да ви покаже какво има зад тази врата, без възможност да изберете друга врата! Така че смисълът на предлагането на опция за избор на различна врата не е да се промени вероятността, а да се направи процесът на вземане на решение по-забавен за гледане по телевизията.

Между другото, това е една от причините, поради които покерът може да бъде толкова интересен: в повечето формати между рундовете, когато се правят залози (например флоп, търн и ривър в Texas Hold'em), картите се разкриват постепенно , и ако в началото на играта имате една вероятност да спечелите, то след всеки рунд на залагане, когато има повече отворени карти, тази вероятност се променя.

Парадоксът на момчето и момичето

Това ни води до друг добре известен парадокс, който озадачава всички, парадоксът момче-момиче. Единственото нещо, за което пиша днес, което не е пряко свързано с игрите (въпреки че предполагам, че това просто означава, че трябва да ви подтикна да създадете подходяща игрова механика). Това е по-скоро пъзел, но интересен и за да го разрешите, трябва да разберете условната вероятност, за която говорихме по-горе.

Задача: Имам приятел с две деца, поне единдетето е момиче. Каква е вероятността второто дете същомомиче? Нека приемем, че във всяко семейство има 50/50 шанс да има момиче или момче и това е вярно за всяко дете (всъщност някои мъже имат повече сперматозоиди в спермата с X хромозома или Y хромозома, така че вероятността се променя леко, ако знаете, че едно дете е момиче, вероятността да имате момиче е малко по-висока, освен това има други условия, например хермафродитизъм, но за да разрешим този проблем, ние няма да вземем това предвид и приемете, че раждането на дете е независимо събитие и вероятността да имате момче или момичета е една и съща).

Тъй като говорим за шанс 1/2, ние интуитивно очакваме отговорът вероятно да бъде 1/2 или 1/4, или някакво друго кръгло число, което е кратно на 2. Но отговорът е: 1/3 . Чакай защо?

Трудността в този случай е, че информацията, която имаме, намалява броя на възможностите. Да предположим, че родителите са фенове на „Улица Сезам“ и независимо дали детето е родено момче или момиче, са кръстили децата си А и Б. При нормални обстоятелства има четири еднакво вероятни възможности: А и Б са две момчета, А и Б са две момичета, А е момче и Б е момиче, А е момиче и Б е момче. Тъй като знаем това поне единдетето е момиче, можем да изключим възможността A и B да са две момчета, оставяйки ни три (все още еднакво вероятни) възможности. Ако всички възможности са еднакво вероятни и има три от тях, знаем, че вероятността за всяка от тях е 1/3. Само в един от тези три варианта и двете деца са две момичета, така че отговорът е 1/3.

И отново за парадокса на момче и момиче

Решението на проблема става още по-нелогично. Представете си, че ви кажа, че мой приятел има две деца и едно дете - момиче, родено във вторник. Да предположим, че при нормални условия вероятността да имате дете в един от седемте дни от седмицата е една и съща. Каква е вероятността второто дете също да е момиче? Може би си мислите, че отговорът пак ще бъде 1/3; Какво е значението на вторник? Но в този случай интуицията ни подвежда. Отговор: 13/27 което не просто не е интуитивно, то е много странно. Какъв е проблема в такъв случай?

Всъщност вторник променя вероятността, защото ние не знаем койтобебето е родено във вторник или евентуално две децаса родени във вторник. В този случай използваме същата логика като по-горе, броим всички възможни комбинации, когато поне едно дете е момиче, родено във вторник. Както в предишния пример, да предположим, че децата са кръстени A и B, комбинациите са както следва:

• А е момиче, което е родено във вторник, Б е момче (в тази ситуация има 7 възможности, по една за всеки ден от седмицата, когато може да се роди момче).
• B е момиче, което е родено във вторник, A е момче (също 7 възможности).
• А е момиче, родено във вторник, Б е момиче, родено на другден от седмицата (6 възможности).
• B е момиче, което е родено във вторник, A е момиче, което не е родено във вторник (също 6 вероятности).
• A и B са две момичета, родени във вторник (1 възможност, трябва да обърнете внимание на това, за да не броите два пъти).

Обобщаваме и получаваме 27 различни еднакво възможни комбинации от раждане на деца и дни с поне една възможност момиче да се роди във вторник. От тях 13 възможности са при раждане на две момичета. Освен това изглежда напълно нелогично и изглежда, че тази задача е създадена само за да причини главоболие. Ако все още сте озадачени от този пример, теоретикът на игрите Jesper Juhl има добро обяснение по въпроса на своя уебсайт.

Ако в момента работите върху игра...

Ако има случайност в играта, която проектирате, това е чудесна възможност да я анализирате. Изберете всеки елемент, който искате да анализирате. Първо се запитайте каква е вероятността за този елемент според вашите очаквания, каква трябва да бъде според вас в контекста на играта. Например, ако правите ролева игра и мислите колко вероятно би трябвало да е играчът да успее да победи чудовище в битка, запитайте се какъв процент от победите ви се струва правилен. Обикновено, когато играят конзолни ролеви игри, играчите се разочароват много, когато загубят, така че е по-добре да не губят често... може би 10% от времето или по-малко? Ако сте RPG дизайнер, вероятно знаете по-добре от мен, но трябва да имате основна представа каква трябва да бъде вероятността.

Тогава се запитайте дали това е нещо зависим(като карти) или независима(като зарове). Обсъдете всички възможни резултати и техните вероятности. Уверете се, че сумата от всички вероятности е 100%. И накрая, разбира се, сравнете вашите резултати с вашите очаквания. Независимо дали зарът е хвърлен или картите са изтеглени по начина, по който сте предвидили, или виждате, че трябва да коригирате стойностите. И разбира се, ако вие намирамкакво трябва да се коригира, можете да използвате същите изчисления, за да определите колко да коригирате нещо!

Домашна работа

Вашето „домашно“ тази седмица ще ви помогне да усъвършенствате уменията си за вероятност. Ето две игри със зарове и игра на карти, които трябва да анализирате с помощта на вероятността, както и странна механика на играта, която веднъж разработих, върху която ще тествате метода Монте Карло.

Игра #1 - Драконови кости

Това е игра със зарове, която моите колеги и аз веднъж измислихме (благодарение на Джеб Хейвънс и Джеси Кинг!), и която умишлено взривява умовете на хората със своите вероятности. Това е проста казино игра, наречена "Dragon Bones" и представлява състезание със зарове между играча и заведението. Получавате обикновен зар 1d6. Целта на играта е да хвърлите число, по-голямо от това на къщата. Том получава нестандартно 1d6 - същото като вашето, но вместо единица от едната страна - изображението на дракон (по този начин казиното има зар Дракон-2-3-4-5-6). Ако институцията получи дракон, тя автоматично печели, а вие губите. Ако и двамата получите едно и също число, това е равенство и хвърляте заровете отново. Този, който хвърли най-голямото число, печели.

Разбира се, не всичко е изцяло в полза на играча, защото казиното има предимство под формата на лицето на дракона. Но наистина ли е така? Трябва да го изчислите. Но преди това проверете интуицията си. Да приемем, че печалбата е 2 към 1. Така че, ако спечелите, запазвате залога си и получавате двойна сума. Например, ако заложите $1 и спечелите, вие запазвате този долар и получавате още $2 отгоре, за общо $3. Ако загубите, губите само залога си. Бихте ли играли? И така, чувствате ли интуитивно, че вероятността е по-голяма от 2 към 1, или все още мислите, че е по-малка? С други думи, средно за 3 игри очаквате ли да спечелите повече от веднъж, по-малко или веднъж?

След като се справите с интуицията си, приложете математиката. Има само 36 възможни позиции и за двата зара, така че можете лесно да ги преброите всички. Ако не сте сигурни относно тази оферта 2 към 1, помислете за следното: Да приемем, че сте играли играта 36 пъти (залагайки $1 всеки път). За всяка победа получавате $2, за всяка загуба губите $1, а равенството не променя нищо. Пребройте всичките си вероятни печалби и загуби и решете дали ще загубите няколко долара или ще спечелите. След това се запитайте колко права се е оказала вашата интуиция. И тогава - разберете какъв злодей съм.

И, да, ако вече сте се замисляли над този въпрос - умишлено ви обърквам, като изопачавам истинската механика на игрите със зарове, но съм сигурен, че можете да преодолеете това препятствие само с добра мисъл. Опитайте се да разрешите този проблем сами. Ще публикувам всички отговори тук следващата седмица.

Игра #2 - Roll of Luck

Това е игра със зарове, наречена Lucky Roll (също Birdcage, защото понякога заровете не се хвърлят, а се поставят в голяма телена клетка, подобна на клетката за бинго). Това е проста игра, която върви по следния начин: Заложете, да речем, $1 на число между 1 и 6. След това хвърляте 3d6. За всеки зар, който улучи вашето число, получавате $1 (и запазвате първоначалния си залог). Ако числото ви не падне на нито един от заровете, казиното получава вашия долар, а вие не получавате нищо. Така че, ако заложите на 1 и получите 1 на лицето три пъти, получавате $3.

Интуитивно изглежда, че в тази игра шансовете са равни. Всеки зар е индивидуален, шансът за печалба е 1 към 6, така че сборът от трите е 3 към 6. Не забравяйте обаче, разбира се, че добавяте три отделни зара и имате право да добавяте само ако ние сме говорим за отделни печеливши комбинации от едни и същи зарове. Нещо, което ще трябва да умножите.

След като изчислите всички възможни резултати (вероятно е по-лесно да направите това в Excel, отколкото на ръка, има 216 от тях), играта все още изглежда четно-нечетно на пръв поглед. Но в действителност казиното все още е по-вероятно да спечели - колко повече? По-конкретно, колко пари очаквате да загубите средно на рунд на игра? Всичко, което трябва да направите, е да съберете печалбите и загубите на всичките 216 резултата и след това да ги разделите на 216, което би трябвало да е доста лесно… Но както виждате, има няколко капана, в които можете да попаднете, затова ви казвам : Ако мислите, че тази игра има равен шанс за победа, грешите.

Игра #3 - 5 Card Stud

Ако вече сте загрели с предишни игри, нека проверим какво знаем за условната вероятност, използвайки тази игра на карти като пример. По-конкретно, нека си представим покер с тесте от 52 карти. Нека си представим и 5 card stud, където всеки играч получава само 5 карти. Не можете да изхвърлите карта, не можете да изтеглите нова, няма общо тесте - получавате само 5 карти.

Роял флъш е 10-J-Q-K-A в една комбинация, за общо четири, така че има четири възможни начина да получите роял флъш. Изчислете вероятността да получите една от тези комбинации.

Трябва да ви предупредя за едно нещо: не забравяйте, че можете да теглите тези пет карти в произволен ред. Тоест, в началото можете да изтеглите асо или десетка, няма значение. Така че, когато изчислявате това, имайте предвид, че всъщност има повече от четири начина да получите роял флъш, ако приемем, че картите са раздадени по ред!

Игра #4 - МВФ Лотария

Четвъртата задача няма да бъде толкова лесна за решаване с помощта на методите, за които говорихме днес, но можете лесно да симулирате ситуацията с помощта на програмиране или Excel. На примера на този проблем можете да разработите метода Монте Карло.

Споменах по-рано играта „Chron X“, върху която някога работих, и имаше една много интересна карта - лотарията на МВФ. Ето как работи: използвахте го в игра. След края на рунда картите бяха преразпределени и имаше 10% шанс картата да излезе от игра и произволен играч да получи 5 от всеки тип ресурс, който имаше жетон на тази карта. Карта беше пусната в игра без нито един жетон, но всеки път, когато остана в игра в началото на следващия рунд, тя получи един жетон. Така че имаше 10% шанс да я поставите в игра, рундът да приключи, картата да излезе от играта и никой няма да получи нищо. Ако не стане (с 90% шанс), има 10% шанс (всъщност 9%, тъй като това е 10% от 90%) тя да напусне играта в следващия кръг и някой да получи 5 ресурса. Ако картата излезе от играта след един рунд (10% от наличните 81%, т.е. 8,1% шанс), някой ще получи 10 единици, друг рунд - 15, още 20 и т.н. Въпрос: каква е очакваната стойност на броя ресурси, които ще получите от тази карта, когато най-накрая напусне играта?

Обикновено бихме се опитали да разрешим този проблем, като намерим възможността за всеки резултат и умножим по броя на всички резултати. Така че има 10% шанс да получите 0 (0,1*0 = 0). 9%, че ще получите 5 ресурса (9%*5 = 0,45 ресурса). 8,1% от това, което получавате, е 10 (8,1%*10 = 0,81 общи ресурси, очаквана стойност). И така нататък. И тогава щяхме да обобщим всичко.

И сега проблемът е очевиден за вас: винаги има шанс картата ненапуска играта, за да може да остане в играта завинаги, за безкраен брой кръгове, така че възможностите за изчисляване всяка възможностне съществува. Методите, които научихме днес, не ни позволяват да изчислим безкрайната рекурсия, така че ще трябва да я създадем изкуствено.

Ако сте достатъчно добър в програмирането, напишете програма, която ще симулира тази карта. Трябва да имате времеви цикъл, който довежда променливата до първоначалната й позиция нула, показва произволно число и с 10% шанс променливата да излезе от цикъла. В противен случай той добавя 5 към променливата и цикълът се повтаря. Когато най-накрая излезе от цикъла, увеличете общия брой пробни изпълнения с 1 и общия брой ресурси (с колко зависи от това къде е спряла променливата). След това нулирайте променливата и започнете отначало. Стартирайте програмата няколко хиляди пъти. Накрая разделете общите ресурси на общия брой изпълнения и това е вашата очаквана стойност от Монте Карло. Стартирайте програмата няколко пъти, за да сте сигурни, че числата, които получавате, са приблизително еднакви; ако разпространението все още е голямо, увеличете броя на повторенията във външния цикъл, докато започнете да получавате съвпадения. Можете да сте сигурни, че каквито и числа да получите в крайна сметка, ще бъдат приблизително верни.

Ако сте нов в програмирането (или дори ако сте), ето малко упражнение, за да загреете уменията си за Excel. Ако сте дизайнер на игри, уменията в Excel никога не са излишни.

Сега функциите IF и RAND ще ви бъдат много полезни. RAND не изисква стойности, той просто произвежда произволно десетично число между 0 и 1. Обикновено го комбинираме с FLOOR и плюсове и минуси, за да симулираме хвърляне на зара, което споменах по-рано. В този случай обаче оставяме само 10% шанс картата да напусне играта, така че можем просто да проверим дали RAND стойността е по-малка от 0,1 и да не се тревожим повече за това.

IF има три значения. По ред, условието, което е вярно или не, след това стойността, която се връща, ако условието е вярно, и стойността, която се връща, ако условието е невярно. Така че следната функция ще върне 5% от времето и 0 през останалите 90% от времето:
=АКО(РАНД()<0.1,5,0)

Има много начини да зададете тази команда, но бих използвал тази формула за клетката, която представлява първия кръг, да кажем, че е клетка A1:

АКО(RAND()<0.1,0,-1)

Тук използвам отрицателна променлива, която означава „тази карта не е напуснала играта и все още не е дала никакви ресурси“. Така че, ако първият кръг е приключил и картата е извън игра, A1 е 0; иначе е -1.

За следващата клетка, представляваща втория кръг:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Така че, ако първият рунд приключи и картата веднага напусна играта, A1 е 0 (брой ресурси) и тази клетка просто ще копира тази стойност. В противен случай A1 е -1 (картата все още не е напуснала играта) и тази клетка продължава да се движи на случаен принцип: 10% от времето ще върне 5 единици ресурси, през останалото време стойността й ще бъде - 1. Ако приложим тази формула към допълнителни клетки, ще получим допълнителни рундове и до която и клетка да стигнете, ще получите крайния резултат (или -1, ако картата не е напуснала играта след всички рундове, които сте изиграли).

Вземете този ред клетки, който е единственият кръг с тази карта, и копирайте и поставете няколкостотин (или хиляди) редове. Може да не успеем безкраентест за Excel (има ограничен брой клетки в таблицата), но поне можем да покрием повечето случаи. След това изберете една клетка, където ще поставите средната стойност на резултатите от всички кръгове (Excel любезно предоставя функцията AVERAGE() за това).

В Windows поне можете да натиснете F9, за да преизчислите всички произволни числа. Както преди, направете това няколко пъти и вижте дали стойностите, които получавате, са еднакви. Ако разпространението е твърде голямо, удвоете броя на изпълненията и опитайте отново.

Нерешени проблеми

Ако случайно имате диплома по вероятност и горните задачи изглеждат твърде лесни за вас, ето две задачи, които си блъскам главата от години, но, уви, не съм добър в математиката, за да ги реша. Ако внезапно знаете решението, моля, публикувайте го тук в коментарите, ще го прочета с удоволствие.

Нерешен проблем №1: ЛотарияМВФ

Първата нерешена задача е предишната домашна работа. Мога лесно да приложа метода Монте Карло (използвайки C++ или Excel) и да съм сигурен в отговора на въпроса „колко ресурси ще получи играчът“, но не знам как точно да дам точен доказуем отговор математически (това е безкрайна серия). Ако знаете отговора, публикувайте го тук... след като го проверите в Монте Карло, разбира се.

Нерешен проблем №2: Последователности на фигури

Тази задача (и отново надхвърля задачите, решени в този блог) ми беше хвърлена от познат геймър преди повече от 10 години. Той забеляза една интересна особеност, докато играеше блекджек във Вегас: когато извади карти от обувка с 8 колоди, той видя десетфигури подред (фигура или фигурна карта - 10, Жокер, Поп или Дама, така че има 16 от тях в стандартно тесте от 52 карти, така че има 128 от тях в обувка от 416 карти). Каква е вероятността в тази обувка понеедна последователност от десет или пофигури? Да приемем, че са разбъркани честно, в произволен ред. (Или, ако предпочитате, каква е вероятността, че не е намерен никъдепоредица от десет или повече цифри?)

Можем да опростим задачата. Ето поредица от 416 части. Всяка част е 0 или 1. Има 128 единици и 288 нули, произволно разпръснати из цялата последователност. Колко начина има за случайно вмъкване на 128 1 с 288 0 и колко пъти ще има поне една група от десет или повече 1 по тези начини?

Всеки път, когато се захващах с тази задача, ми се струваше лесна и очевидна, но щом навлязох в детайлите, изведнъж се разпадаше и ми се струваше просто невъзможна. Така че не бързайте да изричате отговора: седнете, помислете внимателно, проучете условията на проблема, опитайте се да замените реални числа, защото всички хора, с които говорих за този проблем (включително няколко студенти, работещи в тази област ) реагира почти по същия начин: „Съвсем очевидно е... о, не, чакай, изобщо не е очевидно.“ Това е точно този случай, за който нямам метод за изчисляване на всички опции. Със сигурност бих могъл грубо да форсирам проблема чрез компютърен алгоритъм, но би било много по-интересно да знам математическия начин за решаване на този проблем.

Превод - Ю. Ткаченко, И. Михеева

Заровете се използват от човека от хиляди години.

В 21 век новите технологии ви позволяват да хвърлите зара във всеки удобен момент, а ако имате достъп до интернет, и на удобно място. Заровете са винаги с вас у дома или на път.

Генераторът на зарове ви позволява да хвърляте онлайн от 1 до 4 зара.

Хвърлете зара онлайн честно

Когато се използват истински зарове, може да се използва ловкост на ръката или специално направени зарове с предимство на една от страните. Например, можете да завъртите куба по една от осите и тогава разпределението на вероятностите ще се промени. Характеристика на нашите виртуални кубове е използването на софтуерен генератор на псевдослучайни числа. Това ви позволява да предоставите наистина произволен вариант на този или онзи резултат.

И ако маркирате тази страница, вашите онлайн зарове няма да се изгубят никъде и винаги ще бъдат под ръка в точното време!

Някои хора са се приспособили да използват онлайн зарове за гадаене или правене на прогнози и хороскопи.

Весело настроение, добър ден и късмет!

Метод на музикално съчиняване със свободен звуков текст; като независим начин за композиране на музика се оформя през 20 век. А. означава пълен или частичен отказ от строгия контрол на композитора върху нотния текст или дори премахване на самата категория композитор-автор в традиционния смисъл. Иновацията на А. се състои в съотнасянето на стабилно установени компоненти на музикален текст със съзнателно въведена случайност, произволна мобилност на музикалната материя. Концепцията за А. може да се отнася както до общото разположение на частите на композицията (до формата), така и до структурата на нейната тъкан. Чао. Денисов,взаимодействието между стабилността и подвижността на тъканта и формата дава 4 основни вида съчетания, три от които - 2-ри, 3-ти и 4-ти - са алеаторични: 1. Стабилна тъкан - стабилна форма (обичайна традиционна композиция, opus perfectum et absolutum; като, например 6 симфонии от Чайковски); 2. Стабилна материя - подвижна форма; според V. Lutoslavs-whom, „A. форми” (П. Булез, 3-та соната за пиано, 1957); 3. Подвижна тъкан - стабилна форма; или според Лютославски „А. текстури” (Лютославски, Струнен квартет, 1964, Основна част); 4. Подвижен плат - подвижна форма; или „А. клетка"(с колективна импровизация на няколко изпълнители). Това са възловите точки на метода на А., около които има много различни специфични видове и случаи на структури, различни степени на потапяне в А.; освен това метаболите („модулациите“) също са естествени - преходът от един тип или тип към друг, също към стабилен текст или от него.

A. е широко разпространена от 50-те години на миналия век, появявайки се (заедно с сонорика),по-специално, като реакция на изключителното поробване на музикалната структура в многопараметричния сериализъм (виж: додекафония).Междувременно принципът на свободата на структурата по един или друг начин има древни корени. По същество звуковият поток, а не уникално структуриран опус, е народната музика. Оттук и нестабилността, „неопусността” на народната музика, вариативността, вариантността и импровизацията в нея. Непредсказуемостта, импровизацията на формата са характерни за традиционната музика на Индия, народите от Далечния изток и Африка. Затова представителите на А. активно и съзнателно разчитат на съществените принципи на ориенталската и народната музика. Елементите със стрели съществуват и в европейската класическа музика. Например сред виенските класици, които премахнаха принципа на генералния бас и направиха музикалния текст напълно стабилен (симфонии и квартети от И. Хайдн), остър контраст беше "каденцата" под формата на инструментален концерт - виртуозно соло, чиято част не е композирана от композитора, а предоставена по преценка на изпълнителя (елемент А. форма). Комичните „алеаторични“ методи за композиране на прости пиеси (менуети) чрез комбиниране на музикални парчета върху зарове (Würfelspiel) са известни в дните на Хайдн и Моцарт (трактат на И. Ф. Кирнбергер „По всяко време готов композитор на полонези и менуети“ Берлин, 1757).

През ХХ век. принципът на "индивидуалния проект" във формата започва да предполага допустимостта на текстови версии на произведението (т.е. А.). През 1907г американският композитор К. Айвс композира клавирния квинтет "Hallwe" en (= "Вечерта на всички светии"), чийто текст, когато се изпълнява в концерт, трябва да се изсвири по различен начин четири пъти подред. клеткасъставен през 1951 г „Музика на промените“ за пиано, чийто текст той състави чрез „манипулиране на случайности“ (думите на композитора), използвайки за това китайската „Книга на промените“. Класи-

кал пример А. - "Пиеса за пиано XI" от К. стокхаузен, 1957. На лист хартия ок. 0,5 кв.м в произволен ред са 19 музикални фрагмента. Пианистът започва с който и да е от тях и ги свири в произволен ред, следвайки случаен поглед; в края на предишния пасаж е написано с какво темпо и сила на звука да се изсвири следващия. Когато на пианиста изглежда, че вече е изсвирил всички фрагменти по този начин, те трябва да бъдат изсвирени втори път отново в същия произволен ред, но с по-ярка звучност. След втория рунд играта приключва. За по-голям ефект се препоръчва алеаторичното произведение да се повтори в един концерт - слушателят ще види друга композиция от същия материал. Методът А. се използва широко от съвременните композитори (Булез, Щокхаузен,Лютославски, А. Волконски, Денисов, Шниткеи т.н.).

Предпоставка за А. през 20в. дойдоха нови закони хармонияи произтичащите от тях тенденции за търсене на нови форми, които съответстват на новото състояние на музикалния материал и са характерни за авангард.Алеаторичната текстура беше напълно немислима преди еманципацията дисонансразвитие на атонална музика (вижте: додекафония).Привърженик на „ограничения и контролиран“ А. Лутославски вижда в него несъмнена стойност: „А. ми откри нови и неочаквани гледки. На първо място - огромно богатство от ритъм, недостижимо с помощта на други техники. Денисов, оправдавайки „въвеждането на произволни елементи в музиката“, твърди, че „ни дава голяма свобода при работа с музикалната материя и ни позволява да получим нови звукови ефекти<...>, но идеите за мобилност могат да дадат добри резултати само ако<... >ако разрушителните тенденции, скрити в мобилността, не унищожават градивността, необходима за съществуването на всяка форма на изкуство.

Някои други методи и форми на музика се пресичат с A. На първо място това са: 1. импровизация -изпълнение на произведение, създадено по време на играта; 2. графична музика,които изпълнителят импровизира според визуалните образи на рисунката, поставени пред него (например, I. Brown, Folio, 1952), превеждайки ги в звукови образи, или според музикалната алеаторична графика, създадена от композитора от парчета от музикален текст върху лист хартия (С. Бусоти, „Страст към градината“, 1966 г.); 3. случва се- импровизирано (в този смисъл алеаторично) действие (Наличност)с участието на музика с произволен (квази) сюжет (например хепънингът на А. Волконски "Реплика" на ансамбъл "Мадригал" през сезон 1970/71); 4. отворени форми на музика - тоест тези, чийто текст не е стабилно фиксиран, но се получава всеки път в процеса на изпълнение. Това са типове композиции, които не са принципно затворени и позволяват безкрайно продължение (например при всяко ново изпълнение), англ. Работа в процес на осъществяване. За П. Булез един от стимулите, които го насочват към отворена форма, е работата на Дж. Джойс(„Одисей”) и С. Маларме („Льо Ливър”). Пример за отворена композиция е "Available Forms II" на Ърл Браун за 98 инструмента и два диригента (1962). Самият Браун посочва връзката на неговата отворена форма с "мобилите" във визуалните изкуства (виж: кинетично изкуство)по-специално, A. Calder ("Calder Piece" за 4 барабанисти и мобилния телефон на Calder, 1965). И накрая, действието „Gesamtkunst” е проникнато от алеаторични принципи (виж: Gezamtkunstwerk). 5. Мултимедия, чиято специфика е синхронизацията инсталацииняколко изкуства (например: концерт + изложба на живопис и скулптура + вечер на поезията във всяка комбинация от форми на изкуство и т.н.). Така същността на А. е да съчетае традиционно установения художествен ред и освежаващия фермент на непредсказуемостта, случайността - тенденция, характерна за художествена култура на ХХ век.като цяло и некласическа естетика.

Лит .: Денисов Е.В.Устойчиви и подвижни елементи на музикалната форма и тяхното взаимодействие // Теоретични проблеми на музикалните форми и жанрове. М., 1971; Кохоутек С.Композиционна техника в музиката на ХХ век. М., 1976; Лютославски В.Статии, бе-

сива коса, спомени. М., 1995; Булез P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Майнц, 1958; Булез Р. Zu meiner III Sonate// Пак там, III. 1960 г.; Шафър Б.Нова музика (1958). Краков, 1969; Шафър Б. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Краков, 1975; Щокхаузен К. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Дармщат, 1967 г.