ในบทที่แล้วได้แสดงให้เห็นว่า โดยการเลือกระบบพิกัดบางอย่างบนระนาบ เราสามารถแสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะของจุดของเส้นที่กำลังพิจารณาในเชิงวิเคราะห์โดยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง บทนี้จะกล่าวถึงสมการเส้นตรง
ในการสร้างสมการสำหรับเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด
ขั้นแรก เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่แสดงลักษณะของเส้นตรงบนระนาบ
ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนแกน Ox เพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ผ่านมุม 180° จะทำให้แกนนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรงอีกครั้ง จึงไม่สามารถเลือกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนได้อย่างชัดเจน (ภายในเทอม ซึ่งเป็นผลคูณของ )
แทนเจนต์ของมุมนี้จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมจึงไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)
แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox เรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงลักษณะของเส้นตรง (เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองทิศทางที่ตรงข้ามกันของเส้นตรง) ถ้า ความลาดชันเส้นตรงเท่ากับศูนย์ แล้วเส้นขนานกับแกน x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เรากำลังพิจารณาที่นี่ว่าเล็กที่สุด ค่าบวกมุมเอียง) (รูปที่ 39); ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมมากเท่าไร มุมเอียงของแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นลบมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Ox ไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ไม่มีค่าแทนเจนต์ของมุม)
ความลาดชันเป็นเส้นตรง ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ งานเหล่านี้เป็นงานสำหรับ:
— การหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเมื่อทราบจุดสองจุดที่ผ่านไป
- การหาค่าแอบซิสซาหรือพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ
Abscissa และลำดับของจุดคืออะไรตามที่อธิบายไว้ในส่วนนี้ ในนั้นเราได้พิจารณาปัญหาหลายประการที่เกี่ยวข้องกับระนาบพิกัดแล้ว คุณต้องเข้าใจอะไรบ้างสำหรับประเภทของปัญหาที่กำลังพิจารณา ทฤษฎีเล็กน้อย
สมการของเส้นตรงบนระนาบพิกัดมีรูปแบบดังนี้
ที่ไหน เค – นี่คือความชันของเส้น
ช่วงเวลาถัดไป! ความชันของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง นี่คือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับแกนโอ้.
มีตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา
นั่นคือถ้าเราลดสมการของเส้นตรงให้อยู่ในรูป ย = เคเอ็กซ์ + ขจากนั้นเราสามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ k (สัมประสิทธิ์ความชัน) ได้เสมอ
นอกจากนี้ หากตามเงื่อนไขที่เราสามารถหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงได้ เราก็จะได้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของมัน
ประเด็นทฤษฏีต่อไป!สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดสูตรดูเหมือนว่า:
ให้เราพิจารณาปัญหา (คล้ายกับปัญหาจาก เปิดธนาคารงาน):
ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–6;0) และ (0;6)
ในปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือการหาค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน x กับเส้นตรงที่กำหนด เรียกได้ว่าเท่ากับความชัน พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้นตรงและแกน x และ oy:
ค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:
*ขาทั้งสองข้างเท่ากับหก (นี่คือความยาว)
แน่นอน, งานนี้แก้ได้โดยใช้สูตรหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด แต่นี่จะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยาวกว่า
คำตอบ: 1
ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (5;0) และ (0;5)
จุดของเรามีพิกัด (5;0) และ (0;5) วิธี,
มาใส่สูตรในรูปแบบกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข
เราพบว่ามีความลาดชัน เค = – 1.
คำตอบ: –1
ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;6) และ (8;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0;10) และขนานกับเส้นตรง ก ขมีเพลา โอ้.
ในปัญหานี้ คุณสามารถค้นหาสมการของเส้นตรงได้ กให้กำหนดความชันของมัน อยู่ที่เส้นตรง ขความชันจะเท่ากันเนื่องจากขนานกัน ต่อไปคุณจะพบสมการของเส้นตรง ข. จากนั้นเมื่อแทนค่า y = 0 เข้าไปแล้วหาค่า Abscissa แต่!
ใน ในกรณีนี้จะใช้สมบัติความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายกว่า
สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากเส้น (ขนาน) และแกนพิกัดจะคล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของด้านที่ตรงกันจะเท่ากัน
Abscissa ที่ต้องการคือ 40/3
คำตอบ: 40/3
ตรง กผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และ (–12;0) ตรง ขผ่านจุดที่มีพิกัด (0; –12) และขนานกับเส้นตรง ก. ค้นหาจุดตัดของเส้นตรง ขมีเพลา โอ้.
สำหรับปัญหานี้ วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแก้ปัญหาคือใช้สมบัติของความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม แต่เราจะแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น
เรารู้จุดที่เส้นผ่าน ก. เราสามารถเขียนสมการของเส้นตรงได้ สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้
ตามเงื่อนไข จุดต่างๆ จะมีพิกัด (0;8) และ (–12;0) วิธี,
เรามานึกถึงกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข:
ได้มุมนั้นแล้ว เค = 2/3.
*ค่าสัมประสิทธิ์มุมหาได้จากค่าแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 8 และ 12
เป็นที่ทราบกันว่าเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์มุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (0;-12) มีรูปแบบดังนี้
หาค่า ขเราสามารถแทนค่า abscissa และจัดลำดับลงในสมการได้:
ดังนั้นเส้นตรงจึงมีลักษณะดังนี้:
ตอนนี้เพื่อค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกน x ที่ต้องการคุณต้องแทนที่ y = 0:
คำตอบ: 18
ค้นหาพิกัดของจุดตัดแกน โอ้และเส้นที่ผ่านจุด B(10;12) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A(10;24)
ลองหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;0) และ (10;24) กัน
สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดมีรูปแบบดังนี้
จุดของเรามีพิกัด (0;0) และ (10;24) วิธี,
เรามานึกถึงกัน ย = เคเอ็กซ์ + ข
ค่าสัมประสิทธิ์มุมของเส้นขนานจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด B(10;12) มีรูปแบบดังนี้
ความหมาย ขลองค้นหาโดยการแทนที่พิกัดของจุด B(10;12) ลงในสมการนี้:
เราได้สมการเส้นตรง:
เพื่อหาพิกัดของจุดตัดของเส้นนี้กับแกน อู๋จะต้องแทนลงในสมการที่พบ เอ็กซ์= 0:
* ทางออกที่ง่ายที่สุด เมื่อใช้การแปลแบบขนาน เราจะเลื่อนบรรทัดนี้ลงไปตามแนวแกน อู๋ถึงจุด (10;12) การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น 12 หน่วย นั่นคือ จุด A(10;24) “ย้าย” ไปยังจุด B(10;12) และจุด O(0;0) “ย้าย” ไปยังจุด (0;–12) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงที่ได้จะตัดกับแกน อู๋ณ จุด (0;–12)
ลำดับที่ต้องการคือ –12
คำตอบ: –12
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ
3x + 2у = 6มีแกน เฮ้ย.
พิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดกับแกน อู๋มีรูปแบบ (0; ที่). ลองแทนค่าแอบซิสซาเข้าไปในสมการกัน เอ็กซ์= 0 และค้นหาพิกัด:
พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและแกน อู๋เท่ากับ 3
*ระบบได้รับการแก้ไขแล้ว:
คำตอบ: 3
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยสมการ
3x + 2y = 6และ ย = – x.
เมื่อให้เส้นตรงสองเส้นมา และคำถามเกี่ยวกับการหาพิกัดของจุดตัดของเส้นเหล่านี้ ระบบของสมการเหล่านี้จะได้รับการแก้ไข:
ในสมการแรกเราแทน - เอ็กซ์แทน ที่:
เลขลำดับมีค่าเท่ากับลบหก.
คำตอบ: – 6
ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (–2;0) และ (0;2)
ค้นหาความชันของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (2;0) และ (0;2)
กำหนดเส้นจุดผ่านด้วยพิกัด (0;4) และ (6;0) เส้น b ผ่านจุดที่มีพิกัด (0;8) และขนานกับเส้น a ค้นหาจุดตัดของเส้น b กับแกน Ox
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของแกน oy กับเส้นที่ผ่านจุด B (6;4) และขนานกับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและจุด A (6;8)
1. จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรง สิ่งนี้จะช่วยคุณในการแก้ไขปัญหาประเภทนี้มากมาย
2. ต้องเข้าใจสูตรการหาเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอหากให้พิกัดของจุดสองจุดของมัน
3. จำไว้ว่าความชันของเส้นขนานนั้นเท่ากัน
4. ตามที่คุณเข้าใจแล้ว ในบางปัญหา การใช้คุณลักษณะความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมจะสะดวกกว่า ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวาจา
5. ปัญหาที่มีการกำหนดเส้นสองเส้นและจำเป็นต้องค้นหาจุดตัดหรือกำหนดจุดตัดของเส้นทั้งสองนั้น สามารถแก้ไขได้ด้วยภาพกราฟิก นั่นคือสร้างพวกมันบนระนาบพิกัด (บนแผ่นกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และกำหนดจุดตัดด้วยสายตา *แต่วิธีนี้ใช้ไม่ได้เสมอไป
6. และสุดท้าย. หากให้เส้นตรงและพิกัดของจุดตัดกับแกนพิกัดแล้วในปัญหาดังกล่าวจะสะดวกในการค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมโดยการค้นหาแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น วิธี "มองเห็น" สามเหลี่ยมนี้ซึ่งมีตำแหน่งต่างๆ ของเส้นตรงบนเครื่องบินแสดงไว้ในแผนผังด้านล่าง:
>> มุมตรงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา<<
>> มุมตรงตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา<<
นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
โปรแกรมทางคณิตศาสตร์นี้ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุดที่ผู้ใช้ระบุ \(a\)
โปรแกรมไม่เพียงแสดงสมการแทนเจนต์เท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ปัญหาอีกด้วย
เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้นในการเตรียมตัวสอบ การทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้
ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น
หากคุณต้องการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราก็มีหน้าที่ค้นหาอนุพันธ์
หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการเข้าสู่ฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านี้
ป้อนนิพจน์ฟังก์ชัน \(f(x)\) และตัวเลข \(a\) ค้นหาสมการแทนเจนต์ พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...
ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.
เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:
ทฤษฎีเล็กน้อย
ความลาดชันโดยตรง
จำได้ว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น \(y=kx+b\) เป็นเส้นตรง เรียกหมายเลข \(k=tg \alpha \) ความชันของเส้นตรงและมุม \(\alpha \) คือมุมระหว่างเส้นนี้กับแกน Ox
ถ้า \(k>0\) แล้ว \(0 ถ้า \(kสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
ถ้าจุด M(a; f(a)) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และหาก ณ จุดนี้ สามารถลากแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์นั้นตามมาว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(a) ต่อไปเราจะพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใด ๆ
ให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M(a; f(a)) ถูกกำหนดไว้บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ให้รู้ว่ามี f"(a) อยู่ ลองสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด จะมี รูปแบบ y = kx + b ดังนั้นงานคือการหาค่าของสัมประสิทธิ์ k และ b
ทุกอย่างชัดเจนด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม k: เป็นที่ทราบกันว่า k = f"(a) ในการคำนวณค่า b เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f(a)) . ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนพิกัดของจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: \(f(a)=ka+b\) นั่นคือ \(b = f(a) - คะ\)
ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ k และ b ลงในสมการของเส้นตรง:
เราได้รับ สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน\(y = f(x) \) ที่จุด \(x=a \)
อัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(y=f(x)\)
1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร \(a\)
2. คำนวณ \(f(a)\)
3. ค้นหา \(f"(x)\) และคำนวณ \(f"(a)\)
4. แทนตัวเลขที่พบ \(a, f(a), f"(a) \) ลงในสูตร \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
รูปนี้แสดงมุมเอียงของเส้นตรงและระบุค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมสำหรับตัวเลือกต่างๆ สำหรับตำแหน่งของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม
การค้นหาความชันของเส้นตรงที่มีมุมเอียงที่ทราบกับแกน Ox นั้นไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะจำคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์เชิงมุมและคำนวณค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงได้
ตัวอย่าง.
จงหาความชันของเส้นตรงถ้ามุมเอียงกับแกนแอบซิสซาเท่ากับ
สารละลาย.
ตามเงื่อนไข. จากนั้นเราคำนวณตามคำจำกัดความของความชันของเส้นตรง .
คำตอบ:
งานในการค้นหามุมเอียงของเส้นตรงกับแกน x ที่มีความชันที่ทราบนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงสัญลักษณ์ของทางลาดด้วย เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงมีมุมแหลมและพบว่าเป็น เมื่อมุมเอียงของเส้นตรงเป็นมุมป้านและสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร .
ตัวอย่าง.
กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซาหากความชันเท่ากับ 3
สารละลาย.
เนื่องจากตามเงื่อนไขแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จึงเป็นมุมแหลม เราคำนวณโดยใช้สูตร
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
ความชันของเส้นตรงคือ กำหนดมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox
สารละลาย.
มาแสดงกันเถอะ k คือค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง - มุมเอียงของเส้นตรงนี้ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox เพราะ จากนั้นเราใช้สูตรหามุมเอียงของเส้นตรง ประเภทต่อไปนี้ . เราแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขลงไป: .
คำตอบ:
สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม
สมการของเส้นตรงกับความชันมีรูปแบบ โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง b คือจำนวนจริง เมื่อใช้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม คุณสามารถระบุเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน Oy (สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด จะไม่ได้กำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม)
ลองดูความหมายของวลี: “เส้นตรงบนเครื่องบินเข้า” ระบบคงที่พิกัดได้มาจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบ " ซึ่งหมายความว่าสมการจะเป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง และไม่พอใจกับพิกัดของจุดอื่นๆ บนระนาบ ดังนั้นหากได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องเมื่อแทนที่พิกัดของจุดหนึ่งแล้วเส้นตรงจะผ่านจุดนี้ มิฉะนั้นประเด็นจะไม่อยู่บนเส้น
ตัวอย่าง.
เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน คะแนนอยู่ในบรรทัดนี้ด้วยหรือไม่?
สารละลาย.
ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการดั้งเดิมของเส้นตรงด้วยความชัน: . เราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องแล้ว ดังนั้นจุด M 1 จึงอยู่บนเส้นตรง
เมื่อแทนที่พิกัดของจุด เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง: . ดังนั้นจุด M 2 จึงไม่อยู่บนเส้น
คำตอบ:
จุด M 1 เป็นของเส้น M 2 ไม่ใช่ของเส้น
ควรสังเกตว่าเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมผ่านจุดเนื่องจากเมื่อเราแทนที่พิกัดของมันลงในสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: .
ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะกำหนดบนระนาบของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและสร้างมุมโดยมีทิศทางบวกของแกน x และ
ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพรรณนาเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบ เส้นนี้ผ่านจุดหนึ่งและมีความชัน เรเดียน (60 องศา) ไปยังทิศทางบวกของแกน Ox ความชันของมันเท่ากับ
สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่ผ่านจุดที่กำหนด
ตอนนี้เราจะแก้ปัญหาที่สำคัญมาก: เราจะได้สมการของเส้นตรงที่มีความชันที่กำหนด k และผ่านจุด .
เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง . เราไม่รู้เลข b เพื่อกำจัดมัน เราจะลบด้านซ้ายและด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้ายออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการของเส้นตรงด้วยค่าสัมประสิทธิ์ความชันตามลำดับ ในกรณีนี้เราได้รับ . ความเท่าเทียมกันนี้ก็คือ สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด.
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ความชันของเส้นนี้คือ -2
สารละลาย.
จากสภาพที่เรามี . จากนั้นสมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะอยู่ในรูปแบบ .
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
เขียนสมการของเส้นตรงหากรู้ว่ามันผ่านจุดหนึ่งและมุมเอียงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ .
สารละลาย.
ขั้นแรก เรามาคำนวณความชันของเส้นตรงที่เรากำลังมองหาสมการ (เราได้แก้ไขปัญหานี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้) A-ไพรเออรี่ . ตอนนี้เรามีข้อมูลทั้งหมดที่จะเขียนสมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม:
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
เขียนสมการของเส้นตรงโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ผ่านจุดที่ขนานกับเส้นตรง
สารละลาย.
เห็นได้ชัดว่ามุมเอียงของเส้นขนานกับแกน Ox ตรงกัน (หากจำเป็นโปรดดูบทความความขนานของเส้น) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นคู่ขนานจึงเท่ากัน จากนั้นความชันของเส้นตรงซึ่งเป็นสมการที่เราต้องได้จะเท่ากับ 2 เนื่องจากความชันของเส้นตรงเท่ากับ 2 ตอนนี้เราสามารถสร้างสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่มีความชันได้:
คำตอบ:
การเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการเส้นประเภทอื่นและในทางกลับกัน
แม้จะคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว แต่สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมก็ไม่สะดวกที่จะใช้ในการแก้ปัญหาเสมอไป ในบางกรณี ปัญหาจะแก้ได้ง่ายกว่าเมื่อสมการของเส้นถูกนำเสนอในรูปแบบอื่น ตัวอย่างเช่นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมไม่อนุญาตให้คุณเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหรือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงในทันที ดังนั้น คุณควรเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการประเภทอื่นๆ ของเส้นตรงนี้
จากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ง่ายต่อการรับสมการทางบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบของรูปแบบ . ในการทำเช่นนี้ เราย้ายพจน์ b จากด้านขวาของสมการไปทางด้านซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นหารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วยความชัน k: การกระทำเหล่านี้นำเราจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปสู่สมการมาตรฐานของเส้นตรง
ตัวอย่าง.
ให้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุม สู่รูปแบบบัญญัติ
สารละลาย.
เรามาดำเนินการแปลงที่จำเป็น: .
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
เส้นตรงได้มาจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้หรือเปล่า?
สารละลาย.
เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะย้ายจากสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุมไปเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรงนี้: . เรารู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และ y ในสมการทั่วไปของเส้นตรงคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ . เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ เนื่องจากความสัมพันธ์นั้นถูกต้อง (หากจำเป็น โปรดดูบทความ) ดังนั้นเวกเตอร์ดั้งเดิมจึงเป็นเวกเตอร์เส้นปกติด้วย ดังนั้น จึงเป็นเวกเตอร์ปกติและเส้นเดิม
คำตอบ:
ใช่แล้ว.
และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาผกผัน - ปัญหาการลดสมการของเส้นตรงบนระนาบให้เป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม
จากสมการเส้นตรงทั่วไปของแบบฟอร์ม ซึ่งง่ายมากที่จะหาสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการทั่วไปของเส้นตรงเทียบกับ y ในกรณีนี้เราได้รับ. ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นคือสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับ
สมการของเส้นตรงบนระนาบ
เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เวกเตอร์ปกติ
เส้นตรงบนเครื่องบินเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตคุ้นเคยกับคุณตั้งแต่นั้นมา ชั้นเรียนจูเนียร์และวันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีจัดการกับมันโดยใช้วิธีเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ หากต้องการเชี่ยวชาญวัสดุ คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรงได้ รู้ว่าสมการใดกำหนดเส้นตรง โดยเฉพาะเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด และเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด ข้อมูลเหล่านี้สามารถพบได้ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้นฉันสร้างมันขึ้นมาสำหรับ Mathan แต่ส่วนเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงเส้นกลับประสบความสำเร็จและมีรายละเอียดมาก ดังนั้นกาน้ำชาที่รัก อุ่นเครื่องที่นั่นก่อน นอกจากนี้คุณต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ เวกเตอร์มิฉะนั้นความเข้าใจในเนื้อหาจะไม่สมบูรณ์
บน บทเรียนนี้เราจะมาดูวิธีที่คุณสามารถสร้างสมการเส้นตรงบนระนาบได้ ฉันไม่แนะนำให้ละเลยตัวอย่างเชิงปฏิบัติ (แม้ว่าจะดูง่ายมากก็ตาม) เนื่องจากฉันจะจัดเตรียมพื้นฐานและ ข้อเท็จจริงที่สำคัญ, วิธีการทางเทคนิคซึ่งจะต้องมีในอนาคตรวมทั้งในส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้วย
- จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?
- ยังไง ?
- จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?
- จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยให้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?
และเราเริ่มต้น:
สมการของเส้นตรงกับความชัน
รูปแบบ "โรงเรียน" ที่รู้จักกันดีของสมการเส้นตรงเรียกว่า สมการของเส้นตรงกับความชัน. ตัวอย่างเช่น หากสมการกำหนดเส้นตรง ความชันของมันจะเป็น: ลองพิจารณาดู ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์นี้และค่าของมันส่งผลต่อตำแหน่งของเส้นอย่างไร:
ในหลักสูตรเรขาคณิตได้รับการพิสูจน์แล้ว ความชันของเส้นตรงเท่ากับ แทนเจนต์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนบวกและบรรทัดนี้: และมุมจะ “คลายเกลียว” ทวนเข็มนาฬิกา
เพื่อไม่ให้ภาพวาดเกะกะ ฉันจึงวาดมุมเพียงสองเส้นตรงเท่านั้น ลองพิจารณาเส้น "สีแดง" และความชันของมัน ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น: (มุม "อัลฟา" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีเขียว) สำหรับเส้นตรง "สีน้ำเงิน" ที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (มุม "เบต้า" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีน้ำตาล) และถ้ารู้แทนเจนต์ของมุม ก็หาได้ง่ายหากจำเป็น และมุมนั้นเองโดยใช้ ฟังก์ชันผกผัน– อาร์กแทนเจนต์ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่ามีตารางตรีโกณมิติหรือเครื่องคิดเลขขนาดเล็กอยู่ในมือคุณ ดังนั้น, ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงถึงระดับความเอียงของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซา.
เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:
1) ถ้าความชันเป็นลบ: แล้วเส้นพูดคร่าวๆ จะเคลื่อนจากบนลงล่าง ตัวอย่างคือเส้นตรง "สีน้ำเงิน" และ "ราสเบอร์รี่" ในภาพวาด
2) หากความชันเป็นบวก เส้นจะลากจากล่างขึ้นบน ตัวอย่าง - เส้นตรง "สีดำ" และ "สีแดง" ในภาพวาด
3) หากความชันเป็นศูนย์: สมการก็จะอยู่ในรูปแบบ และเส้นตรงที่สอดคล้องกันจะขนานกับแกน ตัวอย่างคือเส้นตรง “สีเหลือง”
4) สำหรับตระกูลเส้นที่ขนานกับแกน (ไม่มีตัวอย่างในภาพวาด ยกเว้นแกนเอง) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ไม่ได้อยู่ (ไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ของ 90 องศา).
ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มากขึ้น กราฟเส้นตรงจะชันมากขึ้นเท่านั้น.
ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ตรงนี้เส้นตรงจึงมีความลาดชันมากกว่า ฉันขอเตือนคุณว่าโมดูลอนุญาตให้คุณเพิกเฉยต่อเครื่องหมาย เราสนใจเท่านั้น ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ในทางกลับกัน เส้นตรงจะชันกว่าเส้นตรง .
ในทางกลับกัน ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มีค่าน้อย เส้นตรงก็จะยิ่งแบนลง.
สำหรับเส้นตรง ความไม่เท่าเทียมเป็นจริง เส้นตรงจึงราบเรียบกว่า สไลด์สำหรับเด็กเพื่อไม่ให้เกิดรอยฟกช้ำและการกระแทก
เหตุใดจึงจำเป็น?
ยืดเวลาความทรมานของคุณ ความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้างต้นช่วยให้คุณเห็นข้อผิดพลาดของคุณได้ทันทีโดยเฉพาะข้อผิดพลาดเมื่อสร้างกราฟ - หากภาพวาดกลายเป็น "มีบางอย่างผิดปกติอย่างชัดเจน" ขอแนะนำให้คุณ ทันทีเห็นได้ชัดว่าเส้นตรงมีความชันมากและลากจากล่างขึ้นบน และเส้นตรงนั้นแบนมาก กดใกล้กับแกนแล้วลากจากบนลงล่าง
ในปัญหาทางเรขาคณิต มักมีเส้นตรงหลายเส้นปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง
การกำหนด: เส้นตรงถูกกำหนดให้มีขนาดเล็ก ด้วยตัวอักษรละติน: . ตัวเลือกยอดนิยมคือการกำหนดโดยใช้ตัวอักษรเดียวกันกับตัวห้อยที่เป็นธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น เส้นห้าเส้นที่เราเพิ่งดูสามารถเขียนแทนด้วยได้ .
เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยไม่ซ้ำกัน จึงสามารถเขียนแทนด้วยจุดเหล่านี้ได้: ฯลฯ การกำหนดบอกเป็นนัยอย่างชัดเจนว่าจุดนั้นอยู่ในเส้น
ได้เวลาอุ่นเครื่องแล้ว:
จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?
หากทราบจุดที่เป็นของเส้นบางเส้นและค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:
ตัวอย่างที่ 1
เขียนสมการของเส้นที่มีความชันหากรู้ว่าจุดนั้นอยู่ในเส้นที่กำหนด
สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า . ในกรณีนี้:
คำตอบ:
การตรวจสอบทำได้ง่ายๆ ขั้นแรก เราจะดูสมการผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความชันของเราอยู่ในตำแหน่งเดิม ประการที่สอง พิกัดของจุดต้องเป็นไปตามสมการนี้ ลองเสียบมันเข้ากับสมการ:
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์
บทสรุป: พบสมการถูกต้อง
ตัวอย่างที่ยุ่งยากมากขึ้นในการแก้ไขด้วยตัวคุณเอง:
ตัวอย่างที่ 2
เขียนสมการสำหรับเส้นตรงหากรู้ว่ามุมเอียงของมันกับทิศทางบวกของแกนคือ และจุดนั้นเป็นของเส้นตรงนี้
หากคุณมีปัญหาใด ๆ ให้อ่านซ้ำอีกครั้ง วัสดุทางทฤษฎี. แม่นยำยิ่งขึ้นและใช้งานได้จริงมากขึ้น ฉันข้ามหลักฐานไปมากมาย
ระฆังสุดท้ายดังขึ้น พิธีสำเร็จการศึกษาสิ้นสุดลง และนอกประตูโรงเรียนของเรา เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ก็รอเราอยู่ เรื่องตลกจบลงแล้ว... หรือบางทีพวกเขาอาจจะเพิ่งเริ่มต้น =)
เราโบกปากกาของเราไปยังสิ่งที่คุ้นเคยและทำความคุ้นเคยกับสมการทั่วไปของเส้นตรง เพราะในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่คือสิ่งที่ใช้จริงๆ:
สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ: , มีตัวเลขอยู่ตรงไหน. ในขณะเดียวกันก็มีค่าสัมประสิทธิ์ พร้อมกันไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากสมการสูญเสียความหมายไป
มาใส่สูทผูกสมการกับค่าสัมประสิทธิ์ความชันกันดีกว่า ก่อนอื่น ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:
ต้องใส่คำว่า "X" ไว้เป็นอันดับแรก:
โดยหลักการแล้ว สมการนั้นมีรูปแบบอยู่แล้ว แต่ตามกฎของมารยาททางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมแรก (ในกรณีนี้) จะต้องเป็นบวก การเปลี่ยนสัญญาณ:
จำคุณสมบัติทางเทคนิคนี้ไว้!เราสร้างค่าสัมประสิทธิ์แรก (บ่อยที่สุด) เป็นบวก!
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการของเส้นตรงมักจะถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไปเสมอ ถ้าจำเป็นก็สามารถลดเป็นรูปแบบ "โรงเรียน" ได้อย่างง่ายดายโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ยกเว้นเส้นตรงที่ขนานกับแกนกำหนด)
ลองถามตัวเองดูว่าอะไร เพียงพอรู้จักสร้างเส้นตรงไหม? สองจุด แต่เกี่ยวกับเรื่องนั้น กรณีเด็กต่อมาก็ยึดกฎลูกศร เส้นตรงแต่ละเส้นมีความชันที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่งง่ายต่อการ "ปรับตัว" เวกเตอร์.
เวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนั้น. เห็นได้ชัดว่าเส้นตรงใดๆ มีจำนวนเวกเตอร์ทิศทางเป็นอนันต์ และทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ - มันไม่สำคัญ)
ฉันจะแสดงเวกเตอร์ทิศทางดังนี้:
แต่เวกเตอร์เพียงตัวเดียวไม่เพียงพอที่จะสร้างเส้นตรง เวกเตอร์นั้นเป็นอิสระ และไม่ได้เชื่อมโยงกับจุดใดๆ บนระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้จุดที่เป็นของเส้นเพิ่มเติมด้วย
จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางได้อย่างไร?
หากทราบจุดใดจุดหนึ่งที่เป็นของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:
บางครั้งก็เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง .
จะทำอย่างไรเมื่อ พิกัดใดพิกัดหนึ่งเท่ากับศูนย์ เราจะเข้าใจในตัวอย่างการใช้งานด้านล่าง อย่างไรก็ตามโปรดทราบ - ทั้งสองอย่างพร้อมกันพิกัดไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ระบุทิศทางเฉพาะ
ตัวอย่างที่ 3
เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง
สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า ในกรณีนี้:
การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนทำให้เรากำจัดเศษส่วนได้:
และเรานำสมการมาสู่ ลักษณะทั่วไป:
คำตอบ:
ตามกฎแล้วไม่จำเป็นต้องวาดรูปในตัวอย่างนี้ แต่เพื่อความเข้าใจ:
ในภาพวาด เราเห็นจุดเริ่มต้น เวกเตอร์ทิศทางดั้งเดิม (สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้บนระนาบ) และเส้นตรงที่สร้างขึ้น อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การสร้างเส้นตรงจะสะดวกที่สุดโดยใช้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม การแปลงสมการของเราให้อยู่ในรูปแบบเป็นเรื่องง่าย และเลือกจุดอื่นเพื่อสร้างเส้นตรงได้อย่างง่ายดาย
ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้นของย่อหน้า เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางจำนวนอนันต์ และทั้งหมดเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ฉันวาดเวกเตอร์ดังกล่าวสามตัว: . ไม่ว่าเราจะเลือกเวกเตอร์ทิศทางใดก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็นสมการเส้นตรงเดียวกันเสมอ
เรามาสร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกันดีกว่า:
การหาสัดส่วน:
หารทั้งสองข้างด้วย –2 แล้วได้สมการที่คุ้นเคย:
ผู้ที่สนใจสามารถทดสอบเวกเตอร์ได้ในลักษณะเดียวกัน หรือเวกเตอร์คอลลิเนียร์อื่นๆ
ทีนี้มาแก้ปัญหาผกผันกัน:
จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?
ง่ายมาก:
หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้
ตัวอย่างการค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ข้อความนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาเวกเตอร์ทิศทางเดียวจากจำนวนอนันต์ แต่เราไม่ต้องการมากกว่านี้ แม้ว่าในบางกรณีจะแนะนำให้ลดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:
ดังนั้น สมการจะระบุเส้นตรงที่ขนานกับแกน และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางผลลัพธ์จะถูกหารอย่างสะดวกด้วย –2 จะได้เวกเตอร์พื้นฐานเป็นเวกเตอร์ทิศทางอย่างแน่นอน ตรรกะ
ในทำนองเดียวกัน สมการระบุเส้นตรงที่ขนานกับแกน และโดยการหารพิกัดของเวกเตอร์ด้วย 5 เราจะได้เวกเตอร์หน่วยเป็นเวกเตอร์ทิศทาง
ตอนนี้เรามาทำกัน ตรวจสอบตัวอย่างที่ 3. ตัวอย่างขึ้นไป ฉันขอเตือนคุณว่าในนั้นเราได้รวบรวมสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง
ประการแรกโดยใช้สมการของเส้นตรง เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางขึ้นมาใหม่: – ทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้รับเวกเตอร์ดั้งเดิมแล้ว (ในบางกรณี ผลลัพธ์อาจเป็นเวกเตอร์โคลิเนียร์กับเวกเตอร์ดั้งเดิม และมักจะสังเกตได้ง่ายจากสัดส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกัน)
ประการที่สองพิกัดของจุดจะต้องเป็นไปตามสมการ เราแทนที่พวกมันลงในสมการ:
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งเรายินดีเป็นอย่างยิ่ง
บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 4
เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน ขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบโดยใช้อัลกอริทึมที่เพิ่งกล่าวถึง พยายามตรวจสอบฉบับร่างเสมอ (ถ้าเป็นไปได้) การทำผิดพลาดที่สามารถหลีกเลี่ยงได้ 100% เป็นเรื่องโง่
ในกรณีที่พิกัดหนึ่งของเวกเตอร์ทิศทางเป็นศูนย์ ให้ดำเนินการง่ายๆ ดังนี้:
ตัวอย่างที่ 5
สารละลาย: สูตรนี้ไม่เหมาะสมเนื่องจากตัวส่วนทางด้านขวาเป็นศูนย์ มีทางออก! ใช้คุณสมบัติของสัดส่วนเราเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบและส่วนที่เหลือกลิ้งไปตามร่องลึก:
คำตอบ:
การตรวจสอบ:
1) คืนค่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:
– เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ทิศทางเดิม
2) แทนพิกัดของจุดลงในสมการ:
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง
คำถามเกิดขึ้น ทำไมต้องกังวลกับสูตรหากมีเวอร์ชันสากลที่จะใช้งานได้ในกรณีใด? มีสองเหตุผล อย่างแรก สูตรจะอยู่ในรูปของเศษส่วน จำได้ดีขึ้นมาก. และประการที่สอง ข้อเสียของสูตรสากลก็คือ ความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสนเพิ่มขึ้นอย่างมากเมื่อทำการแทนพิกัด
ตัวอย่างที่ 6
เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง
กลับมาที่ประเด็นสองประเด็นที่แพร่หลาย:
จะเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุดได้อย่างไร?
หากทราบจุดสองจุด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:
อันที่จริง นี่เป็นสูตรประเภทหนึ่งและนี่คือสาเหตุ: หากทราบจุดสองจุด เวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด ในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเราพิจารณาแล้ว งานที่ง่ายที่สุด– วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จากจุดสองจุด จากปัญหานี้ พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางคือ:
บันทึก : คะแนนสามารถ “สลับ” ได้ และสามารถใช้สูตรได้ . วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะเทียบเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 7
เขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุด .
สารละลาย: เราใช้สูตร:
การรวมตัวส่วน:
และสับไพ่:
ถึงเวลากำจัดเศษส่วนแล้ว ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งสองข้างด้วย 6:
เปิดวงเล็บแล้วนึกถึงสมการ:
คำตอบ:
การตรวจสอบชัดเจน - พิกัดของจุดเริ่มต้นจะต้องเป็นไปตามสมการผลลัพธ์:
1) แทนที่พิกัดของจุด:
ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
2) แทนที่พิกัดของจุด:
ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
บทสรุป: เขียนสมการเส้นตรงถูกต้อง
ถ้า อย่างน้อยหนึ่งของคะแนนไม่เป็นไปตามสมการ ให้มองหาข้อผิดพลาด
เป็นที่น่าสังเกตว่าการตรวจสอบแบบกราฟิกในกรณีนี้เป็นเรื่องยาก เนื่องจากสร้างเส้นตรงและดูว่าจุดนั้นเป็นของมันหรือไม่ ไม่ง่ายเลย
ฉันจะกล่าวถึงแง่มุมทางเทคนิคเพิ่มเติมอีกสองสามประการของโซลูชัน บางทีในปัญหานี้การใช้สูตรมิเรอร์จะทำกำไรได้มากกว่า และในจุดเดียวกัน สร้างสมการ:
เศษส่วนน้อยลง หากต้องการ คุณสามารถแก้โจทย์จนจบได้ ผลลัพธ์ควรเป็นสมการเดียวกัน
ประเด็นที่สองคือการดูคำตอบสุดท้ายแล้วดูว่าจะทำให้ง่ายขึ้นอีกหรือไม่ ตัวอย่างเช่น หากคุณได้สมการ ขอแนะนำให้ลดมันลงสอง: – สมการจะกำหนดเส้นตรงเส้นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อสนทนาอยู่แล้ว ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น.
หลังจากได้รับคำตอบแล้ว ในกรณีที่ 7 ในกรณีนี้ ฉันตรวจสอบว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการหารด้วย 2, 3 หรือ 7 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าการลดลงดังกล่าวมักเกิดขึ้นระหว่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 8
เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ .
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจและฝึกฝนเทคนิคการคำนวณได้ดีขึ้น
คล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า: ถ้าอยู่ในสูตร ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่ง (พิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง) กลายเป็นศูนย์ จากนั้นเราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบ . สังเกตอีกครั้งว่าเธอดูอึดอัดและสับสนแค่ไหน ฉันไม่เห็นประโยชน์มากนักในการยกตัวอย่างเชิงปฏิบัติ เนื่องจากเราได้แก้ไขปัญหานี้แล้ว (ดูข้อ 5, 6)
เวกเตอร์ปกติโดยตรง (เวกเตอร์ปกติ)
อะไรเป็นเรื่องปกติ? ด้วยคำพูดง่ายๆ, ปกติจะตั้งฉาก นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด แน่นอนว่า เส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง) และเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ก็ไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง)
การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าการใช้เวกเตอร์นำทาง:
ถ้าเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้
หากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางต้องถูก "ดึงออก" ออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้ง่ายๆ
เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ ให้เราตรวจสอบความตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ ผลิตภัณฑ์ดอท:
ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:
เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสมการของเส้นตรงโดยให้จุดหนึ่งจุดกับเวกเตอร์ปกติ? ฉันรู้สึกได้ถึงลำไส้ของฉัน มันเป็นไปได้ หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงก็จะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน - นี่คือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา
จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยให้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?
หากทราบจุดหนึ่งของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:
ที่นี่ทุกอย่างได้ผลโดยไม่มีเศษส่วนและความประหลาดใจอื่น ๆ นี่คือเวกเตอร์ปกติของเรา รักเขา. และด้วยความเคารพ =)
ตัวอย่างที่ 9
เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
สารละลาย: เราใช้สูตร:
เราได้สมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว มาตรวจสอบกัน:
1) “ลบ” พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: – ใช่ จริงๆ แล้วเวกเตอร์ดั้งเดิมได้มาจากเงื่อนไข (หรือควรได้รับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)
2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการหรือไม่:
ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการนั้นประกอบขึ้นอย่างถูกต้องแล้ว เราจะทำสมการที่สองต่อไป ส่วนที่ง่ายงาน เรานำเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:
คำตอบ:
ในรูปวาดสถานการณ์จะเป็นดังนี้:
เพื่อวัตถุประสงค์ในการฝึกอบรม งานที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:
ตัวอย่างที่ 10
เขียนสมการเส้นตรงจากจุดและ เวกเตอร์ปกติ. หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะเน้นไปที่สมการเส้นบนระนาบที่พบได้น้อยกว่า แต่ยังรวมถึงสมการประเภทเส้นบนเครื่องบินที่สำคัญด้วย
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ เช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากเทอมอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการที่อยู่ทางด้านขวา)
หากพูดในเชิงเปรียบเทียบแล้ว นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" งานทั่วไปคือการแสดงสมการทั่วไปของเส้นเป็นสมการของเส้นในส่วนต่างๆ สะดวกยังไง? สมการของเส้นตรงในส่วนช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งอาจมีความสำคัญมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูงบางข้อ
ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกัน เรารีเซ็ต "y" ให้เป็นศูนย์ และสมการจะอยู่ในรูปแบบ . ได้รับจุดที่ต้องการโดยอัตโนมัติ: .
เช่นเดียวกับแกน – จุดที่เส้นตรงตัดกับแกนพิกัด