ความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร พื้นฐานของความสมดุลของเกม: การสุ่มและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ

เนื่องจากหมวดหมู่ ontological สะท้อนให้เห็นถึงการวัดความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้นของหน่วยงานใด ๆ ในเงื่อนไขใด ๆ ตรงกันข้ามกับการตีความทางคณิตศาสตร์และตรรกะของแนวคิดนี้ ภววิทยา V. ไม่ได้เชื่อมโยงตัวเองกับความจำเป็นของการแสดงออกเชิงปริมาณ คุณค่าของ V. ถูกเปิดเผยในบริบทของการทำความเข้าใจการกำหนดระดับและธรรมชาติของการพัฒนาโดยทั่วไป

คำจำกัดความที่ดี

คำจำกัดความไม่สมบูรณ์ ↓

ความน่าจะเป็น

แนวคิดที่กำหนดลักษณะปริมาณ การวัดความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของเหตุการณ์บางอย่าง ณ ช่วงเวลาหนึ่ง เงื่อนไข. ในทางวิทยาศาสตร์ ความรู้มีการตีความ V สามแบบ แนวคิดคลาสสิกของ V. ซึ่งเกิดขึ้นจากคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ การพนันและได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่โดย B. Pascal, J. Bernoulli และ P. Laplace ถือว่า V. เป็นอัตราส่วนของจำนวนคดีที่เอื้ออำนวยต่อ จำนวนทั้งหมดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ไอริขว้างปา ลูกเต๋าซึ่งมี 6 ใบหน้า การสูญเสียของแต่ละคนสามารถคาดหวังได้ด้วย V. เท่ากับ 1/6 เนื่องจากไม่มีใบหน้าใดมีข้อได้เปรียบเหนืออีกหน้าหนึ่ง ความสมมาตรของผลลัพธ์ของประสบการณ์นั้นถูกนำมาพิจารณาเป็นพิเศษเมื่อจัดเกม แต่ค่อนข้างหายากในการศึกษาเหตุการณ์ตามวัตถุประสงค์ในด้านวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ คลาสสิค การตีความของ V. ทำให้เกิดทางสถิติ แนวคิดของ V. ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญที่ถูกต้อง การสังเกตการปรากฏตัวของเหตุการณ์บางอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง ประสบการณ์ภายใต้เงื่อนไขที่แน่ชัด การปฏิบัติเป็นการยืนยันว่ายิ่งมีเหตุการณ์เกิดขึ้นบ่อยเท่าใด ระดับของความเป็นไปได้ที่เป็นจริงของเหตุการณ์นั้นก็จะยิ่งมากขึ้น หรือ V. ดังนั้น สถิติ การตีความของ V. ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความเกี่ยวข้อง ความถี่สามารถกำหนดการตัดได้เชิงประจักษ์ ก. ตามทฤษฎี. แนวคิดนี้ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกันกับความถี่ที่กำหนดโดยการทดลอง อย่างไรก็ตาม ในหลาย ๆ ด้าน กรณีมีความแตกต่างเพียงเล็กน้อยจากญาติ ความถี่ที่พบเป็นผลมาจากระยะเวลา การสังเกต นักสถิติหลายคนถือว่า V. เป็น "สองเท่า" ที่อ้างถึง ความถี่ขอบถูกกำหนดโดยสถิติ การศึกษาผลการสังเกต

หรือการทดลอง คำจำกัดความของ V. มีความสมจริงน้อยกว่าเมื่อพิจารณาถึงขีดจำกัด ความถี่ของเหตุการณ์หรือกลุ่มที่เสนอโดย R. Mises เนื่องจาก พัฒนาต่อไปแนวทางความถี่สำหรับ V. นำเสนอการตีความหรือความโน้มเอียงของ V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl) ตามการตีความนี้ V. กำหนดลักษณะคุณสมบัติของการสร้างเงื่อนไขเช่น การทดลอง. การติดตั้ง เพื่อให้ได้ลำดับเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่ เป็นเจตคติที่ก่อให้เกิดกายภาพ จำหน่ายหรือจูงใจ V. to-rykh สามารถตรวจสอบได้โดยวิธีญาติ ความถี่

สถิติ การตีความของ V. ครอบงำวิทยาศาสตร์ ความรู้เพราะมันสะท้อนถึงความเฉพาะเจาะจง ธรรมชาติของรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์มวลของธรรมชาติแบบสุ่ม ในด้านกายภาพ ชีวภาพ เศรษฐกิจ ประชากรศาสตร์ และกระบวนการทางสังคมอื่น ๆ จำเป็นต้องคำนึงถึงการกระทำของปัจจัยสุ่มหลายอย่าง to-rye นั้นมีความถี่คงที่ การระบุความถี่และปริมาณที่เสถียรนี้ การประเมินด้วยความช่วยเหลือของ V. ทำให้สามารถเปิดเผยความจำเป็นซึ่งทำให้ผ่านการดำเนินการสะสมของอุบัติเหตุมากมาย นี่คือจุดที่วิภาษวิธีของการเปลี่ยนแปลงโอกาสเป็นความจำเป็นพบการสำแดงของมัน (ดู F. Engels ในหนังสือ: K. Marx and F. Engels, Soch., vol. 20, pp. 535-36)

การให้เหตุผลเชิงตรรกะหรือแบบอุปนัยเป็นตัวกำหนดลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างสถานที่และข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบไม่แสดงออก และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้เหตุผลเชิงอุปนัย สถานที่ของการชักนำไม่รับประกันความจริงของข้อสรุปซึ่งแตกต่างจากการหักเงิน แต่ทำให้เป็นไปได้มากหรือน้อยเท่านั้น ความน่าเชื่อถือนี้ กับสถานที่ที่กำหนดอย่างแม่นยำ บางครั้งสามารถประมาณด้วยความช่วยเหลือของ V. มูลค่าของ V. นี้มักจะถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบ แนวความคิด (มากกว่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ) และบางครั้งก็เป็นตัวเลข ตรรกะ การตีความมักใช้ในการวิเคราะห์เหตุผลเชิงอุปนัยและสร้างระบบต่างๆ ของตรรกะความน่าจะเป็น (R. Carnap, R. Jeffrey) ในความหมาย แนวคิดเชิงตรรกะ V. มักถูกกำหนดให้เป็นระดับของการยืนยันคำสั่งหนึ่งโดยผู้อื่น (ตัวอย่างเช่น สมมติฐานของข้อมูลเชิงประจักษ์)

ในการเชื่อมต่อกับการพัฒนาทฤษฎีการตัดสินใจและเกมที่เรียกว่า การตีความส่วนบุคคลของ V. แม้ว่า V. ในกรณีนี้จะเป็นการแสดงออกถึงระดับของความเชื่อของเรื่องและการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่าง V. จะต้องเลือกตัวเองในลักษณะที่สัจพจน์ของการคำนวณ V. เป็นที่พอใจ ดังนั้น , V. ด้วยการตีความดังกล่าวไม่ได้แสดงถึงระดับของอัตนัยมากนัก แต่ค่อนข้างเป็นความเชื่อที่สมเหตุสมผล ดังนั้นการตัดสินใจบนพื้นฐานของ V. ดังกล่าวจะมีเหตุผลเพราะไม่คำนึงถึงจิตวิทยา ลักษณะและความโน้มเอียงของเรื่อง

จากญาณวิทยา ที sp. ความแตกต่างระหว่างสถิติ., ตรรกะ. และการตีความส่วนบุคคลของ V. อยู่ในความจริงที่ว่าหากคุณสมบัติแรกระบุคุณสมบัติวัตถุประสงค์และความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์มวลของธรรมชาติแบบสุ่มจากนั้นสองคนสุดท้ายจะวิเคราะห์คุณสมบัติของอัตนัยผู้รู้ กิจกรรมของมนุษย์ภายใต้เงื่อนไขของความไม่แน่นอน

ความน่าจะเป็น

หนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุดวิทยาศาสตร์ กำหนดลักษณะพิเศษของระบบการมองเห็นของโลก โครงสร้าง วิวัฒนาการ และความรู้ความเข้าใจ ความเฉพาะเจาะจงของทัศนะความน่าจะเป็นของโลกปรากฏผ่านการรวมในจำนวน แนวคิดพื้นฐานการมีอยู่ของแนวคิดของการสุ่ม ความเป็นอิสระ และลำดับชั้น (แนวคิดของระดับในโครงสร้างและการกำหนดระบบ)

แนวคิดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณและเกี่ยวข้องกับลักษณะของความรู้ของเรา ในขณะที่ความรู้ความน่าจะเป็นนั้นเป็นที่ยอมรับ ซึ่งแตกต่างจากความรู้ที่เชื่อถือได้และไม่เป็นความจริง ผลกระทบของความคิดของความน่าจะเป็นต่อ ความคิดทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับการพัฒนาความรู้ที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ ต้นกำเนิดของหลักคำสอนทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นมีขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 เมื่อการพัฒนาแกนกลางของแนวคิดที่เอื้ออำนวย ลักษณะเชิงปริมาณ (ตัวเลข) และการแสดงความคิดที่น่าจะเป็น

การประยุกต์ใช้ความน่าจะเป็นอย่างเข้มข้นในการพัฒนาความรู้อยู่ที่ชั้น 2 ชั้น 19- ชั้น 1 ศตวรรษที่ 20 ความน่าจะเป็นได้เข้าสู่โครงสร้างของวิทยาศาสตร์พื้นฐานของธรรมชาติ เช่น ฟิสิกส์สถิติคลาสสิก พันธุศาสตร์ ทฤษฎีควอนตัม ไซเบอร์เนติกส์ (ทฤษฎีสารสนเทศ) ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงเป็นตัวกำหนดขั้นตอนในการพัฒนาวิทยาศาสตร์ ซึ่งขณะนี้ถูกกำหนดให้เป็นวิทยาศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก เพื่อเปิดเผยความแปลกใหม่ คุณลักษณะของวิธีคิดที่น่าจะเป็นไปได้ จำเป็นต้องดำเนินการต่อไปจากการวิเคราะห์หัวข้อของทฤษฎีความน่าจะเป็นและพื้นฐานของการประยุกต์ใช้มากมาย ทฤษฎีความน่าจะเป็นมักจะถูกกำหนดให้เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษากฎของปรากฏการณ์สุ่มมวลภายใต้เงื่อนไขบางประการ ความสุ่มหมายความว่าภายในกรอบของลักษณะมวล การมีอยู่ของปรากฏการณ์พื้นฐานแต่ละอย่างไม่ได้ขึ้นอยู่กับและไม่ได้ถูกกำหนดโดยการมีอยู่ของปรากฏการณ์อื่น ในเวลาเดียวกัน ลักษณะมวลมากของปรากฏการณ์ก็มีโครงสร้างที่มั่นคง มีระเบียบบางอย่าง ปรากฏการณ์มวลถูกแบ่งออกเป็นระบบย่อยอย่างเข้มงวด และจำนวนสัมพัทธ์ของปรากฏการณ์พื้นฐานในแต่ละระบบย่อย (ความถี่สัมพัทธ์) มีความเสถียรมาก ความเสถียรนี้ถูกเปรียบเทียบกับความน่าจะเป็น ปรากฏการณ์มวลโดยรวมมีลักษณะเฉพาะโดยการกระจายความน่าจะเป็น กล่าวคือ การกำหนดระบบย่อยและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือภาษาของการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนั้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงถูกกำหนดให้เป็นวิทยาศาสตร์เชิงนามธรรมของการปฏิบัติการด้วยการแจกแจง

ความน่าจะเป็นก่อให้เกิดแนวคิดทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับความสม่ำเสมอทางสถิติและระบบทางสถิติ สาระสำคัญล่าสุดระบบที่เกิดขึ้นจากเอนทิตีอิสระหรือกึ่งอิสระ โครงสร้างของพวกเขามีลักษณะเฉพาะโดยการแจกแจงความน่าจะเป็น แต่เป็นไปได้อย่างไรที่จะสร้างระบบจากหน่วยงานอิสระ? โดยปกติสันนิษฐานว่าเพื่อสร้างระบบที่มีลักษณะเฉพาะ จำเป็นต้องมีพันธะที่เสถียรเพียงพอระหว่างองค์ประกอบที่ประสานระบบ ความเสถียรของระบบสถิติกำหนดจากการมีอยู่ของสภาวะภายนอก สภาพแวดล้อมภายนอก ภายนอก และไม่ใช่ กองกำลังภายใน. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นมักจะขึ้นอยู่กับการกำหนดเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของการเริ่มต้น ปรากฏการณ์มวล. แนวคิดสำคัญอีกประการหนึ่งที่แสดงถึงกระบวนทัศน์ความน่าจะเป็นคือแนวคิดเกี่ยวกับลำดับชั้น (การอยู่ใต้บังคับบัญชา) แนวคิดนี้เป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะขององค์ประกอบแต่ละอย่างและคุณลักษณะเชิงปริพันธ์ของระบบ: อย่างหลัง อย่างที่มันเป็น ถูกสร้างขึ้นจากอดีต

ความสำคัญของวิธีความน่าจะเป็นในการรับรู้อยู่ในข้อเท็จจริงที่ทำให้พวกเขาสำรวจและแสดงรูปแบบของโครงสร้างและพฤติกรรมของวัตถุและระบบในทางทฤษฎีที่มีโครงสร้างแบบ "สองระดับ" ตามลำดับชั้น

การวิเคราะห์ธรรมชาติของความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับความถี่ การตีความทางสถิติ อย่างไรก็ตาม มาก เวลานานในทางวิทยาศาสตร์ ความเข้าใจในความน่าจะเป็นถูกครอบงำ ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นเชิงตรรกะ หรืออุปนัย ความน่าจะเป็นเชิงตรรกะมีความสนใจในคำถามเกี่ยวกับความถูกต้องของการตัดสินแยกจากกันภายใต้เงื่อนไขบางประการ เป็นไปได้ไหมที่จะประเมินระดับของการยืนยัน (ความน่าเชื่อถือ ความจริง) ของข้อสรุปเชิงอุปนัย (ข้อสรุปเชิงสมมุติฐาน) ในรูปแบบเชิงปริมาณ? ในระหว่างการก่อตัวของทฤษฎีความน่าจะเป็นคำถามดังกล่าวถูกกล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำอีกและพวกเขาก็เริ่มพูดคุยเกี่ยวกับระดับของการยืนยันข้อสรุปเชิงสมมุติฐาน การวัดความน่าจะเป็นนี้กำหนดโดยค่าที่มีอยู่ คนนี้ข้อมูล ประสบการณ์ มุมมองต่อโลก และแนวความคิดทางจิตวิทยา ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด ขนาดของความน่าจะเป็นไม่คล้อยตามการวัดที่เข้มงวด และในทางปฏิบัติอยู่นอกเหนือความสามารถของทฤษฎีความน่าจะเป็นว่าเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน

วัตถุประสงค์ การตีความความถี่ของความน่าจะเป็นถูกจัดตั้งขึ้นในทางวิทยาศาสตร์ด้วยความยากลำบากมาก ในขั้นต้น การเข้าใจธรรมชาติของความน่าจะเป็นได้รับอิทธิพลอย่างมากจากมุมมองทางปรัชญาและระเบียบวิธีซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของ วิทยาศาสตร์คลาสสิก. ในอดีต การก่อตัวของวิธีความน่าจะเป็นในวิชาฟิสิกส์เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลชี้ขาดของแนวคิดของกลศาสตร์: ระบบทางสถิติได้รับการปฏิบัติเหมือนเป็นระบบทางกล เนื่องจากปัญหาที่เกี่ยวข้องไม่ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีการอันเข้มงวดของกลไก จึงมีข้อความว่าการอุทธรณ์ไปยังวิธีความน่าจะเป็นและความสม่ำเสมอทางสถิติเป็นผลมาจากความไม่สมบูรณ์ของความรู้ของเรา ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาฟิสิกส์สถิติคลาสสิก มีการพยายามหลายครั้งเพื่อยืนยันโดยอาศัยกลศาสตร์คลาสสิก แต่ก็ล้มเหลวทั้งหมด พื้นฐานของความน่าจะเป็นคือการแสดงคุณลักษณะของโครงสร้างของระบบบางประเภท นอกเหนือจากระบบกลไก: สถานะขององค์ประกอบของระบบเหล่านี้มีลักษณะที่ไม่เสถียรและลักษณะพิเศษ (ไม่ลดสำหรับกลไก) ของการโต้ตอบ .

การเข้าสู่ความน่าจะเป็นในการรับรู้นำไปสู่การปฏิเสธแนวคิดของการกำหนดที่เข้มงวด ไปสู่การปฏิเสธแบบจำลองพื้นฐานของการเป็นอยู่และการรับรู้ที่พัฒนาขึ้นในกระบวนการของการก่อตัวของวิทยาศาสตร์คลาสสิก โมเดลพื้นฐานที่แสดงโดยทฤษฎีทางสถิติมีความแตกต่างกัน มากกว่า ลักษณะทั่วไป: รวมแนวคิดเรื่องความบังเอิญและความเป็นอิสระ แนวคิดของความน่าจะเป็นนั้นเชื่อมโยงกับการเปิดเผยพลวัตภายในของวัตถุและระบบซึ่งไม่สามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์โดยเงื่อนไขและสถานการณ์ภายนอก

แนวความคิดเกี่ยวกับวิสัยทัศน์ที่น่าจะเป็นไปได้ของโลก บนพื้นฐานของการสรุปแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นอิสระ (เช่นเคย กระบวนทัศน์ของความมุ่งมั่นอย่างเข้มงวด) ได้เปิดเผยข้อจำกัด ซึ่งส่งผลกระทบอย่างรุนแรงที่สุดต่อการเปลี่ยนแปลง วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ถึง วิธีการวิเคราะห์การศึกษาระบบที่ซับซ้อนและพื้นฐานทางกายภาพและคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์การจัดระเบียบตนเอง

คำจำกัดความที่ดี

คำจำกัดความไม่สมบูรณ์ ↓

คุณต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่ อัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์กับความสำเร็จของการเดิมพันของคุณ? แล้วมีสองสำหรับคุณ ข่าวดี. ขั้นแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้จ่าย จำนวนมากของเวลา. พอที่จะใช้ประโยชน์ สูตรง่ายๆซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงานด้วย ประการที่สอง หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณจะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะผ่านการซื้อขายของคุณได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาแจ้งอย่างถูกต้องคุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

• คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง
• คำนวณความน่าจะเป็นจากข้อมูลสถิติด้วยตัวเอง
• ค้นหามูลค่าของการเดิมพันจากความน่าจะเป็นทั้งสอง

ให้เราพิจารณารายละเอียดแต่ละขั้นตอนโดยใช้สูตรไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวอย่างด้วย

ทางด่วน

การคำนวณความน่าจะเป็นที่ฝังอยู่ในอัตราเดิมพัน

ขั้นตอนแรกคือการค้นหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสของผลลัพธ์เฉพาะ ท้ายที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่เดิมพันอัตราต่อรองเช่นนั้น สำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตรต่อไปนี้:

พีบี=(1/K)*100%,

โดยที่ PB คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานเจ้ามือรับแทง

K - อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าโอกาสชนะของอาร์เซนอลในลอนดอนในการดวลกับบาเยิร์นคือ 4 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของชัยชนะโดย BC ถือเป็น (1/4) * 100% = 25% หรือยอโควิชกำลังเล่นกับเซาท์ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของโนวัคคือ 1.2 โอกาสของเขาเท่ากับ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จสำหรับผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

จุดที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจ เสียงของเกม เราจะใช้แบบจำลองที่ง่ายขึ้นและใช้เฉพาะสถิติของการประชุมครั้งก่อนเท่านั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:

พีและ\u003d (อืม / M) * 100%,

ที่ไหนพีและ- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น

UM - จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M คือจำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มาดูตัวอย่างกัน Andy Murray และ Rafael Nadal ลงเล่นไปแล้ว 14 นัด ในจำนวนทั้งหมด 6 เกม มีการบันทึกรวมทั้งหมดต่ำกว่า 21 เกมใน 8 เกม - รวมเป็นมากกว่า จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเล่นในนัดถัดไปรวมยอด: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดที่เมสตัลลากับอัตเลติโก โดยพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราทุกคนรู้เรื่องนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้านี้เท่านั้น! โดยปกติ ความน่าจะเป็นดังกล่าวไม่สามารถคำนวณได้สำหรับทีมหรือผู้เล่นใหม่ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่คู่ต่อสู้ไม่ได้พบกันเป็นครั้งแรกเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดการเดิมพันและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดเพื่อไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและการผ่านบอลสัมพันธ์โดยตรง: ยิ่งการประเมินมูลค่าสูง โอกาสผ่านก็จะสูงขึ้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=พีและ*K-100%,

โดยที่ V คือค่า

PI - ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามที่ดีกว่า

K - อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันมิลานเพื่อชนะการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ทีมหงส์แดงจะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนอค่าสัมประสิทธิ์ 2.5 ให้เราสำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5% เยี่ยมมาก เรามีเดิมพันที่มีค่าพร้อมโอกาสจ่ายบอลที่ดี

เอาอีกกรณีหนึ่ง Maria Sharapova เล่นกับ Petra Kvitova เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้ Maria ชนะ ซึ่งตามการคำนวณของเรา มีความน่าจะเป็น 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ กำหนดมูลค่า: V=60%*1.5-100=-10%. อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรงดเว้น

ทุกสิ่งในโลกเกิดขึ้นโดยกำหนดหรือสุ่ม ...
อริสโตเติล

ความน่าจะเป็น: กฎพื้นฐาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ พื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิดของเหตุการณ์สุ่ม

ตัวอย่างเช่น คุณโยนเหรียญ มันจะตกลงบนเสื้อคลุมแขนหรือหางแบบสุ่ม คุณไม่รู้ล่วงหน้าว่าเหรียญจะลงฝั่งไหน คุณทำสัญญาประกันภัยโดยไม่ทราบล่วงหน้าว่าจะชำระเงินหรือไม่

ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประกันภัย ต้องสามารถประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ได้ ดังนั้นทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงมีบทบาทสำคัญ ไม่มีสาขาใดของคณิตศาสตร์ที่สามารถจัดการกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้

มาดูการโยนเหรียญกันดีกว่า มีผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน 2 อย่าง: เสื้อคลุมแขนหรือก้อย ผลของการโยนเป็นแบบสุ่ม เนื่องจากผู้สังเกตไม่สามารถวิเคราะห์และคำนึงถึงปัจจัยทั้งหมดที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นของเสื้อคลุมแขนคืออะไร? ส่วนใหญ่จะตอบ ½ แต่ทำไม?

ให้เป็นทางการ แต่แสดงถึงการสูญเสียตราแผ่นดิน ให้เหรียญโยน นครั้งหนึ่ง. แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่สามารถกำหนดเป็นสัดส่วนของม้วนเหล่านั้นที่ส่งผลให้แขนเสื้อ:

ที่ไหน นจำนวนการโยนทั้งหมด ไม่มี(A)จำนวนแขนเสื้อ

ความสัมพันธ์ (1) เรียกว่า ความถี่พัฒนาการ แต่ในการทดสอบชุดยาว

ปรากฎว่าในชุดต่าง ๆ ของการทดสอบความถี่ที่สอดคล้องกันที่ขนาดใหญ่ นกระจุกรอบค่าคงที่บางค่า พี(เอ). ค่านี้เรียกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่และมีเครื่องหมาย R- ย่อจาก คำภาษาอังกฤษ ความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น.

อย่างเป็นทางการเรามี:

(2)

กฎหมายนี้เรียกว่า กฎของตัวเลขจำนวนมาก

หากเหรียญถูกต้อง (สมมาตร) ความน่าจะเป็นที่จะได้เสื้อคลุมแขนจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยและเท่ากับ ½

อนุญาต แต่และ ที่เหตุการณ์บางอย่าง เช่น ไม่ว่าเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม การรวมกันของสองเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการดำเนินการของเหตุการณ์ แต่, พัฒนาการ ที่หรือทั้งสองเหตุการณ์ร่วมกัน จุดตัดของสองเหตุการณ์ แต่และ ที่เรียกว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการดำเนินการเป็นเหตุการณ์ แต่, และกิจกรรมต่างๆ ที่.

กฎพื้นฐานความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีดังนี้:

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง:

2. ให้ A และ B เป็นสองเหตุการณ์ จากนั้น:

มันอ่านดังนี้:ความน่าจะเป็นที่จะรวมสองเหตุการณ์เข้าด้วยกัน เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ลบด้วยความน่าจะเป็นของจุดตัดของเหตุการณ์ หากเหตุการณ์ไม่เข้ากันหรือไม่ทับซ้อนกัน ความน่าจะเป็นที่จะรวม (ผลรวมของ) สองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น กฎหมายนี้เรียกว่ากฎหมาย เพิ่มเติม ความน่าจะเป็น.

เราว่าเหตุการณ์นั้นแน่นอนถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 เมื่อวิเคราะห์ปรากฏการณ์บางอย่าง คำถามก็เกิดขึ้นว่าเหตุการณ์นั้นส่งผลกระทบอย่างไร ที่สำหรับงาน แต่. สำหรับสิ่งนี้ ให้ป้อน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข :

(4)

มันอ่านดังนี้:ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น แต่บนเงื่อนไข ที่เท่ากับความน่าจะเป็นของการข้าม แต่และ ที่หารด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่.
สูตร (4) ถือว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่สูงกว่าศูนย์

สูตร (4) สามารถเขียนได้ดังนี้:

(5)

นี่คือสูตร การคูณความน่าจะเป็น

หรือที่เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข หลัง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่- ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น แต่หลังจากเริ่มมีอาการ ที่.

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นจะเรียกว่า ลำดับความสำคัญ ความน่าจะเป็น มีสูตรสำคัญอื่นๆ อีกหลายสูตรที่ใช้กันมากในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประกันภัย

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

สมมุติว่ากำลังดำเนินการทดลอง ซึ่งเงื่อนไขนั้นสามารถทำได้ล่วงหน้า ซึ่งกันและกันสมมติฐานที่ไม่เกิดร่วมกัน (สมมติฐาน):

เราคิดว่าสมมติฐานเกิดขึ้นหรือ ... หรือ ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้เป็นที่รู้จักและเท่ากัน:

จากนั้นสูตรจะถือ เสร็จสิ้นความน่าจะเป็น :

(6)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น แต่สำหรับแต่ละสมมติฐานเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของสมมติฐานนี้

สูตรเบย์

สูตรเบย์ ให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของสมมติฐานใหม่ในแง่ของ ข้อมูลใหม่ซึ่งทำให้ได้ผล แต่.

สูตรเบย์ใน ในแง่หนึ่งคือค่าผกผันของสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

พิจารณาปัญหาในทางปฏิบัติต่อไปนี้

งาน 1

สมมติว่าเครื่องบินตกและผู้เชี่ยวชาญกำลังยุ่งอยู่กับการตรวจสอบสาเหตุของเครื่องบิน สาเหตุสี่ประการที่ทราบล่วงหน้าสำหรับภัยพิบัติเกิดขึ้น: สาเหตุหรือหรือหรือหรือ ตามสถิติที่มีอยู่ เหตุผลเหล่านี้มีความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

เมื่อตรวจสอบสถานที่เกิดเหตุพบร่องรอยการจุดระเบิดของเชื้อเพลิงตามสถิติความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ด้วยเหตุผลอย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่นมีดังนี้:

คำถาม สาเหตุที่เป็นไปได้มากที่สุดของภัยพิบัติคืออะไร?

คำนวณความน่าจะเป็นของสาเหตุภายใต้เงื่อนไขของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่.

นี่แสดงว่าเหตุผลแรกเป็นไปได้มากที่สุด เนื่องจากความน่าจะเป็นสูงสุด

งาน2

พิจารณาการลงจอดของเครื่องบินที่สนามบิน

เมื่อลงจอด สภาพอากาศอาจเป็นดังนี้: ไม่มีเมฆปกคลุมต่ำ () มีเมฆปกคลุมต่ำ () ในกรณีแรก ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จคือ P1. ในกรณีที่สอง - R2. เป็นที่ชัดเจนว่า P1>P2.

อุปกรณ์ที่ให้การลงจอดแบบตาบอดมีความเป็นไปได้ที่จะใช้งานได้โดยไม่มีปัญหา R. หากมีเมฆปกคลุมต่ำและเครื่องมือลงจอดแบบตาบอดล้มเหลว ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดสำเร็จคือ P3, และ P3<Р2 . เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับสนามบินที่กำหนด เศษของวันในหนึ่งปีที่มีเมฆปกคลุมต่ำจะเท่ากับ

หาความน่าจะเป็นของการลงจอดอย่างปลอดภัยของเครื่องบิน

เราต้องหาความน่าจะเป็น

มีสองตัวเลือกที่ไม่เกิดร่วมกัน: อุปกรณ์เชื่อมโยงไปถึงคนตาบอดกำลังทำงาน อุปกรณ์เชื่อมโยงไปถึงคนตาบอดล้มเหลว ดังนั้นเราจึงมี:

จากที่นี่ ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:

งาน3

บริษัทประกันภัยเกี่ยวข้องกับประกันชีวิต 10% ของผู้เอาประกันภัยในบริษัทนี้เป็นผู้สูบบุหรี่ หากผู้เอาประกันภัยไม่สูบบุหรี่ โอกาสที่เขาจะเสียชีวิตระหว่างปีเท่ากับ 0.01 หากผู้เอาประกันภัยสูบบุหรี่ ความน่าจะเป็นคือ 0.05

ผู้ประกันตนที่เสียชีวิตระหว่างปีสูบบุหรี่ในสัดส่วนเท่าใด

ตัวเลือกคำตอบ: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%

วิธีการแก้

เข้าสู่เหตุการณ์:

เงื่อนไขของปัญหาหมายความว่า

นอกจากนี้เนื่องจากเหตุการณ์และรูปแบบกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ดังนั้น .
ความน่าจะเป็นที่เราสนใจคือ

โดยใช้สูตรของ Bayes เราได้:

ดังนั้นตัวเลือกที่ถูกต้องคือ ( ที่).

งาน 4

บริษัทประกันภัยขายสัญญาประกันชีวิตออกเป็น 3 ประเภท คือ แบบมาตรฐาน แบบมีเอกสิทธิ์ และแบบพิเศษเฉพาะ

50% ของผู้เอาประกันภัยทั้งหมดเป็นแบบมาตรฐาน, 40% เป็นที่ต้องการและ 10% เป็นที่ต้องการเป็นพิเศษ

ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตภายในหนึ่งปีสำหรับผู้ประกันตนมาตรฐานคือ 0.010 สำหรับผู้มีสิทธิพิเศษคือ 0.005 และสำหรับผู้มีสิทธิพิเศษพิเศษคือ 0.001

ความน่าจะเป็นที่ผู้เอาประกันภัยเสียชีวิตจะได้รับสิทธิพิเศษสูงสุดเป็นเท่าใด

วิธีการแก้

ให้เราพิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้:

ในแง่ของเหตุการณ์เหล่านี้ ความน่าจะเป็นที่เราสนใจคือ ตามเงื่อนไข:

เนื่องจากเหตุการณ์ , , สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ โดยใช้สูตร Bayes ที่เรามี:

ตัวแปรสุ่มและลักษณะเฉพาะ

ให้ตัวแปรสุ่มบางอย่าง เช่น ความเสียหายจากอัคคีภัยหรือจำนวนเงินที่จ่ายประกัน
ตัวแปรสุ่มมีลักษณะเฉพาะโดยฟังก์ชันการแจกแจง

คำนิยาม.การทำงาน เรียกว่า ฟังก์ชันการกระจาย ตัวแปรสุ่ม ξ .

คำนิยาม.หากมีฟังก์ชั่นที่สำหรับตามอำเภอใจ เอ ดำเนินการ

แล้วเราจะบอกว่าตัวแปรสุ่ม ξ มันมี ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็น f(x).

คำนิยาม.อนุญาต . สำหรับฟังก์ชันการกระจายแบบต่อเนื่อง F α-quantile ทางทฤษฎีเรียกว่าการแก้สมการ

วิธีแก้ปัญหานี้อาจไม่ใช่วิธีเดียว

ระดับควอนไทล์ ½ เรียกว่าทฤษฎี ค่ามัธยฐาน , ควอไทล์ระดับ ¼ และ ¾ -ควอไทล์ล่างและควอไทล์บน ตามลำดับ

ในการใช้งานคณิตศาสตร์ประกันภัย มีบทบาทสำคัญโดย ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev:

สำหรับใดๆ

สัญลักษณ์การคาดหวังทางคณิตศาสตร์

มันอ่านดังนี้:ความน่าจะเป็นที่โมดูลัสมากกว่าน้อยกว่าหรือเท่ากับความคาดหวังของโมดูลัสหารด้วย

อายุการใช้งานเป็นตัวแปรสุ่ม

ความไม่แน่นอนของช่วงเวลาแห่งความตายเป็นปัจจัยเสี่ยงสำคัญในการประกันชีวิต

ไม่มีอะไรแน่นอนเกี่ยวกับช่วงเวลาแห่งความตายของบุคคล อย่างไรก็ตาม หากเรากำลังติดต่อกับคนกลุ่มใหญ่ที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่สนใจชะตากรรมของบุคคลในกลุ่มนี้ เราก็อยู่ในกรอบของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เป็นศาสตร์แห่งปรากฏการณ์สุ่มมวลที่มีคุณสมบัติความเสถียรของความถี่

ตามลำดับ เราสามารถพูดถึงอายุขัยเป็นตัวแปรสุ่ม T

ฟังก์ชั่นการอยู่รอด

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อธิบายลักษณะสุ่มของตัวแปรสุ่มใดๆ ตู่ฟังก์ชันการกระจาย เอฟ(x),ซึ่งกำหนดเป็นความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม ตู่น้อยกว่าจำนวน x:

.

ในคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ประกันภัย ไม่ใช่เรื่องน่ายินดีที่ไม่ได้ทำงานกับฟังก์ชันการแจกแจง แต่ด้วยฟังก์ชันการแจกแจงเพิ่มเติม . ในแง่อายุขัย คือ โอกาสที่คนเราจะมีอายุยืนยาว xปี.

เรียกว่า ฟังก์ชั่นการอยู่รอด(ฟังก์ชั่นการอยู่รอด):

ฟังก์ชั่นการอยู่รอดมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ในตารางชีวิตมักจะสันนิษฐานว่ามีบางอย่าง จำกัด อายุ (จำกัดอายุ) (ตามกฎ ปี) และตามนั้น ที่ x>.

เมื่ออธิบายการตายตามกฎการวิเคราะห์ มักจะถือว่าเวลาชีวิตนั้นไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม ประเภทและพารามิเตอร์ของกฎหมายจะถูกเลือกเพื่อให้ความน่าจะเป็นของชีวิตในช่วงอายุหนึ่งมีน้อยมาก

ฟังก์ชันเอาตัวรอดมีความหมายทางสถิติอย่างง่าย

สมมติว่าเรากำลังสังเกตกลุ่มของทารกแรกเกิด (โดยปกติ ) ที่เราสังเกต และสามารถบันทึกช่วงเวลาการตายของพวกเขาได้

ให้เราระบุจำนวนผู้แทนที่มีชีวิตอยู่ของกลุ่มนี้ในวัยผ่าน แล้ว:

.

เครื่องหมาย อีที่นี่และด้านล่างใช้เพื่อแสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น ฟังก์ชันการเอาชีวิตรอดจึงเท่ากับสัดส่วนเฉลี่ยของผู้รอดชีวิตจากวัยแรกเกิดบางกลุ่ม

ในคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ประกันภัย มักใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันเอาตัวรอด แต่ใช้ค่าที่เพิ่งแนะนำ (โดยแก้ไขขนาดกลุ่มเริ่มต้นแล้ว)

ฟังก์ชันการอยู่รอดสามารถสร้างใหม่ได้จากความหนาแน่น:

ลักษณะช่วงชีวิต

จากมุมมองเชิงปฏิบัติ ลักษณะต่อไปนี้มีความสำคัญ:

1 . เฉลี่ยตลอดชีพ

,
2 . การกระจายตัวตลอดชีพ

,
ที่ไหน
,

• ความน่าจะเป็น - ระดับ (การวัดสัมพัทธ์ การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์บางอย่าง เมื่อเหตุผลสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้จึงเรียกว่าน่าจะเป็นไปได้ มิฉะนั้น - ไม่น่าเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้ ความเหนือกว่าของเหตุบวกเหนือปัจจัยลบ และในทางกลับกัน อาจมีระดับที่แตกต่างกัน อันเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) มากหรือน้อย ดังนั้น ความน่าจะเป็นมักจะถูกประเมินในระดับคุณภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำมากหรือน้อยเป็นไปไม่ได้หรือยากอย่างยิ่ง สามารถไล่ระดับ "ระดับ" ของความน่าจะเป็นได้หลายระดับ

  การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกทำให้เป็นรูปแบบตัวเลขของเหตุการณ์ - การวัดความน่าจะเป็น (หรือค่าของเหตุการณ์) - การวัดในชุดของเหตุการณ์ (ชุดย่อยของชุดของเหตุการณ์พื้นฐาน) การรับค่า ​จาก

  (\รูปแบบการแสดงผล 0)

  (\ รูปแบบการแสดงผล 1)

  ความหมาย

  (\ รูปแบบการแสดงผล 1)

  สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่ถูกต้อง เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความน่าจะเป็นเป็น 0 (การสนทนามักไม่เป็นความจริงเสมอไป) ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ

  (\displaystyle p)

  แล้วความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นนั้นเท่ากับ

  (\displaystyle 1-p)

  โดยเฉพาะความน่าจะเป็น

  (\รูปแบบการแสดงผล 1/2)

  หมายถึงความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์

  คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ที่กำหนดต่อจำนวนผลลัพธ์ที่มีแนวโน้มเท่ากันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ "หัว" หรือ "ก้อย" ในการโยนเหรียญแบบสุ่มคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่ามีเพียงสองความเป็นไปได้เท่านั้นที่เกิดขึ้นและมีโอกาสเท่าเทียมกัน "คำจำกัดความ" แบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นนี้สามารถสรุปได้ในกรณีของค่าที่เป็นไปได้จำนวนอนันต์ - ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน ณ จุดใด ๆ (จำนวนคะแนนเป็นอนันต์) ของพื้นที่ จำกัด บางส่วน พื้นที่ (ระนาบ) แล้วความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในบางส่วนของพื้นที่ที่อนุญาตนี้เท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของพื้นที่ของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด .

  "คำจำกัดความ" เชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นสัมพันธ์กับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์ โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ความถี่ควรมีแนวโน้มถึงระดับวัตถุประสงค์ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้ ในการนำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ ความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยสัจพจน์ เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนามธรรมของการวัดชุด อย่างไรก็ตาม ความเชื่อมโยงระหว่างการวัดเชิงนามธรรมกับความน่าจะเป็น ซึ่งแสดงถึงระดับของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นั้นเป็นความถี่ของการสังเกตอย่างแม่นยำ

  คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทางเศรษฐมิติ ฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้ในกรณีของคำอธิบายเชิงกำหนดแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ของอนุภาค คำอธิบายแบบกำหนดทั้งหมดของทั้งระบบ ของอนุภาคที่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติและเหมาะสม ในฟิสิกส์ควอนตัม กระบวนการที่อธิบายไว้มีลักษณะน่าจะเป็น

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่ม: เหตุการณ์สุ่ม ตัวแปรสุ่ม คุณสมบัติและการดำเนินการกับพวกมัน

เป็นเวลานานที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จัดทำขึ้นในปี พ.ศ. 2472 เท่านั้น การเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะวิทยาศาสตร์มีสาเหตุมาจากยุคกลางและความพยายามครั้งแรกในการวิเคราะห์การพนันทางคณิตศาสตร์ (การโยน ลูกเต๋า รูเล็ต) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแห่งศตวรรษที่ 17 แบลส ปาสกาล และปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้ค้นพบรูปแบบความน่าจะเป็นแบบแรกที่เกิดขึ้นเมื่อขว้างลูกเต๋าในขณะที่ศึกษาการทำนายการชนะในการพนัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเป็นวิทยาศาสตร์จากความเชื่อที่ว่ารูปแบบบางอย่างรองรับเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่ ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษารูปแบบเหล่านี้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซึ่งไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ช่วยให้คุณสามารถตัดสินระดับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างเมื่อเปรียบเทียบกับเหตุการณ์อื่น

ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุผลลัพธ์ของการโยนหัวหรือก้อยอย่างชัดแจ้ง แต่ด้วยการโยนซ้ำ ๆ จำนวนหัวและก้อยที่เท่ากันจะหลุดออกมาโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่หัวหรือก้อยจะตก " เท่ากัน ถึง 50%

ทดสอบในกรณีนี้เรียกว่าการดำเนินการตามเงื่อนไขบางชุดนั่นคือในกรณีนี้คือการโยนเหรียญ สามารถเล่น Challenge ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ในกรณีนี้ ความซับซ้อนของเงื่อนไขรวมถึงปัจจัยสุ่ม

ผลการทดสอบคือ เหตุการณ์. เหตุการณ์เกิดขึ้น:

1. เชื่อถือได้ (เกิดขึ้นจากการทดสอบเสมอ)
2. เป็นไปไม่ได้ (ไม่เคยเกิดขึ้น)
3. สุ่ม (อาจหรือไม่อาจเกิดขึ้นจากการทดสอบ)

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ - เหรียญจะจบลงที่ขอบ เหตุการณ์สุ่ม - การสูญเสีย "หัว" หรือ "ก้อย" เรียกผลการทดสอบเฉพาะว่า เหตุการณ์เบื้องต้น. จากการทดสอบจะเกิดเฉพาะเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเท่านั้น ผลรวมของผลการทดสอบที่เป็นไปได้ แตกต่าง และเฉพาะเจาะจงทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่จัดกิจกรรมเบื้องต้น.

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎี

ความน่าจะเป็น- ระดับความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ เมื่อเหตุผลสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้จึงเรียกว่าน่าจะเป็นไปได้ มิฉะนั้น - ไม่น่าเป็นไปได้หรือไม่น่าจะเป็นไปได้

ค่าสุ่ม- เป็นค่าที่เป็นผลจากการทดสอบ สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งได้ และไม่ทราบล่วงหน้าค่าใด เช่น จำนวนต่อสถานีดับเพลิงต่อวัน จำนวนครั้งที่ยิง 10 นัด เป็นต้น

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท

1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องปริมาณดังกล่าวเรียกว่าซึ่งจากการทดสอบสามารถรับค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนสร้างชุดที่นับได้ (ชุดที่มีองค์ประกอบสามารถนับได้) ชุดนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบมีจำกัดหรือแบบอนันต์ ตัวอย่างเช่น จำนวนช็อตก่อนการยิงครั้งแรกที่เป้าหมายเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเพราะ ค่านี้สามารถใช้กับจำนวนค่าที่นับได้เป็นอนันต์ แม้ว่าจะนับได้ก็ตาม
2. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเป็นปริมาณที่สามารถหาค่าใดๆ จากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์ได้ เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

พื้นที่ความน่าจะเป็น- แนวคิดที่นำเสนอโดย A.N. Kolmogorov ในช่วงทศวรรษที่ 1930 เพื่อสร้างแนวความคิดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นซึ่งก่อให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความน่าจะเป็นตามระเบียบวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด

พื้นที่ความน่าจะเป็นเป็นสามเท่า (บางครั้งอยู่ในวงเล็บมุม: โดยที่

นี่คือเซตโดยพลการ องค์ประกอบที่เรียกว่าเหตุการณ์เบื้องต้น ผลลัพธ์หรือคะแนน
- ซิกมา-พีชคณิตของเซตย่อยที่เรียกว่าเหตุการณ์ (สุ่ม)
- การวัดความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็นเช่น ซิกมา-additive finite วัดเช่นนั้น

ทฤษฎีบท De Moivre-Laplace- หนึ่งในทฤษฎีบทจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ก่อตั้งโดย Laplace ในปี 1812 เธอระบุว่าจำนวนความสำเร็จในการทำการทดลองสุ่มซ้ำแบบเดียวกันกับสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้นั้นมีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ ช่วยให้คุณหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณได้

หากสำหรับแต่ละการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มบางเหตุการณ์เท่ากับ () และเป็นจำนวนการทดลองที่เกิดขึ้นจริง ความน่าจะเป็นของความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันนั้นใกล้เคียงกัน (สำหรับขนาดใหญ่ ) กับค่าของอินทิกรัลลาปลาซ

ฟังก์ชันการกระจายในทฤษฎีความน่าจะเป็น- ฟังก์ชันที่แสดงลักษณะการกระจายของตัวแปรสุ่มหรือเวกเตอร์สุ่ม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x โดยที่ x เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ มันจะกำหนดตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (นี่คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในวรรณคดีอังกฤษเขียนแทนด้วยในภาษารัสเซีย - ในสถิติมักใช้สัญกรณ์

ให้ช่องว่างความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มกำหนดไว้ นั่นคือตามนิยามแล้ว ฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น ถ้ามีอินทิกรัล Lebesgue ของ over space อยู่ มันก็จะเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ หรือค่ากลาง และเขียนแทนด้วย

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม- การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น การเบี่ยงเบนจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กำหนดไว้ในวรรณคดีรัสเซียและในต่างประเทศ ในสถิติ การกำหนดหรือมักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือค่าสเปรดมาตรฐาน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดในพื้นที่ความน่าจะเป็นบางพื้นที่ แล้ว

โดยที่สัญลักษณ์แสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะเรียกเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของสิ่งใดสิ่งหนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดอีกสิ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสุ่มสองตัวถูกเรียก ขึ้นอยู่กับหากค่าของหนึ่งในนั้นส่งผลต่อความน่าจะเป็นของค่าของอีกค่าหนึ่ง

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของกฎจำนวนมากคือทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี ซึ่งระบุว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากันในการทดลองทั้งหมด เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์ก็มีแนวโน้มที่จะมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และ สิ้นสุดที่จะสุ่ม

กฎของตัวเลขจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างที่มีขอบเขตจากการแจกแจงแบบตายตัวนั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยทางทฤษฎีของการแจกแจงนั้น ขึ้นอยู่กับประเภทของการบรรจบกัน กฎที่อ่อนแอของจำนวนมากจะแตกต่าง เมื่อมีการลู่เข้าในความน่าจะเป็น และกฎที่แข็งแกร่งของจำนวนมาก เมื่อการบรรจบกันเกิดขึ้นเกือบแน่นอน

ความหมายทั่วไปของกฎจำนวนมากคือการกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มที่เหมือนกันและเป็นอิสระจำนวนมากนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับโอกาสในขอบเขต

วิธีการประมาณความน่าจะเป็นตามการวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างที่มีขอบเขตจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ดีคือการทำนายผลการเลือกตั้งจากการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง

ทฤษฎีขีดจำกัดกลาง- คลาสของทฤษฎีบทในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ระบุว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบพึ่งพาอาศัยกันอย่างอ่อนแอจำนวนมากเพียงพอซึ่งมีสเกลใกล้เคียงกันโดยประมาณ (ไม่มีเงื่อนไขใดที่ครอบงำ ไม่ได้มีส่วนสนับสนุนผลรวมอย่างเด็ดขาด) มีการแจกแจงที่ใกล้เคียง ปกติ.

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในแอปพลิเคชันเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ไม่ขึ้นต่อกันอย่างอ่อนหลายตัว การแจกแจงของตัวแปรเหล่านี้จึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้ต้องสังเกตเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดมาครอบงำ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในกรณีเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบปกติ