เครื่องคิดเลขสำหรับค้นหาตัวเลข noc 3 ตัวหารร่วมและตัวคูณ

นิพจน์และงานทางคณิตศาสตร์ต้องการความรู้เพิ่มเติมมากมาย NOC เป็นหนึ่งในหัวข้อหลักโดยเฉพาะมักใช้ในหัวข้อหัวข้อนี้ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายในขณะที่เนื้อหาเข้าใจได้ไม่ยากนักสำหรับคนที่คุ้นเคยกับพลังและตารางสูตรคูณจะไม่ยาก ตัวเลขที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์

คำนิยาม

ตัวคูณร่วมคือตัวเลขที่สามารถแบ่งออกเป็นสองจำนวนได้พร้อมกัน (a และ b) ส่วนใหญ่มักจะได้ตัวเลขนี้จากการคูณตัวเลขเดิม a และ b จำนวนจะต้องหารด้วยตัวเลขทั้งสองพร้อมกันโดยไม่เบี่ยงเบน

NOC เป็นชื่อย่อซึ่งนำมาจากอักษรตัวแรก

ช่องทางการรับเบอร์

ในการหา LCM วิธีการคูณตัวเลขนั้นไม่เหมาะเสมอไป มันเหมาะกว่ามากสำหรับตัวเลขหนึ่งหลักหรือสองหลักอย่างง่าย เป็นธรรมเนียมที่จะต้องแบ่งเป็นปัจจัย ยิ่งจำนวนมาก ปัจจัยก็จะมากเท่านั้น

ตัวอย่าง #1

สำหรับตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โรงเรียนมักจะใช้ตัวเลขพื้นฐาน หนึ่งหลักหรือสองหลัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 7 และ 3 วิธีแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย แค่คูณ เป็นผลให้มีหมายเลข 21 ไม่มีจำนวนที่น้อยกว่า

ตัวอย่าง #2

ตัวเลือกที่สองนั้นยากกว่ามาก ให้หมายเลข 300 และ 1260 การค้นหา LCM เป็นข้อบังคับ ในการแก้ปัญหา การดำเนินการต่อไปนี้จะถือว่า:

การสลายตัวของตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองเป็นตัวประกอบที่ง่ายที่สุด 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7 ระยะแรกเสร็จเรียบร้อยแล้ว

ขั้นตอนที่สองเกี่ยวข้องกับการทำงานกับข้อมูลที่ได้รับแล้ว แต่ละหมายเลขที่ได้รับจะต้องมีส่วนร่วมในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับแต่ละปัจจัย จำนวนการเกิดขึ้นที่ใหญ่ที่สุดจะนำมาจากตัวเลขเดิม LCM เป็นตัวเลขทั่วไป ดังนั้นปัจจัยจากตัวเลขจึงต้องซ้ำกันในจำนวนนั้นไปจนถึงตัวสุดท้าย แม้กระทั่งปัจจัยที่มีอยู่ในสำเนาเดียว ตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองมีตัวเลข 2, 3 และ 5 ในการจัดองค์ประกอบ โดยมีองศาต่างกัน 7 อยู่ในกรณีเดียวเท่านั้น

ในการคำนวณผลลัพธ์ขั้นสุดท้าย คุณต้องนำตัวเลขแต่ละตัวที่มีกำลังมากที่สุดมารวมกันเป็นสมการ ยังคงเป็นเพียงการคูณและรับคำตอบด้วยการเติมที่ถูกต้องงานจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยไม่มีคำอธิบาย:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300

นั่นคืองานทั้งหมด หากคุณพยายามคำนวณจำนวนที่ต้องการโดยการคูณ คำตอบจะไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจาก 300 * 1260 = 378,000

การตรวจสอบ:

6300 / 300 = 21 - จริง;

6300 / 1260 = 5 ถูกต้อง

ความถูกต้องของผลลัพธ์ถูกกำหนดโดยการตรวจสอบ - หาร LCM ด้วยตัวเลขดั้งเดิมทั้งคู่ หากตัวเลขเป็นจำนวนเต็มในทั้งสองกรณี คำตอบนั้นถูกต้อง

NOC หมายถึงอะไรในวิชาคณิตศาสตร์

อย่างที่คุณทราบ ไม่มีฟังก์ชันที่ไร้ประโยชน์เพียงอย่างเดียวในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนี้ไม่มีข้อยกเว้น จุดประสงค์ทั่วไปที่สุดของตัวเลขนี้คือการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม สิ่งที่มักจะเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 นอกจากนี้ยังเป็นตัวหารร่วมสำหรับผลคูณทั้งหมด หากเงื่อนไขดังกล่าวอยู่ในปัญหา นิพจน์ดังกล่าวสามารถค้นหาตัวคูณได้ ไม่เพียงแต่จากตัวเลขสองตัวเท่านั้น แต่ยังพบจำนวนที่มากกว่ามากด้วย เช่น สาม ห้า และอื่นๆ ยิ่งจำนวนมากขึ้น - ยิ่งมีการดำเนินการในงานมากขึ้น แต่ความซับซ้อนของสิ่งนี้ไม่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดตัวเลข 250, 600 และ 1500 คุณต้องหา LCM ทั้งหมด:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ตัวอย่างนี้อธิบายการแยกตัวประกอบอย่างละเอียดโดยไม่ลดทอน

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ในการสร้างนิพจน์ จำเป็นต้องระบุปัจจัยทั้งหมด ในกรณีนี้ ให้ 2, 5, 3 - สำหรับตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้ จะต้องกำหนดระดับสูงสุด

ข้อควรสนใจ: ตัวคูณทั้งหมดจะต้องถูกทำให้เข้าใจง่ายอย่างสมบูรณ์ หากเป็นไปได้ ให้สลายเป็นตัวเลขหลักเดียว

การตรวจสอบ:

1) 3000 / 250 = 12 - จริง;

2) 3000 / 600 = 5 - จริง;

3) 3000 / 1500 = 2 ถูกต้อง

วิธีนี้ไม่ต้องใช้กลอุบายหรือความสามารถระดับอัจฉริยะ ทุกอย่างเรียบง่ายและชัดเจน

อีกทางหนึ่ง

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีหลายอย่างเชื่อมโยงกัน หลายอย่างสามารถแก้ไขได้ในสองวิธีหรือมากกว่านั้น เช่นเดียวกับการหาตัวคูณร่วมน้อย LCM วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในกรณีของตัวเลขสองหลักและหลักเดียว ตารางถูกรวบรวมโดยป้อนตัวคูณในแนวตั้ง ตัวคูณในแนวนอน และผลิตภัณฑ์จะแสดงในเซลล์ที่ตัดกันของคอลัมน์ คุณสามารถสะท้อนตารางโดยใช้เส้นจำนวนหนึ่งถูกนำมาใช้และผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขนี้ด้วยจำนวนเต็มจะถูกเขียนในแถวจาก 1 ถึงอนันต์บางครั้ง 3-5 คะแนนก็เพียงพอแล้วหมายเลขที่สองและหมายเลขต่อมา สู่กระบวนการคำนวณเดียวกัน ทุกอย่างเกิดขึ้นจนกว่าจะพบตัวคูณร่วม

จากตัวเลข 30, 35, 42 คุณต้องหา LCM ที่เชื่อมตัวเลขทั้งหมด:

1) ทวีคูณของ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 เป็นต้น

2) ทวีคูณของ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 เป็นต้น

3) ทวีคูณของ 42: 84, 126, 168, 210, 252 เป็นต้น

เป็นที่สังเกตได้ว่าตัวเลขทั้งหมดค่อนข้างแตกต่างกัน มีเพียงจำนวนเดียวในหมู่พวกเขาคือ 210 ดังนั้นมันจะเป็น LCM ในกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณนี้ ยังมีตัวหารร่วมมาก ซึ่งคำนวณตามหลักการที่คล้ายคลึงกันและมักพบในปัญหาใกล้เคียง ความแตกต่างมีน้อยแต่มีนัยสำคัญเพียงพอ LCM เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวเลขที่หารด้วยค่าเริ่มต้นที่ให้มาทั้งหมดลงตัว และ GCD จะถือว่าการคำนวณค่าที่มากที่สุดโดยหารตัวเลขเริ่มต้น

เครื่องคำนวณออนไลน์ช่วยให้คุณค้นหาตัวหารร่วมมากสุดและตัวคูณร่วมน้อยของสองตัวหรือตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว

เครื่องคิดเลขสำหรับค้นหา GCD และ NOC

ค้นหา GCD และ NOC

พบ GCD และ NOC: 5806

วิธีใช้เครื่องคิดเลข

• ป้อนตัวเลขในช่องป้อนข้อมูล
• กรณีใส่อักขระไม่ถูกต้อง ช่องป้อนข้อมูลจะถูกเน้นด้วยสีแดง
• กดปุ่ม "ค้นหา GCD และ NOC"

วิธีใส่ตัวเลข

• ตัวเลขถูกป้อนโดยคั่นด้วยช่องว่าง จุด หรือลูกน้ำ
• ไม่จำกัดความยาวของตัวเลขที่กรอกดังนั้นการหา gcd และ lcm ของตัวเลขยาวจึงไม่ใช่เรื่องยาก

NOD และ NOK คืออะไร?

ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนหลายจำนวนเป็นจำนวนเต็มธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ตัวเลขเดิมทั้งหมดหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก ย่อว่า GCD.
ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขหลายตัวเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขเดิมแต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวคูณร่วมน้อยสุดมีตัวย่อว่า NOC.

จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าตัวเลขอื่นหารด้วยตัวเลขอื่นโดยไม่มีเศษเหลือได้อย่างไร?

หากต้องการทราบว่าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือหรือไม่ คุณสามารถใช้คุณสมบัติบางอย่างของการหารตัวเลขได้ จากนั้น เมื่อรวมพวกมันเข้าด้วยกัน เราสามารถตรวจสอบการหารด้วยตัวหารบางตัวและการรวมกันได้

สัญญาณบางอย่างของการหารตัวเลข

1. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 2
ในการพิจารณาว่าตัวเลขหารด้วยสองหารลงตัวหรือไม่ (เป็นเลขคู่) ก็เพียงพอแล้วที่จะดูหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้: หากมีค่าเท่ากับ 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ตัวเลขจะเป็นคู่ ซึ่งหมายความว่าหารด้วย 2 ลงตัว
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่
การตัดสินใจ:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายถึงตัวเลขที่หารด้วยสองลงตัว

2. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 3
จำนวนหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ในการพิจารณาว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณจำเป็นต้องคำนวณผลรวมของตัวเลขและตรวจสอบว่าหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าผลรวมของหลักจะมากขนาดนั้น คุณก็ทำขั้นตอนเดิมซ้ำได้ อีกครั้ง.
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
การตัดสินใจ:เรานับผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27. 27 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วยสามลงตัว

3. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 5
ตัวเลขหารด้วย 5 ลงตัวเมื่อหลักสุดท้ายของมันคือศูนย์หรือห้า
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 5 ลงตัวหรือไม่
การตัดสินใจ:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายถึงตัวเลขหารด้วยห้าไม่ลงตัว

4. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 9
เครื่องหมายนี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วยสามมาก: ตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่
การตัดสินใจ:เราคำนวณผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27. 27 หารด้วย 9 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วยเก้าลงตัว

วิธีค้นหา GCD และ LCM ของตัวเลขสองตัว

วิธีหา GCD ของตัวเลขสองตัว

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวคือการหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้แล้วเลือกตัวหารที่ใหญ่ที่สุด

พิจารณาวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างการหา GCD(28, 36) :

1. เราแยกตัวประกอบตัวเลขทั้งสอง: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. เราพบตัวประกอบร่วม นั่นคือ ตัวประกอบที่ทั้งสองจำนวนมี: 1, 2 และ 2
3. เราคำนวณผลคูณของปัจจัยเหล่านี้: 1 2 2 \u003d 4 - นี่คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 36

วิธีหา LCM ของตัวเลขสองตัว

มีสองวิธีที่พบบ่อยที่สุดในการหาผลคูณที่เล็กที่สุดของตัวเลขสองตัว วิธีแรกคือคุณสามารถเขียนผลคูณแรกของตัวเลขสองจำนวนจากนั้นเลือกตัวเลขที่จะเหมือนกันกับตัวเลขทั้งสองและในเวลาเดียวกันก็น้อยที่สุด และอย่างที่สองคือการหา GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ลองพิจารณาดู

ในการคำนวณ LCM คุณต้องคำนวณผลคูณของตัวเลขดั้งเดิมแล้วหารด้วย GCD ที่พบก่อนหน้านี้ มาหา LCM สำหรับตัวเลข 28 และ 36 กัน:

1. ค้นหาผลคูณของตัวเลข 28 และ 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็น4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

การหา GCD และ LCM สำหรับตัวเลขหลายตัว

ตัวหารร่วมมากสามารถพบได้สำหรับตัวเลขหลายตัว ไม่ใช่แค่สองตัว สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลขที่จะค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดจะถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขเหล่านี้ นอกจากนี้ ในการหา GCD ของตัวเลขหลายตัว คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

ความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันยังนำไปใช้กับผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

ตัวอย่าง:ค้นหา GCD และ LCM สำหรับตัวเลข 12, 32 และ 36

1. ขั้นแรก ให้แยกตัวประกอบตัวเลข: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. มาหาตัวประกอบร่วม: 1, 2 และ 2
3. ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะให้ gcd: 1 2 2 = 4
4. ตอนนี้ มาหา LCM: สำหรับสิ่งนี้ เราพบ LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 ก่อน
5. ในการหา LCM ของตัวเลขทั้งสาม คุณต้องหา GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

คำนิยาม.จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่ตัวเลข a และ b หารโดยไม่มีเศษเรียกว่า ตัวหารร่วมมาก (gcd)ตัวเลขเหล่านี้

หาตัวหารร่วมมากของจำนวน 24 และ 35 กัน
ตัวหารของ 24 จะเป็นตัวเลข 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 และตัวหารของ 35 จะเป็นตัวเลข 1, 5, 7, 35
เราจะเห็นว่าตัวเลข 24 และ 35 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - หมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า coprime.

คำนิยาม.ตัวเลขธรรมชาติเรียกว่า coprimeถ้าตัวหารร่วมมาก (gcd) คือ 1

ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD)สามารถพบได้โดยไม่ต้องเขียนตัวหารทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด

แยกตัวประกอบตัวเลข 48 และ 36 เราได้รับ:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขที่สอง (เช่น สองแต้ม)
ตัวประกอบ 2 * 2 * 3 ยังคงอยู่ ผลคูณคือ 12 ตัวเลขนี้คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36 นอกจากนี้ยังพบตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

การค้นหา ตัวหารร่วมมากสุด

2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขเหล่านี้ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขอื่น ๆ
3) หาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ

หากตัวเลขที่ให้มาทั้งหมดหารด้วยตัวใดตัวหนึ่งลงตัว ตัวเลขนี้ก็คือ ตัวหารร่วมมากสุดตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น ตัวหารร่วมมากของ 15, 45, 75 และ 180 คือ 15 เนื่องจากมันหารจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด: 45, 75 และ 180

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)จำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง a และ b ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 75 และ 60 สามารถพบได้โดยไม่ต้องเขียนตัวเลขหลายตัวติดต่อกัน ในการทำเช่นนี้ เราแยก 75 และ 60 ออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 \u003d 3 * 5 * 5 และ 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5
ลองเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวแรกของตัวเลขเหล่านี้ แล้วบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สอง (นั่นคือ เรารวมตัวประกอบเข้าด้วยกัน)
เราได้ตัวประกอบ 5 ตัว 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ซึ่งได้ผลลัพธ์คือ 300 ตัวเลขนี้เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปด้วย

ถึง หาตัวคูณร่วมน้อยจำนวนธรรมชาติหลายจำนวนที่คุณต้องการ:
1) แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
3) เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือ
4) หาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์

โปรดทราบว่าถ้าหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวเลขอื่น ๆ ทั้งหมดได้ จำนวนนี้จะเป็นผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้
ตัวอย่างเช่น ตัวคูณร่วมน้อยของ 12, 15, 20 และ 60 จะเป็น 60 เนื่องจากหารด้วยจำนวนที่ระบุทั้งหมดลงตัว

พีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) และนักเรียนของเขาศึกษาปัญหาการหารตัวเลข ตัวเลขที่เท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมด (ไม่มีตัวตัวเลขเอง) เรียกว่าจำนวนสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) นั้นสมบูรณ์แบบ ตัวเลขสมบูรณ์ถัดไปคือ 496, 8128, 33,550,336 ชาวพีทาโกรัสรู้เพียงตัวเลขที่สมบูรณ์สามตัวแรกเท่านั้น ที่สี่ - 8128 - กลายเป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 1 น. อี ที่ห้า - 33 550 336 - พบในศตวรรษที่ 15 ในปี 1983 มีคนรู้จักตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ 27 ตัวแล้ว แต่จนถึงขณะนี้ นักวิทยาศาสตร์ไม่ทราบว่ามีเลขสมบูรณ์คี่หรือไม่ มีเลขสมบูรณ์มากที่สุดหรือไม่
ความสนใจของนักคณิตศาสตร์โบราณในเรื่องจำนวนเฉพาะเกิดจากการที่จำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะหรือสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ จำนวนเฉพาะเป็นเหมือนก้อนอิฐซึ่งส่วนที่เหลือของตัวเลขธรรมชาติถูกสร้างขึ้น
คุณอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนเฉพาะในชุดของจำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นไม่เท่ากัน - ในบางส่วนของชุดตัวเลขมีจำนวนมากกว่า ในส่วนอื่นๆ - น้อยกว่า แต่ยิ่งเราเคลื่อนไปตามอนุกรมจำนวนเท่าใด ตัวเลขเฉพาะยิ่งหายากมากขึ้นเท่านั้น คำถามเกิดขึ้น: จำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย (ที่ใหญ่ที่สุด) มีอยู่จริงหรือไม่? นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในหนังสือ "จุดเริ่มต้น" ของเขาซึ่งเป็นหนังสือเรียนคณิตศาสตร์หลักสองพันปีพิสูจน์แล้วว่ามีเลขเฉพาะจำนวนมากอนันต์นั่นคือด้านหลังจำนวนเฉพาะแต่ละจำนวนมีคู่ จำนวนเฉพาะที่มากขึ้น
ในการค้นหาจำนวนเฉพาะ Eratosthenes นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอีกคนหนึ่งในคราวเดียวกันได้คิดค้นวิธีการดังกล่าว เขาจดตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนหนึ่ง แล้วขีดฆ่าหน่วยซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนเชิงประกอบ จากนั้นจึงขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดหลัง 2 ตัวหนึ่ง (ตัวเลขที่ทวีคูณของ 2 คือ 4 6 , 8 เป็นต้น) หมายเลขแรกที่เหลือหลังจาก 2 คือ 3 จากนั้นหลังจากสอง หมายเลขทั้งหมดหลังจาก 3 จะถูกขีดฆ่า (ตัวเลขที่ทวีคูณของ 3 เช่น 6, 9, 12 เป็นต้น) ในท้ายที่สุด เฉพาะตัวเลขเฉพาะที่ยังไม่ถูกขีดฆ่า

พิจารณาสามวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย

หาโดยแฟคตอริ่ง

วิธีแรกคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวประกอบเฉพาะ

สมมติว่าเราต้องหา LCM ของตัวเลข: 99, 30 และ 28 ในการดำเนินการนี้ เราแยกแต่ละตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เพื่อให้จำนวนที่ต้องการหารด้วย 99, 30 และ 28 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่รวมปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของตัวหารเหล่านี้ด้วย ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ไปยังกำลังที่เกิดขึ้นสูงสุดแล้วคูณเข้าด้วยกัน:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

ดังนั้น LCM (99, 30, 28) = 13,860 ไม่มีจำนวนอื่นใดที่น้อยกว่า 13,860 ที่จะหารด้วย 99, 30 หรือ 28 ลงตัว

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด คุณต้องแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยเฉพาะ จากนั้นนำตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวที่มีเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดที่มันเกิดขึ้น แล้วคูณปัจจัยเหล่านี้เข้าด้วยกัน

เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามตัว: 20, 49 และ 33 เป็น coprime ดังนั้น

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

ควรทำเช่นเดียวกันเมื่อมองหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเฉพาะต่างๆ ตัวอย่างเช่น LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231

ค้นหาโดยการเลือก

วิธีที่สองคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการปรับให้เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 1 เมื่อจำนวนที่มากที่สุดของจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนที่กำหนดอื่น ๆ หารลงตัว LCM ของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนที่มากกว่า ตัวอย่างเช่น ให้ตัวเลขสี่ตัว: 60, 30, 10 และ 6 แต่ละตัวหารด้วย 60 ลงตัว:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

ในกรณีอื่น ในการหาตัวคูณร่วมน้อย จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. กำหนดจำนวนที่มากที่สุดจากตัวเลขที่กำหนด
2. ต่อไป เราจะหาตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนที่มากที่สุด คูณด้วยจำนวนธรรมชาติในลำดับจากน้อยไปมาก และตรวจสอบว่าตัวเลขที่เหลือนั้นหารด้วยผลลัพธ์ที่ได้หรือไม่

ตัวอย่างที่ 2 ระบุตัวเลขสามตัว 24, 3 และ 18 หาจำนวนที่มากที่สุด - นี่คือหมายเลข 24 จากนั้น ให้หาตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 24 ตรวจสอบว่าแต่ละตัวหารด้วย 18 ลงตัวและ 3:

24 1 = 24 หารด้วย 3 ลงตัวแต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 2 = 48 - หารด้วย 3 ลงตัวแต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 3 \u003d 72 - หารด้วย 3 และ 18 ลงตัว

ดังนั้น LCM(24, 3, 18) = 72

การหาโดยการหาลำดับ LCM

วิธีที่สามคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการค้นหา LCM ตามลำดับ

LCM ของตัวเลขสองตัวที่กำหนดจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวหารร่วมมากของพวกมัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา LCM ของตัวเลขที่ระบุสองตัว: 12 และ 8 หาตัวหารร่วมมากของพวกมัน: GCD (12, 8) = 4 คูณตัวเลขเหล่านี้:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8) = 24

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. อันดับแรก จะพบ LCM ของสองตัวเลขที่ระบุ
2. จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่ค้นพบและตัวเลขที่ระบุที่สาม
3. จากนั้น LCM ของผลคูณร่วมน้อยและจำนวนที่สี่ที่เป็นผลลัพธ์ เป็นต้น
4. ดังนั้นการค้นหา LCM จะดำเนินต่อไปตราบใดที่ยังมีตัวเลขอยู่

ตัวอย่างที่ 2 ลองหา LCM ของตัวเลขที่ระบุสามตัว: 12, 8 และ 9 เราพบ LCM ของตัวเลข 12 และ 8 แล้วในตัวอย่างก่อนหน้านี้แล้ว (นี่คือหมายเลข 24) ยังคงต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของ 24 และตัวที่สาม - 9 หาตัวหารร่วมมากของพวกมัน: gcd (24, 9) = 3 คูณ LCM ด้วยเลข 9:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8, 9) = 72

มาพูดคุยกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อยที่เราเริ่มต้นในส่วน LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ ตัวอย่าง ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะวิเคราะห์คำถามว่าจะหา LCM ของจำนวนลบได้อย่างไร

Yandex.RTB R-A-339285-1

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้ มาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD กัน อันดับแรก เรามาหาวิธีหาจำนวนบวกกันก่อน

คำจำกัดความ 1

คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้โดยใช้ตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องหาค่า LCM ของตัวเลข 126 และ 70

การตัดสินใจ

ลองหา a = 126 , b = 70 . แทนค่าในสูตรเพื่อคำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้ตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

ค้นหา GCD ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ดังนั้น gcd (126 , 70) = 14 .

มาคำนวณ LCM กัน: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

ตอบ: LCM (126, 70) = 630.

ตัวอย่าง 2

ค้นหานกของตัวเลข 68 และ 34

การตัดสินใจ

GCD ในกรณีนี้หาได้ง่ายเนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว คำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

ตอบ: LCM(68, 34) = 68.

ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลขตัวแรกหารด้วยตัวที่สองลงตัว LCM ของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขตัวแรก

การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ

ตอนนี้เรามาดูวิธีการหาค่า LCM ซึ่งอิงจากการย่อยสลายของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

คำจำกัดความ 2

ในการหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้

• เราประกอบกันเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขทั้งหมดที่เราต้องหา LCM
• เราแยกปัจจัยเฉพาะทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ที่ได้รับ
• ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยเฉพาะทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่ระบุ

วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) ถ้าคุณดูที่สูตร มันจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายของตัวเลขสองตัวนี้ ในกรณีนี้ GCD ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้

ตัวอย่างที่ 3

เรามีเลขสองตัว 75 และ 210 . เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณสร้างผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขดั้งเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.

หากไม่รวมปัจจัยร่วมของทั้งตัวเลข 3 และ 5 เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1050. สินค้านี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 โดยแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ

การตัดสินใจ

มาหาตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่ให้มาในเงื่อนไขกัน:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

เราได้ตัวเลขสองสาย: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7 .

ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการขยายตัวเลขเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน หมายเลขนี้คือ 7 เราแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั่วไป: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

ตอบ: LCM (441 , 700) = 44 100 .

ให้เราเพิ่มการกำหนดวิธีการหา LCM อีกวิธีหนึ่งโดยแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

คำจำกัดความ 3

ก่อนหน้านี้ เราไม่รวมจากจำนวนรวมของปัจจัยร่วมของทั้งสองตัวเลข ตอนนี้เราจะทำอย่างอื่น:

• มาแยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
• บวกกับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกกับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
• เราได้รับผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว

ตัวอย่างที่ 5

กลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้ค้นหา LCM แล้วในหนึ่งในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แบ่งพวกเขาออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. เป็นผลคูณของปัจจัย 3 , 5 และ 5 เลข 75 บวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 หมายเลข 210 . เราได้รับ: 2 3 5 5 7 .นี่คือ LCM ของตัวเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648

การตัดสินใจ

ลองแยกตัวเลขจากเงื่อนไขเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. บวกกับผลคูณของตัวประกอบ 2 , 2 , 3 และ 7 ตัวเลข 84 ขาดปัจจัย 2 , 3 , 3 และ
3 หมายเลข 648 . เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

ตอบ: LCM (84, 648) = 4536

การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริธึมของการกระทำของเราจะเหมือนกันเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้

ทฤษฎีบท 1

สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม a 1 , 2 , … , ก. NOC m kของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k)

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะได้อย่างไร

ตัวอย่าง 7

คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250 .

การตัดสินใจ

มาแนะนำสัญกรณ์: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250

เริ่มต้นด้วยการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดในการคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 เราได้รับ: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ดังนั้น ม. 2 = 1 260 .

ทีนี้มาคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ในระหว่างการคำนวณ เราได้ m 3 = 3 780

เรายังคงคำนวณ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . เราดำเนินการตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 \u003d 94 500

LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500

ตอบ: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณนั้นง่ายแต่ค่อนข้างลำบาก คุณสามารถไปทางอื่นเพื่อประหยัดเวลา

คำจำกัดความ 4

เราขอเสนออัลกอริธึมของการดำเนินการต่อไปนี้ให้คุณ:

• แยกจำนวนทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
• บวกตัวประกอบที่หายไปจากผลคูณของจำนวนที่สองเข้ากับผลคูณของจำนวนแรก
• เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สามให้กับผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า ฯลฯ
• ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งหมดจากเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องหา LCM ของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143

การตัดสินใจ

มาแยกตัวเลขทั้งห้าตัวเป็นตัวประกอบสำคัญ: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวของพวกมันเป็นปัจจัยเฉพาะ

ทีนี้ ลองหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของจำนวน 84 แล้วบวกตัวประกอบที่หายไปของจำนวนที่สองเข้าไป เราได้แยกเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 แล้ว ปัจจัยเหล่านี้มีอยู่แล้วในผลคูณของตัวเลขแรก ดังนั้นเราจึงละเว้น

เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไปต่อไป เราเปลี่ยนเป็นตัวเลข 48 จากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เรานำ 2 และ 2 จากนั้นเราบวกตัวประกอบอย่างง่ายของ 7 จากจำนวนที่สี่และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของตัวที่ห้า เราได้: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่เป็นผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเดิมห้าจำนวน

ตอบ: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

ในการค้นหาจำนวนลบที่เป็นจำนวนเต็มร่วมน้อย อันดับแรกต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงข้าม จากนั้นจึงทำการคำนวณตามอัลกอริธึมข้างต้น

ตัวอย่างที่ 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888)

การกระทำดังกล่าวจะกระทำได้เพราะว่าหากเป็นที่ยอมรับว่า เอและ −- ตัวเลขตรงข้าม
แล้วเซตของทวีคูณ เอประจวบกับเซตของจำนวนทวีคูณ −.

ตัวอย่าง 10

มีความจำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .

การตัดสินใจ

มาเปลี่ยนเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 ไปเป็นเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้โดยใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

เราได้ LCM ของตัวเลข − 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .

ตอบ: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter