ประวัติความเป็นมาของลูกเต๋า ลูกเต๋าออนไลน์ ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

คำกล่าวอ้างของไอน์สไตน์ที่ว่าพระเจ้าไม่ได้เล่นลูกเต๋ากับจักรวาลมีการตีความผิด

มีคำพูดติดปากไม่กี่คำของไอน์สไตน์ที่กล่าวอ้างอย่างกว้างขวางพอๆ กับข้อสังเกตของเขาที่ว่าพระเจ้าไม่ได้เล่นลูกเต๋ากับจักรวาล โดยธรรมชาติแล้วผู้คนมักมองว่าความคิดเห็นอันมีไหวพริบของเขาเป็นหลักฐานว่าเขาไม่เห็นด้วยกับกลศาสตร์ควอนตัมอย่างไร้เหตุผล ซึ่งถือว่าความสุ่มเป็นคุณลักษณะเฉพาะของโลกทางกายภาพ เมื่อนิวเคลียสของธาตุกัมมันตภาพรังสีสลายตัว มันจะเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ไม่มีกฎตายตัวที่จะบอกคุณได้อย่างแน่ชัดว่าจะเกิดขึ้นเมื่อใดหรือเพราะเหตุใด เมื่ออนุภาคของแสงกระทบกับกระจกโปร่งแสง มันจะสะท้อนออกไปหรือทะลุผ่านกระจกนั้นไป ผลลัพธ์อาจเป็นอะไรก็ได้จนถึงช่วงเวลาที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และคุณไม่จำเป็นต้องไปที่ห้องปฏิบัติการเพื่อดูกระบวนการประเภทนี้ เว็บไซต์อินเทอร์เน็ตหลายแห่งแสดงกระแสตัวเลขสุ่มที่สร้างโดยเครื่องนับไกเกอร์หรืออุปกรณ์ควอนตัมออปติก เนื่องจากโดยหลักการแล้วไม่สามารถคาดเดาได้แม้โดยหลักการแล้ว ตัวเลขดังกล่าวจึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาในการเข้ารหัส สถิติ และการแข่งขันโป๊กเกอร์ออนไลน์

ไอน์สไตน์ ตามตำนานมาตรฐาน ปฏิเสธที่จะยอมรับความจริงที่ว่าเหตุการณ์บางอย่างเป็นสิ่งที่ไม่แน่นอนโดยธรรมชาติ - สิ่งเหล่านี้เพิ่งเกิดขึ้น และไม่สามารถดำเนินการใดเพื่อค้นหาสาเหตุได้ เกือบจะอยู่โดดเดี่ยวอย่างงดงาม รายล้อมไปด้วยคนเท่าเทียม เขาจับมือทั้งสองข้างเข้ากับจักรวาลจักรกลของฟิสิกส์คลาสสิก โดยวัดวินาทีด้วยกลไก ซึ่งแต่ละช่วงเวลาจะกำหนดล่วงหน้าว่าจะเกิดอะไรขึ้นในครั้งต่อไป เส้นของเกมลูกเต๋ากลายเป็นเครื่องบ่งบอกถึงอีกด้านหนึ่งของชีวิตของเขา: โศกนาฏกรรมของนักปฏิวัติที่กลายเป็นปฏิกิริยาซึ่งปฏิวัติฟิสิกส์ด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพของเขา แต่ - ดังที่ Niels Bohr พูดในเชิงทางการทูต - เมื่อต้องเผชิญกับทฤษฎีควอนตัม เขา "ไป ออกไปกินข้าวเที่ยง”

อย่างไรก็ตาม ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา นักประวัติศาสตร์ นักปรัชญา และนักฟิสิกส์หลายคนตั้งคำถามกับการตีความเรื่องนี้ เมื่อดำดิ่งลงสู่ทะเลของทุกสิ่งที่ไอน์สไตน์พูดจริง พวกเขาค้นพบว่าการตัดสินของเขาเกี่ยวกับความคาดเดาไม่ได้นั้นรุนแรงกว่าและมีความแตกต่างที่กว้างกว่าที่มักจะแสดงให้เห็น “การพยายามขุดค้นเรื่องจริงกลายเป็นภารกิจ” ดอน เอ. ฮาวเวิร์ด นักประวัติศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนอเทรอดามกล่าว “มันน่าทึ่งมากเมื่อคุณเข้าไปในเอกสารสำคัญและเห็นความคลาดเคลื่อนกับภูมิปัญญาดั้งเดิม” ดังที่เขาและนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็นแล้ว ไอน์สไตน์ตระหนักถึงธรรมชาติที่ไม่แน่นอนของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากเขาเป็นผู้ค้นพบความไม่แน่นอนของมันเอง สิ่งที่เขาไม่เคยตระหนักก็คือความไม่แน่นอนนั้นเป็นพื้นฐานในธรรมชาติ ทั้งหมดนี้ชี้ให้เห็นว่าปัญหาเกิดขึ้นในระดับความเป็นจริงที่ลึกกว่าซึ่งทฤษฎีไม่ได้สะท้อนให้เห็น คำวิจารณ์ของเขาไม่ใช่เรื่องลึกลับ แต่มุ่งเน้นไปที่ปัญหาทางวิทยาศาสตร์โดยเฉพาะที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขจนถึงทุกวันนี้

คำถามที่ว่าจักรวาลเป็นเครื่องจักรหรือโต๊ะลูกเต๋าทำลายรากฐานของสิ่งที่เราคิดว่าฟิสิกส์คืออะไร นั่นคือการค้นหากฎเกณฑ์ง่ายๆ ที่รองรับความหลากหลายอันน่าทึ่งของธรรมชาติ หากมีสิ่งใดเกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุผล การสอบสวนอย่างมีเหตุผลก็จะยุติลง แอนดรูว์ เอส. ฟรีดแมน นักจักรวาลวิทยาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ กล่าวว่า “ความไม่แน่นอนขั้นพื้นฐานคือจุดสิ้นสุดของวิทยาศาสตร์” แต่นักปรัชญาตลอดประวัติศาสตร์เชื่อว่าความไม่แน่นอนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเจตจำนงเสรีของมนุษย์ ไม่ว่าเราทุกคนต่างก็เป็นฟันเฟืองในกลไกของนาฬิกา ดังนั้นทุกสิ่งที่เราทำจึงถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแล้ว หรือเราเป็นตัวแทนของโชคชะตาของเราเอง ซึ่งในกรณีนี้ จักรวาลจะต้องไม่ถูกกำหนดไว้ในที่สุด

การแบ่งขั้วนี้มีผลกระทบอย่างแท้จริงต่อวิธีที่สังคมถือว่าผู้คนต้องรับผิดชอบต่อการกระทำของตน ระบบกฎหมายของเราอยู่บนพื้นฐานของเจตจำนงเสรี การที่ผู้ต้องหาจะถูกตัดสินว่ามีความผิดนั้นจะต้องกระทำโดยเจตนา ศาลมักตั้งคำถามอยู่ตลอดเวลาว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าบุคคลผู้บริสุทธิ์เกิดจากความวิกลจริต ความหุนหันพลันแล่นในวัยเยาว์ หรือสภาพแวดล้อมทางสังคมที่เน่าเปื่อย

อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ผู้คนพูดถึงการแบ่งขั้ว พวกเขามักจะพยายามมองว่ามันเป็นความเข้าใจผิด อันที่จริง นักปรัชญาหลายคนเชื่อว่ามันไม่มีประโยชน์ที่จะพูดถึงว่าจักรวาลนั้นถูกกำหนดไว้หรือไม่ถูกกำหนดไว้ อาจเป็นได้ทั้งสองอย่าง ขึ้นอยู่กับว่าหัวข้อการศึกษามีขนาดใหญ่หรือซับซ้อนเพียงใด: อนุภาค อะตอม โมเลกุล เซลล์ สิ่งมีชีวิต จิตใจ ชุมชน “ความแตกต่างระหว่าง determinism และ indeterminism นั้นแตกต่างกันขึ้นอยู่กับระดับการศึกษาของปัญหา” Christian List นักปรัชญาจาก London School of Economics and Political Science กล่าว “แม้ว่าคุณจะสังเกตระดับที่กำหนดในระดับใดระดับหนึ่งก็ตาม ค่อนข้างสอดคล้องกับความไม่แน่นอนทั้งในระดับสูงและต่ำ" อะตอมในสมองของเราสามารถทำงานในลักษณะที่กำหนดได้อย่างสมบูรณ์ ขณะเดียวกันก็ทำให้เรามีอิสระในการดำเนินการ เนื่องจากอะตอมและอวัยวะทำงานในระดับที่แตกต่างกัน

ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์มองหาระดับย่อยควอนตัมที่กำหนดขึ้นได้ ขณะเดียวกันก็ไม่ปฏิเสธว่าระดับควอนตัมนั้นเป็นความน่าจะเป็น

ไอน์สไตน์คัดค้านอะไร?

การที่ไอน์สไตน์ถูกมองว่าเป็นฝ่ายตรงข้ามของทฤษฎีควอนตัมนั้น ยังคงเป็นปริศนาที่เกือบจะใหญ่พอๆ กับกลศาสตร์ควอนตัมนั่นเอง แนวคิดเรื่องควอนตัมซึ่งเป็นหน่วยพลังงานแยกส่วนเป็นผลจากความคิดของเขาในปี 1905 และเป็นเวลาหนึ่งทศวรรษครึ่งที่เขายืนหยัดต่อสู้เพียงลำพังในการปกป้องมัน ไอน์สไตน์แนะนำสิ่งนี้ สิ่งที่นักฟิสิกส์ในปัจจุบันถือว่าเป็นลักษณะสำคัญของฟิสิกส์ควอนตัม เช่น ความสามารถอันแปลกประหลาดของแสงที่จะทำหน้าที่เป็นทั้งอนุภาคและคลื่น และจากความคิดของเขาเกี่ยวกับฟิสิกส์ของคลื่นเองที่ทำให้ Erwin Schrödinger ได้พัฒนาสูตรควอนตัมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด ทฤษฎีในช่วงทศวรรษปี ค.ศ. 1920 ไอน์สไตน์ไม่ใช่ศัตรูของโอกาสเช่นกัน ในปี 1916 เขาแสดงให้เห็นว่าเมื่ออะตอมปล่อยโฟตอน เวลาและทิศทางของการปล่อยนั้นเป็นตัวแปรสุ่ม

“สิ่งนี้ขัดแย้งกับภาพลักษณ์ยอดนิยมของไอน์สไตน์ในฐานะศัตรูของแนวทางความน่าจะเป็น” แยน ฟอน เพลโต แห่งมหาวิทยาลัยเฮลซิงกิ ให้เหตุผล แต่ไอน์สไตน์และคนรุ่นเดียวกันของเขาประสบปัญหาร้ายแรง ปรากฏการณ์ควอนตัมเป็นการสุ่ม แต่ทฤษฎีควอนตัมนั้นไม่ได้เป็นเช่นนั้น สมการชโรดิงเงอร์ถูกกำหนดไว้ได้ 100% อธิบายอนุภาคหรือระบบของอนุภาคโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันคลื่น ซึ่งใช้ประโยชน์จากธรรมชาติของคลื่นของอนุภาค และอธิบายรูปแบบคล้ายคลื่นที่คอลเลกชันของอนุภาคสร้างขึ้น สมการนี้จะทำนายสิ่งที่จะเกิดขึ้นกับฟังก์ชันคลื่น ณ เวลาใดก็ตามด้วยความแน่นอนอย่างแน่นอน ในหลาย ๆ ด้าน สมการนี้มีการกำหนดไว้มากกว่ากฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยไม่ได้ทำให้เกิดความสับสน เช่น ภาวะเอกฐาน (ซึ่งปริมาณกลายเป็นอนันต์จึงอธิบายไม่ได้) หรือความวุ่นวาย (ซึ่งการเคลื่อนที่ไม่อาจคาดเดาได้)

ประเด็นสำคัญก็คือ ค่ากำหนดของสมการชโรดิงเงอร์คือค่ากำหนดของฟังก์ชันคลื่น และฟังก์ชันคลื่นไม่สามารถสังเกตได้โดยตรง ต่างจากตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค แต่ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดปริมาณที่สามารถสังเกตได้และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการ ทฤษฎีทำให้เกิดคำถามขึ้นว่าฟังก์ชันของคลื่นเองคืออะไร และควรพิจารณาตามตัวอักษรว่าเป็นคลื่นจริงในโลกวัตถุของเราหรือไม่ ดังนั้น คำถามต่อไปนี้ยังคงเปิดอยู่: การสุ่มตัวอย่างที่สังเกตได้นั้นเป็นทรัพย์สินภายในที่สำคัญของธรรมชาติหรือเพียงแค่ส่วนหน้าของมันเท่านั้น “มีการอ้างว่ากลศาสตร์ควอนตัมเป็นสิ่งที่กำหนดไม่ได้ แต่นี่เป็นข้อสรุปที่เร่งรีบเกินไป” Christian Wuthrich นักปรัชญาจากมหาวิทยาลัยเจนีวาในสวิตเซอร์แลนด์กล่าว

เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ผู้บุกเบิกทฤษฎีควอนตัมอีกคนหนึ่ง คิดว่าฟังก์ชันของคลื่นเป็นเหมือนหมอกควันที่บ่งชี้ถึงความมีอยู่จริง หากคุณไม่สามารถบอกได้อย่างชัดเจนว่าอนุภาคอยู่ที่ไหน นั่นเป็นเพราะว่าอนุภาคนั้นไม่ได้อยู่ที่ใดเป็นพิเศษ เฉพาะเมื่อคุณสังเกตเห็นอนุภาคเท่านั้นที่มันจะเกิดขึ้นจริงที่ไหนสักแห่งในอวกาศ ฟังก์ชันคลื่นสามารถกระจายออกไปในพื้นที่อันกว้างใหญ่ แต่เมื่อทำการสังเกตการณ์ ฟังก์ชั่นคลื่นก็จะพังทลายลงในทันที หดตัวลงเป็นจุดแคบ ๆ ที่อยู่ในสถานที่เฉพาะแห่งเดียว และทันใดนั้น อนุภาคก็ปรากฏขึ้นตรงนั้น แต่ถึงแม้จะดูอนุภาคก็ปัง! - จู่ๆ มันก็หยุดประพฤติตามที่กำหนดและกระโดดเข้าสู่สภาวะสุดท้าย เหมือนเด็กคว้าเก้าอี้ในเกมเก้าอี้ดนตรี (เกมคือให้เด็ก ๆ เต้นเป็นวงกลมพร้อมดนตรีรอบเก้าอี้ ซึ่งจำนวนน้อยกว่าจำนวนผู้เล่นหนึ่งคน และพยายามนั่งบนที่นั่งว่างทันทีที่เพลงหยุด)

ไม่มีกฎหมายควบคุมการล่มสลายนี้ ไม่มีสมการสำหรับมัน มันเพิ่งเกิดขึ้น - แค่นั้นแหละ! การล่มสลายกลายเป็นองค์ประกอบสำคัญของการตีความแบบโคเปนเฮเกน: มุมมองของกลศาสตร์ควอนตัมที่ตั้งชื่อตามเมืองที่บอร์และสถาบันของเขา พร้อมด้วยไฮเซนเบิร์ก ทำหน้าที่สำคัญมาก (ขัดแย้งกันเองที่ Bohr ไม่เคยรับรู้ถึงการล่มสลายของฟังก์ชันคลื่น) โรงเรียนโคเปนเฮเกนถือว่าการสุ่มที่สังเกตได้ของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นเป็นลักษณะเฉพาะของมัน ไม่คล้อยตามคำอธิบายเพิ่มเติม นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่เห็นด้วยกับสิ่งนี้ สาเหตุหนึ่งที่เรียกว่าเอฟเฟกต์สมอเรือ ซึ่งเป็นที่รู้จักจากจิตวิทยา หรือเอฟเฟกต์สมอ นี่เป็นคำอธิบายที่น่าพอใจอย่างยิ่ง และมันปรากฏขึ้นก่อน แม้ว่าไอน์สไตน์จะไม่ใช่ศัตรูของกลศาสตร์ควอนตัม แต่เขาก็เป็นศัตรูกับการตีความแบบโคเปนเฮเกนอย่างแน่นอน เขาเริ่มต้นจากความคิดที่ว่าการวัดทำให้เกิดการหยุดชะงักในการวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องของระบบทางกายภาพ และในบริบทนี้เองที่เขาเริ่มแสดงท่าทีต่อต้านการขว้างลูกเต๋าอันศักดิ์สิทธิ์ “ มันเป็นปัญหานี้อย่างแน่นอนที่ไอน์สไตน์คร่ำครวญในปี 1926 ไม่ใช่การกล่าวอ้างเชิงอภิปรัชญาที่ครอบคลุมของลัทธิกำหนดระดับว่าเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างยิ่ง” ฮาวเวิร์ดกล่าว “ เขากระตือรือร้นเป็นพิเศษในการถกเถียงอย่างเผ็ดร้อนว่าการล่มสลายของฟังก์ชันคลื่นนำไปสู่การพังทลายหรือไม่ แห่งความต่อเนื่อง” “.

ความจริงมากมาย.แต่โลกถูกกำหนดไว้หรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับกฎการเคลื่อนที่ขั้นพื้นฐานเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับระดับที่เราอธิบายระบบด้วย พิจารณาอะตอมห้าอะตอมในก๊าซที่เคลื่อนที่ตามที่กำหนด (แผนภาพด้านบน) พวกเขาเริ่มต้นการเดินทางจากสถานที่เดียวกันและค่อยๆ แยกออกจากกัน อย่างไรก็ตาม ในระดับมหภาค (แผนภาพด้านล่าง) ไม่ใช่อะตอมเดี่ยวที่มองเห็นได้ แต่เป็นการไหลแบบอสัณฐานในก๊าซ หลังจากนั้นสักพัก ก๊าซก็อาจจะกระจายแบบสุ่มไปหลายลำธาร การสุ่มในระดับมหภาคนี้เป็นผลพลอยได้จากการที่ผู้สังเกตการณ์ไม่รู้กฎในระดับจุลภาคซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เป็นวัตถุประสงค์ของธรรมชาติ ซึ่งสะท้อนถึงวิธีที่อะตอมมารวมตัวกัน ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์เสนอว่าโครงสร้างภายในที่กำหนดขึ้นเองของจักรวาลนำไปสู่ธรรมชาติความน่าจะเป็นของอาณาจักรควอนตัม

ไอน์สไตน์แย้งว่าการล่มสลายแทบจะไม่ใช่กระบวนการที่แท้จริง สิ่งนี้จะต้องอาศัยการกระทำทันทีจากระยะไกล ซึ่งเป็นกลไกลึกลับที่ฟังก์ชันคลื่นทั้งด้านซ้ายและด้านขวายุบลงเป็นจุดเล็กๆ เดียวกัน แม้ว่าจะไม่มีแรงใดประสานพฤติกรรมของพวกมันก็ตาม ไม่เพียงแต่ไอน์สไตน์เท่านั้น แต่นักฟิสิกส์ทุกคนในสมัยของเขาเชื่อว่ากระบวนการดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ มันจะต้องเกิดขึ้นเร็วกว่าความเร็วแสง ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพอย่างเห็นได้ชัด ในความเป็นจริง กลศาสตร์ควอนตัมไม่เพียงแต่ให้ลูกเต๋าแก่คุณเท่านั้น แต่ยังให้ลูกเต๋าคู่หนึ่งที่มักจะปรากฏด้านเดียวกันเสมอ แม้ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าหนึ่งที่เวก้าและอีกลูกเต๋าหนึ่งบนเวก้าก็ตาม ไอน์สไตน์เห็นได้ชัดว่าลูกเต๋าจะต้องเป็นคนขี้โกง ปล่อยให้พวกเขาแอบมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของการโยนล่วงหน้า แต่โรงเรียนโคเปนเฮเกนปฏิเสธความเป็นไปได้ใดๆ ดังกล่าว ดังนั้นจึงเสนอว่าโดมิโนมีอิทธิพลเหนือกันและกันในอวกาศอันกว้างใหญ่ในทันที ยิ่งไปกว่านั้น ไอน์สไตน์ยังกังวลเกี่ยวกับอำนาจที่ชาวโคเปนเฮเกนมีต่อการวัดผล แล้วการวัดคืออะไรล่ะ? นี่อาจเป็นสิ่งที่มีเพียงสิ่งมีชีวิตที่ชาญฉลาดเท่านั้น หรือแม้แต่อาจารย์ที่ดำรงตำแหน่งเท่านั้นที่สามารถทำได้? ไฮเซนเบิร์กและตัวแทนคนอื่นๆ ของโรงเรียนโคเปนเฮเกนไม่เคยระบุแนวคิดนี้ บางคนเสนอแนะให้เราสร้างความจริงรอบตัวเราในจิตใจของเราผ่านการสังเกตมัน ซึ่งเป็นแนวคิดที่ฟังดูเป็นบทกวีหรือบางทีอาจเป็นบทกวีมากเกินไป ไอน์สไตน์ยังถือว่านี่เป็นจุดสูงสุดของความอวดดีของชาวโคเปนเฮเกนที่จะประกาศว่ากลศาสตร์ควอนตัมเสร็จสมบูรณ์แล้ว และนั่นเป็นทฤษฎีสุดท้ายที่จะไม่มีใครมาแทนที่ทฤษฎีอื่นได้ เขาถือว่าทฤษฎีทั้งหมดรวมทั้งทฤษฎีของเขาเองเป็นสะพานเชื่อมไปสู่บางสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่านั้น

ในความเป็นจริง. ฮาวเวิร์ดให้เหตุผลว่าไอน์สไตน์ยินดียอมรับความไม่กำหนดหากเขามีคำตอบสำหรับปัญหาทั้งหมดที่ต้องการการแก้ไข เช่น ถ้ามีคนสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่ามิติคืออะไร และวิธีที่อนุภาคสามารถประสานกันได้โดยไม่ต้องมีการกระทำในระยะไกล สัญญาณที่ไอน์สไตน์ถือว่าความไม่กำหนดเป็นปัญหารองก็คือ เขาได้เรียกร้องแบบเดียวกันกับทางเลือกที่กำหนดขึ้นนอกเหนือจากโรงเรียนโคเปนเฮเกน และยังปฏิเสธสิ่งเหล่านั้นด้วย นักประวัติศาสตร์อีกคนคือ Arthur Fine จากมหาวิทยาลัย Washington เชื่อ ฮาวเวิร์ดกล่าวเกินจริงถึงความอ่อนไหวของไอน์สไตน์ต่อความไม่แน่นอน แต่ตกลงว่าการตัดสินใจของเขาวางอยู่บนรากฐานที่มั่นคงมากกว่าที่นักฟิสิกส์หลายรุ่นหลายรุ่นเคยถูกชักจูงให้เชื่อ โดยอิงจากตัวอย่างคำพูดของเขาเกี่ยวกับเกมลูกเต๋า

ความคิดสุ่ม

ไอน์สไตน์เชื่อว่า หากคุณเล่นชักเย่อกับโรงเรียนโคเปนเฮเกน คุณจะพบว่าความผิดปกติของควอนตัมก็เหมือนกับความผิดปกติประเภทอื่นๆ ในฟิสิกส์ นั่นคือเป็นผลจากความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ไอน์สไตน์เชื่อว่าการเต้นรำของฝุ่นเม็ดเล็กๆ ในลำแสงเผยให้เห็นการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนของโมเลกุล และการปล่อยโฟตอนหรือการสลายตัวของนิวเคลียสของกัมมันตภาพรังสีก็เป็นกระบวนการที่คล้ายกัน ในมุมมองของเขา กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีประเมินที่แสดงออกถึงพฤติกรรมทั่วไปขององค์ประกอบต่างๆ ในธรรมชาติ แต่ไม่มีความละเอียดเพียงพอที่จะจับรายละเอียดแต่ละอย่างได้

ทฤษฎีที่ลึกกว่าและสมบูรณ์กว่าจะอธิบายการเคลื่อนไหวได้อย่างสมบูรณ์ โดยไม่มีการกระโดดอย่างลึกลับใดๆ จากมุมมองนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นคำอธิบายโดยรวม เช่น ข้อความที่ว่าแฟร์ตาย หากโยนซ้ำๆ จะตกลงในแต่ละด้านโดยประมาณเป็นจำนวนเท่าๆ กัน การล่มสลายของฟังก์ชันคลื่นไม่ใช่กระบวนการทางกายภาพ แต่เป็นการได้มาซึ่งความรู้ หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านแล้วเกิดค่าขึ้นมา เช่น สี่ ซึ่งเป็นช่วงของตัวเลือกตั้งแต่ 1 ถึง 6 ตัว หรืออาจบอกว่าพังทลาย จนถึงค่าจริงของ "4" ปีศาจเทพที่สามารถติดตามรายละเอียดของโครงสร้างอะตอมที่มีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของลูกเต๋า (เช่น วัดได้อย่างแม่นยำว่ามือของคุณดันและบิดแม่พิมพ์ก่อนที่มันจะตกโต๊ะอย่างไร) จะไม่พูดถึงการล่มสลาย

สัญชาตญาณของไอน์สไตน์ได้รับการเสริมกำลังด้วยงานแรกๆ ของเขาเกี่ยวกับผลกระทบโดยรวมของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล ซึ่งศึกษาโดยสาขาวิชาฟิสิกส์ที่เรียกว่ากลศาสตร์เชิงสถิติ ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์มีความน่าจะเป็นได้แม้ว่าปรากฏการณ์ที่ซ่อนอยู่นั้นเป็นความจริงที่กำหนดขึ้นเองก็ตาม ในปี 1935 ไอน์สไตน์เขียนถึงปราชญ์ Karl Popper: “ฉันไม่คิดว่าคุณพูดถูกว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปผลทางสถิติตามทฤษฎีกำหนดไว้ ใช้กลศาสตร์ทางสถิติแบบคลาสสิก (ทฤษฎีของก๊าซหรือทฤษฎีของบราวเนียน) การเคลื่อนไหว)” ความน่าจะเป็นในความเข้าใจของไอน์สไตน์นั้นเป็นจริงพอๆ กับการตีความของโรงเรียนโคเปนเฮเกน พวกมันยังสะท้อนคุณสมบัติอื่น ๆ ของโลกโดยรอบด้วยการแสดงตนในกฎพื้นฐานของการเคลื่อนที่ พวกมันไม่ได้เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์ของความไม่รู้ของมนุษย์เท่านั้น ไอน์สไตน์เสนอให้ป็อปเปอร์พิจารณาอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่เป็นตัวอย่าง ความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคในส่วนที่กำหนดของส่วนโค้งวงกลมสะท้อนถึงความสมมาตรของวิถีการเคลื่อนที่ ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตายลงบนใบหน้าที่กำหนดคือหนึ่งในหก เนื่องจากมีหกหน้าเท่ากัน “เขาเข้าใจดีกว่าคนส่วนใหญ่ในเวลานั้นว่าฟิสิกส์ที่สำคัญบรรจุอยู่ในรายละเอียดของความน่าจะเป็นทางสถิติและเชิงกล” ฮาวเวิร์ดกล่าว

บทเรียนอีกบทหนึ่งจากกลศาสตร์ทางสถิติก็คือปริมาณที่เราสังเกตไม่จำเป็นต้องมีอยู่ในระดับที่ลึกกว่านั้น ตัวอย่างเช่น ก๊าซมีอุณหภูมิ แต่ก็ไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงอุณหภูมิของโมเลกุลก๊าซเดี่ยวๆ จากการเปรียบเทียบ ไอน์สไตน์เริ่มเชื่อมั่นว่าทฤษฎีซับควอนตัมเป็นสิ่งจำเป็นในการทำเครื่องหมายการแตกหักครั้งใหญ่จากกลศาสตร์ควอนตัม ในปี 1936 เขาเขียนว่า “ไม่ต้องสงสัยเลยว่ากลศาสตร์ควอนตัมได้รวบรวมองค์ประกอบที่สวยงามของความจริงไว้แล้ว<...>อย่างไรก็ตาม ฉันไม่เชื่อว่ากลศาสตร์ควอนตัมจะเป็นจุดเริ่มต้นในการค้นหาพื้นฐานนี้ ในทางกลับกัน ไม่มีใครสามารถย้ายจากอุณหพลศาสตร์ (และกลศาสตร์เชิงสถิติ) ไปสู่รากฐานของกลศาสตร์ได้" เพื่อเติมเต็มระดับที่ลึกกว่านี้ ไอน์สไตน์ค้นหาสาขาทฤษฎีแบบครบวงจร ซึ่งอนุภาคเป็นอนุพันธ์ของโครงสร้างที่ไม่เหมือนกับอนุภาคเลย กล่าวโดยสรุป ภูมิปัญญาดั้งเดิมที่ไอน์สไตน์ปฏิเสธที่จะยอมรับธรรมชาติของความน่าจะเป็นของฟิสิกส์ควอนตัมนั้นผิด เขาพยายามอธิบายความสุ่ม และไม่แสร้งทำเป็นว่ามันไม่มีอยู่เลย

ทำให้ระดับของคุณดีที่สุด

แม้ว่าโครงการของไอน์สไตน์ในการสร้างทฤษฎีที่เป็นเอกภาพจะล้มเหลว แต่หลักการพื้นฐานของแนวทางตามสัญชาตญาณของเขาในการสุ่มตัวอย่างยังคงมีอยู่: ความไม่กำหนดสามารถเกิดขึ้นได้จากลัทธิกำหนด ระดับควอนตัมและระดับซับควอนตัม - หรือคู่ระดับอื่นใดในลำดับชั้นของธรรมชาติ - ประกอบด้วยโครงสร้างประเภทต่างๆ กัน ดังนั้นจึงอยู่ภายใต้กฎหมายประเภทต่างๆ กฎหมายที่ควบคุมระดับหนึ่งอาจยอมให้มีองค์ประกอบของการสุ่มโดยธรรมชาติ แม้ว่ากฎของระดับล่างจะได้รับการควบคุมโดยสมบูรณ์ก็ตาม “ไมโครฟิสิกส์เชิงกำหนดไม่ได้ก่อให้เกิดแมคโครฟิสิกส์เชิงกำหนด” นักปรัชญา Jeremy Butterfield จากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์กล่าว

ลองนึกภาพลูกเต๋าในระดับอะตอม ลูกบาศก์อาจประกอบด้วยโครงร่างอะตอมจำนวนมากอย่างเหลือเชื่อซึ่งแยกไม่ออกจากกันด้วยตาเปล่า หากคุณติดตามการกำหนดค่าใดๆ เหล่านี้ในขณะที่หมุนคิวบ์ มันจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจง - ในลักษณะที่กำหนดอย่างเคร่งครัด ในบางรูปแบบ แม่พิมพ์จะมีจุดหนึ่งจุดที่ด้านบนสุด ส่วนอื่นๆ จะมีจุดสองจุด ฯลฯ ดังนั้น สถานะมหภาคเดียว (หากลูกบาศก์ถูกสร้างให้หมุน) สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์มหภาคที่เป็นไปได้หลายอย่าง (หนึ่งในหกหน้าหงายขึ้น) “ถ้าเราอธิบายการตายในระดับมหภาค เราก็สามารถมองว่ามันเป็นระบบสุ่มที่ช่วยให้เกิดการสุ่มตามวัตถุประสงค์” List ผู้ศึกษาการผันระดับกับ Marcus Pivato นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Cergy-Pontoise ในฝรั่งเศสกล่าว

แม้ว่าระดับที่สูงกว่าจะสร้างจากระดับที่ต่ำกว่า แต่ก็เป็นอิสระ ในการอธิบายลูกเต๋า คุณจะต้องทำงานในระดับที่ลูกเต๋ามีอยู่เช่นนั้น และเมื่อคุณทำเช่นนั้น คุณก็อดไม่ได้ที่จะละเลยอะตอมและไดนามิกของพวกมัน หากคุณข้ามระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง คุณกำลังทำการทดแทนหมวดหมู่: มันเหมือนกับการถามความเกี่ยวข้องทางการเมืองของแซนด์วิชปลาแซลมอน (เพื่อใช้ตัวอย่างของนักปรัชญา David Albert แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย) “เมื่อเรามีปรากฏการณ์ที่สามารถอธิบายได้ในระดับที่แตกต่างกัน เราจะต้องระมัดระวังอย่างมากที่จะไม่ผสมระดับต่างๆ” ลิสต์กล่าว ด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์ของการขว้างลูกเต๋าจึงไม่ได้ปรากฏแบบสุ่มเท่านั้น มันเป็นเรื่องบังเอิญจริงๆ ปีศาจที่เหมือนพระเจ้าอาจโอ้อวดว่าเขารู้แน่ชัดว่าจะเกิดอะไรขึ้น แต่เขารู้แค่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับอะตอมเท่านั้น เขาไม่รู้ด้วยซ้ำว่าลูกเต๋าคืออะไร เพราะมันเป็นข้อมูลระดับที่สูงกว่า ปีศาจไม่เคยเห็นป่า มองเห็นแต่ต้นไม้เท่านั้น เขาเป็นเหมือนตัวละครหลักของเรื่อง "Funes the Memory" ของนักเขียนชาวอาร์เจนตินา Jorge Luis Borges ชายผู้จำทุกสิ่งได้ แต่ไม่เข้าใจอะไรเลย “การคิดคือการลืมความแตกต่าง การสรุปเป็นนามธรรม” บอร์เกสเขียน เพื่อให้ปีศาจรู้ว่าความตายจะตกอยู่ด้านไหนจำเป็นต้องอธิบายว่าต้องมองหาอะไร “ปีศาจจะสามารถเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในระดับบนสุดได้ก็ต่อเมื่อเขาได้รับคำอธิบายโดยละเอียดว่าเรากำหนดขอบเขตระหว่างระดับต่างๆ ได้อย่างไร” ลิสต์กล่าว แท้จริงหลังจากนี้ปีศาจคงจะอิจฉาที่เราเป็นมนุษย์

ตรรกะของระดับยังทำงานในทิศทางตรงกันข้ามอีกด้วย ไมโครฟิสิกส์แบบไม่กำหนดสามารถนำไปสู่แมคโครฟิสิกส์ที่กำหนดได้ ลูกเบสบอลสามารถสร้างขึ้นจากอนุภาคที่มีพฤติกรรมวุ่นวาย แต่การบินนั้นสามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์ ความโกลาหลควอนตัม การหาค่าเฉลี่ย หายไป ในทำนองเดียวกัน ก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลที่มีการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนอย่างยิ่งและไม่สามารถกำหนดได้ แต่อุณหภูมิและคุณสมบัติอื่น ๆ ของพวกมันเป็นไปตามกฎที่เรียบง่ายเพียงสองเท่าสองเท่า นักฟิสิกส์บางคน เช่น Robert Laughlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด แนะนำว่าระดับที่ต่ำกว่าไม่มีความแตกต่างเลย โครงสร้างสามารถเป็นอะไรก็ได้ และพฤติกรรมโดยรวมของพวกเขาจะยังคงเหมือนเดิม ท้ายที่สุดแล้ว ระบบต่างๆ เช่น โมเลกุลของน้ำ ดวงดาวในกาแล็กซี และรถยนต์บนทางด่วนก็เป็นไปตามกฎการไหลของของไหลแบบเดียวกัน

ในที่สุดก็ฟรี

เมื่อคุณคิดในแง่ของระดับ ความกังวลที่ว่าความไม่แน่นอนอาจเป็นจุดสิ้นสุดของวิทยาศาสตร์จะหายไป ไม่มีกำแพงสูงล้อมรอบตัวเราที่จะปกป้องชิ้นส่วนของจักรวาลที่ปฏิบัติตามกฎหมายของเราจากส่วนที่เหลือของอนาธิปไตยและไม่อาจเข้าใจได้ ในความเป็นจริง โลกเป็นเหมือนเค้กชั้นหนึ่งของลัทธิกำหนดระดับและลัทธิไม่กำหนด ตัวอย่างเช่น ภูมิอากาศของโลกอยู่ภายใต้กฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดขึ้นเองของนิวตัน แต่การพยากรณ์อากาศมีความน่าจะเป็น และในขณะเดียวกัน แนวโน้มสภาพภูมิอากาศตามฤดูกาลและระยะยาวก็สามารถคาดเดาได้อีกครั้ง ชีววิทยายังตามมาจากฟิสิกส์กำหนด แต่สิ่งมีชีวิตและระบบนิเวศจำเป็นต้องใช้วิธีการอธิบายอื่น เช่น วิวัฒนาการของดาร์วิน “ความมุ่งมั่นไม่ได้อธิบายทุกอย่างอย่างแน่นอน” Daniel Dennett นักปรัชญาจาก Tufts University กล่าว “ทำไมยีราฟถึงปรากฏตัว เพราะใครเป็นคนกำหนด: เป็นอย่างนั้นเหรอ?”

ผู้คนกระจัดกระจายอยู่ในเค้กชั้นนี้ เรามีเจตจำนงเสรีอันทรงพลัง เรามักจะทำการตัดสินใจที่คาดเดาไม่ได้และมีความสำคัญเป็นส่วนใหญ่ เราตระหนักดีว่าเราสามารถดำเนินการแตกต่างออกไปได้ (และบ่อยครั้งที่เราเสียใจที่เราไม่ได้ทำเช่นนี้) เป็นเวลาหลายพันปีที่เรียกกันว่าพวกเสรีนิยม ซึ่งเป็นผู้สนับสนุนหลักคำสอนเชิงปรัชญาเรื่องเจตจำนงเสรี (อย่าสับสนกับการเคลื่อนไหวทางการเมือง!) ได้โต้แย้งว่าเสรีภาพของมนุษย์จำเป็นต้องมีเสรีภาพของอนุภาค บางสิ่งบางอย่างจะต้องทำลายวิถีทางที่กำหนดของเหตุการณ์ เช่น การสุ่มควอนตัมหรือ “ความเบี่ยงเบน” ที่นักปรัชญาโบราณบางคนเชื่อว่าอะตอมสามารถสัมผัสได้ในการเคลื่อนที่ของพวกมัน (แนวคิดเรื่องการเบี่ยงเบนแบบสุ่มและคาดเดาไม่ได้ของอะตอมจากวิถีโคจรดั้งเดิมของมันถูกนำมาใช้ในสมัยโบราณ ปรัชญาโดย Lucretius เพื่อปกป้องหลักคำสอนแบบอะตอมมิกของ Epicurus)

ปัญหาหลักของการใช้เหตุผลแนวนี้ก็คือ มันปลดปล่อยอนุภาคต่างๆ ออกมา แต่ปล่อยให้เราเป็นทาส ไม่สำคัญว่าการตัดสินใจของคุณจะถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าในช่วงบิ๊กแบงหรือด้วยอนุภาคเล็กๆ ก็ยังไม่ใช่การตัดสินใจของคุณ เพื่อให้เป็นอิสระ เราต้องการความไม่แน่นอนไม่ใช่ในระดับอนุภาค แต่ในระดับมนุษย์ และสิ่งนี้เป็นไปได้เพราะระดับของมนุษย์และระดับอนุภาคเป็นอิสระจากกัน แม้ว่าทุกสิ่งที่คุณทำสามารถย้อนกลับไปตั้งแต่ก้าวแรก แต่คุณก็เป็นนายของการกระทำของคุณ เพราะทั้งคุณและการกระทำของคุณไม่มีอยู่ในระดับของสสาร แต่อยู่ในระดับมหภาคของจิตสำนึกเท่านั้น “การกำหนดระดับมหภาคซึ่งอิงจากระดับจุลภาค อาจรับประกันเจตจำนงเสรีได้” บัตเตอร์ฟิลด์เชื่อ การกำหนดระดับมหภาคไม่ใช่เหตุผลในการตัดสินใจของคุณ นี่คือการตัดสินใจของคุณ

บางคนอาจจะคัดค้านและบอกคุณว่าคุณยังเป็นหุ่นเชิด และกฎของธรรมชาติก็ทำหน้าที่เป็นคนหุ่นเชิด และอิสรภาพของคุณก็เป็นเพียงภาพลวงตา แต่คำว่า "ภาพลวงตา" เองทำให้นึกถึงปาฏิหาริย์ในทะเลทรายและผู้หญิงถูกเลื่อยไปครึ่งหนึ่ง ทั้งหมดนี้ไม่มีอยู่จริงในความเป็นจริง การกำหนดระดับมหภาคไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย มันเป็นเรื่องจริงมาก ไม่ใช่พื้นฐานเลย สามารถเปรียบเทียบกับชีวิตได้ อะตอมแต่ละอะตอมเป็นสสารที่ไม่มีชีวิตอย่างแน่นอน แต่มวลมหาศาลของพวกมันสามารถมีชีวิตอยู่และหายใจได้ “ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแทน สถานะความตั้งใจ การตัดสินใจและทางเลือกของพวกเขา ไม่มีสิ่งใดเหล่านี้มีส่วนเกี่ยวข้องกับเครื่องมือทางแนวคิดของฟิสิกส์พื้นฐาน แต่ไม่ได้หมายความว่าปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่มีอยู่จริง” บันทึกรายการ . เพียงแต่หมายความว่าสิ่งเหล่านั้นล้วนเป็นปรากฏการณ์ในระดับที่สูงกว่ามาก”

มันจะเป็นความผิดพลาดประเภทหนึ่ง หากไม่ใช่ความไม่รู้โดยสมบูรณ์ ในการอธิบายการตัดสินใจของมนุษย์ว่าเป็นกลไกของการเคลื่อนที่ของอะตอมในหัวของคุณ แต่จำเป็นต้องใช้แนวคิดทางจิตวิทยาทั้งหมดแทน: ความปรารถนา โอกาส ความตั้งใจ ทำไมฉันถึงดื่มน้ำและไม่ดื่มไวน์? เพราะฉันต้องการให้เป็นอย่างนั้น ความปรารถนาของฉันอธิบายการกระทำของฉัน โดยส่วนใหญ่แล้ว เมื่อเราถามคำถามว่า "ทำไม" เรามองหาแรงจูงใจของบุคคล ไม่ใช่ภูมิหลังทางกายภาพของเขา คำอธิบายทางจิตวิทยาทำให้เกิดความไม่แน่นอนตามที่ลิสต์พูดถึง ตัวอย่างเช่น นักทฤษฎีเกมจำลองการตัดสินใจของมนุษย์โดยวางตัวเลือกต่างๆ ไว้และอธิบายว่าคุณจะเลือกตัวเลือกใดหากคุณดำเนินการอย่างมีเหตุผล อิสระในการเลือกตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งจะขับเคลื่อนตัวเลือกของคุณ แม้ว่าคุณจะไม่เคยตัดสินใจเลือกตัวเลือกนั้นเลยก็ตาม

แน่นอนว่า ข้อโต้แย้งของลิสต์ไม่ได้อธิบายเจตจำนงเสรีได้ครบถ้วน ลำดับชั้นของระดับจะเปิดพื้นที่สำหรับเจตจำนงเสรี แยกจิตวิทยาออกจากฟิสิกส์ และเปิดโอกาสให้เราทำสิ่งที่ไม่คาดคิด แต่เราต้องใช้ประโยชน์จากโอกาสนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราตัดสินใจทั้งหมดโดยการโยนเหรียญ สิ่งนี้จะยังถือว่าเป็นการกำหนดระดับมหภาค แต่ก็แทบจะไม่เข้าข่ายเป็นเจตจำนงเสรีในแง่ที่มีความหมายใดๆ ในทางกลับกัน การตัดสินใจของคนบางคนอาจทำให้เหนื่อยมากจนไม่สามารถพูดได้ว่ากระทำการอย่างอิสระไม่ได้

แนวทางแก้ไขปัญหาระดับกำหนดนี้ให้ความหมายแก่การตีความทฤษฎีควอนตัม ซึ่งเสนอขึ้นไม่กี่ปีหลังจากไอน์สไตน์เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2498 แนวคิดนี้เรียกว่าการตีความหลายโลก หรือการตีความเอเวอเรตต์ ผู้เสนอให้เหตุผลว่ากลศาสตร์ควอนตัมอธิบายถึงกลุ่มจักรวาลคู่ขนาน ซึ่งเป็นจักรวาลจักรวาลที่มีพฤติกรรมโดยทั่วไปตามที่กำหนด แต่ดูเหมือนจะไม่กำหนดสำหรับเรา เพราะเรามองเห็นจักรวาลเพียงจักรวาลเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น อะตอมสามารถปล่อยโฟตอนไปทางขวาหรือทางซ้าย ทฤษฎีควอนตัมปล่อยให้ผลลัพธ์ของเหตุการณ์นี้เปิดกว้าง ตามการตีความหลายโลกภาพดังกล่าวถูกสังเกตเพราะสถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในจักรวาลคู่ขนานจำนวนนับไม่ถ้วน: ในบางส่วนโฟตอนบินไปทางซ้ายตามที่กำหนดและในส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา หากไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าเราอยู่ในจักรวาลใด เราไม่สามารถคาดเดาสิ่งที่จะเกิดขึ้นได้ ดังนั้น สถานการณ์นี้จึงดูอธิบายไม่ได้จากภายใน แต่เหตุการณ์ต่างๆ อาจปรากฏแบบสุ่มในสายตาของผู้สังเกตได้" Max Tegmark นักจักรวาลวิทยาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ ผู้เสนอมุมมองนี้ที่รู้จักกันดี อธิบาย "การสุ่มสะท้อนถึงการที่คุณไม่สามารถระบุได้ว่าจุดใด คุณคือ."

นี่เหมือนกับการบอกว่าแม่พิมพ์หรือสมองสามารถสร้างขึ้นได้จากการกำหนดค่าอะตอมจำนวนไม่สิ้นสุด การกำหนดค่านี้เองอาจกำหนดได้ แต่เนื่องจากเราไม่สามารถรู้ได้ว่าอันไหนที่สอดคล้องกับลูกเต๋าหรือสมองของเรา เราจึงถูกบังคับให้สันนิษฐานว่าผลลัพธ์นั้นไม่แน่นอน ดังนั้น จักรวาลคู่ขนานจึงไม่ใช่แนวคิดแปลกใหม่ที่ลอยอยู่ในจินตนาการอันเลวร้าย ร่างกายและสมองของเราเป็นจักรวาลเล็กๆ ความเป็นไปได้ที่หลากหลายทำให้เรามีอิสระ

ประเภทที่พบบ่อยที่สุดจะมีรูปร่างเหมือนลูกบาศก์ โดยมีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ในแต่ละด้าน ผู้เล่นที่ขว้างมันลงบนพื้นผิวเรียบจะเห็นผลที่ขอบด้านบน กระดูกเป็นกระบอกเสียงแห่งโอกาส โชคดีหรือโชคร้าย

อุบัติเหตุ.
ลูกบาศก์ (กระดูก) มีมานานแล้ว แต่ได้รับรูปแบบดั้งเดิมที่มีหกด้านเมื่อประมาณ 2,600 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวกรีกโบราณชอบเล่นลูกเต๋า และในตำนานของพวกเขา Palamedes ฮีโร่ที่ถูกกล่าวหาอย่างไม่ยุติธรรมว่าเป็นกบฏโดย Odysseus ถูกกล่าวถึงว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ของพวกเขา ตามตำนาน เขาคิดค้นเกมนี้เพื่อสร้างความบันเทิงให้กับทหารที่กำลังปิดล้อมเมืองทรอย ซึ่งถูกจับได้ด้วยม้าไม้ตัวใหญ่ ชาวโรมันในสมัยของจูเลียส ซีซาร์ยังสนุกสนานกับเกมลูกเต๋าหลากหลายประเภทอีกด้วย ในภาษาลาติน ลูกบาศก์เรียกว่า datum ซึ่งแปลว่า "มอบให้"

ข้อห้าม
ในยุคกลาง ประมาณศตวรรษที่ 12 ลูกเต๋าได้รับความนิยมอย่างมากในยุโรป ลูกเต๋าซึ่งสามารถพกติดตัวไปได้ทุกที่ ได้รับความนิยมจากทั้งทหารและชาวนา ว่ากันว่ามีเกมที่แตกต่างกันมากกว่าหกร้อยเกม! การผลิตลูกเต๋ากลายเป็นอาชีพที่แยกจากกัน พระเจ้าหลุยส์ที่ 9 (ค.ศ. 1214-1270) กลับจากสงครามครูเสด ทรงไม่ทรงชอบการพนันและสั่งห้ามการผลิตลูกเต๋าทั่วราชอาณาจักร นอกเหนือจากตัวเกมแล้ว เจ้าหน้าที่ไม่พอใจกับเหตุการณ์ความไม่สงบที่เกี่ยวข้อง จากนั้นพวกเขาก็เล่นในร้านเหล้าเป็นหลัก และเกมมักจะจบลงด้วยการต่อสู้และการแทง แต่ไม่มีข้อห้ามใดที่ป้องกันไม่ให้ลูกเต๋ารอดพ้นจากกาลเวลาและมีชีวิตรอดมาจนถึงทุกวันนี้

ชาร์จลูกเต๋า!
ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋านั้นถูกกำหนดโดยบังเอิญเสมอ แต่คนขี้โกงบางคนพยายามที่จะเปลี่ยนแปลงสิ่งนี้ โดยการเจาะรูในแม่พิมพ์แล้วเทตะกั่วหรือปรอทลงไป คุณสามารถมั่นใจได้ว่าการขว้างจะให้ผลลัพธ์เดียวกันทุกครั้ง ลูกบาศก์ดังกล่าวเรียกว่า "ชาร์จ" ทำจากวัสดุหลากหลายชนิด ไม่ว่าจะเป็น ทอง หิน คริสตัล กระดูก ลูกเต๋า ก็มีรูปทรงที่แตกต่างกันได้ ลูกเต๋ารูปร่างปิรามิดขนาดเล็ก (จัตุรมุข) ถูกพบในสุสานของฟาโรห์อียิปต์ผู้สร้างปิรามิดอันยิ่งใหญ่! ในหลาย ๆ ครั้ง ลูกเต๋าถูกสร้างขึ้นด้วย 8, 10, 12, 20 และแม้กระทั่ง 100 ด้าน โดยปกติแล้วจะมีการทำเครื่องหมายด้วยตัวเลข แต่อาจมีตัวอักษรหรือรูปภาพแทนก็ได้เพื่อให้มีที่ว่างสำหรับจินตนาการ

วิธีการโยนลูกเต๋า
ลูกเต๋าไม่เพียงแต่มีรูปร่างที่แตกต่างกันเท่านั้น แต่ยังมีวิธีการเล่นที่แตกต่างกันอีกด้วย กฎของเกมบางเกมกำหนดให้คุณต้องทอยในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง โดยปกติเพื่อหลีกเลี่ยงการทอยตามการคำนวณ หรือเพื่อป้องกันไม่ให้ลูกเต๋ามาหยุดนิ่งในตำแหน่งเอียง บางครั้งพวกเขาก็มาพร้อมกับกระจกพิเศษเพื่อหลีกเลี่ยงการโกงหรือตกจากโต๊ะเล่นเกม ในเกมเครปภาษาอังกฤษ ลูกเต๋าทั้งสามลูกจะต้องชนโต๊ะเกมหรือกำแพง เพื่อป้องกันไม่ให้คนขี้โกงแกล้งทำท่าโยนโดยเพียงแค่ขยับลูกเต๋าโดยไม่ต้องหมุน

ความสุ่มและความน่าจะเป็น
ลูกเต๋าจะให้ผลลัพธ์แบบสุ่มที่ไม่สามารถคาดเดาได้เสมอ ด้วยการตายเพียงครั้งเดียว ผู้เล่นมีโอกาสมากพอที่จะทอย 1 เป็น 6 - ทุกอย่างขึ้นอยู่กับโอกาส ในทางกลับกัน เมื่อมีลูกเต๋าสองลูก ระดับของการสุ่มจะลดลงเนื่องจากผู้เล่นมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์: ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้ลูกเต๋าสองลูก สามารถรับหมายเลข 7 ได้หลายวิธี - โดยการขว้าง 1 และ 6, 5 และ 2 หรือ 4 และ 3... แต่ความเป็นไปได้ที่จะได้เลข 2 มีเพียงหนึ่งเท่านั้น คือ ทอย 1 สองครั้ง ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 7 จึงสูงกว่าได้เลข 2! สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น เกมหลายเกมเกี่ยวข้องกับหลักการนี้ โดยเฉพาะเกมเพื่อเงิน

เกี่ยวกับการใช้ลูกเต๋า
ลูกเต๋าอาจเป็นเกมเดี่ยวๆ โดยไม่มีองค์ประกอบอื่นๆ สิ่งเดียวที่ไม่มีอยู่จริงคือเกมสำหรับลูกบาศก์เดียว กฎต้องมีอย่างน้อยสองข้อ (เช่น เครป) ในการเล่นโป๊กเกอร์ลูกเต๋า คุณต้องมีลูกเต๋าห้าลูก ปากกา และกระดาษ เป้าหมายคือการทำให้ชุดค่าผสมคล้ายกับเกมไพ่ชื่อเดียวกัน โดยบันทึกคะแนนไว้ในตารางพิเศษ นอกจากนี้ คิวบ์ยังเป็นส่วนที่ได้รับความนิยมอย่างมากสำหรับเกมกระดาน ซึ่งช่วยให้คุณสามารถย้ายชิปหรือตัดสินผลลัพธ์ของการต่อสู้ในเกมได้

ตายแล้วหล่อ
ใน 49 ปีก่อนคริสตกาล จ. จูเลียส ซีซาร์ในวัยหนุ่มพิชิตกอลและเดินทางกลับไปยังเมืองปอมเปอี แต่อำนาจของเขาสร้างความกังวลให้กับสมาชิกวุฒิสภาซึ่งตัดสินใจยุบกองทัพก่อนที่เขาจะกลับมา จักรพรรดิในอนาคตเมื่อมาถึงเขตแดนของสาธารณรัฐได้ตัดสินใจฝ่าฝืนคำสั่งโดยข้ามไปพร้อมกับกองทัพของเขา ก่อนที่จะข้าม Rubicon (แม่น้ำที่เป็นพรมแดน) เขาได้พูดกับกองทหารของเขาว่า "Alea jacta est" ("ผู้ตายถูกหล่อ") คำพูดนี้กลายเป็นวลีติดปาก ความหมายก็คือ เช่นเดียวกับในเกม หลังจากมีการตัดสินใจบางอย่างแล้ว จะไม่สามารถถอยกลับได้อีกต่อไป

เขียนโดยนักออกแบบ Tyler Sigman บน Gamasutra ฉันเรียกมันว่าบทความ "ขนในรูจมูกของออร์ค" อย่างสนิทสนม แต่มันก็ค่อนข้างดีในการวางรากฐานของความน่าจะเป็นในเกม

หัวข้อประจำสัปดาห์นี้

จนถึงตอนนี้ เกือบทุกสิ่งที่เราได้พูดถึงนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว และสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลศาสตร์สกรรมกริยาอย่างใกล้ชิด และแยกย่อยมันให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงตอนนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมใหญ่ของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่สามารถกำหนดได้ หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ความสุ่ม การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เนื่องจากเราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้เล่นในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านั้นทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบต้องเข้าใจ ธรรมชาติการสุ่มนี้และวิธีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

มาเริ่มกันด้วยสิ่งง่ายๆ: การทอยลูกเต๋า เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่นๆ มากมาย: สี่ด้าน (d4), แปดเหลี่ยม (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) ... และถ้าคุณ จริงเกินบรรยาย คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์นี้ “d” ย่อมาจากคำว่า die และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังคือจำนวนด้านที่มี ถ้า ก่อน“d” เป็นตัวเลขก็หมายความว่า ปริมาณลูกเต๋าเมื่อขว้าง ตัวอย่างเช่น ในเกม Monopoly คุณหมุน 2d6

ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ลูกเต๋า" จึงเป็นสัญลักษณ์ มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่นๆ จำนวนมากที่ไม่ได้มีรูปร่างเหมือนก้อนพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกันในการสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถมองได้ว่าเป็นลูกเต๋าไดฮีดรัล d2 ฉันเห็นลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ อันหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอีกอันดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้านมากกว่า จัตุรมุขเดรเดล (หรือที่รู้จักในชื่อไทโทตัม) มีลักษณะคล้ายกับกระดูกจัตุรมุข สนามแข่งขันลูกศรหมุนในเกม "Chutes & Ladders" ซึ่งผลลัพธ์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกด้าน เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มในคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบระบุคำสั่งดังกล่าวแม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีลูกเต๋า 19 หน้าก็ตาม (โดยทั่วไปฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่ปรากฏบน คอมพิวเตอร์เข้า ต่อไปสัปดาห์). แม้ว่ารายการเหล่านี้จะดูแตกต่างออกไป แต่จริงๆ แล้วรายการเหล่านั้นเหมือนกัน: คุณมีโอกาสเท่ากันที่จะได้รับผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งจากหลายรายการ

ลูกเต๋ามีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่จะกลิ้งหน้าใดหน้าหนึ่งจะเท่ากัน (ฉันคิดว่าคุณกำลังกลิ้งลูกเต๋าธรรมดา ไม่ใช่อันที่มีรูปทรงเรขาคณิตผิดปกติ) ดังนั้นหากท่านต้องการทราบ ค่าเฉลี่ยโยน (หรือที่ผู้สนใจในหัวข้อความน่าจะเป็นเรียกว่า “ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์”) บวกค่าของทุกด้านแล้วหารผลรวมนี้ด้วย ปริมาณใบหน้า ค่าเฉลี่ยของการทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานคือ 1+2+3+4+5+6 = 21 หารด้วยจำนวนด้าน (6) และค่าเฉลี่ยคือ 21/6 = 3.5 นี่เป็นกรณีพิเศษเนื่องจากเราถือว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? ตัวอย่างเช่น ฉันเห็นเกมที่มีลูกเต๋าหกด้านและมีสติ๊กเกอร์พิเศษอยู่ด้านข้าง: 1, 1, 1, 2, 2, 3 ดังนั้นมันจึงมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋าสามด้านแปลก ๆ ที่มีแนวโน้มที่จะทอย 1 มากกว่า มากกว่า 2 และ 2 มากกว่า 3 ทอยเฉลี่ยของแม่พิมพ์นี้เป็นเท่าใด? ดังนั้น 1+1+1+2+2+3 = 10 หารด้วย 6 เท่ากับ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้น หากคุณมีลูกเต๋าพิเศษนี้ และผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณจะรู้ว่าผลรวมของการทอยสนามเบสบอลของพวกเขาจะอยู่ที่ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลเกมตามสมมติฐานนั้นได้

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการตามสมมติฐานที่ว่าแต่ละฝ่ายมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่าๆ กัน นี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนลูกเต๋าที่คุณทอย ทุกครั้งที่โยนลูกเต๋า โดยไม่คำนึงถึงซึ่งหมายความว่าการม้วนครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการม้วนครั้งถัดไป ด้วยการทดสอบที่เพียงพอ คุณจะทำได้อย่างแน่นอน สังเกต“ชุด” ของตัวเลข เช่น การทอยตัวเลขสูงหรือต่ำเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณสมบัติอื่นๆ และเราจะพูดถึงเรื่องนั้นในภายหลัง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ “ร้อน” หรือ “เย็น” หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานและได้เลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่ทอยครั้งต่อไปจะส่งผลให้ได้ 6 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นไม่เพิ่มขึ้นเนื่องจากลูกบาศก์ "ร้อนขึ้น" ความน่าจะเป็นไม่ลดลงเพราะเลข 6 ขึ้นมาแล้ว 2 ครั้งติดต่อกัน แสดงว่าตอนนี้มีอีกฝ่ายขึ้นมาแล้ว (แน่นอนว่า หากคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและได้ 6 แต้มในแต่ละครั้ง โอกาสที่ยี่สิบครั้งแรกที่คุณทอยลูกเต๋าได้ 6 นั้นค่อนข้างสูง... เพราะนั่นอาจหมายความว่าคุณมีลูกเต๋าผิด!) แต่ถ้าคุณทอยลูกเต๋าผิด มีลูกเต๋าถูกต้องแต่ละด้านมีความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงผลการทอยอื่น คุณสามารถจินตนาการได้ว่าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนลูกเต๋า ดังนั้นหากทอยหมายเลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋า "ร้อน" ออกจากเกมแล้วแทนที่ด้วยลูกเต๋าหกด้านใหม่ ฉันขออภัยหากคุณทราบเรื่องนี้แล้ว แต่เราจำเป็นต้องชี้แจงให้ชัดเจนก่อนที่จะดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าทอยสุ่มมากหรือน้อย

เรามาพูดถึงวิธีการได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันบนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นหากลูกเต๋ามีด้านมากกว่า ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าได้มากเท่าไร หรือยิ่งทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเคลื่อนไปสู่ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณทอย 1d6+4 (เช่น ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งและเพิ่ม 4 เข้ากับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 และ 10 แต่เมื่อทอยลูกเต๋า 6 หน้า ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5, 8 หรือ 10 ก็เท่าเดิม ผลลัพธ์ของการทอย 5d2 จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 เป็นหลัก ซึ่งน้อยกว่าค่าอื่นๆ ชุดเดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (7.5 ในทั้งสองกรณี) แต่ลักษณะของการสุ่มจะแตกต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ร้อนขึ้นหรือเย็นลงใช่ไหม ตอนนี้ฉันกำลังบอกว่าถ้าคุณทอยลูกเต๋าเยอะผลลัพธ์ของการทอยก็มักจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยมากกว่าเหรอ? ทำไม

ให้ฉันอธิบาย. ถ้าคุณเลิก หนึ่งลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะหลุดออกมาจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก เมื่อเวลาผ่านไปแต่ละด้านจะปรากฏเป็นจำนวนเท่าๆ กันโดยประมาณ ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์รวมก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ไม่ใช่เพราะว่าเลขที่วาดมา “บังคับ” เลขอื่นให้วาดที่ยังไม่ได้วาด และเพราะว่าการทอยลูกเต๋า 6 ครั้ง (หรือ 20 หรือเลขอะไรก็ตาม) เพียงเล็กน้อยนั้นไม่สำคัญเลยในท้ายที่สุดหากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่จะได้ค่าเฉลี่ย... ตอนนี้คุณอาจมีตัวเลขสองสามตัวที่ มีมูลค่าสูง แต่อาจเป็นตัวเลขที่มีค่าต่ำสองสามตัวในภายหลัง และเมื่อเวลาผ่านไป ตัวเลขเหล่านี้จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้น ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (เอาจริงๆ ลูกเต๋าทำมาจาก พลาสติกเธอไม่มีสมองที่จะคิดว่า "โอ้ ฉันทอยได้ 2 มานานแล้ว") แต่เพราะนั่นคือสิ่งที่มักจะเกิดขึ้นเมื่อคุณทอยลูกเต๋าจำนวนมาก ตัวเลขซ้ำๆ ชุดเล็กๆ แทบจะมองไม่เห็นในผลลัพธ์จำนวนมาก

ดังนั้นการคำนวณการสุ่มทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้งจึงค่อนข้างตรงไปตรงมา อย่างน้อยก็เท่าที่การคำนวณค่าเฉลี่ยของทอยที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณบางสิ่งที่ "สุ่ม" วิธีที่จะบอกว่าผลลัพธ์ของการหมุน 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 การกระจายของม้วนจะเท่ากันมากกว่า โดยปกติแล้วคุณจะคำนวณสิ่งนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และยิ่งค่ามากขึ้น ผลลัพธ์ก็จะยิ่งสุ่มมากขึ้นเท่านั้น แต่ต้องใช้การคำนวณมากกว่าที่ฉันต้องการให้ในวันนี้ (ฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง) สิ่งเดียวที่ฉันขอให้คุณรู้ก็คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งลูกเต๋าที่ทอยได้น้อยลง ความสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น อีกหนึ่งสิ่งที่เพิ่มเติมในหัวข้อนี้: ยิ่งลูกเต๋ามีด้านมากเท่าใด การสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากคุณมีตัวเลือกมากขึ้น

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจสงสัยว่า: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร นี่เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับหลายๆ เกม เพราะถ้าคุณทอยลูกเต๋า ก็มีแนวโน้มที่จะให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดในตอนแรก คำตอบคือเราต้องนับสองค่า ขั้นแรก ให้นับจำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อขว้างลูกเต๋า (ไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร) แล้วนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกจะทำให้คุณได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ หากต้องการหาเปอร์เซ็นต์ ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง:

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการให้หมายเลข 4 ขึ้นไปหมุนและทอยลูกเต๋าหกด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้มี 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) ที่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็น เราจะหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณต้องการเลขคู่เมื่อหมุน 2d6 จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 สำหรับการตายแต่ละครั้ง และเนื่องจากหนึ่งการตายไม่ส่งผลกระทบต่ออีกผลลัพธ์ เราจึงคูณ 6 ผลลัพธ์ด้วย 6 และรับ 36) ความยากของคำถามประเภทนี้คือนับสองครั้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วมีสองตัวเลือกสำหรับ 3 บนทอย 2d6: 1+2 และ 2+1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดที่แสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและหมายเลขใดที่แสดงบนลูกเต๋าที่สอง คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋ามีสีต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดงและอีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกในการทอยเลขคู่: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6) ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 ตัวเลือก ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 0.5 หรือ 50% อาจจะไม่คาดคิดแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

ถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ล่ะ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวม 15 หรือมากกว่าเมื่อทอย 8d6 เป็นเท่าใด มีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับลูกเต๋าแปดลูก และการนับลูกเต๋าด้วยมืออาจใช้เวลานานมาก แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าหลายชุด แต่ก็ยังใช้เวลานานมากในการนับ ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณความน่าจะเป็นไม่ใช่การนับด้วยตนเอง แต่ใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์

วิธีแรกสามารถให้คำตอบที่ถูกต้องแก่คุณได้ แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย โดยพื้นฐานแล้ว คอมพิวเตอร์จะพิจารณาความเป็นไปได้แต่ละรายการ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่ตรงกับผลลัพธ์ที่ต้องการ จากนั้นจึงให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้:

int wincount=0, จำนวนรวม=0;

สำหรับ (int i=1; i<=6; i++) {

สำหรับ (int j=1; j<=6; j++) {

สำหรับ (int k=1; k<=6; k++) {

... // แทรกลูปเพิ่มเติมที่นี่

ถ้า (i+j+k+… >= 15) (

ความน่าจะเป็นแบบลอยตัว = wincount/totalcount;

หากคุณไม่มีความรู้เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมมากนัก และเพียงต้องการคำตอบโดยประมาณมากกว่าคำตอบที่แน่นอน คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 สักสองสามพันครั้งและรับคำตอบ หากต้องการหมุน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

พื้น(แรนด์()*6)+1

มีชื่อของสถานการณ์เมื่อคุณไม่ทราบคำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองมอนติคาร์โลและนี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดีหากคุณพยายามคำนวณความน่าจะเป็นแต่มันซับซ้อนเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เรารู้อยู่แล้ว ยิ่งหมุนมากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น เฉลี่ย.

วิธีรวมการทดลองอิสระ

หากคุณถามเกี่ยวกับการทดลองซ้ำหลายครั้งแต่เป็นอิสระ ผลลัพธ์ของการทอยหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยอื่นๆ มีคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้อีกประการหนึ่งสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้ว หากคุณสามารถแยกการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้ง (หรือต่อเนื่องกันของการโยน) เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระจากกัน ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการผลรวม 15 เมื่อทอย 8d6 กรณีนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอยลูกเต๋าอิสระหลายๆ อันได้ เนื่องจากคุณนับผลรวมของค่าของลูกเต๋าทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้มาในการลูกเต๋าหนึ่งลูกจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะเกิดขึ้นกับลูกเต๋าอีกลูกหนึ่งด้วย เพราะคุณเพียงบวกค่าทั้งหมดเข้าด้วยกันเท่านั้น รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

นี่คือตัวอย่างของการทอยลูกเต๋าแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง หากต้องการอยู่ในเกม คุณต้องทอยหมายเลข 2 หรือสูงกว่าในการทอยครั้งแรก สำหรับม้วนที่สอง - 3 หรือสูงกว่า อันที่ 3 ต้องได้ 4 ขึ้นไป, อันที่ 4 ต้องได้ 5 ขึ้นไป, อันที่ 5 ต้องได้ 6 หากทอยสำเร็จทั้งห้าครั้ง คุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดจะเป็นอิสระจากกัน ใช่ หากโยนครั้งเดียวไม่สำเร็จ จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนครั้งเดียวจะไม่ส่งผลต่อการโยนครั้งต่อไป ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อความเป็นไปได้ที่การทอยลูกเต๋าครั้งถัดไปจะประสบความสำเร็จเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละลูกแยกกัน

หากคุณมีความน่าจะเป็นที่แยกจากกันและเป็นอิสระ และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร ทั้งหมดเหตุการณ์ต่างๆ จะเกิดขึ้น คุณเป็นผู้กำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละคนและคูณมันอีกวิธีหนึ่ง: หากคุณใช้คำเชื่อม “และ” เพื่ออธิบายเงื่อนไขต่างๆ (เช่น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สุ่มจะเกิดขึ้นเป็นเท่าใด และเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ บ้างไหม) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแล้วคูณมัน

มันไม่สำคัญว่าคุณคิดอย่างไร ไม่เคยอย่าบวกความน่าจะเป็นแบบอิสระ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงผิด ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ที่คุณโยนเหรียญ 50/50 และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด แต่ละฝ่ายมีโอกาส 50% ที่จะตก ดังนั้นหากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองเข้าด้วยกัน คุณจะมีโอกาส 100% ที่จะได้หัว แต่เรารู้ว่ามันไม่จริงเพราะมันอาจออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองแทน คุณจะได้ 50%*50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้านกัน โดยอันดับแรกคุณต้องหมุนตัวเลขที่สูงกว่า 2 แล้วสูงกว่า 3 เป็นต้น 6. อะไรคือโอกาสที่ในการโยนผลลัพธ์ทั้งหมด 5 ครั้งติดต่อกันจะเป็นที่น่าพอใจ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละทอยแล้วคูณพวกมัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะออกมาดีคือ 5/6 วินาที - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 คูณผลลัพธ์ทั้งหมดนี้แล้วคุณจะได้ประมาณ 1.5%... ดังนั้น การชนะในเกมนี้จึงค่อนข้างหายาก ดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ลงในเกม คุณจะต้องมีแจ็คพอตที่ค่อนข้างใหญ่

การปฏิเสธ

เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่งคือ บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ จะทำได้ยาก แต่จะง่ายกว่าในการระบุโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น จะไม่มา.

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีอีกเกมหนึ่งและคุณทอยได้ 6d6 และถ้า อย่างน้อยหนึ่งครั้งหากคุณทอยได้ 6 คุณจะชนะ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

ในกรณีนี้คุณต้องพิจารณาหลายทางเลือก บางทีอาจมีตัวเลขหนึ่งปรากฏขึ้น 6 เช่น ลูกเต๋าลูกหนึ่งจะแสดงเลข 6 และอีกลูกจะมีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 และมีความเป็นไปได้ 6 อย่างที่ลูกเต๋าจะแสดงเลข 6 จากนั้นคุณจะได้เลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูก หรือมากกว่านั้น และแต่ละครั้งเราต้องคำนวณแยกกัน จึงอาจสับสนได้ง่าย

แต่มีวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้ ลองดูจากอีกด้านหนึ่ง คุณ คุณจะแพ้ถ้า ไม่ได้อยู่ที่ใด ๆลูกเต๋าจะไม่ทอยเลข 6 ในกรณีนี้ เรามีการทดลองอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการทดสอบแต่ละครั้งคือ 5/6 (ตัวเลขอื่นๆ ยกเว้น 6 สามารถตกบนลูกเต๋าได้) คูณพวกมันแล้วคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 1 ใน 3

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือ 2 ถึง 3)

จากตัวอย่างนี้จะเห็นได้ชัดเจนว่า หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100%หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% แสดงว่าความน่าจะเป็น สูญเสีย — 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน. หากการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งอย่างยาก แต่คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณสิ่งที่ตรงกันข้ามแล้วลบออกจาก 100%

เรารวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรเพิ่มความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีไหนบ้าง. สามารถสรุปความน่าจะเป็น? - ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการในการทดลองครั้งเดียว ให้บวกความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4, 5 หรือ 6 บน 1d6 คือ จำนวนความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 6 คุณสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ได้ดังนี้: ถ้าคุณใช้สันธาน "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น , ความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร หรือผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่ง) คำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุปผล

โปรดทราบว่าเมื่อคุณรวม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกม ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดจะต้องเท่ากับ 100% หากผลรวมไม่เท่ากับ 100% แสดงว่าการคำนวณของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นวิธีที่ดีในการตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับ คุณควรได้รับ 100% อย่างแน่นอน (หรืออย่างน้อยก็มีค่าค่อนข้างใกล้กับ 100% หากคุณใช้เครื่องคิดเลข คุณอาจมี ข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยตนเอง ทุกอย่างควรจะรวมกัน) หากผลรวมไม่รวมกัน เป็นไปได้มากว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุด หรือคุณคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้อง จากนั้นคุณจะต้องตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงขณะนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละด้านของแม่พิมพ์ถูกรีดด้วยความถี่เดียวกัน เพราะนั่นคือวิธีการทำงานของแม่พิมพ์ แต่บางครั้งคุณกำลังเผชิญกับสถานการณ์ที่อาจได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไป แตกต่างลดโอกาส ตัวอย่างเช่นในหนึ่งในส่วนขยายของเกมไพ่ "Nuclear War" มีสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรซึ่งขึ้นอยู่กับผลของการปล่อยจรวด: โดยพื้นฐานแล้วจะสร้างความเสียหายตามปกติแข็งแกร่งขึ้นหรืออ่อนแอลง แต่บางครั้งความเสียหายก็คือ เพิ่มเป็นสองเท่าหรือสามเท่า หรือจรวดระเบิดบนแท่นปล่อยจรวดและทำให้คุณบาดเจ็บ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ต่างจากกระดานลูกศรใน "Chutes & Ladders" หรือ "A Game of Life" กระดานเกมใน "Nuclear War" มีผลลัพธ์ที่ไม่เท่ากัน สนามเด็กเล่นบางส่วนมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่พวกมันบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่พวกมันน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก กระดูกจะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3; เราได้คุยกันไปแล้ว มันเหมือนกับ 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน หาหน่วยการวัดที่เล็กที่สุดที่ทุกอย่างเป็นผลคูณของ แล้วแทนสถานการณ์เป็น d522 (หรืออย่างอื่น ) โดยที่หน้าลูกเต๋าหลายหน้าจะเป็นตัวแทนของสถานการณ์เดียวกัน แต่มีผลลัพธ์มากกว่า และนี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่ก็มีวิธีที่ง่ายกว่า

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรากัน เราบอกว่าในการคำนวณค่าเฉลี่ยของการหมุนของแม่พิมพ์ปกติคุณต้องรวมค่าของหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่อย่างไร อย่างแน่นอนมีการคำนวณเกิดขึ้นไหม? มีวิธีอื่นในการแสดงออกนี้ สำหรับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะถูกทอยคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราคูณ อพยพแต่ละหน้าอยู่ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นี้ (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละด้าน) จากนั้นเราจะสรุปค่าผลลัพธ์ ดังนั้น ผลรวม (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับแบบนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถคำนวณลูกศรบนสนามเด็กเล่นในเกม “Nuclear War” ได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราก็จะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการสำหรับลูกศรบนกระดานเกมแล้วคูณด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างอื่น

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยการคูณแต่ละผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละคนก็เหมาะสมเช่นกันหากผลลัพธ์มีแนวโน้มเท่ากัน แต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าด้านอื่น ตัวอย่างเช่น เรามาเล่นเกมคาสิโนกัน: คุณวางเดิมพันและทอย 2d6 หากคุณตีหมายเลขที่มีมูลค่าต่ำสามตัว (2, 3, 4) หรือตัวเลขที่มีมูลค่าสูงสี่ตัว (9, 10, 11, 12) คุณจะชนะจำนวนเงินที่เท่ากับการเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นตัวเลขพิเศษ หากคุณทอย 2 หรือ 12 คุณจะชนะ สองเท่ากว่าการเสนอราคาของคุณ หากทอยหมายเลขอื่น (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน นี้เป็นเกมที่ค่อนข้างง่าย แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะได้:

• จำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือเท่าไร?
• มี 1 ตัวเลือกสำหรับการทอยสอง และ 1 ตัวเลือกสำหรับการทอยสิบสอง
• มี 2 ​​ตัวเลือกสำหรับการกลิ้งสามและสิบเอ็ด
• มี 3 ตัวเลือกสำหรับการทอยสี่และ 3 ตัวเลือกสำหรับการทอยสิบ
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับการทอยเก้า
• เมื่อสรุปตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจำนวน 16 จาก 36 รายการ

ดังนั้นภายใต้สภาวะปกติ คุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้งที่เป็นไปได้... ความน่าจะเป็นที่จะชนะจะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจาก 16 กรณีนี้ คุณจะชนะมากเป็นสองเท่า กล่าวคือ เหมือนชนะสองครั้ง! หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองครั้งจะนับเป็นสองครั้งที่ชนะ) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะรางวัล 18 ดอลลาร์ นั่นไม่ได้หมายความว่ามีโอกาสเท่ากันใช่หรือไม่

ใช้เวลาของคุณ หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถแพ้ได้ คุณจะได้รับ 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ หากคุณทายถูกตัวเลือกที่ชนะทั้งหมด... แต่ คุณจะสูญเสียเงินทั้งหมด $20 หากผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ทั้ง 20 รายการเกิดขึ้น! ผลก็คือ คุณจะตามหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณยังสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเงินเฉลี่ย 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณคงเห็นแล้วว่าการทำผิดพลาดในกรณีนี้และคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้องนั้นง่ายเพียงใด!

การจัดเรียงใหม่

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ การทอย 2+4 เหมือนกับการทอย 4+2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะนับจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจด้วยตนเอง แต่บางครั้งวิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลและควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า “Farkle” ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1-2-3-4-5-6 (“ตรง”) คุณจะได้รับโบนัสก้อนใหญ่ โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายในการรับชุดค่าผสมนี้!

วิธีแก้ไขมีดังนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูก (และมีเพียงลูกเต๋าเดียวเท่านั้น) ต้องมีหมายเลข 1! เลข 1 สามารถทอยเลข 1 ได้กี่วิธี? หกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและหนึ่งในนั้นสามารถลงหมายเลข 1 ได้ ดังนั้นให้หยิบลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางไว้ข้างๆ ตอนนี้หนึ่งในลูกเต๋าที่เหลือควรหมุนหมายเลข 2 มีห้าตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ เอาแม่พิมพ์อีกอันมาวางไว้ข้างๆ จากนั้นลูกเต๋าที่เหลือสี่ลูกอาจลง 3 ลูกเต๋าที่เหลือสามลูกอาจลง 4 สองอาจลง 5 และคุณจบลงด้วยการตายหนึ่งแต้มที่ควรลง 6 (ในกรณีหลังมีเพียงลูกเต๋าเดียวเท่านั้นและ ไม่มีทางเลือก) ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับการตีเส้นตรง เราจะคูณตัวเลือกอิสระที่แตกต่างกันทั้งหมด: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ดูเหมือนว่าจะมีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่ชุดค่าผสมนี้จะเกิดขึ้น

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เส้นตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกลิ้ง 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเท่าไร? ลูกเต๋าแต่ละลูกสามารถมีได้ 6 ด้าน ดังนั้นเราจึงคูณ 6x6x6x6x6x6 = 46656 (ตัวเลขสูงกว่ามาก!) หาร 720/46656 แล้วได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ ข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับคุณเพื่อให้คุณสามารถสร้างระบบการให้คะแนนตามนั้นได้ ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมใน Farkle คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณทำตรง เพราะสถานการณ์นี้ค่อนข้างหายาก!

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจเช่นกันด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาสั้นๆ น้อยมากเพียงใด แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋า ด้านต่างๆ ของลูกเต๋าก็จะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราทอยลูกเต๋าได้เพียงหกลูกเต๋าก็เกือบแล้ว ไม่เคยมันไม่เกิดขึ้นเลยที่แต่ละหน้าจะหลุดออกมา! จากนี้จึงชัดเจนว่าเป็นเรื่องโง่ที่คาดหวังว่าจะมีหน้าอื่นปรากฏขึ้นซึ่งยังไม่ตก “เพราะเราไม่ได้ทอยเลข 6 มาเป็นเวลานานซึ่งหมายความว่าจะตกแล้ว”

ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย...

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็น: การสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกัน ในช่วงเวลาอันสั้นซึ่งจริงๆ แล้วไม่เป็นเช่นนั้น ถ้าเราโยนลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้ง ความถี่ที่แต่ละด้านจะหลุดออกจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์โดยใช้โปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มใดๆ มาก่อน คุณน่าจะพบสถานการณ์ที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนทางเทคนิคเพื่อแจ้งว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มของคุณใช้งานไม่ได้และไม่แสดงตัวเลขสุ่ม และเขาได้ข้อสรุปนี้เพราะเขาเพิ่งฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลที่เหมือนกันทั้งหมด 4 อัน และรางวัลเหล่านี้ควรปรากฏเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นนี้ แทบจะไม่เคยไม่ควร แทนที่ซึ่งหมายความว่าสิ่งนี้ อย่างชัดเจนว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ 1/10*1/10*1/10*1/10 เท่ากับ 1 ใน 10,000 แปลว่าค่อนข้างหายาก และนั่นคือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ ในกรณีนี้จะมีปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ขณะนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่น 100,000 คนทุกวัน ผู้เล่นสามารถฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันได้กี่คน? อะไรก็เป็นไปได้ หลายๆ ครั้งต่อวัน แต่สมมุติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนไอเท็มต่างๆ ในการประมูลหรือแชทบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือทำกิจกรรมอื่นๆ ในเกม ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ล่ามอนสเตอร์จริงๆ ความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร ถึงบางคนรางวัลเดียวกันนี้จะปรากฏหรือไม่? ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่ารางวัลเดียวกันจะปรากฏหลายครั้งต่อวันเป็นอย่างน้อย!

อย่างไรก็ตาม นั่นเป็นสาเหตุที่ดูเหมือนว่าทุกๆ สองสามสัปดาห์เป็นอย่างน้อย ใครบางคนถูกลอตเตอรี่ถึงแม้จะเป็นใครก็ตาม ไม่เคยไม่ใช่คุณหรือเพื่อนของคุณ ถ้ามีคนเล่นมากพอทุกสัปดาห์ โอกาสก็มีเป็นอย่างน้อย หนึ่งโชคดี...แต่ถ้า. คุณหากคุณเล่นลอตเตอรี่ โอกาสที่คุณจะถูกรางวัลจะน้อยกว่าโอกาสที่คุณจะได้รับเชิญให้มาทำงานที่ Infinity Ward

การ์ดและการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์อิสระ เช่น การทอยลูกเต๋า และตอนนี้ก็ได้ทราบเครื่องมืออันทรงพลังมากมายสำหรับการวิเคราะห์การสุ่มในเกมต่างๆ การคำนวณความน่าจะเป็นจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบและคุณนำไพ่ออกมา เช่น 10 ดวง และต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นดอกเดียวกัน ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเนื่องจากคุณได้ถอดไพ่ออกจากชุดหนึ่งใบแล้ว ของหัวใจจากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของการ์ดใบถัดไปในสำรับ เนื่องจากในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้านี้มีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ถัดไป เราจึงเรียกความน่าจะเป็นนี้ ขึ้นอยู่กับ.

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "การ์ด" ฉันหมายถึง ใดๆกลไกของเกมที่มีชุดของวัตถุและคุณลบวัตถุหนึ่งชิ้นออกโดยไม่ต้องเปลี่ยนมัน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้จะคล้ายคลึงกับถุงชิปที่คุณเอาชิปออกหนึ่งตัวและอย่าเปลี่ยนมัน หรือ โกศที่คุณวาดหินอ่อนสี (จริงๆ แล้วฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่มีหินอ่อนสีดึงมาจากมัน แต่ดูเหมือนว่าครูน่าจะชอบตัวอย่างนี้ด้วยเหตุผลบางประการ)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันอยากจะชี้แจงว่าเมื่อพูดถึงการ์ด ฉันคิดว่าคุณจั่วการ์ด ดูการ์ด และนำการ์ดออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ

ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 และฉันสับไพ่แล้วหยิบไพ่ออกมาหนึ่งใบแล้วสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง มันจะคล้ายกับการโยนลูกเต๋าหกด้าน ผลลัพธ์หนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ที่ตามมา เฉพาะในกรณีที่ฉันจั่วไพ่แล้วไม่เปลี่ยน ผลการจั่วไพ่หมายเลข 1 จะเพิ่มความน่าจะเป็นที่ครั้งต่อไปที่ฉันจั่วไพ่หมายเลข 6 (ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นจนในที่สุดฉันจะจั่วไพ่ใบนั้นหรือ จนกว่าฉันจะสับไพ่)

ความจริงที่ว่าเรา ดูบนการ์ดก็มีความสำคัญเช่นกัน หากฉันนำการ์ดออกจากสำรับและไม่ดู ฉันไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมและความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลงจริงๆ นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ การพลิกไพ่สามารถเปลี่ยนโอกาสได้อย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างไร? แต่มันเป็นไปได้เพราะว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับรายการที่ไม่รู้จักโดยพิจารณาจากสิ่งที่คุณทำ คุณรู้. ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและเปิดเผยไพ่ 51 ใบ แต่ไม่มีไพ่ใดที่เป็นราชินีแห่งไพ่ คุณจะรู้ได้อย่างมั่นใจ 100% ว่าไพ่ที่เหลือคือไพ่ราชินีแห่งไพ่ หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและจั่วไพ่ 51 ใบ ถึงอย่างไรก็ตามสำหรับพวกเขาแล้วความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลือเป็นราชินีแห่งไม้กอล์ฟจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณค่าต่างๆ หลายๆ ค่าแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน ความหมายจริงๆ ก็คือเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะวาดคู่เป็นเท่าใด? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่วิธีที่ง่ายที่สุดมีดังนี้ ความน่าจะเป็นที่ถ้าคุณหยิบไพ่ออกมาหนึ่งใบ คุณจะไม่สามารถหยิบไพ่ออกมาเป็นคู่ได้เป็นเท่าไหร่? ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าคุณจะจั่วไพ่ใบใดใบแรก ตราบใดที่มันตรงกับใบที่สอง ไม่ว่าเราจะจั่วไพ่ใบไหนก่อนก็ยังมีโอกาสจั่วไพ่คู่ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จั่วไพ่ใบแรกได้จะเป็น 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่เหลือ 51 ใบในสำรับและ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้เอาไพ่ใบที่ตรงกันออกแล้วเมื่อคุณหยิบไพ่ใบแรกออกมา!) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1 /17. (ดังนั้น ครั้งถัดไปที่ผู้ชายที่นั่งตรงข้ามโต๊ะกับคุณเล่น Texas Hold'em พูดว่า "เจ๋ง อีกคู่หนึ่ง วันนี้ฉันรู้สึกโชคดี" คุณจะรู้ว่ามีโอกาสค่อนข้างดีที่เขาจะบลัฟ)

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองตัวและตอนนี้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับและเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่คู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์แล้วสำรับก็จะมีเพียง หนึ่งไพ่ไม่ใช่สามซึ่งจะจับคู่ จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะหารความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่ใบอื่น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่โจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54

ถ้าไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคือ 1/53 การคูณค่า (เราสามารถคูณได้เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการ ทั้งคู่เหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้รับ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าแล้วได้ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย

เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้? พวกมันไม่ตัดกัน และเราอยากทราบความน่าจะเป็น ทุกคนดังนั้นเราจึงรวมค่าต่างๆ เข้าด้วยกัน! เราได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 79/1431 (ยังประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการแน่ใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น จั่วไพ่โจ๊กเกอร์แต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง แล้วบวกเข้าไป บวกกับความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% พอดี ฉันจะไม่บอกคณิตศาสตร์ตรงนี้ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงซึ่งมักสร้างความสับสนให้กับผู้คนจำนวนมาก นั่นก็คือ Monty Hall Paradox ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวี Let's Make a Deal มอนตี้ ฮอลล์ หากคุณไม่เคยเห็นรายการนี้ รายการนี้ตรงกันข้ามกับรายการทีวี "The Price Is Right" ใน “The Price Is Right” พิธีกร (พิธีกรเคยเป็น Bob Barker ตอนนี้เป็น... Drew Carey ยังไงก็ตาม...) คือเพื่อนของคุณ เขา ต้องการเพื่อให้คุณสามารถชนะเงินหรือของรางวัลสุดเจ๋ง มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีมูลค่าเท่าไร

มอนตี้ ฮอลล์มีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเป็นคนงี่เง่าในโทรทัศน์ระดับชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขา และโอกาสก็เข้าข้างเขา บางทีฉันอาจจะรุนแรงเกินไป แต่เมื่อโอกาสได้รับเลือกให้เป็นผู้เข้าแข่งขันดูเหมือนจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการที่คุณใส่สูทไร้สาระ ฉันก็ได้ข้อสรุปแบบนี้

แต่หนึ่งในมีมที่โด่งดังที่สุดของรายการก็คือ: มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ และเรียกว่าประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกหนึ่งประตู... ฟรี! หลังประตูบานใดบานหนึ่งมีรางวัลอันงดงาม เช่น รถยนต์คันใหม่ หลังประตูอื่นๆ ไม่มีรางวัล ประตูทั้งสองบานนี้ไม่มีค่าอะไร เป้าหมายของพวกเขาคือการทำให้คุณขายหน้า และไม่ใช่ว่าไม่มีอะไรอยู่ข้างหลังพวกเขาเลย มีบางอย่างข้างหลังพวกเขาที่ดูงี่เง่า เหมือนมีแพะอยู่ข้างหลังพวกเขา หรือยาสีฟันหลอดใหญ่ หรืออะไรสักอย่าง... อะไรบางอย่าง อะไรกันแน่ เกิดขึ้น ไม่รถยนต์นั่งส่วนบุคคลใหม่

คุณกำลังเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และมอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ลองดูที่หนึ่งในนั้น เหล่านั้นประตูคุณ ไม่ได้ถูกเลือก. เนื่องจากมอนตี้รู้ว่ารางวัลอยู่ข้างหลังประตูไหนและมีเพียงรางวัลเดียวเท่านั้นและ สองประตูที่คุณไม่ได้เลือก ไม่ว่ายังไงเขาก็สามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลังได้เสมอ “คุณกำลังเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? งั้นเปิดประตูหมายเลข 1 แสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ ด้วยความเอื้ออาทร เขาเสนอโอกาสให้คุณแลกเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่คุณเลือกกับสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูหมายเลข 2 เมื่อถึงจุดนี้เองที่คำถามของความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: การสามารถเลือกประตูอื่นเพิ่มความน่าจะเป็นของ ชนะหรือลดลงหรือยังคงอยู่เหมือนเดิม? คุณคิดว่า?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่น เพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 ถึง 2/3 นี่เป็นเรื่องไร้เหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน คุณอาจจะคิดว่า เดี๋ยวก่อน เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นด้วยการเปิดประตูบานเดียวได้อย่างน่าอัศจรรย์หรือเปล่า? แต่อย่างที่เราได้เห็นในตัวอย่างกับการ์ดด้านบนนี้แล้ว อย่างแน่นอนจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อคุณเลือกครั้งแรกคือ 1/3 และฉันเชื่อว่าทุกคนจะเห็นด้วยกับสิ่งนี้ เมื่อประตูบานหนึ่งหลุดออกไปก็ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะตัวเลือกแรกแต่อย่างใดความน่าจะเป็นยังคงอยู่ที่ 1/3 แต่นั่นหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ อื่นประตูตอนนี้ถูกต้อง 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยน สองประตูอื่นๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่มอนตี้ ฮอลล์เสนอให้ทำจริงๆ แน่นอนว่าเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อแสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขา เสมอสามารถทำได้จึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรจริงๆ แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูอื่น!

หากคุณไม่ค่อยชัดเจนเกี่ยวกับปัญหานี้และต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือกว่านี้ ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อไปที่แอปพลิเคชัน Flash ตัวเล็ก ๆ ที่จะช่วยให้คุณสามารถสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถเล่นโดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตูแล้วค่อย ๆ เลื่อนขึ้นไปสู่เกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเลือกจำนวนประตูได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 ประตู และเล่นหรือรันการจำลองหลายพันแบบ และดูว่าคุณจะชนะกี่ครั้งหากคุณเล่น

คำพูดจากครูคณิตศาสตร์ระดับสูงและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov ซึ่งแน่นอนว่า Schreiber ไม่มี แต่ถ้าไม่มีก็ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจการเปลี่ยนแปลงมหัศจรรย์นี้:

คุณเลือกประตู หนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่จะ “ชนะ” คือ 1/3 ตอนนี้คุณมี 2 กลยุทธ์: เปลี่ยนหลังจากเปิดประตูผิด ว่าจะเลือกหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงอยู่ที่ 1/3 เนื่องจากตัวเลือกจะเกิดขึ้นในช่วงแรกเท่านั้นและคุณต้องเดาทันที แต่ถ้าคุณเปลี่ยน คุณก็สามารถชนะได้หากคุณเลือกผิดก่อน ประตู (แล้วเขาเปิดอีกอันผิดจะคงความซื่อสัตย์คุณเปลี่ยนใจแล้วพาเธอไป)
ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดตั้งแต่ต้นคือ 2/3 ดังนั้นปรากฎว่าการเปลี่ยนการตัดสินใจจะทำให้คุณมีโอกาสชนะมากขึ้น 2 เท่า

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของ Monty Hall

ในส่วนของการแสดงนั้น Monty Hall รู้เรื่องนี้ดี เพราะแม้ว่าคู่แข่งของเขาจะไม่เก่งคณิตศาสตร์ก็ตาม เขาเข้าใจมันดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูด้านหลังที่มีรางวัล ความน่าจะเป็นคือ 1/3 ก็คือรางวัลนั้น เสมอเปิดโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่น ท้ายที่สุด คุณเลือกรถโดยสารแล้วคุณจะแลกมันกับแพะ และคุณจะดูงี่เง่ามาก ซึ่งตรงกับที่เขาต้องการเพราะเขาเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย แต่หากเลือกประตูหลังอันไหน จะไม่มีรางวัล, เท่านั้น ครึ่งหนึ่งในกรณีเช่นนี้ เขาจะแจ้งให้คุณเลือกประตูอื่น และในกรณีอื่นๆ เขาจะแสดงแพะตัวใหม่ให้คุณดู แล้วคุณจะออกจากที่เกิดเหตุ มาวิเคราะห์เกมใหม่ที่ Monty Hall สามารถทำได้ เลือกให้คุณมีโอกาสเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริทึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ ไม่เช่นนั้นจะมีโอกาส 50/50 ที่เขาจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะแก่คุณ ความน่าจะเป็นของคุณที่จะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งในสามตัวเลือก คุณจะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรางวัลทันที และผู้นำเสนอขอเชิญให้คุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ในครึ่งหนึ่งของผู้นำเสนอจะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณี - ไม่ใช่ ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 เช่น ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณเลือกประตูผิด และเจ้าของบ้านจะขอให้คุณเลือกอีกประตูหนึ่ง และในกรณีหนึ่งในสามที่คุณเลือก ประตูด้านขวาและเขาจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น

ถ้าผู้นำเสนอเสนอให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้แล้วว่า 1 ใน 3 กรณีที่เขาให้แพะเราแล้วเราออกไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี่เป็นข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพราะนั่นหมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป ในสองกรณีจากสามกรณี เมื่อเรามีโอกาสเลือก กรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราได้รับโอกาสให้เลือกเลย ก็หมายความว่า ความน่าจะเป็นที่เราจะชนะคือ 50/50 และไม่มีเลย ทางคณิตศาสตร์ผลประโยชน์ ให้คุณเลือกหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ ตอนนี้มันเป็นเกมแนวจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ มอนตี้ให้ทางเลือกแก่คุณ เพราะเขาคิดว่าคุณมันงี่เง่าที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอีกบานเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และคุณจะยึดมั่นในตัวเลือกของคุณอย่างดื้อรั้น เพราะในทางจิตวิทยา สถานการณ์คือเมื่อคุณเลือก รถแล้วหายหนักขึ้น? หรือเขาคิดว่าคุณฉลาดและเลือกประตูอื่น และเขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณเดาถูกตั้งแต่แรก และคุณจะติดกับดัก? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีกับตัวเองอย่างไม่เคยเป็นมาก่อนและกดดันให้คุณทำบางอย่างเพื่อประโยชน์ส่วนตัวของคุณเพราะเขาไม่ได้แจกรถมาสักพักแล้วและโปรดิวเซอร์ของเขาบอกเขาว่าผู้ชมเริ่มเบื่อแล้วและเขาควรจะแจกรถให้ รางวัลใหญ่เร็วๆ นี้เรตติ้งไม่ตกเหรอ?

ด้วยวิธีนี้ มอนตี้สามารถเสนอทางเลือกต่างๆ (ในบางครั้ง) และยังคงรักษาความน่าจะเป็นโดยรวมที่จะชนะที่ 1/3 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะสูญเสียทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะทายถูกทันทีคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6) โอกาสที่คุณจะทายผิดในตอนแรกแต่ต่อมามีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (เช่น 1/6) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะโดยอิสระสองรายการ และคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่ว่าคุณจะเลือกประตูต่อไปหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมในการชนะตลอดทั้งเกมคือ 1/3... ความน่าจะเป็นจะไม่มากขึ้น กว่าในสถานการณ์ที่คุณจะเดาประตูและผู้นำเสนอจะให้คุณดูสิ่งที่อยู่หลังประตูนี้โดยไม่มีโอกาสเลือกประตูอื่น! ดังนั้นประเด็นของการเสนอตัวเลือกในการเลือกประตูอื่นไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจดูสนุกสนานยิ่งขึ้นในการรับชมทางโทรทัศน์

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมโป๊กเกอร์จึงน่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ ระหว่างรอบที่มีการวางเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ใน Texas Hold'em) ไพ่จะค่อยๆ เผยออกมา และหากตอนเริ่มเกมคุณมีโอกาสชนะหนึ่งรายการ หลังจากแต่ละรอบของการเดิมพัน เมื่อมีการเปิดเผยไพ่มากขึ้น ความน่าจะเป็นนี้จะเปลี่ยนไป

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงอีกประการหนึ่งที่มักจะทำให้ทุกคนงง - ความขัดแย้งระหว่างเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่านั่นหมายถึงฉันควรสนับสนุนให้คุณสร้างกลไกเกมที่เกี่ยวข้อง) มันเป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นปริศนาที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ไขมัน คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราได้พูดถึงไปแล้วข้างต้น

ปัญหา: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเท่าใด เดียวกันสาว? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม มีโอกาส 50/50 ที่จะมีเด็กหญิงหรือเด็กชาย และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กแต่ละคน (อันที่จริงแล้ว ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y มากกว่า ความน่าจะเป็นจึงเปลี่ยนไป สักนิดหากรู้ว่าลูกคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิงความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาวจะสูงกว่าเล็กน้อยนอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขอื่น ๆ เช่นกระเทย แต่เพื่อแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และถือว่า การเกิดของเด็กเป็นเหตุการณ์อิสระและความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายหรือเด็กหญิงจะเท่ากัน)

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 ตามสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือจำนวนรอบอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของสอง แต่คำตอบคือ: 1/3 . รอทำไม?

ปัญหาที่นี่คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนพันธุ์แท้ของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กจะเกิดมาเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงก็ตาม ให้ตั้งชื่อลูกว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่เป็นไปได้สี่ประการที่เท่าเทียมกัน: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชาย และ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิง และ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเรารู้แล้วว่า อย่างน้อยหนึ่งเด็กเป็นเด็กผู้หญิง เราสามารถขจัดความเป็นไปได้ที่ A และ B จะเป็นเด็กชายสองคนได้ ดังนั้นเราจึงเหลือความเป็นไปได้สามอย่าง (ยังคงมีโอกาสเท่าๆ กัน) ถ้าความเป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากันและมีสามอัน เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของแต่ละอันคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นทั้งเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาก็ยิ่งไร้เหตุผลมากขึ้นไปอีก ลองนึกภาพว่าฉันบอกคุณว่าเพื่อนของฉันมีลูกสองคนและลูกหนึ่งคน - เด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร. สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ ความน่าจะเป็นที่เด็กจะเกิดในวันใดวันหนึ่งในเจ็ดวันของสัปดาห์จะเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร? คุณอาจคิดว่าคำตอบยังคงเป็น 1/3; วันอังคารมีความสำคัญอย่างไร? แต่ในกรณีนี้ สัญชาตญาณก็ทำให้เราล้มเหลว คำตอบ: 13/27 ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณเท่านั้น แต่ยังแปลกมากอีกด้วย เกิดอะไรขึ้น ในกรณีนี้?

จริงๆ แล้ววันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเพราะเราไม่รู้ ที่ทารกเกิดวันอังคารหรืออาจจะ เด็กสองคนเกิดวันอังคาร. ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น เราจะนับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อมีเด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งคน ดังในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่าชื่อของลูกคือ A และ B โดยการผสมจะมีลักษณะดังนี้:

• A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ประการ โดยหนึ่งอย่างสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายจะเกิดได้)
• B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A เป็นเด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 ประการด้วย)
• กเป็นผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร บีเป็นผู้หญิงที่เกิดวันที่ อื่นวันในสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B คือเด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร A คือเด็กหญิงที่ไม่ได้เกิดวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6 ประการด้วย)
• A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อ คุณต้องใส่ใจเรื่องนี้เพื่อไม่ให้นับซ้ำ)

เรารวมแล้วได้ 27 รายการที่เป็นไปได้เท่าๆ กันสำหรับการเกิดของเด็กและวัน โดยความเป็นไปได้ที่เด็กหญิงจะเกิดในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในจำนวนนี้มีความเป็นไปได้ 13 ประการเมื่อเด็กหญิงสองคนเกิดมา มันยังดูไร้เหตุผลเลย และดูเหมือนว่างานนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อทำให้ปวดหัวเท่านั้น หากคุณยังคงรู้สึกสับสนกับตัวอย่างนี้ นักทฤษฎีเกม Jesper Juhl มีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับปัญหานี้บนเว็บไซต์ของเขา

หากคุณกำลังเล่นเกมอยู่...

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นเวลาที่ดีในการวิเคราะห์มัน เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ขั้นแรกให้ถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นสำหรับองค์ประกอบที่กำหนดนั้นเป็นไปตามความคาดหวังของคุณ คุณคิดว่าควรเป็นอย่างไรในบริบทของเกม ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกม RPG และคุณสงสัยว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะสามารถเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ได้นั้นเป็นอย่างไร ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์การชนะที่คุณรู้สึกเหมาะสมคืออะไร โดยทั่วไปเมื่อเล่นเกมคอนโซล RPG ผู้เล่นจะรู้สึกเสียใจมากเมื่อแพ้ ดังนั้นจะดีที่สุดหากไม่แพ้บ่อย... อาจจะ 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น? หากคุณเป็นนักออกแบบเกม RPG คุณคงรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณต้องมีแนวคิดพื้นฐานว่าความน่าจะเป็นควรเป็นเช่นไร

แล้วถามตัวเองว่านี่คืออะไร ขึ้นอยู่กับ(เช่นการ์ด) หรือ เป็นอิสระ(เหมือนลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นทั้งหมด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% และสุดท้าย แน่นอน เปรียบเทียบผลลัพธ์ของคุณกับผลลัพธ์ที่คุณคาดหวังไว้ การทอยลูกเต๋าหรือการจั่วไพ่เกิดขึ้นตามที่คุณต้องการหรือคุณเห็นว่าจำเป็นต้องปรับค่า และแน่นอนว่าถ้าคุณ คุณจะพบว่าสิ่งที่ต้องปรับเปลี่ยน คุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันเพื่อกำหนดว่าต้องปรับเปลี่ยนอะไรบ้าง!

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

“การบ้าน” ของคุณในสัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็นได้ นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่หนึ่งเกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดขึ้นมา (ต้องขอบคุณ Jeb Havens และ Jesse King!) ซึ่งทำให้ผู้คนต้องตะลึงกับความน่าจะเป็นโดยเฉพาะ นี่คือเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า “Dragon Dice” และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ คุณจะได้รับตาย 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เช่นเดียวกับของคุณ แต่แทนที่จะเป็น 1 ในด้านหนึ่งจะมีรูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกเต๋ามังกร - 2-3-4-5-6) หากบ้านได้รับมังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากคุณทั้งคู่ได้หมายเลขเท่ากัน ถือว่าเสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่า ทุกสิ่งไม่ได้เป็นไปตามความต้องการของผู้เล่นเลย เพราะคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของ Dragon’s Edge แต่นี่เป็นเรื่องจริงเหรอ? คุณต้องคำนวณสิ่งนี้ แต่ก่อนหน้านั้นให้ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณก่อน สมมติว่าการชนะคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเงินเดิมพันเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บเงินดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์รวมเป็นเงิน 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม? ดังนั้น คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณหรือไม่ว่าความน่าจะเป็นนั้นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่าหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังที่จะชนะมากกว่าหนึ่งครั้ง หรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้ง?

เมื่อคุณจัดการสัญชาตญาณได้แล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหา หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 ให้ลองพิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ ทุกครั้งที่แพ้ คุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย คำนวณการชนะและการสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณ และตัดสินใจว่าคุณจะสูญเสียหรือได้รับเงินดอลลาร์หรือไม่ แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้วจะรู้ว่าฉันเป็นคนร้ายขนาดไหน

และใช่ หากคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว ฉันตั้งใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อย พยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง ฉันจะโพสต์คำตอบทั้งหมดที่นี่ในสัปดาห์หน้า

เกมที่ 2 - เสี่ยงโชค

นี่คือเกมการพนันลูกเต๋าที่เรียกว่า "Roll for Luck" (หรือ "กรงนก" เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ถูกโยน แต่วางไว้ในกรงลวดขนาดใหญ่ชวนให้นึกถึงกรงจาก "บิงโก") มันเป็นเกมง่ายๆ ที่โดยพื้นฐานแล้วมีดังต่อไปนี้: เดิมพัน เช่น 1 ดอลลาร์จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จากนั้นคุณทอย 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้งที่ได้หมายเลขของคุณ คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และคงเงินเดิมพันเดิมไว้) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้อะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพัน 1 และคุณได้ 1 จากด้านข้างสามครั้ง คุณจะได้รับ 3 ดอลลาร์

โดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ดังนั้นเมื่อคุณรวมทั้งสามลูกเข้าด้วยกัน โอกาสในการชนะคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกจากกัน และคุณได้รับอนุญาตให้เพิ่มได้เท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงการรวมกันที่ชนะของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (อาจทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าด้วยมือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกแม้จะมองแวบแรกก็ตาม แต่ในความเป็นจริง คาสิโนยังคงมีโอกาสชนะมากกว่านั้นอีกมากขนาดไหน? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดหวังที่จะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าใดในแต่ละรอบการเล่น? สิ่งที่คุณต้องทำคือบวกชัยชนะและการสูญเสียของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการแล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย... แต่อย่างที่คุณเห็น มีกับดักบางอย่างที่คุณสามารถตกเข้าไปได้ และนั่นคือเหตุผลที่ฉัน กำลังบอกคุณว่า: หากคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสที่จะชนะ แสดงว่าคุณคิดผิดไปหมดแล้ว

เกม #3 - โป๊กเกอร์สตั๊ดไพ่ 5 ใบ

หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว ลองตรวจสอบสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่นี้เป็นตัวอย่าง โดยเฉพาะ ลองจินตนาการถึงเกมโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองจินตนาการถึงไพ่สตั๊ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่เพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีสำรับที่ใช้ร่วมกัน คุณจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือข้างหนึ่ง มีทั้งหมดสี่วิธี จึงมีสี่วิธีที่เป็นไปได้ในการได้รอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณถึงสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือก่อนอื่นคุณสามารถจั่วเอซหรือสิบได้ไม่สำคัญ ดังนั้น เมื่อคำนวณสิ่งนี้ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการได้รับรอยัลฟลัช โดยสมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ!

เกมที่ 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม "Chron X" ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำและมีการ์ดที่น่าสนใจใบหนึ่งนั่นคือลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้มันในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากการเล่น และผู้เล่นแบบสุ่มจะได้รับทรัพยากรแต่ละประเภท 5 หน่วยซึ่งมีโทเค็นอยู่บนการ์ดนั้น การ์ดถูกป้อนเข้าสู่เกมโดยไม่มีชิปตัวเดียว แต่ทุกครั้งที่ยังคงอยู่ในการเล่นเมื่อเริ่มรอบถัดไป จะได้รับชิปหนึ่งชิป ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่ถ้าคุณใส่มันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และจะไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (โอกาส 90%) ก็มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่ในรอบต่อไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) บางคนจะได้รับ 10 หน่วย อีกรอบ - 15 อีกครั้ง - 20 และอื่น ๆ คำถาม: ค่าคาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคือเท่าไร?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ไขปัญหานี้โดยหาความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด จึงมีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1*0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย (9%*5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณได้รับคือ 10 (8.1%*10 = ทรัพยากรทั้งหมด 0.81 รายการ มูลค่าที่คาดหวัง) และอื่นๆ แล้วเราจะสรุปทั้งหมดให้ฟัง

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่ไพ่ ไม่จะออกจากเกมเพื่อที่เธอจะได้อยู่ในเกมต่อไป ตลอดไปมีจำนวนรอบเป็นอนันต์จึงสามารถคำนวณได้ ทุกความเป็นไปได้ไม่ได้อยู่. วิธีการที่เราได้เรียนรู้ในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองแผนที่นี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรไปยังตำแหน่งเริ่มต้นเป็นศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่ม และมีโอกาส 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้น จะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวงจรจะเกิดซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรสิ้นสุดที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง รันโปรแกรมหลายพันครั้ง สุดท้าย หารจำนวนทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด ซึ่งจะเป็นค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการกระจายยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มได้รับแมตช์ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใดก็ตามที่คุณลงท้ายด้วยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรม (และแม้ว่าคุณจะคุ้นเคย) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดสั้นๆ เพื่ออุ่นเครื่องทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะ Excel ก็ไม่ใช่สิ่งที่ไม่ดี

ตอนนี้คุณจะพบว่าฟังก์ชัน IF และ RAND มีประโยชน์มาก RAND ไม่ต้องการค่า เพียงแต่แยกตัวเลขทศนิยมแบบสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 โดยทั่วไปเราจะรวมมันเข้ากับ FLOOR และข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการทอยลูกเต๋า ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเหลือเพียงโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าค่า RAND น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

IF มี 3 ความหมาย ตามลำดับ: เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือเท็จ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้นฟังก์ชันต่อไปนี้จะส่งคืน 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลือ 90% ของเวลา:
=ถ้า(แรนด์()<0.1,5,0)

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงถึงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1:

ถ้า(แรนด์()<0.1,0,-1)

ในที่นี้ฉันใช้ตัวแปรลบเพื่อหมายถึง “การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่หมดทรัพยากรใดๆ เลย” ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากการเล่น A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น -1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง:

ถ้า(A1>-1, A1, ถ้า(แรนด์()<0.1,5,-1))

ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 จะเป็น -1 (การ์ดยังไม่ได้ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่การ์ดจะส่งคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือมูลค่าจะยังคงเท่ากับ -1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และเซลล์ใดก็ตามที่คุณอยู่ได้จะให้ผลลัพธ์สุดท้ายแก่คุณ (หรือ -1 หากการ์ดไม่เคยออกจากเกมหลังจากคุณเล่นทุกรอบแล้ว)

นำเซลล์แถวนั้นซึ่งแสดงถึงรอบเดียวที่มีการ์ดใบนั้น แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือพัน) แถว เราอาจทำไม่ได้ ไม่มีที่สิ้นสุดทดสอบ Excel (ในตารางมีจำนวนเซลล์จำกัด) แต่อย่างน้อยเราก็ครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ (Excel กรุณาเตรียมฟังก์ชัน AVERAGE() สำหรับสิ่งนี้)

บน Windows อย่างน้อยคุณก็สามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ เช่นเคย ให้ทำเช่นนี้สองสามครั้งแล้วดูว่าค่าที่คุณได้รับเหมือนกันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข

หากคุณเพิ่งสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาในสาขาความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไป นี่คือปัญหาสองประการที่ฉันเกาหัวมาหลายปี แต่น่าเสียดาย ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์พอที่จะแก้ปัญหาเหล่านั้น หากคุณทราบวิธีแก้ปัญหา โปรดโพสต์ไว้ที่นี่ในความคิดเห็น ฉันยินดีที่จะอ่าน

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข #1: ลอตเตอรีกองทุนการเงินระหว่างประเทศ

ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขคือการบ้านที่มอบหมายก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้อย่างแน่นอนในทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คือ ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) รู้คำตอบแล้วโพสต์ได้ที่นี่...หลังจากทดสอบกับมอนติคาร์โลแล้วแน่นอน

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข #2: ลำดับของตัวเลข

ปัญหานี้ (และอีกครั้งที่เกินขอบเขตของปัญหาที่แก้ไขในบล็อกนี้) มอบให้ฉันโดยเพื่อนนักเล่นเกมเมื่อ 10 กว่าปีที่แล้ว เขาสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจในขณะที่เล่นแบล็คแจ็คในเวกัส: เมื่อเขาดึงไพ่จากรองเท้า 8 สำรับ เขาก็มองเห็น สิบตัวเลขเรียงกัน (หนึ่งชิ้นหรือไพ่หน้า - 10, โจ๊กเกอร์, คิงหรือควีน ดังนั้นในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบจึงมีทั้งหมด 16 ใบ ดังนั้นในสำรับไพ่ 416 ใบจึงมี 128 ใบ) ความน่าจะเป็นในรองเท้านี้คืออะไร อย่างน้อยหนึ่งลำดับของสิบ หรือมากกว่าตัวเลข? สมมติว่าพวกมันถูกสับอย่างยุติธรรมโดยสุ่มลำดับ (หรือถ้าต้องการ ความน่าจะเป็นนั้นจะเป็นเท่าใด ไม่พบที่ไหนเลยลำดับของตัวเลขสิบตัวขึ้นไป?)

เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนเป็น 0 หรือ 1 มี 128 ตัวและศูนย์ 288 ตัวกระจายแบบสุ่มตลอดลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มสลับ 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และกี่ครั้งในลักษณะนี้ที่จะมีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มที่มีสิบกลุ่มขึ้นไป?

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ไขปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด จู่ๆ ก็พังทลายลงและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลยสำหรับฉัน ดังนั้นอย่ารีบโพล่งคำตอบ นั่งคิดให้ดี ศึกษาเงื่อนไขของปัญหา ลองบวกจำนวนจริง เพราะคนที่ผมคุยด้วยทั้งหมดเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้ด้วย) ) โต้ตอบประมาณเดียวกัน: “มันชัดเจนมาก... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเจนเลย” นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีการคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนว่าฉันสามารถบังคับปัญหาได้อย่างเดรัจฉานผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ แต่ฉันอยากรู้มากกว่ามากที่จะทราบวิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหานี้

การแปล - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

มนุษย์ใช้ลูกเต๋ามานับพันปีแล้ว

ในศตวรรษที่ 21 เทคโนโลยีใหม่ทำให้สามารถโยนลูกเต๋าได้ทุกเวลาที่สะดวก และหากคุณมีอินเทอร์เน็ต ก็อยู่ในสถานที่ที่สะดวก ลูกเต๋าจะอยู่กับคุณเสมอที่บ้านหรือบนท้องถนน

เครื่องกำเนิดลูกเต๋าช่วยให้คุณหมุนออนไลน์ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลูกเต๋า

ทอยลูกเต๋าออนไลน์อย่างตรงไปตรงมา

เมื่อใช้ลูกเต๋าจริง สามารถใช้มืออันว่องไวหรือลูกเต๋าที่ทำขึ้นเป็นพิเศษโดยได้เปรียบด้านเดียว ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหมุนลูกบาศก์ไปตามแกนแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป คุณสมบัติพิเศษของคิวบ์เสมือนของเราคือการใช้ซอฟต์แวร์สร้างตัวเลขสุ่มเทียม สิ่งนี้ช่วยให้เรามั่นใจได้ว่าเหตุการณ์หนึ่งหรือผลลัพธ์นั้นจะเกิดขึ้นแบบสุ่มอย่างแท้จริง

และหากคุณบุ๊กมาร์กหน้านี้ไว้ ลูกเต๋าออนไลน์ของคุณจะไม่หายไปไหนและจะพร้อมเสมอในเวลาที่เหมาะสม!

บางคนได้ปรับตัวเข้ากับการใช้ลูกเต๋าออนไลน์เพื่อทำนายดวงชะตาหรือทำนายดวงชะตา

ขอให้สนุก ขอให้มีวันที่ดีและโชคดี!

วิธีการเรียบเรียงดนตรีด้วยข้อความเสียงหลวมๆ เนื่องจากวิธีการแต่งเพลงที่เป็นอิสระเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 20 A. หมายถึงการที่ผู้แต่งปฏิเสธการควบคุมข้อความดนตรีอย่างเข้มงวดโดยสมบูรณ์หรือบางส่วน หรือแม้แต่การตัดผู้แต่งเพลงประเภทเดียวกันออกไปในความหมายดั้งเดิม นวัตกรรมของ A. อยู่ที่ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบที่สร้างไว้อย่างมั่นคงของข้อความดนตรีที่มีการนำเข้าโดยเจตนาและการเคลื่อนย้ายโดยพลการของเนื้อหาทางดนตรี แนวคิดของ A. สามารถหมายถึงทั้งการจัดเรียงทั่วไปของส่วนต่างๆ ของเรียงความ (แบบฟอร์ม) และโครงสร้างของเนื้อหา ตามที่ E. เดนิซอฟ,ปฏิสัมพันธ์ระหว่างความมั่นคงและความคล่องตัวของผ้าและรูปแบบทำให้เกิดการรวมกัน 4 ประเภทหลัก โดยสามประเภท - ที่ 2, 3 และ 4 - เป็นอะลีเอทอริก: 1. ผ้าที่มีความเสถียร - รูปแบบที่มั่นคง (องค์ประกอบแบบดั้งเดิมตามปกติ, opus perfectum et absolutum; ชอบ, สำหรับ ตัวอย่าง ซิมโฟนีที่ 6 ของไชคอฟสกี); 2. ผ้าที่มั่นคง - รูปทรงมือถือ; ตามคำกล่าวของ V. Lutoslavsky “ก. รูปแบบ" (P. Boulez, โซนาตาที่ 3 สำหรับเปียโน, 1957); 3. ผ้าเคลื่อนที่ - รูปทรงมั่นคง; หรือตามคำกล่าวของลูโตสลาฟสกี้ “ก. พื้นผิว" (Lyutoslawski, String Quartet, 1964, Main Movement); 4. ผ้ามือถือ - แบบมือถือ; หรือ "ก. กรง"(ระหว่างการแสดงด้นสดโดยรวมของนักแสดงหลายคน) สิ่งเหล่านี้คือจุดสำคัญของวิธี A. ซึ่งมีโครงสร้างเฉพาะหลายประเภทและกรณีต่างๆ ระดับการแช่ใน A. ต่างกัน; นอกจากนี้ เมแทบอลิซึม ("การปรับ") ยังเป็นไปตามธรรมชาติ - การเปลี่ยนจากประเภทหนึ่งไปเป็นอีกประเภทหนึ่ง ไปจนถึงหรือจากข้อความที่เสถียรด้วย

ก. แพร่หลายมาตั้งแต่ทศวรรษ 1950 ปรากฏ (ร่วมกับ โซโนริกา)โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปฏิกิริยาต่อการกดขี่อย่างรุนแรงของโครงสร้างทางดนตรีในอนุกรมนิยมแบบหลายพารามิเตอร์ (ดู: โดเดคาโฟนี)ในขณะเดียวกันหลักการของเสรีภาพในโครงสร้างไม่ทางใดก็ทางหนึ่งมีรากฐานมาแต่โบราณ โดยพื้นฐานแล้ว ดนตรีโฟล์กเป็นกระแสเสียง ไม่ใช่บทประพันธ์ที่มีโครงสร้างเป็นเอกลักษณ์ ดังนั้นความไม่แน่นอน ธรรมชาติของดนตรีพื้นบ้านที่ “ไม่ใช่บทประพันธ์” ความแปรผัน การแปรผัน และการแสดงด้นสดในนั้น ความไม่ระบุรายละเอียดและการด้นสดของรูปแบบเป็นลักษณะเฉพาะของดนตรีดั้งเดิมของอินเดีย ประชาชนในตะวันออกไกล และแอฟริกา ดังนั้นตัวแทนของ A. จึงพึ่งพาหลักการสำคัญของดนตรีตะวันออกและดนตรีพื้นบ้านอย่างแข็งขันและมีสติ องค์ประกอบของ A. ยังมีอยู่ในดนตรีคลาสสิกของยุโรป ตัวอย่างเช่นในบรรดาคลาสสิกเวียนนาที่ตัดหลักการของเบสทั่วไปและทำให้ข้อความดนตรีมีความเสถียรอย่างสมบูรณ์ (ซิมโฟนีและควอร์เตตของ I. Haydn) ความแตกต่างที่ชัดเจนคือ "จังหวะ" ในรูปแบบของเครื่องดนตรีคอนแชร์โต - อัจฉริยะเดี่ยวซึ่งส่วนหนึ่งไม่ได้แต่งโดยผู้แต่ง แต่ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของนักแสดง (รูปแบบองค์ประกอบ A.) มีวิธี "aleatoric" ที่ตลกขบขันในการแต่งเพลงง่ายๆ (minuets) โดยการรวมท่อนเพลงในการเล่นลูกเต๋า (Würfelspiel) ในสมัยของ Haydn และ Mozart (บทความโดย I.F. Kirnberger "เมื่อใดก็ตามผู้แต่งเพลงpolonaiseและ minuets” เบอร์ลิน, 1757)

ในศตวรรษที่ 20 หลักการของ "โครงการส่วนบุคคล" ในรูปแบบเริ่มแนะนำให้ยอมรับการใช้งานต้นฉบับของงาน (เช่น A. ) ในปี 1907 นักแต่งเพลงชาวอเมริกัน Charles Ives แต่งวงดนตรีเปียโน "Hallwe"en (= "All Hallows' Eve") ซึ่งเมื่อแสดงในคอนเสิร์ตจะต้องเล่นต่างกันสี่ครั้งติดต่อกัน D. กรงแต่งขึ้นในปี พ.ศ. 2494 “ดนตรีแห่งการเปลี่ยนแปลง” สำหรับเปียโน เนื้อหาที่เขาแต่งขึ้นโดย “การจัดการอุบัติเหตุ” (คำพูดของผู้แต่ง) โดยใช้ “หนังสือแห่งการเปลี่ยนแปลง” ภาษาจีนสำหรับเรื่องนี้ คลาสสิค

ตัวอย่างคลาสสิกของ A. คือ “Piano Piece XI” โดย K. สต็อคเฮาเซ่น,พ.ศ. 2500 บนกระดาษแผ่นหนึ่งประมาณ 0.5 ตร.ม. ชิ้นส่วนดนตรี 19 ชิ้นจัดเรียงแบบสุ่ม นักเปียโนเริ่มต้นด้วยคนใดคนหนึ่งและเล่นตามลำดับใดๆ ก็ตาม เมื่อมองดูโอกาส; ในตอนท้ายของตอนก่อนหน้านี้จะเขียนว่าจังหวะใดและระดับเสียงใดที่จะเล่นต่อไป เมื่อนักเปียโนคิดว่าเขาได้เล่นชิ้นส่วนทั้งหมดด้วยวิธีนี้แล้ว ควรเล่นชิ้นส่วนเหล่านั้นอีกครั้งในลำดับแบบสุ่มเดียวกัน แต่ด้วยเสียงที่ดังกว่า หลังจากรอบที่สองการเล่นจบลง เพื่อให้ได้ผลที่ดียิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ทำซ้ำการแสดงเพลงในคอนเสิร์ตเดียว - ผู้ฟังจะถูกนำเสนอด้วยองค์ประกอบอื่นจากเนื้อหาเดียวกัน วิธี A. ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายโดยนักประพันธ์สมัยใหม่ (บูเลซ, สตอคเฮาเซ่น, Lutoslavsky, A. Volkonsky, เดนิซอฟ, ชนิทเค่และอื่น ๆ.).

ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับ A. ในศตวรรษที่ 20 กฎหมายใหม่ปรากฏขึ้น ความสามัคคีและแนวโน้มที่จะค้นหารูปแบบใหม่ๆ ที่สอดคล้องกับสภาพใหม่ของเนื้อหาและลักษณะทางดนตรีของ เปรี้ยวจี๊ดพื้นผิวอะลีเอทอริกเป็นสิ่งที่คิดไม่ถึงโดยสิ้นเชิงก่อนการปลดปล่อย ความไม่ลงรอยกัน,การพัฒนาดนตรีแบบ atonal (ดู: โดเดคาโฟนี)ผู้สนับสนุน "จำกัดและควบคุม" A. Lutoslavsky มองเห็นคุณค่าที่ไม่ต้องสงสัยในนั้น: "A. เปิดมุมมองใหม่ๆ ที่คาดไม่ถึงให้กับฉัน ประการแรก มีจังหวะมากมายมหาศาล ซึ่งไม่สามารถบรรลุได้ด้วยเทคนิคอื่นๆ” เดนิซอฟให้เหตุผลว่า "การนำองค์ประกอบแบบสุ่มมาสู่ดนตรี" โดยอ้างว่า "ทำให้เรามีอิสระมากขึ้นในการทำงานกับเรื่องดนตรี และช่วยให้เราได้รับเอฟเฟกต์เสียงใหม่ ๆ<...>แต่แนวคิดด้านการเคลื่อนไหวสามารถให้ผลลัพธ์ที่ดีได้ก็ต่อเมื่อ<... >หากแนวโน้มการทำลายล้างที่ซ่อนอยู่ในการเคลื่อนไหวไม่ทำลายความสร้างสรรค์ที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของศิลปะรูปแบบใด ๆ ”

วิธีการและรูปแบบอื่นๆ ของดนตรีบางส่วนทับซ้อนกับ A. ก่อนอื่นเลย: 1. การแสดงด้นสด -ผลงานที่แต่งขึ้นระหว่างเกม 2. เพลงกราฟิก,ซึ่งนักแสดงแสดงด้นสดตามภาพที่มองเห็นของภาพวาดที่วางอยู่ตรงหน้าเขา (เช่น I. Brown, Folio", 1952) แปลเป็นภาพเสียง หรือตามกราฟิกเพลงประกอบละครที่สร้างโดยผู้แต่งจากชิ้นส่วนของ ข้อความดนตรีบนกระดาษ (S. Bussotti, "Passion for the Garden", 1966); 3. เกิดขึ้น- การกระทำชั่วคราว (ในแง่นี้ aleatoric) (การส่งเสริม)ด้วยการมีส่วนร่วมของดนตรีที่มีพล็อตตามอำเภอใจ (กึ่ง) (ตัวอย่างเช่นเกิดขึ้นของ A. Volkonsky "Replica" โดยวงดนตรี "Madrigal" ในฤดูกาล 1970/71); 4. ดนตรีแบบเปิด - นั่นคือเพลงที่มีข้อความไม่คงที่ แต่จะได้รับในกระบวนการแสดงเสมอ เหล่านี้เป็นประเภทของการเรียบเรียงที่ไม่ได้ปิดโดยพื้นฐานและปล่อยให้ดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (เช่น ในการแสดงใหม่แต่ละครั้ง) ภาษาอังกฤษ อยู่ระหว่างดำเนินการ สำหรับ P. Boulez หนึ่งในแรงจูงใจที่ทำให้เขากลายเป็นรูปแบบเปิดคือผลงานของ J. จอยซ์(“ยูลิสซิส”) และเอส. มัลลาร์เม (“เลอ ลิฟวร์”) ตัวอย่างของเพลงแบบเปิดคือ "Available Forms II" ของเอิร์ล บราวน์สำหรับเครื่องดนตรี 98 ชิ้นและผู้ควบคุมวง 2 คน (พ.ศ. 2505) บราวน์ชี้ให้เห็นถึงความเชื่อมโยงของรูปแบบเปิดของเขากับ "โทรศัพท์มือถือ" ในทัศนศิลป์ (ดู: ศิลปะจลนศาสตร์)โดยเฉพาะโดย A. Calder (“Calder Piece” สำหรับมือกลอง 4 คน และ Calder mobile, 1965) ในที่สุด การกระทำ "Gesamtkunst" ก็เต็มไปด้วยหลักการที่เอื้ออำนวย (ดู: Gesamtkunstwerk) 5. มัลติมีเดียซึ่งมีความจำเพาะคือการซิงโครไนซ์ การติดตั้งศิลปะหลายประเภท (เช่น คอนเสิร์ต + นิทรรศการจิตรกรรมและประติมากรรม + บทกวียามเย็นในศิลปะผสมผสานใดๆ เป็นต้น) ดังนั้น สาระสำคัญของศิลปะคือการปรองดองของระเบียบทางศิลปะที่จัดตั้งขึ้นตามประเพณีและเอนไซม์ที่สดชื่นของสิ่งที่คาดเดาไม่ได้ โอกาส - ลักษณะแนวโน้มของ วัฒนธรรมทางศิลปะแห่งศตวรรษที่ 20โดยทั่วไปและ สุนทรียศาสตร์ที่ไม่คลาสสิก

วรรณกรรม: เดนิซอฟ อี.วี.องค์ประกอบที่มั่นคงและเคลื่อนที่ได้ของรูปแบบดนตรีและการโต้ตอบ // ปัญหาทางทฤษฎีของรูปแบบดนตรีและแนวเพลง ม. 2514; โคฮูเทค ซี.เทคนิคการเรียบเรียงดนตรีแห่งศตวรรษที่ 20 ม. 2519; ลูโตสลาฟสกี้ วี.บทความเป็น-

ผมหงอก, ความทรงจำ ม. , 1995; บูเลซ P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. แอล ไมนซ์ 1958; บูเลซ อาร์. Zu meiner III Sonate // อ้างแล้ว, III. 1960; เชฟเฟอร์ บี.โนวา มูซิกา (1958) คราคูฟ 2512; เชฟเฟอร์ บี. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). คราคูฟ 1975; สตอคเฮาเซ่น เค. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen แบบฟอร์มใน der Musik ดาร์มสตัดท์, 1967.