Правило за решаване на прости уравнения. Решаване на прости линейни уравнения

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е абсолютно необходима.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучавате конкретни методи за решаване, имайте предвид, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Имате точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните уравнения и линейните, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора вярват. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Нека напишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното останало уравнение е:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е нула - коренът ще бъде единица.

Моля, имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е, но няма да объркате шансовете и да направите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако разберете, след известно време няма да е необходимо да записвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - общо взето не толкова много.

Корени на квадратно уравнение

Сега да преминем към самото решение. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - ще получите същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, запишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи, че в тези уравнения липсва един от членовете. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не изискват изчисляване на дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно е, че такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

От аритметиката Корен квадратенсъществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако в непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 неравенството (−c /a) ≥ 0 е изпълнено, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминант не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c /a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателна, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да разложим полинома на множители:

Изваждане на общия множител извън скоби

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук идват корените. В заключение, нека да разгледаме някои от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т. к квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

да решавам математика. Намерете бързо решаване на математическо уравнениев режим на линия. Уебсайтът www.site позволява реши уравнениетопочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцендентно уравнение онлайн. Когато изучавате почти всеки клон на математиката в различни етапитрябва да реша уравнения онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на сайта www.site решавайте уравнения онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически уравнения онлайн- това е скоростта и точността на предоставения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични уравнения онлайн, тригонометрични уравнения онлайн, трансцендентални уравнения онлайн, и уравненияс неизвестни параметри в режим на линия. Уравненияслужат като мощен математически апарат решенияпрактически проблеми. С помощта на математически уравнениявъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. Неизвестни количества уравненияможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата уравненияИ решиполучена задача в режим на линияна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично уравнение, тригонометрично уравнениеили уравнениясъдържащи трансценденталенфункции, които можете лесно решионлайн и получете точния отговор. Когато изучавате природни науки, вие неизбежно се сблъсквате с необходимостта решаване на уравнения. В този случай отговорът трябва да е точен и да се получи веднага в режим на линия. Следователно за решаване на математически уравнения онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични уравнения онлайн, тригонометрични уравненияна линия, и трансцендентални уравнения онлайнили уравненияс неизвестни параметри. За практически задачи за намиране на корените на различни математически уравненияресурс www.. Решаване уравнения онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решаване на уравненияна уебсайта www.site. Трябва да напишете уравнението правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което всичко, което остава, е да сравните отговора с вашето решение на уравнението. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, това е достатъчно решаване на уравнение онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме, когато решаване на уравнения онлайнили алгебричен, тригонометричен, трансценденталенили уравнениетос неизвестни параметри.

Приложение

Решаване на всякакъв вид уравнения онлайн на сайта за студенти и ученици за затвърдяване на изучения материал Решаване на уравнения онлайн. Уравнения онлайн. Има алгебрични, параметрични, трансцендентални, функционални, диференциални и други видове уравнения.Някои класове уравнения имат аналитични решения, които са удобни, защото не само дават точна стойност root, но ви позволяват да напишете решението под формата на формула, която може да включва параметри. Аналитичните изрази позволяват не само да се изчислят корените, но и да се анализира тяхното съществуване и тяхното количество в зависимост от стойностите на параметрите, което често е още по-важно за практическо приложение , отколкото специфичните стойности на корените. Решаване на уравнения онлайн.. Уравнения онлайн. Решаването на уравнение е задачата да се намерят такива стойности на аргументите, при които се постига това равенство. Допълнителни условия (цяло число, реални и т.н.) могат да бъдат наложени на възможните стойности на аргументите. Решаване на уравнения онлайн.. Уравнения онлайн. Можете да решите уравнението онлайн моментално и с висока точност на резултата. Аргументите на определени функции (понякога наричани "променливи") се наричат ​​"неизвестни" в случай на уравнение. Стойностите на неизвестните, при които се постига това равенство, се наричат ​​решения или корени на това уравнение. Твърди се, че корените удовлетворяват това уравнение. Решаването на уравнение онлайн означава намиране на множеството от всички негови решения (корени) или доказване, че няма корени. Решаване на уравнения онлайн.. Уравнения онлайн. Уравнения, чиито набори от корени съвпадат, се наричат ​​еквивалентни или равни. Уравнения, които нямат корени, също се считат за еквивалентни. Еквивалентността на уравненията има свойството на симетрия: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, тогава второто уравнение е еквивалентно на първото. Еквивалентността на уравненията има свойството транзитивност: ако едно уравнение е еквивалентно на друго, а второто е еквивалентно на трето, тогава първото уравнение е еквивалентно на третото. Свойството на еквивалентност на уравненията ни позволява да извършваме трансформации с тях, на които се основават методите за тяхното решаване. Решаване на уравнения онлайн.. Уравнения онлайн. Сайтът ще ви позволи да решите уравнението онлайн. Уравненията, за които са известни аналитични решения, включват алгебрични уравнения от не по-висока от четвърта степен: линейно уравнение, квадратно уравнение, кубично уравнение и уравнение от четвърта степен. Алгебричните уравнения от по-високи степени в общия случай нямат аналитично решение, въпреки че някои от тях могат да бъдат сведени до уравнения от по-ниски степени. Уравнения, които включват трансцендентни функции, се наричат ​​трансцендентални. Сред тях са известни аналитични решения за някои тригонометрични уравнения, тъй като нулите на тригонометричните функции са добре известни. В общия случай, когато не може да се намери аналитично решение, се използват числени методи. Числените методи не дават точно решение, а само позволяват да се стесни интервалът, в който се намира коренът, до определена предварително определена стойност. Решаване на уравнения онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнение онлайн, ще си представим как същият израз образува линейна връзка, не само по права допирателна, но и в самата точка на инфлексия на графиката. Този метод е незаменим по всяко време в изучаването на предмета. Често се случва решаването на уравнения да се доближи до крайната стойност, като се използват безкрайни числа и записващи вектори. Необходимо е да се проверят изходните данни и това е същността на задачата. В противен случай локалното условие се преобразува във формула. Инверсия в права линия от дадена функция, която калкулаторът на уравнението ще изчисли без много забавяне в изпълнението, отместването ще служи като привилегия на пространството. Ще говорим за успеха на студентите в научната среда. Въпреки това, както всичко по-горе, това ще ни помогне в процеса на намиране и когато решите уравнението напълно, ще съхраните получения отговор в краищата на сегмента с права линия. Правите в пространството се пресичат в точка и тази точка се нарича пресечена от правите. Интервалът на линията е посочен, както е посочено по-рано. Ще бъде публикувана най-високата длъжност за изучаване на математика. Присвояването на стойност на аргумент от параметрично определена повърхност и решаването на уравнението онлайн ще могат да очертаят принципите на продуктивен достъп до функция. Лентата на Мьобиус или безкрайността, както я наричат, изглежда като осмица. Това е едностранна повърхност, а не двустранна. Съгласно общоизвестния на всички принцип, ние обективно ще приемем линейните уравнения като основно обозначение, както е в областта на изследването. Само две стойности на последователно дадени аргументи могат да разкрият посоката на вектора. Ако приемем, че друго решение на онлайн уравнения е много повече от просто решаването му, означава получаване на пълноценна версия на инварианта като резултат. Без интегриран подходна учениците им е трудно да учат този материал. Както и преди, за всеки специален случай, нашият удобен и интелигентен онлайн калкулатор на уравнения ще помогне на всеки в трудни моменти, защото просто трябва да посочите входните параметри и системата сама ще изчисли отговора. Преди да започнем да въвеждаме данни, ще ни трябва инструмент за въвеждане, което може да се направи без особени затруднения. Броят на оценката на всеки отговор ще доведе до квадратно уравнение към нашите заключения, но това не е толкова лесно да се направи, защото е лесно да се докаже обратното. Теорията, поради своите характеристики, не е подкрепена практически знания. Виждането на дробен калкулатор на етапа на публикуване на отговора не е лесна задача в математиката, тъй като алтернативата за записване на число върху набор помага да се увеличи растежът на функцията. Би било некоректно обаче да не говорим за обучението на студентите, така че всеки ще каже толкова, колкото трябва да се направи. Намереното по-рано кубично уравнение с право ще принадлежи към областта на дефиницията и ще съдържа пространството числови стойности, както и символни променливи. След като са научили или запомнили теоремата, нашите ученици ще се покажат само по най-добрия начин и ние ще се радваме за тях. За разлика от пресичането на множество полета, нашите онлайн уравнения се описват от равнина на движение чрез умножаване на две и три цифрови комбинирани линии. Наборът в математиката не е дефиниран еднозначно. Най-доброто решение според учениците е пълен запис на израза. Както беше казано на научен език, абстракцията на символични изрази не влиза в състоянието на нещата, но решаването на уравнения дава недвусмислен резултат във всички известни случаи. Продължителността на урока на учителя зависи от нуждите на това предложение. Анализът показа необходимостта от всички изчислителни техники в много области и е абсолютно ясно, че калкулаторът с уравнения е незаменим инструмент в талантливите ръце на ученик. Лоялният подход към изучаването на математиката определя важността на гледните точки от различни посоки. Искате да идентифицирате една от ключовите теореми и да решите уравнението по такъв начин, в зависимост от отговора на който ще има по-нататъшна необходимост от нейното приложение. Анализите в тази област набират скорост. Да започнем отначало и да изведем формулата. Преминавайки нивото на нарастване на функцията, линията по тангентата в точката на инфлексия със сигурност ще доведе до факта, че решаването на уравнението онлайн ще бъде един от основните аспекти при конструирането на същата графика от аргумента на функцията. Аматьорският подход има право да се прилага, ако това състояниене противоречи на изводите на студентите. Това е подзадачата, която поставя анализа на математическите условия като линейни уравнения в съществуващата област на дефиниране на обекта, който остава на заден план. Нетирането в посока на ортогоналност отменя предимството на единична абсолютна стойност. Решаването на уравнения по модул онлайн дава същия брой решения, ако отворите скобите първо със знак плюс и след това със знак минус. В този случай ще има два пъти повече решения и резултатът ще бъде по-точен. Стабилен и правилен калкулаторуравнения онлайн е успех в постигането на планираната цел в задачата, поставена от учителя. Изглежда възможно да се избере правилният метод поради значителните различия във възгледите на големите учени. Полученото квадратно уравнение описва кривата на линиите, така наречената парабола, а знакът ще определи нейната изпъкналост в квадратната координатна система. От уравнението получаваме както дискриминанта, така и самите корени според теоремата на Виета. Първата стъпка е да представите израза като правилна или неправилна дроб и да използвате дробен калкулатор. В зависимост от това ще се формира планът за нашите по-нататъшни изчисления. Математиката с теоретичен подход ще бъде полезна на всеки етап. Определено ще представим резултата като кубично уравнение, защото ще скрием корените му в този израз, за ​​да опростим задачата за студент в университет. Всички методи са добри, ако са подходящи за повърхностен анализ. Допълнителните аритметични операции няма да доведат до грешки в изчисленията. Определя отговора със зададена точност. Използвайки решението на уравненията, нека си признаем - намирането на независимата променлива на дадена функция не е толкова лесно, особено в периода на изучаване на успоредни прави в безкрайност. С оглед на изключението необходимостта е много очевидна. Разликата в поляритета е ясна. Нашият учител научи от опита на преподаване в институти основен урок, в който уравненията се изучаваха онлайн в пълния математически смисъл. Тук говорихме за по-големи усилия и специални умения при прилагане на теорията. В полза на нашите заключения не трябва да се гледа през призма. Доскоро се смяташе, че затвореното множество бързо се увеличава над региона такъв, какъвто е, и решението на уравненията просто трябва да бъде изследвано. На първия етап не взехме предвид всичко възможни варианти, но този подход е по-оправдан от всякога. Допълнителните действия със скоби оправдават някои напредвания по ординатната и абсцисната ос, които не могат да бъдат пропуснати с просто око. В смисъл на екстензивно пропорционално увеличение на функцията има инфлексна точка. За пореден път ще докажем как необходимо условиеще се прилага през целия интервал на намаляване на една или друга низходяща позиция на вектора. В ограничено пространство ще изберем променлива от начален блокнашия скрипт. Система, изградена като основа по три вектора, е отговорна за отсъствието на главния момент на сила. Калкулаторът на уравнението обаче генерира и помага при намирането на всички членове на съставеното уравнение, както над повърхността, така и по успоредни линии. Нека начертаем кръг около началната точка. Така ще започнем да се движим нагоре по линиите на сечението, а допирателната ще опише окръжността по цялата й дължина, което ще доведе до крива, наречена еволвента. Между другото, нека разкажем малко история за тази крива. Факт е, че исторически в математиката не е имало концепция за самата математика в нейното чисто разбиране, както е днес. Преди това всички учени се занимаваха с една обща задача, тоест науката. По-късно, няколко века по-късно, когато научен святизпълнено с колосално количество информация, човечеството все още идентифицира много дисциплини. Те все още остават непроменени. И въпреки това всяка година учени от цял ​​свят се опитват да докажат, че науката е безгранична и че няма да решите уравнението, освен ако нямате познания в областта. природни науки. Може да не е възможно най-накрая да се сложи край. Мисленето за това е толкова безсмислено, колкото и затоплянето на въздуха навън. Нека намерим интервала, при който аргументът, ако стойността му е положителна, ще определи модула на стойността в рязко нарастваща посока. Реакцията ще ви помогне да намерите поне три решения, но ще трябва да ги проверите. Нека започнем с факта, че трябва да решим уравнението онлайн с помощта на уникална услуганашия сайт. Нека въведем двете страни на даденото уравнение, щракнете върху бутона „РЕШИ“ и получете точния отговор само за няколко секунди. В специални случаи нека вземем книга по математика и да проверим отново нашия отговор, а именно, погледнете само отговора и всичко ще стане ясно. Ще излети същият проект за изкуствен излишен паралелепипед. Има успоредник с успоредни страни и той обяснява много принципи и подходи за изучаване пространствено отношениевъзходящият процес на натрупване на кухо пространство в естествено изглеждащи формули. Нееднозначните линейни уравнения показват зависимостта на желаната променлива от нашата обща този моментвреме решение и трябва по някакъв начин да извлечете и донесете неправилна дробкъм нетривиален случай. Маркирайте десет точки на правата линия и начертайте крива през всяка точка в дадената посока, с изпъкналата точка нагоре. Без особени затруднения нашият калкулатор на уравнения ще представи израз в такава форма, че проверката му за валидност на правилата ще бъде очевидна дори в началото на записа. Системата от специални представяния на стабилността за математиците е на първо място, освен ако не е предвидено друго във формулата. Ще отговорим на това с подробно представяне на доклад по темата за изоморфното състояние на пластична система от тела и решаването на уравнения онлайн ще опише движението на всяка материална точка в тази система. На ниво задълбочени изследвания ще е необходимо да се изясни в детайли въпросът за инверсиите поне на долния слой на пространството. Изкачвайки се в участъка, където функцията е прекъсната, ще приложим общия метод на един отличен изследовател, между другото, наш сънародник, и ще разкажем по-долу за поведението на самолета. Посредством силни характеристикианалитично дадена функция, ние използваме онлайн калкулатора на уравненията само по предназначение в рамките на получените граници на правомощия. Разсъждавайки по-нататък, ще съсредоточим нашия преглед върху хомогенността на самото уравнение, тоест дясната му страна е равна на нула. Още веднъжНека се уверим, че решението ни по математика е правилно. За да избегнем получаването на тривиално решение, ще направим някои корекции в началните условия на проблема за условната устойчивост на системата. Нека създадем квадратно уравнение, за което записваме два записа, като използваме добре позната формула и намираме отрицателните корени. Ако един корен е с пет единици по-голям от втория и третия корен, тогава, като правим промени в главния аргумент, ние изкривяваме първоначалните условия на подзадачата. По своята същност нещо необичайно в математиката винаги може да бъде описано с точност до стотна от положително число. Калкулаторът на фракции е няколко пъти по-добър от аналозите си на подобни ресурси в най-добрия момент на натоварване на сървъра. На повърхността на вектора на скоростта, растящ по ординатната ос, начертаваме седем линии, огънати в посоки, противоположни една на друга. Съизмеримостта на присвоения аргумент на функцията е пред показанията на брояча на баланса за възстановяване. В математиката можем да представим това явление чрез кубично уравнение с имагинерни коефициенти, както и в биполярната прогресия на намаляващи линии. Критични точкиТемпературните разлики по много начини описват процеса на разлагане на сложна дробна функция на фактори. Ако ви кажат да решите уравнение, не бързайте да го направите веднага, определено първо оценете целия план за действие и едва след това вземете правилния подход. Със сигурност ще има ползи. Лекотата на работа е очевидна, същото важи и за математиката. Решете уравнението онлайн. Всички онлайн уравнения представляват определен тип запис на числа или параметри и променлива, която трябва да бъде определена. Изчислете тази много променлива, тоест намерете конкретни стойности или интервали от набор от стойности, при които идентичността ще се запази. Началните и крайните условия са пряко зависими. Общото решение на уравненията обикновено включва някои променливи и константи, чрез задаване на които ще получим цели семейства от решения за дадена постановка на задача. Като цяло това оправдава усилията, положени за увеличаване на функционалността на пространствен куб със страна, равна на 100 сантиметра. Можете да приложите теорема или лема на всеки етап от конструирането на отговор. Сайтът постепенно произвежда калкулатор на уравнение, ако е необходимо, на всеки интервал на сумиране на продуктите най-малка стойност. В половината от случаите такава топка, тъй като е куха, вече не отговаря на изискванията за задаване на междинен отговор. Поне по ординатната ос в посока на намаляване на векторното представяне тази пропорция несъмнено ще бъде по-оптимална от предишния израз. В часа, когато се извърши пълен точков анализ на линейни функции, ние всъщност ще съберем заедно всички наши комплексни числа и биполярни равнинни пространства. Като заместите променлива в получения израз, вие ще решите уравнението стъпка по стъпка и ще дадете най-подробния отговор с висока точност. Още веднъж проверете действията си по математика в добра формаот страна на ученика. Пропорцията в съотношението на фракциите записва целостта на резултата във всички важни области на дейност на нулевия вектор. Тривиалността се потвърждава в края на завършените действия. С проста задача учениците може да нямат никакви затруднения, ако решат уравнението онлайн за възможно най-кратко време, но не забравяйте за всички различни правила. Набор от подмножества се пресичат в област на конвергентна нотация. IN различни случаипродуктът не е факторизиран погрешно. Ще ви помогнем да решите уравнението онлайн в нашия първи раздел, посветен на основите на математическите техники за важни раздели за студенти в университети и технически колежи. Няма да се налага да чакаме няколко дни за отговори, тъй като процесът на най-добро взаимодействие на векторен анализ с последователно намиране на решения е патентован в началото на миналия век. Оказва се, че усилията за установяване на отношения със заобикалящия екип не са били напразни, очевидно е необходимо първо нещо друго. Няколко поколения по-късно учени от цял ​​свят накараха хората да повярват, че математиката е кралицата на науките. Независимо дали е левият или десният отговор, все едно изчерпателните термини трябва да бъдат записани в три реда, тъй като в нашия случай определено ще говорим само за векторен анализ на свойствата на матрицата. Нелинейните и линейните уравнения, заедно с биквадратните уравнения, заемат специално място в нашата книга за най-добри практикиизчисляване на траекторията на движение в пространството на всички материални точки на затворена система. Линейният анализ ще ни помогне да оживим идеята точков продукттри последователни вектора. В края на всеки оператор задачата се улеснява чрез внедряване на оптимизирани числени изключения в изпълнените наслагвания на числово пространство. Друга преценка няма да противопостави намерения отговор в произволната форма на триъгълник в кръг. Ъгълът между два вектора съдържа необходимия процент марж и решаването на уравнения онлайн често разкрива определен общ корен на уравнението, за разлика от началните условия. Изключението играе ролята на катализатор в целия неизбежен процес на намиране на положително решение в областта на дефиниране на функция. Ако не е казано, че не можете да използвате компютър, тогава онлайн калкулаторът за уравнения е точно за вашите нужди. трудни задачи. Трябва само да въведете вашите условни данни в правилния формат и нашият сървър ще издаде пълноценен резултатен отговор в най-кратки срокове. Експоненциална функциянараства много по-бързо от линейното. Талмудите свидетелстват за това библиотечна литература. Ще извърши изчислението в в общ смисълкакто би направило дадено квадратно уравнение с три комплексни коефициента. Параболата в горната част на полуравнината характеризира праволинейно успоредно движение по осите на точката. Тук си струва да споменем потенциалната разлика в работното пространство на тялото. В замяна на неоптимален резултат, нашият дробен калкулатор с право заема първото място в математическия рейтинг на прегледа на функционалните програми от страна на сървъра. Лесното използване на тази услуга ще бъде оценено от милиони интернет потребители. Ако не знаете как да го използвате, ще се радваме да ви помогнем. Бихме искали също така специално да отбележим и подчертаем кубичното уравнение от редица проблеми на началното училище, когато е необходимо бързо да се намерят неговите корени и да се изгради графика на функцията в равнина. Висшите степени на възпроизводство са една от сложните математически задачи в института и за нейното изучаване се отделя достатъчен брой часове. Както всички линейни уравнения, нашето не е изключение според много обективни правила; погледнете от различни гледни точки и се оказва просто и достатъчно за задаване на началните условия. Интервалът на нарастване съвпада с интервала на изпъкналост на функцията. Решаване на уравнения онлайн. Изучаването на теорията се основава на онлайн уравнения от множество раздели за изучаване на основната дисциплина. В случая на този подход при несигурни проблеми е много лесно да се представи решението на уравненията в предварително определена форма и не само да се направят заключения, но и да се предвиди резултатът от такова положително решение. Услуга в най-добрите традиции на математиката ще ни помогне да научим предметната област, точно както е обичайно на Изток. IN най-добрите моментиинтервал от време, подобни задачи бяха умножени по общ коефициент десет. Изобилието от умножения на множество променливи в калкулатора на уравненията започна да се умножава по качествени, а не по количествени променливи като маса или телесно тегло. За да избегнем случаи на дисбаланс на материалната система, извеждането на триизмерен трансформатор върху тривиалната конвергенция на неизродени математически матрици е съвсем очевидно за нас. Изпълнете задачата и решете уравнението в дадени координати, тъй като изходът е неизвестен предварително, както и всички променливи, включени в постпространственото време. На краткосроченпреместете общия множител отвъд скобите и разделете на най-големия общ делителдвете части предварително. Изпод полученото покрито подмножество от числа извлечете по подробен начин тридесет и три последователни точки за кратък период от време. Доколкото по възможно най-добрия начинРешаването на уравнение онлайн е възможно за всеки ученик.Гледайки напред, нека кажем едно важно, но ключово нещо, без което ще бъде трудно да живеем в бъдеще. През миналия век великият учен забеляза редица закономерности в теорията на математиката. На практика резултатът не беше съвсем очакваното впечатление от събитията. По принцип обаче точно това решение на уравнения онлайн помага за подобряване на разбирането и възприемането на холистичен подход към изучаването и практическото консолидиране на наученото теоретичен материалсред учениците. Много по-лесно е да направите това по време на обучението си.

=

Линейни уравнения. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-много сложна тема училищна математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)

Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:

брадва + b = 0 Където а и б– всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са някакви числа?), тогава се оказва смешно изражение:

Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,А b=5,Това се оказва нещо съвсем необичайно:

Което е досадно и подкопава доверието в математиката, да...) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази вие също трябва да намерите X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение по външния му вид? Зависи какво външен вид.) Номерът е, че не само уравненията от формата се наричат ​​линейни уравнения брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението

не може да се нарече линеен. Тук Х-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме радва.)

Решаване на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение линейни уравнениясе състои от идентични трансформации на уравнения. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.

Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, и - 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравнения.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Ето подобни, считаме:

Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Да се ​​отървете от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.

Например, ето уравнението:

Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. Малки стъпки по дълъг път. Или можете да го направите веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.

Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?

95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:

Разгънете останалите скоби:

Не е пример, но чисто удоволствие!) Сега нека си спомним заклинанието от младши класове: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои подобни:

И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: х=0,16

Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод ляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо досадно повтарям за тези идентични трансформации през цялото време.)

Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви вкарат в силен ступор...) За щастие, може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първа изненада.

Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени го местим с X наляво, без X - надясно... Със смяна на знака всичко е перфектно... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Броим, и... опа!!! Получаваме:

Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?Иначе решението не се брои, нали...) Deadlock?

Спокоен! В такива съмнителни случаи ще ви спасят най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но имаме истинско равенство вечесе случи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?Хайде?)

Да!!! X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.

Ето вашия отговор: x - произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Втора изненада.

Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. От гледна точка на математиката, имаме фалшиво равенство.И говорене на прост език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решениеуравнения.)

Отново мислим въз основа на Общи правила. Какво х ще ни дадат, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.

Като този. Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)

Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата – термините, в които се съдържа – от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да дадете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, със самото прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми още веднъж да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че ги пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви позволи да избегнете глупави и обидни грешки в гимназията, когато извършването на такива действия се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно изпълнение прости стъпкиводи до факта, че гимназисти идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако видите квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще намалеят.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!