Графика на функцията y 1 3x 2. Квадратни и кубични функции

Урок на тема: "Графика и свойства на функцията $y=x^3$. Примери за построяване на графики"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 7 клас
Електронен учебник за 7 клас "Алгебра за 10 минути"
Учебен комплекс 1C "Алгебра, 7-9 клас"

Свойства на функцията $y=x^3$

Нека опишем свойствата на тази функция:

1. x е независима променлива, y е зависима променлива.

2. Област на дефиниране: очевидно е, че за всяка стойност на аргумента (x) може да се изчисли стойността на функцията (y). Съответно, областта на дефиниране на тази функция е цялата числова линия.

3. Диапазон от стойности: y може да бъде всичко. Съответно диапазонът от стойности също е цялата числова линия.

4. Ако x= 0, тогава y= 0.

Графика на функцията $y=x^3$

1. Нека създадем таблица със стойности:

2. За положителни стойности на x, графиката на функцията $y=x^3$ е много подобна на парабола, чиито клонове са по-"притиснати" към оста OY.

3. Тъй като при отрицателни стойности на x функцията $y=x^3$ има противоположни стойности, графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

Сега нека маркираме точките на координатната равнина и да изградим графика (виж фиг. 1).

Тази крива се нарича кубична парабола.

Примери

I. Малкият кораб напълно остана без прясна вода. Необходимо е да се донесе достатъчно количество вода от града. Водата се поръчва предварително и се заплаща за пълен куб, дори и да напълните малко по-малко. Колко кубчета трябва да поръчам, за да не плащам повече за допълнителен куб и напълно да напълня резервоара? Известно е, че резервоарът има еднаква дължина, ширина и височина, които са равни на 1,5 м. Нека решим този проблем, без да извършваме изчисления.

Решение:

1. Нека начертаем функцията $y=x^3$.
2. Намерете точка А, координата х, която е равна на 1,5. Виждаме, че координатата на функцията е между стойности 3 и 4 (виж фиг. 2). Така че трябва да поръчате 4 кубчета.

Нека изберем правоъгълна координатна система на равнината и начертаем стойностите на аргумента върху абсцисната ос х, а по ординатата - стойностите на функцията y = f(x).

Функционална графика y = f(x)е множеството от всички точки, чиито абсциси принадлежат към областта на дефиниране на функцията, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията.

С други думи, графиката на функцията y = f (x) е множеството от всички точки на равнината, координати Х, прикоито удовлетворяват отношението y = f(x).

На фиг. 45 и 46 показват графики на функции y = 2x + 1И y = x 2 - 2x.

Строго погледнато, трябва да се прави разлика между графика на функция (чието точно математическо определение беше дадено по-горе) и начертана крива, която винаги дава само повече или по-малко точна скица на графиката (и дори тогава, като правило, не цялата графика, а само нейната част, разположена в крайните части на равнината). В това, което следва обаче, обикновено ще казваме „графика“, а не „скица на графика“.

С помощта на графика можете да намерите стойността на функция в точка. А именно, ако точката х = апринадлежи към областта на дефиниране на функцията y = f(x), след което да намерите номера е(а)(т.е. стойностите на функцията в точката х = а) трябва да направите това. Необходимо е през абсцисната точка х = аначертайте права линия, успоредна на ординатната ос; тази линия ще пресича графиката на функцията y = f(x)в една точка; ординатата на тази точка, по силата на определението на графиката, ще бъде равна на е(а)(фиг. 47).

Например за функцията f(x) = x 2 - 2xс помощта на графиката (фиг. 46) намираме f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т.н.

Функционалната графика ясно илюстрира поведението и свойствата на функцията. Например, от разглеждането на фиг. 46 е ясно, че функцията y = x 2 - 2xприема положителни стойностипри х< 0 и при х > 2, отрицателен - при 0< x < 2; най-малка стойностфункция y = x 2 - 2xприема при х = 1.

Да начертаете графика на функция f(x)трябва да намерите всички точки на равнината, координати х,прикоито удовлетворяват уравнението y = f(x). В повечето случаи това е невъзможно да се направи, тъй като има безкраен брой такива точки. Затова графиката на функцията се изобразява приблизително – с по-голяма или по-малка точност. Най-простият е методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки. Състои се в това, че аргументът хдайте краен брой стойности - да речем, x 1, x 2, x 3,..., x k и създайте таблица, която включва избраните стойности на функцията.

Таблицата изглежда така:

След като съставим такава таблица, можем да очертаем няколко точки на графиката на функцията y = f(x). След това, свързвайки тези точки с гладка линия, получаваме приблизителен изглед на графиката на функцията y = f(x).

Трябва да се отбележи обаче, че методът за многоточково изобразяване е много ненадежден. Всъщност поведението на графиката между предвидените точки и нейното поведение извън сегмента между взетите крайни точки остава неизвестно.

Пример 1. Да начертаете графика на функция y = f(x)някой състави таблица със стойности на аргументи и функции:

Съответните пет точки са показани на фиг. 48.

Въз основа на разположението на тези точки той заключава, че графиката на функцията е права линия (показана на фиг. 48 с пунктирана линия). Може ли това заключение да се счита за надеждно? Освен ако няма допълнителни съображения в подкрепа на това заключение, то едва ли може да се счита за надеждно. надежден.

За да обосновем нашето твърдение, разгледайте функцията

Изчисленията показват, че стойностите на тази функция в точки -2, -1, 0, 1, 2 са точно описани в таблицата по-горе. Графиката на тази функция обаче изобщо не е права линия (показана е на фиг. 49). Друг пример би била функцията y = x + l + sinπx;неговите значения също са описани в таблицата по-горе.

Тези примери показват, че в своята „чиста“ форма методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки е ненадежден. Следователно, за да се начертае графика на дадена функция, обикновено се процедира по следния начин. Първо, изучаваме свойствата на тази функция, с помощта на които можем да изградим скица на графиката. След това чрез изчисляване на стойностите на функцията в няколко точки (изборът на които зависи от установените свойства на функцията) се намират съответните точки на графиката. И накрая се изчертава крива през построените точки, използвайки свойствата на тази функция.

По-късно ще разгледаме някои (най-простите и най-често използвани) свойства на функции, използвани за намиране на скица на графика, но сега ще разгледаме някои често използвани методи за конструиране на графики.

Графика на функцията y = |f(x)|.

Често е необходимо да се начертае функция y = |f(x)|, където f(x) -дадена функция. Нека ви припомним как става това. Като дефинираме абсолютната стойност на число, можем да напишем

Това означава, че графиката на функцията y =|f(x)|може да се получи от графика, функция y = f(x)както следва: всички точки от графиката на функцията y = f(x), чиито ординати са неотрицателни, трябва да се оставят непроменени; по-нататък, вместо точките от графиката на функцията y = f(x)с отрицателни координати, трябва да построите съответните точки на графиката на функцията y = -f(x)(т.е. част от графиката на функцията
y = f(x), която лежи под оста Х,трябва да се отразява симетрично спрямо оста х).

Пример 2.Графика на функцията y = |x|.

Нека вземем графиката на функцията y = x(Фиг. 50, а) и част от тази графика в х< 0 (лежи под оста х), симетрично отразени спрямо оста х. В резултат на това получаваме графика на функцията y = |x|(Фиг. 50, b).

Пример 3. Графика на функцията y = |x 2 - 2x|.

Първо, нека начертаем функцията y = x 2 - 2x.Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, върхът на параболата има координати (1; -1), нейната графика пресича оста x в точки 0 и 2. В интервала (0; 2) функцията приема отрицателни стойности, поради което тази част от графиката се отразява симетрично спрямо абсцисната ос. Фигура 51 показва графиката на функцията y = |x 2 -2x|, въз основа на графиката на функцията y = x 2 - 2x

Графика на функцията y = f(x) + g(x)

Помислете за проблема с изграждането на графика на функция y = f(x) + g(x).ако са дадени графики на функции y = f(x)И y = g(x).

Обърнете внимание, че областта на дефиниция на функцията y = |f(x) + g(x)| е множеството от всички онези стойности на x, за които и двете функции y = f(x) и y = g(x) са дефинирани, т.е. тази област на дефиниция е пресечната точка на областите на дефиниция, функции f(x) и g(x).

Нека точките (x 0, y 1) И (x 0, y 2) съответно принадлежат на графиките на функциите y = f(x)И y = g(x), т.е 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тогава точката (x0;. y1 + y2) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) + g(x)(за f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. и всяка точка от графиката на функцията y = f(x) + g(x)може да се получи по този начин. Следователно графиката на функцията y = f(x) + g(x)могат да бъдат получени от графики на функции y = f(x). И y = g(x)замяна на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)точка (x n, y 1 + y 2),Където y 2 = g(x n), т.е. чрез изместване на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)по оста припо количеството y 1 = g(x n). В този случай се вземат предвид само такива точки х n, за които са дефинирани и двете функции y = f(x)И y = g(x).

Този метод за чертане на функция y = f(x) + g(x) се нарича събиране на графики на функции y = f(x)И y = g(x)

Пример 4. На фигурата е построена графика на функцията с помощта на метода на добавяне на графики
y = x + sinx.

При начертаване на функция y = x + sinxмислихме това f(x) = x,А g(x) = sinx.За да начертаем графиката на функцията, избираме точки с абсцисите -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Стойности f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxНека изчислим в избраните точки и поставим резултатите в таблицата.

В златния век информационни технологиималко хора ще си купят милиметрова хартия и ще прекарат часове в чертане на функция или произволно набиранеданни и защо да се занимавате с такава досадна работа, когато можете да изградите графика на функцията онлайн. В допълнение, преброяването на милиони стойности на изрази за правилно показване е почти нереалистично и трудно и въпреки всички усилия резултатът ще бъде начупена линия, а не крива. Защото компютърът е в такъв случай- незаменим помощник.

Какво е функционална графика

Функцията е правило, според което всеки елемент от един набор е свързан с някакъв елемент от друг набор, например изразът y = 2x + 1 установява връзка между наборите от всички стойности на x и всички стойности от y, следователно, това е функция. Съответно, графиката на функция ще бъде набор от точки, чиито координати удовлетворяват дадения израз.

На фигурата виждаме графиката на функцията y = x. Това е права линия и всяка нейна точка има свои координати върху оста хи по оста Y. Въз основа на определението, ако заместим координатата хнякаква точка в това уравнение, тогава получаваме координатата на тази точка върху оста Y.

Онлайн услуги за начертаване на функционални графики

Нека да разгледаме няколко популярни и най-добри услуги, които ви позволяват бързо да начертаете графика на функция.

Списъкът започва с най-разпространената услуга, която ви позволява да начертаете функционална графика с помощта на уравнение онлайн. Umath съдържа само необходими инструменти, като мащабиране, преместване по координатната равнина и преглед на координатите на точката, към която сочи мишката.

Инструкции:

Въведете вашето уравнение в полето след знака "=".
Щракнете върху бутона „Постройте графика“.

Както можете да видите, всичко е изключително просто и достъпно; синтаксисът за писане на сложни математически функции: с модул, тригонометрични, експоненциални - е даден точно под графиката. Също така, ако е необходимо, можете да зададете уравнението с помощта на параметричния метод или да изградите графики в полярната координатна система.

Yotx има всички функции на предишната услуга, но в същото време съдържа толкова интересни нововъведения като създаване на интервал за показване на функции, възможност за изграждане на графика с помощта на таблични данни, както и показване на таблица с цели решения.

Инструкции:

Изберете желания метод за настройка на графика.
Въведете своето уравнение.
Задайте интервала.
Щракнете върху бутона "строя".

За тези, които ги мързи да разберат как да запишат определени функции, тази позиция предлага услуга с възможност за избор на необходимата от списък с едно щракване на мишката.

Инструкции:

Намерете функцията, от която се нуждаете, от списъка.
Щракнете с левия бутон върху него
Ако е необходимо, въведете коефициенти в полето "Функция:".
Щракнете върху бутона "строя".

По отношение на визуализацията е възможно да промените цвета на графиката, както и да я скриете или изтриете напълно.

Desmos е най-усъвършенстваната услуга за съставяне на уравнения онлайн. Придвижвайки курсора със задържан ляв бутон на мишката по графиката, можете да видите подробно всички решения на уравнението с точност до 0,001. Вградената клавиатура ви позволява бързо да пишете степени и дроби. Най-важното предимство е възможността да напишете уравнението във всяко състояние, без да го редуцирате до формата: y = f(x).

Инструкции:

В лявата колона щракнете с десния бутон върху празен ред.
В долния ляв ъгъл щракнете върху иконата на клавиатурата.
В панела, който се показва, въведете необходимото уравнение (за да напишете имената на функциите, отидете в секцията „A B C“).
Графикът се изгражда в реално време.

Визуализацията е просто перфектна, адаптивна, ясно е, че дизайнерите са работили върху приложението. От положителна страна можем да отбележим огромното изобилие от възможности, за овладяването на които можете да видите примери в менюто в горния ляв ъгъл.

Има много сайтове за конструиране на функционални графики, но всеки е свободен да избира сам въз основа на необходимата функционалност и лични предпочитания. Списъкът на най-добрите беше съставен, за да задоволи изискванията на всеки математик, млад или стар. Успех в разбирането на „царицата на науките“!

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.