บทความนี้จะกล่าวถึงหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงต่อไป เศษส่วนพีชคณิต: พิจารณาการกระทำเช่นการลดเศษส่วนพีชคณิต มานิยามคำศัพท์กัน กำหนดกฎการลด และวิเคราะห์ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
ความหมายของการลดเศษส่วนพีชคณิต
ในวัสดุเกี่ยวกับ เศษส่วนทั่วไปเราคิดว่าจะตัดมันลง เรากำหนดให้การลดเศษส่วนเป็นการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม
การลดเศษส่วนพีชคณิตก็มีการดำเนินการที่คล้ายกัน
คำจำกัดความ 1
การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ตรงกันข้ามกับการลดเศษส่วนสามัญ (ตัวส่วนร่วมสามารถเป็นตัวเลขได้เท่านั้น) ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตสามารถเป็นพหุนามได้ โดยเฉพาะ monomial หรือตัวเลข
ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยจำนวน 3 ผลลัพธ์คือ: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. เราสามารถลดเศษส่วนเดียวกันได้ด้วยตัวแปร x และจะได้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 นอกจากนี้ยังสามารถลดเศษส่วนที่กำหนดด้วย monomial ได้อีกด้วย 3 ครั้งหรือพหุนามใดๆ x + 2 ปี, 3 x + 6 ปี , x 2 + 2 xy หรือ 3 x 2 + 6 x ย.
เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนที่มากกว่า ประเภทเรียบง่าย, วี สถานการณ์กรณีที่ดีที่สุด– เศษส่วนที่ลดไม่ได้
เศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดมีการลดลงหรือไม่?
อีกครั้ง จากวัสดุที่มีเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดได้และลดไม่ได้ เศษส่วนลดไม่ได้คือเศษส่วนที่ไม่มีตัวประกอบร่วมทั้งตัวเศษและส่วนที่ไม่ใช่ 1
เศษส่วนพีชคณิตก็เช่นเดียวกัน: พวกมันอาจมีตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนร่วมหรืออาจมีตัวประกอบร่วมกันก็ได้ การมีตัวประกอบร่วมทำให้เศษส่วนดั้งเดิมลดรูปลงได้ เมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกัน จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับเศษส่วนที่กำหนดให้เหมาะสมโดยใช้วิธีการลดขนาด
ในกรณีทั่วไป เมื่อพิจารณาจากประเภทของเศษส่วนแล้ว ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าสามารถลดขนาดลงได้หรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีอยู่ของตัวประกอบร่วมระหว่างตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 3 y ค่อนข้างชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือเลข 3
ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เราก็เข้าใจทันทีว่าสามารถลดลงได้ด้วย x หรือ y หรือ x · y และบ่อยครั้งที่มีตัวอย่างเศษส่วนพีชคณิตอยู่บ่อยครั้ง เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นได้ไม่ง่ายนัก และบ่อยครั้งที่ตัวประกอบขาดไป
ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 ด้วย x - 1 ในขณะที่ไม่มีตัวประกอบร่วมที่ระบุในรายการ แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ไม่สามารถลดได้ เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
ดังนั้น คำถามในการกำหนดความสามารถในการลดของเศษส่วนพีชคณิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย และมักจะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนดได้ง่ายกว่าการพยายามค้นหาว่าสามารถลดได้หรือไม่ ในกรณีนี้ การแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้สามารถระบุตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนได้ หรือหาข้อสรุปเกี่ยวกับการลดไม่ได้ของเศษส่วน เราจะตรวจสอบปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ
กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิต
กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยการกระทำตามลำดับสองประการ:
- การหาตัวประกอบร่วมของทั้งเศษและส่วน
- หากพบจะดำเนินการลดเศษส่วนโดยตรง
วิธีที่สะดวกที่สุดในการค้นหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณเห็นได้ชัดเจนทันทีว่ามีปัจจัยร่วมหรือไม่
การดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิตนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกันที่ไม่ได้กำหนด โดยที่ a, b, c เป็นพหุนามบางส่วน และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบ a · c b · c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยร่วม c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการลดขนาด เช่น เปลี่ยนเป็นเศษส่วนของรูปแบบ a b
ตัวอย่างทั่วไป
แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง ขอให้เราชี้แจงกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันจะเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · ปี 1 2 · x - x 2 · ปี ;
เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต เรามาดูกันว่าเศษส่วนเหล่านี้ลดลงอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนด้วยตัวเศษและส่วนจะถูกแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะแล้วตัวประกอบร่วมจะถูกยกเลิก (ถ้ามี)
เช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
ผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นกำลังได้ และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานที่เหมือนกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(ตัวเศษและส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3). หรือเพื่อความชัดเจน โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
โดยการเปรียบเทียบ การลดเศษส่วนพีชคณิตจะดำเนินการโดยที่ตัวเศษและส่วนมี monomials ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 1
เศษส่วนพีชคณิตจะได้รับ - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z มันจำเป็นต้องลดลง
สารละลาย
เป็นไปได้ที่จะเขียนเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลคูณของตัวประกอบและตัวแปรอย่างง่าย จากนั้นจึงดำเนินการลด:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · ก · ก · ข · ข · ค · ค · ค · ค · ค · ค · ค · z = = - 3 · 3 · ก · ก · ก 2 · ค · ค · ค · ค · ค · ค = - 9 ก 3 2 ค 6
อย่างไรก็ตาม วิธีที่มีเหตุผลมากกว่าคือเขียนคำตอบเป็นนิพจน์ที่มีพลัง:
27 · ก 5 · ข 2 · ค · z 6 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · z = - 3 3 · ก 5 · ข 2 · ค · z 2 · 3 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · ซี = - 3 3 2 · 3 · ก 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · ก 5 - 2 1 · 1 · 1 ค 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · ก 3 2 · ค 6 = · - 9 · ก 3 2 · ค 6 .
คำตอบ:- 27 ก 5 ข 2 ค z 6 ก 2 ข 2 ค 7 z = - 9 ก 3 2 ค 6
เมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เป็นเศษส่วน จะเป็นไปได้สองวิธี การดำเนินการเพิ่มเติม: แยกกันหารสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้หรือกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนก่อนโดยการคูณตัวเศษและส่วนด้วยค่าที่แน่นอน จำนวนธรรมชาติ. การแปลงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ "การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")
ตัวอย่างที่ 2
เศษส่วนที่กำหนดคือ 2 5 x 0, 3 x 3 มันจำเป็นต้องลดลง
สารละลาย
เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
เรามาลองแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไป โดยกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกไปก่อน - คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น บน LCM (5, 10) = 10 จากนั้นเราจะได้รับ:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2
คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
เมื่อเราลดเศษส่วนพีชคณิต ปริทัศน์ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนอาจเป็น monomials หรือ polynomials ก็อาจมีปัญหาเมื่อตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ในทันทีเสมอไป หรือยิ่งกว่านั้น มันก็ไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อกำหนดปัจจัยร่วมหรือบันทึกข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 3
ให้เศษส่วนตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 มันจำเป็นต้องลดลง
สารละลาย
ลองแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน. เอามันออกจากวงเล็บ:
2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49)
เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:
2 b 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7)
เห็นได้ชัดว่ามีความเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ข 2 (ก + 7). มาทำการลดกันเถอะ:
2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข
ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ โดยไม่มีคำอธิบายว่าเป็นลูกโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:
2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก - 7 ข
คำตอบ: 2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข
มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวประกอบที่เป็นตัวเลขที่มีกำลังสูงกว่าของตัวเศษและตัวส่วนออกจากวงเล็บ
ตัวอย่างที่ 4
ให้เศษส่วนพีชคณิต 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 จำเป็นต้องลดถ้าเป็นไปได้
สารละลาย
เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและส่วนไม่มีตัวส่วนร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เรามาลองแปลงเศษส่วนที่กำหนดกัน ลองหาตัวประกอบ x ในตัวเศษออกมา:
1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2
ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังที่สูงกว่าของพหุนามเหล่านี้:
x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10
ตอนนี้มองเห็นปัจจัยร่วมได้แล้ว เราจะดำเนินการลด:
2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
คำตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = - 2 35 x .
ให้เราเน้นย้ำว่าทักษะในการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบพหุนาม
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
เครื่องคิดเลขออนไลน์ทำงาน การลดเศษส่วนพีชคณิตตามกฎการลดเศษส่วน: แทนที่เศษส่วนเดิมด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน แต่มีตัวเศษและส่วนน้อยกว่าเช่น การหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนพร้อมกันมากที่สุด ตัวหารร่วม(พยักหน้า). เครื่องคิดเลขยังแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจลำดับของการลดลง
ที่ให้ไว้:
สารละลาย:
ดำเนินการลดเศษส่วน
ตรวจสอบความเป็นไปได้ในการดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิต
1) การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิต
2) การลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิต
3) การเลือกเศษส่วนทั้งหมด
การแยกเศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดออกจากกัน
4) การแปลงเศษส่วนพีชคณิตเป็นเศษส่วนทศนิยม
การแปลงเศษส่วนพีชคณิตเป็นทศนิยม
ช่วยเหลือในการพัฒนาเว็บไซต์ของโครงการ
เรียนผู้เยี่ยมชมเว็บไซต์
หากคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา อย่าลืมเขียนเกี่ยวกับมันในความคิดเห็น สิ่งที่ขาดหายไปบนเว็บไซต์ สิ่งนี้จะช่วยให้เราเข้าใจว่าเราต้องก้าวต่อไปในทิศทางใด และผู้เยี่ยมชมรายอื่นจะสามารถรับเนื้อหาที่จำเป็นได้ในไม่ช้า
หากไซต์นั้นมีประโยชน์สำหรับคุณ ให้บริจาคไซต์ให้กับโครงการ เพียง 2 ₽และเราจะรู้ว่าเรากำลังเดินไปถูกทาง
ขอบคุณสำหรับการหยุดโดย!
I. ขั้นตอนการลดเศษส่วนพีชคณิตโดยใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์:
- หากต้องการลดเศษส่วนพีชคณิต ให้ป้อนค่าของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนในช่องที่เหมาะสม หากเศษส่วนผสมกัน ให้กรอกข้อมูลในช่องที่ตรงกับเศษส่วนทั้งหมดด้วย ถ้าเศษส่วนเป็นแบบง่าย ให้ปล่อยฟิลด์ส่วนทั้งหมดว่างไว้
- หากต้องการระบุเศษส่วนที่เป็นลบ ให้ใส่เครื่องหมายลบบนเศษส่วนทั้งหมด
- ขึ้นอยู่กับเศษส่วนพีชคณิตที่ระบุ ลำดับของการกระทำต่อไปนี้จะดำเนินการโดยอัตโนมัติ:
- การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วน;
- ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย gcd;
- เน้นเศษส่วนทั้งหมดถ้าตัวเศษของเศษส่วนสุดท้ายมากกว่าตัวส่วน
- การแปลงเศษส่วนพีชคณิตสุดท้ายให้เป็นเศษส่วนทศนิยมปัดเศษให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด
ครั้งที่สอง สำหรับการอ้างอิง:
เศษส่วนคือตัวเลขที่ประกอบด้วยหนึ่งหรือหลายส่วน (เศษส่วน) ของหน่วย เศษส่วนร่วม (เศษส่วนอย่างง่าย) เขียนเป็นตัวเลขสองตัว (ตัวเศษของเศษส่วนและตัวส่วนของเศษส่วน) คั่นด้วยแถบแนวนอน (แถบเศษส่วน) ระบุเครื่องหมายการหาร ตัวเศษของเศษส่วนคือตัวเลขที่อยู่เหนือเส้นเศษส่วน ตัวเศษแสดงจำนวนหุ้นที่เอามาจากทั้งหมด ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลขที่อยู่ต่ำกว่าเส้นเศษส่วน ตัวส่วนแสดงจำนวนส่วนที่เท่ากันทั้งหมดที่ถูกแบ่งออกเป็น เศษส่วนอย่างง่ายคือเศษส่วนที่ไม่มีส่วนทั้งหมด เศษส่วนอย่างง่ายอาจเป็นถูกหรือไม่เหมาะสมก็ได้ เศษส่วนแท้คือเศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ดังนั้นเศษส่วนแท้จึงน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเศษส่วนแท้: 8/7, 11/19, 16/17 เศษส่วนเกินคือเศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน ดังนั้นเศษส่วนเกินจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเศษส่วนเกิน: 7/6, 8/7, 13/13 เศษส่วนผสมคือตัวเลขที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วนแท้ และแสดงถึงผลรวมของจำนวนเต็มนั้นกับเศษส่วนแท้ เศษส่วนผสมใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนเกินได้ เศษส่วนอย่างง่าย. ตัวอย่าง เศษส่วนผสม: 1¼, 2½, 4¾.
สาม. บันทึก:
- เน้นบล็อกข้อมูลต้นทาง สีเหลือง , บล็อกการคำนวณระดับกลางได้รับการจัดสรร สีฟ้า , บล็อกโซลูชันจะถูกเน้นด้วยสีเขียว.
- หากต้องการบวก ลบ คูณ และหารเศษส่วนร่วมหรือเศษส่วนผสม ให้ใช้เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์พร้อมคำตอบโดยละเอียด
การเรียนพีชคณิตในโรงเรียนเป็นเรื่องยากมากโดยไม่รู้ว่าจะลดเศษส่วนและมีทักษะที่มั่นคงในการแก้ตัวอย่างดังกล่าวได้อย่างไร ยิ่งคุณไปไกลเท่าไร มันก็ยิ่งรบกวนความรู้พื้นฐานเรื่องการลดเศษส่วนของคุณมากขึ้นเท่านั้น ข้อมูลใหม่. ประการแรก กำลังปรากฏ จากนั้นตัวประกอบ ซึ่งต่อมากลายเป็นพหุนาม
คุณจะหลีกเลี่ยงความสับสนที่นี่ได้อย่างไร? รวบรวมทักษะในหัวข้อก่อนหน้าอย่างละเอียด และค่อยๆ เตรียมความรู้เกี่ยวกับวิธีลดเศษส่วนซึ่งมีความซับซ้อนมากขึ้นทุกปี
ความรู้พื้นฐาน
หากไม่มีพวกเขาคุณจะไม่สามารถรับมือกับงานในทุกระดับได้ เพื่อให้เข้าใจ คุณต้องเข้าใจสองประเด็นง่ายๆ ประการแรก: คุณสามารถลดปัจจัยได้เท่านั้น ความแตกต่างนี้มีความสำคัญมากเมื่อพหุนามปรากฏในตัวเศษหรือตัวส่วน จากนั้นคุณจะต้องแยกแยะให้ชัดเจนว่าตัวคูณอยู่ที่ไหนและตัวบวกอยู่ที่ไหน
ประเด็นที่สองบอกว่าจำนวนใดๆ สามารถแสดงในรูปของตัวประกอบได้ นอกจากนี้ผลลัพธ์ของการลดลงคือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป
กฎเกณฑ์ในการลดเศษส่วนร่วม
ขั้นแรก คุณควรตรวจสอบว่าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนลงตัวหรือในทางกลับกัน ถ้าอย่างนั้นก็ต้องลดจำนวนนี้ลง นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด
ประการที่สองคือการวิเคราะห์ รูปร่างตัวเลข หากทั้งคู่ลงท้ายด้วยศูนย์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ 10, 100 หรือหนึ่งพัน ที่นี่คุณสามารถสังเกตได้ว่าตัวเลขเป็นเลขคู่หรือไม่ ถ้าใช่ คุณก็ตัดมันออกเป็นสองส่วนได้อย่างปลอดภัย
กฎข้อที่สามในการลดเศษส่วนคือการแยกตัวเศษและส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ในเวลานี้ คุณต้องใช้ความรู้ทั้งหมดของคุณเกี่ยวกับเครื่องหมายหารตัวเลขอย่างแข็งขัน หลังจากการสลายตัวนี้ สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหาสิ่งที่ซ้ำกันทั้งหมด คูณมันและลดจำนวนลงด้วยจำนวนผลลัพธ์
จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีนิพจน์พีชคณิตเป็นเศษส่วน?
นี่คือจุดที่ปัญหาแรกปรากฏขึ้น เพราะนี่คือที่ที่เงื่อนไขปรากฏซึ่งสามารถเหมือนกันกับปัจจัยได้ ฉันอยากจะลดมันลงจริงๆ แต่ก็ทำไม่ได้ ก่อนที่คุณจะสามารถลดเศษส่วนพีชคณิตได้ จะต้องแปลงเศษส่วนนั้นเพื่อให้มีตัวประกอบเสียก่อน
ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องดำเนินการหลายขั้นตอน คุณอาจต้องผ่านทั้งหมดหรือบางทีอันแรกอาจมีตัวเลือกที่เหมาะสม
ตรวจสอบว่าตัวเศษและส่วนหรือนิพจน์ใดๆ ในนั้นต่างกันตามเครื่องหมายหรือไม่ ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องใส่ลบหนึ่งออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ทำให้เกิดปัจจัยเท่ากันที่สามารถลดลงได้
ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเอาตัวประกอบร่วมออกจากพหุนามออกจากวงเล็บ บางทีนี่อาจส่งผลให้เกิดวงเล็บซึ่งสามารถย่อให้สั้นลงได้หรืออาจเป็น monomial ที่ถูกลบออก
พยายามจัดกลุ่ม monomials เพื่อเพิ่มปัจจัยร่วมเข้าไป หลังจากนี้ปรากฎว่าจะมีปัจจัยที่สามารถลดลงได้หรือจะมีการทำซ้ำการถ่ายคร่อมองค์ประกอบทั่วไปอีกครั้ง
ลองพิจารณาสูตรคูณแบบย่อเป็นลายลักษณ์อักษร ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถแปลงพหุนามให้เป็นตัวประกอบได้อย่างง่ายดาย
ลำดับการดำเนินการที่มีเศษส่วนมีอำนาจ
เพื่อให้เข้าใจคำถามของวิธีลดเศษส่วนด้วยกำลังได้อย่างง่ายดายคุณต้องจำการดำเนินการพื้นฐานไว้อย่างแน่นหนา ประการแรกเกี่ยวข้องกับการคูณอำนาจ ในกรณีนี้ หากฐานเหมือนกัน จะต้องเพิ่มตัวบ่งชี้เข้าไป
ประการที่สองคือการแบ่ง ขอย้ำอีกครั้งว่าสำหรับผู้ที่มีเหตุผลเดียวกัน จะต้องลบตัวบ่งชี้ออก ยิ่งกว่านั้น คุณต้องลบออกจากจำนวนที่อยู่ในเงินปันผล ไม่ใช่ในทางกลับกัน
ประการที่สามคือการยกกำลัง ในสถานการณ์เช่นนี้ ตัวชี้วัดจะถูกคูณกัน
การลดลงที่ประสบความสำเร็จจะต้องอาศัยความสามารถในการลดพลังให้เป็นฐานที่เท่ากัน นั่นคือจะเห็นว่าสี่เป็นสองกำลังสอง หรือ 27 - ลูกบาศก์ของสาม เพราะการลด 9 กำลังสอง และ 3 ลูกบาศก์เป็นเรื่องยาก แต่ถ้าเราแปลงนิพจน์แรกเป็น (3 2) 2 การลดจะสำเร็จ
ดังนั้นเราจึงได้ลดลง คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนจะใช้ที่นี่ แต่! ไม่ง่ายเลย มีเศษส่วนหลายตัว (รวมทั้งจาก หลักสูตรของโรงเรียน) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะผ่านมันไปได้ จะเป็นอย่างไรถ้าเราหาเศษส่วนที่ "ฉับพลันกว่า"? มาดูกันดีกว่า!ฉันแนะนำให้ดูวัสดุที่มีเศษส่วนเรารู้แล้วว่าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง ลองพิจารณาสามแนวทาง:
แนวทางหนึ่ง.
หากต้องการลด ให้หารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวหารร่วม ลองดูตัวอย่าง:
มาย่อให้สั้นลง:
ในตัวอย่างที่ให้มา เราจะเห็นได้ทันทีว่าตัวหารตัวใดที่ต้องนำไปลดรูป กระบวนการนี้ง่าย - เราผ่าน 2,3,4,5 เป็นต้นไป ในตัวอย่างหลักสูตรของโรงเรียนส่วนใหญ่ นี่ก็เพียงพอแล้ว แต่ถ้าเป็นเศษส่วน:
กระบวนการเลือกตัวหารอาจใช้เวลานานที่นี่ ;) แน่นอนว่าตัวอย่างดังกล่าวอยู่นอกหลักสูตรของโรงเรียน แต่คุณต้องสามารถรับมือกับสิ่งเหล่านี้ได้ ด้านล่างนี้เราจะดูวิธีการดำเนินการนี้ สำหรับตอนนี้ กลับมาที่กระบวนการลดขนาดกันก่อน
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เพื่อลดเศษส่วน เราได้หารด้วยตัวหารร่วมที่เราหามา ทุกอย่างถูกต้อง! มีเพียงการเพิ่มเครื่องหมายหารตัวเลขเท่านั้น:
- ถ้าเป็นเลขคู่ก็หารด้วย 2 ลงตัว
- ถ้าตัวเลขจากสองหลักสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 4 เอง
— ถ้าผลรวมของตัวเลขที่ประกอบกันเป็นตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวตัวเลขเองก็หารด้วย 3 ลงตัว เช่น 125031, 1+2+5+0+3+1=12 สิบสองหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 123031 จึงหารด้วย 3 ลงตัว
- หากตัวเลขลงท้ายด้วย 5 หรือ 0 แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 5 ลงตัว
— ถ้าผลรวมของตัวเลขที่ประกอบกันเป็นตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวตัวเลขเองก็หารด้วย 9 ลงตัว เช่น 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18 สิบแปดหารด้วย 9 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า 623032 หารด้วย 9 ลงตัว
แนวทางที่สอง
ที่จริงแล้ว การดำเนินการทั้งหมดขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบของทั้งเศษและส่วนแล้วลดตัวประกอบที่เท่ากันในตัวเศษและส่วน (แนวทางนี้เป็นผลมาจากแนวทางแรก):
สายตาเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนและข้อผิดพลาดจะมีการขีดฆ่าปัจจัยที่เท่ากันออกไป คำถาม - จะแยกตัวประกอบตัวเลขได้อย่างไร? จำเป็นต้องระบุตัวหารทั้งหมดโดยการค้นหา นี่เป็นหัวข้อแยกต่างหาก ไม่ซับซ้อน ค้นหาข้อมูลในตำราเรียนหรือบนอินเทอร์เน็ต คุณจะไม่พบปัญหาใหญ่ใดๆ เกี่ยวกับจำนวนการแยกตัวประกอบที่มีอยู่ในเศษส่วนของโรงเรียน
หลักการลดอย่างเป็นทางการสามารถเขียนได้ดังนี้:
แนวทางที่สาม.
นี่คือสิ่งที่น่าสนใจที่สุดสำหรับผู้มีความก้าวหน้าและผู้ที่ต้องการเป็นหนึ่งเดียวกัน ลดเศษส่วน 143/273 กัน. ลองด้วยตัวเอง! แล้วมันเกิดขึ้นเร็วได้อย่างไร? ดูสิ!
เราพลิกมัน (เราเปลี่ยนตำแหน่งของตัวเศษและตัวส่วน) เราหารเศษส่วนผลลัพธ์ด้วยมุมแล้วแปลงเป็นจำนวนคละนั่นคือเราเลือกส่วนทั้งหมด:
มันง่ายกว่าอยู่แล้ว เราจะเห็นว่าตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ 13:
ตอนนี้อย่าลืมพลิกเศษส่วนกลับอีกครั้ง มาเขียนห่วงโซ่ทั้งหมดกัน:
เลือกแล้ว - ใช้เวลาน้อยกว่าการค้นหาและตรวจตัวหาร กลับไปที่ตัวอย่างทั้งสองของเรา:
อันดับแรก. หารด้วยมุม (ไม่ใช่เครื่องคิดเลข) เราจะได้:
แน่นอนว่าเศษส่วนนี้ง่ายกว่า แต่การลดลงกลับเป็นปัญหาอีกครั้ง ตอนนี้เราวิเคราะห์เศษส่วน 1273/1463 แยกกันแล้วพลิกกลับ:
ที่นี่ง่ายกว่า เราพิจารณาตัวหารได้ เช่น 19 ที่เหลือไม่เหมาะสม ชัดเจน: 190:19 = 10, 1273:19 = 67 ไชโย! มาเขียนกัน:
ตัวอย่างถัดไป มาย่อ 88179/2717 กัน
หารเราได้รับ:
แยกกันเราวิเคราะห์เศษส่วน 1235/2717 แล้วพลิกกลับ:
เราสามารถพิจารณาตัวหารได้ เช่น 13 (ไม่เกิน 13 ตัว):
ตัวเศษ 247:13=19 ตัวส่วน 1235:13=95
*ในระหว่างกระบวนการ เราเห็นตัวหารอีกตัวเท่ากับ 19 ปรากฎว่า:
ตอนนี้เราเขียนหมายเลขเดิม:
และไม่สำคัญว่าเศษส่วนจะมากกว่าอะไร - ตัวเศษหรือตัวส่วนถ้าเป็นตัวส่วนเราจะพลิกมันและทำตามที่อธิบายไว้ ด้วยวิธีนี้เราสามารถลดเศษส่วนใดๆ ได้ วิธีที่สามเรียกได้ว่าเป็นสากล
แน่นอนว่าตัวอย่างทั้งสองที่กล่าวถึงข้างต้นไม่ใช่ตัวอย่างง่ายๆ มาลองใช้เทคโนโลยีนี้กับเศษส่วน "แบบง่าย" ที่เราพิจารณาไปแล้ว:
สองในสี่
เจ็ดสิบสองอายุหกสิบเศษ ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน ไม่จำเป็นต้องกลับด้าน:
แน่นอนว่าแนวทางที่สามถูกนำไปใช้กับสิ่งนี้ ตัวอย่างง่ายๆเช่นเดียวกับทางเลือกอื่น วิธีการที่กล่าวไปแล้วนั้นเป็นวิธีการสากล แต่ไม่สะดวกและถูกต้องสำหรับเศษส่วนทั้งหมด โดยเฉพาะเศษส่วนอย่างง่าย
เศษส่วนที่หลากหลายนั้นดีมาก สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจหลักการ กฎเกณฑ์ที่เข้มงวดไม่มีทางที่จะทำงานกับเศษส่วนได้ เราดูแล้วคิดว่าจะสะดวกกว่าในการดำเนินการอย่างไรแล้วก้าวไปข้างหน้า ด้วยการฝึกฝน ทักษะจะเกิดขึ้น และคุณจะแตกมันเหมือนเมล็ดพืช
บทสรุป:
หากคุณเห็นตัวหารร่วมสำหรับทั้งเศษและส่วน ให้ใช้ตัวหารทั้งสองเพื่อลด
หากคุณรู้วิธีแยกตัวประกอบตัวเลขอย่างรวดเร็ว ให้แยกตัวเศษและตัวส่วนแล้วลด
หากคุณไม่สามารถระบุตัวหารร่วมได้ ให้ใช้แนวทางที่สาม
*ในการลดเศษส่วน สิ่งสำคัญคือต้องเชี่ยวชาญหลักการของการลดลง เข้าใจคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน รู้แนวทางในการแก้โจทย์ และระมัดระวังอย่างยิ่งเมื่อทำการคำนวณ
และจำไว้ว่า! เป็นเรื่องปกติที่จะต้องลดเศษส่วนลงจนกว่าจะหยุด นั่นคือ ลดเศษส่วนนั้นตราบเท่าที่มีตัวหารร่วม
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ในบทความนี้เราจะดูรายละเอียดวิธีการ การลดเศษส่วน. ก่อนอื่น เรามาพูดถึงสิ่งที่เรียกว่าการลดเศษส่วนกันก่อน หลังจากนี้ เรามาพูดถึงการลดเศษส่วนที่ลดให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้กัน ต่อไปเราจะได้กฎสำหรับการลดเศษส่วน และสุดท้าย เราจะพิจารณาตัวอย่างการใช้กฎนี้
การนำทางหน้า
การลดเศษส่วนหมายความว่าอย่างไร
เรารู้ว่าเศษส่วนธรรมดาแบ่งออกเป็นเศษส่วนลดได้และเศษส่วนลดไม่ได้ คุณสามารถเดาจากชื่อได้ว่าเศษส่วนที่ลดหย่อนสามารถลดได้ แต่เศษส่วนที่ลดไม่ได้ทำไม่ได้
การลดเศษส่วนหมายความว่าอย่างไร ลดเศษส่วน- นี่หมายถึงการหารทั้งเศษและส่วนด้วยค่าบวกและแตกต่างจากความสามัคคี เห็นได้ชัดว่าจากการลดเศษส่วน จะได้เศษส่วนใหม่ที่มีตัวเศษและตัวส่วนน้อยกว่า และเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เศษส่วนที่ได้จึงเท่ากับเศษส่วนดั้งเดิม
ตัวอย่างเช่น ลองลดเศษส่วนร่วม 8/24 โดยการหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองลดเศษส่วน 8/24 ลง 2 กัน เนื่องจาก 8:2=4 และ 24:2=12 การลดลงนี้ส่งผลให้เกิดเศษส่วน 4/12 ซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม 8/24 (ดูเศษส่วนที่เท่ากันและไม่เท่ากัน) เป็นผลให้เรามี
การลดเศษส่วนสามัญให้อยู่ในรูปลดไม่ได้
โดยทั่วไป เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนคือเพื่อให้ได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ซึ่งเท่ากับเศษส่วนที่ลดได้เดิม เป้าหมายนี้สามารถบรรลุได้โดยการลดเศษส่วนที่ลดได้เดิมด้วยตัวเศษและส่วน จากผลของการลดดังกล่าว จะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้เสมอ แท้จริงแล้วเศษส่วน 
ลดไม่ได้เพราะรู้อย่างนี้แล้ว 
และ 
- . ในกรณีนี้ เราจะบอกว่าตัวหารร่วมมากของทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนคือ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดโดยที่เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้
ดังนั้น, ลดเศษส่วนร่วมให้อยู่ในรูปแบบลดไม่ได้ประกอบด้วยการหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนลดเดิมด้วย gcd
ลองดูตัวอย่างโดยคืนเศษส่วน 8/24 และลดด้วยตัวหารร่วมมากของตัวเลข 8 และ 24 ซึ่งเท่ากับ 8 เนื่องจาก 8:8=1 และ 24:8=3 เราจึงได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 1/3 ดังนั้น, .
โปรดทราบว่าวลี "ลดเศษส่วน" มักหมายถึงการลดเศษส่วนเดิมให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การลดเศษส่วนมักหมายถึงการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (แทนที่จะเป็นตัวประกอบร่วมใดๆ)
จะลดเศษส่วนได้อย่างไร? กฎและตัวอย่างการลดเศษส่วน
สิ่งที่เหลืออยู่คือการดูกฎการลดเศษส่วน ซึ่งจะอธิบายวิธีลดเศษส่วนที่กำหนด
กฎสำหรับการลดเศษส่วนประกอบด้วยสองขั้นตอน:
- ประการแรกพบ gcd ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วน
- ประการที่สอง ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกหารด้วย gcd ซึ่งให้เศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่ากับเศษส่วนดั้งเดิม
มาจัดเรียงกัน ตัวอย่างการลดเศษส่วนตามกฎเกณฑ์ที่ระบุไว้
ตัวอย่าง.
ลดเศษส่วน 182/195.
สารละลาย.
ลองทำทั้งสองขั้นตอนตามกฎการลดเศษส่วน.
ก่อนอื่นเราจะหา GCD(182, 195) สะดวกที่สุดในการใช้อัลกอริทึม Euclid (ดู): 195=182·1+13, 182=13·14 นั่นคือ GCD(182, 195)=13
ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วน 182/195 ด้วย 13 และเราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 14/15 ซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม ซึ่งจะทำให้การลดเศษส่วนเสร็จสมบูรณ์
เขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อได้ดังนี้: .
คำตอบ:
นี่คือจุดที่เราสามารถลดเศษส่วนได้สำเร็จ แต่เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เรามาดูอีกสองวิธีในการลดเศษส่วนซึ่งมักใช้ในกรณีง่าย ๆ
บางครั้งตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่ถูกลดทอนก็ไม่ใช่เรื่องยาก การลดเศษส่วนในกรณีนี้ทำได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องลบตัวประกอบร่วมทั้งหมดออกจากตัวเศษและตัวส่วน
เป็นที่น่าสังเกตว่าวิธีนี้เป็นไปตามกฎการลดเศษส่วนโดยตรง เนื่องจากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมทั้งหมดของตัวเศษและส่วนเท่ากับตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ลดเศษส่วน 360/2 940.
สารละลาย.
ลองแยกตัวเศษและส่วนเป็นตัวประกอบง่ายๆ: 360=2·2·2·3·3·5 และ 2,940=2·2·3·5·7·7 ดังนั้น, 
.
ตอนนี้เรากำจัดตัวประกอบร่วมในตัวเศษและส่วนออกแล้ว เพื่อความสะดวก เราเพียงขีดฆ่าพวกมันออก: 
.
ในที่สุด เราก็คูณปัจจัยที่เหลือ: และการลดเศษส่วนก็เสร็จสิ้น
นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: 
.
คำตอบ:
ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการลดเศษส่วนซึ่งประกอบด้วยการลดตามลำดับ ในแต่ละขั้นตอน เศษส่วนจะลดลงด้วยตัวหารร่วมของตัวเศษและตัวส่วน ซึ่งจะระบุให้ชัดเจนหรือหาได้ง่ายโดยใช้
