เครื่องคิดเลขลดเศษส่วน การลดเศษส่วนพีชคณิต

สะดวกและเรียบง่าย เครื่องคิดเลขออนไลน์เศษส่วนพร้อมเฉลยอย่างละเอียดอาจจะ:

• บวก ลบ คูณ และหาร เศษส่วนออนไลน์,
• รับวิธีแก้ปัญหาเศษส่วนพร้อมรูปภาพและถ่ายโอนได้อย่างสะดวก



ผลการแก้เศษส่วนจะอยู่ที่นี่...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
เครื่องหมายเศษส่วน "/" + - * :
_ลบล้าง
เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์ของเรามีการป้อนข้อมูลที่รวดเร็ว. เช่น หากต้องการแก้เศษส่วน ให้เขียนง่ายๆ 1/2+2/7 ลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่ม " แก้เศษส่วน" เครื่องคิดเลขจะเขียนถึงคุณ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเศษส่วนและจะออก รูปภาพที่ง่ายต่อการคัดลอก.

ป้ายที่ใช้เขียนเครื่องคิดเลข

คุณสามารถพิมพ์ตัวอย่างสำหรับโซลูชันจากแป้นพิมพ์หรือใช้ปุ่มก็ได้

คุณสมบัติของเครื่องคิดเลขเศษส่วนออนไลน์

เครื่องคำนวณเศษส่วนสามารถดำเนินการได้เฉพาะในวันที่ 2 เท่านั้น เศษส่วนอย่างง่าย. พวกเขาสามารถเป็นได้ทั้งถูก (ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) หรือไม่ถูกต้อง (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน) ตัวเลขในตัวเศษและส่วนต้องไม่เป็นลบหรือมากกว่า 999
เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราจะแก้เศษส่วนและนำคำตอบมาในรูปแบบที่ถูกต้อง โดยจะลดเศษส่วนและเลือกทั้งส่วนหากจำเป็น

หากคุณต้องการแก้เศษส่วนติดลบ ก็แค่ใช้คุณสมบัติของลบ เมื่อคูณและหารเศษส่วนลบ ลบด้วยลบจะได้บวก นั่นคือผลคูณและการหารเศษส่วนลบเท่ากับผลคูณและการหารเศษส่วนบวกอันเดียวกัน หากเศษส่วนหนึ่งเป็นลบเมื่อคูณหรือหาร ให้ลบเครื่องหมายลบออกแล้วบวกเข้ากับคำตอบ เมื่อบวกเศษส่วนลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับการบวกเศษส่วนบวกเดียวกัน หากคุณบวกเศษส่วนลบหนึ่งตัว ก็จะเท่ากับการลบเศษส่วนบวกตัวเดียวกัน
เมื่อลบเศษส่วนที่เป็นลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับว่าเศษส่วนนั้นถูกสลับและทำให้เป็นบวก นั่นคือ ลบทีละลบใน ในกรณีนี้ให้บวกแต่การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง เราใช้กฎเดียวกันในการลบเศษส่วน ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นลบ

เพื่อแก้เศษส่วนคละ (เศษส่วนซึ่ง ทั้งส่วน) แค่ขับส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษ

หากคุณต้องการแก้เศษส่วน 3 ตัวขึ้นไปทางออนไลน์ คุณควรแก้เศษส่วนทีละตัว ขั้นแรก ให้นับเศษส่วน 2 ตัวแรก จากนั้นแก้เศษส่วนถัดไปด้วยคำตอบที่คุณได้รับ เป็นต้น ดำเนินการทีละส่วน ครั้งละ 2 ส่วน แล้วคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องในที่สุด

การลดเศษส่วนเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า เช่น ในคำตอบที่ได้รับจากการแก้นิพจน์

การลดเศษส่วน ความหมาย และสูตร

การลดเศษส่วนคืออะไร? การลดเศษส่วนหมายความว่าอย่างไร

คำนิยาม:
การลดเศษส่วน- นี่คือการหารเศษและส่วนด้วยจำนวนบวกเดียวกันซึ่งไม่เท่ากับศูนย์และหนึ่ง จากการลดลงจะได้เศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนน้อยกว่าซึ่งเท่ากับเศษส่วนก่อนหน้าตาม

สูตรลดเศษส่วนคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

ลองดูตัวอย่าง:
ลดเศษส่วน \(\frac(9)(15)\)

สารละลาย:
เราสามารถแยกเศษส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะและยกเลิกตัวประกอบร่วมได้

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \คูณ 1=\frac(3)(5)\)

คำตอบ: หลังจากการลดลง เราได้เศษส่วน \(\frac(3)(5)\) ตามคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนตรรกยะ เศษส่วนดั้งเดิมและเศษส่วนผลลัพธ์จะเท่ากัน

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

จะลดเศษส่วนได้อย่างไร? การลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้

เพื่อให้ได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ เราต้องการ ค้นหาที่ใหญ่ที่สุด ตัวหารร่วม(พยักหน้า)สำหรับตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

มีหลายวิธีในการค้นหา GCD ในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การแบ่งแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

หาเศษส่วนที่ลดไม่ได้ \(\frac(48)(136)\)

สารละลาย:
ลองหา GCD(48, 136) กัน ลองเขียนตัวเลข 48 และ 136 ลงในตัวประกอบเฉพาะ.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

กฎสำหรับการลดเศษส่วนให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้

1. คุณต้องหาตัวหารร่วมมากของทั้งเศษและส่วน
2. คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวหารร่วมมากเพื่อให้ได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้จากการหาร

ตัวอย่าง:
ลดเศษส่วน \(\frac(152)(168)\)

สารละลาย:
ลองหา GCD(152, 168) กัน ลองเขียนตัวเลข 152 และ 168 ลงในตัวประกอบเฉพาะ.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

คำตอบ: \(\frac(19)(21)\) เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้

การลดเศษส่วนเกิน.

จะลดเศษส่วนเกินได้อย่างไร?
กฎการลดเศษส่วนจะเหมือนกันทั้งเศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน

ลองดูตัวอย่าง:
ลดเศษส่วนเกิน \(\frac(44)(32)\)

สารละลาย:
ลองเขียนทั้งเศษและส่วนลงในตัวประกอบง่ายๆ. แล้วเราจะลดปัจจัยร่วมลง

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \คูณ 2 \คูณ 2)=\frac(11)(8)\)

การลดเศษส่วนผสม

เศษส่วนผสมจะใช้กฎเดียวกันกับเศษส่วนธรรมดา ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราทำได้ อย่าสัมผัสทั้งส่วน แต่ลดส่วนที่เป็นเศษส่วนลงหรือ เศษส่วนผสมแปลงเป็นเศษส่วนเกิน ลดแล้วแปลงกลับเป็นเศษส่วนแท้

ลองดูตัวอย่าง:
ยกเลิกเศษส่วนคละ \(2\frac(30)(45)\)

สารละลาย:
มาแก้มันด้วยสองวิธี:
วิธีแรก:
ลองเขียนเศษส่วนให้เป็นตัวประกอบง่ายๆ แต่เราจะไม่แตะต้องเศษส่วนทั้งหมด

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

วิธีที่สอง:
ก่อนอื่นมาแปลงมันเป็นเศษส่วนเกินก่อน แล้วเขียนลงในตัวประกอบเฉพาะแล้วลด. ลองแปลงเศษส่วนเกินที่เกิดขึ้นให้เป็นเศษส่วนแท้กัน

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

คำถามที่เกี่ยวข้อง:
คุณสามารถลดเศษส่วนเมื่อบวกหรือลบได้หรือไม่?
คำตอบ: ไม่ คุณต้องบวกหรือลบเศษส่วนตามกฎก่อนแล้วจึงลดเศษส่วนลง ลองดูตัวอย่าง:

ประเมินนิพจน์ \(\frac(50+20-10)(20)\)

สารละลาย:
พวกเขามักจะทำผิดพลาดในการย่อ ตัวเลขเดียวกันในกรณีของเรา ตัวเศษและส่วนมีเลข 20 แต่ไม่สามารถลดได้จนกว่าคุณจะบวกและลบครบ

\(\frac(50+\สี(แดง) (20)-10)(\สี(แดง) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \คูณ 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

ตัวเลขใดที่คุณสามารถลดเศษส่วนได้?
คำตอบ: คุณสามารถลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วมมากหรือตัวหารร่วมของตัวเศษและส่วนได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \(\frac(100)(150)\)

ลองเขียนตัวเลข 100 และ 150 ลงในตัวประกอบเฉพาะ.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
ตัวหารร่วมมากที่สุดคือตัวเลข gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \คูณ 50)(3 \คูณ 50)=\frac(2)(3)\)

เราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ \(\frac(2)(3)\)

แต่ไม่จำเป็นต้องหารด้วย gcd เสมอไป เศษส่วนที่ลดไม่ได้ไม่จำเป็นเสมอไป คุณสามารถลดเศษส่วนด้วยตัวหารอย่างง่ายของตัวเศษและตัวส่วนได้ ตัวอย่างเช่น จำนวน 100 และ 150 มีตัวหารร่วมคือ 2 ลองลดเศษส่วน \(\frac(100)(150)\) ลง 2 กัน

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \คูณ 50)(2 \คูณ 75)=\frac(50)(75)\)

เราได้เศษส่วนที่ลดได้ \(\frac(50)(75)\)

เศษส่วนใดที่สามารถลดลงได้?
คำตอบ: คุณสามารถลดเศษส่วนที่ทั้งเศษและส่วนมีตัวหารร่วมได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \(\frac(4)(8)\) เลข 4 และ 8 มีตัวเลขที่หารลงตัวทั้งคู่ได้ นั่นคือเลข 2 ดังนั้นเศษส่วนดังกล่าวจึงลดลงด้วยเลข 2 ได้

ตัวอย่าง:
เปรียบเทียบเศษส่วนทั้งสอง \(\frac(2)(3)\) และ \(\frac(8)(12)\)

เศษส่วนทั้งสองนี้เท่ากัน มาดูเศษส่วน \(\frac(8)(12)\ กันดีกว่า:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \คูณ 4)(3 \คูณ 4)=\frac(2)(3) \คูณ \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\คูณ 1=\frac(2)(3)\)

จากตรงนี้ เราได้ \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

เศษส่วนสองชิ้นจะเท่ากันก็ต่อเมื่อได้รับหนึ่งในนั้นโดยการลดเศษส่วนอีกตัวด้วยตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน

ตัวอย่าง:
ถ้าเป็นไปได้ ให้ลดเศษส่วนต่อไปนี้: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) ง) \(\frac(100)(250)\)

สารละลาย:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \คูณ 3 \คูณ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) เศษส่วนลดไม่ได้
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \คูณ 5 \คูณ 5) \คูณ 2)(\สี(แดง) (2 \คูณ 5 \คูณ 5) \ คูณ 5)=\frac(2)(5)\)

แผนกและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนบนตัวนั้น ตัวหารร่วมแตกต่างจากสิ่งหนึ่งเรียกว่า ลดเศษส่วน.

ให้สั้นลง เศษส่วนทั่วไปคุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนธรรมชาติ.

จำนวนนี้คือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนด

ต่อไปนี้เป็นไปได้ แบบฟอร์มบันทึกการตัดสินใจตัวอย่างการลดเศษส่วนร่วม

นักเรียนมีสิทธิ์เลือกรูปแบบการบันทึกใดก็ได้

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของเศษส่วน.

ลดเศษส่วนลง 3 (หารตัวเศษด้วย 3;

หารตัวส่วนด้วย 3)

ลดเศษส่วนลง 7.

เราทำการกระทำที่ระบุในตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

เศษส่วนผลลัพธ์จะลดลง 5

ลองลดเศษส่วนนี้ดู 4) บน 5·7ลูกบาศก์- ตัวหารร่วมมาก (GCD) ของทั้งเศษและส่วนซึ่งประกอบด้วยตัวประกอบร่วมของเศษและส่วน นำไปยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุด

ลองแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

เราได้รับ: 756=2²·3³·7และ 1176=2ลูกบาศก์·3·7².

กำหนด GCD (ตัวหารร่วมมาก) ของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน 5) .

นี่คือผลคูณของปัจจัยร่วมที่มีเลขชี้กำลังต่ำที่สุด

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย gcd นั่นคือด้วย 2²·3·7เราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 9/14 .

หรืออาจเขียนการสลายตัวของทั้งเศษและส่วนในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะโดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องยกกำลังแล้วจึงลดเศษส่วนโดยขีดฆ่าตัวประกอบเดียวกันในตัวเศษและส่วนออก เมื่อไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน เราจะคูณตัวประกอบที่เหลือแยกจากกันในตัวเศษและแยกกันในตัวส่วนแล้วเขียนเศษส่วนผลลัพธ์ออกมา 9/14 .

และสุดท้ายก็เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนนี้ลง 5) ค่อยๆ ใช้เครื่องหมายหารตัวเลขทั้งตัวเศษและส่วนของเศษส่วน ลองคิดแบบนี้: ตัวเลข 756 และ 1176 ลงท้ายด้วยเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าทั้งสองหารด้วยลงตัว 2 . เราลดเศษส่วนลง 2 . ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนใหม่เป็นตัวเลข 378 และ 588 ยังแบ่งออกเป็น 2 . เราลดเศษส่วนลง 2 . เราสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้น 294 - เท่ากันและ 189 เป็นเลขคี่ และการลดลง 2 เป็นไปไม่ได้อีกต่อไป เรามาตรวจสอบการหารของตัวเลขกันดีกว่า 189 และ 294 บน 3 .

(1+8+9)=18 หารด้วย 3 ลงตัว และ (2+9+4)=15 หารด้วย 3 ลงตัว จึงเป็นตัวเลขนั่นเอง 189 และ 294 จะถูกแบ่งออกเป็น 3 . เราลดเศษส่วนลง 3 . ไกลออกไป, 63 หารด้วย 3 และ 98 - เลขที่. ลองดูปัจจัยสำคัญอื่นๆ กัน ตัวเลขทั้งสองหารด้วย 7 . เราลดเศษส่วนลง 7 และเราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 9/14 .

บทความนี้จะกล่าวถึงหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงต่อไป เศษส่วนพีชคณิต: พิจารณาการกระทำเช่นการลดเศษส่วนพีชคณิต มานิยามคำศัพท์กัน กำหนดกฎการลด และวิเคราะห์ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ความหมายของการลดเศษส่วนพีชคณิต

ในวัสดุเกี่ยวกับเศษส่วนร่วม เราดูที่การลดลง เรากำหนดให้การลดเศษส่วนเป็นการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม

การลดเศษส่วนพีชคณิตก็มีการดำเนินการที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 1

การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ตรงกันข้ามกับการลดเศษส่วนสามัญ (ตัวส่วนร่วมสามารถเป็นตัวเลขได้เท่านั้น) ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตสามารถเป็นพหุนามได้ โดยเฉพาะ monomial หรือตัวเลข

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยจำนวน 3 ผลลัพธ์คือ: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. เราสามารถลดเศษส่วนเดียวกันได้ด้วยตัวแปร x และจะได้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 นอกจากนี้ยังสามารถลดเศษส่วนที่กำหนดด้วย monomial ได้อีกด้วย 3 ครั้งหรือพหุนามใดๆ x + 2 ปี, 3 x + 6 ปี , x 2 + 2 xy หรือ 3 x 2 + 6 x ย.

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนที่มากกว่า ประเภทเรียบง่าย, วี สถานการณ์กรณีที่ดีที่สุด– เศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดมีการลดลงหรือไม่?

อีกครั้ง จากวัสดุที่มีเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดได้และลดไม่ได้ เศษส่วนลดไม่ได้คือเศษส่วนที่ไม่มีตัวประกอบร่วมทั้งตัวเศษและส่วนที่ไม่ใช่ 1

เศษส่วนพีชคณิตก็เช่นเดียวกัน: พวกมันอาจมีตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนร่วมหรืออาจมีตัวประกอบร่วมกันก็ได้ การมีตัวประกอบร่วมทำให้เศษส่วนดั้งเดิมลดรูปลงได้ เมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกัน จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับเศษส่วนที่กำหนดให้เหมาะสมโดยใช้วิธีการลดขนาด

ในกรณีทั่วไป เมื่อพิจารณาจากประเภทของเศษส่วนแล้ว ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าสามารถลดขนาดลงได้หรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีอยู่ของตัวประกอบร่วมระหว่างตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 3 y ค่อนข้างชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือเลข 3

ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เราก็เข้าใจทันทีว่าสามารถลดลงได้ด้วย x หรือ y หรือ x · y และบ่อยครั้งที่มีตัวอย่างเศษส่วนพีชคณิตอยู่บ่อยครั้ง เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นได้ไม่ง่ายนัก และบ่อยครั้งที่ตัวประกอบขาดไป

ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 ด้วย x - 1 ในขณะที่ไม่มีตัวประกอบร่วมที่ระบุในรายการ แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ไม่สามารถลดได้ เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

ดังนั้น คำถามในการกำหนดความสามารถในการลดของเศษส่วนพีชคณิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย และมักจะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนดได้ง่ายกว่าการพยายามค้นหาว่าสามารถลดได้หรือไม่ ในกรณีนี้ การแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้สามารถระบุตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนได้ หรือหาข้อสรุปเกี่ยวกับการลดไม่ได้ของเศษส่วน เราจะตรวจสอบปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิต

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยการกระทำตามลำดับสองประการ:

• การหาตัวประกอบร่วมของทั้งเศษและส่วน
• หากพบจะดำเนินการลดเศษส่วนโดยตรง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการค้นหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณเห็นได้ชัดเจนทันทีว่ามีปัจจัยร่วมหรือไม่

การดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิตนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกันที่ไม่ได้กำหนด โดยที่ a, b, c เป็นพหุนามบางส่วน และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบ a · c b · c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยร่วม c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการลดขนาด เช่น เปลี่ยนเป็นเศษส่วนของรูปแบบ a b

ตัวอย่างทั่วไป

แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง ขอให้เราชี้แจงกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันจะเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · ปี 1 2 · x - x 2 · ปี ;

เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต เรามาดูกันว่าเศษส่วนเหล่านี้ลดลงอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนด้วยตัวเศษและส่วนจะถูกแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะแล้วตัวประกอบร่วมจะถูกยกเลิก (ถ้ามี)

เช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

ผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นกำลังได้ และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานที่เหมือนกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(ตัวเศษและส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3). หรือเพื่อความชัดเจน โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

โดยการเปรียบเทียบ การลดเศษส่วนพีชคณิตจะดำเนินการโดยที่ตัวเศษและส่วนมี monomials ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

เศษส่วนพีชคณิตจะได้รับ - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะเขียนเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลคูณของตัวประกอบและตัวแปรอย่างง่าย จากนั้นจึงดำเนินการลด:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · ก · ก · ข · ข · ค · ค · ค · ค · ค · ค · ค · z = = - 3 · 3 · ก · ก · ก 2 · ค · ค · ค · ค · ค · ค = - 9 ก 3 2 ค 6

อย่างไรก็ตาม วิธีที่มีเหตุผลมากกว่าคือเขียนคำตอบเป็นนิพจน์ที่มีพลัง:

27 · ก 5 · ข 2 · ค · z 6 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · z = - 3 3 · ก 5 · ข 2 · ค · z 2 · 3 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · ซี = - 3 3 2 · 3 · ก 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · ก 5 - 2 1 · 1 · 1 ค 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · ก 3 2 · ค 6 = · - 9 · ก 3 2 · ค 6 .

คำตอบ:- 27 ก 5 ข 2 ค z 6 ก 2 ข 2 ค 7 z = - 9 ก 3 2 ค 6

เมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เป็นเศษส่วน จะเป็นไปได้สองวิธี การดำเนินการเพิ่มเติม: แยกค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้ออกจากกัน หรือกำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกก่อนโดยการคูณตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติที่แน่นอน การแปลงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ "การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")

ตัวอย่างที่ 2

เศษส่วนที่กำหนดคือ 2 5 x 0, 3 x 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

เรามาลองแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไป โดยกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกไปก่อน - คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น บน LCM (5, 10) = 10 จากนั้นเราจะได้รับ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2

คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

เมื่อเราลดเศษส่วนพีชคณิต ปริทัศน์ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนอาจเป็น monomials หรือ polynomials ก็อาจมีปัญหาเมื่อตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ในทันทีเสมอไป หรือยิ่งกว่านั้น มันก็ไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อกำหนดปัจจัยร่วมหรือบันทึกข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 3

ให้เศษส่วนตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

ลองแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน. เอามันออกจากวงเล็บ:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49)

เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

2 b 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7)

เห็นได้ชัดว่ามีความเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ข 2 (ก + 7). มาทำการลดกันเถอะ:

2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ โดยไม่มีคำอธิบายว่าเป็นลูกโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก - 7 ข

คำตอบ: 2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวประกอบที่เป็นตัวเลขที่มีกำลังสูงกว่าของตัวเศษและตัวส่วนออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 4

ให้เศษส่วนพีชคณิต 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 จำเป็นต้องลดถ้าเป็นไปได้

สารละลาย

เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและส่วนไม่มีตัวส่วนร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เรามาลองแปลงเศษส่วนที่กำหนดกัน ลองหาตัวประกอบ x ในตัวเศษออกมา:

1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2

ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังที่สูงกว่าของพหุนามเหล่านี้:

x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10

ตอนนี้มองเห็นปัจจัยร่วมได้แล้ว เราจะดำเนินการลด:

2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

คำตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = - 2 35 x .

ให้เราเน้นย้ำว่าทักษะในการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบพหุนาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

มาทำความเข้าใจว่าการลดเศษส่วนคืออะไร ทำไมจึงลดเศษส่วนได้อย่างไร และให้กฎในการลดเศษส่วนและตัวอย่างการใช้งาน

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

“การลดเศษส่วน” คืออะไร

ลดเศษส่วน

การลดเศษส่วนคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่เป็นบวกและแตกต่างจากเศษส่วน

จากผลของการกระทำนี้ จะได้เศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนใหม่เท่ากับเศษส่วนเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนร่วม 6 24 แล้วลดมันลง หารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 จะได้ 6 24 = 6 ۞ 2 24 ۞ 2 = 3 12 ในตัวอย่างนี้ เราลดเศษส่วนเดิมลง 2

การลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปลดไม่ได้

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราลดเศษส่วน 6 24 ด้วย 2 ทำให้ได้เศษส่วน 3 12 เห็นได้ง่ายว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้อีก โดยปกติแล้ว เป้าหมายของการลดเศษส่วนคือการได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ จะลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้ได้อย่างไร?

ซึ่งสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) จากนั้นโดยคุณสมบัติของตัวหารร่วมมาก ตัวเศษและส่วนจะเท่ากัน จำนวนเฉพาะและเศษส่วนจะลดไม่ได้

a b = a ۞ N O D (a , b) b ۞ N O D (a , b)

การลดเศษส่วนให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้

ในการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้ คุณจะต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย gcd

ลองกลับไปสู่เศษส่วน 6 24 จากตัวอย่างแรกและทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่ลดทอนไม่ได้ ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 6 และ 24 คือ 6 มาลดเศษส่วนกัน:

6 24 = 6 ۞ 6 24 ۞ 6 = 1 4

การลดเศษส่วนนั้นสะดวกในการใช้งานเพื่อไม่ให้ทำงานกับตัวเลขจำนวนมาก โดยทั่วไปแล้ว มีกฎที่ไม่ได้พูดในทางคณิตศาสตร์: หากคุณสามารถทำให้นิพจน์ใดๆ ง่ายขึ้นได้ คุณก็ต้องทำสิ่งนั้น การลดเศษส่วนส่วนใหญ่มักหมายถึงการลดให้เหลือรูปแบบที่ลดไม่ได้ และไม่ใช่แค่การลดเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมของตัวเศษและส่วนเท่านั้น

กฎสำหรับการลดเศษส่วน

หากต้องการลดเศษส่วน เพียงจำกฎซึ่งประกอบด้วยสองขั้นตอน

กฎสำหรับการลดเศษส่วน

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:

1. ค้นหา gcd ของทั้งเศษและส่วน
2. หารทั้งเศษและส่วนด้วย gcd

ลองดูตัวอย่างที่เป็นประโยชน์

ตัวอย่างที่ 1. ลองลดเศษส่วนกัน

เมื่อพิจารณาเศษส่วน 182 195 มาย่อให้สั้นลง

ลองหา gcd ของตัวเศษและส่วน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในกรณีนี้ จะสะดวกที่สุดในการใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 ไม่มี OD (182, 195) = 13

หารทั้งเศษและส่วนด้วย 13. เราได้รับ:

182 195 = 182 ۞ 13 195 ۞ 13 = 14 15

พร้อม. เราได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม

คุณจะลดเศษส่วนได้อย่างไร? ในบางกรณี จะสะดวกในการแยกตัวเศษและส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ แล้วเอาตัวประกอบร่วมทั้งหมดออกจากส่วนบนและส่วนล่างของเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2 ลดเศษส่วน

เมื่อพิจารณาเศษส่วน 360 2940 มาย่อให้สั้นลง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้จินตนาการถึงเศษส่วนดั้งเดิมในรูปแบบ:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

กำจัดตัวประกอบร่วมทั้งตัวเศษและตัวส่วนออกไป ผลลัพธ์ที่ได้คือ:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

สุดท้าย เรามาดูวิธีอื่นในการลดเศษส่วนกัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการลดตามลำดับ เมื่อใช้วิธีนี้ การลดลงจะดำเนินการในหลายขั้นตอน โดยในแต่ละขั้นตอนนั้นเศษส่วนจะลดลงตามปัจจัยทั่วไปบางอย่างที่ชัดเจน

ตัวอย่างที่ 3 ลดเศษส่วน

มาลดเศษส่วนกัน 2000 4400.

เห็นได้ชัดเจนว่าทั้งเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันคือ 100. เราลดเศษส่วนลง 100 และรับ:

2000 4400 = 2000 ۞ 100 4400 ۞ 100 = 20 44

20 44 = 20 ۞ 2 44 ۞ 2 = 10 22

เราลดผลลัพธ์ผลลัพธ์อีกครั้ง 2 และรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้:

10 22 = 10 ۞ 2 22 ۞ 2 = 5 11

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter