Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? W języku ludzkim jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiązać równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Inny.)

Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Od razu powiem, że czasami równania pierwsze trzy oszukają typy tak bardzo, że nawet ich nie rozpoznasz… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? I co wtedy równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! Cóż, to nie tak, że w ogóle nie mogą się zdecydować, po prostu myliłem się co do matematyki.) Po prostu mają swoje własne specjalne techniki i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania zapewniają niezawodną i niezawodną podstawę do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ten podkład - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (Bardzo!) ważny.

Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedz na pytanie: " Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Identyczne przekształcenia równań.

W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak, gdy zmieni się wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny lub odpowiednik.

Należy pamiętać, że te przekształcenia mają zastosowanie konkretnie do równań. Transformacje tożsamościowe występują także w matematyce wyrażenia. To jest inny temat.

Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, bo można do nich zastosować każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. i tak dalej.

Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.

Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:

Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrany z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszej transformacji tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? - ty pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego

Jest jasne X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy oczywiście dwa.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje są podstawą rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy Pierwszy transformacja tożsamości. Przenieś lewo-prawo.

Przykład dla młodszych.)

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x = 5-3x

Przypomnijmy zaklęcie: „z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z X znajduje się po prawej stronie? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:

3-2x+3x=5

Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez żadnego” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że przed trzema jest plus. Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, to znaczy plus. Dlatego potrójna zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:

W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)

Przykład dla starszych dzieci.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Równanie to równość zawierająca literę, której wartość należy znaleźć.

W równaniach niewiadomą zwykle opisuje się małą literą Litera łacińska. Najczęściej używanymi literami są „x” [ix] i „y” [y].

Pierwiastek równania- jest to wartość litery, przy której z równania uzyskuje się poprawną równość liczbową.
Rozwiązać równanie- oznacza znalezienie wszystkich jego korzeni lub upewnienie się, że nie ma korzeni.

Po rozwiązaniu równania zawsze po odpowiedzi zapisujemy czek.

Informacje dla rodziców

Drodzy Rodzice, zwracamy uwagę na fakt, że Szkoła Podstawowa a w klasie 5 dzieci NIE ZNAJĄ tematu „Liczby ujemne”.

Dlatego muszą rozwiązywać równania, korzystając wyłącznie z właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Poniżej podano metody rozwiązywania równań dla klasy 5.

Nie próbuj wyjaśniać rozwiązania równań poprzez przenoszenie cyfr i liter z jednej części równania do drugiej ze zmianą znaku.

Pojęcia związane z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem możesz odświeżyć na lekcji „Prawa arytmetyki”.

Rozwiązywanie równań dodawania i odejmowania

Jak znaleźć nieznane
termin

Jak znaleźć nieznane
odjemna

Jak znaleźć nieznane
odjemnik

Aby znaleźć nieznany termin, należy odjąć znany termin od sumy.

Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy.

Aby znaleźć nieznany odjemnik, musisz odjąć różnicę od odjemnika.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Badanie

x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Badanie

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - x = 3
x = 5 - 3
x = 2
Badanie

Rozwiązywanie równań mnożenia i dzielenia

Jak znaleźć niewiadomą
czynnik

Jak znaleźć nieznane
dywidenda

Jak znaleźć niewiadomą
rozdzielacz

Aby znaleźć nieznany współczynnik, należy podzielić iloczyn przez znany współczynnik.

Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.

Aby znaleźć nieznany dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Badanie

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Badanie

8:y=4
y=8:4
y=2
Badanie

Równanie to równość zawierająca literę, której znak należy znaleźć. Rozwiązaniem równania jest zbiór wartości literowych, który zamienia równanie w prawdziwą równość:

Przypomnij sobie to, aby rozwiązać równanie musisz przenieść terminy z niewiadomą do jednej części równości, a wyrazy liczbowe do drugiej, przynieść podobne i uzyskać następującą równość:

Z ostatniej równości wyznaczamy niewiadomą zgodnie z zasadą: „jeden z czynników jest równy ilorazowi podzielonemu przez drugi czynnik”.

Ponieważ liczby wymierne a i b mogą mieć takie same i różne znaki, wówczas znak nieznanego określają zasady dzielenia liczb wymiernych.

Procedura rozwiązywania równań liniowych

Równanie liniowe należy uprościć otwierając nawiasy i wykonując operacje drugiego kroku (mnożenie i dzielenie).

Przesuń niewiadome na jedną stronę znaku równości, a liczby na drugą stronę znaku równości, uzyskując równość identyczną z zadaną,

Doprowadź podobne po lewej i prawej stronie znaku równości, uzyskując równość formy topór = B.

Oblicz pierwiastek równania (znajdź niewiadomą X od równości X = B : A),

Sprawdź, podstawiając niewiadomą do podanego równania.

Jeśli otrzymamy tożsamość w równości liczbowej, to równanie zostanie rozwiązane poprawnie.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań

Jeśli równanie mając iloczyn równy 0, to do jego rozwiązania używamy własności mnożenia: „iloczyn jest równy zero, jeśli jeden z czynników lub oba czynniki są równe zero”.

27 (X - 3) = 0
Oznacza to, że 27 nie jest równe 0 X - 3 = 0

Drugi przykład ma dwa rozwiązania równania, ponieważ
to jest równanie drugiego stopnia:

Jeżeli współczynniki równania wynoszą zwykłe ułamki, to przede wszystkim musimy pozbyć się mianowników. Dla tego:

Znajdź wspólny mianownik;

Określ dodatkowe współczynniki dla każdego składnika równania;

Pomnóż liczniki ułamków i liczb całkowitych przez dodatkowe współczynniki i zapisz wszystkie wyrazy równania bez mianowników (wspólny mianownik można odrzucić);

Przenieś wyrazy z niewiadomymi na jedną stronę równania, a wyrazy liczbowe na drugą od znaku równości, uzyskując równoważną równość;

Przyprowadź podobnych członków;

Podstawowe własności równań

W dowolnej części równania możesz dodać podobne terminy lub otworzyć nawias.

Dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równania do drugiej, zmieniając jego znak na przeciwny.

Obie strony równania można pomnożyć (dzielić) przez tę samą liczbę, z wyjątkiem 0.

W powyższym przykładzie do rozwiązania równania wykorzystano wszystkie jego właściwości.

Zasada rozwiązywania prostych równań

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo”. »
A dla tych, którzy „bardzo. ")

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najczęstsze złożony temat matematyka szkolna. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zadziwić nawet wytrenowanego ucznia. Rozwiążmy to?)

Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie postaci:

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie aib są dowolnymi liczbami”. A jeśli zauważysz i beztrosko o tym pomyślisz?) W końcu jeśli a=0, b=0(możliwe są dowolne liczby?), to się okazuje zabawny wyraz:

Ale to nie wszystko! Jeśli, powiedzmy, a=0, A b=5, Okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:

Co jest stresujące i podważa pewność siebie w matematyce, tak.) Szczególnie podczas egzaminów. Ale wśród tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Nauczymy się to robić. W tej lekcji.

Jak znaleźć równanie liniowe według wygląd? Zależy co wygląd.) Sztuczka polega na tym, że nie tylko równania postaci nazywane są równaniami liniowymi topór + B = 0 , ale także dowolne równania, które można sprowadzić do tej postaci poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy spadnie, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Załóżmy, że mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I dzielenie przez numer, lub ułamek liczbowy - zapraszamy! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki zwykłe, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itp. i nie ma x w mianownikach, tj. NIE dzielenie przez x. A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie X są w pierwszym stopniu, ale są dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniu i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, równanie kwadratowe lub cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że nie da się rozpoznać równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki go prawie nie rozwiążesz. To jest denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? Zadania wymagają równań decydować. To sprawia, że jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Swoją drogą, te przekształcenia (dwa z nich!) stanowią podstawę rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Inaczej mówiąc, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się od tych właśnie przekształceń. W przypadku równań liniowych (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Co więcej, są tam również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są ujęte w pierwszej potędze, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie ma dla nas znaczenia, jakiego rodzaju jest to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma X po lewej stronie równania, wszystko bez X (liczby) po prawej stronie.

Aby to zrobić, musisz przenieść — 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku i — 3 - w prawo. Swoją drogą, to jest to pierwsze identyczne przekształcenie równań. Zaskoczony? Oznacza to, że nie kliknąłeś linku, ale na próżno.) Otrzymujemy:

Oto podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy do pełnego szczęścia? Tak, aby po lewej stronie znajdował się czysty X! Piątka stoi na przeszkodzie. Pozbycie się piątki z pomocą drugie identyczne przekształcenie równań. Mianowicie dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest zbyt jasne, dlaczego zapamiętałem tutaj identyczne transformacje? OK. Weźmy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś solidniejszego.

Oto na przykład równanie:

Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki na długiej drodze. Możesz też zrobić to od razu, w uniwersalny i skuteczny sposób. Jeśli oczywiście masz w swoim arsenale identyczne przekształcenia równań.

Zadam Ci kluczowe pytanie: Co najbardziej nie podoba Ci się w tym równaniu?

95 na 100 osób odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Pozbądźmy się ich więc. Dlatego zaczynamy od razu druga transformacja tożsamości. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zredukowany? Zgadza się, o 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak możemy się wydostać? Pomnóżmy obie strony przez 12! Te. do wspólnego mianownika. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery zostaną zmniejszone. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Umieściłem to w nawiasie! Dzieje się tak, ponieważ przy mnożeniu ułamków mnożony jest cały licznik! Teraz możesz skrócić ułamki:

Rozwiń pozostałe nawiasy:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz zapamiętajmy zaklęcie z klasy młodsze: z X - w lewo, bez X - w prawo! I zastosuj tę transformację:

I podziel obie części przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: X=0,16

Uwaga: aby nadać oryginalnemu mylącemu równaniu odpowiednią formę, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) przemiany tożsamości– tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem-dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To uniwersalna metoda! Będziemy pracować w ten sposób z każdy równania! Absolutnie każdy. Dlatego cały czas żmudnie powtarzam o tych identycznych przemianach.)

Jak widać zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy dotyczą tutaj obliczeń, a nie zasady rozwiązania.

Ale. Przy rozwiązywaniu najbardziej elementarnych równań liniowych zdarzają się takie niespodzianki, że potrafią wprawić w silne odrętwienie.) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je specjalnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Pierwsza niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na bardzo podstawowe równanie, na przykład:

Lekko znudzeni poruszamy się z X w lewo, bez X - w prawo. Po zmianie znaku wszystko jest w porządku. Otrzymujemy:

Myślimy i ups. Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero naprawdę jest zerem. Ale brakuje X! I musimy zapisać w odpowiedzi, ile wynosi x? W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, prawda.) Impas?

Spokój! W takich wątpliwych przypadkach uratują Cię najbardziej ogólne zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po podstawieniu do pierwotnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0=0, o ile dokładniejsze?! Pozostaje dowiedzieć się, przy którym x to się dzieje. Na jakie wartości X można podstawić oryginalny równanie, jeśli te x czy nadal zostaną zredukowane do zera? Pospiesz się?)

Tak. X można zastąpić każdy! Który chcesz? Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się zmniejszać. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości X oryginalny równanie i obliczenia. Cały czas będziesz dostawał czystą prawdę: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto Twoja odpowiedź: x - dowolna liczba.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. Jest to całkowicie poprawna i pełna odpowiedź.

Druga niespodzianka.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto co zdecydujemy:

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązaliśmy równanie liniowe i otrzymaliśmy dziwną równość. W kategoriach matematycznych mamy fałszywa równość. I mówienie w prostym języku, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem dobra decyzja równania.)

Znowu myślimy w oparciu o Główne zasady. Co dadzą nam x, po podstawieniu do pierwotnego równania PRAWDA równość? Tak, żaden! Nie ma takich X. Bez względu na to, co włożysz, wszystko zostanie zredukowane, pozostaną tylko bzdury.)

Oto Twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To także całkowicie pełna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.

Lubię to. Mam nadzieję, że zniknięcie X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania nie wprawi Cię w żadne zamieszanie. To już znana sprawa.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami w równania liniowe, warto je rozwiązać.

Czy przystąpią do jednolitego egzaminu państwowego? – Słyszę pytanie o ludzi praktycznych. Odpowiadam. W czysta forma- NIE. Zbyt podstawowe. Ale w GIA lub podczas rozwiązywania problemów na egzaminie Unified State Exam na pewno je spotkasz! Zmieniamy więc mysz na długopis i decydujemy.

Odpowiedzi udzielane są w nieładzie: 2,5; brak rozwiązań; 51; 17.

Stało się?! Gratulacje! Masz duże szanse na egzaminach.)

Odpowiedzi nie pasują? Hmmm. To mnie nie uszczęśliwia. To nie jest temat, bez którego nie można się obejść. Polecam odwiedzić Sekcję 555. Jest tam bardzo szczegółowo opisana, Co trzeba zrobić i Jak zrób to, aby nie pomylić się w decyzji. Używając tych równań jako przykładu.

A jak rozwiązywać równania bardziej przebiegłych - to już w następnym temacie.

Jeśli podoba Ci się ta strona.

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Tutaj możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

I tutaj możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozwiązywanie równań liniowych ocena 7

Dla rozwiązywanie równań liniowych użyj dwóch podstawowych zasad (właściwości).

Nieruchomość nr 1
Lub
zasada transferu

Po przeniesieniu z jednej części równania do drugiej element równania zmienia swój znak na przeciwny.

Przyjrzyjmy się zasadzie transferu na przykładzie. Załóżmy, że musimy rozwiązać równanie liniowe.

Przypomnijmy, że każde równanie ma lewą i prawą stronę.

Przesuńmy liczbę „3” z lewej strony równania na prawą.

Ponieważ liczba „3” miała znak „+” po lewej stronie równania, oznacza to, że „3” zostanie przeniesiona na prawą stronę równania ze znakiem „-”.

Otrzymane wartość numeryczna„x = 2” nazywa się pierwiastkiem równania.

Nie zapomnij zapisać odpowiedzi po rozwiązaniu dowolnego równania.

Rozważmy inne równanie.

Zgodnie z zasadą przenoszenia przesuwamy „4x” z lewej strony równania na prawą, zmieniając znak na przeciwny.

Chociaż przed „4x” nie ma znaku, rozumiemy, że przed „4x” znajduje się znak „+”.

Teraz dajmy podobne i rozwiążmy równanie do końca.

Nieruchomość nr 2
Lub
reguła podziału

W dowolnym równaniu możesz podzielić lewą i prawą stronę przez tę samą liczbę.

Ale nie możesz dzielić się na nieznane!

Spójrzmy na przykład użycia zasady dzielenia przy rozwiązywaniu równań liniowych.

Liczba „4” oznaczająca „x” nazywana jest liczbowym współczynnikiem niewiadomej.

Pomiędzy współczynnikiem liczbowym a niewiadomą zawsze następuje mnożenie.

Aby rozwiązać równanie, musisz upewnić się, że „x” ma współczynnik „1”.

Zadajmy sobie pytanie: „Przez co należy podzielić liczbę 4, aby to zrobić
dostać „1”? Odpowiedź jest oczywista, trzeba podzielić przez „4”.

Korzystamy z zasady dzielenia i dzielimy lewą i prawą stronę równania przez „4”. Nie zapominaj, że musisz podzielić lewą i prawą część.

Skorzystajmy z redukcji ułamkowej i rozwiążmy równanie liniowe do końca.

Jak rozwiązać równanie, jeśli „x” jest ujemne

Często w równaniach występuje sytuacja, w której „x” ma współczynnik ujemny. Podobnie jak w poniższym równaniu.

Aby rozwiązać takie równanie, ponownie zadajemy sobie pytanie: „Przez co musimy podzielić „−2”, aby otrzymać „1”? Musisz podzielić przez „-2”.

Rozwiązywanie prostych równań liniowych

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.

Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:

Rozwiń nawiasy, jeśli występują;
Przesuń terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$.

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.

Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie równanie liniowe oznacza dowolną równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:

Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
Następnie połącz podobnie
Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną - terminy, w jakich jest ona zawarta - na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba podać podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są podczas otwierania nawiasów lub przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.

Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przyjrzymy się tym subtelnościom podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od samego proste zadania.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
Przedstawiamy podobne terminy.
Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Pierwszy krok polega na otwarciu nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc je pominiemy ten etap. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:

Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:

U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.

Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:

\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi znany nam już krok:

Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:

Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.

Zero to taka sama liczba jak pozostałe, nie należy go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli wypadnie zero, to znaczy, że zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z otwieraniem nawiasów. Uwaga: jeśli przed nimi znajduje się „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prosty fakt pozwoli Ci uniknąć popełniania głupich i obraźliwych błędów w szkole średniej, gdy takie działania są oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie powinniśmy się jednak tego bać, gdyż jeśli zgodnie z zamysłem autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z pewnością się zniosą.

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Przyjrzyjmy się teraz prywatności:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:

Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:

Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:

albo nie ma korzeni.

Niuanse rozwiązania

Obydwa równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny przekonaliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: pierwiastków może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, oba po prostu nie mają pierwiastków.

Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim znajduje się znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia zostaną zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Ponieważ rozwiązywanie równań jest zawsze ciągiem elementarnych przekształceń, których nie da się jasno i kompetentnie przeprowadzić proste kroki prowadzi do tego, że przychodzą do mnie licealiści i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, kiedy udoskonalisz te umiejętności do punktu automatyzmu. Nie będziesz już musiał za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:

Zadbajmy o prywatność:

Dokończmy ostatni krok:

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.

\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]

Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:

Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:

Oto podobne terminy:

Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: gdy tylko zaczniemy mnożyć nawiasy zawierające więcej niż jeden wyraz, robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugi; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element drugiego. W rezultacie będziemy mieli cztery kadencje.

O sumie algebraicznej

W tym ostatnim przykładzie chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 dolarów rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Tym właśnie różni się suma algebraiczna od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko podczas wykonywania wszystkich przekształceń, każdego dodawania i mnożenia zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz mieć żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie sprawdziliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:

Oddzielne zmienne.

Niestety, ten wspaniały algorytm, przy całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. Jak zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.

Jak pracować w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać do algorytmu jeszcze jeden krok, który można wykonać zarówno przed, jak i po pierwszej akcji, a mianowicie pozbycie się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:

Pozbądź się ułamków.
Otwórz nawiasy.
Przynieś podobne.
Podziel przez stosunek.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? Dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe w swoim mianowniku, tj. Wszędzie mianownik jest po prostu liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Zapiszmy:

\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(-1 \prawo)\cdot 4\]

Wykluczamy zmienną:

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przejdźmy do drugiego równania.

Tutaj wykonujemy te same czynności:

Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Kluczowe ustalenia to:

Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
Możliwość otwierania nawiasów.
Nie martw się, jeśli zobaczysz funkcje kwadratowe najprawdopodobniej w procesie dalszych przekształceń ulegną zmniejszeniu.
Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę i rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka Cię jeszcze wiele ciekawych rzeczy!

Równanie irracjonalne: nauka rozwiązywania metodą izolacji pierwiastkowej
Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe
Test do lekcji „Złożone wyrażenia z ułamkami” (łatwy)
Próbny egzamin Unified State Exam 2012 od 7 grudnia. Opcja 1 (bez logarytmów)
Lekcja wideo dotycząca problemów C2: odległość punktu od płaszczyzny
Korepetycje z matematyki: gdzie znaleźć uczniów?

Aby obejrzeć film, wpisz swój adres e-mail i kliknij przycisk „Rozpocznij szkolenie”.

Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem
Nagranie wideo każdej lekcji
Jednorazowy koszt zajęć - 3000 rubli za 60 minut

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem matematyki w szkole. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zadziwić nawet wytrenowanego ucznia. Rozwiążmy to?)

Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie postaci:

topór + B = 0 Gdzie a i b– dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie aib są dowolnymi liczbami”... A jeśli zauważysz i beztrosko o tym pomyślisz?) W końcu jeśli a=0, b=0(możliwe są dowolne liczby?), wówczas otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli, powiedzmy, a=0, A b=5, Okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:

Co jest denerwujące i podważa zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza podczas egzaminów. Ale wśród tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Nauczymy się to robić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać równanie liniowe po jego wyglądzie? To zależy od wyglądu.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe to nie tylko równania postaci topór + B = 0 , ale także dowolne równania, które można sprowadzić do tej postaci poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy spadnie, czy nie?)

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki zwykłe, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itp. i nie ma x w mianownikach, tj. NIE dzielenie przez x. A oto równanie

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.

x - 3 = 2 - 4x

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku i - 3 - w prawo. Swoją drogą, to jest to pierwsze identyczne przekształcenie równań. Zaskoczony? Oznacza to, że nie kliknąłeś linku, ale na próżno...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Oto podobne, uważamy:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest zbyt jasne, dlaczego zapamiętałem tutaj identyczne transformacje? OK. Weźmy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś solidniejszego.

Oto na przykład równanie:

Zadam Ci kluczowe pytanie: Co najbardziej nie podoba Ci się w tym równaniu?

Rozszerzanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Umieściłem to w nawiasie! Dzieje się tak, ponieważ przy mnożeniu ułamków mnożony jest cały licznik! Teraz możesz skrócić ułamki:

Rozwiń pozostałe nawiasy:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Przypomnijmy sobie teraz zaklęcie z podstawówki: z X - w lewo, bez X - w prawo! I zastosuj tę transformację:

Oto kilka podobnych:

I podziel obie części przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: X=0,16

Ale... Przy rozwiązywaniu najbardziej elementarnych równań liniowych zdarzają się takie niespodzianki, że potrafią wprawić w silne odrętwienie...) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je specjalnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Pierwsza niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na bardzo podstawowe równanie, na przykład:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lekko znudzeni przesuwamy go z X w lewo, bez X - w prawo... Po zmianie znaku wszystko jest idealne... Otrzymujemy:

2x-5x+3x=5-2-3

Liczymy i... ups!!! Otrzymujemy:

Tak!!! X można zastąpić każdy! Który chcesz? Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się zmniejszać. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości X oryginalny równanie i obliczenia. Cały czas będziesz dostawał czystą prawdę: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto Twoja odpowiedź: x - dowolna liczba.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. Jest to całkowicie poprawna i pełna odpowiedź.

Druga niespodzianka.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto co zdecydujemy:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązaliśmy równanie liniowe i otrzymaliśmy dziwną równość. W kategoriach matematycznych mamy fałszywa równość. Ale mówiąc prościej, nie jest to prawdą. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)

Znowu myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co dadzą nam x, po podstawieniu do pierwotnego równania PRAWDA równość? Tak, żaden! Nie ma takich X. Bez względu na to, co włożysz, wszystko zostanie zredukowane, pozostaną tylko bzdury.)

Oto Twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To także całkowicie pełna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.

Lubię to. Mam nadzieję, że zniknięcie X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania nie wprawi Cię w żadne zamieszanie. To już znana sprawa.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami równań liniowych, sensowne jest ich rozwiązanie.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozwiązywanie równań z ułamkami Spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą będziesz w stanie zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.

Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ W mianowniku znajdują się tylko liczby.

Rozwiązanie polega na pomnożeniu obu stron równania przez b, wówczas równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), tj. mianownik ułamka po lewej stronie się znosi.

Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Mnożymy obie strony przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25

Inny przykład, gdy niewiadoma jest w mianowniku:

Równania tego typu nazywane są ułamkowo-wymiernymi lub po prostu ułamkowymi.

Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym równanie to najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Musisz tylko wziąć pod uwagę następujące punkty:

wartość zmiennej zamieniającej mianownik na 0 nie może być pierwiastkiem;
Nie można dzielić ani mnożyć równania przez wyrażenie =0.

Tutaj zaczyna obowiązywać koncepcja obszaru wartości dopuszczalnych (ADV) - są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens.

Dlatego przy rozwiązywaniu równania należy znaleźć pierwiastki, a następnie sprawdzić je pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu ODZ, są wyłączone z odpowiedzi.

Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:

W oparciu o powyższą regułę x nie może wynosić = 0, tj. ODZ w w tym przypadku: x – dowolna wartość różna od zera.

Pozbywamy się mianownika, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x

I rozwiązujemy zwykłe równanie

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odpowiedź: x = 1/3

Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:

ODZ jest również obecny tutaj: x -2.

Rozwiązując to równanie, nie przesuniemy wszystkiego na jedną stronę i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast pomnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które usunie wszystkie mianowniki na raz.

Aby zmniejszyć mianowniki należy pomnożyć lewą stronę przez x+2, a prawą stronę przez 2. Oznacza to, że obie strony równania należy pomnożyć przez 2(x+2):

Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które omówiliśmy już powyżej.

Zapiszmy to samo równanie, ale nieco inaczej

Lewą stronę zmniejsza się o (x+2), a prawą o 2. Po redukcji otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:

x = 4 – 2 = 2, co odpowiada naszemu ODZ

Odpowiedź: x = 2.

Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.

Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:

Rozwiń nawiasy, jeśli występują;
Przesuń terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$.

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.

Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.

Przykłady rozwiązywania równań

Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:

Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
Następnie połącz podobnie
Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w jakich jest ona zawarta – na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba podać podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
Przedstawiamy podobne terminy.
Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie nr 1

Pierwszy krok polega na otwarciu nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:

Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:

Oto kilka podobnych:

U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:

\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi znany nam już krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Zróbmy matematykę:

Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:

Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.

Zero to taka sama liczba jak pozostałe, nie należy go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli wypadnie zero, to znaczy, że zrobiłeś coś złego.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przykład nr 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Przyjrzyjmy się teraz prywatności:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:

\[\varnic\]

albo nie ma korzeni.

Przykład nr 2

Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:

Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:

\[\varnic\],

albo nie ma korzeni.

Niuanse rozwiązania

Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.

To samo robimy z drugim równaniem:

To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie nieumiejętność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie nr 1

\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:

Zadbajmy o prywatność:

Oto kilka podobnych:

Dokończmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]

Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:

Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

O sumie algebraicznej

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:

Otwórz nawiasy.
Oddzielne zmienne.
Przynieś podobne.
Podziel przez stosunek.

Pozbądź się ułamków.
Otwórz nawiasy.
Oddzielne zmienne.
Przynieś podobne.
Podziel przez stosunek.

Przykład nr 1

\[\frac(\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Zapiszmy:

\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(((x)^(2))-1 \prawo)\cdot 4\]

Teraz rozwińmy:

Wykluczamy zmienną:

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przejdźmy do drugiego równania.

Przykład nr 2

\[\frac(\lewo(1-x \prawo)\lewo(1+5x \prawo))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem jest rozwiązany.

Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Kluczowe ustalenia to:

Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
Możliwość otwierania nawiasów.
Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej zostaną one zredukowane w procesie dalszych przekształceń.
Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.

Równania

Jak rozwiązywać równania?

Identyczne przekształcenia równań.

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Informacje dla rodziców

Rozwiązywanie równań dodawania i odejmowania

Rozwiązywanie równań mnożenia i dzielenia

Procedura rozwiązywania równań liniowych

Szczególne przypadki rozwiązywania równań

Podstawowe własności równań

Zasada rozwiązywania prostych równań

Równania liniowe.

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Jeśli podoba Ci się ta strona.

Rozwiązywanie równań liniowych ocena 7

Nieruchomość nr 1 Lub zasada transferu

Nieruchomość nr 2 Lub reguła podziału

Jak rozwiązać równanie, jeśli „x” jest ujemne

Rozwiązywanie prostych równań liniowych

Przykłady rozwiązywania równań

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Niuanse rozwiązania

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

O sumie algebraicznej

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Kluczowe punkty

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Równania liniowe.

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przykłady rozwiązywania równań

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie nr 1

Zadanie nr 2

Zadanie nr 3

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przykład nr 1

Przykład nr 2

Niuanse rozwiązania

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

Zadanie nr 1

Zadanie nr 2

Niuanse rozwiązania

O sumie algebraicznej

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Przykład nr 1

Przykład nr 2

Kluczowe punkty

Nieruchomość nr 1
Lub
zasada transferu

Nieruchomość nr 2
Lub
reguła podziału