Wejdź na kanał YouTube naszej witryny i bądź na bieżąco ze wszystkimi nowymi lekcjami wideo.

Na początek przypomnijmy sobie podstawowe wzory na potęgi i ich własności.

Iloczyn liczby A występuje n razy samo w sobie, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (an) m = an nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / do m = za n - m

Moc lub równania wykładnicze – są to równania, w których zmienne są w postaci potęg (lub wykładników), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W w tym przykładzie liczba 6 to podstawa, zawsze znajduje się na dole i zmienna X stopień lub wskaźnik.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Ten przykład można rozwiązać nawet w głowie. Można zauważyć, że x=3. Przecież aby lewa i prawa strona były równe, trzeba wstawić cyfrę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak sformalizować tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać takie równanie, usunęliśmy identyczne podstawy(czyli dwójki) i spisałem to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz naszą decyzję.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy równanie ma podstawy po prawej i lewej stronie. Jeśli przyczyny nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy staną się takie same, zrównać stopni i rozwiąż powstałe nowe równanie.

Teraz spójrzmy na kilka przykładów:

Zacznijmy od czegoś prostego.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe cyfrze 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Otrzymuje się najprostsze równanie.
x=4 – 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Najpierw przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2. Skorzystajmy ze wzoru na potęgę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otrzymujemy 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Teraz jest jasne, że po lewej i prawej stronie podstawy są takie same i równe trzy, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 otrzymujemy najprostsze równanie
3x - 2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy dwie i cztery. I potrzebujemy, żeby były takie same. Przekształcamy tę czwórkę za pomocą wzoru (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Niepokoją nas jednak inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie mamy powtórzone 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyjąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraźmy sobie 4=2 2:

2 2x = 2 2 podstawy są takie same, odrzucamy je i przyrównujemy stopnie.
2x = 2 to najprostsze równanie. Podziel to przez 2 i otrzymamy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x – 12*3 x +27= 0

Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie widać, że pierwsze trzy mają stopień dwa razy (2x) niż drugie (tylko x). W takim przypadku możesz rozwiązać metoda wymiany. Zastępujemy liczbę najmniejszym stopniem:

Wtedy 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zastępujemy wszystkie potęgi x w równaniu przez t:

t2 - 12t+27 = 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Wracając do zmiennej X.

Weź t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To jest,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Odpowiedź: x 1 = 2; x2 = 1.

Na stronie możesz zadać dowolne pytanie w dziale POMOC W DECYZJI, na pewno odpowiemy.

Dołącz do grupy

Sprzęt:

• komputer,
• projektor multimedialny,
• ekran,
• Aneks 1(Prezentacja slajdów w programie PowerPoint) „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”
• Załącznik 2(Rozwiązywanie równania typu „Trzy różne podstawy potęg” w programie Word)
• Dodatek 3(ulotka w programie Word dla praktyczna praca).
• Dodatek 4(ulotka w programie Word jako zadanie domowe).

Podczas zajęć

1. Etap organizacyjny

• przesłanie tematu lekcji (zapisane na tablicy),
• potrzeba lekcji ogólnej w klasach 10-11:

Etap przygotowania uczniów do aktywnego uczenia się

Powtórzenie

Definicja.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną z wykładnikiem (odpowiedzi ucznia).

Notatka nauczyciela. Równania wykładnicze należą do klasy równań przestępnych. Ta niewymawialna nazwa sugeruje, że takich równań, ogólnie rzecz biorąc, nie można rozwiązać w formie wzorów.

Można je rozwiązać jedynie w przybliżeniu metodami numerycznymi na komputerach. A co z zadaniami egzaminacyjnymi? Sztuka polega na tym, że egzaminator sformułował problem w taki sposób, aby umożliwić analityczne rozwiązanie. Innymi słowy, można (i należy!) wykonać identyczne przekształcenia, które redukują to równanie wykładnicze do najprostszego równania wykładniczego. To najprostsze równanie nazywa się: najprostsze równanie wykładnicze. To jest rozwiązywane logarytmem.

Sytuacja z rozwiązaniem równania wykładniczego przypomina podróż przez labirynt, który specjalnie wymyślił autor zadania. Z tych bardzo ogólnych argumentów wynikają bardzo szczegółowe zalecenia.

Aby pomyślnie rozwiązać równania wykładnicze, musisz:

1. Nie tylko aktywnie poznaj wszystkie tożsamości wykładnicze, ale także znajdź zbiory wartości zmiennych, na których te tożsamości są zdefiniowane, aby korzystając z tych tożsamości nie nabrać niepotrzebnych pierwiastków, a tym bardziej nie stracić rozwiązań do równania.

2. Aktywnie poznaj wszystkie tożsamości wykładnicze.

3. Jasno, szczegółowo i bez błędów przeprowadzaj matematyczne przekształcenia równań (przenieś wyrazy z jednej części równania do drugiej, nie zapominając o zmianie znaku, sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika itp.). Nazywa się to kulturą matematyczną. Jednocześnie same obliczenia powinny być wykonywane automatycznie, ręcznie, a głowa powinna myśleć o ogólnym wątku przewodnim rozwiązania. Przekształceń należy dokonywać tak ostrożnie i szczegółowo, jak to możliwe. Tylko to zagwarantuje trafną i pozbawioną błędów decyzję. I pamiętaj: mały błąd arytmetyczny może po prostu stworzyć równanie przestępne, którego w zasadzie nie da się rozwiązać analitycznie. Okazuje się, że zgubiłeś drogę i uderzyłeś w ścianę labiryntu.

4. Znać metody rozwiązywania problemów (tzn. znać wszystkie ścieżki labiryntu rozwiązań). Aby poprawnie poruszać się po każdym etapie będziesz musiał (świadomie lub intuicyjnie!):

• definiować typ równania;
• zapamiętaj odpowiedni typ metoda rozwiązania zadania.

Etap uogólnienia i systematyzacji badanego materiału.

Nauczyciel wraz z uczniami przy pomocy komputera dokonuje przeglądu wszystkich typów równań wykładniczych i metod ich rozwiązywania oraz sporządza ogólny schemat. (Wykorzystano edukacyjny program komputerowy L.Ya. Borevsky’ego „Kurs matematyki – 2000”, autorem prezentacji PowerPoint jest T.N. Kuptsova.)

Ryż. 1. Rysunek pokazuje ogólny schemat wszystkich typów równań wykładniczych.

Jak widać z tego diagramu, strategia rozwiązywania równań wykładniczych polega przede wszystkim na sprowadzeniu danego równania wykładniczego do równania z tą samą podstawą stopni , a potem – i z tymi samymi wskaźnikami stopnia.

Otrzymawszy równanie o tych samych podstawach i wykładnikach, zastępujemy ten wykładnik nową zmienną i otrzymujemy proste równanie algebraiczne (zwykle ułamkowo-wymierne lub kwadratowe) w odniesieniu do tej nowej zmiennej.

Po rozwiązaniu tego równania i dokonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujesz zestaw prostych równań wykładniczych, które można rozwiązać w postaci ogólnej za pomocą logarytmów.

Wyróżniają się równania, w których znajdują się tylko iloczyny (częściowych) potęg. Stosując tożsamości wykładnicze, można natychmiast zredukować te równania do jednej podstawy, w szczególności do najprostszego równania wykładniczego.

Przyjrzyjmy się, jak rozwiązać równanie wykładnicze o trzech różnych podstawach.

(Jeśli nauczyciel ma edukacyjny program komputerowy L.Ya. Borevsky'ego „Kurs matematyki - 2000”, to oczywiście pracujemy z dyskiem, jeśli nie, możesz wydrukować z niego tego typu równania dla każdego biurka, przedstawione poniżej.)

Ryż. 2. Zaplanuj rozwiązanie równania.

Ryż. 3. Zacznij rozwiązywać równanie

Ryż. 4. Dokończ rozwiązywanie równania.

Wykonywanie pracy praktycznej

Określ typ równania i rozwiąż go.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Podsumowanie lekcji

Ocena za lekcję.

Koniec lekcji

Dla nauczyciela

Przećwicz schemat odpowiedzi.

Ćwiczenia: z listy równań wybierz równania określonego typu (wpisz numer odpowiedzi w tabelce):

1. Trzy różne podstawy stopni
2. Dwie różne podstawy - różne wskaźniki stopni
3. Podstawy potęg - potęgi jednej liczby
4. Te same podstawy – różne wykładniki
5. Te same podstawy stopni - te same wskaźniki stopni
6. Produkt mocy
7. Dwie różne podstawy stopni - te same wskaźniki
8. Najprostsze równania wykładnicze

1. (iloczyn potęg)

2. (te same podstawy – różne wykładniki)

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x +3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

to będzie równanie typ mieszany. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są rozwiązywane w sposób jasny. Ale tutaj są pewne rodzaje równania wykładnicze, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.

Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że ​​trafiliśmy w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe ten sam liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)

Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x+1 = 2 3, lub

dwójek nie da się usunąć!

No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”

Muszę się zgodzić. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Należy go doprowadzić do postaci, w której po lewej i prawej stronie znajduje się ten sam numer bazowy. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.

Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania ze stopniami. Bez znajomości tych działań nic nie będzie działać.

Do działań mających stopnie trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. My wymagamy te same liczby-fusy? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwsze bystre spojrzenie jest na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, żeby się zniechęcać. Czas o tym pamiętać

Dwa i osiem to stopień spokrewniony.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie wzór z operacji na stopniach:

(a n) m = za nm ,

to działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład zaczął wyglądać tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematycznych!), otrzymujemy:

2 2x = 2 3(x+1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęgi dwójki pomogła nam. My zidentyfikowany w ośmiu jest zaszyfrowana dwójka. Ta technika (szyfrowanie wspólne podstawy pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, także w logarytmach. Musisz umieć rozpoznawać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na papierze, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść liczbę 3 do potęgi piątej. 243 zadziała, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie jest konieczne podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie... Dowiedz się jaka liczba w jakim stopniu kryje się za liczbą 243, albo powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Potęgę niektórych liczb trzeba znać z widzenia, prawda... Poćwiczmy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby mają te liczby:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Odpowiedzi jest znacznie więcej niż zadań! No cóż, zdarza się... Na przykład 2 6, 4 3, 8 2 - to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o znajomości liczb.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych używamy Wszystko zasób wiedzy matematycznej. W tym ci z klas młodszych i średnich. Nie poszedłeś od razu do szkoły średniej, prawda?)

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych często pomaga umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach (witaj siódmoklaso!). Spójrzmy na przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwszy rzut oka na fundamenty! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. Ale chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie zostało całkowicie spełnione!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Stosowanie tych samych zasad postępowania ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To świetnie, możesz to zapisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Nie możesz rzucać trójkami... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętaj o najbardziej uniwersalnej i potężnej zasadzie decyzyjnej wszyscy zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób co możesz!

Spójrz, wszystko się ułoży).

Co kryje się w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, po lewej stronie aż się prosi, żeby go wyjąć z nawiasu! Ogólny mnożnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Pamiętamy, że do eliminacji podstaw potrzebny jest czysty stopień, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Dzielimy więc obie strony równania przez 70 i otrzymujemy:

Ups! Wszystko się poprawiło!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie na tej samej zasadzie osiąga się, ale ich eliminacja nie jest możliwa. Dzieje się tak w innych typach równań wykładniczych. Opanujmy ten typ.

Zastępowanie zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze – jak zwykle. Przejdźmy do jednej bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I tu właśnie spędzamy czas. Poprzednie techniki nie będą działać, bez względu na to, jak na to spojrzeć. Będziemy musieli wyciągnąć inną potężną i uniwersalną metodę z naszego arsenału. To jest nazwane wymiana zmienna.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku - 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład - t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Wtedy 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

W naszym równaniu wszystkie potęgi x zastępujemy t:

Cóż, przychodzi ci to do głowy?) Czy zapomniałeś już o równaniach kwadratowych? Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:

Najważniejsze, żeby się nie zatrzymywać, jak to bywa... To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wróćmy do X, tj. dokonujemy odwrotnej zamiany. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:

Hm... 2 x po lewej, 1 po prawej... Problem? Zupełnie nie! Wystarczy pamiętać (z operacji na potęgach, tak...), że jednostka jest każdy liczbę do potęgi zerowej. Każdy. Cokolwiek będzie potrzebne, zainstalujemy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

To tyle. Mamy 2 pierwiastki:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasem pojawia się niezręczna mina. Typ:

Od siódmej do drugiej stopień prosty nie działa. Oni nie są krewnymi... Jak możemy być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiecha się oszczędnie i twardą ręką zapisuje absolutnie poprawną odpowiedź:

Takiej odpowiedzi nie może być w zadaniu „B” na egzaminie Unified State Examination. Tam wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” jest to łatwe.

W tej lekcji przedstawiono przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główne punkty.

Praktyczne porady:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zastanawiamy się, czy da się je zrobić identyczny. Spróbujmy to zrobić aktywnie wykorzystując działania ze stopniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnych potęgach. Używamy działania ze stopniami I faktoryzacja. To, co da się policzyć w liczbach, liczymy.

3. Jeśli druga wskazówka nie zadziała, spróbuj zastosować zamianę zmiennych. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia.

Jak zwykle na koniec lekcji możesz podjąć małą decyzję.) Samodzielnie. Od prostych do złożonych.

Rozwiązuj równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 trójki + 2 x = 9

Stało się?

No więc najbardziej skomplikowany przykład(zdecydowałem jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? W takim razie mam dla ciebie zły przykład. Dość kuszące dla zwiększonego poziomu trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje Cię pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Prostszy przykład dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważaliśmy w tej lekcji. Po co je rozważać, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. No cóż, trzeba pomysłowości... I niech siódma klasa Ci w tym pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udało? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! W rozdziale specjalnym 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane za pomocą szczegółowe wyjaśnienia. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście istnieją dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko te.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowa o ODZ? Swoją drogą, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Wykład: „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”.

1 . Równania wykładnicze.

Równania zawierające niewiadome w wykładnikach nazywane są równaniami wykładniczymi. Najprostszym z nich jest równanie ax = b, gdzie a > 0, a ≠ 1.

1) W b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 funkcja wykładnicza, nie ma rozwiązania.

2) Dla b > 0, korzystając z monotoniczności funkcji i twierdzenia o pierwiastku, równanie ma unikalny pierwiastek. Aby je znaleźć, b należy przedstawić w postaci b = aс, аx = bс ó x = c lub x = logab.

Równania wykładnicze poprzez przekształcenia algebraiczne prowadzą do równań standardowych, które rozwiązuje się następującymi metodami:

1) sposób redukcji do jednej zasady;

2) sposób oceny;

3) metoda graficzna;

4) sposób wprowadzania nowych zmiennych;

5) metoda faktoryzacji;

6) wykładnicze – równania potęgowe;

7) poglądowy z parametrem.

2 . Metoda redukcji do jednej zasady.

Metoda opiera się na następującej własności stopni: jeśli dwa stopnie są równe i ich podstawy są równe, to ich wykładniki są równe, czyli należy spróbować sprowadzić równanie do postaci

Przykłady. Rozwiązać równanie:

1 . 3x = 81;

Przedstawmy prawą stronę równania w postaci 81 = 34 i napiszmy równanie odpowiadające pierwotnemu 3 x = 34; x = 4. Odpowiedź: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png"width="52" height="49">i przejdźmy do równania na wykładniki 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpowiedź: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" szerokość="105" wysokość="47">

Zauważ, że liczby 0,2, 0,04, √5 i 25 reprezentują potęgi liczby 5. Skorzystajmy z tego i przekształćmy pierwotne równanie w następujący sposób:

, skąd 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, skąd znajdujemy rozwiązanie x = -1. Odpowiedź 1.

5. 3x = 5. Z definicji logarytmu x = log35. Odpowiedź: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Przepiszmy równanie w postaci 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, czyli.png" szerokość="181" wysokość="49 src="> Stąd x – 4 =0, x = 4. Odpowiedź: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Korzystając z własności potęg, zapisujemy równanie w postaci 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 wtedy 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, czyli x+1 = 2, x =1. Odpowiedź 1.

Bank problemów nr 1.

Rozwiązać równanie:

Próba nr 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez pierwiastków
	1) 7;1 2) bez pierwiastków 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Próba nr 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez pierwiastków 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda ewaluacji.

Twierdzenie o pierwiastku: jeśli funkcja f(x) rośnie (maleje) w przedziale I, liczba a jest dowolną wartością przyjmowaną przez f w tym przedziale, to równanie f(x) = a ma pojedynczy pierwiastek w przedziale I.

Przy rozwiązywaniu równań metodą estymacji wykorzystuje się to twierdzenie i właściwości monotoniczności funkcji.

Przykłady. Rozwiąż równania: 1. 4x = 5 – x.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie jako 4x +x = 5.

1. jeśli x = 1, to 41+1 = 5, 5 = 5 jest prawdą, co oznacza, że ​​1 jest pierwiastkiem równania.

Funkcja f(x) = 4x – rośnie na R, a g(x) = x – rośnie na R => h(x)= f(x)+g(x) rośnie na R, jako suma rosnących funkcji, wtedy x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania 4x = 5 – x. Odpowiedź 1.

2.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci .

1. jeśli x = -1, to , 3 = 3 jest prawdą, co oznacza, że ​​x = -1 jest pierwiastkiem równania.

2. udowodnić, że jest jedyny.

3. Funkcja f(x) = - maleje na R, a g(x) = - x – maleje na R=> h(x) = f(x)+g(x) – maleje na R, jako suma funkcje malejące. Oznacza to, że zgodnie z twierdzeniem o pierwiastku x = -1 jest jedynym pierwiastkiem równania. Odpowiedź 1.

Bank problemów nr 2. Rozwiązać równanie

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Sposób wprowadzania nowych zmiennych.

Metodę opisano w paragrafie 2.1. Wprowadzenie nowej zmiennej (podstawienie) następuje zwykle po przekształceniach (uproszczeniach) wyrazów równania. Spójrzmy na przykłady.

Przykłady. R Rozwiązać równanie: 1. .

Przepiszmy równanie inaczej: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" szerokość="128" wysokość="48 src="> tj.png" szerokość="210" wysokość = "45">

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie inaczej:

Oznaczmy https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" szerokość="245" wysokość="57"> - nie nadaje się.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" szerokość="268" wysokość="51"> - równanie irracjonalne. Zauważamy, że

Rozwiązaniem równania jest x = 2,5 ≤ 4, co oznacza, że ​​2,5 jest pierwiastkiem równania. Odpowiedź: 2,5.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie do postaci i podzielmy obie strony przez 56x+6 ≠ 0. Otrzymujemy równanie

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" szerokość="118" wysokość="56">

Pierwiastkami równania kwadratowego są t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rozwiązanie . Przepiszmy równanie w postaci

i zauważmy, że jest to równanie jednorodne drugiego stopnia.

Podziel równanie przez 42x i otrzymamy

Zamieńmy https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" szerokość="16" wysokość="41 src="> .

Odpowiedź: 0; 0,5.

Bank problemów nr 3. Rozwiązać równanie

B)

G)

Próba nr 3 z możliwością wyboru odpowiedzi. Minimalny poziom.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez pierwiastków 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez korzeni 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Próba nr 4 z możliwością wyboru odpowiedzi. Poziom ogólny.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez korzeni

5. Metoda faktoryzacji.

1. Rozwiąż równanie: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rozwiązanie..png" szerokość="169" wysokość="69"> , skąd

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rozwiązanie. Umieśćmy 6x w nawiasach po lewej stronie równania i 2x po prawej stronie. Otrzymujemy równanie 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ponieważ 2x > 0 dla wszystkich x, możemy podzielić obie strony tego równania przez 2x bez obawy o utratę rozwiązań. Otrzymujemy 3x = 1ó x = 0.

3.

Rozwiązanie. Rozwiążmy równanie metodą faktoryzacji.

Wybierzmy kwadrat dwumianu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" szerokość="500" wysokość="181">

x = -2 jest pierwiastkiem równania.

Równanie x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Próba nr 6 Poziom ogólny.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Wykładniczy – równania potęgowe.

Do równań wykładniczych sąsiadują tzw. równania potęg wykładniczych, czyli równania postaci (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jeżeli wiadomo, że f(x)>0 i f(x) ≠ 1, to równanie, podobnie jak wykładnicze, rozwiązuje się przez przyrównanie wykładników g(x) = f(x).

Jeżeli warunek nie wyklucza możliwości f(x)=0 i f(x)=1, to przy rozwiązywaniu równania wykładniczego musimy uwzględnić te przypadki.

1..png" szerokość="182" wysokość="116 src=">

2.

Rozwiązanie. x2 +2x-8 – ma sens dla dowolnego x, ponieważ jest wielomianem, co oznacza, że ​​równanie jest równoważne całości

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" szerokość="137" wysokość="35">

B)

7. Równania wykładnicze z parametrami.

1. Dla jakich wartości parametru p ma równanie 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) jedyna decyzja?

Rozwiązanie. Wprowadźmy podstawienie 2x = t, t > 0, wtedy równanie (1) przyjmie postać t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Dyskryminator równania (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Równanie (1) ma unikalne rozwiązanie, jeśli równanie (2) ma jeden pierwiastek dodatni. Jest to możliwe w następujących przypadkach.

1. Jeżeli D = 0, czyli p = 1, to równanie (2) przyjmie postać t2 – 2t + 1 = 0, stąd t = 1, zatem równanie (1) ma jednoznaczne rozwiązanie x = 0.

2. Jeżeli p1, to 9(p – 1)2 > 0, to równanie (2) ma dwa różne pierwiastki t1 = p, t2 = 4p – 3. Warunki zadania spełnia zbiór układów

Podstawiając t1 i t2 do systemów, mamy

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rozwiązanie. Pozwalać wówczas równanie (3) przyjmie postać t2 – 6t – a = 0. (4)

Znajdźmy wartości parametru a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek równania (4) spełnia warunek t > 0.

Wprowadźmy funkcję f(t) = t2 – 6t – a. Możliwe są następujące przypadki.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Przypadek 2. Równanie (4) ma unikalne dodatnie rozwiązanie, jeśli

D = 0, jeśli a = – 9, to równanie (4) przyjmie postać (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Przypadek 3. Równanie (4) ma dwa pierwiastki, ale jeden z nich nie spełnia nierówności t > 0. Jest to możliwe jeżeli

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Zatem dla a 0 równanie (4) ma jeden dodatni pierwiastek . Wtedy równanie (3) ma unikalne rozwiązanie

Kiedy< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Jeśli< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jeśli a = – 9, to x = – 1;

jeśli  0, to

Porównajmy metody rozwiązywania równań (1) i (3). Należy zauważyć, że przy rozwiązywaniu równania (1) zostało zredukowane do równanie kwadratowe, którego wyróżnikiem jest doskonały kwadrat; Zatem od razu obliczono pierwiastki równania (2) korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, a następnie wyciągnięto wnioski dotyczące tych pierwiastków. Równanie (3) zostało zredukowane do równania kwadratowego (4), którego wyróżnik nie jest idealnym kwadratem, dlatego przy rozwiązywaniu równania (3) wskazane jest skorzystanie z twierdzeń o położeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego oraz model graficzny. Należy zauważyć, że równanie (4) można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety.

Rozwiążmy bardziej złożone równania.

Zadanie 3: Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. ODZ: x1, x2.

Wprowadźmy zamiennik. Niech 2x = t, t > 0, to w wyniku przekształceń równanie przyjmie postać t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Znajdźmy wartości a, dla których co najmniej jeden pierwiastek z równanie (*) spełnia warunek t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpowiedź: jeśli a > – 13, a  11, a  5, to jeśli a – 13,

a = 11, a = 5, to nie ma pierwiastków.

Bibliografia.

1. Guzeev podstawy technologii edukacyjnej.

2. Technologia Guzeeva: od recepcji do filozofii.

M. „Dyrektor Szkoły” nr 4, 1996

3. Guzeev i formy organizacyjne szkolenia.

4. Guzeev i praktyka integralnej technologii edukacyjnej.

M. „Edukacja publiczna”, 2001

5. Guzeev z form lekcji - seminarium.

Matematyka w szkole nr 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Technologie edukacyjne Seleuko.

M. „Edukacja publiczna”, 1998

7. Uczniowie Episheva uczą się matematyki.

M. „Oświecenie”, 1990

8. Ivanova przygotowuje lekcje - warsztaty.

Matematyka w szkole nr 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnowowski model nauczania matematyki.

Matematyka w szkole nr 1, 1997 s. 32 – 36.

10. Sposoby organizacji pracy praktycznej Tarasenko.

Matematyka w szkole nr 1, 1993 s. 27 – 28.

11. O jednym z rodzajów pracy indywidualnej.

Matematyka w szkole nr 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Chazankin Umiejętności twórcze uczniowie.

Matematyka w szkole nr 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Wydawca, 1997

14. i inne Algebra i początki analizy. Materiały dydaktyczne Dla

15. Zadania Krivonogova w matematyce.

M. „Pierwszy września”, 2002

16. Czerkasow. Podręcznik dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i

wchodząc na uniwersytety. „AS T – szkoła prasowa”, 2002

17. Żewniak dla osób rozpoczynających naukę na uniwersytetach.

„Przegląd” Mińska i Federacji Rosyjskiej, 1996

18. Pisemne D. Przygotowujemy się do egzaminu z matematyki. M.Rolf, 1999

19. itd. Nauka rozwiązywania równań i nierówności.

M. „Intelekt – Centrum”, 2003

20. itd. Materiały edukacyjne i szkoleniowe dotyczące przygotowania do EGE.

M. „Wywiad – Centrum”, 2003 i 2004.

21 i inne Opcje CMM. Centrum Testowe Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej, 2002, 2003.

22. Równania Goldberga. „Kwant” nr 3, 1971

23. Volovich M. Jak skutecznie uczyć matematyki.

Matematyka, 1997 nr 3.

24 Okunev na lekcję, dzieci! M. Edukacja, 1988

25. Yakimanskaya - nauka zorientowana w szkole.

26. Ograniczenia pracy na zajęciach. M. Wiedza, 1975

Równania wykładnicze to takie, w których niewiadoma jest zawarta w wykładniku. Najprostsze równanie wykładnicze ma postać: a x = a b, gdzie a > 0, a 1, x jest nieznane.

Główne właściwości potęg, za pomocą których przekształcane są równania wykładnicze: a>0, b>0.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych wykorzystuje się również następujące właściwości funkcji wykładniczej: y = a x, a > 0, a1:

Aby przedstawić liczbę jako potęgę, użyj podstawowej tożsamości logarytmicznej: b = , a > 0, a1, b > 0.

Zadania i testy na temat „Równania wykładnicze”

• Równania wykładnicze

  Lekcje: 4 Zadania: 21 Testy: 1

• Równania wykładnicze - Ważne tematy za powtarzanie Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki

  Zadania: 14

• Układy równań wykładniczych i logarytmicznych - Demonstracyjne i funkcje logarytmiczne Klasa 11

  Lekcje: 1 Zadania: 15 Testy: 1

• §2.1. Rozwiązywanie równań wykładniczych

  Lekcje: 1 Zadania: 27

• §7 Równania i nierówności wykładnicze, logarytmiczne - Część 5. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne, ocena 10

  Lekcje: 1 Zadania: 17

Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, należy znać podstawowe własności potęg, właściwości funkcji wykładniczej i podstawową tożsamość logarytmiczną.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych stosuje się dwie główne metody:

1. przejście od równania a f(x) = a g(x) do równania f(x) = g(x);
2. wprowadzenie nowych linii.

Przykłady.

1. Równania zredukowane do najprostszych. Rozwiązuje się je poprzez redukcję obu stron równania do potęgi o tej samej podstawie.

3 x = 9 x – 2 .

Rozwiązanie:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Odpowiedź: 4.

2. Równania rozwiązywane poprzez wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Rozwiązanie:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3x – 2x8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Odpowiedź: 3.

3. Równania rozwiązywane poprzez zmianę zmiennej.

Rozwiązanie:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Oznaczamy 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Odpowiedź: dziennik 2 3.

4. Równania zawierające potęgi o dwóch różnych (nieredukowalnych) podstawach.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Odpowiedź: 2.

5. Równania jednorodne względem a x i b x.

Formularz ogólny: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Rozwiązanie:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Oznaczmy (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 roku + 1 = 0,
y1 = 2; y2 = ½.

Odpowiedź: log 3/2 2; - log 3/2 2.