Równania wykładnicze o różnych podstawach i wykładnikach. Równania potęgowe lub wykładnicze

równania wykładnicze. Jak wiesz, USE zawiera proste równania. Rozważaliśmy już niektóre - są to logarytmiczne, trygonometryczne, racjonalne. Oto równania wykładnicze.

W niedawnym artykule pracowaliśmy z wyrażeniami wykładniczymi, będzie to przydatne. Same równania są rozwiązywane w prosty i szybki sposób. Wymagane jest tylko poznanie właściwości wykładników i... O tymDalej.

Podajemy właściwości wykładników:

Potęga zero dowolnej liczby jest równa jeden.

Konsekwencja tej właściwości:

Trochę więcej teorii.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku, to znaczy równanie to ma postać:

F(x) wyrażenie zawierające zmienną

Metody rozwiązywania równań wykładniczych

1. W wyniku przekształceń równanie można sprowadzić do postaci:

Następnie stosujemy właściwość:

2. Przy otrzymywaniu równania postaci a f (x) = b posługujemy się definicją logarytmu, otrzymujemy:

3. W wyniku przekształceń można otrzymać równanie postaci:

Stosowany jest logarytm:

Wyraź i znajdź x.

W zadaniach opcji USE wystarczy użyć pierwszej metody.

Oznacza to, że konieczne jest przedstawienie lewej i prawej części jako stopni o tej samej podstawie, a następnie porównujemy wskaźniki i rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe.

Rozważ równania:

Znajdź pierwiastek z równania 4 1-2x = 64.

Konieczne jest upewnienie się, że w lewej i prawej części znajdują się wyrażenia wykładnicze o tej samej podstawie. Możemy przedstawić 64 jako 4 do potęgi 3. Otrzymujemy:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Badanie:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Odpowiedź 1

Znajdź pierwiastek równania 3 x-18 = 1/9.

Wiadomo, że

Czyli 3 x-18 = 3 -2

Podstawy są równe, możemy zrównać wskaźniki:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Badanie:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Odpowiedź: 16

Znajdź pierwiastek równania:

Przedstawmy ułamek 1/64 jako jedną czwartą do potęgi trzeciej:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Badanie:

Odpowiedź: 11

Znajdź pierwiastek równania:

Reprezentujmy 1/3 jako 3 -1, a 9 jako 3 do kwadratu, otrzymujemy:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Teraz możemy zrównać wskaźniki:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Badanie:

Odpowiedź: 5

26654. Znajdź pierwiastek równania:

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 8,75

Rzeczywiście, bez względu na to, jaką potęgę podnosimy dodatnią liczbę a, nie możemy w żaden sposób uzyskać ujemnej liczby.

Każde równanie wykładnicze po odpowiednich przekształceniach sprowadza się do rozwiązania jednego lub kilku prostych.W tej sekcji rozważymy również rozwiązanie niektórych równań, nie przegap tego!To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

W tym artykule zapoznasz się ze wszystkimi typami równania wykładnicze i algorytmy ich rozwiązywania, naucz się rozpoznawać jaki typ równanie wykładnicze, który musisz rozwiązać, i zastosuj odpowiednią metodę, aby go rozwiązać. Szczegółowe rozwiązanie przykładów równania wykładnicze każdy typ można zobaczyć w odpowiednich INSTRUKCJACH WIDEO.

Równanie wykładnicze to równanie, w którym wykładnik zawiera niewiadomą.

Zanim zaczniesz rozwiązywać równanie wykładnicze, warto zrobić kilka działania wstępne , co może znacznie ułatwić przebieg jego rozwiązania. Oto działania:

1. Podziel wszystkie podstawy potęg na czynniki pierwsze.

2. Przedstaw korzenie jako stopień.

3. Ułamki dziesiętne występują w postaci zwykłej.

4. Zapisz liczby mieszane jako ułamki niewłaściwe.

Zrozumiesz korzyści płynące z tych działań w procesie rozwiązywania równań.

Rozważ główne typy równania wykładnicze i algorytmy ich rozwiązania.

1. Wpisz równanie

To równanie jest równoważne równaniu

Obejrzyj to WIDEO, aby rozwiązać równanie tego typu.

2. Wpisz równanie

W równaniach tego typu:

b) współczynniki dla nieznanego w wykładniku są równe.

Aby rozwiązać to równanie, musisz ująć mnożnik w najmniejszym stopniu.

Przykład rozwiązania równania tego typu:

spójrz na WIDEO.

3. Wpisz równanie

Te typy równań różnią się tym, że

a) wszystkie stopnie mają tę samą podstawę

b) współczynniki dla nieznanego w wykładniku są różne.

Równania tego typu są rozwiązywane za pomocą zmiany zmiennych. Przed wprowadzeniem zamiennika pożądane jest, aby pozbyć się wolnych terminów w wykładniku. (, itd.)

Poszukaj w WIDEO rozwiązania tego typu równania:

4. Równania jednorodne uprzejmy

Charakterystyczne cechy równań jednorodnych:

a) wszystkie jednomiany mają ten sam stopień,

b) wyraz wolny jest równy zero,

c) równanie zawiera potęgi o dwóch różnych podstawach.

Równania jednorodne rozwiązuje podobny algorytm.

Aby rozwiązać ten typ równania, podziel obie strony równania przez (można podzielić przez lub przez )

Uwaga! Dzieląc prawą i lewą stronę równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą, możesz stracić pierwiastki. Dlatego konieczne jest sprawdzenie, czy pierwiastki wyrażenia, przez które dzielimy obie części równania, są pierwiastkami pierwotnego równania.

W naszym przypadku, ponieważ wyrażenie nie jest równe zeru dla dowolnych wartości nieznanego, możemy bez obaw podzielić przez nie. Dzielimy lewą stronę równania przez to wyrażenie wyraz po wyrazie. Otrzymujemy:

Zmniejsz licznik i mianownik drugiego i trzeciego ułamka:

Wprowadźmy zamiennik:

Oraz title="(!JĘZYK:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

Rozwiąż równanie kwadratowe, znajdź wartości, które spełniają warunek title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Zobacz LEKCJĘ WIDEO, aby uzyskać szczegółowe rozwiązanie równania jednorodnego:

5. Wpisz równanie

Rozwiązując to równanie, wyjdziemy z tego, że title="(!LANG:f(x)>0">!}

Pierwotna równość obowiązuje w dwóch przypadkach:

1. Jeżeli , ponieważ 1 jest równe 1 dowolnej potędze,

2. Pod dwoma warunkami:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(macierz(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Obejrzyj WIDEO, aby uzyskać szczegółowe rozwiązanie równania

Co to jest równanie wykładnicze? Przykłady.

A więc równanie wykładnicze... Nowy, wyjątkowy eksponat na naszej ogólnej wystawie szerokiej gamy równań!) Jak prawie zawsze, słowem kluczowym każdego nowego terminu matematycznego jest odpowiadający mu przymiotnik, który go charakteryzuje. Więc tutaj też. Kluczowym słowem w pojęciu „równanie wykładnicze” jest słowo "wskazujący". Co to znaczy? To słowo oznacza, że nieznane (x) to w dowolnym stopniu. I tylko tam! To niezwykle ważne.

Na przykład te proste równania:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Lub nawet te potwory:

2 grzech x = 0,5

Proszę o natychmiastowe zwrócenie uwagi na jedną ważną rzecz: in fusy stopnie (na dole) - tylko numery. Ale w wskaźniki stopnie (u góry) - szeroka gama wyrażeń z x. Absolutnie dowolne.) Wszystko zależy od konkretnego równania. Jeśli nagle x pojawi się w równaniu gdzie indziej, oprócz wskaźnika (powiedzmy, 3 x \u003d 18 + x 2), to takie równanie będzie już równaniem typ mieszany. Takie równania nie mają jasnych zasad rozwiązywania. Dlatego w tej lekcji nie będziemy ich rozważać. Ku uciesze uczniów.) Tutaj rozważymy tylko równania wykładnicze w „czystej” postaci.

Ogólnie rzecz biorąc, nawet czyste równania wykładnicze nie są jasno rozwiązane we wszystkich przypadkach i nie zawsze. Ale wśród bogatej różnorodności równań wykładniczych istnieją pewne typy, które można i należy rozwiązać. To właśnie tego typu równania rozważymy z tobą. I na pewno rozwiążemy przykłady.) Czyli wygodnie i - w drodze! Podobnie jak w komputerowych „strzelankach”, nasza podróż będzie przebiegać przez poziomy.) Od elementarnych do prostych, od prostych do średnich i od średnich do złożonych. Po drodze będziesz też czekał na tajny poziom - triki i metody rozwiązywania niestandardowych przykładów. Te, o których nie przeczytasz w większości podręczników szkolnych… No cóż, na koniec oczywiście czeka na Ciebie finałowy szef w postaci pracy domowej.)

Poziom 0. Jakie jest najprostsze równanie wykładnicze? Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Na początek przyjrzyjmy się szczerej podstawówce. Musisz gdzieś zacząć, prawda? Na przykład to równanie:

2 x = 2 2

Nawet bez żadnych teorii, z prostej logiki i zdrowego rozsądku jasne jest, że x = 2. W przeciwnym razie nie ma mowy, prawda? Żadna inna wartość x nie jest dobra... Teraz zwróćmy uwagę na wpis decyzji to fajne równanie wykładnicze:

2 x = 2 2

X = 2

Co się z nami stało? I wydarzyło się co następuje. W rzeczywistości wzięliśmy i… po prostu wyrzuciliśmy te same zasady (dwójki)! Całkowicie wyrzucony. I co się podoba, trafij w dziesiątkę!

Tak, rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i prawej stronie są to samo liczb w dowolnym stopniu, to liczby te można odrzucić i po prostu zrównać z wykładnikami. Matematyka na to pozwala.) A potem możesz pracować osobno ze wskaźnikami i rozwiązywać znacznie prostsze równanie. To świetnie, prawda?

Oto kluczowa idea rozwiązania dowolnego (tak, dokładnie dowolnego!) równania wykładniczego: za pomocą identycznych przekształceń należy upewnić się, że lewa i prawa w równaniu są to samo liczby podstawowe w różnym stopniu. A potem możesz bezpiecznie usunąć te same podstawy i zrównać wykładniki. I pracuj z prostszym równaniem.

A teraz pamiętamy żelazną zasadę: można usunąć te same podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy w równaniu po lewej i po prawej stronie są liczby podstawowe w dumnej samotności.

Co to znaczy w doskonałej izolacji? Oznacza to bez sąsiadów i współczynników. Wyjaśniam.

Na przykład w równaniu

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Nie możesz usunąć trojaczków! Czemu? Ponieważ po lewej stronie mamy nie tylko samotne trzy stopnie, ale Praca 3 3 x-5 . Dodatkowa trójka staje na przeszkodzie: współczynnik, rozumiesz.)

To samo można powiedzieć o równaniu

5 3 x = 5 2 x +5 x

Tutaj też wszystkie bazy są takie same - pięć. Ale po prawej nie mamy ani jednego stopnia pięciu: jest suma stopni!

Krótko mówiąc, mamy prawo usuwać te same podstawy tylko wtedy, gdy nasze równanie wykładnicze wygląda tak i tylko tak:

aF (x) = g (x)

Ten rodzaj równania wykładniczego nazywa się najprostszy. Lub naukowo, kanoniczny . I bez względu na to, jakie może być pokręcone równanie przed nami, w taki czy inny sposób sprowadzimy je do tak prostej (kanonicznej) postaci. Lub, w niektórych przypadkach, aby agregaty równania tego rodzaju. Wtedy nasze najprostsze równanie można przepisać w postaci ogólnej w następujący sposób:

F(x) = g(x)

I to wszystko. To będzie równoważna transformacja. Jednocześnie absolutnie dowolne wyrażenia zawierające x mogą być użyte jako f(x) i g(x). Cokolwiek.

Być może szczególnie dociekliwy student zapyta: dlaczego u licha tak łatwo i po prostu odrzucamy te same podstawy po lewej i prawej stronie i przyrównujemy wykładniki? Intuicja to intuicja, ale nagle w jakimś równaniu iz jakiegoś powodu takie podejście okaże się błędne? Czy zawsze jest legalne rzucanie tymi samymi podstawkami? Niestety, aby uzyskać rygorystyczną matematyczną odpowiedź na to interesujące pytanie, trzeba dość głęboko i poważnie zagłębić się w ogólną teorię budowy i zachowania funkcji. I trochę bardziej konkretnie - w zjawisku ścisła monotoniczność. W szczególności ścisła monotoniczność funkcja wykładniczatak= x. Ponieważ to funkcja wykładnicza i jej właściwości leżą u podstaw rozwiązania równań wykładniczych, tak.) Szczegółowa odpowiedź na to pytanie zostanie udzielona w osobnej specjalnej lekcji poświęconej rozwiązywaniu złożonych niestandardowych równań przy użyciu monotoniczności różnych funkcji.)

Aby teraz szczegółowo wyjaśnić ten punkt, wystarczy wyjąć mózg przeciętnego ucznia i przestraszyć go z wyprzedzeniem suchą i ciężką teorią. Nie zrobię tego.) Naszym głównym zadaniem w tej chwili jest nauczyć się rozwiązywać równania wykładnicze! Najprostszy! Dlatego dopóki się nie pocimy i śmiało wyrzucimy te same powody. Ten mogą, uwierz mi na słowo!) A potem już rozwiązujemy równoważne równanie f (x) = g (x). Z reguły jest prostszy niż oryginalna wykładnicza.

Zakłada się oczywiście, że ludzie już wiedzą jak rozwiązać co najmniej , a równania, już bez x we wskaźnikach.) Kto jeszcze nie wie jak, możesz zamknąć tę stronę, przejść się po odpowiednich linkach i wypełnić stare luki. W przeciwnym razie będzie ci ciężko, tak ...

Milczę o irracjonalnych, trygonometrycznych i innych brutalnych równaniach, które również mogą pojawić się w procesie eliminowania zasad. Ale nie przejmuj się, na razie nie będziemy rozpatrywać szczerości w kategoriach stopni: jest za wcześnie. Będziemy trenować tylko na najprostszych równaniach.)

Rozważmy teraz równania, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby zredukować je do najprostszego. Aby je odróżnić, nazwijmy je proste równania wykładnicze. Przejdźmy więc do następnego poziomu!

Poziom 1. Proste równania wykładnicze. Rozpoznaj stopnie! naturalne wskaźniki.

Kluczowymi zasadami przy rozwiązywaniu dowolnych równań wykładniczych są zasady postępowania ze stopniami naukowymi. Bez tej wiedzy i umiejętności nic nie zadziała. Niestety. Więc jeśli są problemy ze stopniami, to na początek zapraszamy. Ponadto potrzebujemy również . Te przekształcenia (aż dwie!) są podstawą rozwiązywania wszystkich równań matematycznych w ogóle. I nie tylko gabloty. Więc ktokolwiek zapomniał, przejdź się też po linku: założyłem je nie bez powodu.

Ale same działania z mocami i identycznymi przekształceniami nie wystarczą. Wymaga również osobistej obserwacji i pomysłowości. Potrzebujemy tych samych podstaw, prawda? Badamy więc przykład i szukamy ich w wyraźnej lub zamaskowanej formie!

Na przykład to równanie:

3 2x – 27x +2 = 0

Pierwsze spojrzenie na fusy. Oni są różni! Trzy i dwadzieścia siedem. Ale jest za wcześnie, by panikować i popadać w rozpacz. Czas o tym pamiętać

27 = 3 3

Liczby 3 i 27 to krewni w stopniu! Co więcej, krewni.) Dlatego mamy pełne prawo do zapisania:

27 x +2 = (3 3) x+2

A teraz łączymy naszą wiedzę na temat akcje ze stopniami(a ostrzegałem cię!). Jest taka bardzo przydatna formuła:

(am) n = a mn

Teraz, jeśli uruchomisz go w kursie, generalnie wyjdzie dobrze:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Oryginalny przykład wygląda teraz tak:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Świetnie, podstawy stopni się wyrównały. Do czego dążyliśmy. Połowa pracy załatwiona.) A teraz rozpoczynamy podstawową transformację tożsamości - przenosimy 3 3 (x +2) w prawo. Nikt nie odwołał elementarnych działań matematyki, tak.) Otrzymujemy:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Co daje nam tego rodzaju równanie? A fakt, że teraz nasze równanie jest zredukowane do formy kanonicznej: po lewej i po prawej stronie znajdują się te same liczby (trójki) w potęgach. I obie trojaczki - w doskonałej izolacji. Odważnie usuwamy trojaczki i otrzymujemy:

2x = 3(x+2)

Rozwiązujemy to i otrzymujemy:

X=-6

To wszystko. To jest prawidłowa odpowiedź.)

A teraz rozumiemy przebieg decyzji. Co nas uratowało w tym przykładzie? Uratowała nas znajomość stopni trójki. Jak dokładnie? My zidentyfikowany numer 27 zaszyfrowany trzy! Ta sztuczka (kodowanie tej samej podstawy pod różnymi liczbami) jest jedną z najpopularniejszych w równaniach wykładniczych! Chyba że jest najbardziej popularny. Tak, a także przy okazji. Dlatego obserwacja i umiejętność rozpoznawania potęg innych liczb w liczbach są tak ważne w równaniach wykładniczych!

Praktyczne porady:

Musisz znać moc popularnych liczb. W twarz!

Oczywiście każdy może podnieść dwa do siódmej potęgi lub trzy do piątej. Nie w mojej głowie, więc przynajmniej na szkicu. Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej konieczne jest nie podnoszenie do potęgi, ale wręcz przeciwnie, ustalenie, jaka liczba i w jakim stopniu kryje się za liczbą, powiedzmy 128 lub 243. A to już więcej skomplikowane niż proste potęgowanie, widzisz. Poczuj różnicę, jak mówią!

Ponieważ umiejętność rozpoznawania stopni na twarzy jest przydatna nie tylko na tym poziomie, ale także na kolejnych, oto małe zadanie dla Ciebie:

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odpowiedzi (oczywiście rozproszone):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Tak tak! Nie dziw się, że odpowiedzi jest więcej niż zadań. Na przykład 2 8 , 4 4 i 16 2 to 256.

Poziom 2. Proste równania wykładnicze. Rozpoznaj stopnie! Wykładniki ujemne i ułamkowe.

Na tym poziomie już teraz w pełni wykorzystujemy naszą wiedzę o stopniach. Mianowicie, w ten fascynujący proces włączamy wskaźniki ujemne i ułamkowe! Tak tak! Musimy zbudować moc, prawda?

Na przykład to straszne równanie:

Ponownie spójrz najpierw na fundamenty. Podstawy są różne! I tym razem nie są do siebie nawet w najmniejszym stopniu podobni! 5 i 0,04... A do wyeliminowania zasad potrzebne są te same... Co robić?

W porządku! W rzeczywistości wszystko jest takie samo, tylko połączenie między piątką a 0,04 jest wizualnie słabo widoczne. Jak się wydostaniemy? I przejdźmy do zwykłego ułamka w liczbie 0,04! I tam, widzisz, wszystko się uformowało.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Okazuje się, że 0,04 to 1/25! Cóż, kto by pomyślał!)

Cóż, jak? Teraz połączenie między numerami 5 i 1/25 jest łatwiejsze do zauważenia? To jest to...

A teraz, zgodnie z zasadami działania z uprawnieniami z wskaźnik ujemny można pisać mocną ręką:

To wspaniale. Więc dotarliśmy do tej samej bazy - pięć. Zamieniamy teraz niewygodną liczbę 0,04 w równaniu na 5 -2 i otrzymujemy:

Ponownie, zgodnie z regułami operacji z uprawnieniami, możemy teraz napisać:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Na wszelki wypadek przypominam (nagle, kto nie wie), że podstawowe zasady postępowania ze stopniami obowiązują dla każdy wskaźniki! W tym dla negatywnych.) Więc możesz wziąć i pomnożyć wskaźniki (-2) i (x-1) zgodnie z odpowiednią zasadą. Nasze równanie staje się coraz lepsze:

Wszystko! Poza samotnymi piątkami w stopniach po lewej i prawej stronie nie ma nic więcej. Równanie sprowadza się do postaci kanonicznej. A potem - po moletowanej torze. Usuwamy piątki i zrównujemy wskaźniki:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Przykład jest prawie gotowy. Pozostaje elementarna matematyka klas średnich - otwieramy (poprawnie!) Nawiasy i zbieramy wszystko po lewej:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Rozwiązujemy to i otrzymujemy dwa pierwiastki:

x 1 = 1; x 2 = 3

To wszystko.)

Teraz pomyślmy jeszcze raz. W tym przykładzie ponownie musieliśmy rozpoznać tę samą liczbę w różnym stopniu! Mianowicie, aby zobaczyć zaszyfrowaną piątkę w liczbie 0,04. I tym razem w ujemny stopień! Jak to zrobiliśmy? W ruchu - nie ma mowy. Ale po przejściu z ułamka dziesiętnego 0,04 do zwykłego ułamka 1/25 wszystko zostało podświetlone! A potem cała decyzja poszła jak w zegarku.)

Dlatego kolejna zielona praktyczna rada.

Jeśli w równaniu wykładniczym występują ułamki dziesiętne, przechodzimy od ułamków dziesiętnych do zwykłych. W zwykłych ułamkach znacznie łatwiej jest rozpoznać potęgi wielu popularnych liczb! Po rozpoznaniu przechodzimy od ułamków do potęg z ujemnymi wykładnikami.

Należy pamiętać, że taki zwód w równaniach wykładniczych występuje bardzo, bardzo często! A osoba nie jest w temacie. Patrzy na przykład na liczby 32 i 0,125 i denerwuje się. Nie wiadomo mu, że to ta sama dwójka, tylko w różnym stopniu… Ale już jesteś w temacie!)

Rozwiązać równanie:

W! Wygląda to na cichy horror... Jednak pozory mylą. To najprostsze równanie wykładnicze, pomimo jego onieśmielającego wyglądu. A teraz ci to pokażę.)

Najpierw zajmujemy się wszystkimi liczbami znajdującymi się w podstawach i we współczynnikach. Są oczywiście różne, tak. Ale nadal podejmujemy ryzyko i staramy się je zrobić to samo! Spróbujmy dostać się do ta sama liczba w różnym stopniu. A najlepiej najmniejszą możliwą. Więc zacznijmy rozszyfrowywać!

Cóż, z czterema na raz wszystko jest jasne - to 2 2 . Więc już coś.)

Z ułamkiem 0,25 - to jeszcze nie jest jasne. Potrzeba sprawdzenia. Korzystamy z praktycznych porad - przejdź od dziesiętnego do zwykłego:

0,25 = 25/100 = 1/4

Już znacznie lepiej. Na razie widać już wyraźnie, że 1/4 to 2 -2. Świetnie, a liczba 0,25 jest również podobna do dwójki.)

Na razie w porządku. Ale najgorsza liczba ze wszystkich pozostaje - pierwiastek kwadratowy z dwóch! Co zrobić z tą papryką? Czy można ją również przedstawić jako potęgę dwójki? I kto wie...

Cóż, znowu wspinamy się do naszej skarbnicy wiedzy o stopniach! Tym razem dodatkowo łączymy naszą wiedzę o korzeniach. Od 9 klasy musieliśmy znosić, że każdy korzeń, w razie potrzeby, zawsze można przekształcić w stopień z ułamkiem.

Lubię to:

W naszym przypadku:

W jaki sposób! Okazuje się, że pierwiastek kwadratowy z dwóch wynosi 2 1/2. Otóż to!

W porządku! Wszystkie nasze niewygodne liczby okazały się w rzeczywistości zaszyfrowaną dwójką.) Nie twierdzę, że jest to miejsce bardzo wyrafinowane zaszyfrowane. Ale zwiększamy też nasz profesjonalizm w rozwiązywaniu takich szyfrów! A potem wszystko jest już oczywiste. Zastępujemy liczby 4, 0,25 i pierwiastek z dwójki w naszym równaniu potęgą dwójki:

Wszystko! Podstawy wszystkich stopni w przykładzie stały się takie same - dwa. A teraz używane są standardowe akcje ze stopniami:

jestemjakiś = jestem + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Po lewej stronie otrzymujesz:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Po prawej stronie będzie:

A teraz nasze złe równanie zaczęło wyglądać tak:

Dla tych, którzy nie zorientowali się, jak dokładnie wyglądało to równanie, pytanie nie dotyczy równań wykładniczych. Pytanie dotyczy działań z uprawnieniami. Poprosiłem pilnie powtórzyć tym, którzy mają problemy!

Oto linia mety! Otrzymano kanoniczną postać równania wykładniczego! Cóż, jak? Czy przekonałem cię, że to nie jest takie straszne? ;) Usuwamy dwójki i zrównujemy wskaźniki:

Pozostaje tylko rozwiązać to równanie liniowe. W jaki sposób? Oczywiście za pomocą identycznych przekształceń.) Rozwiąż to, co już jest! Pomnóż obie części przez dwa (aby usunąć ułamek 3/2), przesuń wyrazy z X w lewo, bez X w prawo, przynieś jedynki, policz - i będziesz szczęśliwy!

Wszystko powinno się pięknie ułożyć:

X=4

Teraz przemyślmy decyzję. W tym przykładzie uratowało nas przejście z pierwiastek kwadratowy do stopień z wykładnikiem 1/2. Co więcej, tylko taka przebiegła transformacja pomogła nam wszędzie dojść do tej samej podstawy (dwójki), co uratowało sytuację! A gdyby nie to, to mielibyśmy wszelkie szanse, by zamarznąć na zawsze i nigdy nie poradzić sobie z tym przykładem, tak…

Dlatego nie zaniedbujemy kolejnych praktycznych porad:

Jeśli w równaniu wykładniczym są pierwiastki, przechodzimy od pierwiastków do potęg z wykładnikami ułamkowymi. Bardzo często dopiero taka transformacja wyjaśnia dalszą sytuację.

Oczywiście potęgi ujemne i ułamkowe są już znacznie bardziej skomplikowane niż potęgi naturalne. Przynajmniej pod względem percepcji wzrokowej, a zwłaszcza rozpoznawania od prawej do lewej!

Oczywiste jest, że bezpośrednie podbicie np. dwójki do potęgi -3 lub czwórki do potęgi -3/2 nie jest takie wielki problem. Dla tych, którzy wiedzą.)

Ale idź, na przykład, od razu zdaj sobie sprawę, że

0,125 = 2 -3

Lub

Tu rządzi tylko praktyka i bogate doświadczenie, tak. I oczywiście jasny obraz, Co to jest wykładnik ujemny i ułamkowy. A także - praktyczne porady! Tak, tak, te Zielony.) Mam nadzieję, że mimo wszystko pomogą ci lepiej poruszać się we wszystkich różnych stopniach i znacznie zwiększą twoje szanse na sukces! Więc nie zaniedbujmy ich. Nie bez powodu piszę czasem na zielono.)

Z drugiej strony, jeśli staniesz się „ty”, nawet z tak egzotycznymi mocami, jak ujemna i ułamkowa, twoje możliwości rozwiązywania równań wykładniczych ogromnie rozszerzą się i będziesz już w stanie poradzić sobie z prawie każdym rodzajem równań wykładniczych. Cóż, jeśli nie w ogóle, to 80 procent wszystkich równań wykładniczych - na pewno! Tak, tak, nie żartuję!

Tak więc nasza pierwsza część znajomości równań wykładniczych doszła do logicznego wniosku. I jako trening pomiędzy, tradycyjnie sugeruję samodzielne rozwiązanie.)

Ćwiczenie 1.

Aby moje słowa o rozszyfrowaniu stopni ujemnych i ułamkowych nie poszły na marne, proponuję zagrać w małą grę!

Wyraź liczbę jako potęgę dwójki:

Odpowiedzi (w nieładzie):

Stało się? W porządku! Następnie wykonujemy misję bojową - rozwiązujemy najprostsze i najprostsze równania wykładnicze!

Zadanie 2.

Rozwiąż równania (wszystkie odpowiedzi to bałagan!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Odpowiedzi:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Stało się? Rzeczywiście o wiele łatwiej!

Następnie rozwiązujemy następującą grę:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Odpowiedzi:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

A te przykłady jednego pozostały? W porządku! Rośniesz! Oto kilka przykładów, które możesz przekąsić:

Odpowiedzi:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I czy to postanowione? Cóż, szacunek! Zdejmuję czapkę.) Tak więc lekcja nie poszła na marne, a początkowy poziom rozwiązywania równań wykładniczych można uznać za pomyślnie opanowany. Przed nami kolejne poziomy i bardziej złożone równania! Oraz nowe techniki i podejścia. I niestandardowe przykłady. I nowe niespodzianki.) Wszystko to - w następnej lekcji!

Coś nie działało? Więc najprawdopodobniej problemy są w . Lub w . Albo jedno i drugie w tym samym czasie. Tutaj jestem bezsilny. Mogę jeszcze raz zaproponować tylko jedno - nie bądź leniwy i przejdź się po linkach.)

Ciąg dalszy nastąpi.)

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym niewiadome (x) i wyrażenia z nimi zawarte są w wskaźniki niektóre stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z x. Jeśli nagle w równaniu pojawi się x w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

będzie to równanie typu mieszanego. Takie równania nie mają jasnych zasad rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj zajmiemy się rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są jasno rozwiązane. Ale istnieją pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. Oto typy, którym będziemy się przyglądać.

Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Zacznijmy od czegoś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez żadnej teorii, po prostym doborze jest jasne, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadnych innych rzutów na wartość x. A teraz spójrzmy na rozwiązanie tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same dna (trójki). Całkowicie wyrzucony. I co się podoba, trafiaj w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i po prawej stronie są to samo liczb w dowolnym stopniu, liczby te można usunąć i mają równe wykładniki. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. To dobrze, prawda?)

Pamiętajmy jednak jak na ironię: zasady można usunąć tylko wtedy, gdy numery zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , lub

Nie możesz usunąć dubletów!

Cóż, najważniejszą rzecz opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„Oto te czasy!” - mówisz. "Kto da taki prymityw na kontrolę i egzaminy!?"

Zmuszony do zgody. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie się udać, gdy rozwiązujesz mylące przykłady. Trzeba o tym pamiętać, gdy ten sam numer bazowy znajduje się po lewej - po prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go w pożądany nas umysł. Oczywiście zgodnie z zasadami matematyki.

Rozważ przykłady, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszego. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych głównymi zasadami są działania z uprawnieniami. Bez wiedzy o tych działaniach nic nie zadziała.

Do działań ze stopniami trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy, jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwszy rzut oka na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie na zniechęcenie. Czas o tym pamiętać

Dwóch i ósemki to krewni w stopniu.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie formułę z działań z uprawnieniami:

(a n) m = a nm ,

ogólnie działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład wygląda tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej (nikt nie odwołał elementarnych działań matematyki!), otrzymujemy:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i dostajemy

To jest prawidłowa odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość mocy dwojga pomogła nam. My zidentyfikowany w ósemce zaszyfrowana dwójka. Ta technika (kodowanie wspólnych zasad pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną sztuczką w równaniach wykładniczych! Tak, nawet w logarytmach. Trzeba umieć rozpoznać moc innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do jakiejkolwiek władzy nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na kartce papieru i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść 3 do piątej potęgi. 243 okaże się, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej konieczne jest nie podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie ... ile w jakim stopniu? kryje się za liczbą 243, lub powiedzmy 343... Żaden kalkulator ci tu nie pomoże.

Musisz znać moc niektórych liczb z widzenia, tak... Mamy ćwiczyć?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Jest więcej odpowiedzi niż pytań! Cóż, zdarza się... Na przykład 2 6 , 4 3 , 8 2 to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o zaznajomieniu się z liczbami.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy całość zasób wiedzy matematycznej. W tym z niższych klas średnich. Nie poszedłeś od razu do liceum, prawda?

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych bardzo często pomaga wyjęcie wspólnego współczynnika z nawiasów (witaj do oceny 7!). Zobaczmy przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwsze spojrzenie - na boisku! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie jest całkiem możliwe!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Zgodnie z tymi samymi zasadami dla akcji ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Świetnie, możesz napisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Trójek nie da się wyrzucić... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętając o najbardziej uniwersalnej i potężnej regule decyzyjnej wszystko zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz!

Wyglądasz, wszystko jest uformowane).

Co znajduje się w tym równaniu wykładniczym mogą robić? Tak, lewa strona bezpośrednio prosi o nawiasy! Wspólny czynnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Przypominamy, że aby wyeliminować podstawy, potrzebujemy czystego stopnia, bez żadnych współczynników. Liczba 70 nas niepokoi. Więc dzielimy obie strony równania przez 70, otrzymujemy:

Op-pa! Wszystko poszło dobrze!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że uzyskuje się kołowanie na tych samych podstawach, ale ich likwidacja nie. Dzieje się tak w równaniach wykładniczych innego typu. Zdobądźmy ten typ.

Zmiana zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze - jak zwykle. Przejdźmy do bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2x +2 = 0

I tu powiesimy. Poprzednie sztuczki nie zadziałają, bez względu na to, jak je obrócisz. Musimy wydostać się z arsenału innego potężnego i wszechstronnego sposobu. To jest nazwane zmienna substytucja.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku 2 x) piszemy inną, prostszą (np. t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Następnie 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

W naszym równaniu zastępujemy wszystkie potęgi przez x przez t:

Cóż, świta?) Nie zapomniałeś jeszcze równań kwadratowych? Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:

Tutaj najważniejsze jest, aby nie przestawać, jak to się dzieje ... To nie jest jeszcze odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wracamy do Xs, czyli dokonanie wymiany. Pierwszy dla t 1:

To znaczy,

Znaleziono jeden korzeń. Poszukujemy drugiego z t 2:

Um... Lewo 2 x, Prawo 1... Zaczep? Tak, wcale nie! Wystarczy pamiętać (z działań ze stopniami, tak...), że jedność to każdy liczba do zera. Każdy. Cokolwiek potrzebujesz, umieścimy to. Potrzebujemy dwóch. Oznacza:

Teraz to wszystko. Ma 2 korzenie:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasami uzyskuje się niezręczną ekspresję. Rodzaj:

Od siódemki dwójka do prostego stopnia nie działa. To nie są krewni... Jak mogę tu być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat "Co to jest logarytm?" , tylko oszczędnie się uśmiechaj i twardą ręką zapisz absolutnie poprawną odpowiedź:

Nie może być takiej odpowiedzi w zadaniach „B” na egzaminie. Wymagana jest konkretna liczba. Ale w zadaniach „C” - łatwo.

Ta lekcja zawiera przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główny.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy na fusy stopni. Zobaczmy, czy nie da się tego zrobić to samo. Spróbujmy to zrobić, aktywnie używając działania z uprawnieniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy sprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy lewa i prawa są to samo liczby w dowolnym stopniu. Używamy działania z uprawnieniami I faktoryzacja. Co można policzyć w liczbach – my liczymy.

3. Jeśli druga rada nie zadziałała, staramy się zastosować podstawienie zmiennej. Rezultatem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadrat. Lub ułamkowe, które również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby pomyślnie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać stopnie niektórych liczb „z wzroku”.

Jak zwykle na koniec lekcji zapraszamy do rozwiązania.) Na własną rękę. Od prostych do złożonych.

Rozwiąż równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Znajdź produkt z korzeni:

2 3-x + 2 x = 9

Stało się?

No to najbardziej skomplikowany przykład (rozwiązuje się jednak w głowie...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? Oto zły przykład dla ciebie. Całkiem ciągnąc na zwiększonym poziomie trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszystkich zadań matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Przykład jest prostszy, dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Czego nie braliśmy pod uwagę w tej lekcji. A co je wziąć pod uwagę, trzeba je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. Cóż, potrzebna jest pomysłowość ... I tak, siódma klasa ci pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

jeden; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -pięć; 4; 0.

Czy wszystko się udaje? W porządku.

Tam jest problem? Nie ma problemu! W sekcji specjalnej 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście są dodatkowe cenne informacje na temat pracy z różnego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko z tymi.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. W tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie powiedziałem tu ani słowa o ODZ? Nawiasem mówiąc, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz ...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Sprzęt:

komputer,
projektor multimedialny,
ekran,
Załącznik 1(prezentacja slajdów w programie PowerPoint) „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”
Załącznik 2(Rozwiązanie równania typu „Trzy różne podstawy stopni” w programie Word)
Dodatek 3(ulotka w Wordzie do pracy praktycznej).
Dodatek 4(ulotka w programie Word do pracy domowej).

Podczas zajęć

1. Etap organizacyjny

przesłanie tematu lekcji (zapisane na tablicy),
potrzeba lekcji uogólniającej w klasach 10-11:

Etap przygotowania uczniów do aktywnego przyswajania wiedzy

Powtórzenie

Definicja.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku (odpowiada student).

Notatka nauczyciela. Równania wykładnicze należą do klasy równań transcendentalnych. Ta trudna do wymówienia nazwa sugeruje, że takich równań, ogólnie rzecz biorąc, nie da się rozwiązać za pomocą formuł.

Można je rozwiązać tylko w przybliżeniu metodami numerycznymi na komputerach. Ale co z pytaniami egzaminacyjnymi? Cała sztuczka polega na tym, że egzaminator komponuje problem w taki sposób, że po prostu dopuszcza rozwiązanie analityczne. Innymi słowy, możesz (i powinieneś!) wykonać takie identyczne przekształcenia, które sprowadzają dane równanie wykładnicze do najprostszego równania wykładniczego. Jest to najprostsze równanie i nazywa się: najprostsze równanie wykładnicze. To jest rozwiązane logarytm.

Sytuacja z rozwiązaniem równania wykładniczego przypomina podróż przez labirynt, który specjalnie wymyślił kompilator zadania. Z tych bardzo ogólnych rozważań wynikają dość konkretne zalecenia.

Aby pomyślnie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz:

1. Nie tylko aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze, ale także znajdować zbiory wartości zmiennej, na której te tożsamości są zdefiniowane, tak aby korzystając z tych tożsamości nie nabywać zbędnych pierwiastków, a tym bardziej nie tracić rozwiązania równania.

2. Aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze.

3. Wyraźnie, szczegółowo i bez błędów wykonuj matematyczne przekształcenia równań (przenieś warunki z jednej części równania na drugą, nie zapominając o zmianie znaku, skróć ułamek do wspólnego mianownika itp.). Nazywa się to kulturą matematyczną. Jednocześnie same obliczenia powinny być wykonywane automatycznie rękami, a głowa powinna pomyśleć o ogólnym wątku przewodnim rozwiązania. Konieczne jest dokonywanie przekształceń tak starannie i szczegółowo, jak to możliwe. Tylko to zagwarantuje prawidłowe, bezbłędne rozwiązanie. I pamiętaj: mały błąd arytmetyczny może po prostu stworzyć równanie transcendentalne, którego w zasadzie nie da się rozwiązać analitycznie. Okazuje się, że zgubiłeś drogę i wpadłeś na ścianę labiryntu.

4. Znać metody rozwiązywania problemów (czyli znać wszystkie drogi przez labirynt rozwiązania). Dla prawidłowej orientacji na każdym etapie będziesz musiał (świadomie lub intuicyjnie!):

definiować typ równania;
zapamiętaj odpowiedni typ metoda rozwiązania zadania.

Etap generalizacji i systematyzacji badanego materiału.

Nauczyciel wraz z uczniami, przy pomocy komputera, przeprowadza przeglądowe powtórzenie wszystkich typów równań wykładniczych i metod ich rozwiązywania oraz sporządza ogólny schemat. (Wykorzystywany jest szkoleniowy program komputerowy L.Ya. Borevsky'ego „Kurs matematyki - 2000”, autorem prezentacji PowerPoint jest T.N. Kuptsova.)

Ryż. jeden. Rysunek przedstawia ogólny schemat wszystkich typów równań wykładniczych.

Jak widać z tego diagramu, strategią rozwiązywania równań wykładniczych jest sprowadzenie tego równania wykładniczego do równania, przede wszystkim: z tymi samymi zasadami , a następnie - i z tymi samymi wykładnikami.

Po otrzymaniu równania o tych samych podstawach i wykładnikach, zastępujesz ten stopień nową zmienną i otrzymujesz proste równanie algebraiczne (zwykle ułamkowe wymierne lub kwadratowe) w odniesieniu do tej nowej zmiennej.

Rozwiązując to równanie i dokonując odwrotnego podstawienia, otrzymujesz zestaw prostych równań wykładniczych, które można ogólnie rozwiązać za pomocą logarytmu.

Równania wyróżniają się, w których występują tylko iloczyny (prywatnych) potęg. Korzystając z tożsamości wykładniczych, można natychmiast sprowadzić te równania do jednej bazy, w szczególności do najprostszego równania wykładniczego.

Zastanów się, jak rozwiązywane jest równanie wykładnicze z trzema różnymi podstawami stopni.

(Jeśli nauczyciel ma program komputerowy do nauczania autorstwa L.Ya. Borevsky'ego "Kurs matematyki - 2000", to oczywiście pracujemy z dyskiem, jeśli nie, możesz wydrukować z niego ten typ równania dla każdego biurka, przedstawiony poniżej .)