Решаването на уравнения в цели числа е една от най-старите математически задачи. Още в началото на II хилядолетие пр.н.е. д. Вавилонците са знаели как да решават системи от такива уравнения с две променливи. Тази област на математиката достигна най-големия си разцвет през Древна Гърция. Основен източник за нас е Аритметиката на Диофант, която съдържа Различни видовеуравнения. В него Диофант (по негово име името на уравненията е Диофантови уравнения) предвижда редица методи за изследване на уравнения от 2-ра и 3-та степен, които се развиват едва през 19 век.
Най-простите диофантови уравнения са ax + y = 1 (уравнение с две променливи, първа степен) x2 + y2 = z2 (уравнение с три променливи, втора степен)
Най-пълно са изучени алгебричните уравнения, тяхното решение е едно от най-важните задачиалгебра през 16-17 век.
До началото на 19 век трудовете на П. Ферма, Л. Ойлер, К. Гаус изследват диофантово уравнение от вида: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, където a, b, c , d, e, f са числа; x, y неизвестни променливи.
Това е уравнение от 2-ра степен с две неизвестни.
К. Гаус построен обща теорияквадратни форми, което е основа за решаване на някои видове уравнения с две променливи (диофантови уравнения). Съществува голямо числоконкретни диофантови уравнения, решени с елементарни методи. /p>
Теоретичен материал.
В тази част от работата ще бъдат описани основните математически понятия, термините ще бъдат дефинирани и ще бъде формулирана теоремата за разширение с помощта на метода на неопределените коефициенти, които са били изучавани и взети предвид при решаване на уравнения с две променливи.
Дефиниция 1: Уравнение от формата ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, където a, b, c, d, e, f са числа; x, y неизвестни променливи се нарича уравнение от втора степен с две променливи.
IN училищен курсучи се математика квадратно уравнение ax2+inx+c=0, където a, b, c числа x променлива, с една променлива. Има много начини за решаване на това уравнение:
1. Намиране на корени с помощта на дискриминант;
2. Намиране на корените за четния коефициент в (по D1=);
3. Намиране на корени с помощта на теоремата на Виета;
4. Намиране на корени чрез изолиране на перфектния квадрат на бином.
Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че те не съществуват.
Определение 2: Коренът на уравнението е число, което, когато се замести в уравнение, образува истинско равенство.
Определение 3: Решението на уравнение с две променливи се нарича двойка числа (x, y), когато се замести в уравнението, то се превръща в истинско равенство.
Процесът на намиране на решения на уравнение много често обикновено се състои в замяна на уравнението с еквивалентно уравнение, но такова, което е по-лесно за решаване. Такива уравнения се наричат еквивалентни.
Определение 4: Две уравнения се наричат еквивалентни, ако всяко решение на едното уравнение е решение на другото уравнение и обратно, и двете уравнения се разглеждат в една и съща област.
За решаване на уравнения с две променливи използвайте теоремата за разлагането на уравнението в сума от пълни квадрати (по метода на неопределените коефициенти).
За уравнение от втори ред ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) се извършва разширението a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Нека формулираме условията, при които се извършва разширение (2) за уравнение (1) на две променливи.
Теорема: Ако коефициенти a, b, cуравнения (1) отговарят на условия a0 и 4ab – c20, тогава разширението (2) се определя по уникален начин.
С други думи, уравнение (1) с две променливи може да се редуцира до форма (2), като се използва методът на неопределените коефициенти, ако са изпълнени условията на теоремата.
Нека да разгледаме пример за това как се прилага методът на неопределените коефициенти.
МЕТОД №1. Решете уравнението по метода на неопределените коефициенти
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Нека проверим изпълнението на условията на теоремата, a=2, b=1, c=2, което означава a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Условията на теоремата са изпълнени, те могат да се разложат по формула (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, въз основа на условията на теоремата и двете части на тъждеството са еквивалентни. Нека опростим дясната страна на идентичността.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Приравняваме коефициентите за еднакви променливи с техните степени.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Нека получим система от уравнения, да я решим и да намерим стойностите на коефициентите.
7. Заместете коефициентите в (2), тогава уравнението ще приеме формата
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
По този начин първоначалното уравнение е еквивалентно на уравнението
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), това уравнение е еквивалентно на система от две линейни уравнения.
Отговор: (-1; 1).
Ако обърнете внимание на типа разширение (3), ще забележите, че то е идентично по форма с изолирането на пълен квадрат от квадратно уравнение с една променлива: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Нека приложим тази техника, когато решаваме уравнение с две променливи. Нека решим, използвайки избора на пълен квадрат, квадратно уравнение с две променливи, което вече беше решено с помощта на теоремата.
МЕТОД № 2: Решете уравнението 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Решение: 1. Нека си представим 2x2 като сбор от два члена x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Нека групираме членовете по такъв начин, че да можем да ги сгънем по формулата на пълен квадрат.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Изберете цели квадрати от изразите в скоби.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Това уравнение е еквивалентно на система от линейни уравнения.
Отговор: (-1;1).
Ако сравните резултатите, можете да видите, че уравнението, решено по метод № 1, използвайки теоремата и метода на неопределените коефициенти, и уравнението, решено по метод № 2, използвайки извличането на пълен квадрат, имат едни и същи корени.
Заключение: Квадратно уравнение с две променливи може да бъде разширено в сбор от квадрати по два начина:
➢ Първият метод е методът на неопределените коефициенти, който се основава на теоремата и разширението (2).
➢ Вторият начин е използването на трансформации на идентичност, които ви позволяват да изберете последователно пълни квадрати.
Разбира се, при решаване на задачи вторият метод е за предпочитане, тъй като не изисква запаметяване на разширение (2) и условия.
Този метод може да се използва и за квадратни уравнения с три променливи. Изолирането на перфектен квадрат в такива уравнения е по-трудоемко. Ще направя този вид трансформация през следващата година.
Интересно е да се отбележи, че функция, имаща формата: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f се нарича квадратична функциядве променливи. Квадратните функции играят важна роля в различни клонове на математиката:
В математическото програмиране (квадратично програмиране)
В линейната алгебра и геометрия (квадратични форми)
В теорията на диференциалните уравнения (намаляване на линейно уравнение от втори ред до канонична форма).
Когато се решават тези различни проблеми, по същество трябва да се приложи процедурата за изолиране на пълен квадрат от квадратно уравнение (една, две или повече променливи).
Прави, чиито уравнения се описват от квадратно уравнение на две променливи, се наричат криви от втори ред.
Това е кръг, елипса, хипербола.
При конструирането на графики на тези криви се използва и методът за последователно изолиране на пълен квадрат.
Нека да разгледаме как работи методът за последователно избиране на пълен квадрат, използвайки конкретни примери.
Практическа част.
Решете уравнения, като използвате метода за последователно изолиране на пълен квадрат.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Отговор:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Отговор:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Отговор:(-1;1).
Решете уравнения:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(намалете до формата: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Отговор: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(намалете до формата: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Отговор: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(намалете до формата: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Отговор: (7; -7)
Заключение.
В това научна работаса изследвани уравнения с две променливи от втора степен и са разгледани методите за тяхното решаване. Задачата е изпълнена, формулирана и описана по-подробно. кратък пътрешения, базирани на изолиране на пълен квадрат и заместване на уравнението с еквивалентна система от уравнения, което води до опростена процедура за намиране на корените на уравнение с две променливи.
Важен момент от работата е, че разглежданата техника се използва при решаване на различни математически задачи, свързани с квадратична функция, конструиране на криви от втори ред и намиране на най-голямата (най-малката) стойност на изразите.
По този начин техниката за разлагане на уравнение от втори ред с две променливи на сума от квадрати има най-много приложения в математиката.
Предмет:Линейна функция
Урок:Линейно уравнениес две променливи и неговата графика
Запознахме се с понятията координатна ос и координатна равнина. Знаем, че всяка точка на равнината еднозначно определя двойка числа (x; y), като първото число е абсцисата на точката, а второто е ординатата.
Много често ще срещнем линейно уравнение с две променливи, чието решение е двойка числа, които могат да бъдат представени в координатната равнина.
Уравнение от формата:
Където a, b, c са числа и 
Нарича се линейно уравнение с две променливи x и y. Решението на такова уравнение ще бъде всяка такава двойка числа x и y, замествайки която в уравнението, ще получим правилното числово равенство.
Двойка числа ще бъде изобразена на координатната равнина като точка.
За такива уравнения ще видим много решения, тоест много двойки числа и всички съответстващи точки ще лежат на една и съща права линия.
Да разгледаме един пример:
За да намерите решения на това уравнение, трябва да изберете съответните двойки числа x и y:
Нека , тогава първоначалното уравнение се превръща в уравнение с едно неизвестно:
,
Тоест, първата двойка числа, която е решение на дадено уравнение (0; 3). Имаме точка A(0; 3)
Позволявам . Получаваме оригиналното уравнение с една променлива: 
, от тук получаваме точка B(3; 0)
Нека поставим двойките числа в таблицата:
Нека начертаем точки на графиката и начертаем права линия: 
Обърнете внимание, че всяка точка от дадена линия ще бъде решение на даденото уравнение. Да проверим – вземете точка с координата и с помощта на графиката намерете нейната втора координата. Очевидно е, че в този момент. Нека заместим тази двойка числа в уравнението. Получаваме 0=0 - правилно числено равенство, което означава, че точка, лежаща на права, е решение.
Засега не можем да докажем, че всяка точка, лежаща на построената права, е решение на уравнението, така че приемаме това за вярно и ще го докажем по-късно.
Пример 2 - начертайте графика на уравнението:
Нека направим таблица; имаме нужда само от две точки, за да построим права линия, но ще вземем трета за контрол:
В първата колона взехме удобна, ще я намерим от:
, ,
Във втората колона взехме удобна, нека намерим x:
, , ,
Нека проверим и намерим:
, ,
Нека изградим графика:
Нека умножим даденото уравнение по две:
От такава трансформация наборът от решения няма да се промени и графиката ще остане същата.
Заключение: научихме се да решаваме уравнения с две променливи и да градим техните графики, научихме, че графиката на такова уравнение е права линия и че всяка точка от тази права е решение на уравнението
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г
2. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: VENTANA-GRAF
3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др.Алгебра 7.М.: Просвещение. 2006 г
2. Портал за семейно гледане ().
Задача 1: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 960, чл.210;
Задача 2: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 961, чл.210;
Задача 3: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 962, чл.210;
Нелинейни уравнения с две неизвестни
Определение 1. Нека А е малко набор от двойки числа (х; г) . Казват, че множеството А е дадено числова функция z от две променливи x и y , ако е зададено правило, с помощта на което всяка двойка числа от множество A се свързва с определено число.
Упражнение числова функция z от две променливи x и y често обозначавамТака:
Където f (х , г) – всяка функция, различна от функция
f (х , г) = брадва+от+c ,
където a, b, c са дадени числа.
Определение 3. Решаване на уравнение (2)обадете се на двойка номера ( х; г) , за която формула (2) е вярно равенство.
Пример 1. Решете уравнението
Тъй като квадратът на всяко число е неотрицателен, от формула (4) следва, че неизвестните x и y удовлетворяват системата от уравнения
чието решение е двойка числа (6; 3).
Отговор: (6; 3)
Пример 2. Решете уравнението
Следователно решението на уравнение (6) е безкраен брой двойки числамил
(1 + г ; г) ,
където y е произволно число.
линеен
Определение 4. Решаване на система от уравнения
обадете се на двойка номера ( х; г) , при заместването им във всяко от уравненията на тази система се получава правилното равенство.
Системи от две уравнения, едното от които е линейно, имат вида
ж(х , г)
Пример 4. Решете система от уравнения
Решение . Нека изразим неизвестното y от първото уравнение на системата (7) чрез неизвестното x и заместим получения израз във второто уравнение на системата:
Решаване на уравнението
х 1 = - 1 , х 2 = 9 .
следователно
г 1 = 8 - х 1 = 9 ,
г 2 = 8 - х 2 = - 1 .
Системи от две уравнения, едното от които е хомогенно
Системи от две уравнения, едното от които е хомогенно, имат вида
където a, b, c са дадени числа и ж(х , г) – функция на две променливи x и y.
Пример 6. Решете система от уравнения
Решение . Нека решим еднородното уравнение
3х 2 + 2xy - г 2 = 0 ,
3х 2 + 17xy + 10г 2 = 0 ,
третирайки го като квадратно уравнение по отношение на неизвестното x:
.
В случай х = - 5г, от второто уравнение на системата (11) получаваме уравнението
5г 2 = - 20 ,
който няма корени.
В случай
от второто уравнение на системата (11) получаваме уравнението
,
чиито корени са числа г 1 = 3 , г 2 = - 3 . Намирайки за всяка от тези стойности y съответната стойност x, получаваме две решения на системата: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Отговор: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Примери за решаване на системи от уравнения от други видове
Пример 8. Решаване на система от уравнения (MIPT)
Решение . Нека въведем нови неизвестни u и v, които се изразяват чрез x и y по формулите:
За да пренапишем система (12) по отношение на нови неизвестни, първо изразяваме неизвестните x и y по отношение на u и v. От система (13) следва, че
Нека решим линейната система (14), като елиминираме променливата x от второто уравнение на тази система. За целта извършваме следните трансформации на система (14):
- Ще оставим първото уравнение на системата непроменено;
- от второто уравнение изваждаме първото уравнение и заместваме второто уравнение на системата с получената разлика.
В резултат на това системата (14) се трансформира в еквивалентна система
от които намираме
Използвайки формули (13) и (15), пренаписваме оригиналната система (12) във формата
Първото уравнение на системата (16) е линейно, така че можем да изразим от него неизвестното u чрез неизвестното v и да заместим този израз във второто уравнение на системата.
Линейно уравнение с две променливи е всяко уравнение, което има следващ изглед: a*x + b*y =с.Тук x и y са две променливи, a,b,c са някои числа.
По-долу са няколко примери за линейни уравнения.
1. 10*x + 25*y = 150;
Подобно на уравненията с едно неизвестно, линейното уравнение с две променливи (неизвестни) също има решение. Например линейното уравнение x-y=5, с x=8 и y=3 се превръща в правилната идентичност 8-3=5. В този случай се казва, че двойката числа x=8 и y=3 е решение на линейното уравнение x-y=5. Можете също така да кажете, че двойка числа x=8 и y=3 удовлетворява линейното уравнение x-y=5.
Решаване на линейно уравнение
По този начин решението на линейното уравнение a*x + b*y = c е всяка двойка числа (x,y), която удовлетворява това уравнение, т.е. превръща уравнението с променливи x и y в правилно числово равенство. Забележете как двойката числа x и y са записани тук. Този запис е по-кратък и по-удобен. Просто трябва да запомните, че първото място в такъв запис е стойността на променливата x, а второто е стойността на променливата y.
Моля, обърнете внимание, че числата x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4,5 и y= -0,5 също отговарят на линейното уравнение x-y=5 и следователно са решения на това линейно уравнение.
Решаване на линейно уравнение с две неизвестни не е единственият.Всяко линейно уравнение с две неизвестни има безкрайно много различни решения. Тоест има безкрайно много различнидве числа x и y, които преобразуват линейно уравнение в истинска идентичност.
Ако няколко уравнения с две променливи имат еднакви решения, тогава такива уравнения се наричат еквивалентни уравнения. Трябва да се отбележи, че ако уравненията с две неизвестни нямат решения, тогава те също се считат за еквивалентни.
Основни свойства на линейни уравнения с две неизвестни
1. Всеки от членовете на уравнението може да се прехвърли от една част в друга, но е необходимо знакът му да бъде сменен с противоположния. Полученото уравнение ще бъде еквивалентно на оригиналното.
2. Двете страни на уравнението могат да бъдат разделени на всяко число, което не е нула. В резултат на това получаваме уравнение, еквивалентно на оригиналното.
§ 1 Избор на корени на уравнение в реални ситуации
Нека разгледаме тази реална ситуация:
Майсторът и чиракът заедно направиха 400 части по поръчка. Освен това майсторът е работил 3 дни, а ученикът 2 дни. Колко части е направил всеки човек?
Нека създадем алгебричен модел на тази ситуация. Оставете майстора да произвежда части за 1 ден. И ученикът е в детайлите. Тогава майсторът ще направи 3 части за 3 дни, а ученикът ще направи 2 части за 2 дни. Заедно те ще произведат 3 + 2 части. Тъй като според условието са произведени общо 400 части, получаваме уравнението:
Полученото уравнение се нарича линейно уравнение с две променливи. Тук трябва да намерим двойка числа x и y, за които уравнението ще приеме формата на истинско числово равенство. Обърнете внимание, че ако x = 90, y = 65, тогава получаваме равенството:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Тъй като е получено правилното числово равенство, двойката числа 90 и 65 ще бъде решение на това уравнение. Но намереното решение не е единственото. Ако x = 96 и y = 56, тогава получаваме равенството:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Това също е истинско числово равенство, което означава, че двойката числа 96 и 56 също е решение на това уравнение. Но двойка числа x = 73 и y = 23 няма да бъде решение на това уравнение. Всъщност 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 ще ни даде неправилното числово равенство 265 = 400. Трябва да се отбележи, че ако разгледаме уравнението във връзка с тази реална ситуация, тогава ще има двойки числа, които, като решение на това уравнение, няма да бъде решение на проблема. Например няколко числа:
x = 200 и y = -100
е решение на уравнението, но ученикът не може да направи -100 части и следователно такава двойка числа не може да бъде отговорът на въпроса на задачата. По този начин във всяка конкретна реална ситуация е необходимо да се подходи разумно към избора на корените на уравнението.
Нека обобщим първите резултати:
Уравнение от вида ax + bу + c = 0, където a, b, c са произволни числа, се нарича линейно уравнение с две променливи.
Решението на линейно уравнение с две променливи е двойка числа, съответстващи на x и y, за които уравнението се превръща в истинско числово равенство.
§ 2 Графика на линейно уравнение
Самото записване на двойката (x;y) ни подтиква да мислим за възможността да я изобразим като точка с координати xy y върху равнина. Това означава, че можем да получим геометричен модел на конкретна ситуация. Например, разгледайте уравнението:
2x + y - 4 = 0
Нека изберем няколко двойки числа, които ще бъдат решения на това уравнение и построим точки с намерените координати. Нека това са точки:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Обърнете внимание, че всички точки лежат на една права. Тази линия се нарича графика на линейно уравнение с две променливи. Това е графичен (или геометричен) модел на дадено уравнение.
Ако двойка числа (x;y) е решение на уравнението
ax + vy + c = 0, тогава точката M(x;y) принадлежи на графиката на уравнението. Можем да кажем обратното: ако точката M(x;y) принадлежи на графиката на уравнението ax + y + c = 0, тогава двойката числа (x;y) е решение на това уравнение.
От курса по геометрия знаем:
За да построите права линия, имате нужда от 2 точки, така че за да начертаете графика на линейно уравнение с две променливи, е достатъчно да знаете само 2 двойки решения. Но отгатването на корените не винаги е удобна или рационална процедура. Можете да действате според друго правило. Тъй като абсцисата на точка (променлива x) е независима променлива, можете да й дадете всяка удобна стойност. Замествайки това число в уравнението, намираме стойността на променливата y.
Например, нека е дадено уравнението:
Нека x = 0, тогава получаваме 0 - y + 1 = 0 или y = 1. Това означава, че ако x = 0, тогава y = 1. Двойка числа (0;1) е решението на това уравнение. Нека зададем друга стойност за променливата x: x = 2. Тогава получаваме 2 - y + 1 = 0 или y = 3. Двойката числа (2;3) също е решение на това уравнение. Използвайки двете намерени точки, вече е възможно да се построи графика на уравнението x - y + 1 = 0.
Можете да направите това: първо присвоете някаква конкретна стойност на променливата y и едва след това изчислете стойността на x.
§ 3 Система от уравнения
Намерете две естествени числа, чийто сбор е 11, а разликата е 1.
За да разрешим този проблем, първо създаваме математически модел (а именно алгебричен). Нека първото число е x, а второто число y. Тогава сборът на числата x + y = 11 и разликата на числата x - y = 1. Тъй като и двете уравнения се занимават с едни и същи числа, тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно. Обикновено в такива случаи се използва специален запис. Уравненията са написани едно под друго и са комбинирани с къдрава скоба.
Такъв запис се нарича система от уравнения.
Сега нека конструираме набори от решения на всяко уравнение, т.е. графики на всяко от уравненията. Нека вземем първото уравнение:
Ако x = 4, тогава y = 7. Ако x = 9, тогава y = 2.
Нека начертаем права линия през точки (4;7) и (9;2).
Нека вземем второто уравнение x - y = 1. Ако x = 5, тогава y = 4. Ако x = 7, тогава y = 6. Начертаваме също права линия през точките (5;4) и (7;6 ). Получихме геометричен модел на проблема. Двойката числа, която ни интересува (x;y), трябва да бъде решение и на двете уравнения. На фигурата виждаме една точка, която лежи на двете прави; това е пресечната точка на линиите.
Координатите му са (6;5). Следователно решението на проблема ще бъде: първото изисквано число е 6, второто е 5.
Списък на използваната литература:
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 1, Учебник за образователни институции/ А.Г. Мордкович. – 10 изд., преработено – Москва, „Мнемозина”, 2007 г
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 2, Проблемник за учебни заведения / [А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от A.G. Мордкович - 10 издание, преработено - Москва, “Мнемозина”, 2007 г.
- НЕЯ. Тулчинская, Алгебра 7 клас. Блиц анкета: наръчник за ученици от общообразователни институции, 4-то издание, преработено и разширено, Москва, "Мнемозина", 2008 г.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичен тестова работа V нова формаза ученици от общообразователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович, Москва, "Мнемозина", 2011 г
- Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостоятелна работаза ученици от общообразователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, "Мнемозина", 2010 г.
