— Не можеш да делиш на нула! - повечето ученици запомнят това правило наизуст, без да задават въпроси. Всички деца знаят какво е „не“ и какво ще се случи, ако в отговор на него попитате: „Защо?“ Но всъщност е много интересно и важно да знаем защо е невъзможно.
Работата е там, че четирите аритметични операции - събиране, изваждане, умножение и деление - всъщност са неравни. Математиците признават само две от тях за пълноценни - събиране и умножение. Тези операции и техните свойства са включени в самото определение на понятието число. Всички останали действия се изграждат по един или друг начин от тези две.
Помислете, например, за изваждане. Какво означава 5-3? Ученикът ще отговори просто: трябва да вземете пет елемента, да вземете (премахнете) три от тях и да видите колко остават. Но математиците гледат на този проблем по съвсем различен начин. Няма изваждане, само събиране. Следователно, записването на 5 - 3 означава число, което, когато се добави към числото 3, ще даде числото 5. Тоест 5 - 3 е просто съкратено обозначение на уравнението: x + 3 = 5. Няма изваждане в това уравнение. Има само задача - да намерите подходящ номер.
Същото е и с умножението и делението. Запис 8: 4 може да се разбере като резултат от разделянето на осем обекта на четири равни купчини. Но в действителност това е само съкратена форма на уравнението 4 x = 8.
Тук става ясно защо е невъзможно (или по-скоро невъзможно) да се дели на нула. Запис 5: 0 е съкращение от 0 x = 5. Тоест тази задача е да се намери число, което, умножено по 0, ще даде 5. Но знаем, че когато се умножи по 0, то винаги се оказва 0. Това е присъщо свойство на нула, строго погледнато, част от неговата дефиниция.
Просто няма такова число, което, умножено по 0, да даде нещо различно от нула. Тоест нашият проблем няма решение. (Да, случва се, не всеки проблем има решение.) Така че записването на 5: 0 не съответства на никакво конкретно число и просто не означава нищо и следователно няма смисъл. Безсмислеността на това вписване се изразява накратко, като се казва, че не можете да разделите на нула.
Най-внимателните читатели в този момент със сигурност ще попитат: възможно ли е да разделим нула на нула? Наистина, уравнението 0 x = 0 е успешно решено. Например, можем да вземем x = 0 и след това получаваме 0 0 = 0. И така, 0: 0=0? Но нека не бързаме. Нека се опитаме да вземем x = 1. Получаваме 0 1 = 0. Нали? Значи 0:0 = 1? Но можете да вземете произволно число по този начин и да получите 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т.н.
Но ако някое число е подходящо, тогава няма причина да изберем някой от тях. Тоест, не можем да кажем на кое число отговаря записът 0: 0. И ако е така, тогава сме принудени да признаем, че този запис също няма смисъл. Оказва се, че дори нулата не може да бъде разделена на нула. (В смятането има случаи, когато поради допълнителни условия на задачата може да се предпочете едно от възможните решения на уравнението 0 x = 0; в такива случаи математиците говорят за „разкриване на несигурността“, но в аритметиката такива случаи не се случват.)
Това е особеността на операцията по разделяне. За да бъдем по-точни, операцията за умножение и числото, свързано с нея, имат нула.
Е, най-внимателният, след като е прочел до този момент, може да попита: защо е така, че не можете да разделите на нула, но можете да извадите нула? В известен смисъл тук започва истинската математика. На него може да се отговори само като се запознаете с формалните математически дефиниции на числови множества и операции с тях. Не е толкова трудно, но по някаква причина не се изучава в училище. Но на лекции по математика в университета, на първо място, ще ви научат точно на това.
Доброволен читателски принос в подкрепа на проекта
Евгений Ширяев, преподавател и ръководител на лабораторията по математика на Политехническия музей, каза на AiF.ru за деление на нула:
1. Подсъдност на въпроса
Съгласете се, забраната придава особена провокативност на правилото. Как е невъзможно? Кой забрани? Но какво да кажем за нашите граждански права?
Нито конституцията на Руската федерация, нито Наказателният кодекс, нито дори уставът на вашето училище възразяват срещу интелектуалните действия, които ни интересуват. Това означава, че забраната няма юридическа сила и нищо не пречи точно тук, на страниците на AiF.ru, да се опитате да разделите нещо на нула. Например хиляда.
2. Разделете, както се преподава
Не забравяйте, че когато за първи път научихте как да делите, първите примери бяха решени чрез проверка чрез умножение: резултатът, умножен по делителя, трябваше да съвпада с делимото. Не съвпадна - не реши.
Пример 1 1000: 0 =...
Нека забравим за забраненото правило за минута и да направим няколко опита да отгатнем отговора.
Неправилно ще отреже чека. Повторете опциите: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. За всяка от тях тестът ще даде същия резултат:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0
Нулата чрез умножение превръща всичко в себе си и никога в хиляда. Заключението е лесно за формулиране: нито едно число няма да премине теста. Тоест никое число не може да бъде резултат от разделянето на ненулево число на нула. Такова разделение не е забранено, а просто няма резултат.
3. Нюанс
Почти пропусна една възможност да опровергае забраната. Да, ние признаваме, че число, различно от нула, няма да се дели на 0. Но може би самото 0 може?
Пример 2 0: 0 = ...
Вашите предложения за лични? 100? Моля: частното от 100, умножено по делителя на 0, е равно на делимото на 0.
Повече опций! един? Също така подходящ. И -23, и 17, и всички-всички-всички. В този пример проверката на резултата ще бъде положителна за произволно число. И за да бъда честен, решението в този пример не трябва да се нарича число, а набор от числа. Всеки. И няма да отнеме много време да се съгласим, че Алис не е Алис, а Мери Ан, и двете са мечта на заек.
4. Ами висшата математика?
Проблемът е решен, нюансите са взети предвид, точките са поставени, всичко е ясно - нито едно число не може да бъде отговорът за примера с деление на нула. Решаването на подобни проблеми е безнадеждно и невъзможно. Толкова интересно! Двойна две.
Пример 3 Разберете как да разделите 1000 на 0.
Но няма как. Но 1000 може лесно да се раздели на други числа. Е, нека поне да направим това, което работи, дори и да сменим задачата. И там, видите ли, ще се увлечем и отговорът ще се появи сам. Забравете за нулата за минута и разделете на сто:
Сто е далеч от нулата. Нека направим стъпка към него, като намалим делителя:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидна динамика: колкото по-близо е делителят до нула, толкова по-голямо е частното. Тенденцията може да се наблюдава по-нататък, преминавайки към дроби и продължавайки да намалявате числителя:
Остава да отбележим, че можем да се доближим до нулата толкова близо, колкото искаме, правейки коефициента произволно голям.
В този процес няма нула и последно коефициент. Ние посочихме движението към тях, като заменихме числото с последователност, сближаваща се с числото, което ни интересува:
Това предполага подобна замяна на дивидента:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрелките са двустранни по причина: някои поредици могат да се доближат до числа. Тогава можем да свържем една последователност с нейната числена граница.
Нека разгледаме последователността на коефициентите:
То расте безкрайно, като се стреми към никакъв брой и надминава всеки. Математиците добавят символи към числата ∞ да можете да поставите двустранна стрелка до такава последователност:
Сравняването на броя на последователностите с ограничение ни позволява да предложим решение на третия пример:
Разделяйки последователност, сближаваща се до 1000 елементарно на поредица от положителни числа, сближаващи се до 0, получаваме последователност, сближаваща се до ∞.
5. И тук е нюансът с две нули
Какъв ще бъде резултатът от разделянето на две поредици от положителни числа, които се доближават до нула? Ако са еднакви, значи една и съща единица. Ако последователност-дивидент се сближава до нула по-бързо, тогава в определена последователност с нулева граница. И когато елементите на делителя намаляват много по-бързо от дивидента, частната последователност ще нарасне силно:
Несигурна ситуация. И така се нарича: несигурността на формата 0/0 . Когато математиците видят поредици, които отговарят на такава несигурност, те не бързат да делят две еднакви числа едно на друго, а установяват коя от последователностите се движи към нула по-бързо и как. И всеки пример ще има свой конкретен отговор!
6. В живота
Законът на Ом свързва тока, напрежението и съпротивлението във веригата. Често се пише в тази форма:
Нека пренебрегнем точното физическо разбиране и формално да разгледаме дясната страна като частно от две числа. Представете си, че решаваме училищен проблем с електричеството. Условието е дадено напрежение във волтове и съпротивление в ома. Въпросът е очевиден, решението с едно действие.
Сега нека разгледаме определението за свръхпроводимост: това е свойството на някои метали да имат нулево електрическо съпротивление.
Е, нека решим проблема за свръхпроводяща верига? Просто го сложи така R= 0 не се получава, физиката извежда интересен проблем, зад който очевидно стои научно откритие. И хората, които успяха да разделят на нула в тази ситуация, получиха Нобелова награда. Полезно е да можете да заобиколите всякакви забрани!
Математическото правило за деление на нула е преподавано на всички хора в първи клас на общообразователното училище. „Не можеш да делиш на нула“, учеха всички ни и забраняваха под страх от шамар в гърба да делим на нула и изобщо да обсъждаме тази тема. Въпреки че някои учители в началното училище все още се опитваха да обяснят защо е невъзможно да се дели на нула с прости примери, тези примери бяха толкова нелогични, че беше по-лесно просто да запомните това правило и да не задавате твърде много въпроси. Но всички тези примери бяха нелогични поради причината, че учителите не можаха логически да ни обяснят това в първи клас, тъй като в първи клас дори не знаехме какво е уравнение и логично това математическо правило може да се обясни само с помощта на уравнения.
Всеки знае, че при разделяне на произволно число на нула ще излезе празнота. Защо точно празнота, ще разгледаме по-късно.
По принцип в математиката само две процедури с числа се признават за независими. Това е събиране и умножение. Останалите процедури се считат за производни на тези две процедури. Нека разгледаме това с пример.
Кажете ми колко ще е например 11-10? Всички веднага ще отговорим, че ще бъде 1. И как намерихме такъв отговор? Някой ще каже, че вече е ясно, че ще бъде 1, някой ще каже, че е взел 10 от 11 ябълки и е изчислил, че се оказва една ябълка. От гледна точка на логиката всичко е правилно, но според законите на математиката този проблем се решава по различен начин. Трябва да се помни, че събирането и умножението се считат за основни процедури, така че трябва да направите следното уравнение: x + 10 \u003d 11 и едва след това x \u003d 11-10, x \u003d 1. Обърнете внимание, че събирането е първо и едва след това, въз основа на уравнението, можем да извадим. Изглежда, защо толкова много процедури? В крайна сметка отговорът е толкова очевиден. Но само такива процедури могат да обяснят невъзможността за деление на нула.
Например, ние изпълняваме следната математическа задача: искаме да разделим 20 на нула. Така че 20:0=x. За да разберете колко ще бъде, трябва да запомните, че процедурата за разделяне следва от умножението. С други думи, деленето е производната процедура на умножение. Следователно, трябва да направите уравнение от умножение. И така, 0*x=20. Тук е задънената улица. Каквото и число да умножим по нула, то пак ще бъде 0, но не и 20. Тук следва правилото: не можете да делите на нула. Нулата може да бъде разделена на произволно число, но числото не може да бъде разделено на нула.
Това повдига друг въпрос: възможно ли е да се раздели нула на нула? Така че 0:0=x означава 0*x=0. Това уравнение може да бъде решено. Вземете, например, x=4, което означава 0*4=0. Оказва се, че ако разделите нула на нула, получавате 4. Но дори и тук всичко не е толкова просто. Ако вземем например x=12 или x=13, тогава ще излезе същият отговор (0*12=0). Като цяло, без значение какво число заменим, все пак ще излезе 0. Следователно, ако 0: 0, тогава ще се окаже безкрайност. Ето една проста математика. За съжаление процедурата за разделяне на нула на нула също е безсмислена.
Като цяло числото нула в математиката е най-интересно. Например, всеки знае, че всяко число с нулева степен дава единица. Разбира се, не срещаме такъв пример в реалния живот, но при деление на нула житейските ситуации се срещат много често. Така че не забравяйте, че не можете да разделите на нула.
Много често много хора се чудят защо е невъзможно да се използва деление на нула? В тази статия ще разгледаме много подробности откъде идва това правило, както и какви действия могат да се извършват с нула.
Във връзка с
Нулата може да се нарече едно от най-интересните числа. Това число няма значение, това означава празнота в истинския смисъл на думата. Ако обаче поставите нула до която и да е цифра, тогава стойността на тази цифра ще стане няколко пъти по-голяма.
Числото е много мистериозно само по себе си. Използван е от древните маи. За маите нула означаваше "начало", а обратното броене на календарните дни също започваше от нула.
Много интересен факт е, че знакът на нулата и знакът на несигурността са били сходни за тях. С това маите искаха да покажат, че нулата е същият идентичен знак като несигурността. В Европа обозначението нула се появи сравнително наскоро.
Също така много хора знаят забраната, свързана с нула. Всеки човек ще каже това не може да се раздели на нула. Това казват учителите в училище и децата обикновено вярват на думата си. Обикновено децата или просто не се интересуват от това, или знаят какво ще се случи, ако след като чуят важна забрана, веднага попитат „Защо не можеш да разделиш на нула?“. Но когато остареете, интересът се пробужда и искате да научите повече за причините за такава забрана. Въпреки това има разумни доказателства.
Действия с нула
Първо трябва да определите какви действия могат да се извършват с нула. Съществуват няколко вида дейности:
- Добавяне;
- Умножение;
- Изваждане;
- Деление (нула по число);
- Експоненция.
Важно!Ако по време на събирането към някое число се добави нула, тогава това число ще остане същото и няма да промени числовата си стойност. Същото се случва, ако извадите нула от произволно число.
С умножението и деленето нещата са малко по-различни. Ако умножете произволно число по нула, тогава продуктът също ще стане нула.
Помислете за пример:
Нека напишем това като допълнение:
Има общо пет добавени нули, така че се оказва, че
Нека се опитаме да умножим едно по нула. Резултатът също ще бъде нулев.
Нулата може да бъде разделена и на всяко друго число, което не е равно на него. В този случай ще се окаже, чиято стойност също ще бъде нула. Същото правило важи и за отрицателните числа. Ако разделите нулата на отрицателно число, ще получите нула.
Можете също да вдигнете произволно число до нулева мощност. В този случай получавате 1. Важно е да запомните, че изразът "от нула до нула мощност" е абсолютно безсмислен. Ако се опитате да вдигнете нула до която и да е степен, получавате нула. пример:
Използваме правилото за умножение, получаваме 0.
Възможно ли е да се раздели на нула
И така, тук стигаме до основния въпрос. Възможно ли е да се раздели на нулав общи линии? И защо е невъзможно да се раздели число на нула, като се има предвид, че всички други операции с нула напълно съществуват и се прилагат? За да отговорите на този въпрос, трябва да се обърнете към висшата математика.
Нека започнем с дефиницията на понятието, какво е нула? Училищните учители твърдят, че нулата е нищо. Празнота. Тоест, когато кажете, че имате 0 химикалки, това означава, че изобщо нямате химикалки.
Във висшата математика понятието "нула" е по-широко. Това изобщо не означава празно. Тук нулата се нарича несигурност, защото ако направим малко проучване, се оказва, че когато разделим нула на нула, в резултат можем да получим всяко друго число, което може да не е непременно нула.
Знаете ли, че тези прости аритметични операции, които сте изучавали в училище, не са толкова равни помежду си? Най-основните стъпки са събиране и умножение.
За математиците понятията "" и "изваждане" не съществуват. Да предположим: ако три се извадят от пет, тогава ще останат две. Ето как изглежда изваждането. Математиците обаче биха го написали по следния начин:
Така се оказва, че неизвестната разлика е определено число, което трябва да се добави към 3, за да се получи 5. Тоест, не е нужно да изваждате нищо, просто трябва да намерите подходящо число. Това правило важи за добавяне.
Нещата са малко по-различни с правила за умножение и деление.Известно е, че умножението по нула води до нулев резултат. Например, ако 3:0=x, тогава ако обърнете записа, получавате 3*x=0. А числото, умножено по 0, ще даде нула в продукта. Оказва се, че число, което би дало стойност, различна от нула в произведението с нула, не съществува. Това означава, че деленето на нула е безсмислено, тоест отговаря на нашето правило.
Но какво ще стане, ако се опитате да разделите нулата сама по себе си? Да вземем х като някакво неопределено число. Оказва се, че уравнението 0 * x \u003d 0. Може да се реши.
Ако се опитаме да вземем нула вместо x, получаваме 0:0=0. Ще изглежда логично? Но ако се опитаме да вземем някое друго число вместо x, например 1, тогава в крайна сметка ще получим 0:0=1. Същата ситуация ще бъде, ако вземете друг номер и включете го в уравнението.
В този случай се оказва, че можем да вземем всяко друго число като фактор. Резултатът ще бъде безкраен брой различни числа. Понякога, въпреки това, делението на 0 във висшата математика има смисъл, но тогава обикновено има определено условие, поради което все пак можем да изберем едно подходящо число. Това действие се нарича "разкриване на несигурност". В обикновената аритметика деленето на нула отново ще загуби смисъла си, тъй като няма да можем да изберем нито едно число от множеството.
Важно!Нулата не може да се дели на нула.
Нула и безкрайност
Безкрайността е много често срещана във висшата математика. Тъй като за учениците просто не е важно да знаят, че все още има математически операции с безкрайност, учителите не могат правилно да обяснят на децата защо е невъзможно да се раздели на нула.
Студентите започват да изучават основните математически тайни едва през първата година на института. Висшата математика предоставя голям набор от проблеми, които нямат решение. Най-известните проблеми са проблемите с безкрайността. Те могат да бъдат решени с математически анализ.
Можете да приложите и за безкрайност елементарни математически операции:събиране, умножение по число. Изваждане и деление също се използват често, но в крайна сметка те се свеждат до две прости операции.
Почти всички ученици знаят простото аритметично правило „Не можете да разделите на нула!“ и никой от тях не се чуди защо е невъзможно да се извърши такава математическа операция като деление на нула.
Нека се опитаме да анализираме този аритметичен принцип. Делението е една от познатите ни аритметични операции – събиране, изваждане, умножение и деление. Изваждането е обратното на събирането, деленето е обратното на умножението. Използвайки тези действия, можете да проверите правилността на решението на задачите, но тези аритметични операции не са равни. От гледна точка на математическата наука, само събирането и умножението, които са включени в определението на понятието числа, са пълноценни от четирите операции. Останалите операции - изваждане и деление - следват и се основават на първите две.
Помислете за пример с изваждане. Какво означава разликата между две числа, например "3-2"? Дори по-малък ученик ще каже, че от числото "3" изваждаме числото "2" и получаваме "1". Математиците обаче виждат решението на този прост пример по съвсем различен начин: няма изваждане, има само едно действие – събиране. Записът "3-2" е число, което, когато се добави към числото "2", ще даде "3". Математическият запис на тази задача има формата на уравнение с едно неизвестно "x" и изглежда така: "x+2=3". Както виждаме, няма изваждане, а операцията събиране ни позволява да намерим подходящо неизвестно число.
Под същото "сос" разделение може да се разглежда. Например, "10:5" може да се разглежда по следния начин: десет ябълки са разделени на пет деца. Ако това действие се представи така, както го виждат истинските математици, получаваме следния запис: "5 × x = 10."
Сега нека се опитаме да извършим действието на разделяне, но само с нула. Например, записът "2:0" може да бъде представен като уравнение с неизвестно: "0 × x = 2". С други думи, трябва да намерим такова число, като умножим по "0", получаваме "2". Тук възниква основната трудност: присъщото свойство на „0“ влиза в сила - когато умножите произволно число по „0“, винаги получавате „0“. Тоест в аритметиката няма такова число, което при умножение по "0" да даде число, различно от нула. Това означава, че нашият проблем няма решение. Нотацията "a: 0" (където a е всяко число, различно от нула) е безсмислено, така че в математиката въпросът " Защо не можете да разделите на нула ” демонстрира едно от основните свойства на това „неопределено” число.
Защо нулата не може да се раздели на нула?
Доказахме, че всяко число не може да бъде разделено на нула. Но какво да кажем за самата нула - може ли "0" да се раздели на "0"? В крайна сметка, ако представим деление на нула чрез умножение: „0 × x = 0“, тогава примерът е решен, тъй като умножаването по „0“ е разрешено. Нека x=0, тогава нашето уравнение има следния вид: 0×0=0. Оказва се, че можете да извършите такова действие като: 0:0=0? Нека се опитаме да разрешим това объркване. Вместо неизвестното число "x", нека вземем произволно число, например "2". Получаваме "0×2=0". Добре? Значи изразът "0:0=2" има смисъл? Но се оказва, че такова действие може да се извърши с всякакви числа: 0:0=10, 0:0=350, 0:0=10259...
Ако някои числа са подходящи за извършване на действието на деление на нула, тогава няма смисъл да избираме някое от тях. Това означава, че няма да можем категорично да кажем кое от съществуващите числа отговаря на записа "0:0". От това следва неговата безсмисленост и се оказва, че нулата не може да се дели на нула!
Това е такава особеност на операцията за деление на нула, или по-скоро на операцията за умножение.
Някои любознателни може да си зададат въпроса: защо е невъзможно да се раздели на нула, но можете да го извадите? На този въпрос може да се отговори, само че обяснението вече не е свързано с числата, а с математически множества и операции върху тях, които се изучават в университетския курс по математика.
Как да обясним на дете защо е невъзможно да се раздели на нула?
Детските въпроси са най-трудни за възрастните. Понякога е много трудно да се намери отговор на тях и е просто невъзможно да се отговори по достъпен за детето начин.
Този въпрос също е свързан с въпроса Защо не можете да разделите на нула? “, отговорът, на който дори възрастните не знаят - просто така са ги учили в училище и никой не е мислил за отговора.
Да започнем просто. Математиката като наука се роди много отдавна. За да могат по някакъв начин да се справят, нашите предци са измислили числа, които означават нещо. Само нула не означаваше "нищо", т.е. празнота. Например, имате 5 пастели, ако дадете всичките 5 пастели на приятел, тогава няма да ви остане нищо, т.е. нула.
Сега за деление на нула. Ако разделението се представи като нож, който нарязва всичко на равни парчета, тогава цялото може да бъде разделено на две, три, четири... и т.н. равни части. Невъзможно е обаче да се раздели нещо на нула еднакви части, защото те просто не съществуват.
