หากคุณเปรียบเทียบวงกลมที่มีขนาดต่างกัน คุณจะสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้: ขนาดของวงกลมที่แตกต่างกันนั้นเป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเพิ่มขึ้นตามจำนวนครั้ง ความยาวของวงกลมนี้ก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเท่าเดิมด้วย ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

ค 1		ค 2
	=
ง 1		ง 2	(1)

โดยที่ C1 และ C2 คือความยาวของวงกลมสองวงที่แตกต่างกัน และ d1 และ d2 คือเส้นผ่านศูนย์กลาง
ความสัมพันธ์นี้ทำงานโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน - ค่าคงที่πที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว จากความสัมพันธ์ (1) เราสามารถสรุปได้ว่า: ความยาวของวงกลม C เท่ากับผลคูณของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้และค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน π โดยไม่ขึ้นกับวงกลม:

ค = π ง.

สูตรนี้สามารถเขียนในรูปแบบอื่นได้ โดยแสดงเส้นผ่านศูนย์กลาง d ถึงรัศมี R ของวงกลมที่กำหนด:

ซ = 2π อาร์

สูตรนี้เป็นแนวทางสู่โลกแห่งแวดวงสำหรับนักเรียนระดับประถม 7 อย่างแน่นอน

ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนพยายามสร้างคุณค่าของค่าคงที่นี้ ตัวอย่างเช่น ชาวเมโสโปเตเมียคำนวณพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตร:

π = 3 มาจากไหน?

ใน อียิปต์โบราณค่าของ π นั้นแม่นยำกว่า ในปี 2000-1700 ปีก่อนคริสตกาล อาลักษณ์ชื่ออาห์มส์ได้รวบรวมกระดาษปาปิรัสซึ่งเราค้นหาสูตรสำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาพื้นที่ของวงกลม เขาจึงใช้สูตรดังนี้

			8			2
ส	=	(		ง	)
			9

เขาได้สูตรนี้มาจากเหตุใด? – ไม่ทราบ. อย่างไรก็ตาม อาจอิงจากการสังเกตของเขา เช่นเดียวกับนักปรัชญาโบราณคนอื่นๆ

ตามรอยเท้าของอาร์คิมีดีส

ตัวเลขสองตัวใดมากกว่า 22/7 หรือ 3.14
- พวกเขาเท่าเทียมกัน
- ทำไม?
- แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ π.
เอ.เอ. วลาซอฟ จากบัตรสอบ

บางคนเชื่อว่าเศษส่วน 22/7 และจำนวน π นั้นเท่ากัน แต่นี่เป็นความเข้าใจผิด นอกจากคำตอบที่ไม่ถูกต้องข้างต้นในการสอบ (ดูคำบรรยาย) คุณยังสามารถเพิ่มปริศนาที่สนุกสนานให้กับกลุ่มนี้ได้ งานอ่านว่า: "จัดการแข่งขันหนึ่งนัดเพื่อให้ความเท่าเทียมเป็นจริง"

วิธีแก้ปัญหาคือ: คุณต้องสร้าง "หลังคา" สำหรับการจับคู่แนวตั้งสองรายการทางด้านซ้าย โดยใช้การจับคู่แนวตั้งอันใดอันหนึ่งในตัวส่วนทางด้านขวา มันจะได้ผล ภาพที่เห็นตัวอักษร π.

หลายคนรู้ว่าการประมาณ π = 22/7 ถูกกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ อาร์คิมีดีส เพื่อเป็นเกียรติแก่สิ่งนี้ การประมาณนี้จึงมักเรียกว่าหมายเลข "อาร์คิมีดีน" อาร์คิมิดีสไม่เพียงแต่สร้างค่าโดยประมาณสำหรับ π เท่านั้น แต่ยังค้นหาความแม่นยำของการประมาณนี้ด้วย กล่าวคือ เพื่อค้นหาช่วงตัวเลขที่แคบซึ่งมีค่า π อยู่ด้วย ในผลงานชิ้นหนึ่งของเขา อาร์คิมิดีสได้พิสูจน์ห่วงโซ่ของความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งในรูปแบบสมัยใหม่จะมีลักษณะดังนี้:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

สามารถเขียนได้ง่ายขึ้น: 3,140 909< π < 3,1 428 265...

ดังที่เราเห็นจากความไม่เท่าเทียมกัน อาร์คิมิดีสพบว่าค่อนข้างมาก ค่าที่แน่นอนด้วยความแม่นยำ 0.002 สิ่งที่น่าประหลาดใจที่สุดคือเขาพบทศนิยมสองตำแหน่งแรก: 3.14... นี่คือค่าที่เรามักใช้ในการคำนวณง่ายๆ

การใช้งานจริง

คนสองคนกำลังเดินทางด้วยรถไฟ:
- ดูสิ รางก็ตรง ล้อก็กลม
เสียงเคาะมาจากไหน?
- จากที่ไหน? ล้อจะกลมแต่เป็นพื้นที่
วงกลม จัตุรัสพายเอ้อ นั่นคือจัตุรัสที่เคาะ!

ตามกฎแล้วพวกเขาจะคุ้นเคยกับตัวเลขที่น่าทึ่งนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6-7 แต่จะศึกษาให้ละเอียดยิ่งขึ้นเมื่อจบชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ในบทความนี้ เราจะนำเสนอสูตรพื้นฐานและสำคัญที่สุดซึ่งจะเป็นประโยชน์กับคุณในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต แต่ก่อนอื่น เราจะตกลงที่จะใช้ π เป็น 3.14 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

บางทีสูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในหมู่เด็กนักเรียนที่ใช้ π ก็คือสูตรสำหรับความยาวและพื้นที่ของวงกลม ประการแรกสูตรสำหรับพื้นที่วงกลมเขียนดังนี้:

	π ดี 2
ส=π ร 2 =
	4

โดยที่ S คือพื้นที่ของวงกลม R คือรัศมีของมัน D คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

เส้นรอบวงของวงกลมหรือที่บางครั้งเรียกว่าเส้นรอบวงของวงกลม คำนวณโดยสูตร:

ค = 2 π R = π ง,

โดยที่ C คือเส้นรอบวง R คือรัศมี d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

เห็นได้ชัดว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง d เท่ากับสองรัศมี R

จากสูตรเส้นรอบวง คุณสามารถหารัศมีของวงกลมได้โดยง่าย:

โดยที่ D คือเส้นผ่านศูนย์กลาง C คือเส้นรอบวง R คือรัศมีของวงกลม

นี่เป็นสูตรพื้นฐานที่นักเรียนทุกคนควรรู้ นอกจากนี้บางครั้งก็จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ไม่ใช่ของวงกลมทั้งหมด แต่เพียงส่วนหนึ่งของมันเท่านั้น - เซกเตอร์ ดังนั้นเราจึงนำเสนอให้คุณ - สูตรการคำนวณพื้นที่ของวงกลม เธอมีลักษณะเช่นนี้:

			α
ส	=	พาย อาร์ 2
			360 ˚

โดยที่ S คือพื้นที่ของเซกเตอร์, R คือรัศมีของวงกลม, α คือมุมที่ศูนย์กลางเป็นองศา

ลึกลับมาก 3.14

แท้จริงแล้วมันเป็นเรื่องลึกลับ เพราะเพื่อเป็นเกียรติแก่สิ่งเหล่านี้ ตัวเลขมหัศจรรย์พวกเขาจัดวันหยุด ถ่ายทำภาพยนตร์ จัดกิจกรรมสาธารณะ เขียนบทกวี และอื่นๆ อีกมากมาย

ตัวอย่างเช่น ในปี 1998 ภาพยนตร์ของผู้กำกับชาวอเมริกัน ดาร์เรน อาโรนอฟสกี เรื่อง "Pi" ออกฉาย ภาพยนตร์เรื่องนี้ได้รับรางวัลมากมาย

ทุกปีในวันที่ 14 มีนาคม เวลา 01:59:26 น. ผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์จะเฉลิมฉลอง "วันพาย" วันหยุดนี้คนเตรียมเค้กกลมนั่งทานกัน โต๊ะกลมและหารือเกี่ยวกับ Pi และแก้ปัญหาและปริศนาที่เกี่ยวข้องกับ Pi

กวีก็ให้ความสนใจกับตัวเลขที่น่าทึ่งนี้เช่นกัน โดยบุคคลที่ไม่รู้จักเขียนว่า:
คุณเพียงแค่ต้องพยายามจดจำทุกอย่างเหมือนเดิม - สาม, สิบสี่, สิบห้า, เก้าสิบสองและหก

มาสนุกกันเถอะ!

เราขอเสนอปริศนาที่น่าสนใจพร้อมตัวเลข Pi เปิดเผยคำที่ถูกเข้ารหัสด้านล่าง

1. π ร

2. π ล

3. π เค

คำตอบ: 1. งานฉลอง; 2. ไฟล์; 3. รับสารภาพ

วันนี้เป็นวันเกิดของพี่ ซึ่งตรงกับวันที่ 14 มีนาคม เวลา 1 ชั่วโมง 59 นาทีในช่วงบ่าย สิ่งนี้เชื่อมโยงกับค่า Pi ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: เราทุกคนคุ้นเคยกับการพิจารณาค่าคงที่นี้เป็น 3.14 แต่ตัวเลขสามารถต่อได้ดังนี้: 3, 14159... เมื่อแปลสิ่งนี้เป็นวันที่ในปฏิทินเราจะได้ 03.14, 1: 59.

ภาพถ่าย: “AiF/ Nadezhda Uvarova”

ศาสตราจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์และ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ South Ural Vladimir Zalyapin กล่าวว่า "วัน Pi" ยังคงควรถือเป็นวันที่ 22 กรกฎาคม เนื่องจากในรูปแบบวันที่ของยุโรปวันนี้เขียนเป็น 22/7 และค่าของเศษส่วนนี้จะเท่ากับค่าของ Pi โดยประมาณ

“ประวัติของตัวเลขที่ให้อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้นย้อนกลับไปในสมัยโบราณ” Zalyapin กล่าว - ชาวสุเมเรียนและชาวบาบิโลนรู้อยู่แล้วว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและเป็นค่าคงที่ การกล่าวถึงหมายเลข Pi ครั้งแรกสามารถพบได้ในข้อความ Ahmes อาลักษณ์ชาวอียิปต์(ประมาณ 1,650 ปีก่อนคริสตกาล) ชาวกรีกโบราณที่ยืมมาจากชาวอียิปต์เป็นจำนวนมากมีส่วนในการพัฒนาปริมาณลึกลับนี้ ตามตำนานกล่าวว่า อาร์คิมีดีสถูกครอบงำด้วยการคำนวณจนเขาไม่สังเกตว่าทหารโรมันจับตัวเขาไปได้อย่างไร บ้านเกิดซีราคิวส์ เมื่อทหารโรมันเข้ามาหาเขา อาร์คิมิดีสก็ตะโกนเป็นภาษากรีกว่า “อย่าแตะต้องแวดวงของฉัน!” ทหารจึงแทงเขาด้วยดาบ

เพลโตได้รับค่า Pi ที่แม่นยำสำหรับเวลาของเขา - 3.146 ลุดอล์ฟ ฟาน ไซเลนค่าใช้จ่าย ที่สุดชีวิตของเขากำลังคำนวณทศนิยม 36 ตำแหน่งแรกของปี่ และสิ่งเหล่านี้ก็ถูกจารึกไว้บนหลุมศพของเขาหลังจากการตายของเขา”

ไม่มีเหตุผลและผิดปกติ

ตามที่ศาสตราจารย์ระบุตลอดเวลาว่าการแสวงหาการคำนวณตำแหน่งทศนิยมใหม่นั้นถูกกำหนดโดยความปรารถนาที่จะได้ค่าที่แน่นอนของตัวเลขนี้ สันนิษฐานว่าพายมีเหตุผลและสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ และนี่เป็นความผิดขั้นพื้นฐาน!

เลขพายก็เป็นที่นิยมเช่นกันเพราะว่ามันลึกลับ ตั้งแต่สมัยโบราณมีศาสนาของผู้นับถือมาโดยตลอด นอกจาก ความหมายดั้งเดิมไพ เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ (3.1415...) ซึ่งแสดงถึงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม มีความหมายอื่นๆ มากมายของตัวเลข ข้อเท็จจริงดังกล่าวน่าสนใจ ในกระบวนการวัดขนาดของมหาพีระมิดแห่งกิซ่า ปรากฎว่ามีอัตราส่วนความสูงต่อเส้นรอบวงฐานเท่ากันกับรัศมีของวงกลมต่อความยาวของมัน นั่นคือ ½ Pi

หากคุณคำนวณความยาวของเส้นศูนย์สูตรของโลกโดยใช้ Pi ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 9 ข้อผิดพลาดในการคำนวณจะอยู่ที่ประมาณ 6 มม. เท่านั้น ทศนิยมสามสิบเก้าตำแหน่งใน Pi นั้นเพียงพอที่จะคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมรอบวัตถุจักรวาลที่รู้จักในจักรวาล โดยมีข้อผิดพลาดไม่เกินรัศมีของอะตอมไฮโดรเจน!

การศึกษา Pi ยังรวมถึงการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย ภาพถ่าย: “AiF/ Nadezhda Uvarova”

ความวุ่นวายในตัวเลข

ตามที่ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์กล่าวไว้ในปี พ.ศ. 2310 แลมเบิร์ตสร้างความไร้เหตุผลของจำนวน Pi นั่นคือความเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนมันเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว ซึ่งหมายความว่าลำดับทศนิยมของ Pi นั้นมีความโกลาหลที่รวมอยู่ในตัวเลข กล่าวอีกนัยหนึ่ง “ส่วนท้าย” ของตำแหน่งทศนิยมประกอบด้วยตัวเลข ลำดับของตัวเลข ข้อความใดๆ ที่เคยเป็น และจะเป็น แต่ไม่สามารถดึงข้อมูลนี้ได้!

“เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบมูลค่าที่แท้จริงของ Pi” Vladimir Ilyich กล่าวต่อ - แต่ความพยายามเหล่านี้ไม่ได้ถูกละทิ้ง ในปี 1991 ชุดนอฟสกี้บรรลุทศนิยมใหม่ถึง 2260000000 ตำแหน่ง และในปี 1994 - 4044000000 หลังจากนั้น จำนวนหลักที่ถูกต้องของ Pi ก็เพิ่มขึ้นราวกับหิมะถล่ม”

จีนครองสถิติโลกท่องจำพายได้ หลิวเฉาซึ่งสามารถจดจำทศนิยม 67,890 ตำแหน่งได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดและทำซ้ำได้ภายใน 24 ชั่วโมง 4 นาที

เกี่ยวกับ “อัตราส่วนทองคำ”

อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ระหว่าง “พาย” กับปริมาณที่น่าทึ่งอีกปริมาณหนึ่ง นั่นคืออัตราส่วนทองคำ ยังไม่ได้รับการพิสูจน์จริงๆ ผู้คนสังเกตมานานแล้วว่าสัดส่วน "สีทอง" หรือที่เรียกว่าตัวเลข Phi และตัวเลข Pi หารด้วย 2 ต่างกันน้อยกว่า 3% (1.61803398... และ 1.57079632...) อย่างไรก็ตาม สำหรับคณิตศาสตร์ สามเปอร์เซ็นต์นี้มีความแตกต่างที่มีนัยสำคัญเกินกว่าจะพิจารณาว่าค่าเหล่านี้เหมือนกัน ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดได้ว่าเลขไพและเลขพีเป็นญาติของค่าคงที่ที่รู้จักกันดีอีกค่าหนึ่ง นั่นคือเลขออยเลอร์ เนื่องจากรากของค่านั้นมีค่าเกือบครึ่งหนึ่งของเลขพาย หนึ่งวินาที Pi คือ 1.5708, Phi คือ 1.6180, รากของ E คือ 1.6487

นี่เป็นเพียงส่วนหนึ่งของค่า Pi รูปถ่าย: ภาพหน้าจอ

วันเกิดพี่

ในเซาท์อูราล มหาวิทยาลัยของรัฐวันเกิดของ Constant มีการเฉลิมฉลองโดยครูและนักเรียนคณิตศาสตร์ทุกคน มันเป็นแบบนี้มาโดยตลอด - ไม่สามารถพูดได้ว่าความสนใจปรากฏเฉพาะในเท่านั้น ปีที่ผ่านมา. หมายเลข 3.14 ได้รับการต้อนรับเป็นพิเศษ คอนเสิร์ตรื่นเริง!

ตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อระบุ รากที่สอง. หากต้องการระบุเศษส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่มีประโยชน์:

สำหรับ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ค้นหาที่จุดตัดของเส้นที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรามองหาคอลัมน์ที่มีส่วนหัวของไซน์ (ไซน์) และค้นหาจุดตัดของคอลัมน์ตารางนี้มีแถว "30 องศา" ที่จุดตัดของพวกเขาเราจะอ่านผลลัพธ์ - ครึ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราก็พบว่า โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin และเส้น 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ ก็พบในลักษณะเดียวกัน

ไซน์พาย โคไซน์พาย แทนเจนต์พาย และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางด้านล่างของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็น ให้ไว้เป็นเรเดียน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi แสดงถึงการพึ่งพาเส้นรอบวงอย่างชัดเจน การวัดระดับมุม. ดังนั้น ไพ เรเดียน จึงเท่ากับ 180 องศา

จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็นรูปพาย (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ปี่.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้นไซน์ของพายจึงเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้นโคไซน์ของพายจึงเหมือนกับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ pi จึงเหมือนกับแทนเจนต์ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าทั่วไป)

ค่ามุม α (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน (ผ่านพี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	กะรัต (โคแทนเจนต์)	วินาที (ตัด)	โคเซค (โคซีแคนต์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	พาย/12			2 - √3	2 + √3
30	พาย/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	พาย/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	พาย/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการระบุเส้นประแทนค่าฟังก์ชัน (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) หมายความว่าเมื่อใด มูลค่าที่กำหนดการวัดระดับของฟังก์ชันมุมไม่มีค่าเฉพาะ หากไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้สอบถามเข้ามาหาเราและเสริมตารางด้วยค่าใหม่ แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ ปัญหา.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมยอดนิยม
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข “ตามตาราง Bradis”)

มุม α ค่า (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน	บาป (ไซน์)	คอส (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	CTG (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

หนึ่งในตัวเลขที่ลึกลับที่สุด มนุษยชาติรู้จักแน่นอนว่าคือตัวเลข Π (อ่าน - pi) ในพีชคณิต ตัวเลขนี้สะท้อนถึงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ก่อนหน้านี้ปริมาณนี้เรียกว่าเลขลุดอล์ฟ ไม่ทราบแน่ชัดว่าหมายเลข Pi มาจากไหนและอย่างไร แต่นักคณิตศาสตร์แบ่งประวัติศาสตร์ทั้งหมดของตัวเลขΠออกเป็น 3 ช่วง: โบราณ คลาสสิก และยุค คอมพิวเตอร์ดิจิทัล.

จำนวน P นั้นไม่ลงตัว กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ โดยที่ตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นตัวเลขดังกล่าวจึงไม่มีที่สิ้นสุดและเป็นงวดๆ ความไร้เหตุผลของ P ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย I. Lambert ในปี 1761

นอกจากคุณสมบัตินี้แล้ว จำนวน P ยังไม่สามารถเป็นรากของพหุนามใดๆ ได้ ดังนั้นเมื่อพิสูจน์ในปี 1882 คุณสมบัติของจำนวน ก็ยุติข้อโต้แย้งที่เกือบศักดิ์สิทธิ์ในหมู่นักคณิตศาสตร์ "เกี่ยวกับการยกกำลังสองของวงกลม" ซึ่งกินเวลายาวนาน เป็นเวลา 2,500 ปี

เป็นที่ทราบกันดีว่า Briton Jones เป็นคนแรกที่แนะนำการกำหนดหมายเลขนี้ในปี 1706 หลังจากที่ผลงานของออยเลอร์ปรากฏ การใช้สัญลักษณ์นี้ก็เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป

เพื่อทำความเข้าใจในรายละเอียดว่าตัวเลข Pi คืออะไรนั้นควรจะกล่าวว่าการใช้งานนั้นแพร่หลายมากจนเป็นการยากที่จะตั้งชื่อสาขาวิทยาศาสตร์ที่จะทำโดยไม่มีมัน หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดและคุ้นเคยที่สุด หลักสูตรของโรงเรียนค่าคือการกำหนดช่วงเวลาทางเรขาคณิต อัตราส่วนของความยาวของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นคงที่และเท่ากับ 3.14 ค่านี้ทราบแล้ว ถึงนักคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดในอินเดีย กรีซ บาบิโลน อียิปต์ การคำนวณอัตราส่วนเวอร์ชันแรกสุดมีอายุย้อนกลับไปถึง 1900 ปีก่อนคริสตกาล จ. ใกล้กับ ความหมายที่ทันสมัย P คำนวณโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวจีน Liu Hui นอกจากนี้เขายังคิดค้นและ วิธีที่รวดเร็วการคำนวณดังกล่าว คุณค่าของมันยังคงเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปมาเกือบ 900 ปี

ยุคคลาสสิกในการพัฒนาคณิตศาสตร์นั้นถูกทำเครื่องหมายด้วยความจริงที่ว่าเพื่อกำหนดว่าจำนวน Pi คืออะไร นักวิทยาศาสตร์เริ่มใช้วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในช่วงทศวรรษที่ 1400 Madhava นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียใช้ทฤษฎีอนุกรมในการคำนวณและกำหนดระยะเวลาของ P ให้เหลือทศนิยมไม่เกิน 11 ตำแหน่ง ชาวยุโรปคนแรกหลังจากอาร์คิมิดีสผู้ศึกษาเลข P และมีส่วนสำคัญในการพิสูจน์คือชาวดัตช์ Ludolf van Zeilen ซึ่งกำหนดตัวเลข 15 หลักหลังจุดทศนิยมแล้วและในพินัยกรรมของเขาเขาเขียนคำที่สนุกสนานมาก: " ..ใครสนใจก็ให้เขาเดินหน้าต่อไป” เพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์คนนี้ที่หมายเลข P ได้รับชื่อแรกและชื่อเดียวในประวัติศาสตร์

ยุคของคอมพิวเตอร์คอมพิวเตอร์ได้นำรายละเอียดใหม่ๆ มาสู่ความเข้าใจในสาระสำคัญของตัวเลข P ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาว่าตัวเลข Pi คืออะไร ในปี 1949 จึงมีการใช้คอมพิวเตอร์ ENIAC เป็นครั้งแรก หนึ่งในนักพัฒนาคือ อนาคต “บิดา” แห่งทฤษฎีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ เจ. การวัดครั้งแรกใช้เวลากว่า 70 ชั่วโมง และให้เลข 2,037 หลักหลังจุดทศนิยมในช่วงเวลาของเลข P ซึ่งถึงหลักล้านหลักในปี พ.ศ. 2516 นอกจากนี้ในช่วงเวลานี้ได้มีการกำหนดสูตรอื่นที่สะท้อนถึงตัวเลข P ดังนั้นพี่น้อง Chudnovsky จึงสามารถหาสูตรที่ทำให้สามารถคำนวณ 1,011,196,691 หลักในช่วงเวลานั้นได้

โดยทั่วไปควรสังเกตว่าเพื่อที่จะตอบคำถาม: "Pi คืออะไร" การศึกษาจำนวนมากเริ่มมีลักษณะคล้ายกับการแข่งขัน ปัจจุบัน ซูเปอร์คอมพิวเตอร์กำลังตอบคำถามว่าจำนวนจริงของ Pi คืออะไร ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาวิจัยเหล่านี้แทรกซึมอยู่ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด

ยกตัวอย่างวันนี้มีการจัดการแข่งขันชิงแชมป์โลกในการจำเลข P และบันทึกสถิติโลก รายการสุดท้ายเป็นของหลิวเฉาชาวจีนผู้ตั้งชื่อตัวอักษรได้ 67,890 ตัวในเวลาเพียงวันเดียว ในโลกนี้ยังมีวันหยุดของเลข P ซึ่งเรียกว่า "วันพาย"

ในปี 2554 มีการกำหนดระยะเวลาจำนวน 10 ล้านล้านหลักแล้ว

เมื่อเร็ว ๆ นี้เกี่ยวกับHabréในบทความหนึ่ง พวกเขากล่าวถึงคำถาม "จะเกิดอะไรขึ้นกับโลกถ้าจำนวน Pi เท่ากับ 4" ฉันตัดสินใจคิดเกี่ยวกับหัวข้อนี้เล็กน้อย โดยใช้ความรู้บางส่วน (แม้ว่าจะไม่ครอบคลุมที่สุด) ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง ถ้าใครสนใจเชิญดูแมวได้นะครับ

หากต้องการจินตนาการถึงโลกเช่นนี้ คุณต้องเข้าใจพื้นที่ที่มีอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามทำ

ความพยายามครั้งที่ 1

สมมติว่าฉันจะพิจารณาเฉพาะช่องว่างสองมิติเท่านั้น ทำไม เนื่องจากที่จริงแล้ว วงกลมถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสองมิติ (หากเราพิจารณามิติ n>2 อัตราส่วนของการวัดวงกลม (n-1) ในมิติต่อรัศมีจะไม่คงที่ด้วยซ้ำ) .
ประการแรก ฉันพยายามหาช่องว่างอย่างน้อยโดยที่ Pi ไม่เท่ากับ 3.1415... เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ฉันจึงใช้พื้นที่เมตริกกับเมตริกซึ่งระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเท่ากับค่าสูงสุด ระหว่างโมดูลของความแตกต่างของพิกัด (เช่น ระยะทาง Chebyshev)

วงกลมหน่วยจะมีรูปแบบใดในพื้นที่นี้? สมมติว่าพิกัด (0,0) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ จากนั้นเซตของจุด ซึ่งเป็นระยะทาง (ในความหมายของหน่วยเมตริกที่กำหนด) ซึ่งถึงจุดศูนย์กลางคือ 1 จะเป็น 4 ส่วนขนานกับแกนพิกัด ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 2 และมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์

ใช่แล้ว ในบางหน่วยเมตริกมันเป็นวงกลม!

ลองคำนวณ Pi ตรงนี้ รัศมีเท่ากับ 1 ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางจึงเท่ากับ 2 คุณยังสามารถพิจารณาคำจำกัดความของเส้นผ่านศูนย์กลางว่าเป็นระยะทางที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างจุดสองจุด แต่ถึงกระนั้นก็ยังเท่ากับ 2 ยังคงต้องหาความยาวของ “วงกลม” ของเราในการวัดนี้ นี่คือผลรวมของความยาวของทั้งสี่ส่วน ซึ่งในเมตริกนี้มีความยาวสูงสุด (0,2)=2 ซึ่งหมายความว่าเส้นรอบวงคือ 4*2=8 แล้วพายตรงนี้ก็เท่ากับ 8/2=4 เกิดขึ้น! แต่เราควรมีความสุขมากไหม? ผลลัพธ์นี้แทบไม่มีประโยชน์เลย เนื่องจากพื้นที่ที่เป็นปัญหานั้นเป็นนามธรรมอย่างยิ่ง มุมและทางเลี้ยวไม่ได้ถูกกำหนดไว้ด้วยซ้ำ คุณลองจินตนาการถึงโลกที่การหมุนไม่ได้ถูกกำหนดไว้จริงๆ และที่ที่วงกลมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฉันพยายามจริงๆ แต่ฉันไม่มีจินตนาการเพียงพอ

รัศมีคือ 1 แต่มีปัญหาบางประการในการค้นหาความยาวของ "วงกลม" นี้ หลังจากค้นหาบนอินเทอร์เน็ตฉันก็ได้ข้อสรุปว่าในอวกาศหลอกยุคลิดเช่นแนวคิด "Pi" ไม่สามารถกำหนดได้เลยซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ดีอย่างแน่นอน

หากมีคนในความคิดเห็นบอกฉันถึงวิธีคำนวณความยาวของเส้นโค้งในปริภูมิหลอก - ยุคลิดอย่างเป็นทางการ ฉันจะดีใจมากเพราะความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โทโพโลยี (รวมถึง Googling ที่ขยันขันแข็ง) ของฉันยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งนี้

ข้อสรุป:

ฉันไม่รู้ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียนเกี่ยวกับข้อสรุปหลังจากการศึกษาระยะสั้นดังกล่าว แต่มีบางอย่างที่สามารถพูดได้ ประการแรก เมื่อฉันพยายามจินตนาการถึงอวกาศด้วยจำนวนพายที่แตกต่างกัน ฉันรู้ว่ามันจะเป็นนามธรรมเกินไปที่จะเป็นแบบจำลองของโลกแห่งความเป็นจริง ประการที่สอง เมื่อคุณพยายามสร้างโมเดลที่ประสบความสำเร็จมากขึ้น (คล้ายกับของเรา โลกแห่งความจริง) ปรากฎว่า Pi ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หากเราคำนึงถึงความเป็นไปได้ของระยะกำลังสองที่เป็นลบ (ซึ่งสำหรับ คนธรรมดา- ไร้สาระ) ถ้าอย่างนั้น Pi จะไม่ถูกกำหนดเลย! ทั้งหมดนี้ชี้ให้เห็นว่าบางทีโลกที่มีหมายเลข Pi ต่างกันอาจไม่มีอยู่จริงเลย ไม่ใช่เพื่ออะไรที่จักรวาลจะเป็นอย่างที่มันเป็น หรือบางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริง แต่คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และจินตนาการของมนุษย์ทั่วไปยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งนี้ คุณคิดอย่างไร?

อัปเดตฉันรู้อย่างแน่นอน ความยาวของเส้นโค้งในปริภูมิหลอก-ยุคลิดสามารถกำหนดได้บนปริภูมิแบบยุคลิดเพียงบางปริภูมิเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ "เส้นรอบวง" ที่ได้รับในความพยายาม N3 แนวคิดเช่น "ความยาว" ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เลย ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณ Pi ที่นั่นได้เช่นกัน