สัมผัสกันเป็นวงกลม เพื่อนรัก! ฐานของงานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มของปัญหาที่เงื่อนไขเกี่ยวข้องกับแทนเจนต์และทำให้เกิดคำถามในการคำนวณมุม งานเหล่านี้ง่ายมาก ทฤษฎีเล็กน้อย:
แทนเจนต์ของวงกลมคืออะไร?
สิ่งสำคัญคือต้องจำคุณสมบัติพื้นฐานอย่างหนึ่งของแทนเจนต์:
ในปัญหาที่นำเสนอ มีการใช้คุณสมบัติเพิ่มเติมอีกสองประการที่เกี่ยวข้องกับมุม:
1. ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 360 0 รายละเอียดเพิ่มเติม
2. จำนวนเงิน มุมที่คมชัดของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 90 0
พิจารณางาน:
27879 ผ่านจุดสิ้นสุด กและ บีส่วนโค้งของวงกลมที่ 62 0 แทนเจนต์จะถูกวาดขึ้นมา เอ.ซี.และ บี.ซี.. หามุม เอซีบี. ให้คำตอบเป็นองศา
ว่ากันว่าองศาของส่วนโค้ง AB ตรงกับ 62 องศา นั่นคือมุม AOB เท่ากับ 62 0 .
วิธีแรก.
เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 360 0
วิธีที่สอง.
ในรูปสามเหลี่ยม ABC เราสามารถหามุม ABC และ BAC ได้ ลองใช้คุณสมบัติแทนเจนต์กัน
เนื่องจาก BC เป็นแทนเจนต์ มุม OBC จึงเท่ากับ 90 0 ซึ่งหมายความว่า:
เช่นเดียวกัน
ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOB:
วิธี
ตามทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม:
คำตอบ: 118 0
27880. แทนเจนต์ ซี.เอ.และ ซี.บี.สร้างมุมให้กับวงกลม เอซีบีเท่ากับ 122 0 ค้นหาขนาดของส่วนโค้งไมเนอร์ เอบีหดตัวตามจุดสัมผัส ให้คำตอบเป็นองศา
งานนี้ตรงกันข้ามกับงานก่อนหน้า จำเป็นต้องหามุม AOB
เนื่องจาก BC และ AC สัมผัสกัน ดังนั้นด้วยคุณสมบัติแทนเจนต์:
เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 360 0 .
ใน OASV รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเรารู้สามมุม เราสามารถหามุมที่สี่ได้:
คำตอบ: 58
27882. มุม เอซีโอเท่ากับ 28 0 โดยที่ โอ- ศูนย์กลางของวงกลม ข้างเขา ซี.เอ.สัมผัสวงกลม ค้นหาขนาดของส่วนโค้งไมเนอร์ เอบีวงกลมที่อยู่ในมุมนี้ ให้คำตอบเป็นองศา
ค่าระดับของส่วนโค้งสอดคล้องกับมุม AOS นั่นคือ ปัญหาอยู่ที่การหามุม AOC ในสามเหลี่ยมมุมฉาก OCA สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจาก AC เป็นแทนเจนต์ และมุมระหว่างแทนเจนต์กับรัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์คือ 90 องศา
ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมแหลมจะเท่ากับ 90 0 ซึ่งหมายความว่า:
คำตอบ: 62
27883. หามุม เอซีโอถ้าอยู่เคียงข้างเขา ซี.เอ.สัมผัสวงกลม โอเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ ส่วนโค้งใหญ่ ค.ศวงกลมที่อยู่ภายในมุมนี้มีค่าเท่ากับ 116 0 ให้คำตอบเป็นองศา
ว่ากันว่ามีส่วนโค้ง ค.ศวงกลมที่อยู่ภายในมุม ASO เท่ากับ 116 0 นั่นคือมุม DOA เท่ากับ 116 0 สามเหลี่ยม OCA เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
มุม AOC และ DOA อยู่ติดกัน นั่นคือผลรวมเท่ากับ 180 0 ซึ่งหมายความว่า:
มุมที่ต้องการคือ:
คำตอบ: 26
บทเรียนเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 UMK L.S. Atanasyan
โรงเรียนมัธยม MBOU Verkhlichskaya เขต Krasnogorsk ภูมิภาค Bryansk
ครู: Strugovets Elena Vasilievna
หัวข้อบทเรียน:มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ด
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างแทนเจนต์กับคอร์ด ช่วยให้นักเรียนพัฒนาความสามารถในการประยุกต์ทฤษฎีบทที่เรียนมาในการแก้ปัญหา
งาน:
จัดระบบความรู้ของนักเรียนในส่วนของ planimetry “มุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลม” สร้างเงื่อนไขที่มีความหมายและเป็นองค์กรสำหรับเด็กนักเรียนเพื่อใช้ความรู้ที่ซับซ้อนในการแก้ปัญหา
พัฒนาความสัมพันธ์ส่วนตัวและความหมายของนักเรียนกับวิชาที่กำลังศึกษา มีส่วนร่วมในการจัดตั้งส่วนรวมและ งานอิสระพัฒนาความสามารถในการแสดงความคิดของคุณอย่างชัดเจนและชัดเจน
เพื่อปลูกฝังให้นักเรียนสนใจในเรื่องนี้ผ่านงานสร้างสรรค์ร่วมกัน พัฒนาความสามารถในการสร้างทางเรขาคณิตและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องและมีความสามารถ
อุปกรณ์:
ตารางเฉพาะเรื่องการนำเสนอ
บัตรทดสอบและคำตอบ
ในระหว่างเรียน
เวลาจัดงาน. (1 นาที)
ตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียนและทำเครื่องหมายผู้ที่ขาดเรียน
การตั้งเป้าหมาย (2 นาที)
จดวันที่และหัวข้อของบทเรียนลงในสมุดบันทึก ในบทเรียนนี้ เราจะทบทวนความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “มุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลม” มาพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างแทนเจนต์กับคอร์ด และเรียนรู้วิธีประยุกต์ทฤษฎีบทนี้ในการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ
อัพเดทความรู้. (7 นาที)
การเขียนตามคำบอก (ตามด้วยการทดสอบ) จบประโยคที่คุณอ่าน
มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลม เรียกว่า... (จารึกไว้)
มุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลมคือ ... (ศูนย์กลาง)
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า... (คอร์ด)
คอร์ดวงกลมที่ใหญ่ที่สุดคือ ... (เส้นผ่านศูนย์กลาง)
การวัดส่วนโค้งเท่ากับการวัด ... (มุมที่ศูนย์กลาง)
เส้นตรงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับวงกลม เรียกว่า... (แทนเจนต์)
แทนเจนต์ของวงกลมและรัศมีที่ลากไปยังจุดที่สัมผัสกันนั้นสัมพันธ์กัน... (ตั้งฉาก)
เส้นตรงที่มีจุดร่วมสองจุดกับวงกลมเรียกว่า... (เส้นตัด)
มุมที่จารึกไว้ทั้งหมดตามเส้นผ่านศูนย์กลาง ... (ขวา)
มุมที่เกิดจากสองแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดร่วมจุดเดียวเรียกว่า ... (จำกัดวง)
2) แก้ไขปัญหาตามแบบ
3) การแก้ปัญหา
มุมที่ศูนย์กลาง AOB นั้นมากกว่ามุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้ง AB 30 0 ค้นหาแต่ละมุมเหล่านี้
ตอบ.30 0 ; 60 0 .
ตอบ.50 0 .
IV . การพิสูจน์ทฤษฎีบท.(5 นาที)
เรารู้ว่ามุมที่จารึกไว้นั้นวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่ ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างแทนเจนต์กับคอร์ด
ทฤษฎีบท.
มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ดที่ผ่านจุดแทนเจนต์จะวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่อยู่ในนั้น
การพิสูจน์.
รูปที่ 1
อนุญาต เอบี-ให้คอร์ด เอสเอส 1
-
แทนเจนต์ผ่านจุดหนึ่ง ก.ถ้า เอบี-เส้นผ่านศูนย์กลาง (รูปที่ 1) จากนั้นปิดอยู่ภายในมุม คุณ(และนอกจากนี้ยังมี
มุม คุณ 1
)
ส่วนโค้งเป็นรูปครึ่งวงกลม ในทางกลับกัน มุม คุณและ คุณ 1
ในกรณีนี้มันเป็นเส้นตรง ดังนั้นทฤษฎีบทจึงเป็นจริง
รูปที่ 2
ปล่อยให้คอร์ดตอนนี้เอบี
ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง เพื่อความชัดเจนเราจะถือว่าจุดนั้นกับและ กับ
1
บนแทนเจนต์จะถูกเลือกเพื่อให้มุมประหยัด-
แหลมและแสดงด้วยตัวอักษร a ขนาดของส่วนโค้งที่อยู่ในนั้น (รูปที่ 2) มาวาดเส้นผ่านศูนย์กลางกันดีกว่าก
ดี
และสังเกตว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเอบี
ดี
สี่เหลี่ยมดังนั้นก
ดี
ใน= 90° - ดี
เอบี
=
คุณ,เพราะเป็นมุม. เอบีบีจารึกไว้แล้ว ก
ดี
ใน= และด้วยเหตุนี้ คุณ= . ดังนั้นมุม คุณ
ระหว่างแทนเจนต์เครื่องปรับอากาศและคอร์ด เอบี
วัดจากครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่อยู่ในนั้น
ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับมุมคุณ
1
.
แท้จริงแล้วมุมต่างๆคุณและ คุณ
1
-
ที่อยู่ติดกันดังนั้นคุณ
1
= 180-=. ในทางกลับกัน (360° - ) คือขนาดของส่วนโค้งก
ดี
ใน,
ล้อมรอบอยู่ภายในมุมคุณ
1
.
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
การแก้ปัญหาโดยใช้ภาพวาด (5 นาที)
1. ถ้า
2. ถ้า
วี. การแก้ปัญหาการออกแบบ (7 นาที)
1. ผ่านจุด ดี นอนอยู่ในรัศมีโอเอ วงกลมที่มีศูนย์กลางเกี่ยวกับ จะมีการดึงคอร์ดขึ้นมาดวงอาทิตย์ ตั้งฉากกับโอเอและผ่านจุดนั้น ใน แทนเจนต์ของวงกลมจะถูกวาดตัดกับเส้นตรง OA ที่จุดอี . พิสูจน์ว่ารังสีเวอร์จิเนีย- เส้นแบ่งครึ่ง
การพิสูจน์.
ABE=AB – ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างแทนเจนต์กับคอร์ด
ABC=AC – มุมที่จารึกไว้
AB=AC – คอร์ดเท่ากันมีส่วนโค้งเท่ากัน และคอร์ด AB และ AC เท่ากัน เนื่องจาก ABC เป็นหน้าจั่ว ดังนั้น ABE = ABC, คานเวอร์จิเนีย- เส้นแบ่งครึ่ง
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน. ( 3 นาที)
1. ในรูปสามเหลี่ยม ABC A=32 0 และ C=24 0 . วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด B จะผ่านจุด A ตัดกับ AC ที่จุด M, BC ที่จุดเอ็น. A เท่ากับอะไร? เอ็นม?
2. สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้
8. สรุป. การวิเคราะห์บทเรียนด้วยตนเอง (3 นาที)
การวิเคราะห์งานของนักเรียนในชั้นเรียน การทำเครื่องหมาย
การวิเคราะห์ตนเองตามความรู้ที่ได้รับ
ชื่อนักเรียน: _______________________________________
|
ทักษะใดบ้างที่ได้รับการพัฒนาในบทเรียน |
“5” |
“4” |
“3” |
“2” |
|
|
ฉันรู้คำจำกัดความของประเภทของมุม |
|||||
|
ฉันสามารถหามุมในการแก้ปัญหาได้ |
|||||
|
ทฤษฎีบทเรื่องมุมระหว่างแทนเจนต์กับคอร์ด |
|||||
|
การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นชัดเจน |
|||||
|
ฉันใช้ทฤษฎีบทในการแก้ปัญหา |
\[(\Large(\text(มุมกลางและมุมที่จารึกไว้)))\]
คำจำกัดความ
มุมที่ศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม
มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลม
การวัดองศาของส่วนโค้งของวงกลมคือการวัดองศาของมุมที่ศูนย์กลางซึ่งรองรับส่วนโค้งนั้น
ทฤษฎีบท
การวัดระดับของมุมที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดระดับของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่
การพิสูจน์
เราจะดำเนินการพิสูจน์ในสองขั้นตอน: ขั้นแรก เราจะพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำหรับกรณีที่ด้านใดด้านหนึ่งของมุมที่ถูกจารึกไว้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้จุด \(B\) เป็นจุดยอดของมุมที่เขียนไว้ \(ABC\) และ \(BC\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม:
สามเหลี่ยม \(AOB\) คือหน้าจั่ว, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) คือภายนอก จากนั้น \(\มุม AOC = \มุม OAB + \มุม ABO = 2\มุม ABC\), ที่ไหน \(\มุม ABC = 0.5\cdot\มุม AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
ตอนนี้พิจารณามุมที่ถูกจารึกไว้ตามอำเภอใจ \(ABC\) ให้เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม \(BD\) จากจุดยอดของมุมที่เขียนไว้ มีสองกรณีที่เป็นไปได้:
1) เส้นผ่านศูนย์กลางตัดมุมออกเป็นสองมุม \(\มุม ABD, \มุม CBD\) (สำหรับแต่ละมุมที่ทฤษฎีบทเป็นจริงดังที่พิสูจน์แล้วข้างต้น ดังนั้น มันก็เป็นจริงสำหรับมุมเดิมเช่นกัน ซึ่งเป็นผลรวมของมุมเหล่านี้ สองและดังนั้นจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของส่วนโค้งที่ส่วนโค้งนั้นพักอยู่ นั่นคือ เท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ส่วนโค้งนั้นพักอยู่) ข้าว. 1.
2) เส้นผ่านศูนย์กลางไม่ได้ตัดมุมออกเป็นสองมุม จากนั้นเราก็มีมุมที่จารึกไว้ใหม่อีกสองมุม \(\มุม ABD, \มุม CBD\) ซึ่งด้านมีเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น ทฤษฎีบทจึงเป็นจริงสำหรับมุมเหล่านั้น ดังนั้น ก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับมุมเดิม (ซึ่งเท่ากับผลต่างของมุมทั้งสองนี้ ซึ่งหมายความว่ามันเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่ นั่นคือ เท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่) . ข้าว. 2.
ผลที่ตามมา
1. มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งรองรับส่วนโค้งเดียวกันนั้นมีค่าเท่ากัน
2. มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยครึ่งวงกลมจะเป็นมุมฉาก
3. มุมที่จารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลางซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
\[(\Large(\text(แทนเจนต์กับวงกลม)))\]
คำจำกัดความ
มีสามประเภท ตำแหน่งสัมพัทธ์เส้นตรงและวงกลม:
1) เส้นตรง \(a\) ตัดวงกลมที่จุดสองจุด เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นซีแคนต์ ในกรณีนี้ ระยะทาง \(d\) จากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงจะน้อยกว่ารัศมี \(R\) ของวงกลม (รูปที่ 3)
2) เส้นตรง \(b\) ตัดกับวงกลมที่จุดหนึ่ง เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นสัมผัสกัน และจุดร่วม \(B\) เรียกว่าจุดสัมผัสกัน ในกรณีนี้ \(d=R\) (รูปที่ 4)
ทฤษฎีบท
1. แทนเจนต์ของวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์
2. ถ้าเส้นตรงลากผ่านปลายรัศมีของวงกลมและตั้งฉากกับรัศมีนี้ เส้นนั้นจะสัมผัสกันกับวงกลม
ผลที่ตามมา
ส่วนแทนเจนต์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมจะเท่ากัน
การพิสูจน์
ให้เราวาดแทนเจนต์สองตัว \(KA\) และ \(KB\) จากจุด \(K\) ไปยังวงกลม:
ซึ่งหมายความว่า \(OA\perp KA, OB\perp KB\) เหมือนกับรัศมี สามเหลี่ยมมุมฉาก \(\triangle KAO\) และ \(\triangle KBO\) เท่ากันในด้านขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น \(KA=KB\)
ผลที่ตามมา
จุดศูนย์กลางของวงกลม \(O\) อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม \(AKB\) ซึ่งเกิดจากแทนเจนต์สองตัวที่ดึงมาจากจุดเดียวกัน \(K\)
\[(\Large(\text(ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับมุม)))\]
ทฤษฎีบทเรื่องมุมระหว่างเส้นตัดขวาง
มุมระหว่างเส้นตัดสองเส้นที่ดึงมาจากจุดเดียวกันจะเท่ากับค่าความแตกต่างครึ่งหนึ่งในการวัดระดับของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าและเล็กที่พวกมันตัด
การพิสูจน์
ให้ \(M\) เป็นจุดที่ใช้ลากเส้นตัดสองเส้นดังแสดงในรูป:
มาแสดงกันเถอะ \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) คือมุมภายนอกของสามเหลี่ยม \(MAD\) ดังนั้น \(\มุม DAB = \มุม DMB + \มุม MDA\), ที่ไหน \(\มุม DMB = \มุม DAB - \มุม MDA\)แต่มุม \(\angle DAB\) และ \(\angle MDA\) ถูกจารึกไว้ ดังนั้น \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์
ทฤษฎีบทเรื่องมุมระหว่างคอร์ดที่ตัดกัน
มุมระหว่างคอร์ดที่ตัดกันสองคอร์ดจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของการวัดระดับของส่วนโค้งที่คอร์ดที่ตัดกัน: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
การพิสูจน์
\(\angle BMA = \angle CMD\) เป็นแนวตั้ง
จากรูปสามเหลี่ยม \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
แต่ \(\มุม AMD = 180^\circ - \มุม CMD\)ซึ่งเราก็สรุปได้ว่า \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ยิ้ม\โอเวอร์(ซีดี)).\]
ทฤษฎีบทเรื่องมุมระหว่างคอร์ดกับแทนเจนต์
มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ดที่ผ่านจุดแทนเจนต์จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการวัดระดับของส่วนโค้งที่ต่อด้วยคอร์ด
การพิสูจน์
ให้เส้นตรง \(a\) แตะวงกลมที่จุด \(A\), \(AB\) คือคอร์ดของวงกลมนี้ \(O\) คือจุดศูนย์กลาง ให้เส้นที่มี \(OB\) ตัดกัน \(a\) ที่จุด \(M\) มาพิสูจน์กัน \(\มุม BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\angle OAB = \alpha\) มาแสดงกัน เนื่องจาก \(OA\) และ \(OB\) เป็นรัศมี ดังนั้น \(OA = OB\) และ \(\มุม OBA = \มุม OAB = \alpha\). ดังนั้น, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
เนื่องจาก \(OA\) คือรัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์ ดังนั้น \(OA\perp a\) นั่นคือ \(\angle OAM = 90^\circ\) ดังนั้น \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
ทฤษฎีบทส่วนโค้งต่อด้วยคอร์ดที่เท่ากัน
คอร์ดที่เท่ากันรองรับส่วนโค้งที่เล็กกว่าครึ่งวงกลม
และในทางกลับกัน: ส่วนโค้งที่เท่ากันจะถูกต่อด้วยคอร์ดที่เท่ากัน
การพิสูจน์
1) ให้ \(AB=CD\) . ให้เราพิสูจน์ว่าครึ่งวงกลมที่เล็กกว่าของส่วนโค้ง
ดังนั้นทั้งสามด้านจึง \(\angle AOB=\angle COD\) แต่เพราะว่า \(\angle AOB, \angle COD\) - มุมศูนย์กลางรองรับโดยส่วนโค้ง \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)ตามนั้น \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) ถ้า \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), ที่ \(\สามเหลี่ยม AOB=\สามเหลี่ยม COD\)ทั้งสองด้าน \(AO=BO=CO=DO\) และมุมระหว่างพวกเขา \(\angle AOB=\angle COD\) ดังนั้น และ \(AB=CD\)
ทฤษฎีบท
หากรัศมีแบ่งคอร์ดออก ก็จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากรัศมีตั้งฉากกับคอร์ด เมื่อถึงจุดตัดกัน รัศมีจะแบ่งออกเป็นสองส่วน
การพิสูจน์
1) ให้ \(AN=NB\) . ให้เราพิสูจน์ว่า \(OQ\perp AB\)
พิจารณา \(\triangle AOB\) : มันคือหน้าจั่ว เพราะ \(OA=OB\) – รัศมีของวงกลม เพราะ \(ON\) คือค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐาน แล้วก็เป็นความสูงด้วย ดังนั้น \(ON\perp AB\)
2) ให้ \(OQ\perp AB\) ให้เราพิสูจน์ว่า \(AN=NB\)
ในทำนองเดียวกัน \(\triangle AOB\) คือหน้าจั่ว \(ON\) คือความสูง ดังนั้น \(ON\) คือค่ามัธยฐาน ดังนั้น \(AN=NB\)
\[(\Large(\text(ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับความยาวของส่วน)))\]
ทฤษฎีบทผลคูณของเซกเมนต์คอร์ด
หากคอร์ดสองคอร์ดในวงกลมตัดกัน ผลคูณของเซกเมนต์ของคอร์ดหนึ่งจะเท่ากับผลคูณของเซกเมนต์ของคอร์ดอีกคอร์ดหนึ่ง
การพิสูจน์
ให้คอร์ด \(AB\) และ \(CD\) ตัดกันที่จุด \(E\)
พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ADE\) และ \(CBE\) ในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ มุม \(1\) และ \(2\) เท่ากัน เนื่องจากพวกมันถูกเขียนไว้และพักอยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน \(BD\) และมุม \(3\) และ \(4\) เท่ากัน เป็นแนวตั้ง สามเหลี่ยม \(ADE\) และ \(CBE\) มีความคล้ายคลึงกัน (ขึ้นอยู่กับเกณฑ์แรกของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม)
แล้ว \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)โดยที่ \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\)
ทฤษฎีบทแทนเจนต์และซีแคนต์
กำลังสองของส่วนแทนเจนต์เท่ากับผลคูณของเส้นตัดกับส่วนนอก
การพิสูจน์
ปล่อยให้แทนเจนต์ผ่านจุด \(M\) และแตะวงกลมที่จุด \(A\) ปล่อยให้เส้นตัดผ่านจุด \(M\) และตัดวงกลมที่จุด \(B\) และ \(C\) เพื่อให้ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(MBA\) และ \(MCA\) : \(\angle M\) เป็นเรื่องธรรมดา \(\มุม BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมระหว่างแทนเจนต์และเซแคนต์ \(\มุม BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \มุม BCA\). ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม \(MBA\) และ \(MCA\) มีความคล้ายคลึงกันในสองมุม
จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม \(MBA\) และ \(MCA\) เรามี: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)ซึ่งเทียบเท่ากับ \(MB\cdot MC = MA^2\)
ผลที่ตามมา
ผลคูณของเส้นตัดที่ดึงมาจากจุด \(O\) โดยส่วนภายนอกไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นตัดที่ดึงมาจากจุด \(O\)
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
