สูตรการหาส่วนโค้งที่ใหญ่ที่สุดของวงกลม การกำหนดความยาวของส่วนโค้ง

วงกลม ชิ้นส่วน ขนาด และอัตราส่วน เป็นสิ่งที่นักอัญมณีมักพบเจอ แหวน, กำไล, วรรณะ, หลอด, ลูกบอล, เกลียว - ต้องทำหลายอย่าง คุณจะคำนวณทั้งหมดนี้ได้อย่างไรโดยเฉพาะถ้าคุณโชคดีพอที่จะข้ามบทเรียนเรขาคณิตที่โรงเรียน ..

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าวงกลมมีส่วนอะไรและเรียกว่าอะไร

• วงกลมคือเส้นที่ล้อมรอบวงกลม
• ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม
• รัศมีคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดบนวงกลม
• คอร์ดคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม
• ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้ง
• เซกเตอร์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีรัศมีสองวงและส่วนโค้ง

ปริมาณที่น่าสนใจสำหรับเราและการกำหนด:

ตอนนี้เรามาดูกันว่างานใดที่เกี่ยวข้องกับส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่ต้องแก้ไข

• ค้นหาความยาวของส่วนใดส่วนหนึ่งของแหวน (สร้อยข้อมือ) กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางและคอร์ด (ตัวเลือก: เส้นผ่านศูนย์กลางและมุมศูนย์กลาง) ให้หาความยาวของส่วนโค้ง
• มีภาพวาดบนเครื่องบิน คุณต้องหาขนาดของมันในการฉายภาพหลังจากโค้งงอเป็นส่วนโค้ง จากความยาวของส่วนโค้งและเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้หาความยาวของคอร์ด
• หาความสูงของชิ้นส่วนที่ได้จากการดัดชิ้นงานแบนให้เป็นส่วนโค้ง ตัวเลือกข้อมูลเริ่มต้น: ความยาวและเส้นผ่านศูนย์กลางส่วนโค้ง ความยาวส่วนโค้งและคอร์ด หาความสูงของเซ็กเมนต์

ชีวิตจะกระตุ้นตัวอย่างอื่นๆ และฉันให้สิ่งเหล่านี้เพียงเพื่อแสดงความจำเป็นในการตั้งค่าพารามิเตอร์สองค่าเพื่อค้นหาค่าอื่นๆ ทั้งหมด นั่นคือสิ่งที่เรากำลังจะทำ กล่าวคือ เราใช้พารามิเตอร์ห้าส่วน: D, L, X, φ และ H จากนั้น การเลือกคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากพารามิเตอร์เหล่านี้ เราจะพิจารณาว่าเป็นข้อมูลเริ่มต้นและค้นหาส่วนที่เหลือทั้งหมดโดยการระดมสมอง

เพื่อไม่ให้เป็นภาระแก่ผู้อ่านโดยเปล่าประโยชน์ ฉันจะไม่ให้คำตอบโดยละเอียด แต่จะให้ผลลัพธ์ในรูปแบบของสูตรเท่านั้น (กรณีที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการ ฉันจะระบุระหว่างทาง)

และอีกหนึ่งข้อสังเกต: เกี่ยวกับหน่วยวัด ปริมาณทั้งหมด ยกเว้นมุมศูนย์กลาง ถูกวัดในหน่วยนามธรรมเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณระบุค่าหนึ่งเป็นมิลลิเมตร ไม่จำเป็นต้องระบุค่าอื่นเป็นเซนติเมตร และค่าผลลัพธ์จะถูกวัดในหน่วยมิลลิเมตรเดียวกัน (และพื้นที่เป็นตารางมิลลิเมตร) . เช่นเดียวกับนิ้ว ฟุต และไมล์ทะเล

และเฉพาะมุมศูนย์กลางในทุกกรณีเท่านั้นที่วัดเป็นองศาและไม่มีอะไรอื่น เนื่องจากในทางปฏิบัติ ผู้ที่ออกแบบสิ่งที่เป็นทรงกลมมักไม่ค่อยนิยมวัดมุมเป็นเรเดียน วลี "มุมของ pi คูณสี่" ทำให้หลายคนสับสน ในขณะที่ "มุมสี่สิบห้าองศา" นั้นเข้าใจได้สำหรับทุกคน เพราะมันอยู่เหนือค่าปกติเพียงห้าองศา อย่างไรก็ตาม ในทุกสูตรจะมีมุมเพิ่มขึ้นหนึ่งมุม - α - เป็นค่ากลาง ในแง่ของความหมาย นี่คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง ซึ่งวัดเป็นเรเดียน แต่คุณไม่สามารถเจาะลึกความหมายนี้ได้อย่างปลอดภัย

1. เส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวส่วนโค้ง L ถูกกำหนด

; ความยาวคอร์ด ;
ส่วนสูง ; มุมกลาง .

2. กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความยาวคอร์ด X

; ความยาวส่วนโค้ง;
ส่วนสูง ; มุมกลาง .

เนื่องจากคอร์ดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน ปัญหานี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียว แต่มีสองวิธี เพื่อให้ได้มุมที่สอง คุณต้องแทนที่มุม α ด้วยมุมในสูตรด้านบน

3. กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลาง D และมุมศูนย์กลาง φ

; ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด ; ส่วนสูง .

4. กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลาง D และความสูงของส่วนH

; ความยาวส่วนโค้ง;
ความยาวคอร์ด ; มุมกลาง .

6. กำหนดความยาวของส่วนโค้ง L และมุมศูนย์กลาง φ

; เส้นผ่านศูนย์กลาง ;
ความยาวคอร์ด ; ส่วนสูง .

8. กำหนดความยาวของคอร์ด X และมุมศูนย์กลาง φ

; ความยาวส่วนโค้ง ;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; ส่วนสูง .

9. กำหนดความยาวของคอร์ด X และความสูงของส่วน H

; ความยาวส่วนโค้ง ;
เส้นผ่านศูนย์กลาง ; มุมกลาง .

10. กำหนดมุมศูนย์กลาง φ และความสูงของส่วน H

; เส้นผ่านศูนย์กลาง ;
ความยาวส่วนโค้ง; ความยาวคอร์ด .

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อดไม่ได้ที่จะสังเกตว่าฉันพลาดสองตัวเลือก:

5. กำหนดความยาวของส่วนโค้ง L และความยาวของคอร์ด X

7. กำหนดความยาวของส่วนโค้ง L และความสูงของส่วนH

นี่เป็นเพียงสองกรณีที่ไม่น่าพอใจเมื่อปัญหาไม่มีวิธีแก้ไขที่สามารถเขียนในรูปของสูตรได้ และงานนี้ไม่ได้หายากนัก ตัวอย่างเช่น คุณมีชิ้นแบนยาว L และคุณต้องการโค้งงอเพื่อให้ความยาวกลายเป็น X (หรือความสูงกลายเป็น H) เส้นผ่านศูนย์กลางเท่าไหร่ที่จะใช้แมนเดรล (คานประตู)?

งานนี้ลดลงเป็นการแก้สมการ:
; - ในตัวเลือก 5
; - ในตัวเลือก 7
และถึงแม้ว่าจะไม่ได้รับการแก้ไขในเชิงวิเคราะห์ แต่ก็สามารถแก้ไขโดยทางโปรแกรมได้อย่างง่ายดาย และฉันยังรู้ว่าจะหาโปรแกรมดังกล่าวได้จากที่ไหน: บนเว็บไซต์นี้ ภายใต้ชื่อ ทุกสิ่งที่ฉันบอกในที่นี้อย่างยาว เธอทำในหน่วยไมโครวินาที

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ ให้เพิ่มผลลัพธ์ของการคำนวณเส้นรอบวงและค่าพื้นที่สามค่า - วงกลม ภาค และส่วน (พื้นที่จะช่วยเราได้มากในการคำนวณมวลของชิ้นส่วนที่กลมและครึ่งวงกลมใดๆ แต่เพิ่มเติมในบทความแยกต่างหาก) ปริมาณทั้งหมดเหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน:

เส้นรอบวง ;
พื้นที่ของวงกลม ;
พื้นที่ภาค ;
พื้นที่ส่วน ;

โดยสรุป ให้ฉันเตือนคุณอีกครั้งเกี่ยวกับการมีอยู่ของโปรแกรมฟรีที่ดำเนินการคำนวณทั้งหมดข้างต้น ทำให้คุณไม่ต้องจำว่าอาร์คแทนเจนต์คืออะไรและจะหาได้จากที่ใด

ตอนแรกดูเหมือนว่านี้:

รูปที่ 463.1. a) ส่วนโค้งที่มีอยู่ b) การกำหนดความยาวและความสูงของคอร์ดของเซกเมนต์

ดังนั้น เมื่อมีส่วนโค้ง เราสามารถเชื่อมต่อปลายของมันและรับคอร์ดที่มีความยาว L ตรงกลางคอร์ด เราสามารถลากเส้นตั้งฉากกับคอร์ดแล้วได้ความสูงของส่วน H ทีนี้ เมื่อรู้แล้วว่า ความยาวของคอร์ดและความสูงของเซ็กเมนต์ ก่อนอื่นเราสามารถกำหนดมุมศูนย์กลาง α นั่นคือ มุมระหว่างรัศมีที่ลากจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วน (ไม่แสดงในรูปที่ 463.1) และรัศมีของวงกลม

การแก้ปัญหาดังกล่าวได้รับการพิจารณาในรายละเอียดที่เพียงพอในบทความ "การคำนวณทับหลังโค้ง" ดังนั้นที่นี่ฉันจะให้สูตรพื้นฐานเท่านั้น:

tg( เอ/4) = 2สูง/ต่ำ (278.1.2)

เอ/4 = อาร์คแทน( 2H/ลิตร)

R = ชม/(1 - cos( เอ/2)) (278.1.3)

อย่างที่คุณเห็น จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีปัญหาในการกำหนดรัศมีของวงกลม วิธีนี้ช่วยให้คุณกำหนดค่ารัศมีของส่วนโค้งได้อย่างแม่นยำ นี่เป็นข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้

ทีนี้มาพูดถึงข้อเสียกัน

ปัญหาของวิธีนี้ไม่ใช่ว่าจำเป็นต้องจำสูตรจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนซึ่งลืมไปเมื่อหลายปีก่อนเพื่อจำสูตรได้สำเร็จ - มีอินเทอร์เน็ต และนี่คือเครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชัน arctg, arcsin และอื่นๆ ไม่ใช่ผู้ใช้ทุกคนที่มี และถึงแม้ว่าอินเทอร์เน็ตจะแก้ปัญหานี้ได้สำเร็จ แต่เราไม่ควรลืมว่าเรากำลังแก้ปัญหาที่ค่อนข้างประยุกต์ เหล่านั้น. ไม่จำเป็นเสมอไปที่จะต้องกำหนดรัศมีของวงกลมด้วยความแม่นยำ 0.0001 มม. ความแม่นยำ 1 มม. นั้นค่อนข้างยอมรับได้

นอกจากนี้ ในการหาจุดศูนย์กลางของวงกลม คุณต้องขยายความสูงของส่วนนั้นและกันระยะห่างเท่ากับรัศมีของเส้นตรงนี้ เนื่องจากในทางปฏิบัติ เรากำลังเผชิญกับเครื่องมือวัดที่ไม่เหมาะ เราควรเพิ่มข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้ในการทำเครื่องหมาย ปรากฎว่ายิ่งความสูงของส่วนต่ำกว่าสัมพันธ์กับความยาวของคอร์ดเท่าใด ข้อผิดพลาดในการพิจารณาก็จะยิ่งมากขึ้น ศูนย์กลางของส่วนโค้ง

เราไม่ควรลืมอีกครั้งว่าเราไม่ได้พิจารณาเป็นกรณีในอุดมคติ กล่าวคือ นี่คือวิธีที่เราเรียกส่วนโค้งทันทีว่าส่วนโค้ง อันที่จริง มันสามารถเป็นเส้นโค้งที่อธิบายโดยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นรัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่พบในลักษณะนี้อาจไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางจริง

ในเรื่องนี้ ฉันต้องการเสนอวิธีอื่นในการกำหนดรัศมีของวงกลม ซึ่งตัวฉันเองมักใช้ เพราะวิธีนี้เร็วกว่าและง่ายกว่ามากในการหารัศมีของวงกลม แม้ว่าความแม่นยำจะน้อยกว่ามากก็ตาม

วิธีที่สองในการกำหนดรัศมีของส่วนโค้ง (วิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง)

มาต่อกับสถานการณ์ปัจจุบันกัน

เนื่องจากเรายังต้องหาจุดศูนย์กลางของวงกลม เริ่มด้วย จากจุดที่ตรงกับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนโค้ง เราจึงวาดรัศมีตามอำเภอใจอย่างน้อยสองส่วน เส้นตรงจะผ่านจุดตัดของส่วนโค้งเหล่านี้ ซึ่งจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ต้องการตั้งอยู่

ตอนนี้คุณต้องเชื่อมต่อจุดตัดของส่วนโค้งกับตรงกลางคอร์ด อย่างไรก็ตาม หากเราวาดจากจุดที่ระบุไม่ใช่ตามส่วนโค้งหนึ่งส่วน แต่เป็นสองส่วน เส้นตรงนี้จะผ่านจุดตัดของส่วนโค้งเหล่านี้ และไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของคอร์ดอีกต่อไป

หากระยะห่างจากจุดตัดของส่วนโค้งถึงจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดของส่วนโค้งที่พิจารณาแล้วมากกว่าระยะห่างจากจุดตัดของส่วนโค้งไปยังจุดที่สอดคล้องกับความสูงของส่วนโค้ง ศูนย์กลางของส่วนโค้งที่พิจารณาจะต่ำกว่า เส้นตรงที่ลากผ่านจุดตัดของส่วนโค้งและตรงกลางคอร์ด ถ้าน้อยกว่านั้น จุดศูนย์กลางของส่วนโค้งที่ต้องการจะสูงกว่าบนเส้นตรง

จากสิ่งนี้ จุดต่อไปจะถูกถ่ายบนเส้นตรง ซึ่งน่าจะสอดคล้องกับจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง และทำการวัดแบบเดียวกันจากจุดนั้น จากนั้นจึงนำจุดต่อไปและทำการวัดซ้ำ ในแต่ละจุดใหม่ ความแตกต่างในการวัดจะน้อยลงเรื่อยๆ

นั่นคือทั้งหมดที่ แม้จะมีคำอธิบายที่ยาวและซับซ้อนเช่นนี้ แต่ก็ต้องใช้เวลา 1-2 นาทีในการกำหนดรัศมีของส่วนโค้งในลักษณะนี้ด้วยความแม่นยำ 1 มม.

ในทางทฤษฎีดูเหมือนว่านี้:

รูปที่ 463.2. การหาจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งโดยวิธีการประมาณแบบต่อเนื่องกัน

แต่ในทางปฏิบัติ บางสิ่งเช่นนี้

รูปภาพ 463.1. การทำเครื่องหมายชิ้นงานที่มีรูปร่างซับซ้อนด้วยรัศมีต่างกัน

ฉันจะเพิ่มที่นี่ว่าบางครั้งคุณต้องค้นหาและวาดรัศมีหลาย ๆ อันเพราะมีหลายสิ่งหลายอย่างปะปนกันในภาพถ่าย

คำแนะนำ

หากทราบความยาวของส่วนโค้ง (l) ระหว่างจุดสุดขั้วที่กำหนดคอร์ด และนอกเหนือจากนั้น รัศมีของวงกลม (R) ยังได้รับในเงื่อนไข ปัญหาในการคำนวณความยาว คอร์ด(m) สามารถลดลงเพื่อคำนวณความยาวของฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ด้านของสามเหลี่ยมนี้จะเป็นรัศมีสองรัศมีของวงกลม และมุมระหว่างพวกมันจะเป็นมุมศูนย์กลาง ซึ่งคุณต้องคำนวณก่อน การทำเช่นนี้แบ่ง ความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี: l/R ผลลัพธ์จะแสดงเป็นเรเดียน หากสะดวกกว่าสำหรับคุณในการคำนวณก็จะยากขึ้นมาก - คูณก่อน ความยาวโค้งด้วย 360 แล้วหารผลลัพธ์ด้วยสองเท่าของผลคูณของ Pi ด้วยรัศมี: l*360/(2*π*R) = l*180/(π*R)

หาค่ามุมศูนย์กลางคำนวณ ความยาว คอร์ด. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณรัศมีสองเท่าด้วยไซน์ของครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง หากคุณเลือกการคำนวณเป็นองศา โดยทั่วไป ให้จดสูตรผลลัพธ์ดังนี้: m = 2*R*sin(l*90/(π*R)) สำหรับการคำนวณเป็นเรเดียน จะมีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า m = 2*R*sin(l/(2*R)) ตัวอย่างเช่น ด้วยส่วนโค้งยาว 90 ซม. และรัศมี 60 ซม. ควรมี ความยาว 2*60*sin(90*90/(3.14*60)) = 120*sin(8100/188.4) = 120*sin(42.99°) ≈ 120*0.68 = 81.6 cm พร้อมความแม่นยำในการคำนวณสูงสุด 2 ค่าหลัง จุดทศนิยม

ถ้านอกเหนือจากความยาวของส่วนโค้ง (l) แล้ว ความยาวเต็ม (L) ถูกกำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา ให้แสดงรัศมีผ่านมันด้วยการหารด้วย Pi สองครั้ง จากนั้นแทนที่นิพจน์นี้ลงในสูตรทั่วไปจากขั้นตอนก่อนหน้า: m = 2*(L/(2*π))*sin(l*90/(π*L/(2*π))) หลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว คุณควรได้ค่าความเท่าเทียมกันในการคำนวณเป็นองศา: m = L / π * sin (l * 180 / L) สำหรับการคำนวณเป็นเรเดียน จะมีลักษณะดังนี้: m = L/π*sin(l*π/L) ตัวอย่างเช่น หากความยาวส่วนโค้งคือ 90 ซม. และเส้นรอบวงคือ 376.8 ซม. ความยาว คอร์ดจะเป็น 376.8 / 3.14 * บาป (90 * 180 / 376.8) \u003d 120 * บาป (42.99 °) ≈ 120 * 0.68 \u003d 81.6 ซม.

แนวคิดของคอร์ดในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนนั้นสัมพันธ์กับแนวคิดของวงกลม วงกลม เป็นรูปแบนที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของระนาบนี้ซึ่งอยู่ห่างจากระนาบที่กำหนดเท่ากัน รัศมีของวงกลมคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนนั้น การเคลื่อนไหวคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดที่วางอยู่บนวงกลม

คำแนะนำ

เพื่อให้ได้ความยาวของคอร์ดที่กำหนดเอง คุณต้องป้อน .
มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมคือมุมศูนย์กลางของวงกลมนั้น
หากทราบการวัดองศาของมุมศูนย์กลาง ?? ความยาวของคอร์ดที่วางอยู่นั้นคำนวณโดยสูตร
ชั่วโมง = 2 * R * บาป (??/2)
ชั่วโมง = R * v(2 * (1 - cos??))
ชั่วโมง = 2 * R * cos?? ที่ไหน?? = (P - ??)/2, P - P

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

มากขึ้นเรื่อยๆ ในชีวิตประจำวัน เราต้องแก้ปัญหาที่ครั้งหนึ่งเคยเกิดขึ้นมาเหมือนเมล็ดพืชในบทเรียนคณิตศาสตร์ แต่เมื่อเวลาผ่านไป บางสิ่งกลับถูกลืมไป หาความยาว โค้ง วงกลม- หนึ่งในงานที่บุคคลสามารถเผชิญในชีวิต

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลข ค่าของตัวเลข π = 3.14 ค่าของรัศมี r และมุมศูนย์กลาง α นำมาจากเงื่อนไขของปัญหา

คำแนะนำ

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดแนวคิด วงกลมคือเซตของจุดต่างๆ ของระนาบซึ่งอยู่ในระยะบวกที่กำหนดจากจุดที่กำหนดของระนาบ ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง (จุด O) อาร์ค - ส่วนหนึ่ง วงกลมตั้งอยู่ระหว่าง A และ B ของสิ่งนี้ วงกลมโดยที่ OA และ OB เป็นรัศมีของสิ่งนี้ วงกลม. เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านี้ โค้งในแต่ละอันทำเครื่องหมาย L และ M ตรงกลางดังนั้นเราจึงได้สอง โค้ง ALB และ AMB

ดังนั้นส่วนโค้ง วงกลมกำหนดโดยรัศมี วงกลม r และมุมศูนย์กลาง? การรู้สองสิ่งนี้เป็นเรื่องง่าย ความยาว โค้ง L โดยสูตร:
L = ?r?/180
ที่ไหน? - ค่าคงที่ตัวเลขเท่ากับ 3.14
แทนค่า ?, r, ? และติดอาวุธด้วยเครื่องคิดเลขคุณสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย ความยาว โค้งแอล

ความจำเป็นในการคำนวณความยาวส่วนโค้งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อทำงานออกแบบที่หลากหลาย นี่คือการพัฒนาเพดานโค้ง การก่อสร้างสะพานและอุโมงค์ การวางถนนและทางรถไฟ และอื่นๆ อีกมากมาย เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับการแก้ปัญหานี้อาจแตกต่างออกไปมาก ในการคำนวณความยาวส่วนโค้งอย่างเหมาะสมที่สุด จำเป็นต้องทราบรัศมีของวงกลมและมุมศูนย์กลาง

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - เข็มทิศ;
• - ไม้บรรทัด;
• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - คอมพิวเตอร์พร้อมซอฟต์แวร์ AutoCAD
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

สร้างวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด หลักการสร้างใน AutoCAD เหมือนกับบนกระดาษ เมื่อเชี่ยวชาญวิธีการสร้างรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ ในแบบคลาสสิก คุณจะเข้าใจได้อย่างรวดเร็วว่าสิ่งนี้ทำบนคอมพิวเตอร์ได้อย่างไร ความแตกต่างก็คือในโครงสร้างปกติที่มีเข็มทิศ คุณจะหาจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงจุดที่วางเข็ม ใน AutoCAD ให้ค้นหาปุ่ม "arc" หรือ "Arc" ในเมนูด้านบน เลือกเพื่อสร้างตามศูนย์ จุดเริ่มต้น และมุม แล้วป้อนตัวเลือกที่คุณต้องการ กำหนดจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น O

ใช้ดินสอและไม้บรรทัดหรือเมาส์คอมพิวเตอร์เพื่อวาดรัศมี หากคุณกำลังวาดภาพบนแผ่นงาน ให้ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อกันขนาดมุมที่กำหนด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้จัดตำแหน่งศูนย์ของไม้โปรแทรกเตอร์กับจุด O ทำเครื่องหมายมุมที่ต้องการแล้ววาดรัศมีที่สองผ่านจุดที่เกิด กำหนดมุมเป็น α คุณยังสามารถเรียกมันว่า AOB หากคุณทำเครื่องหมายจุดสี่แยกด้วยวงกลมด้วยตัวอักษรที่เหมาะสม คุณต้องหาความยาวของส่วนโค้ง AB

หากกำหนดขนาดมุมเป็นองศา ความยาวของส่วนโค้งจะเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรัศมีของวงกลมด้วยค่าสัมประสิทธิ์ π และอัตราส่วนของมุม α ต่อมุมศูนย์กลางเต็มของวงกลม คือ 360° นั่นคือ สามารถพบได้โดยสูตร L=2πRα/360° โดยที่ L คือความยาวส่วนโค้งที่ต้องการ R คือรัศมีของวงกลม และ α คือขนาดของมุมเป็นองศา นอกจากนี้ยังสามารถระบุมุมใน จากนั้นความยาวของส่วนโค้งจะเท่ากับผลคูณของรัศมีและมุม นั่นคือ L=Rα ในกรณีนี้ สูตรที่เหลือได้ลดลงแล้วเมื่อแปลงองศาเป็น .

นักออกแบบต้องคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ซึ่งหมายถึงเฉพาะความสูงโดยประมาณของสะพานหรือพื้นและความยาวของช่วง ในกรณีนี้ ให้วาดรูป สแปนจะเป็นคอร์ด และส่วนสูงจะเป็นส่วนของรัศมี ลากจากจุดสูงสุดของส่วนโค้งในอนาคตที่ตั้งฉากและดำเนินต่อไปจนถึงจุดศูนย์กลางที่ตั้งใจไว้ของวงกลม ส่วนสูงแบ่ง

มุมคือรูปทรงเรขาคณิตซึ่งเกิดจากรังสีสองเส้น - ด้านข้างของมุมที่เปล่งออกมาจากจุดหนึ่ง - จุดยอดของมุม โดยปกติ ในการสร้างมุมแบนใน planimetry จะใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ซึ่งคุณสามารถกันได้อย่างง่ายดาย ฉีดด้วยการวัดองศาที่กำหนด แต่ถ้าเครื่องมือนี้ไม่อยู่ในมือล่ะ ในการสร้างมุม คุณสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติและสร้างโดยตรง ฉีดทรี ฉีดนิกา

คุณจะต้องการ

• เต็มตารางแทนเจนต์ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

ให้งานคือการสร้าง ฉีดบางมิติ?
มาสร้างส่วน AB ของ Arbitrary กัน ฉันใช้อัตราส่วนของขาใน ฉีดนอม เทร ฉีดนิคสามารถ BC ไตร .นี้ ฉีด BC = AB tg?, มุมสัมผัส? สามารถพบได้โดย
ถัดไป จากจุด A จำเป็นต้องแยกส่วนของความยาว BC ตั้งฉากกับส่วน AB ไว้

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

ในการสร้างมุม ∠α ≥ 90º จำเป็นต้องสร้างมุม ∠β

มากขึ้นเรื่อยๆ ในชีวิตประจำวัน เราต้องแก้ปัญหาที่ครั้งหนึ่งเคยเกิดขึ้นมาเหมือนเมล็ดพืชในบทเรียนคณิตศาสตร์ แต่เมื่อเวลาผ่านไป บางสิ่งกลับถูกลืมไป หาความยาว โค้ง วงกลม- หนึ่งในงานที่บุคคลสามารถเผชิญในชีวิต

คุณจะต้องการ

• เครื่องคิดเลข ค่าของตัวเลข π = 3.14 ค่าของรัศมี r และมุมศูนย์กลาง α นำมาจากเงื่อนไขของปัญหา

คำแนะนำ

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดแนวคิด วงกลมคือเซตของจุดต่างๆ ของระนาบซึ่งอยู่ในระยะบวกที่กำหนดจากจุดที่กำหนดของระนาบ ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง (จุด O) อาร์ค - ส่วนหนึ่ง วงกลมตั้งอยู่ระหว่าง A และ B ของสิ่งนี้ วงกลมโดยที่ OA และ OB เป็นรัศมีของสิ่งนี้ วงกลม. เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านี้ โค้งในแต่ละอันทำเครื่องหมาย L และ M ตรงกลางดังนั้นเราจึงได้สอง โค้ง ALB และ AMB

ดังนั้นส่วนโค้ง วงกลมกำหนดโดยรัศมี วงกลม r และมุมศูนย์กลาง? การรู้สองสิ่งนี้เป็นเรื่องง่าย ความยาว โค้ง L โดยสูตร:
L = ?r?/180
ที่ไหน? - ค่าคงที่ตัวเลขเท่ากับ 3.14
แทนค่า ?, r, ? และติดอาวุธด้วยเครื่องคิดเลขคุณสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย ความยาว โค้งแอล

ความยาวคือระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนส่วนของเส้นตรง จะเป็นเส้นตรง หัก หรือปิดก็ได้ คุณสามารถคำนวณความยาวด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย หากคุณทราบตัวบ่งชี้อื่นๆ ของกลุ่ม

คำแนะนำ

หากคุณต้องการหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ค่านี้จะไม่เกิดขึ้นหากคุณทราบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส S เนื่องจากทุกด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมี คุณสามารถคำนวณค่าของหนึ่งในนั้นได้โดยใช้สูตร : a = √S

นักออกแบบต้องคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ซึ่งหมายถึงเฉพาะความสูงโดยประมาณของสะพานหรือพื้นและความยาวของช่วง ในกรณีนี้ ให้วาดรูป สแปนจะเป็นคอร์ด และส่วนสูงจะเป็นส่วนของรัศมี ลากจากจุดสูงสุดของส่วนโค้งในอนาคตที่ตั้งฉากและดำเนินต่อไปจนถึงจุดศูนย์กลางที่ตั้งใจไว้ของวงกลม แบ่งส่วนสูง เชื่อมต่อศูนย์กลางกับปลายเพื่อให้ได้รัศมีเพิ่มขึ้น 2 คำนวณรัศมีโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เช่น R=√a2+(R-h)2

บันทึก

สองจุดแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนโค้ง งานอาจระบุความยาวของพวกเขาที่จะค้นหา ในกรณีนี้ จำเป็นต้องคำนวณมุมที่ใหญ่ขึ้นโดยลบมุมแหลมที่กำหนดออกจากมุมเต็ม

เมื่อคำนวณความยาวใดๆ โปรดจำไว้ว่านี่เป็นค่าจำกัด นั่นคือ แค่ตัวเลข ถ้าคุณหมายถึงความยาวส่วนโค้ง คดเคี้ยวจากนั้นปัญหาดังกล่าวจะได้รับการแก้ไขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน (ในกรณีเครื่องบิน) หรืออินทิกรัลส่วนโค้งของประเภทแรก (ตามความยาวของส่วนโค้ง) ส่วนโค้ง AB จะถูกกำหนดให้เป็น UAB

คำแนะนำ

กรณีแรก (). ให้ UAB แบน คดเคี้ยว y = ฉ(x) อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจาก a เป็น b และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในส่วนนี้ มาหากัน ความยาว L arcs UAB (ดูรูปที่ 1a) ในการแก้ปัญหานี้ ให้แบ่งส่วนที่พิจารณาออกเป็นส่วนพื้นฐาน ∆xi, i=1,2,…,n ใน UAB จะแบ่งออกเป็นส่วนโค้งเบื้องต้น ∆Ui ส่วนของกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ในแต่ละส่วนเบื้องต้น หา ความยาว∆Li ของส่วนโค้งเบื้องต้นโดยประมาณ แทนที่ด้วยคอร์ดที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้ การเพิ่มขึ้นสามารถแทนที่ด้วยดิฟเฟอเรนเชียลและสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ หลังจากลบสแควร์รูทของดิฟเฟอเรนเชียล dx แล้ว คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แสดงในรูปที่ 1b

กรณีที่สอง (ส่วนโค้ง UAB ถูกตั้งค่าเป็นพารามิเตอร์) x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. ฟังก์ชัน x(t) และ y(t) มีอนุพันธ์ต่อเนื่องในส่วนนี้ ค้นหาความแตกต่างของพวกเขา dx=f'(t)dt, dy=f'(t)dt. แทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลเหล่านี้ลงในสูตรเพื่อคำนวณความยาวส่วนโค้งในกรณีแรก นำ dt ออกจากสแควร์รูทใต้อินทิกรัล ใส่ x(α)=a, x(β)=b แล้วคิดสูตรคำนวณความยาวส่วนโค้งในกรณีนี้ (ดูรูปที่ 2a)

กรณีที่สาม. ส่วนโค้ง UAB ของกราฟของฟังก์ชันถูกกำหนดในพิกัดเชิงขั้ว ρ=ρ(φ) มุมเชิงขั้ว φ เมื่อส่งผ่านส่วนโค้งจาก α ถึง β ฟังก์ชัน ρ(φ)) มีอนุพันธ์ต่อเนื่องในส่วนของการพิจารณา ในสถานการณ์เช่นนี้ การใช้ข้อมูลที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้านี้จะง่ายกว่า เลือก φ เป็นพารามิเตอร์และแทนที่ x=ρcosφ y=ρsinφ ลงในสมการพิกัดเชิงขั้วและคาร์ทีเซียน แยกความแตกต่างของสูตรเหล่านี้และแทนที่กำลังสองของอนุพันธ์ลงในนิพจน์ในรูปที่ 2ก. หลังจากการแปลงเอกลักษณ์เล็กน้อย โดยอิงตามการประยุกต์ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (cosφ)^2+(sinφ)^2=1 เป็นหลัก ให้หาสูตรสำหรับคำนวณความยาวส่วนโค้งในพิกัดเชิงขั้ว (ดูรูปที่ 2b)

กรณีที่สี่ (เส้นโค้งเชิงพื้นที่กำหนดแบบพาราเมตริก) x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. พูดอย่างเคร่งครัด ควรใช้ส่วนโค้งของประเภทแรก (ตามความยาวของส่วนโค้ง) ที่นี่ Curvelinear คำนวณได้แน่นอน ผลที่ได้คือ คำตอบจะยังคงเหมือนเดิมในกรณีที่สอง โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่พจน์จะปรากฏขึ้น - กำลังสองของอนุพันธ์ z'(t) (ดูรูปที่ 2c)

ที่มา:

• Piskunov N.S. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ หนังสือเรียนสำหรับ VTU ต.1.-ม.: เนาก้า, 1972.-576 น.
• การคำนวณความยาวของส่วนโค้งโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

ส่วนโค้งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม วงกลมคือตำแหน่งของจุดที่ห่างจากจุดหนึ่งเท่ากันเรียกว่าจุดศูนย์กลาง ในสถานการณ์ประจำวัน เมื่อข้อผิดพลาดไม่สำคัญและการวัดทำได้ยาก ความยาว โค้งบางครั้งวัดด้วยวัสดุอ่อน เช่น ด้าย ที่เข้ารูป โค้งแล้วยืดและวัด สำหรับการวัดที่จริงจัง วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับ

สูตรในการหาความยาวของส่วนโค้งของวงกลมนั้นค่อนข้างง่าย และบ่อยครั้งมากในการสอบที่สำคัญ เช่น USE มีปัญหาดังกล่าวที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้มัน คุณจำเป็นต้องรู้ด้วยจึงจะผ่านการทดสอบที่เป็นมาตรฐานสากล เช่น SAT และอื่นๆ

ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมคืออะไร?

สูตรมีลักษณะดังนี้:

l = prα / 180°

แต่ละองค์ประกอบของสูตรคืออะไร:

• π - หมายเลข Pi (ค่าคงที่เท่ากับ ≈ 3.14);
• r คือรัศมีของวงกลมที่กำหนด
• α - ค่าของมุมที่ส่วนโค้งอยู่ (ตรงกลางไม่ได้ระบุไว้)

อย่างที่คุณเห็น เพื่อแก้ปัญหา r และ α จะต้องอยู่ในเงื่อนไข หากไม่มีปริมาณทั้งสองนี้ จะไม่พบความยาวส่วนโค้ง

สูตรนี้มีที่มาอย่างไรและทำไมจึงมีลักษณะเช่นนี้

ทุกอย่างง่ายมาก มันจะชัดเจนขึ้นมากถ้าคุณใส่ 360 ° ในตัวส่วน และเพิ่มผีในตัวเศษข้างหน้า นอกจากนี้คุณยังสามารถ α อย่าปล่อยให้เป็นเศษส่วน ให้พิมพ์แล้วเขียนเครื่องหมายคูณ ซึ่งค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะจ่ายได้ เนื่องจากองค์ประกอบนี้อยู่ในตัวเศษ จากนั้นมุมมองทั่วไปจะเป็นดังนี้:

l = (2πr / 360°) × α

เพื่อความสะดวก เราลด 2 และ 360 ° และตอนนี้ ถ้าคุณดูดีๆ คุณจะเห็นสูตรที่คุ้นเคยสำหรับความยาวของวงกลมทั้งหมด กล่าวคือ - 2pr.วงกลมทั้งหมดประกอบด้วย 360 ° ดังนั้นเราจึงแบ่งการวัดผลลัพธ์ออกเป็น 360 ส่วน จากนั้นเราก็คูณด้วยจำนวน α, นั่นคือสำหรับจำนวน "ชิ้นพาย" ที่เราต้องการ แต่ทุกคนรู้แน่นอนว่าตัวเลข (นั่นคือ ความยาวของวงกลมทั้งหมด) ไม่สามารถหารด้วยดีกรีได้ จะทำอย่างไรในกรณีนี้? โดยปกติ ดีกรีจะลดลงตามองศาของมุมศูนย์กลาง กล่าวคือ กับ α. หลังจากนั้นจะเหลือเพียงตัวเลขเท่านั้นและเป็นผลให้ได้คำตอบสุดท้าย

สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ว่าทำไมจึงพบความยาวของส่วนโค้งของวงกลมในลักษณะนี้และมีรูปแบบนี้

ตัวอย่างปัญหาความซับซ้อนปานกลางโดยใช้สูตรนี้

สภาพ : มีวงกลมรัศมี 10 ซม. องศาของมุมศูนย์กลางคือ 90° จงหาความยาวของส่วนโค้งวงกลมที่เกิดจากมุมนี้

สารละลาย: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

คำตอบ: l = 5π

อาจเป็นไปได้ว่าแทนที่จะใช้การวัดองศา การวัดเรเดียนของมุมจะได้รับ ไม่ว่าในกรณีใดคุณไม่ควรกลัวเพราะคราวนี้งานง่ายขึ้นมาก ในการแปลงหน่วยเรเดียนเป็นหน่วยวัดองศา คุณต้องคูณตัวเลขนี้ด้วย 180 ° / π ตอนนี้ก็ทดแทนกันได้แล้ว α ชุดค่าผสมต่อไปนี้: m × 180° / π โดยที่ m คือค่าเรเดียน แล้ว 180 และตัวเลข π ลดลงและได้รับสูตรที่ง่ายขึ้นอย่างสมบูรณ์ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

• m คือการวัดเรเดียนของมุม
• r คือรัศมีของวงกลมที่กำหนด