Pojęcie kąta dwuściennego
Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, przypomnijmy najpierw jeden z aksjomatów stereometrii.
Każdą płaszczyznę można podzielić na dwie półpłaszczyzny prostej $a$ leżącej w tej płaszczyźnie. W tym przypadku punkty leżące w tej samej półpłaszczyźnie znajdują się po jednej stronie prostej $a$, a punkty leżące w różnych półpłaszczyznach po przeciwnych stronach prostej $a$ (rys. 1).
Obrazek 1.
Na tym aksjomacie opiera się zasada konstruowania kąta dwuściennego.
Definicja 1
Postać nazywa się kąt dwuścienny, jeżeli składa się z prostej i dwóch półpłaszczyzn tej prostej, które nie należą do tej samej płaszczyzny.
W tym przypadku nazywane są półpłaszczyznami kąta dwuściennego krawędzie, a linia prosta oddzielająca półpłaszczyzny to krawędź dwuścienna(ryc. 1).
Rysunek 2. Kąt dwuścienny
Stopień miary kąta dwuściennego
Definicja 2
Wybierzmy dowolny punkt $A$ na krawędzi. Kąt między dwiema prostymi leżącymi w różnych półpłaszczyznach, prostopadłymi do krawędzi i przecinającymi się w punkcie $A$, nazywa się liniowy kąt dwuścienny(ryc. 3).
Rysunek 3.
Oczywiście każdy kąt dwuścienny ma nieskończoną liczbę kątów liniowych.
Twierdzenie 1
Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.
Dowód.
Rozważmy dwa kąty liniowe $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (rys. 4).
Rysunek 4.
Ponieważ promienie $OA$ i $(OA)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\alpha $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Ponieważ promienie $OB$ i $(OB)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\beta $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Stąd
\[\kąt AOB=\kąt A_1(OB)_1\]
Ze względu na dowolność wyboru kątów liniowych. Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Definicja 3
Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia kąta liniowego kąta dwuściennego.
Przykładowe problemy
Przykład 1
Dajmy sobie dwa nie płaszczyzny prostopadłe$\alpha $ i $\beta $, które przecinają się wzdłuż linii prostej $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\beta$. $AB$ jest prostopadłe do prostej $m$. $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $ (punkt $C$ należy do $\alpha $). Udowodnić, że kąt $ABC$ jest kątem liniowym kąta dwuściennego.
Dowód.
Narysujmy obraz zgodnie z warunkami problemu (ryc. 5).
Rysunek 5.
Aby to udowodnić, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie
Twierdzenie 2: Linia prosta przechodząca przez podstawę pochyłej jest do niej prostopadła, prostopadła do jej rzutu.
Ponieważ $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $, to punkt $C$ jest rzutem punktu $A$ na płaszczyznę $\alpha $. Dlatego $BC$ jest rzutem skośnego $AB$. Zgodnie z Twierdzeniem 2, $BC$ jest prostopadłe do krawędzi kąta dwuściennego.
Wówczas kąt $ABC$ spełnia wszystkie warunki definicji liniowego kąta dwuściennego.
Przykład 2
Kąt dwuścienny wynosi 30^\circ$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, który znajduje się w odległości $4$ cm od drugiej ściany.Wyznacz odległość punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego.
Rozwiązanie.
Spójrzmy na rysunek 5.
Według warunku mamy $AC=4\cm$.
Z definicji miary stopnia kąta dwuściennego wynika, że kąt $ABC$ jest równy $30^\circ$.
Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta ostrego
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
Temat lekcji: „Kąt dwuścienny”.Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego.
Zadania:
Edukacyjny: rozważ zadania dotyczące zastosowania tych koncepcji, rozwiń konstruktywną umiejętność znajdowania kąta między płaszczyznami;
Rozwojowy: rozwój kreatywne myslenie studenci, samorozwój osobisty uczniów, rozwój mowy uczniów;
Edukacyjny: pielęgnowanie kultury pracy umysłowej, kultury komunikacyjnej, kultury refleksyjnej.
Typ lekcji: lekcja zdobywania nowej wiedzy
Metody nauczania: wyjaśniające i ilustrujące
Sprzęt: komputer, tablica interaktywna.
Literatura:
Geometria. Klasy 10-11: podręcznik. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzow, S. B. Kadomcew i in.] - wyd. 18. – M.: Edukacja, 2009. – 255 s.
Plan lekcji:
Organizowanie czasu(2 minuty)
Aktualizacja wiedzy (5 min)
Nauka nowego materiału (12 min)
Utrwalenie poznanego materiału (21 min)
Praca domowa (2 min)
Podsumowanie (3 min)
Podczas zajęć:
1. Moment organizacyjny.
Obejmuje powitanie klasy przez nauczyciela, przygotowanie sali na lekcję i sprawdzenie nieobecności.
2. Aktualizacja wiedzy podstawowej.
Nauczyciel: Na ostatniej lekcji napisałeś niezależna praca. Ogólnie rzecz biorąc, praca została napisana dobrze. Teraz powtórzmy to trochę. Jak nazywa się kąt w płaszczyźnie?
Student: Kąt na płaszczyźnie to figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu.
Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?
Student: Kąt między dwiema przecinającymi się liniami w przestrzeni jest najmniejszym z kątów utworzonych przez promienie tych linii z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia.
Student: Kąt między przecinającymi się liniami to kąt między przecinającymi się liniami, odpowiednio, równoległymi do danych.
Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?
Student: Kąt między linią prostą a płaszczyznąNazywa się dowolny kąt pomiędzy linią prostą a jej rzutem na tę płaszczyznę.
3. Studiowanie nowego materiału.
Nauczyciel: W stereometrii wraz z takimi kątami rozważa się inny rodzaj kąta - kąty dwuścienne. Pewnie już domyślacie się, jaki jest temat dzisiejszej lekcji, więc otwórzcie swoje zeszyty, zapiszcie dzisiejszą datę i temat lekcji.
Napisz na tablicy i w zeszytach:
10.12.14.
Kąt dwuścienny.
Nauczyciel : Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego należy przypomnieć, że każda prosta narysowana na danej płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny(ryc. 1, a)
Nauczyciel : Wyobraźmy sobie, że zakrzywiliśmy płaszczyznę wzdłuż linii prostej, tak że dwie półpłaszczyzny z granicą nie leżą już w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1, b). Wynikowa liczba to kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnych granicach, które nie należą do tej samej płaszczyzny. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami. Kąt dwuścienny ma dwa boki, stąd nazwa kąt dwuścienny. Linia prosta – wspólna granica półpłaszczyzn – nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Zapisz definicję w zeszycie.
Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny.
Nauczyciel : W życie codzienne często spotykamy obiekty, które mają kształt kąta dwuściennego. Daj przykłady.
Student : Półotwarty folder.
Student : Ściana pokoju jest połączona z podłogą.
Student : Dachy dwuspadowe budynków.
Nauczyciel : Prawidłowy. A takich przykładów jest mnóstwo.
Nauczyciel : Jak wiadomo, kąty w płaszczyźnie mierzy się w stopniach. Prawdopodobnie masz pytanie, w jaki sposób mierzy się kąty dwuścienne? Odbywa się to w następujący sposób.Zaznaczmy jakiś punkt na krawędzi kąta dwuściennego i narysujmy od tego punktu promień prostopadły do krawędzi na każdej ścianie. Kąt utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego. Zrób rysunek w zeszytach.
Napisz na tablicy i w zeszytach.
O ∈ a, SA ⊥ a, WO ⊥ A, SABD– kąt dwuścienny,∠ AOB– kąt liniowy kąta dwuściennego.
Nauczyciel : Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe. Zrób sobie kolejny taki rysunek.
Nauczyciel : Udowodnijmy to. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB iPQR. Promienie OA iPytanieleżą na tej samej powierzchni i są prostopadłeOK, co oznacza, że są współkierowane. Podobnie promienie OB iQRwspółreżyserowany. Oznacza,∠ AOB= ∠ PQR(jak kąty o wyrównanych bokach).
Nauczyciel : Cóż, teraz odpowiedzią na nasze pytanie jest sposób pomiaru kąta dwuściennego.Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego. Narysuj ponownie obrazy kąta dwuściennego ostrego, prostego i rozwartego z podręcznika na stronie 48.
4. Utrwalenie studiowanego materiału.
Nauczyciel : Zrób rysunki do zadań.
№ 1 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, AC = BC, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD ⊥ α, C∉ α. Konstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoCABD.
Student : Rozwiązanie:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - podążał za.
№ 2. Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leży na płaszczyźnieα, spółka z ograniczoną odpowiedzialnością⊥ α, A∈ α.
Konstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoABCO.
Student : Rozwiązanie:AB ⊥ PNE., SA⊥ BC oznacza system operacyjny⊥ Słońce.∠ ACO - podążał za.
№ 3 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C = 90°, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD⊥ α, C∉ α. Zbudowaćliniowy kąt dwuściennyDABC.
Student : Rozwiązanie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB oznacza∠ DKC - podążał za.
№ 4
. Dany:DABC- czworościan,DO⊥
ABC.Konstruować kąt liniowy kąta dwuściennegoABCD.
Student : Rozwiązanie:DM ⊥ słońce,DO ⊥ VS oznacza OM⊥ Słońce;∠ OMD - podążał za.
5. Podsumowanie.
Nauczyciel: Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?
Studenci : Tak zwany kąt dwuścienny, kąt liniowy, jak się mierzy kąt dwuścienny.
Nauczyciel : Co powtórzyli?
Studenci : To, co nazywa się kątem na płaszczyźnie; kąt pomiędzy liniami prostymi.
6.Zadanie domowe.
Napisz na tablicy i w swoich pamiętnikach: paragraf 22, nr 167, nr 170.
Kąt dwuścienny. Liniowy kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego boki są promieniami, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; Promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego, tworzą kąty liniowe.
Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa KABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są równe, to podstawa prostopadłej wyprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Dowód. Przede wszystkim skonstruujmy kąty liniowe z równych kątów dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadłe do płaszczyzny bazowej, to możemy narysować OR prostopadłą AC, OR prostopadłą SV, OQ prostopadłą AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R Z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnego RK, QK , RK tak, aby krawędzie AC, NE, AB były prostopadłe do tych rzutów. W związku z tym krawędzie te są prostopadłe do samych nachylonych. I dlatego płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, które są wymienione w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są przystające (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwne do tej nogi są równe). Zatem OR = OR = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.
Prostopadłość płaszczyzn. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu jest równy 90. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeśli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, wówczas te płaszczyzny są prostopadłe.
Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny. Jego podstawą są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A żebra boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób możemy uzasadnić właściwości prostokątnego równoległościanu: W prostokątnym równoległościanie wszystkie sześć ścian jest prostokątami. W prostopadłościanie prostokątnym wszystkie sześć ścian jest prostokątami. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi.
Twierdzenie Kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów. Wróćmy do rysunku i udowodnijmy, że AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, kąt ACC1 jest prosty. Z trójkąta prostokątnego ACC1, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy AC12 = AC2 + CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2 + AD2. Ponadto CC1 = AA1. Zatem AC12= AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
TRANSKRYPT TEKSTOWY LEKCJI:
W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, półproste i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden ze swoich geometrycznych kształtów - kąt.
Wiemy, że kąt liniowy mierzy się w stopniach i radianach.
W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które w geometrii nie należą do tej samej płaszczyzny, nazywa się kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny są ścianami kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.
Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć i skonstruować. Tego właśnie musimy się dowiedzieć na tej lekcji.
Znajdźmy kąt dwuścienny w modelu czworościanu ABCD.
Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywa się środkiem
Wokół nas znajduje się całkiem sporo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.
W wielu miastach w parkach instalowane są specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w formie dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.
Przy budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. W tym domu dach wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.
Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.
Ciekawostką jest fakt, że dachy domów opierają się na krokwiach. A poszycie krokwi tworzy dwie połacie dachowe pod danym kątem.
Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznacza się punkt B. Z tego punktu poprowadzono dwa promienie BA i BC prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywa się liniowym kątem dwuściennym.
Miarą stopnia kąta dwuściennego jest miara stopnia jego kąt liniowy.
Zmierzmy kąt AOB.
Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.
Dla kąta dwuściennego można narysować nieskończoną liczbę kątów liniowych; ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.
Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są współkierunkowe. Belki OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.
Zatem kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważmy modele kątów dwuściennych.
Kąt rozwarty występuje wtedy, gdy jego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.
Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.
Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy wynosi od 0 do 90 stopni.
Udowodnimy jedną z ważnych właściwości kąta liniowego.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.
Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.
Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste i tylko jedną.
Linia a jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w tej płaszczyźnie, co oznacza, że biorąc pod uwagę prostopadłość tej linii i płaszczyzny, prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.
Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność skonstruowania kąta liniowego zadanego kąta dwuściennego. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.
Mówimy o kącie dwuściennym, który tworzą najpierw krawędź AB, jedna ściana ABD, a druga ściana ABC.
Oto jeden ze sposobów jego zbudowania.
Narysujmy prostopadłą z punktu D do płaszczyzny ABC.Oznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy czworościanu.
Narysujmy linię ukośną od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznaczmy punkt N jako podstawę linii ukośnej.
W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutem nachylonej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.
Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że skonstruowany kąt DNM jest pożądanym kątem liniowym.
Rozważmy przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.
Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten kąt.
Narysujmy pochyłą CM prostopadle do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, wówczas punkt M będzie pokrywał się ze środkiem krawędzi AB.
Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, czyli jest prostopadła do prostej DM leżącej w tej płaszczyźnie. Natomiast odcinek MD jest rzutem nachylonego CM na płaszczyznę ADV.
Prosta AB jest konstrukcyjnie prostopadła do nachylonej CM, co oznacza, zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, że jest prostopadła do rzutu MD.
Zatem do krawędzi AB znajdują się dwie prostopadłe CM i DM. Oznacza to, że tworzą kąt liniowy CMD kąta dwuściennego DABC. I wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć to z trójkąta prostokątnego CDM.
Zatem odcinek SM to mediana i wysokość trójkąta równoramiennego ACB, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ramię SM wynosi 4 cm.
Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.
Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzy razy dwa. Oznacza to, że kąt CMD wynosi 30 stopni.
