Umiejętność znajdowania wartości wyrażeń trygonometrycznych. Wpisy oznaczone jako „uprość wyrażenie trygonometryczne”

Lekcja wideo „Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych” ma na celu kształtowanie umiejętności uczniów w rozwiązywaniu problemów trygonometrycznych przy użyciu podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Podczas lekcji wideo rozważane są rodzaje tożsamości trygonometrycznych, przykłady rozwiązywania problemów z ich wykorzystaniem. Korzystając z pomocy wizualnych, nauczycielowi łatwiej jest osiągnąć cele lekcji. Żywa prezentacja materiału przyczynia się do zapamiętania ważnych punktów. Zastosowanie efektów animacyjnych i głosowych pozwalają na całkowite zastąpienie lektora na etapie wyjaśniania materiału. W ten sposób, wykorzystując tę pomoc wizualną na lekcjach matematyki, nauczyciel może zwiększyć efektywność nauczania.

Na początku lekcji wideo ogłaszany jest jej temat. Następnie przywołuje się zbadane wcześniej tożsamości trygonometryczne. Na ekranie wyświetlane są równości sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdzie t≠π/2+πk dla kϵZ, ctg t=cos t/sin t, prawda dla t≠πk, gdzie kϵZ, tg t· ctg t=1, w t≠πk/2, gdzie kϵZ nazywamy podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Należy zauważyć, że tożsamości te są często używane w rozwiązywaniu problemów, w których konieczne jest udowodnienie równości lub uproszczenie wyrażenia.

Dalej rozważane są przykłady zastosowania tych tożsamości w rozwiązywaniu problemów. W pierwszej kolejności proponuje się rozważenie rozwiązywania problemów upraszczania wyrażeń. W przykładzie 1 konieczne jest uproszczenie wyrażenia cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Aby rozwiązać ten przykład, dzielnik wspólny cos 2 t jest najpierw umieszczany w nawiasach. W wyniku takiego przekształcenia w nawiasach otrzymuje się wyrażenie 1- cos 2 t, którego wartość z podstawowej tożsamości trygonometrii jest równa sin 2 t. Po przekształceniu wyrażenia oczywista jest możliwość wyprowadzenia jeszcze jednego wspólnego czynnika sin 2 t z nawiasów, po czym wyrażenie przyjmuje postać sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Z tej samej tożsamości podstawowej dedukujemy wartość wyrażenia w nawiasie równym 1. W wyniku uproszczenia otrzymujemy cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

W przykładzie 2 wyrażenie koszt/(1- sint)+ koszt/(1+ sint) również wymaga uproszczenia. Ponieważ koszt wyrażenia znajduje się w licznikach obu ułamków, można go umieścić w nawiasach jako wspólny czynnik. Następnie ułamki w nawiasach sprowadza się do wspólnego mianownika przez pomnożenie (1- sint)(1+ sint). Po skróceniu podobnych wyrazów, 2 pozostaje w liczniku, a 1 - sin 2 t w mianowniku. Po prawej stronie ekranu przywołana jest podstawowa tożsamość trygonometryczna sin 2 t+cos 2 t=1. Korzystając z niego, znajdujemy mianownik ułamka cos 2 t. Po zmniejszeniu ułamka otrzymujemy uproszczoną formę wyrażenia koszt / (1- sint) + koszt / (1 + sint) \u003d 2 / koszt.

Następnie rozważymy przykłady dowodzenia tożsamości, w których zastosowana jest nabyta wiedza o podstawowych tożsamościach trygonometrii. W przykładzie 3 konieczne jest udowodnienie identyczności (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Po prawej stronie ekranu wyświetlane są trzy tożsamości, które będą potrzebne do przeprowadzenia dowodu - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t oraz tg t=sin t/cost t z ograniczeniami. Aby udowodnić identyczność, najpierw otwiera się nawiasy, po czym tworzy się produkt, który odzwierciedla wyrażenie głównej tożsamości trygonometrycznej tg t·ctg t=1. Następnie, zgodnie z tożsamością z definicji cotangensa, transformuje się ctg 2 t. W wyniku przekształceń otrzymuje się wyrażenie 1-cos 2t. Wykorzystując tożsamość podstawową, odnajdujemy wartość wyrażenia. Tym samym udowodniono, że (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

W przykładzie 4 musisz znaleźć wartość wyrażenia tg 2 t+ctg 2 t, jeśli tg t+ctg t=6. Aby ocenić wyrażenie, prawa i lewa strona równania (tg t+ctg t) 2 =6 2 są najpierw podnoszone do kwadratu. Skrócony wzór mnożenia jest wyświetlany po prawej stronie ekranu. Po otwarciu nawiasów po lewej stronie wyrażenia powstaje suma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, do przekształcenia której można zastosować jedną z tożsamości trygonometrycznych tg t ctg t=1, którego forma jest przywołana po prawej stronie ekranu. Po przekształceniu otrzymujemy równość tg 2 t+ctg 2 t=34. Lewa strona równości pokrywa się ze stanem problemu, więc odpowiedź to 34. Problem rozwiązany.

Lekcja wideo „Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych” jest zalecana do wykorzystania na tradycyjnej szkolnej lekcji matematyki. Materiał przyda się również nauczycielowi prowadzącemu naukę na odległość. W celu wyrobienia umiejętności rozwiązywania problemów trygonometrycznych.

INTERPRETACJA TEKSTU:

„Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Równość

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kwadrat te plus cosinus kwadrat te równa się jeden)

2) tgt =, w t ≠ + πk, kϵZ (tangens te jest równy stosunkowi sinusa te do cosinusa te, gdy te nie jest równe pi przez dwa plus pi ka, ka należy do zet)

3) ctgt = , w t ≠ πk, kϵZ (cotangens te jest równy stosunkowi cosinusa te do sinusa te, gdy te nie jest równe pikowi ka, który należy do z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 dla t ≠ , kϵZ

nazywane są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi.

Często są używane do upraszczania i udowadniania wyrażeń trygonometrycznych.

Rozważ przykłady użycia tych formuł podczas upraszczania wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 1. Uprość wyrażenie: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (wyrażenie a cosinus kwadrat te minus cosinus czwartego stopnia te plus sinus czwartego stopnia te).

Decyzja. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = grzech 2 t 1= grzech 2 t

(wyjmujemy wspólny czynnik cosinus kwadrat te, w nawiasach otrzymujemy różnicę między jednością a kwadratem cosinusa te, który jest równy kwadratowi sinusa te przez pierwszą tożsamość. Otrzymujemy sumę sinusa czwartej stopień te iloczynu cosinusa kwadrat te i sinusa kwadrat te. Wyciągamy dzielnik wspólny sinus kwadrat te poza nawiasami, w nawiasach otrzymujemy sumę kwadratów cosinusa i sinusa, które zgodnie z podstawową trygonometryczną identyczność jest równa 1. W rezultacie otrzymujemy kwadrat sinusa te).

PRZYKŁAD 2. Uprość wyrażenie: + .

(wyrażenie to suma dwóch ułamków w liczniku pierwszego cosinusa te w mianowniku jeden minus sin te, w liczniku drugiego cosinus te w mianowniku drugiego plus sin te).

(Wyjmijmy wspólny czynnik cosinus te z nawiasów, aw nawiasach przenieśmy go do wspólnego mianownika, który jest iloczynem jednego minus sinus te przez jeden plus sinus te.

W liczniku otrzymujemy: jeden plus sine te plus jeden minus sine te, podajemy podobne, licznik jest równy dwóm po przyniesieniu podobnych.

W mianowniku można zastosować skrócony wzór mnożenia (różnica kwadratów) i uzyskać różnicę między jednostką a kwadratem sinusa te, która zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną

jest równy kwadratowi cosinusa te. Po zmniejszeniu przez cosinus te otrzymujemy ostateczną odpowiedź: dwa podzielone przez cosinus te).

Rozważ przykłady użycia tych formuł w dowodzie wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 3. Udowodnij identyczność (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (iloczyn różnicy między kwadratami tangensa te i sinusa te oraz kwadratem cotangensa te jest równe kwadratowi sinusa te).

Dowód.

Przekształćmy lewą stronę równości:

(tg 2 t - grzech 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - grzech 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - grzech 2 t ∙ ctg 2 t =1 - grzech 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = grzech 2 t

(Otwórzmy nawiasy, z otrzymanej wcześniej relacji wiadomo, że iloczyn kwadratów tangensa te przez cotangens te jest równy jeden. Przypomnijmy, że cotangens te jest równy stosunkowi cosinusa te te do sinusa te, co oznacza, że kwadrat cotangensa jest stosunkiem kwadratu cosinusa te do kwadratu sinusa te.

Po zmniejszeniu o sinus kwadrat te otrzymujemy różnicę między jednością a cosinusem kwadratu te, która jest równa sinusowi kwadratu te). co było do okazania

PRZYKŁAD 4. Znajdź wartość wyrażenia tg 2 t + ctg 2 t, jeśli tgt + ctgt = 6.

(suma kwadratów tangensa te i cotangensa te, jeśli suma tangensa i cotangensa wynosi sześć).

Decyzja. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Podnieśmy do kwadratu obie części pierwotnej równości:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kwadrat sumy tangensa te i cotangensa te wynosi sześć do kwadratu). Przypomnij sobie skróconą formułę mnożenia: kwadrat sumy dwóch wielkości jest równy kwadratowi pierwszej plus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Otrzymujemy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Ponieważ iloczyn tangensa te i cotangensa te jest równy jeden, to tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (suma kwadratów tangensa te i cotangensa te i dwa wynosi trzydzieści sześć),

Na twoją prośbę.

6. Uprość wyrażenie:

Jak kofunkcje kątów uzupełniających się do 90° są równe, zastępujemy sin50° w liczniku ułamka przez cos40° i stosujemy wzór na sinus z podwójnego argumentu do licznika. W liczniku otrzymujemy 5sin80°. Zamieńmy sin80° na cos10°, co pozwoli nam zredukować ułamek.

Zastosowane formuły: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. W ciągu arytmetycznym, którego różnica wynosi 12, a ósmy wyraz to 54, znajdź liczbę elementów ujemnych.

Plan rozwiązania. Zróbmy wzór na wspólny wyraz tego progresji i dowiedzmy się, dla jakich wartości n ujemnych wyrazów zostaną uzyskane. Aby to zrobić, będziemy musieli znaleźć pierwszy termin progresji.

Mamy d=12, a 8=54. Zgodnie ze wzorem a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d piszemy:

8 = 1 + 7d. Zastąp dostępne dane. 54=a 1 +7∙12;

1 \u003d -30. Podstaw tę wartość do wzoru a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 lub a n =-30+12n-12. Uprość: n \u003d 12n-42.

Szukamy liczby wyrazów ujemnych, więc musimy rozwiązać nierówność:

jakiś<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Znajdź zakresy następującej funkcji: y=x-|x|.

Rozwińmy wsporniki modułowe. Jeśli x≥0, to y=x-x ⇒ y=0. Wykres będzie służył jako oś x na prawo od początku. Jeśli x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Znajdź boczną powierzchnię prawego okrągłego stożka, jeśli jego tworząca wynosi 18 cm, a powierzchnia podstawy 36 cm2.

Podano stożek o przekroju osiowym MAB. Generowanie BM=18, S main. =36π. Pole powierzchni bocznej stożka oblicza się według wzoru: strona S. \u003d πRl, gdzie l jest tworzącą i pod warunkiem jest równy 18 cm, R jest promieniem podstawy, znajdujemy według wzoru: S cr. = πR 2 . Mamy S cr. = S główne. = 36π. Stąd πR 2 =36π ⇒ R=6.

Następnie strona S. =π∙6∙18 ⇒ strona S. \u003d 108π cm 2.

12. Rozwiązujemy równanie logarytmiczne. Ułamek jest równy 1, jeśli jego licznik jest równy mianownikowi, tj.

lg(x 2 +5x+4)=2lgx przy lgx≠0. Stosujemy właściwość stopnia liczby pod znakiem logarytmu po prawej stronie równości: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Te logarytmy dziesiętne są równe, dlatego liczby pod znakami logarytmów są również równe, dlatego:

x 2 +5x+4=x 2 , stąd 5x=-4; otrzymujemy x=-0,8. Jednak tej wartości nie można przyjąć, ponieważ tylko liczby dodatnie mogą znajdować się pod znakiem logarytmu, dlatego to równanie nie ma rozwiązań. Notatka. Nie trzeba szukać ODZ na początku rozwiązania (nie spiesz się!), Lepiej sprawdzić (tak jak teraz) na końcu.

13. Znajdź wartość wyrażenia (x o - y o), gdzie (x o; y o) jest rozwiązaniem układu równań:

14. Rozwiązać równanie:

Jeśli podzielisz przez 2 oraz licznik i mianownik ułamka, dowiesz się wzoru na tangens kąta podwójnego. Otrzymasz proste równanie: tg4x=1.

15. Znajdź pochodną funkcji: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Otrzymaliśmy złożoną funkcję. Określamy to jednym słowem – to stopień. Zatem zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej znajdujemy pochodną stopnia i mnożymy ją przez pochodną podstawy tego stopnia według wzoru:

(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ ty”.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Wymagane jest znalezienie f ‘(1) jeśli funkcja

17. W trójkącie równobocznym suma wszystkich dwusiecznych wynosi 33√3 cm Znajdź obszar trójkąta.

Dwusieczna trójkąta równobocznego jest zarówno medianą, jak i wysokością. Zatem długość wysokości BD tego trójkąta wynosi

Znajdźmy bok AB od prostokąta Δ ABD. Ponieważ sin60° = BD : AB, to AB = BD : grzech 60°.

18. Okrąg jest wpisany w trójkąt równoboczny o wysokości 12 cm Znajdź obszar koła.

Okrąg (O; OD) jest wpisany w równoboczny Δ ABC. Wysokość BD jest również dwusieczną i medianą, a środek okręgu, punkt O, leży na BD.

O - punkt przecięcia wysokości, dwusiecznych i środkowych dzieli medianę BD w stosunku 2:1 licząc od góry. Dlatego OD=(1/3)BD=12:3=4. Promień okręgu R=OD=4 cm Powierzchnia okręgu S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Boczne krawędzie regularnej czworokątnej piramidy mają 9 cm, a bok podstawy 8 cm Znajdź wysokość piramidy.

Podstawą regularnej piramidy czworokątnej jest kwadrat ABCD, podstawą wysokości MO jest środek kwadratu.

20. Uproszczać:

W liczniku kwadrat różnicy jest skrócony.

Faktoryzujemy mianownik za pomocą metody grupowania summand.

21. Oblicz:

Aby móc wydobyć arytmetyczny pierwiastek kwadratowy, wyrażenie pierwiastka musi być pełnym kwadratem. Wyrażenie pod pierwiastkiem przedstawiamy jako kwadrat różnicy dwóch wyrażeń według wzoru:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , zakładając, że a 2 + b 2 =10.

22. Rozwiąż nierówność:

Jako produkt reprezentujemy lewą stronę nierówności. Suma sinusów dwóch kątów jest równa dwukrotności iloczynu sinusa połówkowej sumy tych kątów i cosinusa połówkowej różnicy tych kątów:

Otrzymujemy:

Rozwiążmy tę nierówność graficznie. Wybieramy te punkty wykresu y=koszt, które leżą powyżej linii prostej i wyznaczamy odcięte te punkty (zacieniowane).

23. Znajdź wszystkie pierwotne dla funkcji: h(x)=cos 2 x.

Tę funkcję przekształcamy obniżając jej stopień za pomocą wzoru:

1+cos2α=2cos2α. Otrzymujemy funkcję:

24. Znajdź współrzędne wektora

25. Wstaw znaki arytmetyczne zamiast gwiazdek, aby uzyskać prawidłową równość: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Twierdzimy: należy uzyskać liczbę 25 (31 - 6 \u003d 25). Jak uzyskać tę liczbę z dwóch „trójek” i dwóch „czwórek” za pomocą znaków akcji?

Oczywiście, że: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Odpowiedź E).

Lekcja 1

Podmiot: Klasa 11 (przygotowanie do egzaminu)

Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych.

Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych. (2 godziny)

Cele:

Usystematyzować, uogólnić, poszerzyć wiedzę i umiejętności studentów związane ze stosowaniem wzorów trygonometrycznych i rozwiązywaniem najprostszych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

Orgmoment
Testowanie na laptopach. Omówienie wyników.
Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych
Niezależna praca.
Podsumowanie lekcji. Wyjaśnienie pracy domowej.

1. Moment organizacyjny. (2 minuty.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji, przypomina, że wcześniej postawiono zadanie powtórzenia wzorów trygonometrii i przygotowuje uczniów do testów.

2. Testowanie. (15 min + 3 min dyskusji)

Celem jest sprawdzenie znajomości wzorów trygonometrycznych i umiejętności ich stosowania. Każdy uczeń ma na swoim biurku laptopa, w którym znajduje się opcja testu.

Opcji może być dowolna, podam przykład jednej z nich:

Mam opcję.

Uprość wyrażenia:

a) podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. grzech 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formuły dodawania

3. grzech5x - grzech3x;

c) przeliczenie produktu na sumę

6. 2sin8y cos3y;

d) formuły podwójnego kąta

7.2sin5x cos5x;

e) formuły półkąta

f) formuły potrójnego kąta

g) powszechna substytucja

h) obniżenie stopnia

16. cos 2 (3x/7);

Uczniowie na laptopie przed każdą formułą widzą swoje odpowiedzi.

Praca jest natychmiast sprawdzana przez komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie, aby wszyscy mogli je zobaczyć.

Również po zakończeniu pracy na laptopach uczniów wyświetlane są prawidłowe odpowiedzi. Każdy uczeń widzi, gdzie popełniono błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 min.)

Celem jest powtórzenie, wypracowanie i utrwalenie stosowania podstawowych wzorów trygonometrii. Rozwiązywanie problemów B7 z egzaminu.

Na tym etapie wskazane jest podzielenie klasy na grupy uczniów silnych (praca samodzielnie z późniejszą weryfikacją) i słabych, którzy pracują z nauczycielem.

Zadanie dla silnych uczniów (przygotowane wcześniej na papierze). Główny nacisk kładzie się na formuły redukcji i podwójnego kąta, zgodnie z USE 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych uczniów):

Równolegle nauczyciel pracuje ze słabymi uczniami, omawiając i rozwiązując zadania na ekranie pod dyktando uczniów.

Oblicz:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

Uproszczać:

Przyszła kolej na omówienie wyników pracy silnej grupy.

Na ekranie pojawiają się odpowiedzi, a także, za pomocą kamery wideo, pokazywana jest praca 5 różnych uczniów (po jednym zadaniu dla każdego).

Grupa słaba widzi warunek i sposób rozwiązania. Jest dyskusja i analiza. Za pomocą środków technicznych dzieje się to szybko.

4. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych. (30 minut.)

Celem jest powtórzenie, usystematyzowanie i uogólnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych, rejestrując ich pierwiastki. Rozwiązanie problemu B3.

Każde równanie trygonometryczne, bez względu na to, jak je rozwiążemy, prowadzi do najprostszego.

Podczas wykonywania zadania studenci powinni zwrócić uwagę na zapisanie pierwiastków równań poszczególnych przypadków i postaci ogólnej oraz dobór pierwiastków w ostatnim równaniu.

Rozwiąż równania:

Zapisz najmniejszy pozytywny pierwiastek z odpowiedzi.

5. Samodzielna praca (10 min.)

Celem jest przetestowanie nabytych umiejętności, zidentyfikowanie problemów, błędów i sposobów ich eliminacji.

Różnorodność pracy jest oferowana do wyboru studenta.

Opcja dla „3”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rozwiąż równanie

Opcja dla „4”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Rozwiąż równanie Zapisz najmniejszy pozytywny pierwiastek swojej odpowiedzi.

Opcja dla „5”

1) Znajdź tgα jeśli

2) Znajdź pierwiastek równania Zapisz najmniejszy pozytywny pierwiastek swojej odpowiedzi.

6. Podsumowanie lekcji (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje fakt, że lekcja powtórzyła i utrwaliła wzory trygonometryczne, rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych.

Praca domowa jest przypisywana (przygotowana z wyprzedzeniem w formie drukowanej) z wyrywkową kontrolą na następnej lekcji.

Rozwiąż równania:

10) Podaj swoją odpowiedź jako najmniejszy pierwiastek dodatni.

Lekcja 2

Podmiot: Klasa 11 (przygotowanie do egzaminu)

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybór korzenia. (2 godziny)

Cele:

Uogólniać i usystematyzować wiedzę dotyczącą rozwiązywania równań trygonometrycznych różnych typów.
Promowanie rozwoju myślenia matematycznego uczniów, umiejętności obserwacji, porównywania, uogólniania, klasyfikowania.
Zachęć uczniów do pokonywania trudności w procesie aktywności umysłowej, do samokontroli, introspekcji swoich działań.

Sprzęt do lekcji: KRMu, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

Orgmoment
Dyskusja d/s i samot. praca z ostatniej lekcji
Powtórzenie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Dobór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych.
Niezależna praca.
Podsumowanie lekcji. Zadanie domowe.

1. Moment organizacyjny (2 min.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji i plan pracy.

2. a) Analiza pracy domowej (5 min.)

Celem jest sprawdzenie wydajności. Jedna praca za pomocą kamery wideo jest wyświetlana na ekranie, pozostałe są selektywnie zbierane do sprawdzenia przez nauczyciela.

b) Analiza samodzielnej pracy (3 min.)

Celem jest uporządkowanie błędów, wskazanie sposobów ich przezwyciężenia.

Na ekranie pojawiają się odpowiedzi i rozwiązania, które uczniowie wstępnie wydali. Analiza przebiega szybko.

3. Powtórzenie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie znają metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Podkreśl, że istnieją tak zwane podstawowe (często stosowane) metody:

zmienna substytucja,
faktoryzacja,
równania jednorodne,

a stosowane są metody:

zgodnie ze wzorami przeliczania sumy na produkt i produktu na sumę,
według formuł redukcyjnych,
uniwersalne podstawienie trygonometryczne
wprowadzenie kąta pomocniczego,
mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną.

Należy również przypomnieć, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest uogólnienie i utrwalenie wiedzy i umiejętności na ten temat, przygotowanie do rozwiązywania C1 z USE.

Uważam za celowe rozwiązywanie równań dla każdej metody wspólnie z uczniami.

Uczeń dyktuje rozwiązanie, nauczyciel zapisuje na tablecie, cały proces jest wyświetlany na ekranie. Dzięki temu szybko i sprawnie przywrócisz w pamięci wcześniej zakryty materiał.

Rozwiąż równania:

1) zmienna zmiana 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktoryzacja 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) równania jednorodne sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) zamiana sumy na iloczyn cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) zamiana iloczynu na sumę 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) obniżenie stopnia grzechu2x - grzech 2 2x + grzech 2 3x \u003d 0,5

7) uniwersalne podstawienie trygonometryczne sinx + 5cosx + 5 = 0.

Rozwiązując to równanie należy zauważyć, że zastosowanie tej metody prowadzi do zawężenia dziedziny definicji, ponieważ sinus i cosinus są zastąpione przez tg(x/2). Dlatego przed wypisaniem odpowiedzi należy sprawdzić, czy liczby ze zbioru π + 2πn, n Z są końmi tego równania.

8) wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 = 0

9) mnożenie przez pewną funkcję trygonometryczną cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Wybór pierwiastków równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w warunkach ostrej konkurencji przy wchodzeniu na uczelnie rozwiązanie jednej pierwszej części egzaminu nie wystarcza, większość studentów powinna zwrócić uwagę na zadania z drugiej części (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu lekcji jest przypomnienie wcześniej przestudiowanego materiału, przygotowanie do rozwiązania problemu C1 z USE w 2011 roku.

Istnieją równania trygonometryczne, w których podczas pisania odpowiedzi należy wybrać pierwiastki. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik ułamka nie jest równy zero, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia jest nieujemne, wyrażenie pod znakiem logarytmu jest dodatnie itp.

Takie równania uważane są za równania o podwyższonej złożoności iw wersji USE znajdują się w drugiej części, czyli C1.

Rozwiązać równanie:

Ułamek wynosi zero, jeśli wtedy za pomocą koła jednostkowego wybierzemy pierwiastki (patrz rysunek 1)