สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง

สมการเลขชี้กำลัง อย่างที่คุณทราบ USE มีสมการอย่างง่าย เราได้พิจารณาบางอย่างแล้ว - เหล่านี้เป็นลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, ตรรกยะ นี่คือสมการเลขชี้กำลัง

ในบทความล่าสุด เราทำงานกับนิพจน์เลขชี้กำลัง ซึ่งจะเป็นประโยชน์ สมการนั้นได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายและรวดเร็ว เพียงต้องรู้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังและ ... เกี่ยวกับเรื่องนี้ไกลออกไป.

เราแสดงรายการคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง:

เลขยกกำลังศูนย์ของจำนวนใด ๆ เท่ากับหนึ่ง

ผลของคุณสมบัตินี้:

ทฤษฎีเพิ่มเติมเล็กน้อย

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง กล่าวคือ สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

ฉ(x) นิพจน์ที่มีตัวแปร

วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง

1. จากการแปลงรูปสมการสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

จากนั้นเราใช้คุณสมบัติ:

2. เมื่อได้สมการของแบบฟอร์ม ฉ (x) = ขใช้คำจำกัดความของลอการิทึม เราได้รับ:

3. จากการแปลงคุณจะได้สมการของแบบฟอร์ม:

ลอการิทึมถูกนำไปใช้:

แสดงและค้นหา x

ในงานของตัวเลือก USE ก็เพียงพอที่จะใช้วิธีแรก

กล่าวคือ จำเป็นต้องแสดงส่วนซ้ายและขวาเป็นองศาที่มีฐานเดียวกัน จากนั้นเราเทียบอินดิเคเตอร์และแก้สมการเชิงเส้นปกติ

พิจารณาสมการ:

หารากของสมการ 4 1-2x = 64

จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าในส่วนด้านซ้ายและด้านขวามีนิพจน์เลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน เราสามารถแทน 64 เป็น 4 ยกกำลัง 3 เราได้รับ:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

การตรวจสอบ:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

คำตอบ: -1

หารากของสมการ 3 x-18 = 1/9

เป็นที่ทราบกันดีว่า

ดังนั้น 3 x-18 = 3 -2

ฐานเท่ากัน เราสามารถเทียบอินดิเคเตอร์ได้:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

การตรวจสอบ:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

คำตอบ: 16

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทนเศษส่วน 1/64 เป็นหนึ่งในสี่ยกกำลังสาม:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 11

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทน 1/3 เป็น 3 -1 และ 9 เป็น 3 กำลังสอง เราได้:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

ตอนนี้เราสามารถเทียบอินดิเคเตอร์ได้:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 5

26654. หารากของสมการ:

วิธีการแก้:

คำตอบ: 8.75

ที่จริงแล้ว ไม่ว่าเราจะยกกำลังอะไรเป็นจำนวนบวก a เราก็ไม่สามารถหาจำนวนติดลบได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด

สมการเลขชี้กำลังใดๆ หลังจากการแปลงที่เหมาะสมจะลดเหลือการแก้สมการง่าย ๆ หนึ่งอย่างหรือมากกว่าในส่วนนี้เราจะพิจารณาการแก้สมการบางสมการด้วย อย่าพลาด!นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดีกับคุณ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

ในบทความนี้คุณจะได้รู้จักกับทุกประเภท สมการเลขชี้กำลังและอัลกอริธึมในการแก้ปัญหา เรียนรู้ที่จะรู้ว่าประเภทไหน สมการเลขชี้กำลังซึ่งคุณต้องแก้และใช้วิธีการที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยละเอียด สมการเลขชี้กำลังแต่ละประเภทคุณสามารถดูได้ใน VIDEO TUTORIALS ที่เกี่ยวข้อง

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขชี้กำลัง

ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้สมการเลขชี้กำลัง ควรทำสองสามข้อก่อน การดำเนินการเบื้องต้น ซึ่งสามารถอำนวยความสะดวกในการแก้ปัญหาได้อย่างมาก นี่คือการกระทำ:

1. แยกฐานอำนาจทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

2. นำเสนอรากเป็นดีกรี

3. เศษส่วนทศนิยมแสดงในรูปของสามัญ

4. เขียนจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

คุณจะตระหนักถึงประโยชน์ของการกระทำเหล่านี้ในกระบวนการแก้สมการ

พิจารณาประเภทหลัก สมการเลขชี้กำลังและอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหา

1. พิมพ์สมการ

สมการนี้เทียบเท่ากับสมการ

ดูวิดีโอนี้เพื่อแก้สมการ ประเภทนี้

2. พิมพ์สมการ

ในสมการประเภทนี้:

b) สัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักในเลขชี้กำลังเท่ากัน

ในการแก้สมการนี้ คุณต้องยึดตัวคูณด้วยดีกรีที่เล็กที่สุด

ตัวอย่างของการแก้สมการประเภทนี้:

ดูวิดีโอ

3. พิมพ์สมการ

สมการประเภทนี้ต่างกันตรงที่

ก) ทุกองศามีฐานเท่ากัน

b) ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักในเลขชี้กำลังต่างกัน

สมการประเภทนี้แก้ได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะกำจัดเงื่อนไขอิสระในเลขชี้กำลัง (, , ฯลฯ)

ดูคำตอบของสมการประเภทนี้ในวิดีโอ:

4. สมการเอกพันธ์ใจดี

คุณสมบัติที่โดดเด่นของสมการเอกพันธ์:

ก) โมโนเมียลทั้งหมดมีดีกรีเท่ากัน

b) ระยะฟรีเท่ากับศูนย์

c) สมการมีกำลังสองฐานต่างกัน

สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันจะแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมที่คล้ายคลึงกัน

ในการแก้สมการประเภทนี้ ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย (สามารถหารด้วย หรือ โดย )

ความสนใจ!เมื่อหารด้านขวาและด้านซ้ายของสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่ทราบค่า คุณจะสูญเสียราก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากของนิพจน์ที่เราแบ่งทั้งสองส่วนของสมการเป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

ในกรณีของเรา เนื่องจากนิพจน์ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ ที่ไม่รู้จัก เราจึงสามารถหารด้วยค่านี้ได้โดยไม่ต้องกลัว เราหารด้านซ้ายของสมการด้วยพจน์นิพจน์นี้ด้วยเทอม เราได้รับ:

ลดตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและสาม:

มาแนะนำการแทนที่:

และ title="(!LANG:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

เราได้สมการกำลังสอง:

แก้สมการกำลังสองหาค่าที่ตรงตามเงื่อนไข title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

ดูบทเรียนวิดีโอสำหรับการแก้ปัญหาโดยละเอียดของสมการเอกพันธ์:

5. พิมพ์สมการ

เมื่อแก้สมการนี้ เราจะดำเนินการจากข้อเท็จจริงที่ว่า title="(!LANG:f(x)>0">!}

ความเท่าเทียมกันดั้งเดิมถือได้สองกรณี:

1. ถ้า เนื่องจาก 1 เท่ากับ 1 ยกกำลังใดๆ

2. ภายใต้สองเงื่อนไข:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

ดูวิดีโอสำหรับการแก้ปัญหาโดยละเอียดของสมการ

สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง... การจัดแสดงรูปแบบใหม่ที่ไม่ซ้ำใครในงานนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) เช่นเดียวกับในกรณีส่วนใหญ่ คีย์เวิร์ดของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ใดๆ คือคำคุณศัพท์ที่เกี่ยวข้องกันซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะ ดังนั้นที่นี่ด้วย คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "สาธิต". มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่าสิ่งที่ไม่รู้จัก (x) คือ ในระดับใดระดับหนึ่งและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ตัวอย่างเช่น สมการง่าย ๆ เหล่านี้:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:

2 บาป x = 0.5

ฉันขอให้คุณใส่ใจกับสิ่งสำคัญอย่างหนึ่งทันที: ใน บริเวณองศา (ล่าง) - เฉพาะตัวเลข. แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (บนสุด) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x อะไรก็ได้) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ออกมาในสมการที่อื่นนอกเหนือจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x \u003d 18 + x 2) สมการดังกล่าวจะเป็นสมการอยู่แล้ว แบบผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ ดังนั้นในบทเรียนนี้เราจะไม่พิจารณาพวกเขา เพื่อความสุขของนักเรียน) ที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่ "บริสุทธิ์"

โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ยังไม่ได้รับการแก้อย่างชัดเจนในทุกกรณีและไม่เสมอไป แต่ในบรรดาสมการเลขชี้กำลังที่หลากหลาย มีบางประเภทที่แก้ได้และควรแก้ สมการประเภทนี้เราจะพิจารณาร่วมกับคุณ และเราจะแก้ตัวอย่างอย่างแน่นอน) ดังนั้นเราจึงตั้งรกรากอย่างสะดวกสบายและอยู่บนท้องถนน! เช่นเดียวกับใน "เกมยิงปืน" ทางคอมพิวเตอร์ การเดินทางของเราจะผ่านด่านต่างๆ) ตั้งแต่ระดับพื้นฐานไปจนถึงระดับง่าย จากระดับง่ายไปจนถึงระดับกลาง และระดับกลางไปจนถึงระดับซับซ้อน ระหว่างทาง คุณจะรอระดับความลับ - กลเม็ดและวิธีการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน เรื่องที่คุณจะไม่อ่านในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่... ท้ายที่สุด เจ้านายคนสุดท้ายกำลังรอคุณอยู่ในรูปแบบของการบ้าน)

ระดับ 0. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มต้นด้วยการดูพื้นฐานที่ตรงไปตรงมา คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม? ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

2 x = 2 2

แม้จะไม่มีทฤษฎีใดๆ ด้วยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึก ก็เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่อย่างนั้นไม่มีทางหรอก จริงไหม? ไม่มีค่าของ x อื่นใดดี ... ทีนี้มาสนใจกัน บันทึกการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังที่ยอดเยี่ยมนี้:

2 x = 2 2

X = 2

เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น อันที่จริงแล้วเราเอาและ ... เพิ่งโยนฐานเดียวกัน (สอง)! โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเป้า!

ใช่ แน่นอน ถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้สามารถทิ้งและเท่ากับเลขชี้กำลัง คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถแยกการทำงานกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

นี่คือแนวคิดหลักในการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ (ใช่ ทุกประการ!) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกัน มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าซ้ายและขวาในสมการคือ เหมือน เลขฐานในองศาต่างๆ จากนั้นคุณสามารถเอาฐานเดียวกันออกและจัดเลขชี้กำลังได้อย่างปลอดภัย และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า

และตอนนี้เราจำกฎเหล็กได้: เป็นไปได้ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อในสมการทางซ้ายและทางขวาตัวเลขฐานคือ ในความเหงาอันภาคภูมิ

ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยมหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ ฉันอธิบาย.

ตัวอย่างเช่น ในสมการ

3 3 x-5 = 3 2 x +1

คุณไม่สามารถลบแฝดสาม! ทำไม เพราะทางซ้ายเราไม่ได้มีดีกรีอยู่แค่สามคน แต่ งาน 3 3 x-5 . ทริปเปิ้ลพิเศษเข้ามาขวางทาง: คุณเข้าใจสัมประสิทธิ์)

สามารถพูดได้เหมือนกันเกี่ยวกับสมการ

5 3 x = 5 2 x +5 x

ที่นี่เช่นกัน ฐานทั้งหมดเหมือนกัน - ห้า แต่ทางขวาเราไม่มีดีกรีห้าเดียว นั่นคือผลรวมขององศา!

กล่าวโดยสรุป เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานเดียวกันก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะดังนี้ และมีลักษณะดังนี้:

เอฉ (x) = ก (x)

สมการเลขชี้กำลังประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด. หรือในทางวิทยาศาสตร์ บัญญัติ . และไม่ว่าสมการบิดเบี้ยวที่อยู่ตรงหน้าจะเป็นอย่างไร ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบง่ายๆ (ตามบัญญัติ) ดังกล่าว หรือในบางกรณีถึง มวลรวมสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

F(x) = ก.(x)

และนั่นแหล่ะ นี่จะเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน ในขณะเดียวกัน นิพจน์ใดๆ ที่มี x ก็สามารถใช้เป็น f(x) และ g(x) ได้ อะไรก็ตาม.

บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษจะถามว่า: ทำไมเราจึงทิ้งฐานเดียวกันทางซ้ายและขวาอย่างง่ายดายและง่ายดายและเท่ากับเลขชี้กำลัง สัญชาตญาณก็คือสัญชาตญาณ แต่จู่ๆ ในสมการบางอย่างและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้จะกลับกลายเป็นว่าผิด? ถูกต้องตามกฎหมายเสมอหรือไม่ที่จะโยนฐานเดิม?น่าเสียดาย สำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับคำถามที่น่าสนใจนี้ เราจำเป็นต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และเฉพาะเจาะจงอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์ ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดโดยเฉพาะความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy= x. เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่รองรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่) คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้จะให้ไว้ในบทเรียนพิเศษที่แยกต่างหากซึ่งอุทิศให้กับการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันต่างๆ)

เพื่ออธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดในตอนนี้ เป็นเพียงการนำสมองของเด็กนักเรียนธรรมดาๆ ออกมา และทำให้ตกใจเขาล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำเช่นนี้) สำหรับงานหลักของเราในขณะนี้คือ เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!ง่ายที่สุด! ดังนั้นจนกว่าเราจะเหงื่อออกและกล้าโยนเหตุผลเดียวกันออกไป มัน สามารถใช้คำพูดของฉันมัน!) จากนั้นเราก็แก้สมการเทียบเท่า f (x) = g (x) ตามกฎแล้วจะง่ายกว่าเลขชี้กำลังเดิม

แน่นอนว่ามีคนรู้วิธีแก้อยู่แล้วอย่างน้อย และสมการ โดยที่ไม่มี x ในอินดิเคเตอร์) ใครยังไม่รู้วิธีปิดหน้านี้ เดินตามลิงค์ที่เหมาะสมแล้วกรอกลงไป ช่องว่างเก่า มิฉะนั้นคุณจะลำบากใช่ ...

ฉันเงียบเกี่ยวกับสมการที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ และสมการที่โหดร้ายอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดฐาน แต่อย่าตื่นตระหนกเพราะตอนนี้เราจะไม่พิจารณาระดับปริญญาที่ตรงไปตรงมา: มันเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อย่อให้เหลือน้อยที่สุด เรียกพวกมันว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย. มาต่อกันที่ระดับถัดไปกันเถอะ!

ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! ตัวชี้วัดทางธรรมชาติ

กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา. หากปราศจากความรู้และทักษะนี้ อะไรๆ ก็จะไม่เกิดผล อนิจจา. ดังนั้น หากมีปัญหากับปริญญา คุณก็สามารถเริ่มต้นได้ นอกจากนี้เรายังต้องการ . การแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป และไม่เพียงแต่โชว์ผลงานเท่านั้น ดังนั้นใครก็ตามที่ลืมไปเดินเล่นบนลิงค์ด้วย: ฉันใส่มันด้วยเหตุผล

แต่การกระทำที่มีพลังและการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเท่านั้นไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังต้องมีการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเหตุผลเดียวกัน ใช่ไหม ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!

ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

3 2x – 27x +2 = 0

ดูครั้งแรกที่ บริเวณ. พวกเขาแตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด แต่มันเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาต้องจำไว้

27 = 3 3

เบอร์ 3 กับ 27 เป็นญาติสายตรง! ยิ่งกว่านั้นญาติโยม) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์จดบันทึก:

27 x +2 = (3 3) x+2

และตอนนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำที่มีอำนาจ(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มาก:

(น) n = a mn

ตอนนี้ถ้าคุณเรียกใช้ในหลักสูตร โดยทั่วไปแล้วจะออกมาดี:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

ตัวอย่างเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

เยี่ยมมาก ฐานขององศาอยู่ในแนวเดียวกัน สิ่งที่เรามุ่งมั่นเพื่อ เสร็จไปครึ่งงานแล้ว) และตอนนี้เราเริ่มการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐาน - เราโอน 3 3 (x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ใช่) เราได้รับ:

3 2 x = 3 3(x +2)

อะไรทำให้เรามีสมการแบบนี้? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง เป็นรูปแบบบัญญัติ: ทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน (สามเท่า) และแฝดแฝดทั้งสอง - ในความโดดเดี่ยวที่ยอดเยี่ยม เราลบแฝดสามอย่างกล้าหาญและรับ:

2x = 3(x+2)

เราแก้ปัญหานี้และรับ:

X=-6

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)

และตอนนี้เราเข้าใจขั้นตอนการตัดสินใจแล้ว อะไรช่วยเราไว้ในตัวอย่างนี้ เราได้รับความรอดจากความรู้เรื่ององศาสามชั้น ว่าอย่างไร? เรา ระบุหมายเลข 27 เข้ารหัสสาม! เคล็ดลับนี้ (เข้ารหัสฐานเดียวกันด้วยตัวเลขต่างกัน) เป็นหนึ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ได้รับความนิยมมากที่สุด! เว้นแต่จะเป็นที่นิยมมากที่สุด ใช่และอีกอย่าง นั่นคือเหตุผลที่การสังเกตและความสามารถในการรับรู้กำลังของตัวเลขอื่น ๆ ในตัวเลขมีความสำคัญมากในสมการเลขชี้กำลัง!

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

คุณจำเป็นต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ต่อหน้า!

แน่นอน ใครๆ ก็สามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือยกกำลังสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในความคิดของฉันดังนั้นอย่างน้อยก็ในร่าง แต่ในสมการเลขชี้กำลัง บ่อยครั้งมากที่ไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน เพื่อค้นหาว่าจำนวนใดและขอบเขตใดที่ซ่อนอยู่หลังจำนวนนั้น กล่าวคือ 128 หรือ 243 และนี่ก็มากกว่านั้นแล้ว ซับซ้อนกว่าการยกกำลังอย่างง่าย คุณเห็นไหม รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!

เนื่องจากความสามารถในการจดจำองศาบนใบหน้านั้นมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้ แต่ในระดับต่อไปนี้ด้วย จึงเป็นงานเล็กน้อยสำหรับคุณ:

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

คำตอบ (กระจัดกระจายแน่นอน):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ใช่ ๆ! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8 , 4 4 และ 16 2 เป็น 256 ทั้งหมด

ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย รับรู้องศา! เลขชี้กำลังลบและเศษส่วน

ในระดับนี้ เราใช้ความรู้เกี่ยวกับองศาของเราอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าสนใจนี้! ใช่ ๆ! เราต้องสร้างพลังใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น สมการที่น่ากลัวนี้:

ดูรากฐานอีกครั้งก่อน ฐานไม่ต่างกัน! และคราวนี้พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเลยแม้แต่น้อย! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน จำเป็นต้องมีฐานเดียวกัน... จะทำอย่างไร?

ไม่เป็นไร! อันที่จริงแล้ว ทุกอย่างเหมือนกัน เพียงการเชื่อมต่อระหว่างห้าถึง 0.04 นั้นมองเห็นได้ไม่ดีนัก เราจะออกไปได้อย่างไร? และไปที่เศษส่วนปกติในจำนวน 0.04 กัน! คุณจะเห็นว่าทุกอย่างก่อตัวขึ้น)

0,04 = 4/100 = 1/25

ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! แล้วใครจะไปคิดล่ะ!)

ยังไงดี? ตอนนี้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข 5 กับ 1/25 ง่ายขึ้นหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่มันเป็น...

และตอนนี้ตามกฎการดำเนินงานที่มีอำนาจด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบสามารถเขียนด้วยมือที่มั่นคง:

เป็นสิ่งที่ดี. ดังนั้นเราจึงได้ฐานเดียวกัน - ห้า ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ไม่สบายใจ 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:

อีกครั้งตามกฎการดำเนินการที่มีอำนาจ เราสามารถเขียนได้ว่า:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

เผื่อจะเตือน (อยู่ๆ ใครไม่รู้) ว่ากฎพื้นฐานสำหรับการกระทำที่มีองศานั้นใช้ได้ ใดๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้และคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เกี่ยวข้อง สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:

ทุกอย่าง! นอกจากคนขี้เหงาในองศาทางซ้ายและขวาแล้ว ไม่มีอะไรอื่นอีกแล้ว สมการจะลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ แล้ว - ตามรอยหยัก เราลบห้าและเท่ากับตัวบ่งชี้:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ตัวอย่างใกล้เสร็จแล้ว คณิตศาสตร์เบื้องต้นของชนชั้นกลางยังคงอยู่ - เราเปิด (ถูกต้อง!) วงเล็บและรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

เราแก้ปัญหานี้และรับสองราก:

x 1 = 1; x 2 = 3

แค่นั้น)

ทีนี้ลองคิดดูใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำตัวเลขเดิมในองศาที่แตกต่างกันอีกครั้ง! กล่าวคือเพื่อดูการเข้ารหัสห้าในจำนวน 0.04 และครั้งนี้ใน องศาติดลบ!เราทำมันได้อย่างไร? กำลังเดินทาง - ไม่มีทาง แต่หลังจากเปลี่ยนจากทศนิยม 0.04 เป็นทศนิยม 1/25 แล้ว ทุกอย่างก็ถูกเน้น! แล้วการตัดสินใจทั้งหมดก็ดำเนินไปเหมือนเครื่องจักร)

ดังนั้นคำแนะนำเชิงปฏิบัติที่เป็นมิตรกับสิ่งแวดล้อมอีกประการหนึ่ง

หากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา ในเศษส่วนธรรมดา ง่ายกว่ามากที่จะจดจำพลังของตัวเลขยอดนิยมมากมาย! หลังจากที่รับรู้แล้ว เราก็เปลี่ยนจากเศษส่วนเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบ

โปรดทราบว่าการหลอกลวงในสมการเลขชี้กำลังเกิดขึ้นบ่อยมาก! และบุคคลนั้นไม่อยู่ในเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูตัวเลข 32 และ 0.125 แล้วอารมณ์เสีย เขาไม่รู้ว่านี่เป็นผีตัวเดียวกันในองศาที่ต่างกันเท่านั้น ... แต่คุณอยู่ในเรื่องนี้แล้ว!)

แก้สมการ:

ใน! ดูเหมือนสยองขวัญเงียบ ๆ ... อย่างไรก็ตามการปรากฏตัวเป็นการหลอกลวง นี่คือสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แม้จะดูน่ากลัวก็ตาม และตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น)

อันดับแรก เราจัดการกับตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในฐานและในสัมประสิทธิ์ ต่างกันอย่างเห็นได้ชัดใช่ แต่เรายังคงเสี่ยงและพยายามสร้างมันขึ้นมา เหมือน! ลองไปที่ เลขเดียวกันในองศาที่ต่างกัน. และควรเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มาเริ่มถอดรหัสกันเลย!

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสี่พร้อมกัน - มันคือ 2 2 . มีบางอย่างอยู่แล้ว)

ด้วยเศษ 0.25 - ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ เราใช้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ - เปลี่ยนจากทศนิยมเป็นธรรมดา:

0,25 = 25/100 = 1/4

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้เห็นได้ชัดเจนว่า 1/4 คือ 2 -2 เยี่ยม และเลข 0.25 ก็คล้ายกับผี)

จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่เลวร้ายที่สุดยังคงอยู่ - รากที่สองของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกไทยนี้? มันสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...

อีกครั้งที่เราปีนเข้าไปในคลังความรู้เกี่ยวกับองศา! คราวนี้เราเชื่อมต่อความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก. จากหลักสูตร ป.9 เธอกับฉันต้องทนว่ารากใด ๆ ที่ต้องการสามารถเปลี่ยนเป็นดีกรีได้เสมอ ด้วยเศษส่วน

แบบนี้:

ในกรณีของเรา:

ยังไง! ปรากฎว่าสแควร์รูทของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!

ไม่เป็นไร! ตัวเลขที่น่าอึดอัดทั้งหมดของเรากลับกลายเป็นว่าหลอกลวง) ฉันไม่เถียงที่ไหนสักแห่งที่เข้ารหัสอย่างซับซ้อนมาก แต่เรายังเพิ่มความเป็นมืออาชีพในการแก้ตัวเลขดังกล่าวอีกด้วย! แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว เราแทนที่ตัวเลข 4, 0.25 และรากของสองในสมการด้วยกำลังสอง:

ทุกอย่าง! ฐานขององศาทุกองศาในตัวอย่างกลายเป็นค่าเดียวกัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การกระทำมาตรฐานพร้อมองศา:

เป็นหนึ่ง = เป็น + น

a m:a n = a m-n

(น) n = a mn

สำหรับด้านซ้ายคุณจะได้รับ:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

สำหรับด้านขวาจะเป็น:

และตอนนี้สมการชั่วร้ายของเราเริ่มมีลักษณะดังนี้:

สำหรับผู้ที่ไม่รู้ว่าสมการนี้ออกมาเป็นอย่างไร คำถามไม่ได้เกี่ยวกับสมการเลขชี้กำลัง คำถามเกี่ยวกับการกระทำที่มีอำนาจ ขอย้ำด่วนสำหรับผู้ที่มีปัญหา!

นี่คือเส้นชัย! ได้รูปแบบบัญญัติของสมการเลขชี้กำลังแล้ว! ยังไงดี? ฉันเชื่อคุณหรือไม่ว่ามันไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบ deuces และเท่ากับตัวบ่งชี้:

มันยังคงเป็นเพียงการแก้สมการเชิงเส้นนี้เท่านั้น ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) แก้สิ่งที่มีอยู่แล้ว! คูณทั้งสองส่วนด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายเงื่อนไขด้วย Xs ไปทางซ้ายโดยไม่มี Xs ไปทางขวา นำสิ่งที่เหมือนกันมานับ - แล้วคุณจะมีความสุข!

ทุกอย่างควรออกมาอย่างสวยงาม:

X=4

ตอนนี้ มาทบทวนการตัดสินใจกันใหม่ ในตัวอย่างนี้ เราได้รับการช่วยเหลือจากการเปลี่ยนผ่านจาก รากที่สองถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2. ยิ่งกว่านั้นการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดแกมโกงเท่านั้นที่ช่วยให้เราทุกหนทุกแห่งเข้าถึงพื้นฐานเดียวกัน (deuce) ซึ่งช่วยสถานการณ์ได้! และถ้าไม่ใช่เพราะเรื่องนี้ เราก็คงจะมีโอกาสหยุดนิ่งตลอดไปและไม่เคยรับมือกับตัวอย่างนี้เลย ใช่ ...

ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ต่อไป:

หากมีรากอยู่ในสมการเลขชี้กำลัง เราก็ย้ายจากรากหนึ่งเป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้สถานการณ์กระจ่างขึ้น

แน่นอน พลังลบและเศษส่วนนั้นซับซ้อนกว่าพลังธรรมชาติมากอยู่แล้ว อย่างน้อยก็ในแง่ของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจดจำจากขวาไปซ้าย!

เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มโดยตรงเช่น 2 ยกกำลัง -3 หรือ 4 ยกกำลัง -3/2 ไม่เป็นอย่างนั้น ปัญหาใหญ่. สำหรับผู้รู้)

แต่ไปยกตัวอย่างทันทีว่า

0,125 = 2 -3

หรือ

ที่นี่เท่านั้นกฎการฝึกฝนและประสบการณ์อันยาวนานใช่ และแน่นอน มุมมองที่ชัดเจน เลขชี้กำลังลบและเศษส่วนคืออะไรและยัง - คำแนะนำที่เป็นประโยชน์! ใช่ ใช่ พวกนั้น เขียว.) ฉันหวังว่าพวกเขาจะยังช่วยให้คุณนำทางได้ดีขึ้นในทุกองศาที่หลากหลายและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จของคุณอย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันเขียนด้วยสีเขียวในบางครั้ง)

ในทางกลับกัน หากคุณกลายเป็น "คุณ" แม้จะมีพลังพิเศษอย่างเช่น ลบและเศษส่วน ความเป็นไปได้ของคุณในการแก้สมการเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเลขชี้กำลังเกือบทุกประเภทได้แล้ว ถ้าไม่มี งั้น 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่ฉันไม่ได้ล้อเล่น!

ดังนั้นส่วนแรกของความคุ้นเคยกับสมการเลขชี้กำลังจึงได้ข้อสรุปเชิงตรรกะ และในระหว่างการออกกำลังกาย ฉันขอแนะนำให้แก้ไขเล็กน้อยด้วยตัวเอง)

แบบฝึกหัดที่ 1

เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสองศาลบและเศษส่วนไม่ไร้ประโยชน์ฉันเสนอให้เล่นเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ!

แสดงตัวเลขเป็นกำลังสอง:

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

เกิดขึ้น? ยอดเยี่ยม! จากนั้นเราก็ทำภารกิจการต่อสู้ - เราแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายและสะดวกที่สุด!

ภารกิจที่ 2

แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดเป็นระเบียบ!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

คำตอบ:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

เกิดขึ้น? แน่นอนง่ายกว่ามาก!

จากนั้นเราแก้เกมต่อไปนี้:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

คำตอบ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

และตัวอย่างเหล่านี้เหลือ? ยอดเยี่ยม! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมให้คุณทานเล่น:

คำตอบ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

และตัดสินใจแล้ว? ครับ นับถือ! ฉันถอดหมวกออก) ดังนั้นบทเรียนจึงไม่ไร้ประโยชน์และระดับเริ่มต้นของการแก้สมการเลขชี้กำลังถือได้ว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญที่ประสบความสำเร็จ ข้างหน้า - ระดับถัดไปและสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น! และเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน และเซอร์ไพรส์ใหม่) ทั้งหมดนี้ - ในบทเรียนหน้า!

มีบางอย่างไม่ทำงาน? เป็นไปได้มากว่าปัญหาอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน ที่นี่ฉันไม่มีกำลัง ฉันสามารถเสนอสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าเกียจคร้านและเดินผ่านลิงก์)

ยังมีต่อ.)

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

อะไร สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่นิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ที่ ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

อันที่จริง แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ไม่ได้ถูกแก้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเลขชี้กำลังบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) โยนทิ้งให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณจะถอดฐานออกได้ก็ต่อเมื่อเลขฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาอยู่ในการแยกชั้นที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีเปลี่ยนจากนิพจน์เลขชี้กำลังที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” - คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องนึกถึงเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริง นี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูวิธีการทำในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานทั่วไปภายใต้ตัวเลขต่างกัน) เป็นเคล็ดลับที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลังบ่อยครั้งมากขึ้นไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขที่จะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ใช่ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากสังเกตดีๆ จะพบข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม?

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมในวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? สามไม่สามารถโยนออก ... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไรก็ทำไปเลย!

คุณดูทุกอย่างเกิดขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเป็นไปด้วยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแล่นออกนอกพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้เกิดขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

มันเช้าแล้วเหรอ?) ยังไม่ลืมสมการกำลังสองเหรอ? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใดๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเราดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นองศาได้เช่นกัน!

2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังให้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด (แต่ในใจ ... ได้รับการแก้ไขแล้ว):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและกฎที่เป็นสากลที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะช่วยประหยัดได้)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความเฉลียวฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; สี่; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; สี่; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ยอดเยี่ยม.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

อุปกรณ์:

คอมพิวเตอร์,
โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย,
หน้าจอ,
เอกสารแนบ 1(การนำเสนอภาพนิ่งใน PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
ภาคผนวก 2(การแก้สมการเช่น "สามฐานองศาที่แตกต่างกัน" ใน Word)
ภาคผนวก 3(เอกสารแจกใน Word สำหรับการใช้งานจริง)
ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)

ระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร

ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนไว้บนกระดาน)
ความต้องการบทเรียนทั่วไปในเกรด 10-11:

ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมความรู้

การทำซ้ำ

คำนิยาม.

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง (นักเรียนตอบ)

บันทึกของครู สมการเลขชี้กำลังอยู่ในคลาสของสมการยอดเยี่ยม ชื่อที่ออกเสียงยากนี้บ่งชี้ว่าสมการดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปของสูตร

สามารถแก้ไขได้โดยวิธีตัวเลขโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่คำถามในการสอบล่ะ? เคล็ดลับทั้งหมดคือการที่ผู้ตรวจสอบเขียนปัญหาในลักษณะที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งลดสมการเลขชี้กำลังที่กำหนดให้เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดและเรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แก้ได้ ลอการิทึม.

สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับการเดินทางผ่านเขาวงกต ซึ่งผู้รวบรวมปัญหาเป็นผู้คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อพิจารณาทั่วไปเหล่านี้ คำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงค่อนข้างจะตามมา

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:

1. ไม่เพียงแต่รู้ข้อมูลประจำตัวเลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าของตัวแปรที่กำหนดตัวตนเหล่านี้ เพื่อที่ว่าเมื่อใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ เราจะไม่ได้รับรากที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้น จะไม่สูญเสีย แก้สมการ

2. รู้อัตลักษณ์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน

3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอย่างชัดเจนและปราศจากข้อผิดพลาด (โอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังส่วนอื่น อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติ และหัวหน้าควรคำนึงถึงเส้นบอกแนวทั่วไปของสารละลาย จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุด วิธีนี้เท่านั้นที่จะรับประกันได้ว่าโซลูชันที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และจำไว้ว่า: ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยสามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและวิ่งเข้าไปในกำแพงของเขาวงกต

4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (นั่นคือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตของการแก้ปัญหา) สำหรับการวางแนวที่ถูกต้องในแต่ละขั้นตอน คุณจะต้อง (อย่างมีสติหรือสัญชาตญาณ!):

กำหนด ประเภทสมการ;
จำประเภทที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหางาน

ขั้นตอนการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา

ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ดำเนินการทบทวนภาพรวมของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้สมการ และร่างโครงร่างทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฝึกอบรมของ L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)

ข้าว. หนึ่ง.รูปแสดงโครงร่างทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท

ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังนี้เป็นสมการ อย่างแรกเลย ที่มีฐานเดียวกัน , แล้วก็ - และ ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

เมื่อได้สมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณจึงแทนที่ดีกรีนี้ด้วยตัวแปรใหม่ แล้วได้สมการพีชคณิตอย่างง่าย (ปกติแล้วจะเป็นเศษส่วนตรรกยะหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้

การแก้สมการนี้และการแทนที่แบบผกผัน คุณจะจบลงด้วยชุดสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่แก้ด้วยวิธีทั่วไปโดยใช้ลอการิทึม

สมการแยกจากกันซึ่งมีเฉพาะผลิตภัณฑ์ของอำนาจ (ส่วนตัว) เท่านั้นที่เกิดขึ้น การใช้ข้อมูลเฉพาะตัวแบบเลขชี้กำลัง เป็นไปได้ที่จะนำสมการเหล่านี้มาไว้ในฐานเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

พิจารณาวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่มีองศาฐานต่างกันสามฐาน

(ถ้าครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สอนโดย L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" โดยปกติเราจะทำงานกับดิสก์ถ้าไม่ใช่คุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ดังแสดงด้านล่าง .)