การแก้สมการเชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์ วิธีการแก้ระบบสมการเชิงตรรกะ

อนุญาต เป็นฟังก์ชันตรรกะของตัวแปร n ตัว สมการเชิงตรรกะดูเหมือนว่า:

ค่าคงที่ C มีค่า 1 หรือ 0

สมการลอจิกสามารถมีได้ตั้งแต่ 0 ถึงคำตอบที่ต่างกัน ถ้า C เท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบคือชุดตัวแปรทั้งหมดจากตารางความจริง ซึ่งฟังก์ชัน F รับค่าจริง (1) ชุดที่เหลือคือคำตอบของสมการที่มี C เท่ากับศูนย์ คุณสามารถพิจารณาเฉพาะสมการของแบบฟอร์มเท่านั้น:

จริง ๆ แล้วให้สมการดังนี้:

ในกรณีนี้ เราสามารถหาสมการที่เทียบเท่าได้:

พิจารณาระบบของ k สมการเชิงตรรกะ:

คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรที่ทำให้สมการของระบบทั้งหมดเป็นไปตามที่ต้องการ ในแง่ของฟังก์ชันลอจิคัลเพื่อให้ได้คำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเราควรหาเซตที่ฟังก์ชันลอจิคัล Ф เป็นจริงซึ่งแสดงถึงการรวมของฟังก์ชันดั้งเดิม:

ถ้าจำนวนตัวแปรน้อย เช่น น้อยกว่า 5 ก็ไม่ยากที่จะสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้เราบอกได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหากี่ข้อ และชุดใดบ้างที่ให้คำตอบ

ในปัญหา USE บางประการในการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ จำนวนตัวแปรถึง 10 จากนั้น การสร้างตารางความจริงกลายเป็นงานที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย การแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป สำหรับระบบสมการตามอำเภอใจนั้นไม่มี วิธีการทั่วไปแตกต่างจากการใช้กำลังดุร้ายซึ่งทำให้สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

ในโจทย์ที่นำเสนอในข้อสอบนั้น วิธีแก้ปัญหามักจะคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของระบบสมการด้วย ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า นอกเหนือจากการลองใช้ตัวเลือกทั้งหมดสำหรับชุดตัวแปรแล้ว ไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหา โซลูชันจะต้องสร้างขึ้นตามลักษณะเฉพาะของระบบ การทำให้ระบบสมการง่ายขึ้นเบื้องต้นมักจะมีประโยชน์โดยใช้กฎของตรรกศาสตร์ที่รู้จัก อีกเทคนิคที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหานี้มีดังนี้ เราไม่ได้สนใจทุกเซต แต่สนใจเฉพาะเซตที่ฟังก์ชันมีค่า 1 แทนที่จะสร้าง เต็มโต๊ะความจริงแล้ว เราจะสร้างอะนาล็อกของมัน - แผนผังการตัดสินใจแบบไบนารี แต่ละกิ่งของแผนภูมินี้สอดคล้องกับคำตอบเดียวและระบุชุดที่ฟังก์ชันมีค่าเป็น 1 จำนวนกิ่งในแผนภูมิการตัดสินใจเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนคำตอบของระบบสมการ

ฉันจะอธิบายว่าแผนผังการตัดสินใจแบบไบนารีคืออะไร และสร้างขึ้นได้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างของปัญหาต่างๆ

ปัญหาที่ 18

มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่เป็นไปตามระบบของสมการทั้งสอง?

คำตอบ: ระบบมีโซลูชั่นที่แตกต่างกัน 36 แบบ

วิธีแก้: ระบบสมการมีสองสมการ ลองหาจำนวนคำตอบของสมการแรกขึ้นอยู่กับตัวแปร 5 ตัว - . สมการแรกสามารถถือเป็นระบบที่มี 5 สมการได้ ดังที่ได้แสดงไปแล้ว ระบบสมการแสดงถึงการรวมฟังก์ชันลอจิคัลเข้าด้วยกัน ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน - การรวมกันของเงื่อนไขถือได้ว่าเป็นระบบสมการ

มาสร้างแผนผังการตัดสินใจโดยนัย () - เทอมแรกของการรวมซึ่งถือได้ว่าเป็นสมการแรก นี่คือลักษณะการแสดงกราฟิกของต้นไม้ต้นนี้

ต้นไม้ประกอบด้วยสองระดับตามจำนวน ตัวแปรสมการ. ระดับแรกอธิบายตัวแปรแรก สองสาขาของระดับนี้สะท้อนถึงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรนี้ - 1 และ 0 ในระดับที่สองกิ่งก้านของต้นไม้สะท้อนเฉพาะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรที่สมการประเมินว่าเป็นจริง เนื่องจากสมการระบุความหมาย สาขาที่มีค่า 1 ต้องการให้สาขานี้มีค่าเป็น 1 สาขาที่มีค่า 0 จะสร้างสองสาขาที่มีค่าเท่ากับ 0 และ 1 โครงสร้างที่สร้างขึ้น ต้นไม้ระบุวิธีแก้ปัญหาสามประการโดยนัยจะใช้ค่า 1 ในแต่ละสาขาชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนออกมาเพื่อแก้สมการ

ชุดเหล่านี้คือ: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

เรามาสร้างแผนผังการตัดสินใจกันต่อโดยการเพิ่มสมการต่อไปนี้ ซึ่งมีความหมายดังต่อไปนี้ ความเฉพาะเจาะจงของระบบสมการของเราคือสมการใหม่แต่ละสมการของระบบใช้ตัวแปรหนึ่งตัวจากสมการก่อนหน้า โดยเพิ่มตัวแปรใหม่หนึ่งตัว เนื่องจากตัวแปรมีค่าอยู่ในแผนผังอยู่แล้ว ดังนั้นในทุกกิ่งที่ตัวแปรมีค่า 1 ตัวแปรก็จะมีค่าเป็น 1 ด้วย สำหรับกิ่งดังกล่าว การสร้างต้นไม้ยังคงดำเนินต่อไปในระดับถัดไป แต่ไม่มีสาขาใหม่ปรากฏ สาขาเดียวที่ตัวแปรมีค่า 0 จะแยกออกเป็นสองสาขาโดยที่ตัวแปรจะได้รับค่า 0 และ 1 ดังนั้นการเพิ่มสมการใหม่แต่ละครั้งเมื่อพิจารณาถึงความจำเพาะของมันจะเพิ่มหนึ่งคำตอบ สมการแรกดั้งเดิม:

มี 6 โซลูชั่น แผนผังการตัดสินใจที่สมบูรณ์สำหรับสมการนี้มีลักษณะดังนี้:

สมการที่สองของระบบของเราคล้ายกับสมการแรก:

ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสมการนี้ใช้ตัวแปร Y สมการนี้มี 6 คำตอบเช่นกัน เนื่องจากคำตอบของตัวแปรทุกตัวสามารถนำมารวมกับคำตอบของตัวแปรทุกตัวได้ จำนวนทั้งหมดมีทั้งหมด 36 วิธี

โปรดทราบว่าแผนผังการตัดสินใจที่สร้างขึ้นไม่เพียงแต่ให้จำนวนวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น (ตามจำนวนสาขา) แต่ยังรวมถึงวิธีแก้ปัญหาที่เขียนไว้ในแต่ละกิ่งของแผนผังด้วย

ปัญหาที่ 19

มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านล่างนี้

งานนี้เป็นการแก้ไขงานก่อนหน้านี้ ข้อแตกต่างคือมีการเพิ่มสมการอื่นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X และ Y

ตามมาจากสมการที่ว่า เมื่อมีค่า 1 (มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอยู่หนึ่งตัว) จึงมีค่า 1 จึงมีชุดหนึ่งที่และมีค่าเป็น 1 เมื่อเท่ากับ 0 ก็สามารถ มีค่าใดๆ ก็ได้ทั้ง 0 และ 1 ดังนั้น แต่ละชุดที่มี เท่ากับ 0 และมี 5 ชุดดังกล่าว ตรงกับชุดที่มีตัวแปร Y ทั้งหมด 6 ชุด ดังนั้น จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 31

ปัญหาที่ 20

วิธีแก้ไข: เมื่อนึกถึงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน เราเขียนสมการของเราเป็น:

ห่วงโซ่ของความหมายโดยนัยหมายความว่าตัวแปรต่างๆ เหมือนกัน ดังนั้นสมการของเราจึงเทียบเท่ากับสมการ:

สมการนี้มีสองคำตอบเมื่อทั้งหมดเป็น 1 หรือ 0

ปัญหาที่ 21

สมการนี้มีกี่คำตอบ:

วิธีแก้ปัญหา: เช่นเดียวกับในปัญหาข้อ 20 เราย้ายจากนัยแบบวนเป็นอัตลักษณ์ โดยเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ:

มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับสมการนี้กัน:

ปัญหาที่ 22

ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ?

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น ในทางคณิตศาสตร์ มีปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับตรรกะเชิงประพจน์ ในการแก้สมการประเภทนี้ คุณต้องมีความรู้จำนวนหนึ่ง เช่น ความรู้เกี่ยวกับกฎของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ความรู้เกี่ยวกับตารางความจริงของฟังก์ชันเชิงตรรกะของตัวแปร 1 หรือ 2 ตัว วิธีการแปลงนิพจน์เชิงตรรกะ นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะดังต่อไปนี้: การร่วม การแตกแยก การผกผัน การอนุมาน และความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันเชิงตรรกะใดๆ ของ \variables - \can สามารถระบุได้ด้วยตารางความจริง

ลองแก้สมการเชิงตรรกะหลายสมการ:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\ขวาฉมวกดาวน์ X9\vee X10=1\]

มาเริ่มวิธีแก้ปัญหาด้วย \[X1\] และพิจารณาว่าตัวแปรนี้สามารถรับค่าใดได้: 0 และ 1 ต่อไป เราจะพิจารณาแต่ละค่าข้างต้นและดูว่า \[X2.\] เป็นค่าใดได้บ้าง

ดังที่เห็นจากตาราง สมการเชิงตรรกะของเรามีคำตอบ 11 ข้อ

ฉันจะแก้สมการตรรกะออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

เนื้อหานี้มีการนำเสนอที่นำเสนอวิธีการแก้สมการเชิงตรรกะและระบบสมการเชิงตรรกะในงาน B15 (หมายเลข 23, 2015) ของการสอบ Unified State ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ เป็นที่ทราบกันดีว่างานนี้เป็นหนึ่งในงานที่ยากที่สุดในบรรดางาน Unified State Examination การนำเสนอจะมีประโยชน์เมื่อสอนบทเรียนในหัวข้อ "ตรรกะ" ในชั้นเรียนเฉพาะทางตลอดจนเมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

คำตอบของภารกิจ B15 (ระบบสมการเชิงตรรกะ) Vishnevskaya M.P. , MAOU "โรงยิมหมายเลข 3" 18 พฤศจิกายน 2556 Saratov

Task B15 เป็นหนึ่งในข้อสอบ Unified State ที่ยากที่สุดในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์!!! ทักษะต่อไปนี้ได้รับการทดสอบ: แปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเชิงตรรกะ อธิบายในภาษาธรรมชาติชุดของค่าของตัวแปรลอจิคัลซึ่งชุดของตัวแปรลอจิคัลที่กำหนดเป็นจริง นับจำนวนชุดไบนารีที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด ที่ยากที่สุดคือเพราะว่า... ไม่มีกฎเกณฑ์ที่เป็นทางการในการทำเช่นนี้ แต่ต้องใช้การคาดเดา

สิ่งที่คุณขาดไม่ได้!

สัญลักษณ์ร่วม: A /\ B , A  B , AB , A &B, A และ B การแยกส่วน: A \ / B , A + B , A | การปฏิเสธ B , A หรือ B: Dis A , A ไม่ใช่ A equivalence: A  B, A  B, A  B เฉพาะ “หรือ”: A  B , A xor B

วิธีการแทนที่ตัวแปร มีชุดค่าต่างๆ ของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, ..., x9, x10 กี่ชุดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่แสดงด้านล่าง: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (ฌ(x1 ≡ x2) \/ ฌ(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (ฌ(x3 ≡ x4) \/ ฌ(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6 ) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (ฌ(x5 ≡ x7) \/ ฌ(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (ฌ(x7 ≡ x8) \/ ฌ(x9 ≡ x10)) = 1 คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุด x1, x2, …, x9, x10 ทั้งหมด ระบบความเสมอภาคนี้ยึดถืออยู่ โดยคำตอบคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว (รุ่นสาธิต 2012)

วิธีแก้ปัญหาขั้นตอนที่ 1. ลดความซับซ้อนโดยการเปลี่ยนตัวแปร t1 = x1  x2 t2 = x3  x4 t3 = x5  x6 t4 = x7  x8 t5 = x9  x10 หลังการทำให้เข้าใจง่าย: (t1 \/ t2) /\ (€t1 \/ ฌ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (‚t2 \/ ¢ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (‚t3 \/ ¢ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ ( ฌ t4 \/ ¢ t5) =1 พิจารณาหนึ่งในสมการ: (t1 \/ t2) /\ (‚t1 \/ ¢ t2) =1 แน่นอนว่า =1 ก็ต่อเมื่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 และอีกตัวคือ 1 ลองใช้สูตรเพื่อแสดงการดำเนินการ XOR ผ่านการร่วมและการแตกแยก: (t1 \/ t2) /\ (¢t1 \/ ¢ t2) = t1  t2 = ฌ(t1 ≡ t2) =1 ฌ(t1 ≡ t2) =1 ฌ( เสื้อ2 ≡ t3) =1 ฌ(t3 ≡ t4) =1 ฌ(t4 ≡ t5) =1

ขั้นตอนที่ 2. การวิเคราะห์ระบบ �(t1 ≡ t2) =1 ��(t2 ≡ t3) =1 ��(t3 ≡ t4) =1 ��(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т .ถึง. tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,….) จากนั้นแต่ละค่าของ tk จะสอดคล้องกับค่าสองคู่ x2k-1 และ x2k เช่น: tk =0 สอดคล้องกับสองคู่ - (0 ,1) และ (1, 0) และ tk =1 – คู่ (0,0) และ (1,1)

ขั้นตอนที่ 3 การนับจำนวนวิธีแก้ปัญหา แต่ละ t มี 2 คำตอบ จำนวน ts คือ 5 ดังนั้น สำหรับตัวแปร t มี 2 5 = 32 คำตอบ แต่สำหรับแต่ละเสื้อ จะมีคู่ของการแก้ปัญหา x เช่น ระบบเดิมมี 2*32 = 64 คำตอบ คำตอบ: 64

วิธีการกำจัดส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหา มีชุดค่าต่างๆ ของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, ..., x5, y1,y2,..., y5 กี่ชุดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่แสดงด้านล่าง: (x1→ x2 )∧(x2→ x3)∧(x3→ x4 )∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1 คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุด x1, x2, ..., x5, y 1 , y2, ... , y5 ทั้งหมดที่ระบบความเสมอภาคนี้มีอยู่ คำตอบจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว

สารละลาย. ขั้นตอนที่ 1. การแก้สมการตามลำดับ x1 1 0 x2 1 0 1 x3 1 0 1 1 x4 1 0 1 1 1 x5 1 0 1 1 1 1 1 สมการแรกคือการรวมกันของการดำเนินการเชิงนัยหลายอย่างซึ่งเท่ากับ 1 นั่นคือ ความหมายแต่ละอย่างเป็นจริง ความหมายจะเป็นเท็จในกรณีเดียวเท่านั้น เมื่อ 1  0 ในกรณีอื่น ๆ ทั้งหมด (0  0, 0  1, 1  1) การดำเนินการส่งคืน 1 มาเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบตาราง:

ขั้นตอนที่ 1. การแก้สมการตามลำดับท. ได้รับโซลูชัน 6 ชุดสำหรับ x1, x2, x3, x4, x5: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111) เมื่อพิจารณาเหตุผลในทำนองเดียวกัน เราก็ได้ข้อสรุปว่าสำหรับ y1, y2, y3, y4, y5 มีวิธีแก้ชุดเดียวกัน เพราะ สมการเหล่านี้มีความเป็นอิสระ กล่าวคือ พวกเขาไม่มีตัวแปรร่วม ดังนั้นคำตอบของระบบสมการนี้ (โดยไม่คำนึงถึงสมการที่สาม) จะเป็น 6 * 6 = 36 คู่ของ "X's" และ "Y's" พิจารณาสมการที่สาม: y5→ x5 =1 ผลเฉลยคือคู่: 0 0 0 1 1 1 คู่นี้ไม่ใช่คำตอบ: 1 0

ลองเปรียบเทียบวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ โดยที่ y5 =1, x5=0 ไม่เหมาะสม มีคู่ดังกล่าวอยู่ 5 คู่ จำนวนคำตอบของระบบ: 36-5= 31 คำตอบ: ต้องใช้ 31 Combinatorics!!!

วิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก สมการเชิงตรรกะ x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1 มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันจำนวนเท่าใด โดยที่ x 1, x 2, …, x 6 เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดตัวแปรต่างๆ ทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุปริมาณของชุดดังกล่าว

โซลูชันขั้นตอนที่ 1 การวิเคราะห์เงื่อนไข ทางด้านซ้ายในสมการ การดำเนินการของนัยจะถูกเขียนตามลำดับ โดยมีลำดับความสำคัญเท่ากัน มาเขียนใหม่: ((((X 1 → X 2) → X 3) → X 4) → X 5) → X 6 = 1 NB! ตัวแปรที่ตามมาแต่ละตัวไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรก่อนหน้า แต่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของความหมายก่อนหน้า!

ขั้นตอนที่ 2. เปิดเผยรูปแบบ ลองพิจารณานัยแรก X 1 → X 2 ตารางความจริง: X 1 X 2 X 1 → X 2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 จากหนึ่ง 0 เราได้ 2 หน่วย และจาก 1 เราได้ 0 หนึ่งตัวและ 1 หนึ่งตัว มีเพียง 0 หนึ่งตัวและ 1 สามตัวเท่านั้น นี่คือผลลัพธ์ของการดำเนินการครั้งแรก

ขั้นตอนที่ 2. เปิดเผยรูปแบบ โดยการเชื่อมต่อ x 3 กับผลลัพธ์ของการดำเนินการครั้งแรก เราจะได้: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 จากสอง 0 – สอง 1 จากแต่ละ 1 (มี 3) หนึ่ง 0 และหนึ่ง 1 (3+3)

ขั้นตอนที่ 3 ที่มาของสูตร T.o. คุณสามารถสร้างสูตรสำหรับคำนวณจำนวนศูนย์ N i และจำนวน E i สำหรับสมการที่มีตัวแปร i: ,

ขั้นตอนที่ 4 กรอกตาราง เรามากรอกตารางจากซ้ายไปขวาสำหรับ i = 6 คำนวณจำนวนศูนย์และจำนวนโดยใช้สูตรข้างต้น ตารางแสดงวิธีการสร้างคอลัมน์ถัดไปจากคอลัมน์ก่อนหน้า: จำนวนตัวแปร 1 2 3 4 5 6 จำนวนศูนย์ N i 1 1 3 5 11 21 จำนวนตัว E i 1 2*1+1= 3 2*1 +3= 5 11 21 43 ตอบ: 43

วิธีใช้การทำให้นิพจน์เชิงตรรกะง่ายขึ้น สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (ฌ J  K))  (M → J) = 1 โดยที่ J, K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดของ J, K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว

วิธีแก้ไข โปรดทราบว่า J → K = ‚ J  K เรามาแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรกัน: J → K=A, M  N  L =B มาเขียนสมการใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลง: (A → B)  (B → A)  (M → J)=1 4. (A  B)  (M → J)= 1 5. แน่นอน A  B เมื่อ ค่าที่เหมือนกัน A และ B 6. พิจารณานัยสุดท้าย M → J =1 สิ่งนี้เป็นไปได้ถ้า: M=J=0 M=0, J=1 M=J=1

วิธีแก้ปัญหา เพราะ A  B แล้วเมื่อ M=J=0 เราจะได้ 1 + K=0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา เมื่อ M=0, J=1 เราจะได้ 0 + K=0, K=0 และ N และ L เป็นค่าใดๆ ก็ได้ มีวิธีแก้ปัญหา 4 แบบ: ‚ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

คำตอบที่ 10. เมื่อ M=J=1 เราจะได้ 0+K=1 *N * L หรือ K=N*L คำตอบ 4 ข้อ: 11. ผลรวมมีคำตอบ 4+4=8 ข้อ คำตอบ: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

แหล่งที่มาของข้อมูล: O.B. โบโกโมโลวา, D.Yu. อูเซนคอฟ B15: งานใหม่และแนวทางแก้ไขใหม่ // สารสนเทศหมายเลข 6, 2012, น. 35 – 39. ก.ย. โปลยาคอฟ. สมการลอจิก // สารสนเทศหมายเลข 14, 2554, น. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/ , [ ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] . http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm, [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]

วิธีแก้ปัญหาบางส่วนในข้อสอบวิทยาการคอมพิวเตอร์ส่วน A และ B

บทเรียน #3 ลอจิก ฟังก์ชันลอจิก การแก้สมการ

ปัญหาการสอบ Unified State จำนวนมากมีไว้เพื่อตรรกะเชิงประพจน์ เพื่อแก้ปัญหาส่วนใหญ่ ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์ ความรู้เกี่ยวกับตารางความจริงของฟังก์ชันเชิงตรรกะของตัวแปรหนึ่งและสองตัว ฉันจะให้กฎพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์

การสับเปลี่ยนของการแตกแยกและการรวมกัน:
ก ˅ ข ≡ ข ˅ ก
ก^ข ≡ ข^ก
กฎหมายการจำหน่ายที่เกี่ยวข้องกับการแยกทางและการรวม:
ก ˅ (b^с) ≡ (ก ˅ ข) ^(ก ˅ с)
ก ^ (b ˅ c) ≡ (a ^ b) ˅ (a ^ c)
การปฏิเสธของการปฏิเสธ:
ฌ(â) ≡ ก
ความสม่ำเสมอ:
^ â ≡ เท็จ
สิทธิพิเศษที่สาม:
˅ ฌа ≡ จริง
กฎของเดอมอร์แกน:
ฌ(ก ˅ ข) ≡ â ˄ ¢b
ฌ(ก ˄ ข) ≡ â ˅ ¢b
ลดความซับซ้อน:
ก ˄ ก ≡ ก
ก ˅ ก ≡ ก
a ˄ จริง ≡
˄ เท็จ ≡ เท็จ
การดูดซึม:
ก ˄ (ก ˅ ข) ≡ ก
ก ˅ (ก ˄ ข) ≡ ก
การทดแทนความหมาย
ก → ข ≡ â ˅ ข
การทดแทนตัวตน
ก ≡ ข ≡(ก ˄ ข) ˅ (ฌa ˄ ฌb)

การเป็นตัวแทนของฟังก์ชันลอจิคัล

ฟังก์ชันลอจิคัลใดๆ ของตัวแปร n - F(x 1, x 2, ... x n) สามารถระบุได้ด้วยตารางความจริง ตารางดังกล่าวประกอบด้วยชุดตัวแปร 2n ชุด โดยแต่ละชุดจะมีการระบุค่าของฟังก์ชันในชุดนี้ วิธีนี้ใช้ได้ดีเมื่อจำนวนตัวแปรค่อนข้างน้อย สำหรับ n > 5 การแสดงจะมองเห็นได้ไม่ดี

อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดฟังก์ชันด้วยสูตรบางสูตรโดยใช้ฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่ายที่รู้จักกันดี ระบบของฟังก์ชัน (f 1, f 2, ... f k) เรียกว่าสมบูรณ์หากฟังก์ชันลอจิคัลใด ๆ สามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่มีเฉพาะฟังก์ชัน f i

ระบบฟังก์ชัน (‚, ˄, ˅) เสร็จสมบูรณ์ กฎข้อ 9 และ 10 เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการแสดงออกโดยนัยและอัตลักษณ์ผ่านการปฏิเสธ การเชื่อม และการแยกออกจากกัน

ในความเป็นจริง ระบบของสองฟังก์ชัน - การปฏิเสธและการรวมหรือการปฏิเสธและการแยกจากกัน - ก็เสร็จสมบูรณ์เช่นกัน จากกฎของ De Morgan ปฏิบัติตามแนวคิดที่อนุญาตให้บุคคลหนึ่งแสดงออกถึงความเชื่อมโยงผ่านการปฏิเสธและการแยกจากกัน และตามนั้น เพื่อแสดงการแยกส่วนผ่านการปฏิเสธและการแยกส่วน:

(ก ˅ ข) ≡ ฌ(ฌa ˄ ¢b)
(ก ˄ ข) ≡ ฌ(ฌa ˅ ¢b)

ในทางตรงกันข้าม ระบบที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเดียวจะเสร็จสมบูรณ์ มีฟังก์ชันไบนารีสองฟังก์ชัน - การต่อต้านการเชื่อมต่อและการป้องกันการแยกส่วน เรียกว่าลูกศร Peirce และจังหวะ Schaeffer ซึ่งเป็นตัวแทนของระบบกลวง

ฟังก์ชันพื้นฐานของภาษาโปรแกรมมักประกอบด้วยเอกลักษณ์ การปฏิเสธ การเชื่อม และการแยกออกจากกัน ในปัญหา Unified State Examination พร้อมด้วยฟังก์ชันเหล่านี้ มักพบความหมายโดยนัย

ลองดูบางส่วน งานง่ายๆเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลอจิคัล

ปัญหาที่ 15:

มีการให้ส่วนหนึ่งของตารางความจริง ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่ให้มาซึ่งสอดคล้องกับส่วนนี้

เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3	เอ็กซ์ 4	เอฟ
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

(X 1 → X 2) ˄ ฌ X 3 ˅ X 4
(ฌ X 1 ˄ X 2) ˅ (ฌ X 3 ˄ X 4)
ฌ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

ฟังก์ชั่นหมายเลข 3

ในการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้ตารางความจริงของฟังก์ชันพื้นฐาน และจดจำลำดับความสำคัญของการดำเนินการ ฉันขอเตือนคุณว่าการรวม (การคูณเชิงตรรกะ) มีลำดับความสำคัญสูงกว่าและดำเนินการเร็วกว่าการแยกส่วน (การบวกเชิงตรรกะ) ในระหว่างการคำนวณ จะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าฟังก์ชันที่มีหมายเลข 1 และ 2 ในชุดที่สามมีค่า 1 และด้วยเหตุนี้จึงไม่สอดคล้องกับส่วนย่อย

ปัญหาที่ 16:

ตัวเลขใดที่กำหนดให้ตรงตามเงื่อนไข:

(ตัวเลขเริ่มต้นจากหลักที่สำคัญที่สุดเรียงลำดับจากมากไปน้อย) → (ตัวเลข - คู่) ˄ (หลักต่ำ - คู่) ˄ (หลักสูง - คี่)

หากมีตัวเลขดังกล่าวหลายตัว ให้ระบุตัวเลขที่มากที่สุด

13579
97531
24678
15386

เงื่อนไขเป็นไปตามหมายเลข 4

ตัวเลขสองตัวแรกไม่ตรงตามเงื่อนไขเนื่องจากหลักต่ำสุดเป็นเลขคี่ การรวมเงื่อนไขจะเป็นเท็จ ถ้าเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งของการรวมเป็นเท็จ สำหรับหมายเลขที่สาม ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับหลักสูงสุด สำหรับตัวเลขตัวที่สี่ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้สำหรับตัวเลขหลักต่ำและสูงของตัวเลข พจน์แรกของคำร่วมก็เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากความหมายโดยนัยเป็นจริงหากสมมติฐานเป็นเท็จ ซึ่งเป็นกรณีนี้

ปัญหาที่ 17: พยานสองคนให้การเป็นพยานดังต่อไปนี้:

พยานคนแรก: ถ้า A มีความผิด B ก็มีความผิดมากกว่า และ C ก็บริสุทธิ์

พยานคนที่สอง: สองคนมีความผิด และอีกคนหนึ่งที่เหลือมีความผิดและมีความผิดอย่างแน่นอน แต่ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าใครกันแน่

คำให้การสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความผิดของ A, B และ C ได้อย่างไร

คำตอบ: จากคำให้การเป็นดังนี้ว่า A และ B มีความผิด และ C เป็นผู้บริสุทธิ์

วิธีแก้ไข: แน่นอนว่าคำตอบสามารถให้ได้ตามสามัญสำนึก แต่มาดูกันว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างเคร่งครัดและเป็นทางการได้อย่างไร

สิ่งแรกที่ต้องทำคือทำให้แถลงการณ์เป็นทางการ เรามาแนะนำตัวแปรเชิงตรรกะสามตัว ได้แก่ A, B และ C ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเป็นจริง (1) หากผู้ต้องสงสัยที่เกี่ยวข้องมีความผิด จากนั้นคำให้การของพยานคนแรกจะได้รับตามสูตร:

ก → (B ˄ ฌC)

คำให้การของพยานคนที่สองให้ไว้ตามสูตร:

A ˄ ((B ˄ âC) ˅ (âB ˄ C))

คำให้การของพยานทั้งสองจะถือว่าเป็นจริงและแสดงถึงความเชื่อมโยงของสูตรที่เกี่ยวข้อง

มาสร้างตารางความจริงสำหรับการอ่านเหล่านี้กัน:

ก	บี	ค	ฉ 1	ฉ 2	ฟ 1 ˄ ฟ 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

สรุปหลักฐานเป็นจริงเพียงกรณีเดียว นำไปสู่คำตอบที่ชัดเจน - ก และ ข มีความผิด และ ค เป็นผู้บริสุทธิ์

จากการวิเคราะห์ตารางนี้ยังพบว่าคำให้การของพยานคนที่สองมีข้อมูลมากกว่า มีเพียงสองสิ่งเท่านั้นที่ตามมาจากความจริงในประจักษ์พยานของเขา: ตัวเลือกที่เป็นไปได้- A และ B มีความผิด และ C เป็นผู้บริสุทธิ์ หรือ A และ C มีความผิด และ B เป็นผู้บริสุทธิ์ คำให้การของพยานคนแรกมีข้อมูลน้อย - มี 5 ตัวเลือกที่แตกต่างกันตามคำให้การของเขา คำให้การของพยานทั้งสองร่วมกันให้คำตอบที่ชัดเจนเกี่ยวกับความผิดของผู้ต้องสงสัย

สมการลอจิกและระบบสมการ

ให้ F(x 1, x 2, …xn) เป็นฟังก์ชันลอจิคัลของตัวแปร n ตัว สมการเชิงตรรกะดูเหมือนว่า:

F(x 1, x 2, …xn) = C,

ค่าคงที่ C มีค่า 1 หรือ 0

สมการลอจิกสามารถมีคำตอบที่แตกต่างกันได้ตั้งแต่ 0 ถึง 2n ถ้า C เท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบคือชุดตัวแปรทั้งหมดจากตารางความจริง ซึ่งฟังก์ชัน F รับค่าจริง (1) ชุดที่เหลือคือคำตอบของสมการที่มี C เท่ากับศูนย์ คุณสามารถพิจารณาเฉพาะสมการของแบบฟอร์มเท่านั้น:

ฉ(x 1 , x 2 , …xn) = 1

จริง ๆ แล้วให้สมการดังนี้:

ฉ(x 1, x 2, …x n) = 0

ในกรณีนี้ เราสามารถหาสมการที่เทียบเท่าได้:

ฌF(x 1 , x 2 , …xn) = 1

พิจารณาระบบสมการเชิงตรรกะ k:

ฉ 1 (x 1, x 2, …xn) = 1

ฉ 2 (x 1, x 2, …x n) = 1

F k (x 1 , x 2 , …xn) = 1

คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรที่ทำให้สมการของระบบทั้งหมดเป็นไปตามที่ต้องการ ในแง่ของฟังก์ชันลอจิคัลเพื่อให้ได้คำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเราควรหาเซตที่ฟังก์ชันลอจิคัล F เป็นจริงซึ่งแสดงถึงการรวมของฟังก์ชันดั้งเดิม F:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F k

หากจำนวนตัวแปรน้อย เช่น น้อยกว่า 5 ก็ไม่ยากที่จะสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชัน Ф ซึ่งช่วยให้เราบอกได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเท่าใด และชุดใดบ้างที่ให้คำตอบ

ในปัญหา USE บางประการในการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ จำนวนตัวแปรถึง 10 จากนั้น การสร้างตารางความจริงกลายเป็นงานที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย การแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป สำหรับระบบสมการตามอำเภอใจ ไม่มีวิธีการทั่วไปอื่นใดนอกจากการแจงนับที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้

ในโจทย์ที่นำเสนอในข้อสอบนั้น วิธีแก้ปัญหามักจะคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของระบบสมการด้วย ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า นอกเหนือจากการลองใช้ตัวเลือกทั้งหมดสำหรับชุดตัวแปรแล้ว ไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหา โซลูชันจะต้องสร้างขึ้นตามลักษณะเฉพาะของระบบ การทำให้ระบบสมการง่ายขึ้นเบื้องต้นมักจะมีประโยชน์โดยใช้กฎของตรรกศาสตร์ที่รู้จัก อีกเทคนิคที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหานี้มีดังนี้ เราไม่สนใจทุกชุด แต่เฉพาะชุดที่ฟังก์ชัน Ф มีค่า 1 แทนที่จะสร้างตารางความจริงที่สมบูรณ์ เราจะสร้างอะนาล็อกขึ้นมา - แผนผังการตัดสินใจแบบไบนารี แต่ละกิ่งของแผนผังนี้สอดคล้องกับคำตอบเดียวและระบุชุดที่ฟังก์ชัน Ф มีค่า 1 จำนวนสาขาในแผนผังการตัดสินใจเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนคำตอบของระบบสมการ

ปัญหาที่ 18

คำตอบ: ระบบมีโซลูชั่นที่แตกต่างกัน 36 แบบ

วิธีแก้: ระบบสมการมีสองสมการ มาหาจำนวนคำตอบของสมการแรกกัน ขึ้นอยู่กับตัวแปร 5 ตัว - x 1, x 2, ...x 5 สมการแรกสามารถถือเป็นระบบที่มี 5 สมการได้ ดังที่ได้แสดงไปแล้ว ระบบสมการแสดงถึงการรวมฟังก์ชันลอจิคัลเข้าด้วยกัน ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน การรวมกันของเงื่อนไขถือได้ว่าเป็นระบบสมการ

มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับความหมาย (x1 → x2) - เทอมแรกของการรวมซึ่งถือได้ว่าเป็นสมการแรก นี่คือลักษณะการแสดงกราฟิกของต้นไม้นี้:

ต้นไม้ประกอบด้วยสองระดับตามจำนวนตัวแปรในสมการ ระดับแรกอธิบายตัวแปรแรก X 1 สองสาขาของระดับนี้สะท้อนถึงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรนี้ - 1 และ 0 ในระดับที่สองกิ่งก้านของต้นไม้สะท้อนเฉพาะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปร X 2 ซึ่งสมการเป็นจริง เนื่องจากสมการระบุความหมาย สาขาที่ X 1 มีค่า 1 ต้องการให้สาขานั้น X 2 มีค่า 1 สาขาที่ X 1 มีค่า 0 จะสร้างสองสาขาที่มีค่า X 2 เท่ากับ 0 และ 1 ต้นไม้ที่สร้างขึ้นกำหนดวิธีแก้ปัญหาสามประการโดยนัย X 1 → X 2 รับค่า 1 ในแต่ละสาขาชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนออกมาเพื่อแก้สมการ

ชุดเหล่านี้คือ: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

มาสร้างแผนผังการตัดสินใจกันต่อโดยเพิ่มสมการต่อไปนี้ ซึ่งมีความหมายดังนี้ X 2 → X 3 ความเฉพาะเจาะจงของระบบสมการของเราคือสมการใหม่แต่ละสมการของระบบใช้ตัวแปรหนึ่งตัวจากสมการก่อนหน้า โดยเพิ่มตัวแปรใหม่หนึ่งตัว เนื่องจากตัวแปร X 2 มีค่าอยู่ในแผนผังอยู่แล้ว ดังนั้นในทุกกิ่งที่ตัวแปร X 2 มีค่าเป็น 1 ตัวแปร X 3 ก็จะมีค่าเป็น 1 เช่นกัน สำหรับกิ่งก้านดังกล่าวการก่อสร้างต้นไม้ ดำเนินต่อไปอีกระดับแต่สาขาใหม่ไม่ปรากฏ สาขาเดียวที่ตัวแปร X 2 มีค่า 0 จะแยกสาขาออกเป็นสองสาขาโดยที่ตัวแปร X 3 จะได้รับค่า 0 และ 1 ดังนั้นการเพิ่มสมการใหม่แต่ละครั้งตามข้อมูลเฉพาะของมันจึงเพิ่มวิธีแก้ปัญหาหนึ่งรายการ สมการแรกดั้งเดิม:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
มี 6 โซลูชั่น แผนผังการตัดสินใจที่สมบูรณ์สำหรับสมการนี้มีลักษณะดังนี้:

สมการที่สองของระบบของเราคล้ายกับสมการแรก:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสมการนี้ใช้ตัวแปร Y สมการนี้มี 6 คำตอบเช่นกัน เนื่องจากแต่ละคำตอบสำหรับตัวแปร X i สามารถรวมกับแต่ละคำตอบสำหรับตัวแปร Y j ได้ จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 36

ปัญหาที่ 19

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

จากสมการ X 1 → Y 1 จะได้ว่าเมื่อ X 1 มีค่า 1 (มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอยู่หนึ่งตัว) แล้ว Y 1 ก็มีค่า 1 ด้วย ดังนั้นจึงมีชุดหนึ่งที่ X 1 และ Y 1 มีค่า 1. เมื่อ X 1 เท่ากับ 0 Y 1 สามารถมีค่าใดๆ ก็ได้ ทั้ง 0 และ 1 ดังนั้น แต่ละชุดที่มี X 1 เท่ากับ 0 และมี 5 ชุดดังกล่าว จะตรงกับทั้ง 6 ชุดที่มีตัวแปร Y ดังนั้น จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 31

ปัญหาที่ 20

(ฌX 1 ˅ X 2) ˄ (ฌX 2 ˅ X 3) ˄ (ฌX 3 ˅ X 4) ˄ (ฌX 4 ˅ X 5) ˄ (ฌX 5 ˅ X 1) = 1

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

สมการนี้มีคำตอบสองวิธีเมื่อ X i ทั้งหมดเป็น 1 หรือ 0

ปัญหาที่ 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับสมการนี้กัน:

ปัญหาที่ 22

ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ?

((เอ็กซ์ 1 ≡เอ็กซ์ 2) ˄ (เอ็กซ์ 3 ≡X 4)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 1 ≡X 2) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 3 ≡X 4)) = 0

((เอ็กซ์ 3 ≡เอ็กซ์ 4) ˄ (เอ็กซ์ 5 ≡X 6)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 3 ≡X 4) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 5 ≡X 6)) = 0

((เอ็กซ์ 5 ≡เอ็กซ์ 6) ˄ (เอ็กซ์ 7 ≡X 8)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 5 ≡X 6) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 7 ≡X 8)) = 0

((เอ็กซ์ 7 ≡X 8) ˄ (เอ็กซ์ 9 ≡X 10)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 7 ≡X 8) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 9 ≡X 10)) = 0

คำตอบ: 64

วิธีแก้ไข: ลองเปลี่ยนจากตัวแปร 10 ตัวเป็น 5 ตัวแปรโดยแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่อไปนี้:

ป 1 = (X 1 ≡ X 2); ป 2 = (X 3 ≡ X 4); ป 3 = (X 5 ≡ X 6); ป 4 = (X 7 ≡ X 8); ป 5 = (X 9 ≡ X 10);

จากนั้นสมการแรกจะอยู่ในรูปแบบ:

(ป 1 ˄ ย 2) ˅ (ฌย 1 ˄ ¢Y 2) = 0

สมการสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็น:

(ป 1 ≡ ป 2) = 0

ก้าวไปสู่รูปแบบดั้งเดิม เราเขียนระบบหลังจากการทำให้ง่ายขึ้นในรูปแบบ:

ฌ(ป 1 ≡ ป 2) = 1

ฌ(ป 2 ≡ ป 3) = 1

ฌ(ป 3 ≡ ป 4) = 1

ฌ(ป 4 ≡ ป 5) = 1

แผนผังการตัดสินใจสำหรับระบบนี้เรียบง่ายและประกอบด้วยสองสาขาที่มีค่าตัวแปรสลับกัน:

กลับมาที่ตัวแปร X ดั้งเดิม โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละค่าในตัวแปร Y จะมี 2 ค่าในตัวแปร X ดังนั้นแต่ละโซลูชันในตัวแปร Y จะสร้างโซลูชัน 2 5 รายการในตัวแปร X ทั้งสองสาขาสร้าง 2 * 2 5 เฉลย ดังนั้น จำนวนเฉลยทั้งหมดคือ 64

อย่างที่คุณเห็น แต่ละปัญหาในการแก้ระบบสมการต้องใช้แนวทางของตัวเอง เทคนิคทั่วไปคือการแปลงค่าที่เท่ากันเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น เทคนิคทั่วไปคือการสร้างแผนผังการตัดสินใจ วิธีการที่ใช้นั้นชวนให้นึกถึงการสร้างตารางความจริงบางส่วนโดยมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ได้สร้างชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่จะมีเฉพาะค่าที่ฟังก์ชันรับค่า 1 (จริง) บ่อยครั้งในงานที่เสนอไม่จำเป็นต้องสร้าง ต้นไม้เต็มโซลูชั่นเนื่องจากมีอยู่แล้ว ชั้นต้นเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปแบบของลักษณะที่ปรากฏของสาขาใหม่ในแต่ละระดับต่อมา ดังที่ได้กระทำไปแล้ว เช่น ในปัญหาที่ 18

โดยทั่วไป ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะถือเป็นแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์ที่ดี

หากปัญหานั้นแก้ไขด้วยตนเองได้ยาก คุณสามารถมอบคำตอบให้กับคอมพิวเตอร์โดยการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมสำหรับการแก้สมการและระบบสมการ

การเขียนโปรแกรมดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก โปรแกรมดังกล่าวจะรับมือกับงานทั้งหมดที่นำเสนอในการสอบ Unified State ได้อย่างง่ายดาย

น่าแปลกที่งานค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเป็นเรื่องยากสำหรับคอมพิวเตอร์ และปรากฎว่าคอมพิวเตอร์มีขีดจำกัด คอมพิวเตอร์สามารถรับมือกับงานที่จำนวนตัวแปร 20-30 ค่อนข้างง่าย แต่จะเริ่มคิดถึงปัญหาเป็นเวลานาน ขนาดใหญ่ขึ้น. ความจริงก็คือฟังก์ชัน 2 n ซึ่งระบุจำนวนเซต นั้นเป็นเลขชี้กำลังที่จะขยายอย่างรวดเร็วเมื่อ n เพิ่มขึ้น เร็วมากจนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลทั่วไปไม่สามารถรับมือกับงานที่มีตัวแปร 40 ตัวในหนึ่งวันได้

โปรแกรมในภาษา C# สำหรับการแก้สมการเชิงตรรกะ

การเขียนโปรแกรมสำหรับการแก้สมการเชิงตรรกะมีประโยชน์หลายประการ หากเพียงเพราะคุณสามารถใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาของคุณเองสำหรับปัญหาการทดสอบ Unified State Exam อีกเหตุผลหนึ่งก็คือโปรแกรมดังกล่าวเป็นตัวอย่างที่ดีของงานการเขียนโปรแกรมที่ตรงตามข้อกำหนดสำหรับงานหมวด C ในการสอบ Unified State

แนวคิดในการสร้างโปรแกรมนั้นง่ายมาก - ขึ้นอยู่กับการค้นหาชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมดทั้งหมด เนื่องจากสำหรับสมการตรรกะหรือระบบสมการที่กำหนดจำนวนตัวแปร n จึงเป็นที่รู้จักดังนั้นจึงทราบจำนวนชุดด้วย - 2 n ซึ่งจำเป็นต้องแยกออก โดยใช้ ฟังก์ชั่นพื้นฐานภาษา C# - การปฏิเสธ การแยกส่วน การเชื่อม และเอกลักษณ์ การเขียนโปรแกรมนั้นไม่ใช่เรื่องยากที่จะคำนวณค่าของฟังก์ชันลอจิคัลที่สอดคล้องกับสมการตรรกะหรือระบบสมการสำหรับชุดตัวแปรที่กำหนด

ในโปรแกรมดังกล่าว คุณจะต้องสร้างลูปตามจำนวนเซ็ต ในเนื้อความของลูป โดยใช้จำนวนของเซ็ต สร้างเซ็ตเอง คำนวณค่าของฟังก์ชันบนเซ็ตนี้ และหากเป็นเช่นนี้ ค่าคือ 1 จากนั้นเซตจะให้คำตอบของสมการ

ปัญหาเดียวที่เกิดขึ้นเมื่อใช้งานโปรแกรมนั้นเกี่ยวข้องกับงานสร้างชุดของค่าตัวแปรเองตามหมายเลขที่ตั้งไว้ ความงามของปัญหานี้ก็คือว่ามันจะดูเหมือน งานที่ยากลำบากจริงๆ แล้วลงมาสู่ปัญหาง่ายๆ ที่เกิดขึ้นมาแล้วหลายครั้ง อันที่จริงก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกับตัวเลข i ซึ่งประกอบด้วยศูนย์และหนึ่งแสดงถึงการเป็นตัวแทนไบนารี่ของตัวเลข i ดังนั้นงานที่ซับซ้อนในการรับชุดของค่าตัวแปรตามหมายเลขที่กำหนดจึงลดลงเหลืองานที่คุ้นเคยในการแปลงตัวเลขเป็นไบนารี่

นี่คือลักษณะของฟังก์ชันใน C# ที่ช่วยแก้ปัญหาของเรา:

///

/// โปรแกรมสำหรับนับจำนวนโซลูชั่น

/// สมการเชิงตรรกะ (ระบบสมการ)

///

/// ฟังก์ชันลอจิคัล - วิธีการ

/// ซึ่งผู้รับมอบสิทธิ์ DF ระบุลายเซ็นไว้

///

/// จำนวนตัวแปร

/// จำนวนโซลูชั่น

SolveEquations int แบบคงที่ (สนุก DF, int n)

ชุดบูล = บูลใหม่ [n];

int m = (int) Math.Pow (2, n); //จำนวนชุด

int p = 0, q = 0, k = 0;

// ค้นหาให้เสร็จสิ้นตามจำนวนชุด

สำหรับ (int i = 0; i< m; i++)

//การก่อตัวของเซ็ตถัดไป - เซ็ต

//ระบุโดยการเป็นตัวแทนไบนารี่ของตัวเลข i

สำหรับ (int j = 0; j< n; j++)

k = (int) Math.Pow (2, j);

//คำนวณค่าของฟังก์ชันบนเซต

เพื่อให้เข้าใจถึงโปรแกรม ฉันหวังว่าคำอธิบายแนวคิดของโปรแกรมและความคิดเห็นในเนื้อหาจะเพียงพอ ฉันจะเน้นไปที่การอธิบายชื่อเรื่องของฟังก์ชันที่กำหนดเท่านั้น ฟังก์ชัน SolveEquations มีพารามิเตอร์อินพุตสองตัว พารามิเตอร์ fun ระบุฟังก์ชันลอจิคัลที่สอดคล้องกับสมการหรือระบบสมการที่กำลังหาคำตอบ พารามิเตอร์ n ระบุจำนวนของตัวแปรความสนุกสนาน ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชัน SolveEquations จะส่งกลับจำนวนคำตอบของฟังก์ชันลอจิคัล ซึ่งก็คือจำนวนชุดที่ฟังก์ชันประเมินว่าเป็นจริง

เป็นเรื่องปกติสำหรับเด็กนักเรียนเมื่อบางฟังก์ชัน F(x) มีพารามิเตอร์อินพุต x ซึ่งเป็นตัวแปรประเภทเลขคณิต สตริง หรือตรรกะ ในกรณีของเรา จะใช้การออกแบบที่ทรงพลังกว่า ฟังก์ชัน SolveEquations อ้างอิงถึงฟังก์ชันที่มีลำดับสูงกว่า - ฟังก์ชันประเภท F(f) ซึ่งพารามิเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นตัวแปรอย่างง่ายเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันด้วย

คลาสของฟังก์ชันที่สามารถส่งผ่านเป็นพารามิเตอร์ไปยังฟังก์ชัน SolveEquations มีการระบุดังนี้:

ผู้รับมอบสิทธิ์บูล DF (vars บูล);

คลาสนี้เป็นเจ้าของฟังก์ชันทั้งหมดที่ส่งผ่านเป็นพารามิเตอร์ซึ่งเป็นชุดของค่าของตัวแปรลอจิคัลที่ระบุโดยอาร์เรย์ vars ผลลัพธ์คือค่าบูลีนที่แสดงถึงค่าของฟังก์ชันในชุดนี้

สุดท้ายนี้ นี่คือโปรแกรมที่ใช้ฟังก์ชัน SolveEquations เพื่อแก้สมการตรรกะหลายระบบ ฟังก์ชัน SolveEquations เป็นส่วนหนึ่งของคลาส ProgramCommon ด้านล่าง:

โปรแกรมคลาสCommon

ผู้รับมอบสิทธิ์บูล DF (vars บูล);

โมฆะคงที่หลัก (args สตริง)

Console.WriteLine("และฟังก์ชั่น - " +

แก้สมการ (FunAnd, 2));

Console.WriteLine("ฟังก์ชั่นมี 51 โซลูชั่น - " +

แก้สมการ (Fun51, 5));

Console.WriteLine("ฟังก์ชั่นมี 53 โซลูชั่น - " +

แก้สมการ (Fun53, 10));

บูลแบบคงที่ FunAnd (vars บูล)

กลับ vars && vars;

บูลแบบคงที่ Fun51 (vars บูล)

f = f && (!vars || vars);

บูลแบบคงที่ Fun53 (vars บูล)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

ผลลัพธ์การแก้ปัญหาสำหรับโปรแกรมนี้มีดังนี้:

10 งานสำหรับงานอิสระ

ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่เทียบเท่ากัน:
1. (X → ย) ˅ ฌย
2. ฌ(X ˅ ฌY) ˄ (X → ‚Y)
3. 'X ˄Y
ให้เป็นส่วนหนึ่งของตารางความจริง:

เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3	เอ็กซ์ 4	เอฟ
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่แฟรกเมนต์นี้สอดคล้องกับ:

(X 1 ˅ ฌX 2) ˄ (X 3 → X 4)
(X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
คณะลูกขุนประกอบด้วยสามคน การตัดสินจะเกิดขึ้นหากประธานคณะลูกขุนลงคะแนนเสียง โดยได้รับการสนับสนุนจากสมาชิกคณะลูกขุนอย่างน้อยหนึ่งคน มิฉะนั้นจะไม่มีการตัดสินใจ สร้างฟังก์ชันเชิงตรรกะที่ทำให้กระบวนการตัดสินใจเป็นทางการ
X ชนะมากกว่า Y หากการโยนเหรียญสี่ครั้งส่งผลให้ได้หัวสามครั้ง กำหนดฟังก์ชันลอจิคัลที่อธิบายผลตอบแทนของ X
คำในประโยคจะมีหมายเลขเริ่มต้นจากหนึ่ง ประโยคจะถือว่าสร้างอย่างถูกต้องหากตรงตามกฎต่อไปนี้:
1. ถ้าคำที่เป็นเลขคู่ลงท้ายด้วยสระ ถ้ามีคำถัดไปก็ต้องขึ้นต้นด้วยเสียงสระ
2. ถ้าคำที่เป็นเลขคี่ลงท้ายด้วยพยัญชนะ ถ้ามีคำถัดไป จะต้องขึ้นต้นด้วยพยัญชนะและลงท้ายด้วยสระ
  ประโยคใดต่อไปนี้สร้างได้ถูกต้อง:
3. แม่ล้าง Masha ด้วยสบู่
4. ผู้นำเป็นแบบอย่างเสมอ
5. ความจริงเป็นสิ่งดี แต่ความสุขนั้นดีกว่า
สมการนี้มีกี่คำตอบ:
(ก ˄ ฌ ข) ˅ (ฌa ˄ ข) → (ค ˄ ง) = 1
แสดงรายการคำตอบทั้งหมดของสมการ:
(ก → ข) → ค = 0
ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ:
X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
X 0 → X 5 = 1
สมการนี้มีกี่คำตอบ:
((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

คำตอบสำหรับปัญหา:

ฟังก์ชัน b และ c เทียบเท่ากัน
แฟรกเมนต์สอดคล้องกับฟังก์ชัน b
ให้ตัวแปรตรรกะ P รับค่า 1 เมื่อประธานคณะลูกขุนลงมติ "สนับสนุน" การตัดสิน ตัวแปร M 1 และ M 2 เป็นตัวแทนความคิดเห็นของสมาชิกคณะลูกขุน ฟังก์ชันลอจิกซึ่งระบุการตัดสินใจเชิงบวกสามารถเขียนได้ดังนี้:
พ ˄ (ม 1 ˅ ม 2)
ปล่อยให้ตัวแปรลอจิคัล P i รับค่า 1 เมื่อเหรียญที่ i ตกลงบนหัว ฟังก์ชันลอจิคัลที่ระบุผลตอบแทน X สามารถเขียนได้ดังนี้:
ฌ((ฌP 1 ˄ (ฌP 2 ˅ ฌP 3 ˅ ฌP 4)) ˅
(âP 2 ˄ (âP 3 ˅ âP 4)) ˅
('พี 3 ˄ 'พี 4))
ประโยค ข.
สมการมีวิธีแก้ปัญหา 3 แบบ: (a = 1; b = 1; c = 0); (ก = 0; ข = 0; ค = 0); (ก = 0; ข = 1; ค = 0)

หัวข้อบทเรียน: การแก้สมการลอจิก

เกี่ยวกับการศึกษา - ศึกษาวิธีการแก้สมการเชิงตรรกะ การพัฒนาทักษะการแก้สมการเชิงตรรกะ และการสร้างนิพจน์เชิงตรรกะโดยใช้ตารางความจริง

พัฒนาการ - สร้างเงื่อนไขในการพัฒนา ความสนใจทางปัญญานักเรียนส่งเสริมการพัฒนาความจำความสนใจ การคิดอย่างมีตรรกะ;

เกี่ยวกับการศึกษา : ส่งเสริมความสามารถในการรับฟังความคิดเห็นของผู้อื่นการบำรุงเลี้ยงเจตจำนงและความเพียรเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย

ประเภทบทเรียน: บทเรียนรวม

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย การนำเสนอ 6.

ในระหว่างเรียน

การทำซ้ำและการปรับปรุงความรู้พื้นฐาน การตรวจสอบ การบ้าน(10 นาที)

ในบทเรียนที่แล้ว เราคุ้นเคยกับกฎพื้นฐานของพีชคณิตเชิงตรรกะ และเรียนรู้ที่จะใช้กฎเหล่านี้เพื่อทำให้นิพจน์เชิงตรรกะง่ายขึ้น

มาตรวจสอบการบ้านของเราเกี่ยวกับการลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ:

1. คำใดต่อไปนี้ตรงตามเงื่อนไขตรรกะ:

(พยัญชนะอักษรตัวแรก → พยัญชนะอักษรตัวที่สอง)٨ (สระตัวอักษรตัวสุดท้าย → สระอักษรตัวสุดท้าย)? หากมีคำดังกล่าวหลายคำ ให้ระบุคำที่เล็กที่สุด

1) แอนนา 2) มาเรีย 3) โอเลก 4) สเตฟาน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

ก – พยัญชนะอักษรตัวแรก

B – พยัญชนะอักษรตัวที่สอง

S – สระอักษรตัวสุดท้าย

D – สระเสียงสุดท้าย

เรามาสร้างการแสดงออกกัน:

มาทำตารางกันเถอะ:

2. ระบุว่านิพจน์เชิงตรรกะใดเทียบเท่ากับนิพจน์

มาทำให้การบันทึกนิพจน์ดั้งเดิมและตัวเลือกที่เสนอง่ายขึ้น:

3. ให้ส่วนหนึ่งของตารางความจริงของนิพจน์ F:

นิพจน์ใดตรงกับ F

ให้เรากำหนดค่าของนิพจน์เหล่านี้ที่ ค่าที่ระบุข้อโต้แย้ง:

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับหัวข้อบทเรียนการนำเสนอเนื้อหาใหม่ (30 นาที)

เราศึกษาพื้นฐานของตรรกะต่อไป และหัวข้อของบทเรียนวันนี้คือ "การแก้สมการเชิงตรรกะ" มีการศึกษา หัวข้อนี้คุณจะได้เรียนรู้วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการเชิงตรรกะ เพิ่มทักษะในการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้ภาษาพีชคณิตเชิงตรรกะ และความสามารถในการเขียนนิพจน์เชิงตรรกะโดยใช้ตารางความจริง

1. แก้สมการตรรกะ

(ฌเค ม) → (ฌล ม น) =0

เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1

สารละลาย:

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ(ฌเค  ม) → (ฌล  ม  ยังไม่มี)

นิพจน์เป็นเท็จเมื่อทั้งสองคำเป็นเท็จ เทอมที่สองจะเท่ากับ 0 ถ้า M =0, N =0, L =1 ในเทอมแรก K = 0 เนื่องจาก M = 0 และ
.

คำตอบ: 0100

2. สมการนี้มีคำตอบกี่ข้อ (ระบุเฉพาะตัวเลขในคำตอบของคุณ)

วิธีแก้ไข: แปลงนิพจน์

(A +B )*(ค +D )=1

A +B =1 และ C +D =1

วิธีที่ 2: วาดตารางความจริง

3 ทาง: การสร้าง SDNF - รูปแบบปกติที่แยกออกจากกันที่สมบูรณ์แบบสำหรับฟังก์ชัน - การแยกตัวของคำสันธานพื้นฐานปกติที่สมบูรณ์

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมโดยเปิดวงเล็บเพื่อให้ได้คำสันธานที่แยกจากกัน:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

เรามาเสริมคำสันธานเพื่อทำให้คำสันธานสมบูรณ์ (ผลคูณของอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด) เปิดวงเล็บ:

พิจารณาคำสันธานเดียวกัน:

เป็นผลให้เราได้รับ SDNF ที่มีคำสันธาน 9 คำ ดังนั้นตารางความจริงของฟังก์ชันนี้จึงมีค่า 1 ใน 9 แถว จำนวน 2 ชุด 4 =16 ชุดของค่าตัวแปร

3. สมการนี้มีคำตอบกี่ข้อ (ระบุเฉพาะตัวเลขในคำตอบของคุณ)

มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:

3 ทาง: การก่อสร้าง SDNF

พิจารณาคำสันธานเดียวกัน:

เป็นผลให้เราได้รับ SDNF ที่มีคำสันธาน 5 คำ ดังนั้น ตารางความจริงของฟังก์ชันนี้จึงมีค่า 1 ใน 5 แถว โดย 2 ชุด 4 =16 ชุดของค่าตัวแปร

การสร้างนิพจน์เชิงตรรกะโดยใช้ตารางความจริง:

สำหรับแต่ละแถวของตารางความจริงที่มี 1 เราจะเขียนผลคูณของอาร์กิวเมนต์ และตัวแปรที่เท่ากับ 0 จะรวมอยู่ในผลคูณที่มีการปฏิเสธ และตัวแปรที่เท่ากับ 1 จะรวมอยู่โดยไม่มีการปฏิเสธ นิพจน์ที่ต้องการ F จะประกอบด้วยผลรวมของผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ ถ้าเป็นไปได้ ควรทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง: ให้ตารางความจริงของนิพจน์ สร้างนิพจน์เชิงตรรกะ

สารละลาย:

3. การบ้าน (5 นาที)

แก้สมการ:

สมการนี้มีคำตอบกี่ข้อ (ระบุเฉพาะตัวเลขในคำตอบของคุณ)

ใช้ตารางความจริงที่กำหนด สร้างนิพจน์เชิงตรรกะและ

ทำให้ง่ายขึ้น