ปริมาตรของปิรามิดที่สร้างขึ้นจากเครื่องคิดเลขออนไลน์แบบเวกเตอร์ ปริมาตรของจัตุรมุข

ในเรขาคณิต จัตุรมุขเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีหน้าสี่หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ตามมาจากนี้ว่าขอบทั้งหมด จัตุรมุขมีความยาวเท่ากัน และหน้าทั้งหมดมีพื้นที่เท่ากัน ตัวเรขาคณิตและคุณสมบัติพื้นฐานของมันได้รับการศึกษาในบทเรียนเรขาคณิตของโรงเรียน แต่ในชีวิตมัน” วี รูปแบบบริสุทธิ์ “ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก. หรือว่า .. แทน, จัตุรมุขมักจะไม่เด่นชัดและชัดเจนเท่ากับ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมหรือทรงขนาน

อย่างไรก็ตามในเทคโนโลยีร่างกายทรงเรขาคณิตนี้พบได้ค่อนข้างบ่อย ตัวอย่างเช่นแบบฟอร์ม จัตุรมุขมีองค์ประกอบทางแสงที่เป็นพื้นฐานสำหรับการออกแบบตัวสะท้อนแสง เนื่องจากลักษณะเฉพาะของการจัดเรียงขอบ จัตุรมุขสะท้อนแสงไปยังจุดเดิมที่มันมาจึงปรากฏเป็นแสงขึ้นมาเอง แผ่นสะท้อนแสงพบว่ามีการใช้งานที่กว้างขวางมากในฐานะอุปกรณ์ความปลอดภัยทางถนน

การหาปริมาตรของจัตุรมุข

ก- ขอบของจัตุรมุข

วี- ปริมาตรของจัตุรมุข

เพราะว่า จัตุรมุขโดยธรรมชาติแล้วมันเป็นรูปแบบคงที่ที่เข้มงวดโดยเฉพาะคุณสมบัตินี้ค่อนข้างใช้กันอย่างแพร่หลายในเทคโนโลยี ตัวอย่างเช่น แท่งของโครงสร้างโลหะรับน้ำหนักจำนวนมากถูกจัดเรียงอย่างแม่นยำในรูปแบบของจัตุรมุข และด้วยเหตุนี้ วิศวกรจึงสามารถสร้างโครงถักที่มีน้ำหนักเบาและแข็งแรงเป็นพิเศษสำหรับสะพานและพื้นของโครงสร้างต่างๆ

โครงผลึกของแร่ธาตุธรรมชาติที่ทนทานหลายชนิดก็มีรูปร่างเช่นกัน จัตุรมุข. หนึ่งในนั้นคือเพชร ซึ่งอะตอมต่างๆ อยู่ที่จุดยอดของสิ่งนี้อย่างแม่นยำ ร่างกายทางเรขาคณิต. สิ่งที่น่าสนใจคือกราไฟท์ยังประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอน ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทางเคมีของกราไฟท์มีความคล้ายคลึงกัน องค์ประกอบทางเคมีอย่างไรก็ตามในแง่ของลักษณะความแข็งแกร่ง เพชรนั้นด้อยกว่าอย่างหลังอย่างมากเนื่องจากรูปร่างของมัน ตาข่ายคริสตัลอื่น. ดังนั้นการผลิตเพชรเทียมจากกราไฟต์จึงประกอบด้วยการเรียงลำดับอะตอมของคาร์บอนในลักษณะที่ก่อให้เกิดจัตุรมุข

การจัดเรียงผลไม้ของพืชบางชนิดเป็นกระจุกก็มีรูปทรงของตัวเรขาคณิตนี้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น วอลนัทมักถูกวางในตำแหน่งที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุข

ตอนนี้ในรัสเซียและบางแห่ง ต่างประเทศมีการผลิตบรรจุภัณฑ์นมและมีรูปทรงด้วย จัตุรมุข. พื้นฐานสำหรับการผลิตคือท่อที่ทำจากวัสดุพิเศษซึ่งชวนให้นึกถึงท่อที่ใช้ในการผลิตสิ่งที่เรียกว่า “ เตตราแพ็ค" ขณะที่บรรจุนมหรือครีม อุปกรณ์พิเศษจะปิดผนึกในลักษณะที่ตะเข็บที่อยู่ติดกันตั้งฉากกัน และผลที่ได้คือถุงที่เสร็จแล้วจะมีรูปทรงของจัตุรมุข

คลาสสิค จัตุรมุขยังเป็นปริศนาที่เรียกว่า “ ปิรามิดของรูบิค», « จัตุรมุขของญี่ปุ่น" และ " ปิรามิดมอลโดวา" อย่างไรก็ตาม สถาปนิกและนักประดิษฐ์ชาวฮังการีผู้โด่งดังคนนี้ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องใดๆ กับมัน แม้ว่าหลักการที่ใช้จะยึดหลักการนี้เป็นหลักเดียวกับที่ใช้ในลูกบาศก์อันโด่งดังของเขาก็ตาม ในความเป็นจริง ของเล่นชิ้นนี้ได้รับการพัฒนาโดย Uwe Meffert ชาวเยอรมันในปี 1972 จากนั้นจึงคิดค้นโดย A.A. วิศวกรชาวมอลโดวา Ordynets และตั้งแต่ปี 1981 ผลิตโดยบริษัท โทมี่ทอยส์ซึ่งมีสำนักงานใหญ่ตั้งอยู่ในประเทศญี่ปุ่น

คำว่า "ปิรามิด" ยืมมาจากภาษากรีกว่า "ปิรามิส" หรือ "ปิรามิด" ในทางกลับกันชาวกรีกก็ยืมคำนี้มาจากภาษาอียิปต์ ในกระดาษปาปิรัส Ahmes คำว่า "ปิรามัส" ปรากฏในความหมายของปิรามิดปกติ บางคนเชื่อว่าคำนี้มาจากรูปร่างของขนมปังค่ะ กรีกโบราณ(“ piros” - ข้าวไรย์) เนื่องจากความจริงที่ว่ารูปร่างของเปลวไฟบางครั้งมีลักษณะคล้ายกับรูปปิรามิด นักวิชาการยุคกลางบางคนจึงเชื่อว่าคำนี้มาจาก คำภาษากรีก"งานฉลอง" - ไฟ นั่นคือเหตุผลในตำราเรขาคณิตของศตวรรษที่ 16 ปิรามิดเรียกว่า "ร่างไฟ"

ใน อียิปต์โบราณหลุมศพของฟาโรห์มีรูปร่างเหมือนปิรามิด ในสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวอียิปต์สร้างปิรามิดขั้นบันไดด้วยก้อนหิน ภายหลัง ปิรามิดอียิปต์ได้รับรูปร่างที่ถูกต้องทางเรขาคณิต - ตัวอย่างเช่นปิรามิด Cheops ซึ่งมีความสูงถึงเกือบ 147 ม. และอื่น ๆ Euclid ให้คำจำกัดความของปิรามิดว่าเป็นรูปทรงทึบที่ล้อมรอบด้วยระนาบซึ่งจากระนาบหนึ่ง (ฐาน) มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง (ยอด) คำจำกัดความนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์ในสมัยโบราณแล้ว ตัวอย่างเช่น นกกระสาผู้เสนอคำจำกัดความของปิรามิดดังต่อไปนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง และฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ข้อเสียเปรียบที่สำคัญที่สุดของคำจำกัดความนี้คือการใช้แนวคิดที่คลุมเครือเกี่ยวกับรากฐาน เทย์เลอร์ให้คำจำกัดความของปิรามิดว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยที่ใบหน้าทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง Legendre ใน Elements of Geometry ให้คำจำกัดความของปิรามิดไว้ดังนี้: “รูปทรงทึบที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งและสิ้นสุดที่ด้านต่างๆ ของฐานแบน” หลังจากสูตรนี้จะมีการอธิบายแนวคิดของรองพื้น คำจำกัดความของ Legendre นั้นซ้ำซ้อนอย่างชัดเจน กล่าวคือ มีคุณสมบัติที่สามารถได้มาจากผู้อื่น และนี่คือคำจำกัดความอีกประการหนึ่งที่ปรากฏในหนังสือเรียนของศตวรรษที่ 19: ปิรามิดเป็นมุมทึบที่ตัดกันด้วยระนาบ

การคำนวณโดยตรงครั้งแรกของปริมาตรของปิรามิดที่ลงมาหาเรานั้นพบได้ในนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรีย เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในเอกสารโบราณมีกฎในการกำหนดปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน แต่ไม่มีกฎในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดเต็ม ในกระดาษปาปิรัสมอสโกมีปัญหาเรื่อง "การกระทำกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน" ซึ่งกำหนดการคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนหนึ่งอันที่ถูกต้อง แผ่นจารึกรูปลิ่มของชาวบาบิโลนยังไม่มีการคำนวณปริมาตรของปิรามิด แต่มีตัวอย่างมากมายในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรแรกสำหรับปริมาตรของปิรามิดถูกค้นพบโดยชาวอียิปต์โบราณ ท้ายที่สุดแล้ว พวกเขาจำเป็นต้องสามารถคำนวณได้โดยประมาณว่าต้องใช้หินเท่าใดในการสร้างปิรามิดโดยเฉพาะ

ตามคำกล่าวของอาร์คิมิดีส ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 5 พ.ศ. พรรคเดโมคริตุสแห่งอับเดรากำหนดว่าปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเท่ากันและสูงเท่ากัน ข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทนี้มอบให้โดย Eudoxus of Cnidus ในศตวรรษที่ 4 พ.ศ.

การคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ลงมาเพื่อคำนวณปริมาตรของจัตุรมุข (ปิรามิดรูปสามเหลี่ยม) ดังนั้นความสนใจหลักด้านล่างนี้จะมุ่งเน้นไปที่การคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดเหล่านี้

โดยทั่วไปสูตรในการคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขคือ เอบีซีดีเกิดจากการพิจารณาดังต่อไปนี้ ประการแรกเชื่อกันว่าสูตรในการคำนวณปริมาตรของปริซึม (โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยม) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ประการที่สอง ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ความถูกต้องของข้อความดังกล่าวได้รับการพิสูจน์ว่าจัตุรมุขที่แตกต่างกันสองตัวที่มีใบหน้าเหมือนกันและมีความสูงเท่ากันมีปริมาตรเท่ากัน ที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆเพื่อยืนยันข้อความที่สองคือการใช้สิ่งที่เรียกว่าหลักการคาวาเลียรี

ในรูปที่ 1 จัตุรมุข เอบีซีดีและ เอบีซีดี"มีขอบร่วมกัน เอบีซีมีความสูงเท่ากัน ระนาบ π 1, π 2 ขนานกัน (ระนาบ π 1 มีรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและจุดยอด ดีและ ดี"จัตุรมุขเหล่านี้เป็นของระนาบ π 2) มันง่ายที่จะแสดงรูปสามเหลี่ยมนั้น ก"บี"ค"และ ก""บี""ค""ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของจัตุรมุขเหล่านี้กับระนาบใดๆ π 3 ขนานกับระนาบสองอันแรก มีค่าเท่ากัน (พิสูจน์สิ่งนี้!) และด้วยเหตุนี้จึงมีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าปริมาตรของจัตุรมุขดังกล่าวเท่ากัน (“แพนเค้กที่เท่ากันสองกองเติมหนึ่งปริมาตร”)

โดยมีข้อตกลงดังกล่าว สูตรพื้นฐานวิธีคำนวณปริมาตรของทรงสี่หน้า:

ที่ไหน สคือพื้นที่ของใบหน้าด้านหนึ่งของจัตุรมุขและ เอ็น- ความยาวของความสูงที่ลดลงบนใบหน้านี้ได้มาจากการสร้างจัตุรมุขนี้ให้เป็นปริซึมดังแสดงในรูปที่ 2 โดยที่ระนาบ เอบีซีและ ก"บี"ค"ขนาน. จากนั้นปริซึมนี้ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมันประกอบด้วยจัตุรมุขที่มีขนาดเท่ากันสามอัน (ตามหลักการของ Cavalieri) เอบีซีเอ", ก"บี"ซี.บี.และ เอ"บี"ซีซี"(สองตัวสุดท้ายมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากมีขอบร่วมกัน เอ"บี"คและมีความสูงเท่ากันลดต่ำลงถึงใบหน้านี้)

ความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งในการคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขนั้นมาจากการก่อสร้างที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับจัตุรมุขที่เรียกว่า อธิบายไว้ ขนานกัน. ได้มาจากการวาดระนาบขนานสามคู่ซึ่งแต่ละอันถูกลากผ่านขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุข (รูปที่ 3)

ขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุขคือเส้นทแยงมุมของด้านตรงข้ามของด้านขนานที่อธิบายไว้ นอกเหนือจากจัตุรมุขดั้งเดิมแล้ว รูปขนานนั้นยังมีจัตุรมุขที่มีขนาดเท่ากัน "เล็ก" อีกสี่อัน ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งในหกของปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อธิบายไว้ (ขนาดเท่ากันของจัตุรมุขเหล่านี้ตามมาจากสูตรพื้นฐาน) . ตามมาว่าปริมาตรของจัตุรมุขดั้งเดิมนั้นเท่ากับหนึ่งในสามของปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อธิบายไว้ ดังนั้น ในการคำนวณปริมาตรของจัตุรมุข เราได้สูตรต่อไปนี้:

ที่ไหน ก = บีดี, ข = เอ"ค", งและ φ - ระยะทางและมุมตามลำดับระหว่างเส้นที่ตัดกัน บีดีและ ก"ค". แท้จริงแล้วค่าจะเท่ากับพื้นที่ของใบหน้า เอบีซีดี, ก งคือความยาวของส่วนสูงของเส้นขนานนี้

จากตรงนี้ จะเป็นไปตามนั้นหากขอบด้านตรงข้ามสองด้านของจัตุรมุขเคลื่อนที่ไปตามเส้นตัดกันสองเส้นที่กำหนด ( งและ φ - ได้รับ) โดยไม่เปลี่ยนความยาวปริมาตรของจัตุรมุขจะไม่เปลี่ยนแปลง

หมายเหตุ 1. ความจริงที่ว่าในจัตุรมุขใด ๆ ผลคูณของพื้นที่ของใบหน้าและความสูงที่ดึงไปนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานและความสูงสามารถพิสูจน์ได้โดยตรง ในการทำเช่นนี้เราเลือกใบหน้าจัตุรมุขสองหน้าโดยพลการพร้อมพื้นที่ ส 1 และ ส 2 ความสูงที่สอดคล้องกัน ชม 1 และ ชม 2 และขอบทั่วไปของความยาว ก(รูปที่ 4)

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์นั้นเขียนแทนด้วย ชม. 1 และ ชม.ความสูง 2 ระดับถูกลากไปที่ขอบทั่วไปในใบหน้า "แรก" และ "ที่สอง" จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก (อันแรกมีขา ชม 1 และด้านตรงข้ามมุมฉาก ชม. 2 และอันที่สอง - ด้วยขา ชม 2 และด้านตรงข้ามมุมฉาก ชม. 1 ; ความคล้ายคลึงกันเกิดขึ้นเนื่องจากมุมแหลมเป็นมุมเชิงเส้น มุมไดฮีดรัลที่ขอบ ก) เรามีสิ่งนั้น

นอกจาก,

จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้เราได้ข้อความที่ต้องการ

โน้ต 2.ในสุนทรพจน์อันโด่งดังของเขาที่การประชุมคณิตศาสตร์นานาชาติที่ปารีสในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2443 D. Hilbert ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหา 23 ข้อที่เขาตั้งไว้ภายใต้ข้อ 3 ได้กล่าวถึงปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับประเด็นการสอนทฤษฎีปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม มันดึงความสนใจไปที่ความจริงที่ว่าเมื่อได้รับสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขเราต้องใช้เส้นทางที่ค่อนข้างซับซ้อนจนถึงขีด จำกัด (ที่เรียกว่า "บันไดปีศาจ") หรือใช้หลักการของ Cavalieri ดังที่ทำไว้ข้างต้น . ฮิลเบิร์ตดึงความสนใจไปที่สถานการณ์นี้และหยิบยกสมมติฐานเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิสูจน์อย่างเข้มงวดว่าหากไม่มีการดำเนินการผ่านไปจนถึงขีด จำกัด ทฤษฎีปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมไม่สามารถสร้างได้ในลักษณะเดียวกับที่ทำใน planimetry ในทฤษฎีพื้นที่ ของรูปหลายเหลี่ยม ในปีเดียวกันนั้นเอง ปี 1900 Max Dehn นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของ Hilbert ได้ยืนยันสมมติฐานที่ครูของเขาแสดงออกมา ซึ่งพิสูจน์ได้ว่ามีหลายรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรเท่ากันแต่ประกอบกันไม่เท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งหนึ่งในนั้นไม่สามารถแบ่งออกเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถนำมาใช้เพื่อสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นได้ (มันอยู่บนแนวคิดของการสมรู้ร่วมคิดที่มีการสร้างทฤษฎีของพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม) หนึ่งในคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันคือลูกบาศก์และจัตุรมุขปกติ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู

เนื่องมาจากแรงจูงใจของสูตรพื้นฐาน จึงใช้ปริซึมที่ประกอบด้วยจัตุรมุขที่เท่ากันสามอันเพื่อคำนวณปริมาตรของจัตุรมุข

และอะไร ปริซึมสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสาม เท่ากันจัตุรมุข? ปริซึมที่เท่ากันสามอันใดที่สามารถสร้างปริซึมได้?

ในการตอบคำถามแรก ให้พิจารณา (ดูรูปที่ 2) ปริซึมสามเหลี่ยม เอบีซีเอ"บี"ค"และสมมุติว่าเป็นจัตุรมุข เอบีซีเอ", เอ"บี"ค"คและ เอ"บี"บี.ซี.มีความเท่าเทียมกัน (อันสุดท้ายอยู่ระหว่างอีกสองคน)

แล้วจัตุรมุข เอบีซีเอ"และ เอ"บี"บี.ซี.มีข้อได้เปรียบร่วมกัน ก"บี.ซี.และเนื่องจากพวกมันเท่ากัน ขอบที่มาจากจุดยอดจึงเท่ากันด้วย กและ บี". แต่ เอเอ" = BB"เหมือนขอบด้านข้างของปริซึม เอบี = เอ"บี"เป็นด้านที่สอดคล้องกันของฐานของปริซึมดังนั้น เอ.ซี. = บี"ค.

ให้เราพิจารณาจัตุรมุขในลักษณะเดียวกัน ก"บี"ค"คและ เอ"บี"บี.ซี.เหมือนจัตุรมุขที่มีหน้าธรรมดา เอ"บี"คและยอดเขาที่สี่ บีและ ค"ตามลำดับ เปรียบเทียบซี่โครงด้านข้างอีกครั้ง: BB" = ค"คเหมือนซี่โครงด้านข้างของปริซึม ค"บี" = บี.ซี.เป็นด้านที่สอดคล้องกันของฐานของปริซึม จากความเท่าเทียมกันของจัตุรมุขเหล่านี้จึงเป็นไปตามนั้น ก"บี = เอ"ค".

ดังนั้น หากปริซึมประกอบด้วยจัตุรมุขที่เท่ากันสามอันดังแสดงในรูปที่ 2 แล้ว

เอ.ซี. = ก"ค" = เอ"บี = บี"ค. (*)

ปริซึมนี้สามารถแบ่งออกเป็นจัตุรมุขสามอันได้ด้วยวิธีอื่น (มีทั้งหมด 6 วิธี พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง!) ในแต่ละพาร์ติชันนั้น คล้ายกับที่เพิ่งพิจารณาไป เราต้องแน่ใจว่าความสัมพันธ์ (*) เป็นไปตามที่ต้องการ ดังนั้นหากปริซึมสามารถแบ่งออกเป็นจัตุรมุขที่เท่ากันสามอันได้ เส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกันของด้านทั้งสองของปริซึมจะต้องเท่ากันและเท่ากับด้านของฐาน, นอนหงายในพระพักตร์ที่สาม.

ก่อนที่จะให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามที่สอง ให้เราพิจารณาวิธีหนึ่งในการสร้างปริซึมจากจัตุรมุขที่เท่ากันสามอัน

ให้เราแสดงด้วยเครื่องบินที่ผ่านจุดนั้น ก. พิจารณารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า อมนในเครื่องบินลำนี้ ขอให้เราคืนค่าตั้งฉากไปที่ a ที่จุดยอดของมัน ในบรรทัดเหล่านี้เราเลือกสามจุด ก", บี, คดังนั้น เอเอ" = 3ล,บธ. = ล, เอ็นซี = 2ล, ที่ไหน ล- จำนวนบวกตามอำเภอใจ (ดูรูปที่ 5) ตอนนี้ให้เราสร้างจัตุรมุขผลลัพธ์ให้สมบูรณ์ เอบีซีเอ"ไปจนถึงปริซึมที่มีฐาน เอบีซีและซี่โครงด้านข้าง BB", ซีซี". ปริซึมจึงได้ตามเงื่อนไข (*) ดังนั้น จึงประกอบด้วยจัตุรมุขที่เท่ากันจำนวน 3 ชิ้น คือ เอบีซีเอ", ก"บี"บี.ซี., เอ"บี"ค"ค. แท้จริงแล้วหมายถึงสำหรับ กความยาวด้านสามเหลี่ยม อมนและเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำให้ง่ายต่อการคำนวณ

คำตอบทั้งหมดสำหรับคำถามที่ถูกโพสต์มีอยู่ในภารกิจที่ 2

งานและแบบฝึกหัด

1. เป็นไปได้ไหมที่จะตัดลูกบาศก์: ก) ออกเป็นปิรามิดสามเหลี่ยม 5 อัน; b) เป็นปิรามิดสามเหลี่ยม 4 อัน?

2. จัตุรมุขที่เท่ากันสามอันใดที่สามารถนำมาใช้สร้างปริซึมได้? ค้นหาความสัมพันธ์ที่ขอบของมันต้องสนอง

บันทึก. ให้จัตุรมุขได้รับ เอบีซีเอ"และทราบความยาวของขอบทั้งหมดแล้ว สร้างมันขึ้นมาเป็นปริซึม เอบีซีเอ"บี"ค"และแสดงออก พ.ศ."ผ่านปริมาณที่ทราบ

3. พิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างปริซึมจากจัตุรมุขปกติสามอัน

4. ให้ใบหน้าของจัตุรมุขทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากันซึ่งมีด้านเท่ากัน ก, ขและ ค. คำนวณปริมาตรของจัตุรมุข.

5. ให้เส้นขนานสามเส้น พี, ถามและ รไม่ได้นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน ขอบของจัตุรมุขเคลื่อนที่อย่างอิสระเป็นเส้นตรง พี(โดยไม่เปลี่ยนความยาว) และอีกสองจุดที่เหลือเป็นเส้นตรง ถามและ ร. พิสูจน์ว่าปริมาตรของจัตุรมุขคงที่

6. เส้นขนาน พี, ถาม, รและ ลไม่นอนอยู่ในระนาบเดียวกันให้ตัดระนาบแรกที่จุดต่างๆ ก, บี, คและ ดีและอันที่สอง - ที่จุด ก", บี", ค"และ ดี"ตามลำดับ พิสูจน์ว่าจัตุรมุข เอบี"ค"ดี"และ เอ"บีซีดีมีปริมาณเท่ากัน

7 * . (โอลิมปิกออลรัสเซีย, 1988 .) ก) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวางจัตุรมุขปกติที่มีขอบ 1 สองตัวที่ไม่ตัดกันไว้ภายในลูกบาศก์ที่มีขอบ 1?

ข) อันไหน จำนวนมากที่สุดจัตุรมุขปกติที่มีขอบ 1 จะถูกวางไว้ในลูกบาศก์ที่มีขอบ 1 ถ้าจัตุรมุขสามารถสัมผัสได้เพียงใบหน้าเท่านั้น?

2. ขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอด จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน เอบี = ซี.เอ." เช่นเดียวกับหนึ่งในสองความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(เอบี) 2 = (เอ.ซี.) 2 + (ปริญญาตรี") 2 – (บี.ซี.) 2 – (เอเอ") 2 ,

3(เอบี) 2 = (เอ.ซี.) 2 + (ปริญญาตรี") 2 + (บี.ซี.) 2 + (เอเอ") 2 .

7. ก) เป็นไปได้; b) จัตุรมุข 3 อัน

วรรณกรรม

1. โบลยันสกี้ วี.จี.ปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต - ม.: เนากา, 2520.

2. กิลเบิร์ต ดี., วอสเซน เค.เรขาคณิตเชิงภาพ - ม.: เนากา, 2524.

3. พรรินทร์ ญาพีเรขาคณิตเบื้องต้น: มี 2 เล่ม - ต. 1. Planimetry การแปลงระนาบ - อ.: MTsNMO, 2004.

4. พรรินทร์ ญาพีเรขาคณิตเบื้องต้น: มี 2 เล่ม - ต. 1. Stereometry การแปลงพื้นที่ - อ.: MTsNMO, 2549.

5. ฮาดามาร์ด เจ.เรขาคณิตเบื้องต้น - ส่วนที่ 2: สเตอริโอเมทรี - อ.: การศึกษา, 2500.