หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของโปรไฟล์ที่ใช้ในทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้โจทย์, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ในเรขาคณิตเชิงพื้นที่ เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับปริซึม มักมีปัญหาในการคำนวณพื้นที่ด้านข้างหรือใบหน้าที่สร้างตัวเลขสามมิติเหล่านี้ บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการกำหนดพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวด้านข้าง

ปริซึมรูป

ก่อนดำเนินการพิจารณาสูตรสำหรับพื้นที่ฐานและพื้นผิวของปริซึมอย่างใดอย่างหนึ่ง จำเป็นต้องเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงรูปทรงใด

ปริซึมในเรขาคณิตคือรูปทรงเชิงพื้นที่ที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมขนานกันสองรูปที่เท่ากัน และรูปสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายรูป จำนวนหลังจะเท่ากับจำนวนจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น หากรูปประกอบด้วย n-gons ขนานกันสองตัว จำนวนสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็น n

n-gons ที่เชื่อมต่อกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าด้านข้างของปริซึมและพื้นที่ทั้งหมดคือพื้นที่ผิวด้านข้างของรูป n-gons เองเรียกว่าฐาน

รูปด้านบนแสดงตัวอย่างปริซึมกระดาษ สี่เหลี่ยมสีเหลืองคือฐานบน บนฐานที่สองของร่างเดียวกัน สี่เหลี่ยมสีแดงและสีเขียวคือใบหน้าด้านข้าง

ปริซึมคืออะไร?

ปริซึมมีหลายประเภท ทั้งหมดแตกต่างกันในสองพารามิเตอร์:

• ประเภทของ n-gon ที่สร้างฐาน
• มุมระหว่าง n-gon และด้านข้าง

ตัวอย่างเช่น ถ้าฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ปริซึมจะเรียกว่าสามเหลี่ยม ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังในรูปที่แล้ว ตัวเลขจะเรียกว่าปริซึมสี่เหลี่ยมเป็นต้น นอกจากนี้ n-gon สามารถนูนหรือเว้าได้ จากนั้นคุณสมบัตินี้จะถูกเพิ่มในชื่อของปริซึมด้วย

มุมระหว่างใบหน้าด้านข้างกับฐานสามารถเป็นแบบตรงหรือแบบแหลมหรือแบบป้านก็ได้ ในกรณีแรกพวกเขาพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม ในกรณีที่สอง - เกี่ยวกับการเอียงหรือเฉียง

ปริซึมปกติจะแบ่งออกเป็นรูปทรงพิเศษ มีความสมมาตรสูงสุดเมื่อเทียบกับปริซึมอื่นๆ จะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและฐานเป็น n-gon ปกติ รูปด้านล่างแสดงชุดของปริซึมปกติ ซึ่งจำนวนด้านของ n-gon แตกต่างกันไปตั้งแต่สามถึงแปด

พื้นผิวปริซึม

ภายใต้พื้นผิวของรูปทรงที่พิจารณาของประเภทโดยพลการจะเข้าใจถึงจำนวนรวมของทุกจุดที่เป็นของใบหน้าของปริซึม สะดวกในการศึกษาพื้นผิวของปริซึมโดยพิจารณาจากการพัฒนา ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของการกวาดหาปริซึมสามเหลี่ยม

จะเห็นได้ว่าพื้นผิวทั้งหมดประกอบด้วยสามเหลี่ยมสองรูปและสี่เหลี่ยมสามรูป

ในกรณีของปริซึมประเภททั่วไป พื้นผิวจะประกอบด้วยฐาน n-gonal สองฐานและรูปสี่เหลี่ยม n รูปสี่เหลี่ยม

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่ผิวของปริซึมประเภทต่างๆ

พื้นที่ฐานของปริซึม

บางทีงานที่ง่ายที่สุดเมื่อทำงานกับปริซึมคือปัญหาในการค้นหาพื้นที่ฐานของตัวเลขปกติ เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นโดย n-gon ซึ่งมุมและความยาวด้านทั้งหมดเท่ากัน มันจึงเป็นไปได้ที่จะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน ซึ่งรู้จักมุมและด้านต่างๆ พื้นที่ทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นพื้นที่ของ n-gon

อีกวิธีในการกำหนดส่วนพื้นที่ผิวของปริซึม (ฐาน) คือการใช้สูตรที่รู้จักกันดี ดูเหมือนว่านี้:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

นั่นคือ พื้นที่ S n ของ n-gon ถูกกำหนดโดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับความยาวของด้าน a อย่างเฉพาะเจาะจง ความยากในการคำนวณสูตรอาจเป็นการคำนวณโคแทนเจนต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ n>4 (สำหรับ n≤4 ค่าของโคแทนเจนต์เป็นข้อมูลแบบตาราง) เพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ ขอแนะนำให้ใช้เครื่องคิดเลข

เมื่อตั้งโจทย์เรขาคณิต คุณควรระวัง เพราะคุณอาจต้องหาพื้นที่ฐานของปริซึม จากนั้นค่าที่ได้จากสูตรควรคูณด้วยสอง

พื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยม

ใช้ตัวอย่างของปริซึมสามเหลี่ยม พิจารณาว่าคุณสามารถหาพื้นที่ของฐานของรูปนี้ได้อย่างไร

ขั้นแรก ให้พิจารณากรณีง่าย ๆ - ปริซึมปกติ พื้นที่ของฐานคำนวณตามสูตรที่ระบุในย่อหน้าด้านบน คุณต้องแทนที่ n \u003d 3 เข้าไป เราได้รับ:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

มันยังคงแทนที่ค่าเฉพาะของความยาวของด้าน a ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าในนิพจน์เพื่อให้ได้พื้นที่ของฐานกระดูก

ทีนี้ สมมติว่าเรามีปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ ทั้งสองข้างของมันคือ a และ b และมุมระหว่างพวกมัน α เป็นที่รู้จัก รูปนี้แสดงด้านล่าง

จะหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมในกรณีนี้ได้อย่างไร? ต้องจำไว้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านและความสูงลดลงมาทางด้านนี้ รูปแสดงความสูง h ถึงด้าน b ความยาว h สอดคล้องกับผลคูณของไซน์ของมุมอัลฟาและความยาวของด้าน a จากนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

นี่คือพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมที่แสดง

พื้นผิวด้านข้าง

เราหาวิธีหาพื้นที่ฐานของปริซึม พื้นผิวด้านข้างของรูปนี้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ สำหรับปริซึมตรง สี่เหลี่ยมด้านขนานจะกลายเป็นสี่เหลี่ยม ดังนั้นจึงง่ายต่อการคำนวณพื้นที่ทั้งหมด:

S = ∑ ผม=1 n (ผม *b)

b คือความยาวของขอบด้านข้าง และ i คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมที่ i ซึ่งตรงกับความยาวของด้านข้างของ n-gon ในกรณีของปริซึม n-gonal ปกติ เราได้นิพจน์ง่ายๆ:

หากปริซึมเอียง เพื่อหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง ควรทำการตัดในแนวตั้งฉาก ปริมณฑล P sr คำนวณและคูณด้วยความยาวของซี่โครงด้านข้าง

รูปด้านบนแสดงให้เห็นว่าการตัดนี้ควรทำอย่างไรสำหรับปริซึมห้าเหลี่ยมเฉียง

ปริซึมที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีหลายอย่างเหมือนกัน ในการหาพื้นที่ฐานของปริซึม คุณต้องหาว่าหน้าตาเป็นอย่างไร

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีด้านเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถอยู่ที่ฐานของมันได้ ตั้งแต่สามเหลี่ยมจนถึง n-gon ยิ่งกว่านั้นฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้าง - ขนาดอาจแตกต่างกันไปอย่างมาก

ในการแก้ปัญหาไม่ใช่แค่พื้นที่ฐานของปริซึมที่พบเท่านั้น อาจจำเป็นต้องรู้พื้นผิวด้านข้าง นั่นคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน พื้นผิวทั้งหมดจะเป็นการรวมกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบเป็นปริซึม

บางครั้งความสูงปรากฏในงาน มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในใบหน้าเดียวกัน

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างพวกเขากับใบหน้าด้านข้าง ถ้าพวกมันมีตัวเลขเหมือนกันทั้งบนและล่าง พื้นที่ของพวกมันจะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

มันมีรูปที่มีจุดยอดสามจุดอยู่ที่ฐาน นั่นคือ สามเหลี่ยม เรียกได้ว่าแตกต่างกันออกไป ถ้าอย่างนั้นก็เพียงพอที่จะจำได้ว่าพื้นที่นั้นถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์ของขา

สัญกรณ์คณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av.

ในการค้นหาพื้นที่ของฐานในรูปแบบทั่วไป สูตรมีประโยชน์: นกกระสาและอันที่ครึ่งหนึ่งของด้านถูกดึงไปที่ความสูง

สูตรแรกควรเขียนดังนี้: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)) รายการนี้ประกอบด้วยกึ่งปริมณฑล (p) นั่นคือผลรวมของสามด้านหารด้วยสอง

ที่สอง: S = ½ n a * a.

หากคุณต้องการทราบพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งปกติแล้วสามเหลี่ยมจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มันมีสูตรของมันเอง: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในแต่ละกรณี ในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของฐานจะถูกกำหนดดังนี้: S = av โดยที่ a, b คือด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเป็นผู้ที่นอนอยู่ที่ฐาน S \u003d a 2

ในกรณีที่ฐานเป็นแบบขนานจะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S \u003d a * n a. มันเกิดขึ้นที่ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานและให้มุมหนึ่ง จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: na \u003d b * sin A นอกจากนี้ มุม A ยังติดกับด้าน "b" และความสูงคือ na ตรงข้ามกับมุมนี้

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม จำเป็นต้องใช้สูตรเดียวกันเพื่อกำหนดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของมัน) แต่คุณสามารถใช้อันนี้ได้เช่นกัน: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 เป็นเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแยกรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งง่ายต่อการค้นหา แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจุดยอดต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าว (สามารถเห็นสูตรด้านบน) คูณด้วยห้า

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นไปได้ที่จะแบ่งรูปหกเหลี่ยมฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า เฉพาะในนั้นควรคูณด้วยหก

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 และ 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 ให้เส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุม 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

วิธีการแก้.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้าน คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (n) x 2 \u003d d 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน "x" นี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 \u003d a 2 + a 2 ดังนั้นปรากฎว่า a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2

แทนที่หมายเลข 22 แทน d และแทนที่ “n” ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้มันง่ายที่จะหาพื้นที่ฐาน: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มค่าของพื้นที่ฐานสองเท่าและสี่เท่าของด้านข้าง สูตรหลังหาง่ายด้วยสูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พบว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมเท่ากับ 960 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่ฐานของปริซึมคือ 144 cm2 พื้นผิวทั้งหมด - 960 ซม. 2 .

ลำดับที่ 2. ดาน่า ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. คำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

วิธีการแก้.เนื่องจากปริซึมเป็นปริซึม ฐานจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจึงเท่ากับ 6 กำลังสองคูณ ¼ และรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 cm 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 6 และ 10 ซม. ในการคำนวณพื้นที่ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณมันด้วยสาม เพราะปริซึมมีหน้าด้านข้างมากมายพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างเป็นแผล 180 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2

คำนิยาม.

นี่คือรูปหกเหลี่ยม ฐานที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันเท่ากัน และด้านด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

ซี่โครงข้างเป็นด้านร่วมของใบหน้าสองด้านที่อยู่ติดกัน

ปริซึมสูงเป็นส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับฐานของปริซึม

ปริซึมเส้นทแยงมุม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของฐานที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

ระนาบแนวทแยง- ระนาบที่ผ่านเส้นทแยงมุมของปริซึมและขอบด้านข้าง

ส่วนทแยงมุม- ขอบเขตของจุดตัดของปริซึมและระนาบแนวทแยง ส่วนทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ สี่เหลี่ยม

ส่วนตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก)- นี่คือจุดตัดของปริซึมกับระนาบที่ตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

องค์ประกอบของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

รูปแสดงปริซึมสี่เหลี่ยมปกติสองอัน ซึ่งทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกัน:

• ฐาน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เท่ากันและขนานกัน
• ใบหน้าด้านข้าง AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C และ CC 1 D 1 D ซึ่งแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• พื้นผิวด้านข้าง - ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปริซึม
• พื้นผิวทั้งหมด - ผลรวมของพื้นที่ของฐานทั้งหมดและใบหน้าด้านข้าง (ผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและฐาน)
• ซี่โครงข้าง AA 1 , BB 1 , CC 1 และ DD 1 .
• เส้นทแยงมุม B 1 D
• ฐานทแยงมุม BD
• ส่วนทแยงมุม BB 1 D 1 D
• ส่วนตั้งฉาก A 2 B 2 C 2 D 2 .

คุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

• ฐานเป็นสองสี่เหลี่ยมเท่ากัน
• ฐานขนานกัน
• ด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• หน้าด้านข้างเท่ากัน
• ใบหน้าด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
• ซี่โครงด้านข้างขนานกันและเท่ากัน
• ส่วนตั้งฉากตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างทั้งหมดและขนานกับฐาน
• มุมฉากตั้งฉาก - ขวา
• ส่วนทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ สี่เหลี่ยม
• ตั้งฉาก (ส่วนมุมฉาก) ขนานกับฐาน

สูตรสำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ

คำแนะนำในการแก้ปัญหา

เมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อ " ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ" หมายความว่า:

ปริซึมที่ถูกต้อง- ปริซึมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน สี่เหลี่ยม. (ดูคุณสมบัติของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติด้านบน) บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนที่มีงานในเรขาคณิต (ส่วนเรขาคณิตทึบ - ปริซึม) นี่คืองานที่ทำให้เกิดปัญหาในการแก้ปัญหา หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิตซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับมันในฟอรัม. เพื่อแสดงการกระทำของการแยกรากที่สองในการแก้ปัญหาจะใช้สัญลักษณ์√ .

งาน.

ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ฐานคือ 144 ซม. 2 และสูง 14 ซม. หาเส้นทแยงมุมของปริซึมและพื้นที่ผิวทั้งหมด

วิธีการแก้.
รูปสี่เหลี่ยมปกติคือสี่เหลี่ยมจตุรัส
ดังนั้นด้านฐานจะเท่ากับ

√144 = 12 ซม.
โดยที่เส้นทแยงมุมของฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติจะเท่ากับ
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

เส้นทแยงมุมของปริซึมปกติก่อรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีเส้นทแยงมุมของฐานและความสูงของปริซึม ดังนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เส้นทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติที่กำหนดจะเท่ากับ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ซม.

ตอบ: 22 ซม.

งาน

หาพื้นที่ผิวรวมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติถ้าเส้นทแยงมุมคือ 5 ซม. และเส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างคือ 4 ซม.

วิธีการแก้.
เนื่องจากฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นด้านข้างของฐาน (แสดงเป็น a) จึงถูกค้นพบโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
ก = √12.5

ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (แสดงเป็น h) จะเท่ากับ:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
ชั่วโมง 2 + 12.5 = 16
ชั่วโมง 2 \u003d 3.5
ชั่วโมง = √3.5

พื้นที่ผิวทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและสองเท่าของพื้นที่ฐาน

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2

คำตอบ: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ซม. 2