(łac. amplituda- wielkość) to największe odchylenie ciała oscylującego od jego położenia równowagi.
W przypadku wahadła jest to maksymalna odległość, na jaką oddala się kulka od położenia równowagi (rysunek poniżej). W przypadku oscylacji o małych amplitudach za taką odległość można przyjąć długość łuku 01 lub 02 oraz długości tych odcinków.
Amplituda oscylacji mierzona jest w jednostkach długości - metrach, centymetrach itp. Na wykresie oscylacji amplituda jest definiowana jako maksymalna (modulo) rzędna krzywej sinusoidalnej (patrz rysunek poniżej).
Okres oscylacji.
Okres oscylacji- jest to najkrótszy okres czasu, przez jaki układ drgający powraca ponownie do tego samego stanu, w jakim znajdował się w wybranym arbitralnie momencie początkowym.
Innymi słowy, okres oscylacji ( T) to czas, w którym następuje jedno pełne oscylowanie. Na przykład na poniższym rysunku jest to czas potrzebny wahadłu na przemieszczenie się od skrajnego prawego punktu do punktu równowagi O do lewego punktu i z powrotem przez ten punkt O znowu skrajnie prawicowy.
W ten sposób przez cały okres oscylacji ciało porusza się po drodze równej czterem amplitudom. Okres oscylacji mierzony jest w jednostkach czasu - sekundach, minutach itp. Okres oscylacji można określić za pomocą znany grafik wibracje (patrz rysunek poniżej).
Pojęcie „okresu oscylacji”, ściśle rzecz biorąc, obowiązuje tylko wtedy, gdy wartości wielkości oscylacyjnej po pewnym czasie dokładnie się powtarzają, czyli dla oscylacji harmonicznych. Jednak koncepcja ta dotyczy również przypadków w przybliżeniu powtarzających się ilości, na przykład tłumione oscylacje.
Częstotliwość oscylacji.
Częstotliwość oscylacji- jest to liczba oscylacji wykonanych w jednostce czasu, na przykład w ciągu 1 s.
Nazywa się jednostkę częstotliwości SI herc(Hz) na cześć niemieckiego fizyka G. Hertza (1857-1894). Jeżeli częstotliwość oscylacji ( w) jest równe 1 Hz, oznacza to, że co sekundę następuje jedna oscylacja. Częstotliwość i okres drgań powiązane są zależnościami:
W teorii oscylacji również używają tego pojęcia cykliczny, Lub częstotliwość kołowa ω . Jest to związane z normalną częstotliwością w i okres oscylacji T proporcje:
.
Częstotliwość cykliczna jest liczbą oscylacji wykonanych na 2π sekundy
Różnorodność procesów oscylacyjnych, które nas otaczają, jest tak znacząca, że po prostu zastanawiasz się - czy istnieje coś, co nie oscyluje? Jest to mało prawdopodobne, ponieważ nawet całkowicie nieruchomy obiekt, np. kamień, który leży w bezruchu od tysięcy lat, wciąż podlega procesom oscylacyjnym - w ciągu dnia okresowo nagrzewa się, zwiększając swoje rozmiary, a w nocy ochładza się i maleje rozmiar. A najbliższym przykładem są drzewa i gałęzie - kołyszą się niestrudzenie przez całe życie. Ale to jest kamień, drzewo. A co jeśli 100-piętrowy budynek zmienia się dokładnie w ten sam sposób pod wpływem naporu wiatru? Wiadomo na przykład, że szczyt odchyla się w przód i w tył o 5-12 metrów, dlaczego nie wahadło o wysokości 500 m. A o ile taka konstrukcja zwiększa swój rozmiar pod wpływem zmian temperatury? Można tu uwzględnić także drgania korpusów i mechanizmów maszyn. Pomyśl tylko, że samolot, którym lecisz, nieustannie się waha. Czy zmieniłeś zdanie na temat latania? Nie warto, bo wahania są istotą otaczającego nas świata, nie możemy się ich pozbyć - można je jedynie wziąć pod uwagę i zastosować „dla korzyści”.
Jak zwykle studiowanie najbardziej skomplikowanych obszarów wiedzy (a one nigdy nie są proste) zaczyna się od poznania najprostszych modeli. Nie ma prostszego i bardziej zrozumiałego modelu procesu oscylacyjnego niż wahadło. To właśnie tutaj, na lekcji fizyki, po raz pierwszy słyszymy tak tajemnicze sformułowanie – „okres drgań wahadła matematycznego”. Wahadło to nić i ciężarek. A co to za szczególne wahadło - matematyczne? A wszystko jest bardzo proste, dla tego wahadła zakłada się, że jego nić nie ma ciężaru, jest nierozciągliwa i oscyluje pod wpływem działania.Faktem jest, że zazwyczaj rozpatrując pewien proces, np. oscylacje, nie da się całkowicie wziąć pod uwagę cechy fizyczne, na przykład wagę, elastyczność itp. wszystkich uczestników eksperymentu. Jednocześnie wpływ niektórych z nich na proces jest znikomy. Na przykład jest a priori jasne, że ciężar i elastyczność nici wahadła w pewnych warunkach nie mają zauważalnego wpływu na okres oscylacji wahadła matematycznego, ponieważ są one znikome, więc ich wpływ jest wyłączony z rozważań.
Definicja wahadła, być może najprostsza ze znanych, jest następująca: okres to czas, w którym następuje jedno pełne oscylowanie. Zróbmy znak w jednym z skrajnych punktów ruchu ładunku. Teraz za każdym razem, gdy punkt się zamyka, liczymy liczbę pełnych oscylacji i notujemy czas, powiedzmy, 100 oscylacji. Określenie czasu trwania jednego okresu wcale nie jest trudne. Przeprowadźmy to doświadczenie dla wahadła drgającego w jednej płaszczyźnie w następujących przypadkach:
Różna amplituda początkowa;
Różna waga ładunku.
Otrzymamy wynik, który na pierwszy rzut oka będzie oszałamiający: we wszystkich przypadkach okres drgań wahadła matematycznego pozostaje niezmieniony. Innymi słowy, początkowa amplituda i masa punktu materialnego nie wpływają na czas trwania okresu. Dla dalszej prezentacji jest tylko jedna niedogodność - ponieważ. Ponieważ wysokość ładunku zmienia się podczas ruchu, siła przywracająca wzdłuż trajektorii również jest zmienna, co jest niewygodne w obliczeniach. Oszukajmy trochę - wychylamy wahadło także w kierunku poprzecznym - zacznie ono opisywać powierzchnię w kształcie stożka, okres jego obrotu T pozostanie taki sam, prędkość V jest stałą, wzdłuż której przemieszcza się ładunek S = 2πr, a siła przywracająca jest skierowana wzdłuż promienia.
Następnie obliczamy okres drgań wahadła matematycznego:
T = S/V = 2πr/v
Jeśli długość nici l jest znacznie więcej rozmiarów obciążenie (co najmniej 15-20 razy), a kąt nachylenia gwintu jest mały (małe amplitudy), wówczas możemy założyć, że siła przywracająca P jest równa sile dośrodkowej F:
P = F = m*V*V/obr
Z drugiej strony moment siły przywracającej i obciążenia są równe, a następnie
P * l = r *(m*g), z czego, biorąc pod uwagę, że P = F, otrzymujemy następującą równość: r * m * g/l = m*v*v/r
Znalezienie prędkości wahadła nie jest wcale trudne: v = r*√g/l.
Zapamiętajmy teraz pierwsze wyrażenie określające okres i zamieńmy wartość prędkości:
Т=2πr/r*√g/l
Po trywialnych przekształceniach wzór na okres drgań wahadła matematycznego w jego ostatecznej postaci wygląda następująco:
T = 2 π √ l/g
Teraz uzyskane wcześniej eksperymentalnie wyniki niezależności okresu oscylacji od masy ładunku i amplitudy zostały potwierdzone w formie analitycznej i wcale nie wydają się tak „niesamowite”, jak to się mówi, co należało udowodnić.
Między innymi biorąc pod uwagę ostatnie wyrażenie na okres drgań wahadła matematycznego, można dostrzec doskonałą okazję do pomiaru przyspieszenia ziemskiego. Aby to zrobić, wystarczy zamontować w dowolnym miejscu na Ziemi pewne standardowe wahadło i zmierzyć okres jego oscylacji. Zatem, całkiem nieoczekiwanie, proste i nieskomplikowane wahadło dało nam doskonałą okazję do zbadania rozkładu gęstości skorupa Ziemska, aż po poszukiwanie złóż minerałów lądowych. Ale to zupełnie inna historia.
Co to jest okres oscylacji? Jaka jest ta wartość, co znaczenie fizyczne czy ma i jak to obliczyć? W tym artykule zajmiemy się tymi zagadnieniami, rozważymy różne wzory, za pomocą których można obliczyć okres drgań, a także dowiemy się, jaki związek istnieje pomiędzy takimi wielkościami fizycznymi, jak okres i częstotliwość drgań ciała/układu.
Definicja i znaczenie fizyczne
Okres oscylacji to okres czasu, w którym ciało lub układ wykonuje jedną oscylację (koniecznie pełną). Jednocześnie można zanotować parametr, przy którym oscylację można uznać za zakończoną. Rolą takiego stanu jest powrót ciała do stanu pierwotnego (do pierwotnej współrzędnej). Analogia do okresu funkcji jest bardzo dobra. Nawiasem mówiąc, błędem jest sądzić, że ma to miejsce wyłącznie w matematyce zwykłej i wyższej. Jak wiadomo, te dwie nauki są ze sobą nierozerwalnie związane. A okres funkcji można spotkać nie tylko podczas rozwiązywania równania trygonometryczne, ale także w różnych działach fizyki, a mianowicie mówimy o mechanice, optyce i innych. Przenosząc okres drgań z matematyki na fizykę, należy go rozumieć po prostu jako wielkość fizyczną (a nie funkcję), która ma bezpośrednią zależność od upływu czasu.
Jakie są rodzaje fluktuacji?
Oscylacje dzielą się na harmoniczne i anharmoniczne oraz okresowe i nieokresowe. Logiczne byłoby założenie, że w przypadku oscylacji harmonicznych według niektórych one występują funkcja harmoniczna. Może to być sinus lub cosinus. W tym przypadku w grę mogą również wchodzić współczynniki kompresji-rozszerzania i wzrostu-zmniejszenia. Oscylacje można również tłumić. To znaczy, gdy na układ działa pewna siła, która stopniowo „spowalnia” same oscylacje. W tym przypadku okres staje się krótszy, a częstotliwość oscylacji niezmiennie rośnie. Ten fizyczny aksjomat bardzo dobrze demonstruje prosty eksperyment z użyciem wahadła. Może być typu sprężynowego, a także matematycznego. To nie ma znaczenia. Nawiasem mówiąc, okres oscylacji w takich układach będzie określony różnymi wzorami. Ale o tym trochę później. Teraz podamy przykłady.
Doświadczenia z wahadłami
Możesz najpierw wziąć dowolne wahadło, nie będzie różnicy. Prawa fizyki są prawami fizyki, ponieważ są przestrzegane w każdym przypadku. Ale z jakiegoś powodu wolę wahadło matematyczne. Jeśli ktoś nie wie co to jest: jest to kulka na nierozciągliwej nitce, która jest przymocowana do poziomego drążka przymocowanego do nóg (lub elementów, które spełniają swoją rolę - utrzymania układu w stanie równowagi). Najlepiej jest wziąć piłkę z metalu, aby wrażenia były bardziej wizualne.
Tak więc, jeśli wytrącisz taki system z równowagi, przyłóż piłkę do jakiejś siły (innymi słowy, popchnij ją), a piłka zacznie się kołysać na nitce, podążając określoną trajektorią. Z biegiem czasu można zauważyć, że trajektoria, po której przechodzi piłka, ulega skróceniu. W tym samym czasie piłka zaczyna poruszać się tam i z powrotem coraz szybciej. Oznacza to, że częstotliwość oscylacji rośnie. Jednak czas potrzebny piłce na powrót do pozycji wyjściowej maleje. Ale czas jednego pełnego oscylacji, jak dowiedzieliśmy się wcześniej, nazywa się okresem. Jeśli jedna ilość maleje, a druga rośnie, wtedy mówimy odwrotna proporcjonalność. Teraz dotarliśmy do pierwszego punktu, na podstawie którego budowane są wzory na określenie okresu oscylacji. Jeśli do testów weźmiemy wahadło sprężyste, to prawo będzie przestrzegane w nieco innej formie. Aby to jak najdokładniej przedstawić, wprawmy układ w ruch w płaszczyźnie pionowej. Aby było jaśniej, powinniśmy najpierw powiedzieć, czym jest wahadło sprężyste. Z nazwy jasno wynika, że jego konstrukcja musi zawierać sprężynę. I rzeczywiście tak jest. Ponownie mamy płaszczyznę poziomą na podporach, na której zawieszona jest sprężyna o określonej długości i sztywności. Z kolei zawieszony jest na nim ciężar. Może to być walec, sześcian lub inna figura. Może to być nawet jakiś obiekt strony trzeciej. W każdym przypadku, gdy układ zostanie wyjęty z położenia równowagi, zacznie wykonywać tłumione oscylacje. Wzrost częstotliwości jest najwyraźniej widoczny w płaszczyźnie pionowej, bez żadnych odchyleń. Na tym możemy zakończyć nasze eksperymenty.
Tak więc w ich trakcie dowiedzieliśmy się, że okres i częstotliwość oscylacji to dwie wielkości fizyczne, które mają odwrotną zależność.
Oznaczenie ilości i wymiarów
Zwykle oznacza się okres oscylacji Litera łacińska T. Znacznie rzadziej można to oznaczyć inaczej. Częstotliwość oznaczona jest literą µ („Mu”). Jak powiedzieliśmy na samym początku, okres to nic innego jak czas, w którym następuje pełna oscylacja w układzie. Wtedy wymiarem okresu będzie sekunda. A ponieważ okres i częstotliwość są odwrotnie proporcjonalne, wymiar częstotliwości będzie wynosił jeden podzielony przez sekundę. W zapisie zadania wszystko będzie wyglądało tak: T (s), µ (1/s).
Wzór na wahadło matematyczne. Zadanie nr 1
Podobnie jak w przypadku eksperymentów, zdecydowałem się najpierw zająć się wahadłem matematycznym. Nie będziemy szczegółowo omawiać wyprowadzenia wzoru, ponieważ początkowo takie zadanie nie zostało postawione. A samo zakończenie jest kłopotliwe. Ale zapoznajmy się z samymi formułami i dowiedzmy się, jakie ilości zawierają. Zatem wzór na okres drgań wahadła matematycznego ma następującą postać:
Gdzie l to długość nici, n = 3,14, a g to przyspieszenie ziemskie (9,8 m/s^2). Formuła nie powinna sprawić żadnych trudności. Zatem bez dalszych pytań przejdźmy od razu do rozwiązania problemu wyznaczania okresu drgań wahadła matematycznego. Metalowa kulka o masie 10 gramów jest zawieszona na nierozciągliwej nici o długości 20 centymetrów. Oblicz okres drgań układu, przyjmując go jako wahadło matematyczne. Rozwiązanie jest bardzo proste. Jak w przypadku wszystkich problemów w fizyce, należy je maksymalnie uprościć, usuwając niepotrzebne słowa. Włączane są w kontekst, aby zmylić decydenta, ale tak naprawdę nie mają żadnego znaczenia. W większości przypadków oczywiście. Tutaj możemy wykluczyć problem z „nierozciągliwym wątkiem”. To zdanie nie powinno być mylące. A ponieważ nasze wahadło jest matematyczne, masa ładunku nie powinna nas interesować. Oznacza to, że słowa o 10 gramach mają również po prostu na celu zmylenie ucznia. Wiemy jednak, że we wzorze nie ma masy, więc możemy z czystym sumieniem przystąpić do rozwiązania. Bierzemy więc wzór i po prostu zastępujemy w nim wartości, ponieważ konieczne jest określenie okresu systemu. Ponieważ nie określono żadnych dodatkowych warunków, wartości zaokrąglimy do trzeciego miejsca po przecinku, jak to jest w zwyczaju. Mnożąc i dzieląc wartości, okazuje się, że okres oscylacji wynosi 0,886 sekundy. Problem jest rozwiązany.
Wzór na wahadło sprężyste. Zadanie nr 2
Wzory wahadeł mają część wspólną, a mianowicie 2p. Ilość ta występuje w dwóch formułach jednocześnie, ale różnią się one radykalnym wyrażeniem. Jeżeli w zadaniu dotyczącym okresu wahadła sprężystego wskazana jest masa ładunku, to nie sposób uniknąć obliczeń przy jej zastosowaniu, jak miało to miejsce w przypadku wahadła matematycznego. Ale nie ma się co bać. Oto jak wygląda wzór na okres wahadła sprężystego:
W nim m jest masą ładunku zawieszonego na sprężynie, k jest współczynnikiem sztywności sprężyny. W zadaniu można podać wartość współczynnika. Ale jeśli we wzorze wahadła matematycznego nie ma wiele do wyjaśnienia - w końcu 2 z 4 wielkości są stałe - to dodawany jest tutaj trzeci parametr, który może się zmieniać. A na wyjściu mamy 3 zmienne: okres (częstotliwość) oscylacji, współczynnik sztywności sprężyny, masę zawieszonego ładunku. Zadanie może skupiać się na znalezieniu dowolnego z tych parametrów. Ponowne znalezienie okresu byłoby zbyt łatwe, więc zmienimy trochę warunek. Znajdź współczynnik sztywności sprężyny, jeśli czas pełnego oscylacji wynosi 4 sekundy, a masa wahadła sprężynowego wynosi 200 gramów.
Aby rozwiązać jakikolwiek problem fizyczny, dobrze byłoby najpierw wykonać rysunek i napisać formuły. Są tutaj – połowa sukcesu. Po napisaniu wzoru należy wyrazić współczynnik sztywności. Mamy to pod pierwiastkiem, więc podnieśmy obie strony równania do kwadratu. Aby pozbyć się ułamka, pomnóż części przez k. Zostawmy teraz tylko współczynnik po lewej stronie równania, czyli podzielmy części przez T^2. W zasadzie problem można nieco skomplikować, podając nie kropkę w liczbach, ale częstotliwość. W każdym razie przy obliczaniu i zaokrąglaniu (uzgodniliśmy zaokrąglenie do 3 miejsca po przecinku) okazuje się, że k = 0,157 N/m.
Okres swobodnych oscylacji. Wzór na okres drgań swobodnych
Wzór na okres swobodnych oscylacji odnosi się do wzorów, które badaliśmy w dwóch podanych wcześniej zagadnieniach. Tworzą też równanie na drgania swobodne, ale tam mówimy o przemieszczeniach i współrzędnych, a to pytanie należy do innego artykułu.
1) Zanim zajmiesz się problemem, zapisz powiązaną z nim formułę.
2) Najprostsze zadania nie wymagają rysunków, ale w wyjątkowych przypadkach będą musiały zostać wykonane.
3) Jeśli to możliwe, spróbuj pozbyć się pierwiastków i mianowników. Równanie zapisane na prostej, która nie ma mianownika, jest znacznie wygodniejsze i łatwiejsze do rozwiązania.
Nazywa się czas, w którym następuje jedna całkowita zmiana emf, to znaczy jeden cykl oscylacji lub jeden pełny obrót wektora promienia okres oscylacji prądu przemiennego(obrazek 1).
Obrazek 1. Okres i amplituda drgań sinusoidalnych. Okres to czas jednej oscylacji; Amplituda jest jego największą wartością chwilową.
Okres jest wyrażony w sekundach i oznaczony literą T.
Stosowane są także mniejsze jednostki miary okresu: milisekunda (ms) – jedna tysięczna sekundy i mikrosekunda (μs) – jedna milionowa sekundy.
1 ms = 0,001 sek. = 10 -3 sek.
1 μs = 0,001 ms = 0,000001 sek. = 10 -6 sek.
1000 µs = 1 ms.
Numer kompletne zmiany EMF lub liczba obrotów wektora promienia, czyli innymi słowy liczba pełne cykle nazywa się oscylacje wywołane prądem przemiennym przez jedną sekundę Częstotliwość oscylacji prądu przemiennego.
Częstotliwość jest oznaczona literą F i jest wyrażany w cyklach na sekundę lub hercach.
Tysiąc herców nazywa się kilohercem (kHz), a milion herców nazywa się megahercem (MHz). Istnieje również jednostka gigaherc (GHz) równa tysiącowi megaherców.
1000 Hz = 10 3 Hz = 1 kHz;
1000 000 Hz = 10 6 Hz = 1000 kHz = 1 MHz;
1000 000 000 Hz = 10 9 Hz = 1000 000 kHz = 1000 MHz = 1 GHz;
Im szybciej zmienia się pole elektromagnetyczne, to znaczy im szybciej obraca się wektor promienia, tym krótszy jest okres oscylacji.Im szybciej obraca się wektor promienia, tym wyższa jest częstotliwość. Zatem częstotliwość i okres prądu przemiennego są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi do siebie. Im większy z nich, tym mniejszy drugi.
Matematyczny związek między okresem i częstotliwością prądu przemiennego i napięcia wyraża się wzorami
Na przykład, jeśli aktualna częstotliwość wynosi 50 Hz, wówczas okres będzie równy:
T = 1/f = 1/50 = 0,02 sek.
I odwrotnie, jeśli wiadomo, że okres prądu wynosi 0,02 s (T = 0,02 s), wówczas częstotliwość będzie równa:
f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Hz
Częstotliwość prądu przemiennego wykorzystywanego do celów oświetleniowych i przemysłowych wynosi dokładnie 50 Hz.
Częstotliwości pomiędzy 20 a 20 000 Hz nazywane są częstotliwościami akustycznymi. Prądy w antenach stacji radiowych oscylują z częstotliwościami do 1 500 000 000 Hz, czyli innymi słowy do 1500 MHz lub 1,5 GHz. Te wysokie częstotliwości nazywane są częstotliwościami radiowymi lub wibracjami o wysokiej częstotliwości.
Wreszcie prądy w antenach stacji radarowych, stacji łączności satelitarnej i innych specjalnych systemów (na przykład GLANASS, GPS) zmieniają się z częstotliwościami do 40 000 MHz (40 GHz) i więcej.
Amplituda prądu przemiennego
Nazywa się największą wartość, jaką osiąga emf lub prąd w jednym okresie amplituda emf lub prądu przemiennego. Łatwo zauważyć, że amplituda na skali jest równa długości wektora promienia. Amplitudy prądu, pola elektromagnetycznego i napięcia są oznaczone odpowiednio literami Ja, Em i Um (obrazek 1).
Częstotliwość kątowa (cykliczna) prądu przemiennego.
Prędkość obrotowa wektora promienia, tj. zmiana kąta obrotu w ciągu jednej sekundy, nazywana jest częstotliwością kątową (cykliczną) prądu przemiennego i jest oznaczona grecką literą ? (omega). Kąt obrotu wektora promienia dowolny ten moment w stosunku do położenia początkowego zwykle mierzy się go nie w stopniach, ale w specjalnych jednostkach - radianach.
Radian to wartość kątowa łuku koła, którego długość jest równa promieniowi tego okręgu (rysunek 2). Cały okrąg tworzący 360° jest równy 6,28 radianów, czyli 2.
Rysunek 2.
1rad = 360°/2
W rezultacie koniec wektora promienia w jednym okresie pokonuje drogę równą 6,28 radianów (2). Ponieważ w ciągu jednej sekundy wektor promienia wykonuje liczbę obrotów równą częstotliwości prądu przemiennego F, to w ciągu jednej sekundy jego koniec pokonuje ścieżkę równą 6,28*f radian. Wyrażeniem charakteryzującym prędkość obrotową wektora promienia będzie częstotliwość kątowa prądu przemiennego - ? .
? = 6,28*f = 2f
Nazywa się kąt obrotu wektora promienia w dowolnej chwili względem jego położenia początkowego Faza AC. Faza charakteryzuje wielkość pola elektromagnetycznego (lub prądu) w danej chwili lub, jak mówią, chwilową wartość pola elektromagnetycznego, jego kierunek w obwodzie i kierunek jego zmian; faza wskazuje, czy emf maleje, czy rośnie.
Rysunek 3.
Pełny obrót wektora promienia wynosi 360°. Wraz z początkiem nowego obrotu wektora promienia pole elektromagnetyczne zmienia się w tej samej kolejności, jak podczas pierwszego obrotu. W rezultacie wszystkie fazy pola elektromagnetycznego zostaną powtórzone w tej samej kolejności. Na przykład faza pola elektromagnetycznego przy obróceniu wektora promienia o kąt 370° będzie taka sama, jak przy obróceniu o 10°. W obu przypadkach wektor promienia zajmuje to samo położenie, dlatego chwilowe wartości emf będą w obu przypadkach takie same w fazie.
