Wszystkie N elementów i żaden się nie powtarza, to jest to problem liczby permutacji. Rozwiązanie można znaleźć proste. Dowolny z N elementów może zająć pierwsze miejsce w rzędzie, dlatego uzyskuje się N opcji. Na drugim miejscu - dowolny, z wyjątkiem tego, który został już wykorzystany na pierwszym miejscu. Dlatego dla każdej z N już znalezionych opcji istnieje (N - 1) opcji drugiego miejsca, a całkowita liczba kombinacji wynosi N*(N - 1).
To samo można powtórzyć dla pozostałych elementów serii. Na ostatnie miejsce pozostała już tylko jedna opcja – ostatni pozostały element. Na przedostatni - dwie opcje i tak dalej.
Dlatego dla szeregu N niepowtarzających się elementów możliwe permutacje są równe iloczynowi wszystkich liczb całkowitych od 1 do N. Iloczyn ten nazywany jest silnią N i jest oznaczany przez N! (czytaj „en silnia”).
W poprzednim przypadku liczba możliwych elementów i liczba miejsc w szeregu pokrywały się, a ich liczba była równa N. Możliwa jest jednak sytuacja, gdy miejsc w szeregu jest mniej niż możliwych elementów. Innymi słowy, liczba elementów w próbie jest równa pewnej liczbie M i M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Po pierwsze, konieczne może być policzenie całkowitej liczby możliwych sposobów ułożenia w rzędzie M elementów z N. Takie sposoby nazywane są rozmieszczeniami.
Po drugie, badacza może interesować liczba sposobów wyboru elementów M z N. W tym przypadku kolejność elementów nie jest już istotna, ale dowolne dwie opcje muszą różnić się od siebie co najmniej jednym elementem . Takie metody nazywane są kombinacjami.
Aby znaleźć liczbę położeń M elementów z N, można zastosować ten sam sposób rozumowania, co w przypadku permutacji. Po pierwsze może być jeszcze N elementów, po drugie (N - 1) i tak dalej. Ale w przypadku ostatniego miejsca liczba możliwych opcji nie wynosi jeden, ale (N - M + 1), ponieważ po zakończeniu umieszczania nadal pozostaną (N - M) niewykorzystane elementy.
Zatem liczba miejsc nad M elementami z N jest równa iloczynowi wszystkich liczb całkowitych od (N - M + 1) do N lub, równoważnie, ilorazowi N!/(N - M)!.
Oczywiście liczba kombinacji M elementów z N będzie mniejsza niż liczba miejsc docelowych. Dla każdej możliwej kombinacji istnieje M! możliwe rozmieszczenie w zależności od kolejności elementów tej kombinacji. Dlatego, aby znaleźć tę liczbę, należy podzielić liczbę rozmieszczeń na M elementach z N przez N!. Innymi słowy, liczba kombinacji M elementów z N wynosi N!/(M!*(N - M)!).
Kombinatoryka to dział matematyki zajmujący się pytaniami o to, ile różnych kombinacji, pod pewnymi warunkami, można utworzyć z danych obiektów. Podstawy kombinatoryki są bardzo ważne przy szacowaniu prawdopodobieństw zdarzeń losowych, ponieważ to one pozwalają obliczyć zasadniczo możliwą liczbę różnych scenariuszy rozwoju wydarzeń.
Podstawowy wzór kombinatoryki
Niech będzie k grup elementów, a i-ta grupa składa się z n i elementów. Wybierzmy po jednym elemencie z każdej grupy. Wówczas całkowitą liczbę N sposobów, na jakie można dokonać takiego wyboru, wyznacza relacja N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .
Przykład 1 Wyjaśnijmy tę zasadę na prostym przykładzie. Niech będą dwie grupy elementów, pierwsza grupa składa się z n 1 elementów, a druga - z n 2 elementów. Ile różnych par elementów można utworzyć z tych dwóch grup, tak aby każda para zawierała po jednym elemencie z każdej grupy? Załóżmy, że wzięliśmy pierwszy element z pierwszej grupy i bez zmiany go przeszliśmy przez wszystkie możliwe pary, zmieniając tylko elementy z drugiej grupy. Dla tego elementu istnieje n 2 takich par. Następnie bierzemy drugi element z pierwszej grupy i również tworzymy dla niego wszystkie możliwe pary. Będzie też n 2 takich par. Ponieważ w pierwszej grupie jest tylko n 1 elementów, będzie n 1 * n 2 możliwych opcji.
Przykład 2 Ile trzycyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jeśli cyfry te mogą się powtarzać?
Rozwiązanie: n 1 \u003d 6 (ponieważ jako pierwszą cyfrę możesz przyjąć dowolną cyfrę z 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 \u003d 7 (ponieważ możesz przyjąć dowolną cyfrę od 0 jako drugą cyfrę , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (ponieważ jako trzecią cyfrę możesz przyjąć dowolną cyfrę z 0, 2, 4, 6).
Zatem N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
W przypadku, gdy wszystkie grupy składają się z tej samej liczby elementów, tj. n 1 =n 2 =...n k =n możemy założyć, że każdego wyboru dokonujemy z tej samej grupy, a element po dokonanym wyborze wraca do tej grupy. Wtedy liczba wszystkich sposobów wyboru jest równa n k . Ten sposób wyboru w kombinatoryce nazywa się zwrócić próbki.
Przykład 3 Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z liczb 1, 5, 6, 7, 8?
Rozwiązanie. Każda cyfra liczby czterocyfrowej ma pięć możliwości, więc N=5*5*5*5=5 4 =625.
Rozważmy zbiór składający się z n elementów. Ten zbiór w kombinatoryce nazywa się ogólna populacja.
Liczba miejsc docelowych z n elementów na m
Definicja 1. Zakwaterowanie od N elementy wg M w kombinatoryce nazywa się dowolnym zamówiony zestaw z M różne elementy wybrane z populacji ogólnej w N elementy.
Przykład 4 Różne układy trzech elementów (1, 2, 3) dwa na dwa będą zbiorami (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Miejsca docelowe mogą różnić się od siebie zarówno elementami, jak i ich kolejnością.
Liczba miejsc w kombinatoryce jest oznaczana przez An m i obliczana ze wzoru:
Komentarz: n!=1*2*3*...*n (czytaj: „en silnia”), dodatkowo przyjmuje się, że 0!=1.
Przykład 5. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra dziesiątek i cyfra jedności są różne i nieparzyste?
Rozwiązanie: ponieważ jest pięć cyfr nieparzystych, a mianowicie 1, 3, 5, 7, 9, to problem ten sprowadza się do wybrania i umieszczenia dwóch z pięciu różnych cyfr na dwóch różnych pozycjach, tj. podane liczby będą następujące:
Definicja 2. Połączenie z N elementy wg M w kombinatoryce nazywa się dowolnym zbiór nieuporządkowany z M różne elementy wybrane z populacji ogólnej w N elementy.
Przykład 6. Dla zbioru (1, 2, 3) kombinacje to (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Liczba kombinacji n elementów na m
Liczbę kombinacji oznaczamy C n m i obliczamy ze wzoru:
Przykład 7 Na ile sposobów czytelnik może wybrać dwie książki z sześciu dostępnych?
Rozwiązanie: Liczba sposobów jest równa liczbie kombinacji sześciu ksiąg przez dwie, tj. równa się:
Permutacje n elementów
Definicja 3. Permutacja z N elementy nazywane są dowolnymi zamówiony zestaw te elementy.
Przykład 7a. Wszystkie możliwe permutacje zbioru składającego się z trzech elementów (1, 2, 3) to: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Liczba różnych permutacji n elementów jest oznaczana przez P n i obliczana ze wzoru P n = n!.
Przykład 8 Na ile sposobów można ustawić na półce siedem książek różnych autorów w rzędzie?
Rozwiązanie: problem ten dotyczy liczby permutacji siedmiu różnych książek. Istnieje P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 sposobów ułożenia książek.
Dyskusja. Widzimy, że liczbę możliwych kombinacji można obliczyć według różnych zasad (permutacje, kombinacje, rozmieszczenia), a wynik będzie inny, ponieważ zasada liczenia i same formuły są różne. Przyglądając się bliżej definicjom, widać, że wynik zależy od kilku czynników jednocześnie.
Po pierwsze, z ilu elementów możemy połączyć ich zbiory (jak duża jest ogólna populacja elementów).
Po drugie, wynik zależy od tego, jakich rozmiarów zestawów elementów potrzebujemy.
Na koniec warto wiedzieć, czy kolejność elementów w zbiorze ma dla nas znaczenie. Wyjaśnijmy ostatni czynnik na następującym przykładzie.
Przykład 9 Na zebraniu rodziców uczestniczy 20 osób. Ile jest różnych możliwości składu komitetu rodzicielskiego, jeżeli ma on liczyć 5 osób?
Rozwiązanie: W tym przykładzie nie interesuje nas kolejność nazwisk na liście komisji. Jeśli w rezultacie w jego składzie pojawią się ci sami ludzie, to pod względem znaczenia jest to dla nas ta sama opcja. Dlatego możemy użyć wzoru do obliczenia liczby kombinacje z 20 elementów, 5.
Inaczej będzie, jeśli każdy członek komisji będzie początkowo odpowiedzialny za określony obszar pracy. Wtedy, przy tej samej liście płac komisji, możliwe jest w niej 5! opcje permutacje to ma znaczenie. Liczba różnych (zarówno pod względem składu, jak i zakresu odpowiedzialności) opcji jest w tym przypadku określona przez liczbę miejsca docelowe z 20 elementów, 5.
Zadania do samodzielnego sprawdzenia
1. Ile trzycyfrowych liczb parzystych można utworzyć z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jeśli liczby te można powtarzać?
Ponieważ liczba parzysta na trzecim miejscu może wynosić 0, 2, 4, 6, tj. cztery cyfry. Drugie miejsce może być dowolną z siedmiu cyfr. Pierwszym miejscem może być dowolna z siedmiu cyfr z wyjątkiem zera, tj. 6 możliwości. Wynik =4*7*6=168.
2. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które czyta się tak samo od lewej do prawej i od prawej do lewej?
Na pierwszym miejscu może znajdować się dowolna liczba z wyjątkiem 0, tj. 9 możliwości. Drugie miejsce może być dowolną liczbą, tj. 10 możliwości. Trzecie miejsce może być także dowolną liczbą od, tj. 10 możliwości. Czwarta i piąta cyfra są z góry określone, pokrywają się z pierwszą i drugą, dlatego liczba takich liczb wynosi 9*10*10=900.
3. W klasie jest dziesięć przedmiotów i pięć lekcji dziennie. Na ile sposobów możesz ułożyć harmonogram na jeden dzień?
4. Na ile sposobów można wybrać 4 delegatów na konferencję, jeżeli grupa liczy 20 osób?
n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Na ile sposobów można włożyć osiem różnych listów do ośmiu różnych kopert, jeśli w każdej z nich znajduje się tylko jeden list?
W pierwszej kopercie możesz umieścić 1 z ośmiu liter, w drugiej z siedmiu pozostałych liter, w trzeciej z sześciu itd. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Z trzech matematyków i dziesięciu ekonomistów należy powołać komisję złożoną z dwóch matematyków i sześciu ekonomistów. Na ile sposobów można to zrobić?
KOMBINATORIKA
Kombinatoryka to dział matematyki zajmujący się problematyką wyboru i uporządkowania elementów z jakiegoś podstawowego zbioru zgodnie z zadanymi regułami. Wzory i zasady kombinatoryki są stosowane w teorii prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych i, w związku z tym, do uzyskiwania praw rozkładu zmiennych losowych. To z kolei umożliwia badanie praw masowych zjawisk losowych, co jest bardzo ważne dla prawidłowego zrozumienia praw statystycznych przejawiających się w przyrodzie i technologii.
Zasady dodawania i mnożenia w kombinatoryce
Reguła sumy. Jeśli dwie akcje A i B wzajemnie się wykluczają, a czynność A można wykonać na m sposobów, a B na n sposobów, wówczas dowolną z tych akcji (A lub B) można wykonać na n + m sposobów.
Przykład 1
W klasie jest 16 chłopców i 10 dziewcząt. Na ile sposobów można wyznaczyć jednego opiekuna?
Rozwiązanie
Na dyżurze możesz wyznaczyć chłopca lub dziewczynę, tj. którykolwiek z 16 chłopców lub dowolna z 10 dziewcząt może pełnić służbę.
Z reguły sumy wynika, że jednemu oficerowi dyżurnemu można przypisać 16+10=26 sposobów.
Reguła produktu. Niech będzie wymagane wykonanie po kolei k akcji. Jeżeli pierwszą akcję można wykonać na n 1 sposobów, drugą na n 2 sposoby, trzecią na n 3 sposoby i tak dalej, aż do k-tej akcji, którą można wykonać na n k sposobów, to wszystkie k akcji można wykonać łącznie wykonane:
sposoby.
Przykład 2
W klasie jest 16 chłopców i 10 dziewcząt. Na ile sposobów można wyznaczyć dwóch asystentów?
Rozwiązanie
Pierwszą osobą pełniącą dyżur może być chłopiec lub dziewczynka. Ponieważ w klasie jest 16 chłopców i 10 dziewcząt, wówczas pierwszego oficera dyżurnego można wyznaczyć na 16 + 10 = 26 sposobów.
Po wybraniu pierwszego oficera dyżurnego, spośród pozostałych 25 osób możemy wybrać drugiego, czyli tzw. 25 sposobów.
Z twierdzenia o mnożeniu można wybrać dwóch pomocników na 26*25=650 sposobów.
Kombinacje bez powtórzeń. Kombinacje z powtórzeniami
Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby kombinacji bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc wybierać Jestem z n różnych przedmiotów?
Przykład 3
Musisz wybrać 4 z 10 różnych książek dostępnych jako prezent. Na ile sposobów można to zrobić?
Rozwiązanie
Musimy wybrać 4 z 10 książek, a kolejność wyboru nie ma znaczenia. Dlatego musisz znaleźć liczbę kombinacji 10 elementów przez 4:
.
Rozważmy problem liczby kombinacji z powtórzeniami: istnieje r identycznych obiektów każdego z n różnych typów; ile sposoby Móc wybierać m() z te (n*r) elementów?
.
Przykład 4
W cukierni sprzedawano 4 rodzaje ciast: napoleony, eklery, kruche i francuskie. Na ile sposobów można kupić 7 ciastek?
Rozwiązanie
Ponieważ wśród 7 ciastek mogą znajdować się ciastka tej samej odmiany, wówczas o liczbie sposobów zakupu 7 ciastek decyduje liczba kombinacji z powtórzeniami od 7 do 4.
.
Miejsca docelowe bez powtórzeń. Pozycje z powtórzeniami
Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby miejsc bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc wybierać I miejsce Przez jestem inny miejsca Jestem z n inny rzeczy?
Przykład 5
Niektóre gazety mają 12 stron. Na łamach tej gazety należy zamieścić cztery fotografie. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli żadna strona gazety nie powinna zawierać więcej niż jedno zdjęcie?
Rozwiązanie.
W tym zadaniu nie tylko wybieramy zdjęcia, ale umieszczamy je na określonych stronach gazety, a na każdej stronie gazety powinno znajdować się nie więcej niż jedno zdjęcie. W ten sposób problem sprowadza się do klasycznego problemu określenia liczby rozmieszczeń bez powtórzeń z 12 elementów na 4 elementy:
Zatem 4 zdjęcia na 12 stronach można ułożyć na 11880 sposobów.
Klasycznym zadaniem kombinatoryki jest także problem liczby miejsc z powtórzeniami, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc TyBarmia I miejsce Przez jestem inny miejsca Jestem z n przedmiotówZredi Który Jest ten sam?
Przykład 6
Chłopiec miał z zestawu do gry planszowej pieczątki z numerami 1, 3 i 7. Postanowił za ich pomocą umieścić na wszystkich książeczkach pięciocyfrowe numery – stworzyć katalog. Ile różnych liczb pięciocyfrowych potrafi ułożyć chłopiec?
Permutacje bez powtórzeń. Permutacje z powtórzeniami
Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby permutacji bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc miejsce N różny rzeczy NA n inny miejsca?
Przykład 7
Ile czteroliterowych „słów” można utworzyć z liter słowa „małżeństwo”?
Rozwiązanie
Ogólny zestaw to 4 litery słowa „małżeństwo” (b, p, a, k). Liczbę „słów” określa się poprzez permutacje tych 4 liter, tj.
Dla przypadku, gdy wśród wybranych n elementów jest takich samych (wybór ze zwrotem), problem liczby permutacji z powtórzeniami można wyrazić pytaniem: Na ile sposobów można przestawić n obiektów w n różnych miejscach, jeśli wśród n obiektów jest k różnych typów (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
Przykład 8
Ile różnych kombinacji liter można utworzyć z liter słowa „Mississippi”?
Rozwiązanie
Jest 1 litera „m”, 4 litery „i”, 3 litery „c” i 1 litera „p”, łącznie 9 liter. Dlatego liczba permutacji z powtórzeniami wynosi
PODSUMOWANIE W SEKCJI „KOMBINATORIKA”
Przyjaciele! Ponieważ mam już ten martwy zeszyt, za jego pomocą zadam Państwu problem, z którym zmagało się wczoraj trzech fizyków, dwóch ekonomistów, jeden z Politechniki i jeden z nauk humanistycznych. Zepsuliśmy cały mózg i ciągle otrzymujemy różne wyniki. Może są wśród Was programiści i geniusze matematyczni, poza tym problem jest ogólnie szkolny i bardzo łatwy, po prostu nie mamy wzoru. Bo zrezygnowaliśmy z nauk ścisłych i zamiast tego z jakiegoś powodu piszemy książki i rysujemy. Przepraszam.
A więc historia.
Dostałem nową kartę bankową i jak zwykle bez problemu odgadłem jej kod PIN. Ale nie z rzędu. To znaczy, powiedzmy, że kod PIN to 8794, a ja zadzwoniłem pod numer 9748. Czyli triumfalnie odgadł wszystkie liczby zawartej w danej czterocyfrowej liczbie. No tak, nie tylko liczba, ale tylko jego elementy przy zastanawiałem się. Ale wszystkie liczby są prawdziwe! UWAGA - postępowałem losowo, czyli nie musiałem ustawiać znanych już liczb w odpowiedniej kolejności, po prostu postępowałem w duchu: tutaj są cztery nieznane mi liczby i sądzę, że wśród nich mogą się znaleźć będzie 9, 7, 4 i 8, a ich kolejność nie jest istotna. Od razu zadaliśmy sobie pytanie Ile miałem opcji(prawdopodobnie po to, żeby zrozumieć, jakie fajne jest to, że to wziąłem i zgadłem). To znaczy, z ilu kombinacji czterech liczb miałem do wyboru? I wtedy oczywiście zaczęło się piekło. Głowy nam eksplodowały przez cały wieczór i w rezultacie wszyscy wymyślili zupełnie inne odpowiedzi! Zacząłem nawet zapisywać wszystkie te kombinacje w notatniku z rzędu, gdy rosły, ale przy czterystu zdałem sobie sprawę, że jest ich ponad czterysta (w każdym razie obaliło to odpowiedź fizyka Thrasha, który zapewnił mnie, że było czterysta kombinacji, ale nadal nie jest to do końca jasne) – i poddał się.
Faktycznie, istota pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia (w dowolnej kolejności) czterech liczb zawartych w liczbie czterocyfrowej?
Albo nie, przeformułujmy (jestem humanistą, przepraszam, chociaż zawsze miałem ogromną słabość do matematyki), żeby było coraz jaśniej. Ile nie powtarzające się kombinacje liczb zawartych w szeregu liczb porządkowych od 0 do 9999? ( proszę nie mylić tego z pytaniem "ile kombinacji nie powtarzające się liczby"!!! liczby mogą się powtarzać! Mam na myśli, że 2233 i 3322 to w tym przypadku ta sama kombinacja!!).
Albo dokładniej. Muszę odgadnąć jedną liczbę na dziesięć cztery razy. Ale nie z rzędu.
No cóż, albo coś innego. Ogólnie rzecz biorąc, musisz dowiedzieć się, ile miałem opcji kombinacji numerycznej, która utworzyła kod PIN karty. Pomocy, dobrzy ludzie! Tylko proszę, pomóżcie, nie zaczynajcie od razu pisać, że jest na to 9999 opcji(Wczoraj w pierwszej chwili wszyscy o tym pomyśleli), bo to bzdura - przecież w perspektywie, która nas niepokoi, liczba 1234, liczba 3421, liczba 4312 itd. jeden i ten sam! No tak, numery można powtarzać, bo jest tam kod PIN 1111 albo tam np. 0007. Zamiast kodu PIN można sobie wyobrazić numer samochodu. Załóżmy, jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia wszystkich pojedynczych cyfr składających się na numer samochodu? Albo, żeby całkowicie wyeliminować teorię prawdopodobieństwa – z ilu kombinacji liczbowych musiałem wybrać jedną?
Proszę poprzeć swoje odpowiedzi i rozumowanie jakimiś dokładnymi wzorami, bo wczoraj prawie postradaliśmy zmysły. Z góry wielkie dzięki wszystkim!
P.S. Jedna mądra osoba, programista, artysta i wynalazca, po prostu bardzo trafnie zaproponowała prawidłowe rozwiązanie problemu, wprawiając mnie w kilka minut świetnego nastroju: „ rozwiązanie problemu jest następujące: ona ma zaburzenie obsesyjno-kompulsywne, leczenie jest następujące: wyjść za mąż i sadzić pomidory. Gdybym był na jej miejscu, bardziej nie skupiałbym się na pytaniu „jakie jest prawdopodobieństwo”, ale na pytaniu „czy ja, kurwa, zwracam uwagę na te wszystkie liczby”? Generalnie nie ma nic do dodania :)
Poniższy kalkulator służy do generowania wszystkich kombinacji n na m elementów.
Liczbę takich kombinacji można obliczyć za pomocą kalkulatora Elementy kombinatoryki. Permutacje, rozmieszczenia, kombinacje.
Opis algorytmu generowania pod kalkulatorem.
Algorytm
Kombinacje generowane są w porządku leksykograficznym. Algorytm operuje indeksami porządkowymi elementów zbioru.
Rozważmy algorytm na przykładzie.
Dla ułatwienia prezentacji rozważmy zestaw pięciu elementów, których indeksy zaczynają się od 1, a mianowicie 1 2 3 4 5.
Wymagane jest wygenerowanie wszystkich kombinacji wielkości m = 3.
Najpierw inicjowana jest pierwsza kombinacja podanego rozmiaru m - indeksy w kolejności rosnącej
1 2 3
Następnie sprawdzany jest ostatni element, czyli i = 3. Jeżeli jego wartość jest mniejsza niż n – m + i, to jest zwiększana o 1.
1 2 4
Ostatni element jest ponownie sprawdzany i ponownie zwiększany.
1 2 5
Teraz wartość elementu jest równa maksymalnej możliwej: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, sprawdzany jest poprzedni element z i = 2.
Jeżeli jego wartość jest mniejsza niż n - m + i, to jest zwiększana o 1, a dla wszystkich kolejnych elementów wartość jest równa wartości elementu poprzedniego plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Następnie ponownie sprawdzamy, czy i = 3.
1 3 5
Następnie - sprawdź, czy i = 2.
1 4 5
Potem przychodzi kolej i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
I dalej,
2 3 5
2 4 5
3 4 5
- ostatnia kombinacja, ponieważ wszystkie jej elementy są równe n - m + i.
Pomimo ważnej roli PIN-ów w światowej infrastrukturze, nie przeprowadzono dotychczas żadnych badań akademickich na temat tego, w jaki sposób ludzie faktycznie wybierają PIN-y.
Badacze z Uniwersytetu Cambridge, Sören Preibusch i Ross Anderson, naprawili sytuację, publikując pierwszą na świecie ilościową analizę trudności odgadnięcia 4-cyfrowego PIN-u banku.
Wykorzystując dane dotyczące wycieków haseł ze źródeł pozabankowych oraz ankiety internetowe, badacze odkryli, że użytkownicy traktują wybór kodów PIN znacznie poważniej niż wybór haseł do stron internetowych: większość kodów zawiera niemal losowy zestaw liczb. Niemniej jednak wśród początkowych danych znajdują się zarówno proste kombinacje, jak i urodziny - to znaczy przy odrobinie szczęścia atakujący może po prostu odgadnąć pożądany kod.
Punktem wyjścia badania był zestaw 4-cyfrowych sekwencji haseł z bazy RockYou (1,7 mln) oraz baza 200 tys. kodów PIN z programu blokady ekranu iPhone'a (bazę udostępnił twórca aplikacji Daniel Amitay). . Wykresy zbudowane na tych danych pokazują ciekawe wzorce – daty, lata, powtarzające się liczby, a nawet kody PIN kończące się na 69. Na podstawie tych obserwacji naukowcy zbudowali model regresji liniowej, który szacuje popularność każdego PIN-u w zależności od 25 czynników, takich jak czy kod jest datą w formacie DDMM, czy jest to sekwencja rosnąca itd. Te ogólne warunki spełnia 79% i 93% kodów PIN w każdym z zestawów.
Dlatego użytkownicy wybierają 4-cyfrowe kody na podstawie zaledwie kilku prostych czynników. Gdyby tak dobrać bankowe kody PIN, już w trzech próbach można byłoby odgadnąć 8-9% z nich! Ale oczywiście ludzie zwracają większą uwagę na kody bankowe. Wobec braku dużego zestawu prawdziwych danych bankowych badacze przeprowadzili wywiady z ponad 1300 osobami, aby ocenić, czym różnią się prawdziwe kody PIN od tych, które już rozważano. Ze względu na specyfikę badania respondentów nie pytano o same kody, a jedynie o ich zgodność z którymkolwiek z powyższych czynników (zwiększenie, format DDMM itp.).
Okazało się, że ludzie rzeczywiście dużo ostrożniej wybierają kody PIN do banków. Około jedna czwarta respondentów posługuje się losowym PIN-em generowanym przez bank. Ponad jedna trzecia wybiera swój PIN, korzystając ze starego numeru telefonu, numeru legitymacji studenckiej lub innego zestawu cyfr, który wygląda losowo. Z wyników wynika, że 64% posiadaczy kart korzysta z pseudolosowego kodu PIN, co stanowi znacznie więcej niż 23-27% w poprzednich eksperymentach z kodami pozabankowymi. Kolejne 5% używa wzorca liczb (np. 4545), a 9% preferuje wzór klawiatury (np. 2684). Ogólnie rzecz biorąc, atakujący wykonujący sześć prób (trzy przy użyciu bankomatu i trzy przy użyciu terminala płatniczego) ma niecałe 2% szans na odgadnięcie kodu PIN karty innej osoby.
| Czynnik | Przykład | kołysze cię | iPhone'a | Ankieta |
|---|---|---|---|---|
| Daktyle | ||||
| DDMM | 2311 | 5.26 | 1.38 | 3.07 |
| DMYY | 3876 | 9.26 | 6.46 | 5.54 |
| MMDD | 1123 | 10.00 | 9.35 | 3.66 |
| mmm | 0683 | 0.67 | 0.20 | 0.94 |
| RRRR | 1984 | 33.39 | 7.12 | 4.95 |
| Całkowity | 58.57 | 24.51 | 22.76 | |
| Wzór klawiatury | ||||
| powiązany | 6351 | 1.52 | 4.99 | - |
| kwadrat | 1425 | 0.01 | 0.58 | - |
| rogi | 9713 | 0.19 | 1.06 | - |
| przechodzić | 8246 | 0.17 | 0.88 | - |
| linia ukośna | 1590 | 0.10 | 1.36 | - |
| linia pozioma | 5987 | 0.34 | 1.42 | - |
| słowo | 5683 | 0.70 | 8.39 | - |
| pionowa linia | 8520 | 0.06 | 4.28 | - |
| Całkowity | 3.09 | 22.97 | 8.96 | |
| wzór cyfrowy | ||||
| kończy się na 69 | 6869 | 0.35 | 0.57 | - |
| tylko cyfry 0-3 | 2000 | 3.49 | 2.72 | - |
| tylko cyfry 0-6 | 5155 | 4.66 | 5.96 | - |
| powtarzające się pary | 2525 | 2.31 | 4.11 | - |
| same cyfry | 6666 | 0.40 | 6.67 | - |
| sekwencja malejąca | 3210 | 0.13 | 0.29 | - |
| sekwencja rosnąca | 4567 | 3.83 | 4.52 | - |
| Całkowity | 15.16 | 24.85 | 4.60 | |
| Losowy zestaw liczb | 23.17 | 27.67 | 63.68 | |
Wszystko byłoby dobrze, ale niestety znaczna część respondentów (23%) wybiera kod PIN w postaci daty – a prawie jedna trzecia z nich posługuje się swoją datą urodzenia. To robi znaczącą różnicę, gdyż prawie wszyscy (99%) respondenci odpowiedzieli, że trzymają w portfelu różne dowody osobiste wraz z kartami bankowymi, na których wydrukowana jest ta data. Jeśli atakujący zna datę urodzenia posiadacza karty, to przy kompetentnym podejściu prawdopodobieństwo odgadnięcia kodu PIN wzrasta do 9%.
100 najpopularniejszych kodów PIN
0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.
P.S. W praktyce oczywiście atakującemu znacznie łatwiej jest prześledzić Twój PIN, niż go odgadnąć. Ale możesz też uchronić się przed podglądaniem - nawet, wydawałoby się, w beznadziejnej sytuacji:
