เกณฑ์การหารเลขสองหลัก เริ่มต้นในวิทยาศาสตร์

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เมื่อศึกษาหัวข้อ “เครื่องหมายของการหารลงตัว” ซึ่งเราได้ทำความคุ้นเคยกับเครื่องหมายของการหารด้วย 2 ลงตัว 5; 3; 9; 10 ฉันสนใจว่าจะมีสัญญาณของการหารด้วยจำนวนอื่นลงตัวหรือไม่ และมีวิธีการหารด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ลงตัวหรือไม่ ดังนั้นฉันจึงเริ่มงานวิจัยในหัวข้อนี้

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:ศึกษาสัญญาณการหารจำนวนธรรมชาติไม่เกิน 100 บวกสัญญาณการหารจำนวนธรรมชาติที่ทราบอยู่แล้วทั้งหมด ศึกษาที่โรงเรียน

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายเราจึงตั้งไว้ งาน:

รวบรวม ศึกษา และจัดระบบเนื้อหาเกี่ยวกับเครื่องหมายหารจำนวนธรรมชาติโดยใช้ แหล่งต่างๆข้อมูล.

ค้นหาการทดสอบสากลสำหรับการหารด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ

เรียนรู้วิธีใช้แบบทดสอบการหารลงตัวของ Pascal เพื่อระบุการหารตัวเลขลงตัว และลองคิดสูตรการทดสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:การหารจำนวนธรรมชาติลงตัว

หัวข้อการศึกษา:สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติ

วิธีการวิจัย:การรวบรวมข้อมูล การทำงานกับสื่อสิ่งพิมพ์ การวิเคราะห์; สังเคราะห์; การเปรียบเทียบ; สำรวจ; สำรวจ; การจัดระบบและลักษณะทั่วไปของวัสดุ

สมมติฐานการวิจัย:หากสามารถระบุการหารจำนวนธรรมชาติด้วย 2, 3, 5, 9, 10 ลงตัวได้ จะต้องมีสัญญาณที่ทำให้สามารถระบุการหารจำนวนธรรมชาติด้วยจำนวนอื่นลงตัวได้

ความแปลกใหม่ดำเนินการ งานวิจัยสิ่งที่เป็น งานนี้จัดระบบความรู้เกี่ยวกับเกณฑ์การหารลงตัวและวิธีการหารจำนวนธรรมชาติแบบสากล

ความสำคัญในทางปฏิบัติ: เนื้อหาของงานวิจัยนี้สามารถนำไปใช้ในระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 - 8 ในวิชาเลือกได้เมื่อศึกษาหัวข้อ “การหารตัวเลข”

บทที่ 1 ความหมายและคุณสมบัติของการหารตัวเลขลงตัว

1.1.คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องการแบ่งแยกและเครื่องหมายการแบ่งแยก คุณสมบัติของการแบ่งแยก

ทฤษฎีจำนวนเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลข วัตถุหลักของทฤษฎีจำนวนคือจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัติหลักซึ่งพิจารณาตามทฤษฎีจำนวนคือการหารลงตัว คำนิยาม:จำนวนเต็ม a จะหารด้วยจำนวนเต็ม b ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์หากมีจำนวนเต็ม k โดยที่ a = bk (เช่น 56 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจาก 56 = 8x7) การทดสอบการแบ่งแยก- กฎที่ช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าจำนวนธรรมชาติที่กำหนดนั้นหารด้วยจำนวนเต็มจำนวนอื่นลงตัวหรือไม่ เช่น ไร้ร่องรอย

คุณสมบัติการหาร:

จำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะหารด้วยตัวมันเองได้

ศูนย์หารด้วย b ใดๆ ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์

ถ้า a หารด้วย b (b0) ลงตัว และ b หารด้วย c (c0) ลงตัว แล้ว a ก็หารด้วย c ลงตัว

ถ้า a หารด้วย b (b0) ลงตัว และ b หารด้วย (a0) ลงตัว แล้ว a และ b เป็นจำนวนที่เท่ากันหรือตรงกันข้าม

1.2. คุณสมบัติของการหารผลรวมและผลิตภัณฑ์ลงตัว:

ถ้าผลรวมของจำนวนเต็มแต่ละเทอมหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัว ผลรวมจะถูกหารด้วยจำนวนนั้น

2) หากผลต่างของจำนวนเต็ม minuend และ subtrahend หารด้วยจำนวนที่แน่นอน ผลต่างก็หารด้วยจำนวนที่แน่นอนเช่นกัน

3) ถ้าผลรวมของจำนวนเต็มทุกพจน์ยกเว้นหนึ่งหารด้วยจำนวนที่แน่นอนแล้ว ผลรวมนี้หารด้วยจำนวนนี้ไม่ได้

4) หากปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งในผลคูณของจำนวนเต็มหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัว ผลิตภัณฑ์นั้นก็จะหารด้วยจำนวนนี้เช่นกัน

5) หากปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งในผลคูณของจำนวนเต็มหารด้วย m ลงตัว และอีกปัจจัยหนึ่งหารด้วย n ลงตัว ผลคูณนั้นก็จะหารด้วย mn ลงตัว

นอกจากนี้ ขณะที่ศึกษาเครื่องหมายของการหารตัวเลขลงตัว ฉันก็คุ้นเคยกับแนวคิดนี้แล้ว "หมายเลขรูตดิจิทัล". ลองใช้จำนวนธรรมชาติกัน มาหาผลรวมของตัวเลขกัน เรายังหาผลรวมของตัวเลขในผลลัพธ์ และต่อไปเรื่อยๆ จนกระทั่งเราได้ตัวเลขหลักเดียว ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่ารากดิจิทัลของตัวเลข ตัวอย่างเช่น รากดิจิทัลของหมายเลข 654321 คือ 3: 6+5+4+3+2+1=21.2+1=3 และตอนนี้คุณคงนึกถึงคำถามนี้ได้แล้ว: “มีสัญญาณของการหารลงตัวอะไรบ้าง และมีสัญญาณสากลของการหารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งหรือไม่”

บทที่สอง เกณฑ์การหารจำนวนธรรมชาติ

2.1. สัญญาณของการหารด้วย 2,3,5,9,10 ลงตัว

ในบรรดาสัญญาณของการแบ่งแยกที่สะดวกที่สุดและเป็นที่รู้จักของ หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6:

หารด้วย 2 ลงตัว. ถ้าจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลขคู่หรือศูนย์ ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 2 ลงตัว ส่วนตัวเลข 52738 หารด้วย 2 ลงตัว เนื่องจากตัวเลขสุดท้ายคือ 8

หารด้วย 3 ลงตัว . หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว (ตัวเลข 567 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก 5+6+7 = 18 และ 18 หารด้วย 3 ลงตัว)

หารด้วย 5 ลงตัว. หากจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 5 หรือศูนย์ ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 5 ลงตัว (ตัวเลข 130 และ 275 หารด้วย 5 ลงตัว เนื่องจากตัวเลขหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 0 และ 5 แต่ตัวเลข 302 ไม่สามารถหารด้วย 5 ลงตัวได้ เนื่องจากตัวเลขหลักสุดท้ายไม่ใช่ 0 และ 5)

หารด้วย 9. หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะถูกหารด้วย 9 ลงตัว (676332 หารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก 6+7+6+3+3+2=27 และ 27 หารด้วย 9 ลงตัว)

หารด้วย 10 ลงตัว . ถ้าจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0 ตัวเลขนี้จะหารด้วย 10 ลงตัว (230 หารด้วย 10 ลงตัว เนื่องจากหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 0)

2.2. สัญญาณหารด้วย 4,6,8,11,12,13 ลงตัว เป็นต้น

หลังจากทำงานกับแหล่งข้อมูลต่างๆ ฉันได้เรียนรู้สัญญาณอื่นๆ ของความแตกแยก ฉันจะอธิบายบางส่วนของพวกเขา

หารด้วย 6 . เราจำเป็นต้องตรวจสอบการหารของตัวเลขที่เราสนใจด้วย 2 และ 3 ลงตัว ตัวเลขนั้นหารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อมันเป็นเลขคู่และรากดิจิทัลของมันถูกหารด้วย 3 ลงตัว (เช่น 678 หารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจากเป็นเลขคู่ และ 6 +7+8=21, 2+1=3) สัญญาณของการหารลงตัวอีกประการหนึ่ง: ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนสี่เท่าของสิบบวกกับจำนวนหลักนั้นหารด้วย 6 ลงตัว (73.7*4+3=31, 31 หารด้วย 6 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่า 7 หารด้วย 6 ไม่ลงตัว)

หารด้วย 8 ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว (12,224 หารด้วย 8 เพราะ 224:8=28) ตัวเลขสามหลักจะหารด้วย 8 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนหน่วยที่บวกกับสองเท่าของจำนวนสิบและสี่เท่าของจำนวนร้อยนั้นหารด้วย 8 ลงตัว ตัวอย่างเช่น 952 หารด้วย 8 เนื่องจาก 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 หารด้วย 8 ลงตัว

หารด้วย 4 และ 25 หากตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์หรือแสดงตัวเลขที่หารด้วย 4 และ/หรือ 25 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 4 และ/หรือ 25 ลงตัว (ตัวเลข 1500 หารด้วย 4 และ 25 ลงตัว เนื่องจากลงท้ายด้วยศูนย์สองตัว ตัวเลข 348 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจาก 48 หารด้วย 4 ลงตัว แต่จำนวนนี้หารด้วย 25 ลงตัวไม่ได้ เพราะ 48 หารด้วย 25 ไม่ลงตัว เลข 675 หารด้วย 25 ลงตัว เพราะ 75 หารด้วย 25 ลงตัว แต่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว เช่น .k. 75 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว)

รู้สัญญาณหลักของการแบ่งแยกออกเป็น จำนวนเฉพาะเราสามารถหาสัญญาณของการหารจำนวนประกอบลงตัวได้:

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ11 . ถ้าผลต่างระหว่างผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่และผลรวมของหลักในตำแหน่งคี่หารด้วย 11 ลงตัว ตัวเลขนั้นหารด้วย 11 ลงตัว (ตัวเลข 593868 หารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจาก 9 + 8 + 8 = 25 และ 5 + 3 + 6 = 14 ผลต่างคือ 11 และ 11 หารด้วย 11)

ทดสอบการหารด้วย 12 ลงตัว:ตัวเลขจะหารด้วย 12 ได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขสองตัวสุดท้ายหารด้วย 4 ลงตัวและผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3

เพราะ 12= 4 ∙ 3 เช่น ตัวเลขจะต้องหารด้วย 4 และ 3 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 13 ลงตัว:ตัวเลขจะหารด้วย 13 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมสลับกันของตัวเลขที่เกิดจากเลขสามหลักต่อเนื่องกันของตัวเลขที่กำหนดนั้นหารด้วย 13 ลงตัว เช่น คุณรู้ได้อย่างไรว่าจำนวน 354862625 หารด้วย 13 ลงตัว? 625-862+354=117 หารด้วย 13 ลงตัว, 117:13=9 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 354862625 หารด้วย 13 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 14 ลงตัว:ตัวเลขจะหารด้วย 14 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นลงท้ายด้วยเลขคู่และเมื่อผลการลบสองเท่าของตัวเลขหลักสุดท้ายจากตัวเลขนั้นโดยไม่มีเลขหลักสุดท้ายจะหารด้วย 7 ลงตัว

เพราะ 14= 2 ∙ 7 เช่น ตัวเลขจะต้องหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 15 ลงตัว:ตัวเลขจะหารด้วย 15 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขลงท้ายด้วย 5 และ 0 และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว

เพราะ 15= 3 ∙ 5 เช่น ตัวเลขจะต้องหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 18 ลงตัว:ตัวเลขจะหารด้วย 18 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นลงท้ายด้วยเลขคู่และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 เท่านั้น

เพราะ18= 2 ∙ 9 เช่น ตัวเลขจะต้องหารด้วย 2 และ 9 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 20:ตัวเลขจะหารด้วย 20 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขลงท้ายด้วย 0 และตัวเลขสุดท้ายเป็นเลขคู่

เพราะ 20 = 10 ∙ 2 เช่น ตัวเลขต้องหารด้วย 2 และ 10 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 25:ตัวเลขที่มีอย่างน้อยสามหลักจะหารด้วย 25 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขที่เกิดจากสองหลักสุดท้ายหารด้วย 25 เท่านั้น

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ30 .

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ59 . ตัวเลขจะหารด้วย 59 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนสิบบวกกับจำนวนหน่วยคูณด้วย 6 นั้นหารด้วย 59 ลงตัว ตัวอย่างเช่น 767 หารด้วย 59 ลงตัว เนื่องจาก 76 + 6*7 = 118 และ 11 + 6* หารด้วย 59 8 = 59.

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ79 . ตัวเลขจะหารด้วย 79 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบบวกกับจำนวนหน่วยคูณด้วย 8 นั้นหารด้วย 79 ลงตัว ตัวอย่างเช่น 711 หารด้วย 79 ลงตัว เนื่องจาก 79 หารด้วย 71 + 8*1 = 79 ลงตัว

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ99. ตัวเลขจะหารด้วย 99 ได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของตัวเลขที่รวมกันเป็นสองหลัก (ขึ้นต้นด้วยหลัก) หารด้วย 99 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น 12573 หารด้วย 99 ลงตัว เนื่องจาก 1 + 25 + 73 = 99 หารด้วย 99 ลงตัว

การทดสอบการแบ่งตัวสำหรับ100 . เฉพาะตัวเลขที่มีเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์เท่านั้นจึงจะหารด้วย 100 ได้

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 125:ตัวเลขที่มีตัวเลขอย่างน้อยสี่หลักจะหารด้วย 125 ลงตัวก็ต่อเมื่อตัวเลขที่เกิดจากตัวเลขสามหลักสุดท้ายหารด้วย 125 เท่านั้น

คุณลักษณะทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นสรุปได้ในรูปแบบตาราง (ภาคผนวก 1)

2.3 การทดสอบการหารด้วย 7 ลงตัว

1) ลองใช้หมายเลข 5236 มาทดสอบ เขียนตัวเลขนี้ดังนี้ 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (“ เป็นระบบ » รูปแบบการเขียนตัวเลข) และทุกที่ที่เราแทนที่ฐาน 10 ด้วยฐาน 3) 3 3 *5 + 3 2 *2 + 3*3 + 6 = 168 ถ้าจำนวนผลลัพธ์หารด้วย 7 ลงตัว (หารไม่ลงตัว) แล้ว หมายเลขที่กำหนดหารด้วย 7 ลงตัว (หารไม่ได้) เนื่องจาก 168 หารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น 5236 จึงหารด้วย 7 ลงตัว 68:7=24, 5236:7=748

2) ในเครื่องหมายนี้คุณต้องทำตัวเหมือนกับในสัญลักษณ์ก่อนหน้าโดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่การคูณควรเริ่มจากทางขวาสุดและคูณไม่ใช่ด้วย 3 แต่ด้วย 5 (5236 หารด้วย 7 เนื่องจาก 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) เครื่องหมายนี้ง่ายต่อการนำไปใช้ในใจ แต่ก็น่าสนใจมากเช่นกัน เพิ่มตัวเลขสุดท้ายเป็นสองเท่าแล้วลบตัวที่สองจากทางขวา เพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่าแล้วบวกตัวที่สามจากทางขวา ฯลฯ สลับการลบและการบวกและลดแต่ละผลลัพธ์หากเป็นไปได้ 7 หรือผลคูณของเจ็ด หากผลลัพธ์สุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัว (หารไม่ลงตัว) แสดงว่าจำนวนที่ทดสอบหารด้วย 7 ลงตัว ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7= 5.

4) ตัวเลขจะหารด้วย 7 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลรวมของการสลับกันของตัวเลขที่เกิดจากเลขสามหลักต่อเนื่องกันของตัวเลขที่กำหนดนั้นหารด้วย 7 ลงตัว เช่น คุณรู้ได้อย่างไรว่าตัวเลข 363862625 หารด้วย 7 ลงตัว? 625-862+363=126 หารด้วย 7 ลงตัว, 126:7=18 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 363862625 หารด้วย 7 ลงตัว, 363862625:7=51980375

5) หนึ่งในสัญญาณที่เก่าแก่ที่สุดของการหารด้วย 7 ลงตัวมีดังนี้ ต้องใช้ตัวเลขในลำดับย้อนกลับจากขวาไปซ้าย คูณหลักแรกด้วย 1, หลักที่สองด้วย 3, หลักที่สามด้วย 2, หลักที่สี่ด้วย -1, หลักที่ห้าด้วย -3, ที่หกด้วย - 2 ฯลฯ (หากจำนวนอักขระมากกว่า 6 ลำดับของตัวประกอบ 1, 3, 2, -1, -3, -2 ควรทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งตามความจำเป็น) ต้องเพิ่มผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ที่ได้ จำนวนเดิมหารด้วย 7 ลงตัวหากผลรวมที่คำนวณได้หารด้วย 7 ลงตัว ตัวอย่างเช่น นี่คือสิ่งที่เครื่องหมายนี้ให้ไว้สำหรับหมายเลข 5236 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 5236 หารด้วย 7 ลงตัว

6) ตัวเลขหารด้วย 7 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนสิบบวกกับจำนวนหน่วยหารด้วย 7 ลงตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 154 หารด้วย 7 ลงตัว เนื่องจากตัวเลข 49 คือ 7 ซึ่งเราได้รับจากเกณฑ์นี้ : 15* 3 + 4 = 49.

2.4.การทดสอบของปาสคาล

การมีส่วนร่วมอย่างมากในการศึกษาสัญญาณการหารลงตัวของตัวเลขเกิดขึ้นโดย B. Pascal (1623-1662) นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส เขาค้นพบอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสัญญาณของการหารจำนวนเต็มใดๆ ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ ลงตัว ซึ่งเขาตีพิมพ์ในบทความเรื่อง "ธรรมชาติของการหารตัวเลขลงตัว" การทดสอบการหารลงตัวที่ทราบเกือบทั้งหมดในปัจจุบันเป็นกรณีพิเศษของการทดสอบของ Pascal: “ถ้าผลบวกของเศษเมื่อหารจำนวนก ตามหลักต่อหมายเลขวี หารด้วยวี แล้วตามด้วยหมายเลขก หารด้วยวี ». การรู้จักพระองค์ยังมีประโยชน์แม้กระทั่งทุกวันนี้ เราจะพิสูจน์การทดสอบการหารลงตัวตามสูตรข้างต้นได้อย่างไร (เช่น การทดสอบการหารลงตัวด้วย 7 ที่คุ้นเคย) ฉันจะพยายามตอบคำถามนี้ แต่ก่อนอื่นเรามาตกลงกันถึงวิธีการเขียนตัวเลขกันก่อน ในการเขียนตัวเลขที่มีตัวเลขระบุด้วยตัวอักษร เราตกลงที่จะลากเส้นทับตัวอักษรเหล่านี้ ดังนั้น abcdef จะแทนจำนวนที่มีหน่วย f, สิบ e, d ร้อย ฯลฯ:

abcdef = ก. 10 5 + ข. 10 4 + ค. 10 3 + วัน 10 2 + จ. 10 + ฉ. ตอนนี้ ผมจะพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 7 ลงตัวตามสูตรข้างต้น เรามี:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(เศษจากการหารด้วย 7)

ด้วยเหตุนี้เราจึงได้กฎข้อที่ 5 ที่กำหนดไว้ข้างต้น: หากต้องการค้นหาส่วนที่เหลือของการหารจำนวนธรรมชาติด้วย 7 คุณต้องเซ็นชื่อสัมประสิทธิ์ (เศษการหาร) ใต้หลักของตัวเลขนี้จากขวาไปซ้าย: จากนั้นคุณต้องคูณแต่ละหลักด้วยสัมประสิทธิ์ด้านล่างแล้วบวกผลลัพธ์ สินค้า; ผลรวมที่พบจะมีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 7 ตามจำนวนที่นำมา

ลองใช้ตัวเลข 4591 และ 4907 เป็นตัวอย่างและเราจะพบผลลัพธ์ตามที่ระบุไว้ในกฎ:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (เศษ 6) (หารด้วย 7 ไม่ลงตัว)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (หารด้วย 7)

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถค้นหาการทดสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ ต.คุณเพียงแค่ต้องค้นหาว่าค่าสัมประสิทธิ์ (เศษการหาร) ใดที่ควรลงนามใต้หลักของตัวเลข A ที่นำมา ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องแทนที่แต่ละกำลังของ 10 ด้วย 10 หากเป็นไปได้ด้วยเศษที่เหลือเท่ากันเมื่อหารด้วย ที,เช่นเดียวกับหมายเลข 10 เมื่อ ต= 3 หรือ เสื้อ = 9 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้กลายเป็นเรื่องง่ายมาก: พวกมันทั้งหมดเท่ากับ 1 ดังนั้นการทดสอบการหารด้วย 3 หรือ 9 จึงกลายเป็นเรื่องง่ายมาก ที่ ต= 11 ค่าสัมประสิทธิ์ก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน: สลับกันคือ 1 และ - 1 และเมื่อ เสื้อ =7ค่าสัมประสิทธิ์มีความซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นการทดสอบการหารด้วย 7 ลงตัวจึงมีความซับซ้อนมากขึ้น เมื่อตรวจสอบสัญญาณของการหารมากถึง 100 ฉันมั่นใจว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนที่สุดสำหรับจำนวนธรรมชาติคือ 23 (จาก 10 23 ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกทำซ้ำ), 43 (จาก 10 39 ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกทำซ้ำ)

สัญญาณการหารจำนวนธรรมชาติที่ระบุไว้ทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม:

1 กลุ่ม- เมื่อการหารตัวเลขลงตัวด้วยหลักสุดท้าย สิ่งเหล่านี้คือสัญญาณของการหารด้วย 2, 5, ด้วยหน่วยหลัก, 4, 8, 25, 50 ลงตัว

กลุ่มที่ 2- เมื่อการหารตัวเลขถูกกำหนดด้วยผลรวมของตัวเลข - สิ่งเหล่านี้คือสัญญาณของการหารด้วย 3, 9, 7, 37, 11 ลงตัว (1 เครื่องหมาย)

3 กลุ่ม- เมื่อพิจารณาการหารตัวเลขลงตัวหลังจากดำเนินการบางอย่างกับตัวเลข - สิ่งเหล่านี้คือสัญญาณของการหารด้วย 7 ลงตัว 11 (1 เครื่องหมาย) คูณ 13 คูณ 19

4 กลุ่ม- เมื่อใช้เครื่องหมายหารลงตัวอื่นๆ เพื่อกำหนดการหารจำนวนลงตัว - สิ่งเหล่านี้คือสัญญาณของการหารด้วย 6 ลงตัว, 15 คูณ 12, 14 ลงตัว

ส่วนทดลอง

สำรวจ

การสำรวจนี้จัดทำขึ้นในกลุ่มนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 และชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นักเรียน 58 คนของโรงเรียนมัธยม Karaidel สถาบันการศึกษาเทศบาลหมายเลข 1 ของเขต MR Karaidel สาธารณรัฐเบลารุสเข้าร่วมในการสำรวจ พวกเขาถูกขอให้ตอบคำถามต่อไปนี้:

คุณคิดว่ามีสัญญาณการแบ่งแยกอื่นๆ ที่แตกต่างจากที่เรียนในชั้นเรียนหรือไม่ เพราะเหตุใด

มีสัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ หรือไม่?

คุณต้องการที่จะทราบสัญญาณของการแบ่งแยกเหล่านี้หรือไม่?

คุณรู้สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติหรือไม่?

ผลการสำรวจพบว่า 77% ของผู้ตอบแบบสอบถามเชื่อว่ายังมีสัญญาณของการแบ่งแยกอื่นๆ นอกเหนือจากที่เรียนที่โรงเรียน 9% ไม่คิดอย่างนั้น 13% ของผู้ตอบแบบสอบถามพบว่าตอบได้ยาก สำหรับคำถามที่สอง “คุณอยากรู้การทดสอบการหารลงตัวของจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ไหม” 33% ตอบอย่างเห็นด้วย, 17% ของผู้ตอบแบบสอบถามตอบว่า “ไม่” และ 50% พบว่าเป็นการยากที่จะตอบ สำหรับคำถามที่สาม ผู้ตอบแบบสอบถาม 100% ตอบว่าเห็นด้วย คำถามที่สี่ได้รับคำตอบในเชิงบวก 89% และนักเรียน 11% ที่เข้าร่วมการสำรวจในระหว่างการวิจัยตอบว่า "ไม่"

บทสรุป

ดังนั้นในระหว่างการทำงานงานต่อไปนี้จึงได้รับการแก้ไข:

ศึกษา วัสดุทางทฤษฎีในเรื่องนี้

นอกจากเครื่องหมายที่ฉันรู้จักสำหรับ 2, 3, 5, 9 และ 10 แล้ว ฉันยังได้เรียนรู้ว่ามีสัญญาณของการหารด้วย 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 ลงตัวด้วย เป็นต้น .;

3) ศึกษาการทดสอบของปาสคาล - การทดสอบสากลของการหารลงตัวด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ

ทำงานกับ แหล่งที่มาที่แตกต่างกันจากการวิเคราะห์เนื้อหาที่พบในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่ ฉันพบว่ามีสัญญาณของการหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ ลงตัว ตัวอย่างเช่นวันที่ 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ซึ่งยืนยันความถูกต้องของสมมติฐานของฉันเกี่ยวกับการมีอยู่ของสัญญาณอื่น ๆ ของการหารจำนวนธรรมชาติลงตัว ฉันยังพบว่ามีเกณฑ์สากลสำหรับการหารลงตัว ซึ่งเป็นอัลกอริทึมที่ Pascal Blaise นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสค้นพบ และตีพิมพ์ในบทความของเขาเรื่อง "ธรรมชาติของการหารตัวเลขลงตัว" เมื่อใช้อัลกอริธึมนี้ คุณสามารถทดสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ได้

ผลงานวิจัยกลายเป็นสื่อจัดระบบในรูปแบบของตาราง “เครื่องหมายหารตัวเลขลงตัว” ซึ่งสามารถนำไปใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ได้ กิจกรรมนอกหลักสูตรเพื่อเตรียมความพร้อมนักเรียนในการแก้ปัญหาโอลิมปิกในการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบ Unified State และการสอบ Unified State

ในอนาคต ฉันวางแผนที่จะดำเนินการทดสอบการหารลงตัวของตัวเลขในการแก้ปัญหาต่อไป

รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน /— ฉบับที่ 25 ลบออก - อ.: Mnemosyne, 2552. - 288 น.

Vorobiev V.N. สัญญาณของการแบ่งแยก -M.: Nauka, 1988.-96 p.

Vygodsky M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา - เอลิสตา: จางการ์, 1995. - 416 น.

การ์ดเนอร์ เอ็ม. สันทนาการทางคณิตศาสตร์. / ภายใต้. เอ็ด วาย.เอ. สโมโรดินสกี้ - อ.: นิล, 2538. - 496 หน้า

เกลฟ์แมน อี.จี., เบ็ค อี.เอฟ. เป็นต้น กรณีความแตกแยกและเรื่องอื่น ๆ : บทช่วยสอนในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 - Tomsk: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Tomsk, 1992. - 176 หน้า

Gusev V. A. , Mordkovich A. G. คณิตศาสตร์: อ้างอิง วัสดุ: หนังสือ. สำหรับนักเรียน - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2533. - 416 น.

Gusev V.A. , Orlov A.I. , Rosenthal A.V. งานนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับ 6-8 มอสโก: การศึกษา, 1984. - 289 น.

เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ อ.: การศึกษา, 2532. - 97 น.

อ.กุลานิน คณิตศาสตร์. ไดเรกทอรี -ม.: EKSMO-Press, 1999-224 p.

เปเรลแมน ยา.ไอ. พีชคณิตที่สนุกสนาน อ.: Triada-Litera, 1994. -199

ทาราซอฟ บี.เอ็น. ปาสคาล. -ม.: โมล. ยาม, 2525.-334 น.

http://dic.academic.ru/ (วิกิพีเดีย - สารานุกรมเสรี)

http://www.bymath.net (สารานุกรม)

ภาคผนวก 1

ตารางสัญญาณสำคัญ

	เข้าสู่ระบบ	ตัวอย่าง
	ตัวเลขลงท้ายด้วยเลขคู่	………………2(4,6,8,0)
	ผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	ตัวเลขที่มีตัวเลขสองตัวสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4 ลงตัว	………………12
	ตัวเลขลงท้ายด้วยเลข 5 หรือ 0	………………0(5)
	ตัวเลขลงท้ายด้วยเลขคู่และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว	375018: เลข 8 คู่ 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	ผลลัพธ์ของการลบสองเท่าของหลักสุดท้ายจากตัวเลขนั้นโดยไม่มีหลักสุดท้ายจะถูกหารด้วย 7	36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	ตัวเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว	……………..064
	ผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	ตัวเลขลงท้ายด้วยศูนย์	………………..0
	ผลรวมของตัวเลขที่มีเครื่องหมายสลับกันจะหารด้วย 11 ลงตัว	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	สองหลักสุดท้ายของตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัว และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว	2+1+6=9, 9:3 และ 16:4
	จำนวนสิบของจำนวนบวกกับสี่คูณจำนวนหน่วยจะเป็นผลคูณของ 13	84 + (4 × 5) = 104,
	ตัวเลขที่ลงท้ายด้วยเลขคู่ และเมื่อผลการลบสองเท่าของหลักสุดท้ายจากตัวเลขนั้นโดยไม่มีหลักสุดท้ายจะหารด้วย 7 ลงตัว	364: 4 - เลขคู่ 36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	ตัวเลข 5 หารด้วย 0 และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว	6+3+4+8+0=21, 21:3
	ตัวเลขสี่หลักสุดท้ายคือศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 16 ลงตัว	…………..0032
	จำนวนสิบของจำนวนที่กำหนดบวกกับจำนวนหน่วยที่เพิ่มขึ้น 12 เท่าคือผลคูณของ 17	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34 เนื่องจาก 34 หารด้วย 17 ลงตัว ดังนั้น 29053 จึงหารด้วย 17 ลงตัว
	ตัวเลขลงท้ายด้วยเลขคู่และผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว	2034: 4 - เลขคู่
	จำนวนสิบของจำนวนที่กำหนดบวกกับจำนวนหน่วยสองเท่าจะเป็นผลคูณของ 19	64 + (6 × 2) = 76,
	ตัวเลขลงท้ายด้วย 0 และหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่	…………………40
	ตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวสุดท้ายหารด้วย 25 ลงตัว	…………….75
	ตัวเลขจะหารด้วย 30 ได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นลงท้ายด้วย 0 และผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วย 3 ลงตัว	……………..360
	ตัวเลขจะหารด้วย 59 ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบบวกกับจำนวนหน่วยคูณด้วย 6 นั้นหารด้วย 59 ลงตัวเท่านั้น	ตัวอย่างเช่น 767 หารด้วย 59 ลงตัว เนื่องจาก 76 + 67 = 118 และ 11 + 68 = 59 หารด้วย 59 ลงตัว
	ตัวเลขจะหารด้วย 79 ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักสิบบวกกับจำนวนหน่วยคูณด้วย 8 นั้นหารด้วย 79 ลงตัวเท่านั้น	ตัวอย่างเช่น 711 หารด้วย 79 ลงตัว เนื่องจาก 79 หารด้วย 71 ลงตัว + 8*1 = 79
	ตัวเลขจะหารด้วย 99 ได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของตัวเลขที่รวมกันเป็นสองหลัก (ขึ้นต้นด้วยหลัก) หารด้วย 99 เท่านั้น	ตัวอย่างเช่น 12573 หารด้วย 99 ลงตัว เนื่องจาก 1 + 25 + 73 = 99 หารด้วย 99 ลงตัว
ที่ 125	ตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสามหลักสุดท้ายหารด้วย 125 ลงตัว	……………375

บทความเกี่ยวกับเกณฑ์การหารยังคงดำเนินต่อไป ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว. บทความนี้จะกล่าวถึงสูตรการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว และยกตัวอย่างการใช้การทดสอบนี้เพื่อดูว่าจำนวนเต็มใดหารด้วย 3 ลงตัว และจำนวนใดไม่ลงตัว ด้านล่างนี้เป็นข้อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว นอกจากนี้ยังถือเป็นแนวทางในการสร้างการหารด้วย 3 ของตัวเลขที่กำหนดเป็นค่าของนิพจน์บางตัวด้วย

การนำทางหน้า

ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว, ตัวอย่าง

เริ่มต้นด้วย สูตรการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว: จำนวนเต็มหารด้วย 3 ลงตัว ถ้าผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว แต่หากผลรวมของหลักในจำนวนที่กำหนดหารด้วย 3 ไม่ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 3 เองไม่ได้

จากสูตรข้างต้นเห็นได้ชัดเจนว่าการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัวจะนำไปใช้ไม่ได้หากไม่มีความสามารถดำเนินการได้ นอกจากนี้ หากต้องการใช้แบบทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว คุณต้องรู้ว่าตัวเลข 3, 6 และ 9 ทั้งหมดหารด้วย 3 ลงตัว แต่ตัวเลข 1, 2, 4, 5, 7 และ 8 ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวได้ .

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุดได้ ตัวอย่างการใช้การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว. ลองดูว่าตัวเลข −42 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ ในการทำเช่นนี้เราคำนวณผลรวมของตัวเลขของตัวเลข −42 ซึ่งเท่ากับ 4+2=6 เนื่องจาก 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น จากการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว เราจึงบอกได้ว่าตัวเลข −42 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน แต่จำนวนเต็มบวก 71 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 7+1=8 และ 8 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

0 หารด้วย 3 ลงตัวไหม? ในการตอบคำถามนี้ คุณไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติหารด้วย 3 ลงตัว ในที่นี้ คุณต้องจำคุณสมบัติของการหารลงตัวซึ่งระบุว่า 0 หารด้วยจำนวนเต็มใดๆ ลงตัวได้ ดังนั้น 0 หารด้วย 3 ลงตัว.

ในบางกรณี เพื่อแสดงว่าจำนวนที่กำหนดมีหรือไม่มีความสามารถในการหารด้วย 3 ลงตัว ต้องใช้การทดสอบหารด้วย 3 หลายครั้งติดต่อกัน ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แสดงว่าตัวเลข 907,444,812 หารด้วย 3 ลงตัว

สารละลาย.

ผลรวมของตัวเลข 907 444 812 คือ 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 หากต้องการทราบว่า 39 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ ให้คำนวณผลรวมของตัวเลข: 3+9=12 และเพื่อหาว่า 12 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ เราจะหาผลรวมของตัวเลข 12 ได้ 1+2=3 เนื่องจากเราได้รับเลข 3 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นโดยการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว เลข 12 จึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 39 จึงหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 12 และ 12 หารด้วย 3 ลงตัว สุดท้าย 907,333,812 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 39 และ 39 หารด้วย 3 ลงตัว

เพื่อรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาเป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

−543,205 หารด้วย 3 ลงตัวไหม?

สารละลาย.

ลองคำนวณผลรวมของตัวเลขนี้: 5+4+3+2+0+5=19 ในทางกลับกัน ผลรวมของตัวเลข 19 คือ 1+9=10 และผลรวมของตัวเลข 10 คือ 1+0=1 เนื่องจากเราได้รับเลข 1 ซึ่งหารด้วย 3 ไม่ลงตัว จากการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว จึงตามมาว่า 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้น 19 จึงหารด้วย 3 ลงตัวไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 10 และ 10 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้น จำนวนเดิม −543,205 จึงหารด้วย 3 ลงตัวไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของหลักซึ่งเท่ากับ 19 จึงหารด้วย 3 ไม่ลงตัว

คำตอบ:

เลขที่

เป็นที่น่าสังเกตว่าการหารตัวเลขที่กำหนดด้วย 3 โดยตรงยังช่วยให้เราสรุปได้ว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ จากนี้เราอยากจะบอกว่าเราไม่ควรละเลยการหารโดยยึดเกณฑ์การหารด้วย 3 ลงตัว ในตัวอย่างสุดท้าย 543,205 ด้วย 3 เราจะทำให้แน่ใจว่า 543,205 ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวได้ ซึ่งเราสามารถบอกได้ว่า −543,205 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

หลักฐานการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว

การแทนจำนวน a ต่อไปนี้จะช่วยเราพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่เราสามารถหาได้ หลังจากนั้นจึงได้ตัวแทนของรูปแบบ โดยที่ n, n−1, ..., 0 เป็นตัวเลขจากซ้ายไปขวาในรูปแบบสัญลักษณ์ของ a เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างการแทนค่าดังกล่าว: 528=500+20+8=5·100+2·10+8

ทีนี้ลองเขียนความเท่าเทียมกันที่ค่อนข้างชัดเจนลงไปจำนวนหนึ่ง: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 และอื่นๆ .

ทดแทนให้เกิดความเท่าเทียมกัน a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0แทนที่จะเป็น 10, 100, 1,000 เป็นต้นไป นิพจน์ 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 เป็นต้นไป เราจะได้
.

และอนุญาตให้เขียนความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้:

การแสดงออก คือผลรวมของตัวเลขของตัวเลข a เพื่อความกระชับและสะดวกสบายให้เราแสดงด้วยตัวอักษร A นั่นคือเรายอมรับ จากนั้นเราจะได้ค่าแทนจำนวน a ของแบบฟอร์ม ซึ่งเราจะใช้ในการพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว

นอกจากนี้ เพื่อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว เราจำเป็นต้องมีคุณสมบัติการหารลงตัวดังต่อไปนี้:

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ a หารด้วยโมดูลัสของ b ลงตัว
ถ้าความเท่ากัน a=s+t พจน์ทั้งหมดยกเว้นพจน์หนึ่งหารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัว แล้วเทอมหนึ่งนี้ก็หารด้วย b ด้วยเช่นกัน

ตอนนี้เราเตรียมพร้อมเต็มที่และสามารถดำเนินการได้ หลักฐานการหารด้วย 3 ลงตัวเพื่อความสะดวกเราจึงกำหนดเกณฑ์นี้ในรูปแบบของเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการหารด้วย 3

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วย 3 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของหลักจะต้องหารด้วย 3 ลงตัว

การพิสูจน์.

สำหรับ a=0 ทฤษฎีบทนั้นชัดเจน

ถ้า a แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นโมดูลัสของจำนวน a จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นจึงแสดงแทนได้โดยที่ผลรวมของตัวเลขของ a คือ

เนื่องจากผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมันจึงเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ตามคำจำกัดความของการหารลงตัว ผลคูณจึงหารด้วย 3 ลงตัวสำหรับ 0, 1, ..., n ใดๆ

หากผลรวมของตัวเลข a หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ A หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัวที่ระบุไว้หน้าทฤษฎีบท จึงหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น a จึงหารด้วย 3 ลงตัว ความเพียงพอจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ถ้า a หารด้วย 3 ลงตัว แล้วหารด้วย 3 ลงตัว จากนั้นเนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัวเหมือนกัน ตัวเลข A จึงหารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือผลรวมของตัวเลขของตัวเลข a หารด้วย 3 ลงตัว ความจำเป็นได้รับการพิสูจน์แล้ว

กรณีอื่นที่หารด้วย 3 ลงตัว

บางครั้งจำนวนเต็มไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน แต่เป็นค่าของค่าจำนวนหนึ่ง มูลค่าที่กำหนดตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติบางตัว n คือจำนวนธรรมชาติ เห็นได้ชัดว่าเมื่อระบุตัวเลขในลักษณะนี้ การหารโดยตรงด้วย 3 จะไม่ช่วยในการหารด้วย 3 ลงตัว และการทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัวไม่สามารถนำมาใช้ได้เสมอไป ตอนนี้เราจะดูแนวทางต่างๆ ในการแก้ไขปัญหาดังกล่าว

สาระสำคัญของแนวทางเหล่านี้คือการแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ และหากอย่างน้อยหนึ่งปัจจัยหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัวที่สอดคล้องกัน จึงเป็นไปได้ที่จะสรุปได้ว่าผลิตภัณฑ์ทั้งหมด หารด้วย 3 ลงตัว.

บางครั้งแนวทางนี้ช่วยให้คุณสามารถนำไปปฏิบัติได้ ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค่าของนิพจน์หารด้วย 3 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ได้หรือไม่

สารละลาย.

ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน ลองใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

ในนิพจน์สุดท้ายเราสามารถนำ 3 ออกจากวงเล็บ และเราได้ . ผลคูณที่ได้จะถูกหารด้วย 3 เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 3 และค่าของนิพจน์ในวงเล็บสำหรับค่าธรรมชาติ n แสดงถึงจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นจึงหารด้วย 3 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

คำตอบ:

ใช่.

ในหลายกรณี สามารถพิสูจน์การหารด้วย 3 ลงตัวได้ ลองดูที่แอปพลิเคชันเมื่อแก้ไขตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ค่าของนิพจน์จะหารด้วย 3 ลงตัว

สารละลาย.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ที่ n=1 ค่าของนิพจน์คือ และ 6 หารด้วย 3

สมมติว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 3 ลงตัว เมื่อ n=k กล่าวคือ หารด้วย 3 ลงตัว

เมื่อพิจารณาว่าหารด้วย 3 ลงตัว เราจะแสดงว่าค่าของนิพจน์สำหรับ n=k+1 หารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ เราจะแสดงว่า หารด้วย 3 ลงตัว.

มีสัญญาณที่บางครั้งง่ายต่อการค้นหาโดยไม่ต้องหารจริงๆ ว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนอื่นหารลงตัวหรือหารด้วยจำนวนอื่นไม่ลงตัว

เรียกว่าตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัว สม่ำเสมอ. เลขศูนย์ยังหมายถึงเลขคู่ด้วย เรียกหมายเลขอื่นทั้งหมด แปลก:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - คู่
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - คี่

สัญญาณของการแบ่งแยก

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว. ตัวเลขจะหารด้วย 2 ลงตัวถ้าหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่ เช่น ตัวเลข 4376 หารด้วย 2 ลงตัว เนื่องจากเลขหลักสุดท้าย (6) เป็นเลขคู่

ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว. เฉพาะตัวเลขที่ผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวเท่านั้นที่จะหารด้วย 3 ตัวอย่างเช่น หมายเลข 10815 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของตัวเลข 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 หารด้วย 3 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว. ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวได้ถ้าเลขสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือสร้างตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 244500 หารด้วย 4 ลงตัวเนื่องจากลงท้ายด้วยศูนย์สองตัว ตัวเลข 14708 และ 7524 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขเหล่านี้ (08 และ 24) หารด้วย 4 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 5 ลงตัว. ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว เช่น ตัวเลข 320 หารด้วย 5 เนื่องจากหลักสุดท้ายคือ 0

ทดสอบการหารด้วย 6 ลงตัว. ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว เช่น ตัวเลข 912 หารด้วย 6 ลงตัวเพราะหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 8 ลงตัว. หารด้วย 8 คือตัวเลขที่มีเลขสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรืออยู่ในรูปแบบตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 27000 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจากจะลงท้ายด้วยศูนย์สามตัว หมายเลข 63128 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจากตัวเลขสามหลักสุดท้ายประกอบด้วยตัวเลข (128) ซึ่งหารด้วย 8 ลงตัว

การทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว. เฉพาะตัวเลขที่ผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวเท่านั้นที่จะหารด้วย 9 ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2637 หารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของตัวเลข 2 + 6 + 3 + 7 = 18 หารด้วย 9 ลงตัว

สัญญาณของการหารด้วย 10, 100, 1,000 ลงตัว ฯลฯตัวเลขเหล่านั้นที่ลงท้ายด้วยศูนย์หนึ่ง ศูนย์สองตัว ศูนย์สามตัว และอื่นๆ จะถูกหารด้วย 10, 100, 1,000 และอื่นๆ เช่น ตัวเลข 3800 หารด้วย 10 และ 100 ลงตัว

เรายังคงศึกษาสัญญาณของการแบ่งแยกต่อไป บทความนี้กล่าวถึง ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว. ขั้นแรกให้กำหนดสูตรและให้ตัวอย่างการใช้งาน ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว โดยสรุป แนวทางต่างๆ ได้รับการพิจารณาว่าอนุญาตให้พิสูจน์การหารด้วย 4 ของตัวเลขที่กำหนดเป็นค่าของนิพจน์ตามตัวอักษรได้

การนำทางหน้า

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว, ตัวอย่าง

หากต้องการตรวจสอบว่าตัวเลขที่กำหนดหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหารโดยตรง สำหรับตัวเลขหลักเดียว มีเพียง 4 และ 8 เท่านั้นที่หารด้วย 4 การหารจำนวนธรรมชาติสองหลักด้วย 4 ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน (แม้จะแบ่งเป็นช่องปากก็ตาม) ตัวอย่างเช่น 24 หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ เนื่องจาก 24:4 = 6 และ 83 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 83:4 = 20 (เหลือ 3) (หากจำเป็น ดูบทความและ) แต่ยิ่งมีตัวเลขมากเท่าไร การหารก็ยิ่ง "ไม่พึงประสงค์" มากขึ้นเท่านั้น

เพื่อให้ตรวจสอบการหารลงตัวของตัวเลขหลายหลักที่กำหนดได้ง่ายขึ้น ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัวซึ่งจะลดการศึกษาจำนวนที่กำหนด a สำหรับความสามารถในการหารด้วย 4 ลงตัว ไปจนถึงการทดสอบการหารจำนวนหลักเดียวหรือสองหลักลงตัว ให้เรากำหนดคุณลักษณะนี้ จำนวนเต็ม a หารด้วย 4 ลงตัว หากตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวสุดท้ายในรูปแบบตัวเลข a (ตามลำดับที่ปรากฏ) หารด้วย 4 ลงตัว ถ้าจำนวนที่ประกอบไม่หารด้วย 4 ลงตัวแล้ว จำนวน a ก็หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างการใช้การทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว.

ตัวอย่าง.

ตัวเลขใด −98,028, 7,612 และ 999,888,777 หารด้วย 4 ลงตัว?

สารละลาย.

ลองใช้การทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว.

ตัวเลขสองหลักสุดท้าย -98,028 ให้ตัวเลข 28 เนื่องจาก 28 หารด้วย 4 ลงตัว (28:4=7) ดังนั้นตัวเลข -98,028 หารด้วย 4 ลงตัว

เลขสองหลักสุดท้ายของ 7612 ประกอบขึ้นเป็น 12 และ 12 หารด้วย 4 ลงตัว (12:4=3) ดังนั้น 7612 หารด้วย 4 ลงตัว

สุดท้าย ตัวเลขสองตัวสุดท้ายของตัวเลข 999,888,777 จะเป็นเลข 77 เนื่องจาก 77 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว (77:4 = 19 (ส่วนที่เหลือ 1)) ดังนั้นตัวเลขเดิมจึงหารด้วย 4 ไม่ลงตัว

คำตอบ:

−98,028 และ 7,612

จะใช้การทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัวได้อย่างไรหากตัวเลขสองตัวสุดท้ายในบันทึกตัวเลขคือ 01, 02, 03, ..., 09? ในกรณีเหล่านี้จะต้องทิ้งเลข 0 ทางด้านซ้าย หลังจากนั้นตัวเลขหลักเดียว 1, 2, 3, ... , 9 จะยังคงอยู่

ตัวอย่าง.

ตัวเลข 75,003 และ −88,108 หารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่?

สารละลาย.

ลองดูตัวเลขสองตัวสุดท้ายในรายการสำหรับหมายเลข 75,003 - เราเห็น 03 ทิ้งศูนย์ทางด้านซ้ายและเรามีหมายเลข 3 เนื่องจาก 3 หารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้นจากการหารด้วย 4 ลงตัว เราจึงสามารถสรุปได้ว่า 75,003 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขสองตัวสุดท้ายของตัวเลข −88 108 ประกอบเป็นตัวเลข 8 และเนื่องจาก 8 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นตัวเลข −88 108 จึงหารด้วย 4 ลงตัว

คำตอบ:

75,003 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แต่ −88,108 คือ

จำเป็นต้องพูดแยกกันเกี่ยวกับตัวเลขโดยสัญลักษณ์ที่ตัวเลขสองหลักติดต่อกัน (หรือมากกว่านั้น) ทางด้านขวาเป็นศูนย์ ให้เรายกตัวอย่างตัวเลขดังกล่าว: 100, 893,900, 40,000, 373,002,000 เป็นต้น ตัวเลขดังกล่าวหารด้วย 4 ลงตัว ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู

จำนวน 100 หารด้วย 4 ลงตัว. อันที่จริง 100:4=25 อนุญาตให้คุณแทนจำนวนเต็ม a อื่นๆ ซึ่งรายการที่ลงท้ายด้วยศูนย์สองตัวเป็นผลคูณ a 1 100 โดยที่ตัวเลข a 1 ได้มาจากตัวเลข a หากทิ้งศูนย์สองตัวในรายการทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น 588,300=5,883·100 และ 30,000=300·100 และผลิตภัณฑ์ a 1 100 หารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากมีตัวประกอบ 100 ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัว (ดูคุณสมบัติการหารลงตัว) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่มีศูนย์สองตัวทางขวาจะหารด้วย 4 ลงตัว

หลักฐานการหารด้วย 4 ลงตัว

เพื่อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว เราจำเป็นต้องมีการแสดงจำนวนธรรมชาติ a ดังต่อไปนี้ จำนวนธรรมชาติใดๆ a สามารถแสดงได้ในรูปแบบ a=a 1 100+a 0 โดยที่ตัวเลข a 1 จะได้มาจากตัวเลข a หากนำตัวเลขสองตัวสุดท้ายออกจากสัญลักษณ์ และตัวเลข a 0 สอดคล้องกับตัวเลขสุดท้าย ตัวเลขสองหลักในสัญลักษณ์ของตัวเลข a ตัวอย่างเช่น 5431=54·100+31 หากตัวเลข a เป็นตัวเลขหลักเดียวหรือสองหลัก ดังนั้น a=a 0

เราต้องการคุณสมบัติการหารสองประการด้วย:

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่โมดูลัสของจำนวน a จะหารด้วยโมดูลัสของจำนวน b ลงตัว
ถ้าความเท่ากัน a=s+t พจน์ทั้งหมดยกเว้นพจน์หนึ่งหารด้วยจำนวนเต็ม b ลงตัว แล้วเทอมหนึ่งนี้ก็หารด้วย b ด้วยเช่นกัน

ตอนนี้เราก็สามารถนำ หลักฐานการหารด้วย 4 ลงตัวซึ่งก่อนอื่นเราจะปรับเงื่อนไขใหม่ให้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการหารด้วย 4 ลงตัว

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วย 4 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่ตัวเลขที่ตรงกับตัวเลขสองหลักสุดท้ายในระบบของตัวเลข a จะต้องหารด้วย 4 ลงตัว

การพิสูจน์.

สำหรับ a=0 ทฤษฎีบทนั้นชัดเจน

สำหรับจำนวนเต็มอื่นๆ a เป็นจำนวนบวก และสามารถแสดงเป็น ดังที่เรากล่าวไว้ก่อนหน้าทฤษฎีบท

ในตอนท้ายของย่อหน้าแรกของบทความนี้ เราได้แสดงแล้วว่าผลคูณ 1 100 หารด้วย 4 ลงตัวเสมอ หากเราคำนึงถึงคุณสมบัติการหารลงตัวที่ให้ไว้หน้าทฤษฎีบทด้วย เราจะได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้

ถ้าเป็นจำนวน a หารด้วย 4 ลงตัว จากนั้นโมดูลัสของตัวเลข a หารด้วย 4 ลงตัว ความเท่าเทียมกันก็แสดงว่าตัวเลข a 0 หารด้วย 4 ลงตัว นี่เป็นการพิสูจน์ความจำเป็น

ในทางกลับกัน จากการหาร 0 ด้วย 4 และความเท่าเทียมกัน โมดูล a หารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งหมายถึงการหารตัวเลข a ด้วย 4 ลงตัว นี่เป็นการพิสูจน์ความพอเพียง

กรณีอื่นที่หารด้วย 4 ลงตัว

บางครั้งคุณต้องตรวจสอบการหารด้วย 4 ของจำนวนเต็มที่กำหนดให้เป็นค่าของนิพจน์บางตัว ในกรณีเช่นนี้ ไม่สามารถแบ่งโดยตรงได้ นอกจากนี้ การใช้การทดสอบหารด้วย 4 ลงตัวก็เป็นไปไม่ได้เสมอไป จะทำอย่างไรในกรณีเหล่านี้?

แนวคิดหลักคือการลดการแสดงออกดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ซึ่งหนึ่งในนั้นหารด้วย 4 ลงตัว ในกรณีนี้ ตามคุณสมบัติการหารที่สอดคล้องกัน ก็จะสามารถสรุปได้ว่านิพจน์เดิมหารด้วย 4 ลงตัวได้

บางครั้งก็ช่วยให้ได้รับข้อมูลเชิงลึกนี้ ขอยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง

ตัวอย่าง.

ค่าของนิพจน์หารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่? เพื่อธรรมชาติบ้าง?

สารละลาย.

ลองนึกภาพ 9 เป็น 8+1 หลังจากนั้นเราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย 4 ลงตัว เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 4 และนิพจน์ในวงเล็บเป็นจำนวนธรรมชาติ เพราะฉะนั้น,

คำตอบ:

ใช่.

บ่อยครั้งมีความเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์การหารด้วย 4 ของนิพจน์บางนิพจน์ลงตัวได้ เรามาแสดงวิธีการดำเนินการนี้โดยใช้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่า หารด้วย 4 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

สารละลาย.

ให้เราแสดงว่าสำหรับ n=1 ค่าของนิพจน์ หารด้วย 4 ลงตัว. เรามี และ 4 หารด้วย 4 ลงตัว.

สมมุติว่า หารด้วย 4 ลงตัวเมื่อ n=k นั่นคือ เราจะถือว่ามันหารด้วย 4 ลงตัว

บทความนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียด ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว. ขั้นแรก ให้กำหนดสูตร ตามด้วยตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในการพิจารณาว่าจำนวนเต็มใดหารด้วยสองลงตัว ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์การทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว โดยสรุปเราพิจารณา ทางเลือกอื่นให้คุณตั้งค่าการหารด้วย 2 ของตัวเลขที่กำหนดเป็นค่าของนิพจน์บางนิพจน์ได้

การนำทางหน้า

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว, ตัวอย่าง

สูตรการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวเป็นดังนี้ ถ้ารายการลงท้ายด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง 0, 2, 4, 6, 8 แสดงว่าตัวเลขนี้หารด้วย 2 ลงตัว แต่หากรายการของจำนวนเต็มลงท้ายด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง 1, 3, 5, 7 หรือ 9 ดังนั้น จำนวนดังกล่าวจึงหารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้โดยไม่มีเศษ

โปรดทราบว่าการทดสอบการหารด้วย 2 ที่ประกาศไว้จะทำให้คุณสามารถตรวจสอบทั้งจำนวนเต็มบวก () และจำนวนเต็มลบว่าความสามารถในการหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาได้ ตัวอย่างการใช้การทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว.

ตัวอย่าง.

ตัวเลขใดที่ให้มา 8, −946, 53, 10,900, −988,123,761 หารด้วย 2 ลงตัว?

สารละลาย.

แน่นอน คุณสามารถหารตัวเลขแต่ละตัวด้วย 2 ได้ (เช่น โดยทำ ) ซึ่งคุณจะเห็นได้ว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษหรือเศษเหลือ อย่างไรก็ตาม การทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวช่วยให้คุณตอบคำถามได้เร็วขึ้นมาก

เนื่องจากตัวเลข 8, −946, 10,900 ลงท้ายด้วยตัวเลข 8, 6 และ 0 ตามลำดับ จึงหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ในทางกลับกัน ตัวเลข 53 และ −988,123,761 ไม่สามารถหารด้วย 2 ลงตัวได้ เนื่องจากลงท้ายด้วย 3 และ 1 ตามลำดับ

คำตอบ:

8, −946 และ 10,900 หารด้วย 2 ลงตัว แต่ 53 และ −988,123,761 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาได้ หลักฐานการหารด้วย 2 ลงตัว. เพื่อความสะดวก เราปรับเกณฑ์การหารด้วย 2 ลงตัวตามที่ระบุไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ ในรูปแบบของเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วย 2 ลงตัว แล้วพิสูจน์

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้จำนวนเต็ม a หารด้วย 2 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่หลักสุดท้ายของตัวเลข a จะต้องเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8

การพิสูจน์.

ตัวเลข a สามารถแทนผลรวมของจำนวนเต็มสิบและจำนวนหน่วยได้เสมอ นั่นคือ อยู่ในรูป a=a 1 10+a 0 โดยที่ 1 คือตัวเลขที่ได้จากตัวเลข a ถ้าเป็นเลขหลักสุดท้าย ถูกลบออกจากสัญลักษณ์ของมัน และ 0 คือตัวเลขที่ตรงกับหลักสุดท้ายในสัญลักษณ์ของตัวเลข a (เพื่อความกระจ่าง เราจะยกตัวอย่างการแทนค่าดังกล่าว: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10 +8) ในความเท่าเทียมกัน a=a 1 ·10+a 0 ผลคูณ a 1 ·10 หารด้วย 2 ลงตัวเสมอ ซึ่งเราแสดงไว้ก่อนหน้าทฤษฎีบทนี้

การพิสูจน์เพิ่มเติมทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการหารลงตัวต่อไปนี้ หากจำนวนเต็มสองในสามของค่าความเท่ากัน t=u+v หารด้วยจำนวนเต็ม z บางจำนวนลงตัวแล้ว จำนวนที่สามก็หารด้วย z ด้วยเช่นกัน

ถ้า a หารด้วย 2 ลงตัว จากนั้นจากคุณสมบัติที่ระบุของการหารลงตัวและการแทนค่า a=a 1 10+a 0 จะตามมาว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัว และนี่เป็นไปได้เฉพาะสำหรับ 0 เท่ากับ 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ถ้า a หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ก็ขอย้ำอีกครั้ง เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัวที่ระบุ จำนวน a 0 จึงไม่สามารถหารด้วย 2 ได้ (ไม่เช่นนั้น a จะหารด้วย 2 ลงตัว) และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ 0 เท่ากับ 1 , 3, 5, 7 หรือ 9 . นี่เป็นการพิสูจน์ความจำเป็น

ตอนนี้กลับมาแล้ว หากตัวเลข a ลงท้ายด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง 0, 2, 4, 6 หรือ 8 แสดงว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติที่ระบุของการหารลงตัวและการแทน a=a 1 10+a 0 เราจึงสรุปได้ว่าจำนวน a หารด้วย 2 ลงตัว ถ้า a ลงท้ายด้วยเลขตัวใดตัวหนึ่งคือ 1, 3, 5, 7 หรือ 9 แสดงว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้น a ก็หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้เช่นกัน มิฉะนั้น เนื่องจากคุณสมบัติที่ระบุของการหารและการแทน a=a 1 ·10+a 0 จำนวน 0 จึงหารด้วย 2 ลงตัว ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นี่เป็นการพิสูจน์ความพอเพียง

โดยสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่าตัวเลขที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 1, 3, 5, 7 หรือ 9 เมื่อหารด้วย 2 จะเหลือเศษ 1 เสมอ

กรณีอื่นที่หารด้วย 2 ลงตัว

ในย่อหน้านี้ เราต้องการกล่าวถึงกรณีที่ไม่ได้ระบุจำนวนเต็มโดยตรง แต่อยู่ในรูปของค่าจำนวนหนึ่ง และเราจำเป็นต้องพิจารณาว่าจำนวนนี้หารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่ โดยปกติในกรณีเหล่านี้ การทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้ช่วยอะไร และไม่สามารถหารโดยตรงได้เช่นกัน ดังนั้นเราจึงต้องหาทางแก้ไขอื่น ๆ

แนวทางหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าวเสนอคุณสมบัติของการหารลงตัวดังต่อไปนี้ หากตัวประกอบในผลคูณของจำนวนเต็มหารด้วยจำนวนที่กำหนดลงตัวแล้ว ผลคูณทั้งหมดก็จะหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว ดังนั้น หากเรานำเสนอนิพจน์ตามตัวอักษรดั้งเดิมเป็นผลคูณของตัวประกอบหลายตัว โดยตัวหนึ่งหารด้วย 2 ลงตัว ก็จะพิสูจน์การหารจำนวน 2 ดั้งเดิมลงตัว

การนำเสนอสำนวนดั้งเดิมเป็นผลจากหลายปัจจัยบางครั้งก็ช่วยได้ ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค่าของนิพจน์คำนวณจากจำนวนธรรมชาติบางตัวหารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่

สารละลาย.

ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน ตอนนี้ ลองใช้สูตรทวินามของนิวตันแล้วลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์:

ในนิพจน์สุดท้ายเราสามารถนำ 2 ออกจากวงเล็บได้ และด้วยเหตุนี้ เราจึงมีความเท่าเทียมกัน สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้านขวาจะหารด้วย 2 ลงตัว เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 2 ดังนั้นด้านซ้ายของค่าที่เท่ากันก็หารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน

คำตอบ:

ใช่ เขาแบ่งปัน

ในหลายกรณี . ใช้เพื่อพิสูจน์การหารด้วย 2 ลงตัว ลองนำนิพจน์จากตัวอย่างที่แล้วมาพิสูจน์ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ว่าค่าของธรรมชาติใดๆ หารด้วย 2 ลงตัว

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่าค่าของนิพจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n หารด้วย 2 ลงตัว

สารละลาย.

ลองใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์กัน

ขั้นแรก แสดงว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 2 ลงตัวเมื่อ n=1 เรามี, และ 6 หารด้วย 2 ลงตัวแน่นอน.

ประการที่สอง สมมติว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อ n=k กล่าวคือ - หารด้วย 2

ประการที่สาม จากสิ่งที่หารด้วย 2 ลงตัว เราพิสูจน์ว่าค่าของนิพจน์หารด้วย 2 ลงตัวเมื่อ n=k+1 นั่นคือเราจะพิสูจน์สิ่งนั้น หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อหารด้วย 2 ลงตัว

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้: . การแสดงออก หารด้วย 2 ลงตัว เนื่องจากหารด้วย 2 ลงตัว นิพจน์จึงหารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 2 ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติของการหารลงตัว ผลต่างของนิพจน์เหล่านี้จึงหารด้วย 2 ลงตัวด้วย

นี่พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ค่าของนิพจน์จะหารด้วย 2 ลงตัว

แยกกัน หากผลิตภัณฑ์ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวที่ตามหลังกัน ผลิตภัณฑ์นั้นจะหารด้วย 2 ลงตัว ตัวอย่างเช่น ผลคูณของจำนวนเต็มในรูปแบบ (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) สามารถหารด้วย 2 สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ได้ เนื่องจากประกอบด้วยตัวเลขสองตัวติดต่อกันจาก ชุดตัวเลขธรรมชาติ ( คือตัวเลข n+6 และ n+7) และหนึ่งในนั้นจำเป็นต้องหารด้วย 2 ลงตัวสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ในทำนองเดียวกัน หากผลิตภัณฑ์มีสองปัจจัยซึ่งมีเงื่อนไขของอนุกรมธรรมชาติเป็นจำนวนคู่ ผลิตภัณฑ์นั้นจะหารด้วย 2 ลงตัว ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ (n+1)·(n+6) สำหรับ n ธรรมชาติใดๆ จะถูกหารด้วย 2 เนื่องจากระหว่าง ตัวเลขธรรมชาติมี n+1 และ n+6 อยู่ เลขคู่ตัวเลข: n+2, n+3, n+4 และ n+5

ให้เราสรุปข้อมูลจากสองย่อหน้าก่อนหน้า หากคุณแสดงว่าค่าของนิพจน์บางตัวหารด้วย 2 ลงตัว เมื่อหรือ n+3 จำเป็นต้องหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้นผลคูณ (n+2) 2 ·(n+3) หารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้นค่าของ สำนวนเดิมหารด้วย 2 ลงตัว

ให้เราให้หลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้น

ที่ n=2·m เรามี นิพจน์นี้หารด้วย 2 ลงตัวได้เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 4 ซึ่งหารด้วย 2 ลงตัว

ที่ n=2·m+1 เรามี ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกหารด้วย 2 เนื่องจากมีตัวประกอบเป็น 2

นี่เป็นการพิสูจน์ว่า n 3 +7 n 2 +16 n+12=(n+2) 2 (n+3)หารด้วย 2 ลงตัวสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

บรรณานุกรม.

วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่นๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
Kulikov L.Ya. และอื่นๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน