I. ปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ให้มีค่า ยขึ้นอยู่กับขนาด เอ็กซ์. ถ้าเมื่อเพิ่มขึ้น เอ็กซ์ขนาดหลายเท่า ที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากันแล้วจึงมีค่าดังกล่าว เอ็กซ์และ ที่เรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรง

ตัวอย่าง.

1 . ปริมาณสินค้าที่ซื้อและราคาซื้อ (ด้วยราคาคงที่สำหรับสินค้าหนึ่งหน่วย - 1 ชิ้นหรือ 1 กิโลกรัม เป็นต้น) ซื้อสินค้ามากขึ้นกี่ครั้งก็ยิ่งจ่ายเงินมากขึ้นเท่านั้น

2 . ระยะทางที่เดินทางและเวลาที่ใช้ไป (ที่ความเร็วคงที่) เส้นทางนั้นยาวไกลสักกี่ครั้ง จะต้องใช้เวลานานสักกี่ครั้งจึงจะสำเร็จ

3 . ปริมาตรของร่างกายและมวลของมัน ( หากแตงโมลูกหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกลูก 2 เท่า มวลของมันจะใหญ่ขึ้น 2 เท่า)

ครั้งที่สอง คุณสมบัติของสัดส่วนโดยตรงของปริมาณ

หากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนโดยตรงอัตราส่วนของค่าสองค่าที่รับโดยพลการของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของปริมาณที่สอง

ภารกิจที่ 1สำหรับแยมราสเบอร์รี่ที่เราเอา 12 กกราสเบอร์รี่และ 8 กกซาฮาร่า คุณต้องการน้ำตาลมากแค่ไหนหากรับประทานเข้าไป? 9 กกราสเบอรี่?

สารละลาย.

เราให้เหตุผลเช่นนี้: ปล่อยให้มันจำเป็น x กกน้ำตาลสำหรับ 9 กกราสเบอรี่ มวลของราสเบอร์รี่และมวลของน้ำตาลเป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง: ราสเบอร์รี่มีน้อยกว่ากี่เท่า, ต้องการน้ำตาลน้อยลงในจำนวนเท่าเดิม ดังนั้นอัตราส่วนของราสเบอร์รี่ที่รับประทาน (โดยน้ำหนัก) ( 12:9 ) จะเท่ากับอัตราส่วนน้ำตาลที่รับประทาน ( 8:x). เราได้รับสัดส่วน:

12: 9=8: เอ็กซ์;

x=9 · 8: 12;

x=6. คำตอบ:บน 9 กกจำเป็นต้องทานราสเบอร์รี่ 6 กกซาฮาร่า

การแก้ปัญหาสามารถทำได้ดังนี้:

เอาล่ะ 9 กกจำเป็นต้องทานราสเบอร์รี่ x กกซาฮาร่า

(ลูกศรในรูปชี้ไปในทิศทางเดียวขึ้นหรือลงไม่สำคัญ แปลว่า กี่เท่าของจำนวน 12 จำนวนมากขึ้น 9 จำนวนครั้งเท่ากัน 8 จำนวนมากขึ้น เอ็กซ์กล่าวคือมีความสัมพันธ์โดยตรงที่นี่)

คำตอบ:บน 9 กกฉันจำเป็นต้องกินราสเบอร์รี่ 6 กกซาฮาร่า

ภารกิจที่ 2รถสำหรับ 3 ชั่วโมงเดินทางไกล 264 กม. เขาจะใช้เวลาเดินทางนานแค่ไหน? 440 กม,ถ้าเขาขับด้วยความเร็วเท่ากันล่ะ?

สารละลาย.

ปล่อยให้ x ชั่วโมงรถจะครอบคลุมระยะทาง 440 กม.

คำตอบ:รถจะผ่านไป 440 กม. ใน 5 ชั่วโมง

ภารกิจที่ 3น้ำไหลจากท่อลงสู่สระน้ำ ด้านหลัง 2 ชั่วโมงเธอเติมเต็ม 1/5 สระว่ายน้ำ ส่วนใดของสระมีน้ำอยู่เต็ม 5 โมง?

สารละลาย.

เราตอบคำถามของงาน: สำหรับ 5 โมงจะถูกเติมเต็ม 1/xส่วนหนึ่งของสระว่ายน้ำ (สระทั้งหมดถือเป็นสระเดียว)

ในเกรด 7 และ 8 จะศึกษากราฟของสัดส่วนโดยตรง

จะสร้างกราฟสัดส่วนโดยตรงได้อย่างไร?

ลองดูกราฟสัดส่วนโดยตรงโดยใช้ตัวอย่าง

สูตรกราฟสัดส่วนตรง

กราฟสัดส่วนตรงแสดงถึงฟังก์ชัน

ใน ปริทัศน์สัดส่วนโดยตรงมีสูตร

มุมเอียงของกราฟสัดส่วนตรงสัมพันธ์กับแกน x ขึ้นอยู่กับขนาดและเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนโดยตรง

กราฟสัดส่วนตรงผ่านไป

กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิด

กราฟสัดส่วนตรงเป็นเส้นตรง เส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดสองจุด

ดังนั้น เมื่อสร้างกราฟที่มีสัดส่วนโดยตรง ก็เพียงพอที่จะกำหนดตำแหน่งของจุดสองจุดได้

แต่เรารู้หนึ่งในนั้นเสมอ - นี่คือที่มาของพิกัด

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอันที่สอง ลองดูตัวอย่างการสร้างกราฟที่มีสัดส่วนโดยตรง

สัดส่วนตรงของกราฟ y = 2x

งาน .

พล็อตกราฟของสัดส่วนโดยตรงที่กำหนดโดยสูตร

สารละลาย .

มีเลขทั้งหมดอยู่ครับ

นำจำนวนใดๆ จากโดเมนของสัดส่วนโดยตรง ให้เป็น 1

ค้นหาค่าของฟังก์ชันเมื่อ x เท่ากับ 1

ย=2x=
2 * 1 = 2

นั่นคือสำหรับ x = 1 เราจะได้ y = 2 จุดที่มีพิกัดเหล่านี้เป็นของกราฟของฟังก์ชัน y = 2x

เรารู้ว่ากราฟของสัดส่วนโดยตรงเป็นเส้นตรง และเส้นตรงถูกกำหนดด้วยจุดสองจุด

โดยตรงและ สัดส่วนผกผัน

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) s คือระยะทางที่เดินทางได้ (เป็นกิโลเมตร) และเขาเคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร็ว 4 กม./ชม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร s = 4ต. เนื่องจากแต่ละค่า t สอดคล้องกับค่า s เดียว เราจึงสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยใช้สูตร s = 4t เรียกว่าสัดส่วนตรงและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนโดยตรงคือฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y=kx โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์

ชื่อของฟังก์ชัน y = k x เกิดจากการที่ในสูตร y = k x มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าอัตราส่วนของปริมาณสองจำนวนเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะถูกเรียก สัดส่วนโดยตรง . ในกรณีของเรา = k (k≠0) เบอร์นี้มีชื่อว่า สัมประสิทธิ์สัดส่วน

ฟังก์ชัน y = k x เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายๆ สถานการณ์ที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ข้างต้น อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากแป้งหนึ่งถุงบรรจุ 2 กิโลกรัมและซื้อ x ถุงดังกล่าว มวลแป้งที่ซื้อทั้งหมด (แสดงด้วย y) ก็สามารถแสดงเป็นสูตร y = 2x ได้ เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนถุงกับมวลรวมของแป้งที่ซื้อมาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ k=2

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางประการของสัดส่วนโดยตรงที่เรียนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = k x และช่วงของค่าคือเซตของจำนวนจริง

2. กราฟสัดส่วนตรงเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นในการสร้างกราฟที่เป็นสัดส่วนโดยตรงก็เพียงพอที่จะค้นหาจุดเดียวที่เป็นของมันและไม่ตรงกับที่มาของพิกัดแล้วลากเส้นตรงผ่านจุดนี้และที่มาของพิกัด

ตัวอย่างเช่นในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ก็เพียงพอแล้วที่จะมีจุดที่มีพิกัด (1, 2) จากนั้นลากเส้นตรงผ่านจุดนั้นและที่มาของพิกัด (รูปที่ 7)

3. สำหรับ k > 0 ฟังก์ชัน y = khx จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ที่เค< 0 - убывает на всей области определения.

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y และ x 2 ≠0 แล้ว

อันที่จริงหากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงก็สามารถกำหนดได้จากสูตร y = khx จากนั้น y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 เนื่องจากที่ x 2 ≠0 และ k≠0 ดังนั้น y 2 ≠0 นั่นเป็นเหตุผล และนั่นหมายความว่า

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก จากนั้นสามารถกำหนดคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของสัดส่วนโดยตรงได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนโดยตรงเท่านั้น และสามารถใช้ในการแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาที่ 1 ภายใน 8 ชั่วโมง ช่างกลึงผลิตชิ้นส่วนได้ 16 ชิ้น ผู้ควบคุมเครื่องกลึงจะใช้เวลากี่ชั่วโมงในการผลิตชิ้นส่วน 48 ชิ้นหากเขาทำงานด้วยประสิทธิภาพการผลิตเท่ากัน

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาถึงปริมาณ - เวลาทำงานของช่างกลึง จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยเขาและประสิทธิภาพการทำงาน (เช่น จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงใน 1 ชั่วโมง) และค่าสุดท้ายคือค่าคงที่ และอีกสองค่าใช้ ความหมายที่แตกต่างกัน. นอกจากนี้จำนวนชิ้นส่วนที่ทำและเวลาทำงานเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรงเนื่องจากอัตราส่วนของชิ้นส่วนจะเท่ากับจำนวนที่แน่นอนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์คือจำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงใน 1 ชั่วโมง ถ้าตัวเลข ของชิ้นส่วนที่ทำจะแสดงด้วยตัวอักษร y เวลาทำงานคือ x และประสิทธิภาพคือ k จากนั้นเราจะได้ = k หรือ y = khx เช่น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีทางคณิตศาสตร์:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 16:8 = 2 (ลูก) 1) 48:16 = 3 (ครั้ง)

2) 48:2 = 24 (ซ) 2) 8-3 = 24 (ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 2 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = 2x เราก็พบค่าของ x โดยมีเงื่อนไขว่า y = 48

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนโดยตรง: หลายครั้งที่จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงเพิ่มขึ้น ระยะเวลาในการผลิตก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่เรียกว่าสัดส่วนผกผันกันต่อไป

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) v คือความเร็ว (เป็น กม./ชม.) และเขาเดินเป็นระยะทาง 12 กม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร v∙t = 20 หรือ v =

เนื่องจากแต่ละค่า t (t ≠ 0) สอดคล้องกับค่าความเร็วเดียว v เราจึงสามารถบอกได้ว่ามีการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร v = เรียกว่าสัดส่วนผกผันและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y = โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์

ชื่อของฟังก์ชันนี้เกิดจากการที่ ย = มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าผลคูณของสองปริมาณเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะเรียกว่าสัดส่วนผกผัน ในกรณีของเรา xy = k(k ≠0) จำนวน k นี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

การทำงาน ย = เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายอย่างที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ก่อนคำจำกัดความของสัดส่วนผกผัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากคุณซื้อแป้ง 12 กิโลกรัมมาใส่ในกระป๋อง l: y กิโลกรัมต่อกระป๋อง ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้จะแสดงเป็น ในรูปแบบ x-y= 12 เช่น มันเป็นสัดส่วนผกผันกับสัมประสิทธิ์ k=12

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของสัดส่วนผกผันที่รู้จัก หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์.

1.โดเมนของนิยามฟังก์ชัน ย = และช่วงของค่า x คือเซตของจำนวนจริงอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

2. กราฟของสัดส่วนผกผันคือไฮเปอร์โบลา

3. สำหรับ k > 0 กิ่งของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 3 และฟังก์ชัน ย = กำลังลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 8)

ข้าว. 8 รูปที่ 9

ที่เค< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция ย = กำลังเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 9)

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผันและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y ดังนั้น

อันที่จริงถ้าฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผัน ก็จะสามารถกำหนดได้จากสูตร ย = และจากนั้น . เนื่องจาก x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 แล้ว

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก คุณสมบัติของสัดส่วนผกผันนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนผกผันเท่านั้น และสามารถใช้เมื่อแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

ปัญหาที่ 2 นักปั่นจักรยานที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 กม./ชม. พิชิตระยะทางจาก A ถึง B ได้ภายใน 6 ชั่วโมง หากเดินทางกลับด้วยความเร็ว 20 กม./ชม. นักปั่นจักรยานจะใช้เวลาเท่าไรในการเดินทางกลับ?

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาปริมาณต่อไปนี้: ความเร็วของนักปั่นจักรยาน เวลาที่เคลื่อนที่และระยะทางจาก A ถึง B ปริมาณสุดท้ายเป็นค่าคงที่ ในขณะที่อีกสองค่าที่เหลือใช้ค่าที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ ความเร็วและเวลาในการเคลื่อนที่ยังเป็นปริมาณแปรผกผัน เนื่องจากผลคูณของพวกมันเท่ากับจำนวนที่กำหนด ซึ่งก็คือระยะทางที่เดินทาง หากเวลาการเคลื่อนที่ของนักปั่นแสดงด้วยตัวอักษร y ความเร็วของ x และระยะทาง AB ด้วย k เราจะได้ xy = k หรือ y = นั่นคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนผกผัน

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 10-6 = 60 (กม.) 1) 20:10 = 2 (เท่า)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 60 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = เราก็พบค่าของ y โดยมีเงื่อนไขว่า x = 20

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนผกผัน: จำนวนครั้งที่ความเร็วของการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้น เวลาในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันจะลดลงตามจำนวนเดียวกัน

โปรดทราบว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะด้วยปริมาณที่เป็นสัดส่วนผกผันหรือเป็นสัดส่วนโดยตรง จะมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการสำหรับ x และ y โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิจารณาไม่ได้กับชุดจำนวนจริงทั้งชุด แต่พิจารณาชุดย่อยด้วย

ปัญหาที่ 3 ลีนาซื้อดินสอ x แท่ง และคัทย่าซื้อเพิ่มอีก 2 เท่า แทนจำนวนดินสอที่คัทย่าซื้อด้วย y แสดง y ด้วย x และสร้างกราฟของการโต้ตอบที่กำหนดโดยมีเงื่อนไขว่า x≤5 การติดต่อนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ขอบเขตของคำจำกัดความและช่วงของค่าคืออะไร?

สารละลาย. คัทย่าซื้อ = ดินสอ 2 แท่ง เมื่อพล็อตฟังก์ชัน y=2x จำเป็นต้องคำนึงว่าตัวแปร x หมายถึงจำนวนดินสอและ x≤5 ซึ่งหมายความว่าสามารถรับได้เฉพาะค่า 0, 1, 2, 3, 4, 5. นี่จะเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ เพื่อให้ได้ช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ คุณต้องคูณค่า x แต่ละค่าจากช่วงคำจำกัดความด้วย 2 นั่นคือ นี่จะเป็นเซต (0, 2, 4, 6, 8, 10) ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ที่มีโดเมนคำจำกัดความ (0, 1, 2, 3, 4, 5) จะเป็นเซตของจุดที่แสดงในรูปที่ 10 จุดทั้งหมดเหล่านี้เป็นของเส้นตรง y = 2x .

ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันที่สามารถระบุได้ด้วยสูตร y = kx + b

โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ k และ b คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

เรียกว่าหมายเลข k ความชันของเส้นตรง– กราฟของฟังก์ชัน y = kx + b

ถ้า k > 0 แล้วมุมเอียงของเส้นตรง y = kx + b ไปยังแกน เอ็กซ์เผ็ด; ถ้าเค< 0, то этот угол тупой.

ถ้าความชันของเส้นที่เป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชันต่างกัน เส้นเหล่านี้จะตัดกัน และถ้าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน เส้นตรงก็จะขนานกัน

กราฟของฟังก์ชัน ย =เคเอ็กซ์ +ขโดยที่ k ≠ 0 เป็นเส้นขนานกับเส้น y = kx

สัดส่วนโดยตรง

สัดส่วนโดยตรงเป็นฟังก์ชันที่สามารถระบุได้ด้วยสูตร y = kx โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ k คือตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่าหมายเลข k ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนโดยตรง.

กราฟของสัดส่วนโดยตรงคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (ดูรูป)

สัดส่วนโดยตรงเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น

คุณสมบัติของฟังก์ชันย =โอเค:

สัดส่วนผกผัน

สัดส่วนผกผันเรียกว่าฟังก์ชันที่สามารถระบุได้ด้วยสูตร:

เค
ย = -
x

ที่ไหน xเป็นตัวแปรอิสระ และ เค– จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์

กราฟของสัดส่วนผกผันเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่า อติพจน์(ดูภาพ)

สำหรับเส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชันนี้ก็คือแกน xและ ยทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับ เส้นกำกับ- นี่คือเส้นตรงที่จุดของเส้นโค้งเคลื่อนเข้าใกล้เมื่อเคลื่อนออกไปสู่ระยะอนันต์

เค
คุณสมบัติของฟังก์ชันย = -:
x

แนวคิดเรื่องสัดส่วนโดยตรง

ลองจินตนาการว่าคุณกำลังวางแผนที่จะซื้อลูกอมที่คุณชื่นชอบ (หรืออะไรก็ตามที่คุณชอบจริงๆ) ขนมหวานในร้านมีราคาของตัวเอง สมมติว่า 300 รูเบิลต่อกิโลกรัม ยิ่งคุณซื้อขนมมากเท่าไร เงินมากขึ้นจ่าย. นั่นคือถ้าคุณต้องการ 2 กิโลกรัมจ่าย 600 รูเบิล และถ้าคุณต้องการ 3 กิโลกรัมจ่าย 900 รูเบิล ดูเหมือนทุกอย่างจะชัดเจนใช่ไหม?

ถ้าใช่ ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าสัดส่วนโดยตรงคืออะไร - นี่คือแนวคิดที่อธิบายความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณที่ขึ้นอยู่กับกันและกัน และอัตราส่วนของปริมาณเหล่านี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงและคงที่: โดยจำนวนส่วนหนึ่งที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวนส่วนเท่ากันครั้งที่สองจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วน

สัดส่วนโดยตรงสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: f(x) = a*x และ a ในสูตรนี้คือค่าคงที่ (a = const) ในตัวอย่างของเราเกี่ยวกับลูกกวาด ราคาคือค่าคงที่ ค่าคงที่ ไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงไม่ว่าคุณจะตัดสินใจซื้อขนมจำนวนเท่าใดก็ตาม ตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์)x คือลูกอมที่คุณจะซื้อกี่กิโลกรัม และตัวแปรตาม f(x) (ฟังก์ชัน) คือจำนวนเงินที่คุณต้องจ่ายสำหรับการซื้อของคุณ ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ตัวเลขลงในสูตรและรับ: 600 รูเบิล = 300 ถู * 2 กก.

ข้อสรุประดับกลางคือ: ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ฟังก์ชันก็จะเพิ่มขึ้นด้วย ถ้าอาร์กิวเมนต์ลดลง ฟังก์ชันก็จะลดลงด้วย

ฟังก์ชั่นและคุณสมบัติของมัน

ฟังก์ชันสัดส่วนตรงเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น หากฟังก์ชันเชิงเส้นคือ y = k*x + b ดังนั้นสำหรับความเป็นสัดส่วนโดยตรงจะมีลักษณะดังนี้: y = k*x โดยที่ k เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน และมันจะเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์เสมอ ง่ายต่อการคำนวณ k โดยพบว่าเป็นผลหารของฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์: k = y/x

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาดูอีกตัวอย่างหนึ่ง ลองจินตนาการว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ความเร็วของมันคือ 60 กม./ชม. ถ้าเราถือว่าความเร็วของการเคลื่อนที่คงที่ ก็ถือว่าเป็นค่าคงที่ได้ จากนั้นเราเขียนเงื่อนไขในรูปแบบ: S = 60*t และสูตรนี้คล้ายกับฟังก์ชันของสัดส่วนโดยตรง y = k *x ลองวาดเส้นขนานต่อไป: ถ้า k = y/x ความเร็วของรถก็สามารถคำนวณได้โดยทราบระยะห่างระหว่าง A และ B และเวลาที่ใช้บนถนน: V = S /t

และตอนนี้ จากการนำความรู้ประยุกต์เกี่ยวกับสัดส่วนทางตรง กลับมาใช้ฟังก์ชันของมันอีกครั้ง คุณสมบัติอันได้แก่:

ขอบเขตคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด (รวมถึงเซตย่อยด้วย)

ฟังก์ชั่นแปลก

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรจะเป็นสัดส่วนโดยตรงตลอดความยาวของเส้นจำนวน

สัดส่วนโดยตรงและกราฟ

กราฟของฟังก์ชันสัดส่วนตรงคือเส้นตรงที่ตัดกับจุดกำเนิด หากต้องการสร้างมันขึ้นมาก็เพียงพอที่จะทำเครื่องหมายอีกจุดเดียวเท่านั้น และเชื่อมโยงมันกับที่มาของพิกัดด้วยเส้นตรง

ในกรณีของกราฟ k คือ ความลาดชัน. ถ้าความชันน้อยกว่าศูนย์ (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0) กราฟและรูปแบบแกน x มุมที่คมชัดและฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น

และอีกคุณสมบัติหนึ่งของกราฟของฟังก์ชันสัดส่วนตรง เกี่ยวข้องโดยตรงกับความชัน k สมมติว่าเรามีฟังก์ชันที่ไม่เหมือนกันสองฟังก์ชันและมีกราฟสองอันด้วย ดังนั้นหากค่าสัมประสิทธิ์ k ของฟังก์ชันเหล่านี้เท่ากัน กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้จะขนานกับแกนพิกัด และถ้าสัมประสิทธิ์ k ไม่เท่ากัน กราฟจะตัดกัน

ปัญหาตัวอย่าง

ตอนนี้เรามาแก้กันสองสามข้อ ปัญหาสัดส่วนโดยตรง

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ

ปัญหาที่ 1: ลองนึกภาพแม่ไก่ 5 ตัวออกไข่ 5 ฟองใน 5 วัน แล้วถ้ามีแม่ไก่ 20 ตัว จะวางไข่กี่ฟองใน 20 วัน?

วิธีแก้: ลองแทนค่าที่ไม่รู้จักด้วย kx กัน และเราจะให้เหตุผลดังนี้ มีไก่เพิ่มขึ้นกี่เท่า? หาร 20 ด้วย 5 แล้วพบว่ามันคือ 4 คูณ แม่ไก่ 20 ตัวจะวางไข่เพิ่มขึ้นกี่ครั้งใน 5 วันเดียวกัน? อีก 4 เท่าอีกด้วย ดังนั้นเราจึงพบว่าไข่ของเรา 5*4*4 = 80 ฟองจะถูกวางโดยแม่ไก่ 20 ตัวใน 20 วัน

ตอนนี้ตัวอย่างซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย มาถอดความปัญหาจาก "เลขคณิตทั่วไป" ของนิวตันกันดีกว่า ปัญหาที่ 2: นักเขียนสามารถเขียนหนังสือเล่มใหม่ได้ 14 หน้าใน 8 วัน ถ้ามีผู้ช่วย จะต้องใช้กี่คนถึงจะเขียน 420 หน้าใน 12 วันได้?

วิธีแก้ไข: เราให้เหตุผลว่าจำนวนคน (นักเขียน + ผู้ช่วย) เพิ่มขึ้นตามปริมาณงานหากต้องทำในระยะเวลาเท่ากัน แต่กี่ครั้งล่ะ? เมื่อหาร 420 ด้วย 14 เราจะพบว่ามันเพิ่มขึ้น 30 เท่า แต่เนื่องจากตามเงื่อนไขของงาน จึงมีเวลาในการทำงานมากขึ้น จำนวนผู้ช่วยจึงเพิ่มขึ้นไม่ 30 เท่า แต่ด้วยวิธีนี้: x = 1 (ผู้เขียน) * 30 (ครั้ง): 12/8 ( วัน) ลองแปลงร่างแล้วพบว่า x = 20 คนจะเขียนได้ 420 หน้าใน 12 วัน

ลองแก้ปัญหาอื่นที่คล้ายกับในตัวอย่างของเรากัน

ปัญหาที่ 3: รถสองคันออกเดินทางในการเดินทางเดียวกัน คนหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 70 กม./ชม. และครอบคลุมระยะทางเท่ากันใน 2 ชั่วโมง ส่วนอีกคนหนึ่งใช้เวลา 7 ชั่วโมง จงหาความเร็วของรถคันที่สอง

วิธีแก้ไข: ดังที่คุณจำได้ เส้นทางถูกกำหนดด้วยความเร็วและเวลา - S = V *t เนื่องจากรถทั้งสองคันเดินทางด้วยระยะทางเท่ากัน เราจึงสามารถเทียบนิพจน์ทั้งสองได้: 70*2 = V*7 เราจะหาได้อย่างไรว่าความเร็วของรถคันที่สองคือ V = 70*2/7 = 20 กม./ชม.

และอีกสองสามตัวอย่างงานที่มีฟังก์ชันเป็นสัดส่วนโดยตรง บางครั้งปัญหาจำเป็นต้องหาสัมประสิทธิ์ k

ภารกิจที่ 4: เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = - x/16 และ y = 5x/2 ให้หาค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

วิธีแก้: ดังที่คุณจำได้ k = y/x ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชันแรก ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ -1/16 และสำหรับฟังก์ชันที่สอง k = 5/2

คุณอาจพบงานเช่นงานที่ 5: เขียนสัดส่วนโดยตรงด้วยสูตร กราฟและกราฟของฟังก์ชัน y = -5x + 3 อยู่ในแนวขนาน

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันที่มอบให้เราในเงื่อนไขนั้นเป็นเส้นตรง เรารู้ว่าสัดส่วนตรงเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น และเรายังรู้ด้วยว่าถ้าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชัน k เท่ากัน กราฟของมันจะขนานกัน ซึ่งหมายความว่าสิ่งที่คุณต้องทำก็แค่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ฟังก์ชั่นที่รู้จักและกำหนดสัดส่วนโดยตรงโดยใช้สูตรที่เราคุ้นเคย: y = k *x สัมประสิทธิ์ k = -5, สัดส่วนโดยตรง: y = -5*x

บทสรุป

ตอนนี้คุณได้เรียนรู้ (หรือจำได้ว่าหากคุณเคยพูดถึงหัวข้อนี้มาก่อนแล้ว) ว่าอะไรเรียกว่าอะไร สัดส่วนโดยตรงและมองไปที่มัน ตัวอย่าง. เรายังพูดถึงฟังก์ชันสัดส่วนตรงและกราฟของมันด้วย และได้แก้ไขปัญหาตัวอย่างต่างๆ ไปแล้ว

หากบทความนี้มีประโยชน์และช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อนี้ โปรดบอกเราเกี่ยวกับเรื่องนี้ในความคิดเห็น เพื่อที่เราจะได้รู้ว่าเราจะเป็นประโยชน์กับคุณหรือไม่

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม