อัตราส่วนการเข้าถึงได้ของโมดูลกราฟ ไดกราฟและความสัมพันธ์แบบไบนารี อัตราส่วนความสามารถในการเข้าถึงของจุดยอดของไดกราฟ เมทริกซ์การเข้าถึงได้ ความสัมพันธ์ระหว่างความสามารถในการเข้าถึงและความสัมพันธ์ที่อยู่ติดกันต้นไม้ที่ไม่ระบุทิศทางและต้นไม้ที่มีทิศทาง

G(V,X) มีลูป แต่ไม่มีส่วนโค้งหลายส่วนที่กำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี X บนชุด V กราฟที่สมบูรณ์สอดคล้องกับความสัมพันธ์สากล กราฟที่ไม่มีทิศทางสอดคล้องกับความสัมพันธ์แบบสมมาตร ส่วนเสริมของกราฟสอดคล้องกับส่วนเสริมของความสัมพันธ์ การเปลี่ยนทิศทางของส่วนโค้งสอดคล้องกับความสัมพันธ์แบบย้อนกลับ

ไดกราฟและความสัมพันธ์แบบไบนารีเป็นอ็อบเจกต์ประเภทเดียวกันที่อธิบายโดยวิธีต่างๆ ความสัมพันธ์แบบไบนารี ฟังก์ชันเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ และกราฟสามารถมองเห็นได้ในรูปของไดอะแกรม สิ่งนี้อธิบายการใช้ไดอะแกรมประเภทต่าง ๆ อย่างกว้างขวางในการเขียนโค้ดและการออกแบบ

จุดยอด b ของไดกราฟ (กราฟ) G เรียกว่า ทำได้จาก U ก็ต่อเมื่อ U=V หรือมีเส้นทาง (เส้นทาง) เชื่อมต่อ U กับ V (U คือจุดยอดเริ่มต้น V คือจุดยอดสุดท้าย) ดังนั้น บนเซตของจุดยอดของไดกราฟ (กราฟ) ไม่เพียงแต่นิยามความสัมพันธ์ A เท่านั้น แต่ยังกำหนดความสัมพันธ์ของความสามารถในการเข้าถึง T ด้วย

เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง T digraph (กราฟ) G เรียกว่า T 2 n×n ซึ่งพบองค์ประกอบจากเงื่อนไข: 1 ถ้าสามารถเข้าถึงได้จาก ; 0 หากไม่สามารถเข้าถึงได้จาก.

คำจำกัดความของเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงของไดกราฟเป็นเมทริกซ์ของการปิดแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยาของความสัมพันธ์ที่อยู่ติดกัน

ความสัมพันธ์ที่แนะนำของความสามารถในการเข้าถึงที่จุดยอดของกราฟ G(V,X): จุดยอด w สามารถเข้าถึงได้จากจุดยอด v ถ้า v = w หรือมีเส้นทางจาก v ถึง w ใน G กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสามารถในการเข้าถึงคือการปิดความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา

ค้นหาเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน การปิดสกรรมกริยาและการสะท้อนกลับ

การเชื่อมต่อในกราฟ การเชื่อมต่อที่อ่อนแอ ทางเดียว และแข็งแกร่งในไดกราฟ เมทริกซ์ของการเชื่อมต่อและการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง ส่วนประกอบการเชื่อมต่อ คำจำกัดความของเมทริกซ์ของการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งตามเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง

G(V,X) เรียกว่า เชื่อมต่อถ้าจุดยอดใด ๆ สามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดอื่น ๆ

ไดกราฟ G(V,X) เรียกว่า เชื่อมต่อทางเดียวถ้าสำหรับจุดยอดสองจุดใดๆ อย่างน้อยหนึ่งจุดสามารถเข้าถึงได้จากอีกจุดหนึ่ง

ไดกราฟ G(V,X) เรียกว่า ผูกพันอย่างแน่นแฟ้นหากจุดยอดใด ๆ สามารถเข้าถึงได้จากจุดอื่น

ไดกราฟ G(V,X) เรียกว่า เชื่อมต่ออย่างหลวม ๆหากมีการเชื่อมต่อ non-digraph ที่สอดคล้องกับมันซึ่งได้มาจากการลบการวางแนวของส่วนโค้ง

ไดกราฟที่ไม่เกี่ยวโยงกันอ่อนๆ เรียกว่า ไม่ต่อเนื่องกัน.

องค์ประกอบพันธะที่แข็งแกร่งของไดกราฟ G(V,X) เรียกว่าจุดสูงสุด ตามจำนวนจุดยอดที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นกราฟย่อยที่เชื่อมโยงกันอย่างมากของไดกราฟนี้ องค์ประกอบที่เชื่อมต่อของ non-digraph ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

เมทริกซ์ของการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง (การเชื่อมต่อ)ของไดกราฟ (กราฟ) G(V,Х) เรียกว่า S n×n ซึ่งพบองค์ประกอบจากเงื่อนไข: 1 ถ้าสามารถเข้าถึงได้จาก และสามารถเข้าถึงได้จาก ; 0 ถ้าไม่สามารถเข้าถึงได้จาก และไม่สามารถเข้าถึงได้จาก .

(digraph) เชื่อมต่อหรือเชื่อมต่ออย่างแน่นหนาก็เพียงพอที่จะระบุการมีอยู่ของ 0 ในเมทริกซ์ if

ไม่มี 0 แสดงว่ามีการเชื่อมต่อกราฟ (ไดกราฟ) (เชื่อมต่ออย่างแน่นหนา) มิฉะนั้นจะไม่มี

เมทริกซ์ที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาสามารถสร้างได้จากเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงโดยสูตร

พิจารณาคำถามเกี่ยวกับความสามารถในการเข้าถึงสำหรับ digraphs และวิธีการค้นหาเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงและการเข้าถึงข้อมูล พิจารณาวิธีเมทริกซ์เพื่อหาจำนวนเส้นทางระหว่างจุดยอดใดๆ ของกราฟ ตลอดจนการหาชุดของจุดยอดที่รวมอยู่ในเส้นทางระหว่างจุดยอดคู่หนึ่ง วัตถุประสงค์ของการบรรยาย: เพื่อให้แนวคิดเกี่ยวกับความสามารถในการเข้าถึงและการตอบโต้และวิธีการค้นหา

การเข้าถึงได้และตอบโต้ไม่ได้

งานที่ใช้แนวคิด การเข้าถึงได้ค่อนข้างมากของ

นี่คือหนึ่งในนั้น กราฟอาจเป็นแบบจำลองขององค์กรบางแห่งที่มีจุดยอดแทนบุคคล และส่วนโค้งตีความช่องทางการสื่อสาร เมื่อพิจารณาแบบจำลองดังกล่าว เราสามารถถามว่าข้อมูลจากคนหนึ่งที่ฉันสามารถถ่ายโอนไปยังอีกคนหนึ่งได้หรือไม่ j นั่นคือมีเส้นทางไปจากจุดยอด i ไปยังจุดยอด j หรือไม่ ถ้าทางนั้นมีอยู่ก็ว่าจุดยอด j ทำได้จากจุดยอด ผม . สามารถสนใจความสามารถในการเข้าถึงของจุดยอด j จากจุดยอด i ได้เฉพาะบนเส้นทางที่มีความยาวไม่เกินค่าที่กำหนด หรือมีความยาวน้อยกว่าจำนวนจุดยอดที่ใหญ่ที่สุดในกราฟ ฯลฯ ของปัญหาเท่านั้น

ความสามารถในการเข้าถึงในกราฟอธิบายโดยเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง R=, i, j=1, 2, ... n โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของกราฟ และแต่ละองค์ประกอบมีการกำหนดดังนี้:

r ij =1 ถ้าจุดยอด j สามารถเข้าถึงได้จาก x i ,

r ij =0, มิฉะนั้น.

ชุดของจุดยอด R(x i) ของกราฟ G ซึ่งสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดที่กำหนด x ผม ประกอบด้วยองค์ประกอบ x ผม ซึ่งองค์ประกอบ (i, j) - ในเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงได้เท่ากับ 1 อย่างชัดเจน เส้นทแยงมุมทั้งหมด องค์ประกอบในเมทริกซ์ R เท่ากับ 1 เนื่องจากแต่ละจุดยอดสามารถเข้าถึงได้จากตัวมันเองด้วยเส้นทางที่มีความยาว 0 เนื่องจากการจับคู่โดยตรงอันดับแรก Г +1 (x i) คือเซตของจุดยอด x j ที่สามารถเข้าถึงได้จาก x i โดยใช้ เส้นทางที่มีความยาว 1 จากนั้นเซต Г + (Г +1 (x i)) = Г +2 (x i) ประกอบด้วยจุดยอดที่เข้าถึงได้จาก x i โดยใช้เส้นทางที่มีความยาว 2 ในทำนองเดียวกัน r + p (x i) คือเซตของจุดยอด ที่สามารถเข้าถึงได้จาก x i โดยใช้เส้นทางที่มีความยาว p

เนื่องจากจุดยอดกราฟใดๆ ที่สามารถเข้าถึงได้จาก x i ต้องสามารถเข้าถึงได้โดยใช้เส้นทาง (หรือเส้นทาง) ที่มีความยาว 0 หรือ 1 หรือ 2, ... หรือ p ดังนั้นชุดของจุดยอดที่เข้าถึงได้สำหรับจุดยอด x i สามารถแสดงเป็น

R (x i) = ( x i ) G +1 (x i) G +2 (x i) ... G + p (x i)

อย่างที่คุณเห็น ชุดของจุดยอดที่เข้าถึงได้ R(x i) คือการปิดสกรรมกริยาโดยตรงของจุดยอด x i นั่นคือ R(x i) = T + (x i) ดังนั้น ในการสร้างเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง เราพบชุดที่เข้าถึงได้ R(x i) สำหรับจุดยอด x i X ทั้งหมด การตั้งค่า r ij =1 ถ้า x j R(x i) และ r ij =0 มิฉะนั้น

ข้าว. 4.1. ความสามารถในการเข้าถึงในกราฟ: a -graph; b – เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน; c – เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง; r คือเมทริกซ์การตอบโต้

สำหรับกราฟที่แสดงในรูปที่ 4.1, ก, ชุดที่เข้าถึงได้ตั้งอยู่ดังต่อไปนี้:

R (x 1) = ( x 1 ) ( x 2 , x 5 ) ( x 2 , x 4 , x 5 ) ( x 2 , x 4 , x 5 ) = ( x 1 , x 2 , x 4 , x 5 ),

R (x 2) = ( x 2 ) ( x 2 , x 4 ) ( x 2 , x 4 , x 5 ) ( x 2 , x 4 , x 5 ) = ( x 2 , x 4 , x 5 ),

R (x 3) = ( x 3 )( x 4 )( x 5 )( x 5 ) = ( x 3 , x 4 , x 5 ),

R (x 4) = ( x 4 )( x 5 )( x 5 ) = ( x 4 , x 5 ),

R (x 5) = ( x 5 )( x 5 ) = ( x 5 ),

R (x 6) = ( x 6 )( x 3 , x 7 )( x 4 , x 6 )( x 3 , x 5 , x 7 )( x 4 , x 5 , x 6 ) = ( x 3 , x 4, x 5, x 6, x 7)

R (x 7) = ( x 7 )( x 4 , x 6 )( x 3 , x 5 , x 7 )( x 4 , x 5 , x 6 ) = ( x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7)

เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง มีแบบตามรูปที่ 4.1, ค. เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงสามารถสร้างได้ตาม เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน(รูปที่ 4.1b) การสร้างชุดT + (x ผม) สำหรับแต่ละจุดยอด x ผม .

เมทริกซ์ความสามารถในการตอบโต้ได้ Q = [ q ij ],i, j =1, 2, ... n โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของกราฟมีการกำหนดดังนี้:

q ij =1 ถ้าจากจุดยอด x j เป็นไปได้ที่จะไปถึงจุดยอด x i ,

q ij =0, มิฉะนั้น

รับมือได้เซต Q (x i) คือเซตของจุดยอดซึ่งจากจุดยอดใดๆ ของเซตนี้ เป็นไปได้ที่จะไปถึงจุดยอด x ฉัน ในทำนองเดียวกันกับการสร้างเซตที่เข้าถึงได้ R (x i) เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับ Q (x i):

Q (x ผม) = ( x ผม ) Г -1 (x ผม) Г - 2(x ผม) ... Г -p (x ผม).

ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่า Q (x i) ไม่มีอะไรมากไปกว่าการปิดสกรรมกริยาแบบย้อนกลับของจุดยอด x i นั่นคือ Q (x i) = T - (x i) เห็นได้ชัดจากคำจำกัดความว่าคอลัมน์ x i ของเมทริกซ์ Q (ซึ่ง q ij =1 ถ้า x j Q (x i) และ q ij =0 มิฉะนั้น) ตรงกับแถว x i ของเมทริกซ์ R นั่นคือ Q = R T โดยที่ R T คือเมทริกซ์ที่ย้ายไปยัง เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงร.

เมทริกซ์ความสามารถในการตอบโต้ได้แสดงในรูป 4.1 กรัม

ควรสังเกตว่าเนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ R และ Q มีค่าเท่ากับ 1 หรือ 0 แต่ละแถวสามารถจัดเก็บในรูปแบบไบนารี ช่วยประหยัดค่าใช้จ่ายหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ Matrices R และ Q นั้นสะดวกสำหรับการประมวลผลบนคอมพิวเตอร์ เนื่องจากจากมุมมองของการคำนวณ การดำเนินการหลักคือการดำเนินการทางตรรกะความเร็วสูง

การหาเซตของจุดยอดที่รวมอยู่ในเส้นทาง

หากคุณต้องการทราบเกี่ยวกับจุดยอดของกราฟที่รวมอยู่ในเส้นทางเหล่านี้ คุณควรจำคำจำกัดความของการปิดสกรรมกริยาแบบตรงและแบบผกผัน เนื่องจาก T + (x i) เป็นเซตของจุดยอดซึ่งมีเส้นทางจากจุดยอด x i และ T - (x j) คือเซตของจุดยอดซึ่งมีเส้นทางไปยัง x j จากนั้น T + (x i) T - (x j) ) คือเซตของจุดยอด ซึ่งแต่ละอันเป็นของเส้นทางอย่างน้อยหนึ่งเส้นทางที่เริ่มจาก x i ถึง x j จุดยอดเหล่านี้เรียกว่าจำเป็นหรืออินทิกรัลเทียบกับจุดยอดทั้งสองปลาย x i และ x j จุดยอดอื่น ๆ ของกราฟเรียกว่าไม่มีนัยสำคัญหรือซ้ำซ้อน เนื่องจากการลบจุดยอดเหล่านี้ไม่ส่งผลต่อเส้นทางจาก x i ถึง x j

ข้าว. 4.2. digraph

ดังนั้นสำหรับกราฟในรูปที่ 4.2 การหาจุดยอดที่รวมอยู่ในเส้นทาง เช่น จากจุดยอด x 2 ถึงจุดยอด 4 ลดลงเป็นการหา T + (x 2) \u003d ( x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ),

T - (x 4) \u003d ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) และทางแยก T + (x 2) T - (x 4) \u003d ( x 2, x 3, x 4, x 5 ).

วิธีเมทริกซ์สำหรับค้นหาเส้นทางในกราฟ

เมทริกซ์ที่อยู่ติดกันจะกำหนดโครงสร้างของกราฟอย่างสมบูรณ์ ลองยกกำลังสองเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันตามกฎของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบของเมทริกซ์ A 2 แต่ละตัวถูกกำหนดโดยสูตร

a (2) ik = n j=1 a ij a jk

เทอมในสูตรจะเท่ากับ 1 ก็ต่อเมื่อทั้งตัวเลข a ij และ a jk เท่ากับ 1 มิฉะนั้น จะเท่ากับ 0 เนื่องจากความเท่าเทียมกัน a ij = a jk = 1 หมายถึงการมีอยู่ของเส้นทางที่มีความยาว 2 จากจุดยอด x i ถึงจุดยอด k ผ่านจุดยอด x j จากนั้นองค์ประกอบ (i -th,k-th) ของเมทริกซ์ A 2 เท่ากับจำนวนเส้นทางที่มีความยาว 2 ที่ไปจาก x i ถึง k

ตารางที่ 4.1a แสดงเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันของกราฟที่แสดงในรูปที่ 4.2. ผลลัพธ์ของการยกกำลังสองเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน A 2 แสดงในตารางที่ 4.1b

ดังนั้น "1" ซึ่งยืนอยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สี่ แสดงถึงการมีอยู่ของเส้นทางหนึ่งที่มีความยาว 2 จากจุดยอด x 2 ถึงจุดยอด 4 แท้จริงอย่างที่เราเห็นใน คอลัมน์ในรูป 4.2 มีเส้นทางดังกล่าว: a 6 , a 5 . "2" ในเมทริกซ์ A 2 ระบุการมีอยู่ของสองเส้นทางที่มีความยาว 2 จากจุดยอด 3 ถึงจุดยอด 6: a 8 , 4 และ 10 , a 3

ในทำนองเดียวกัน สำหรับเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันที่ยกกำลังสาม A 3 (ตารางที่ 4.1c) (3) ik เท่ากับจำนวนเส้นทางที่มีความยาว 3 ที่ไปจาก x i ถึง x k จะเห็นได้จากแถวที่สี่ของเมทริกซ์ A 3 ว่ามีเส้นทางยาว 3: หนึ่งใน x 4 ใน 4 (a 9 , a 8 , a 5) หนึ่งใน x 4 ใน

x 5 (a 9, 10, a 6) และสองเส้นทางจาก x 4 ใน 6 (a 9, a 10, a 3 และ 9, a 8, a 4) เมทริกซ์ A 4 แสดงการมีอยู่ของเส้นทางที่มีความยาว 4 (ตารางที่ 4.1d)

ดังนั้น ถ้า p ik เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A p ดังนั้น p ik จะเท่ากับจำนวนของเส้นทาง (ไม่จำเป็นหรือ chains หรือ simple หรือ chains) ของความยาว p ที่ไปจาก x i ถึง x k

ความสามารถเข้าถึงได้และการเชื่อมต่อในกราฟ โครงร่างการบรรยาย: เส้นทางของลูกโซ่และวงจร กราฟการเชื่อมต่อและส่วนประกอบการเชื่อมต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี และศูนย์กลางของกราฟ

แชร์งานบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หากงานนี้ไม่เหมาะกับคุณ มีรายการงานที่คล้ายกันที่ด้านล่างของหน้า คุณยังสามารถใช้ปุ่มค้นหา

Baranov Viktor Pavlovich คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง มาตรา 3กราฟ เครือข่าย รหัส

บรรยาย 8

บรรยาย 8 ความสามารถเข้าถึงได้และการเชื่อมต่อในกราฟ

แผนการบรรยาย:

เส้นทาง โซ่ และวงจร
กราฟการเชื่อมต่อและส่วนประกอบการเชื่อมต่อ
เส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี และศูนย์กลางของกราฟ
เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงและการเข้าถึงได้

เส้นทาง วงจร และลูป

เส้นทางที่มุ่งเน้น(หรือโดย ) ของไดกราฟคือลำดับของส่วนโค้งที่จุดยอดสิ้นสุดของส่วนโค้งใดๆ ที่ไม่ใช่จุดสุดท้ายคือจุดยอดเริ่มต้นของส่วนโค้งถัดไป ในรูป 1 ลำดับส่วนโค้ง

, (1)

, (2)

(3)

เป็นเส้นทาง

ข้าว. หนึ่ง.

ห่วงโซ่ที่มุ่งเน้น(หรือ orepio ) เรียกว่าเส้นทางที่แต่ละส่วนโค้งและกับ ใช้ไม่เกินหนึ่งครั้ง ตัวอย่างเช่น เส้นทาง (2) และ (3) เป็น orchas แต่เส้นทาง (1) ไม่ใช่ เนื่องจากส่วนโค้งถูกใช้สองครั้งในนั้น

เรียบง่าย เรียกว่าลูกโซ่ซึ่งแต่ละจุดยอดใช้กันมากสุดหนึ่งเกี่ยวกับ ครั้ง ตัวอย่างเช่น orchain (3) เรียบง่าย แต่ orchain (2) ไม่ใช่

เส้นทาง เป็นเส้นทางแฝดที่ไม่มีทิศทาง กล่าวคือ ลำดับของขอบซึ่งแต่ละขอบ ยกเว้นอันแรกและอันสุดท้าย เชื่อมต่อกันด้วยจุดยอดปลายที่มีขอบและ แถบเหนือสัญลักษณ์ส่วนโค้งหมายความว่าถือว่าเป็นขอบ

เช่นเดียวกับที่เรากำหนด orchas และ chain ง่ายๆ เราสามารถกำหนด chain และ chain ธรรมดาได้

เส้นทางหรือเส้นทางสามารถแสดงด้วยลำดับของจุดยอดได้ ตัวอย่างเช่นและ มาตรการ, เส้นทาง (1) สามารถเขียนเป็น: .

เส้นทางที่เรียกว่าปิด , ถ้าจุดยอดเริ่มต้นของส่วนโค้งตรงกับม้าชม. ยอดโนอาห์แห่งอาร์ค กล้วยไม้ปิด (โซ่) เรียกว่า orcycles (วัฏจักร ). Orcycles เรียกอีกอย่างว่ารูปทรง . กล้วยไม้ธรรมดาแบบปิด (โซ่) เรียกว่าส orcycles ง่าย ๆ(รอบ). ปิดเส้นทางไร้ทิศทางน ปิดสองเท่าที่คุณ.

กราฟการเชื่อมต่อและส่วนประกอบการเชื่อมต่อ

ว่ากันว่าจุดยอดในไดกราฟสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดหากมีเส้นทาง หากสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดเหล่านี้กล่าวได้ว่าสามารถเข้าถึงได้ร่วมกัน

ไดกราฟเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างแน่นหนาหรือแข็งแกร่ง , ถ้าจุดยอดสองจุดใดอยู่ในนั้นคือเอ ฉันทำได้ ตัวอย่างของ digraph ที่แข็งแกร่งแสดงในรูปที่ 2 ก. เนื่องจากในคอลัมน์อี ให้ orcycle ที่มีจุดยอดทั้งหมดแล้วจึงนำสองอันมาแต่ทำได้

° ° °

° ° ° ° ° °

เอ บี ซี

ข้าว. 2.

ไดกราฟเรียกว่าเชื่อมต่อทางเดียวหรือฝ่ายเดียว ถ้าอยู่ในจุดยอดคู่ใดจุดหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งสามารถเข้าถึงได้จากอีกจุดหนึ่ง ตัวอย่างของกราฟทางเดียวแสดงในรูปที่ 2 ข. กราฟนี้มี orcycle ที่มีจุดยอดที่สามารถเข้าถึงได้ร่วมกันสี่จุด จุดยอดมีระดับของการป้อนศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีเส้นทางที่นำไปสู่จุดยอดนี้ ยิ่งไปกว่านั้น จุดยอดอีกสี่จุดใดๆ สามารถเข้าถึงได้จากจุดนั้น

ไดกราฟเรียกว่าเชื่อมต่อหลวมหรืออ่อนแอ หากมีจุดยอดสองจุดด้วยเกี่ยวกับ ยูไนเต็ด ครึ่งทาง . ทางครึ่งทางสามารถมีทิศทางตรงกันข้ามได้ใน ส่วนโค้งขี้เกียจ ตัวอย่างของ digraph ที่อ่อนแอแสดงในรูปที่ 2 นิ้ว เห็นได้ชัดว่ากราฟไม่มีที่ ty ระหว่างจุดยอดและ แต่มีครึ่งทางประกอบด้วย n . ตรงข้ามเอ ปกครองส่วนโค้งและ.

หากจุดยอดบางคู่ไม่มีเส้นทางเชื่อมกัน ดังนั้น tเอ ซึ่งไดอะแกรมเรียกว่าไม่ต่อเนื่องกัน

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อสามประเภทถูกกำหนดไว้สำหรับไดกราฟ:ส่วนประกอบที่แข็งแกร่ง– หมาก กราฟย่อยที่แข็งแกร่งที่สุดส่วนประกอบด้านเดียว- สูงสุดโสดเกี่ยวกับ ronny subgraph และองค์ประกอบที่อ่อนแอเป็นกราฟย่อยที่อ่อนแอที่สุด

แนวคิดขององค์ประกอบที่แข็งแกร่งแสดงไว้ในรูปที่ 3.

° ° ° ° ° °

° ° ° °

° ° ° ° ° °

° ° °

° ° ° ° °

ข้าว. 3

กราฟที่เชื่อมต่อทางเดียวมีหกที่แข็งแกร่ง d กราฟที่มีเพียงส่วนประกอบที่แข็งแกร่งน ทามิ แนวคิดขององค์ประกอบทางเดียวมีภาพประกอบในทำนองเดียวกัน ในบันทึกนี้อี องค์ประกอบทางเดียวอีกครั้งจะเหมือนกับตัวกราฟเอง ถ้าเราเปลี่ยนทิศทางเอ ส่วนโค้ง เช่น ไปอีกด้านหนึ่ง เราก็ได้กราฟอ่อนที่มีด้านเดียวสองด้านเกี่ยวกับ ส่วนประกอบหน้าผากส่วนหนึ่งเกิดจากจุดยอดและอีกส่วนหนึ่งเกิดจากveยางอาร์.

สำหรับกราฟที่ไม่มีทิศทาง เราจะกำหนดจุดยอดของกราฟนั้นว่า bin R สัมพันธ์ สมมติว่ามีการเชื่อมโยงลูกโซ่กับ ความสัมพันธ์นี้คือเอ ให้คุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และทรานสซิชัน กล่าวคือ เกี่ยวกับ t การสวมใส่ที่เท่าเทียมกัน มันแยกชุดของจุดยอดออกเป็นคลาสที่ไม่ตัดกัน: จุดยอดสองจุดจากคลาสเดียวกันมีค่าเท่ากัน กล่าวคือ มีจุดยอดในกราฟที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้งสอง จุดยอดจากคลาสต่างกันไม่มีจุดยอดเช่นนี้ ตั้งแต่สิ้นสุดยู หากขอบสัมพันธ์กัน ชุดของขอบของกราฟจะถูกแบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่ตัดกัน โดยที่ชุดของขอบทั้งหมดที่มีจุดสิ้นสุดของกราฟแสดงด้วย .

กราฟเชื่อมต่อกันและเพิ่มเป็นกราฟ กราฟเหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบการเชื่อมต่อกราฟ. ตัวเลขเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขอีกอย่างหนึ่งของกราฟ สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อ ถ้ากราฟถูกตัดการเชื่อมต่อ

หากกราฟที่ระบุไม่ได้เชื่อมต่อและแบ่งออกเป็นหลายองค์ประกอบ ตามกฎแล้ว การแก้ปัญหาของคำถามเกี่ยวกับกราฟนี้ สามารถลดเหลือการศึกษาองค์ประกอบแต่ละรายการที่เชื่อมต่อกัน ดังนั้น ในกรณีส่วนใหญ่ มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะถือว่ากราฟที่ให้มาเชื่อมต่อกัน

เส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี และศูนย์กลางกราฟ

สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อ เรากำหนดระยะทาง ระหว่างจุดยอดทั้งสองกับความยาวของห่วงโซ่ที่สั้นที่สุดที่เชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้และแสดงโดย ความยาวของโซ่คือจำนวนขอบที่ประกอบเป็นโซ่ ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคุณป้อนน ระยะนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของตัวชี้วัด:

2) ;

3) .

กำหนดระยะทางจากจุดยอดแต่ละจุดของกราฟไปยังจุดยอดที่ห่างจากจุดนั้นมากที่สุด

ซึ่งถูกเรียกว่าความเบี้ยว. เห็นได้ชัดว่า ความเยื้องศูนย์กลางของจุดยอดทั้งหมดในกราฟสมบูรณ์มีค่าเท่ากับหนึ่ง และสำหรับจุดยอดของวัฏจักรธรรมดา - .

ความเยื้องศูนย์สูงสุดเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง กราฟและขั้นต่ำ -รัศมี กราฟ. ในกราฟแบบเต็มที่เรามี และในวงจรง่ายๆ - .

จุดยอดเรียกว่าศูนย์กลางถ้า กราฟอาจมีหลายตัวข จุดยอดดังกล่าว และในบางกราฟ จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดศูนย์กลาง ในสายโซ่ธรรมดาที่มีจุดยอดเป็นจำนวนคี่ มีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียวและมีจำนวนจุดคู่กับ มีจุดยอดสองจุดดังกล่าว ในกราฟที่สมบูรณ์และสำหรับวัฏจักรอย่างง่าย จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดศูนย์กลาง เซตของจุดยอดตรงกลางเรียกว่าศูนย์กลางของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี และศูนย์กลางของกราฟที่แสดงในรูปที่ 4.

° °

° ° °

° °

ข้าว. 4.

เพื่อแก้ปัญหานี้ สะดวกในการคำนวณล่วงหน้าเมทริกซ์ระยะทางระหว่างยอด ไมล์นับ ในกรณีนี้ มันจะเป็นเมทริกซ์ขนาด ซึ่งระยะห่างจากจุดยอดถึงจุดยอดอยู่ในตำแหน่ง:

สำหรับแต่ละแถวของเมทริกซ์ เราจะหาองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดและเขียนลงไปด้วยเอ วาจากเส้นประ ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟ ค่าที่น้อยที่สุดคือ pเอ ไดอัสของกราฟ จุดศูนย์กลางของกราฟเกิดจากจุดยอดตรงกลางและ

แนวความคิดของจุดยอดตรงกลางและจุดศูนย์กลางของกราฟปรากฏขึ้นเกี่ยวกับปัญหาของการมองโลกในแง่ดีและ ที่ตั้งจุดบริการสาธารณะขนาดเล็ก เช่น โรงพยาบาล แผนกดับเพลิง สถานีบริการสาธารณะ ฯลฯ เมื่อสิ่งสำคัญคือต้องลดขนาดและ ระยะทางที่มากขึ้นจากจุดใด ๆ ของเครือข่ายใดไปยังจุดบริการที่ใกล้ที่สุดนียา

เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงและการเข้าถึงได้

เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงกำหนดไว้ดังนี้

ชุดของจุดยอดกราฟที่เข้าถึงได้จากจุดยอดที่กำหนดประกอบด้วยองค์ประกอบที่องค์ประกอบที่ th ในเมทริกซ์คือ 1 ชุดนี้สามารถแสดงเป็น

เมทริกซ์ความสามารถในการตอบโต้ได้ (ความสามารถในการเข้าถึงผกผัน) กำหนด เป็นดังนี้:

ในทำนองเดียวกันกับการสร้างชุดที่เข้าถึงได้ คุณสามารถสร้างชุดได้เกี่ยวกับ ท่าทางโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

จากคำจำกัดความว่าคอลัมน์ที่ - ของเมทริกซ์ตรงกับแถวที่ - ของ ma t นั่นคือ เมทริกซ์ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ที่ไหน

ตัวอย่าง 2 ค้นหาเมทริกซ์ของความสามารถในการเข้าถึงและการเข้าถึงไม่ได้สำหรับกราฟ ฯลฯและ แสดงในรูป 5.

ข้าว. 5.

ให้เรากำหนดชุดความสามารถในการเข้าถึงสำหรับจุดยอดกราฟ:

ดังนั้น เมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงและการเข้าถึงกลับมีรูปแบบดังนี้:

เนื่องจากเป็นเซตของจุดยอดดังกล่าว ซึ่งแต่ละอันเป็นของเส้นทางที่ไปจากไปอย่างน้อยหนึ่งเส้นทาง จุดยอดของเซตนี้จึงเรียกว่ามีความจำเป็นหรือโอนไม่ได้ เกี่ยวกับจุดยอดปลายและ. จุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดเรียกว่าไม่สำคัญหรือซ้ำซ้อน เนื่องจากการลบไม่ส่งผลต่อเส้นทางจากไปยัง

คุณยังสามารถกำหนดเมทริกซ์ถูก จำกัด ความสามารถในการเข้าถึงและเข้าถึงไม่ได้และ สะพาน หากเราต้องการความยาวของเส้นทางไม่เกินจำนวนที่กำหนด จากนั้นจะเป็นขอบเขตบนของความยาวของเส้นทางที่อนุญาต

กราฟบอกว่าเป็นสกรรมกริยา ถ้าจากการมีอยู่ของส่วนโค้งและร่องรอยที่ มีการดำรงอยู่ของส่วนโค้งการปิดสกรรมกริยากราฟคือกราฟ โดยที่ชุดของส่วนโค้งต่ำสุดที่เป็นไปได้ซึ่งจำเป็นสำหรับกราฟที่จะถ่ายทอด เป็นที่ชัดเจนว่าเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึงของกราฟเกิดขึ้นพร้อมกับเมทริกซ์ส่วนต่อประสานของกราฟ หากเราใส่หน่วยบนเส้นทแยงมุมหลักในเมทริกซ์

กราฟความสามารถในการเข้าถึง

หนึ่งในคำถามแรกที่เกิดขึ้นในการศึกษากราฟคือคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นทางระหว่างจุดยอดที่กำหนดหรือทุกคู่ คำตอบสำหรับคำถามนี้คือความสัมพันธ์ข้างต้นของความสามารถในการเข้าถึงที่จุดยอดของกราฟ G=(V,E): จุดยอด w สามารถเข้าถึงได้จากจุดยอด v ถ้า v = w หรือมีเส้นทางจาก v ถึง w ใน G กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ในการเข้าถึงได้คือการปิดสะท้อนและสกรรมกริยาของความสัมพันธ์ E สำหรับกราฟที่ไม่มีทิศทาง ความสัมพันธ์นี้มีความสมมาตรด้วย ดังนั้น เป็นความสัมพันธ์ที่สมมูลบนชุดจุดยอด V ในกราฟที่ไม่มีทิศทาง คลาสเทียบเท่าความสามารถในการเข้าถึงได้คือ เรียกว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ สำหรับกราฟแบบกำหนดทิศทาง โดยทั่วไป ความสามารถในการเข้าถึงไม่จำเป็นต้องเป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตร ความสามารถในการเข้าถึงร่วมกันนั้นสมมาตร

คำจำกัดความ 9.8จุดยอด v และ w ของกราฟกำกับ G=(V,E) กล่าวกันว่าสามารถเข้าถึงได้ร่วมกัน ถ้า G มีเส้นทางจาก v ถึง w และเส้นทางจาก w ถึง v

เป็นที่ชัดเจนว่าความสัมพันธ์ของความสามารถในการเข้าถึงซึ่งกันและกันนั้นสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา ดังนั้นความเท่าเทียมกันบนชุดจุดยอดของกราฟ คลาสความเท่าเทียมกันในส่วนที่เกี่ยวกับความสามารถในการเข้าถึงซึ่งกันและกันเรียกว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาหรือ ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อเป็นสองเท่ากราฟ.

ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการสร้างความสัมพันธ์ในการเข้าถึงก่อน ให้เรากำหนดกราฟความสามารถในการเข้าถึงของกราฟแต่ละกราฟ (บางครั้งเรียกว่ากราฟการปิดสกรรมกริยา) ซึ่งขอบจะสอดคล้องกับเส้นทางของกราฟดั้งเดิม

คำจำกัดความ 9.9.ให้ G=(V,E) เป็นกราฟกำกับ กราฟความสามารถในการเข้าถึง G * =(V,E *) สำหรับ G มีจุดยอดชุดเดียวกัน V และชุดขอบ E * =( (u, v) | ในกราฟ G จุดยอด v สามารถเข้าถึงได้จากจุดยอด ยู).

ตัวอย่างที่ 9.3พิจารณากราฟ G จากตัวอย่างที่ 9.2

ข้าว. 9.2.เคานต์จี

จากนั้น เราสามารถตรวจสอบว่ากราฟความสามารถในการเข้าถึง G* สำหรับ G มีลักษณะดังนี้ (ขอบลูปใหม่ที่แต่ละจุดยอด 1-5 ไม่แสดง):

ข้าว. 9.3.นับ G*

จะสร้างกราฟ G * จากกราฟ G ได้อย่างไร? วิธีหนึ่งคือการกำหนดจุดยอดแต่ละจุดของกราฟ G ว่าชุดของจุดยอดที่สามารถเข้าถึงได้จากจุดนั้นโดยการเพิ่มจุดยอดที่สามารถเข้าถึงได้จากจุดนั้นตามลำดับโดยเส้นทางที่มีความยาว 0, 1, 2 และอื่นๆ

เราจะพิจารณาวิธีอื่นโดยพิจารณาจากการใช้เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน AG ของกราฟ G และการดำเนินการบูลีน ให้เซตของจุดยอด V=(v 1 , … , v n ) จากนั้นเมทริกซ์ AG คือเมทริกซ์บูลีน n × n

ด้านล่างนี้ เพื่อรักษาความคล้ายคลึงกันกับการดำเนินการตามปกติของเมทริกซ์ เราจะใช้สัญกรณ์ "เลขคณิต" สำหรับการดำเนินการบูลีน: โดย + เราจะแสดงถึง disjunction และโดย · - สันธาน

แสดงโดย E n เมทริกซ์เอกลักษณ์ของขนาด n × n มาใส่กัน . ให้ขั้นตอนของเราในการสร้าง G * ตามข้อความต่อไปนี้

เล็มมา 9.2.ปล่อยให้เป็น แล้ว

การพิสูจน์ให้เราดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำบนเค

พื้นฐานสำหรับ k=0 และ k=1 คำสั่งนั้นเป็นจริงตามคำจำกัดความและ

ขั้นตอนการเหนี่ยวนำให้บทแทรกนั้นถูกต้องสำหรับ k ให้เราแสดงให้เห็นว่ามันยังคงใช้ได้สำหรับ k + 1 เช่นกัน ตามคำจำกัดความเรามี:

สมมติว่าในกราฟ G จาก v i ถึง v j มีเส้นทางที่มีความยาว k+1 พิจารณาเส้นทางที่สั้นที่สุดเหล่านี้ ถ้าความยาวของมันคือ k ดังนั้นโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ a_(ij)^((k))=1 นอกจากนี้ a jj (1) =1 ดังนั้น a ij (k) a jj (1) =1 และ a ij (k+1) =1 หากความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก v i ถึง v j เท่ากับ k+1 ให้ v r เป็นจุดยอดสุดท้าย จากนั้นจาก v i ถึง v r จะมีเส้นทางยาว k และโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ a ir (k) =1 ตั้งแต่ (v r ,v j) E แล้ว a_(rj)^((1))=1 ดังนั้น ir (k) a rj (1) =1 และ a ij (k+1) =1

ในทางกลับกัน ถ้า ij (k+1) =1 ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่ง r ผลรวม a ir (k) a rj (1) จะเท่ากับ 1 หากนี่คือ r=j ดังนั้น a ij (k) = 1 และโดยสมมติฐานอุปนัย G มีเส้นทางจาก v i ถึง v j ของความยาว k ถ้า r j แล้ว a ir (k) =1 และ rj (1) =1 ซึ่งหมายความว่า G มีเส้นทางจาก v i ถึง v r ของความยาว k และขอบ (v r ,v j) E เมื่อรวมพวกมันเข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นทางจาก v i ถึง v j ที่มีความยาว k+1

จากเล็มมาส 9.1 และ 9.2 เราได้รับโดยตรง

ผลที่ 1ให้ G=(V,E) เป็นกราฟกำกับที่มีจุดยอด n จุด และ G * กราฟความสามารถในการเข้าถึง แล้ว A_(G*) = . การพิสูจน์.เล็มมา 5.1 บอกเป็นนัยว่าหาก G มีเส้นทางจาก u ถึง v u มันก็มีเส้นทางง่ายๆ จาก u ถึง v ที่มีความยาว n-1 และโดยเล็มมา 5.2 เส้นทางดังกล่าวทั้งหมดจะแสดงในเมทริกซ์

ดังนั้น ขั้นตอนการสร้างเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน AG* ของกราฟความสามารถในการเข้าถึงสำหรับ G จึงลดลงจนทำให้เมทริกซ์มีกำลังเท่ากับ n-1 ให้เราทำข้อสังเกตเพื่อทำให้ขั้นตอนนี้ง่ายขึ้น

โดยที่ k เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด โดยที่ 2 k n

r ดังกล่าวพบว่า a ir = 1 และ a rj =1 แล้วผลรวมทั้งหมด a ij (2) =1 ดังนั้น เงื่อนไขที่เหลือสามารถละเว้นได้

ตัวอย่างที่ 9.3ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างการคำนวณเมทริกซ์ของกราฟความสามารถในการเข้าถึง A G* สำหรับกราฟ G ที่นำเสนอใน fig.9.2. ในกรณีนี้

เนื่องจาก G มีจุดยอด 6 จุด ดังนั้น ลองคำนวณเมทริกซ์นี้:

และ (ความเท่าเทียมกันสุดท้ายนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ) ดังนั้น,

อย่างที่คุณเห็น เมทริกซ์นี้กำหนดกราฟที่แสดงใน fig.9.3.

ความสามารถในการเข้าถึงร่วมกัน ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันแน่นหนา และฐานกราฟ

โดยการเปรียบเทียบกับกราฟความสามารถในการเข้าถึง เราจะกำหนดกราฟของความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง

คำจำกัดความ 9.10ให้ G=(V,E) เป็นกราฟกำกับ กราฟที่เข้าถึงได้อย่างมาก G * * =(V,E * *) สำหรับ G มีจุดยอดชุดเดียวกัน V และชุดขอบ E * * =( (u, v) | ใน G จุดยอด v และ u อยู่ร่วมกัน เข้าถึงได้)

จากเมทริกซ์ของกราฟความสามารถในการเข้าถึง มันง่ายที่จะสร้างเมทริกซ์ของกราฟความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง อันที่จริง มันเป็นไปตามคำจำกัดความของความสามารถในการเข้าถึงได้โดยตรงและความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่งซึ่งสำหรับทุกคู่ (i,j), 1 i,j n ค่าขององค์ประกอบจะเท่ากับ 1 หากและต่อเมื่อองค์ประกอบทั้งสอง A G* (i, j) และ A G* (j, i) เท่ากับ 1 นั่นคือ

จากเมทริกซ์ เราสามารถแยกส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาของกราฟ G ได้ดังนี้

ให้เราใส่จุดยอด v 1 ในองค์ประกอบ K 1 และจุดยอดทั้งหมด v j ที่ A_(G_*^*)(1,j) = 1

ให้ส่วนประกอบ K 1 , …, K i และ v k ถูกสร้างขึ้นแล้ว - นี่คือจุดยอดที่มีจำนวนขั้นต่ำที่ยังไม่ได้รวมอยู่ในส่วนประกอบ จากนั้นเราใส่องค์ประกอบ K_(i+1) จุดยอด v k และจุดยอดดังกล่าวทั้งหมด v j ,

ว่า A_(G_*^*)(k,j) = 1

ทำซ้ำขั้นตอนที่ (2) จนกว่าจุดยอดทั้งหมดจะถูกกระจายระหว่างส่วนประกอบ

ในตัวอย่างของเรา สำหรับกราฟ G บน รูปที่ 2โดยเมทริกซ์เราได้รับเมทริกซ์ต่อไปนี้ของกราฟของความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง

จากขั้นตอนที่อธิบายข้างต้น เราพบว่าจุดยอดของกราฟ G แบ่งออกเป็น 4 องค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา: K 1 = (v 1 , v 2 , v 3 ), \ K 2 =( v 4 ), \ K 3 = ( v 5 ), \ K 4 =( v 6 ) ในชุดของส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนา เรายังกำหนดความสัมพันธ์ในการเข้าถึงได้

คำจำกัดความ 9.11ให้ K และ K" เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนาของกราฟ G ส่วนประกอบ K เข้าถึงได้จากส่วนประกอบ K^\prime ถ้า K= K" หรือมีสองจุดยอด u K และ v K" เพื่อให้คุณสามารถเข้าถึงได้จาก v K ทำได้โดยเคร่งครัดจาก K^\prime ถ้า K K" และ K สามารถเข้าถึงได้จาก K" องค์ประกอบ K เรียกว่า ขั้นต่ำหากไม่สามารถเข้าถึงได้จากส่วนประกอบใด ๆ อย่างเคร่งครัด

เนื่องจากจุดยอดทั้งหมดในองค์ประกอบเดียวสามารถเข้าถึงได้ร่วมกัน จึงง่ายที่จะเห็นว่าความสัมพันธ์ของความสามารถในการเข้าถึงและความสามารถในการเข้าถึงที่เข้มงวดของส่วนประกอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดยอด u K และ v K"

คุณลักษณะของความสามารถในการเข้าถึงที่เข้มงวดดังต่อไปนี้สามารถอนุมานได้ง่ายจากคำจำกัดความ

เล็มมา 9.3.ความสัมพันธ์ในการเข้าถึงที่เข้มงวดคือความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อบางส่วน กล่าวคือ มันเป็นสารต้านการสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยา

ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงเป็นกราฟกำกับที่มีจุดยอดเป็นส่วนประกอบ และขอบ (K", K) หมายความว่า K สามารถเข้าถึงได้จาก K อย่างเคร่งครัด" บน ข้าว. 9.4กราฟของส่วนประกอบนี้แสดงสำหรับกราฟ G ที่พิจารณาข้างต้น

ข้าว. 9.4.

ในกรณีนี้ มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุด K 2 อยู่หนึ่งองค์ประกอบ

ในหลาย ๆ แอปพลิเคชัน กราฟกำกับคือเครือข่ายการกระจายของทรัพยากรบางอย่าง เช่น ผลิตภัณฑ์ ผลิตภัณฑ์ ข้อมูล ฯลฯ ในกรณีเช่นนี้ ปัญหามักเกิดจากการหาจำนวนจุดต่ำสุด (จุดยอด) ซึ่งทรัพยากรนี้สามารถส่งไปยังจุดใดก็ได้ในเครือข่าย

คำจำกัดความ 9.12ให้ G=(V,E) เป็นกราฟกำกับ เซตย่อยของจุดยอด W V เรียกว่า กำเนิดหากจากจุดยอดของ W เป็นไปได้ที่จะไปถึงจุดยอดใดๆ ของกราฟ เซตย่อยของจุดยอด W V เรียกว่าฐานกราฟ หากกำลังสร้าง แต่ไม่มีส่วนย่อยของตัวเองกำลังสร้าง

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ช่วยให้ค้นหาฐานทั้งหมดของกราฟได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ทฤษฎีบท 9.1.ให้ G=(V,E) เป็นกราฟกำกับ เซตย่อยของจุดยอด W V เป็นฐานของ G ถ้าหากว่ามีจุดยอดหนึ่งจุดจากแต่ละองค์ประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาขั้นต่ำของ G และไม่มีจุดยอดอื่นๆ

การพิสูจน์สังเกตก่อนว่าแต่ละจุดยอดของกราฟสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดที่เป็นขององค์ประกอบที่น้อยที่สุด ดังนั้น ชุดของจุดยอด W ที่มีจุดยอดหนึ่งจุดจากส่วนประกอบที่น้อยที่สุดแต่ละส่วนจึงกำลังสร้าง และเมื่อจุดยอดใดๆ ถูกลบออกจากจุดนั้น จุดยอดจะไม่เป็นเช่นนั้น เนื่องจากจุดยอดจากองค์ประกอบขั้นต่ำที่เกี่ยวข้องกันจะไม่สามารถเข้าถึงได้ ดังนั้น W จึงเป็นฐาน

ในทางกลับกัน หาก W เป็นฐาน จะต้องมีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดจากแต่ละองค์ประกอบที่น้อยที่สุด มิฉะนั้น จุดยอดของส่วนประกอบที่น้อยที่สุดนั้นจะไม่สามารถเข้าถึงได้ W ไม่สามารถมีจุดยอดอื่นใดได้ เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดที่รวมไว้แล้ว

ทฤษฎีบทนี้บอกเป็นนัยถึงขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการสร้างฐานใดฐานหนึ่งของกราฟ G

ค้นหาส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาทั้งหมดของ G

กำหนดลำดับของพวกมันและเลือกส่วนประกอบที่น้อยที่สุดตามคำสั่งนี้

สร้างฐานของกราฟหนึ่งฐานหรือทั้งหมดโดยเลือกจุดยอดหนึ่งจุดจากองค์ประกอบขั้นต่ำแต่ละส่วน

ตัวอย่างที่ 9.5เรากำหนดฐานทั้งหมดของกราฟกำกับ G ที่แสดงใน fig.9.5.

ข้าว. 9.5.เคานต์จี

ในระยะแรก เราพบส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาของ G:

ในขั้นตอนที่สอง เราสร้างกราฟความสามารถในการเข้าถึงที่เข้มงวดบนส่วนประกอบเหล่านี้

ข้าว. 9.6.กราฟความสัมพันธ์ความสามารถในการเข้าถึงบนส่วนประกอบ G

เรากำหนดส่วนประกอบขั้นต่ำ: K 2 = ( b ), K 4 =( d, e, f, g) และ K 7 = ( r)

สุดท้าย เราแสดงรายการฐานทั้งสี่ของ G: B 1 = ( b, d, r), B 2 = ( b, e, r), B 3 = ( b, f, r) และ B 1 = ( b, g , ร) .

งาน

ปัญหา 9.1.พิสูจน์ว่าผลรวมของดีกรีของจุดยอดทั้งหมดของกราฟกำกับตามอำเภอใจเป็นจำนวนคู่

ปัญหานี้มีการตีความที่เป็นที่นิยม: เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนการจับมือทั้งหมดที่ผู้ที่มางานปาร์ตี้มีการแลกเปลี่ยนกันเสมอ

ปัญหา 9.2แสดงรายการกราฟที่ไม่มีทิศทางแบบ non-isomorphic ทั้งหมดที่มีจุดยอดสูงสุดสี่จุด

ปัญหา 9.3พิสูจน์ว่ากราฟที่เชื่อมต่อแบบไม่มีทิศทางยังคงเชื่อมต่ออยู่หลังจากลบขอบบางส่วนออกแล้ว ↔ ขอบนี้อยู่ในวงจรบางวงจร

ปัญหา 9.4พิสูจน์ว่ากราฟเชื่อมต่อแบบไม่มีทิศทางที่มีจุดยอด n จุด

มีอย่างน้อย n-1 ขอบ

หากมีขอบ n-1 มากกว่า แสดงว่ามีอย่างน้อยหนึ่งรอบ

ปัญหา 9.5.พิสูจน์ว่าในกลุ่มคน 6 คนมีคนรู้จักสามคนหรือคนแปลกหน้าสามคน

ปัญหา 9.6.พิสูจน์ว่ากราฟไม่ระบุทิศทาง G=(V,E) เชื่อมต่อ ↔ สำหรับแต่ละพาร์ติชัน V= V 1 V 2 ที่ไม่ว่างเปล่า V 1 และ V 2 มีขอบเชื่อมต่อ V 1 กับ V 2

ปัญหา 9.7พิสูจน์ว่าหากมีจุดยอดสองจุดที่มีดีกรีคี่ในกราฟที่ไม่ระบุทิศทาง จุดยอดทั้งสองจุดจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง

ปัญหา 9.8ให้ G=(V,E) เป็นกราฟที่ไม่มีทิศทางด้วย |E|< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

ปัญหา 9.9.พิสูจน์ว่าเส้นทางง่ายๆ สองเส้นทางที่มีความยาวสูงสุดในกราฟที่ไม่มีทิศทางที่เชื่อมต่อมีจุดยอดร่วม

ปัญหา 9.10.ให้กราฟที่ไม่มีทิศทางไม่มีลูป G=(V,E) มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อ k พิสูจน์แล้ว

ปัญหา 9.11กำหนดกราฟความสามารถในการเข้าถึงสำหรับ

กราฟที่มีจุดยอด n จุดและชุดขอบว่าง

กราฟที่มีจุดยอด n จุด: V= (v 1 ,… , v n ) ซึ่งมีขอบเป็นวงจร:

ปัญหา 9.12.เมทริกซ์กราฟความสามารถในการเข้าถึงในการประมวลผลสำหรับกราฟ

และสร้างกราฟความสามารถในการเข้าถึงที่เกี่ยวข้อง ค้นหาฐานทั้งหมดของกราฟ G

ปัญหา 9.13สร้างเพื่อมอบให้กับ ข้าว. 9.7กราฟกำกับ G 1 =(V,E) เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน A G1 , เมทริกซ์อุบัติการณ์ B G1 และรายการที่อยู่ติดกัน คำนวณเมทริกซ์ความสามารถในการเข้าถึง A G1* และสร้างกราฟความสามารถในการเข้าถึง G 1 * ที่สอดคล้องกัน

ข้าว. 9.7.

ต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางและทิศทาง

ต้นไม้เป็นหนึ่งในคลาสของกราฟที่น่าสนใจที่สุดที่ใช้แทนโครงสร้างลำดับชั้นประเภทต่างๆ

คำจำกัดความ 10.1.กราฟแบบไม่มีทิศทางจะเรียกว่าแผนภูมิหากมีการเชื่อมต่อและไม่มีวัฏจักร

คำจำกัดความ 10.2กราฟกำกับ G=(V,E) เรียกว่าต้นไม้ (กำกับ) if

บน ข้าว. 10.1ตัวอย่างของต้นไม้ที่ไม่มีทิศทาง G 1 และต้นไม้ที่มีทิศทาง G 2 จะแสดงขึ้น โปรดทราบว่าต้นไม้ G 2 ได้มาจาก G 1 โดยการเลือกจุดยอด c เป็นราก และปรับแนวขอบทั้งหมดในทิศทาง "ห่างจากราก"

ข้าว. 10.1.ต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางและกำกับทิศทาง

นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ พิสูจน์ตัวเองตามคำยืนยันต่อไปนี้เกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางและต้นไม้ที่มีทิศทาง

เล็มมา 10.1.หากอยู่ในต้นไม้ที่ไม่มีทิศทาง G=(V,E) เราเลือกจุดยอดโดยพลการ v V เป็นรูตและจัดแนวขอบทั้งหมดในทิศทาง "จากราก" เช่น ทำให้ v เป็นจุดเริ่มต้นของเหตุการณ์ที่ขอบทั้งหมดถึงจุดนั้น จุดยอดที่อยู่ติดกับ v - จุดเริ่มต้นของทั้งหมดที่ยังไม่พุ่งตรงไปที่ขอบ v เป็นต้น จากนั้นกราฟกำกับที่เป็นผลลัพธ์ G" จะเป็นแผนผังต้นไม้

ต้นไม้ที่ไม่มีทิศทางและกำกับทิศทางมีลักษณะที่เทียบเท่ากันหลายประการ

ทฤษฎีบท 10.1.ให้ G=(V,E) เป็นกราฟที่ไม่มีทิศทาง จากนั้นเงื่อนไขต่อไปนี้จะเท่ากัน

จีเป็นต้นไม้

สำหรับจุดยอดสองจุดใดๆ ใน G จะมีเส้นทางเฉพาะที่เชื่อมต่อกัน

G เชื่อมต่ออยู่ แต่เมื่อขอบใดๆ ถูกลบออกจาก E ขอบจะไม่เชื่อมต่อ

G เชื่อมต่อแล้วและ |E| = |วี| -หนึ่ง.

G เป็น acyclic และ |E| = |วี| -หนึ่ง.

G เป็น acyclic แต่การเพิ่มขอบใด ๆ ให้กับ E จะสร้างวงจร

การพิสูจน์(1) (2): หากจุดยอดสองจุดใน G เชื่อมต่อกันด้วยสองเส้นทาง แน่นอนว่าจะต้องมีวงจรใน G แต่สิ่งนี้ขัดกับคำจำกัดความของต้นไม้ใน (1)

(2) (3): หาก G เชื่อมต่ออยู่ แต่ E ยังคงเชื่อมต่ออยู่เมื่อมีการลบขอบ (u,v) ออก แสดงว่ามีเส้นทางระหว่าง u และ v ที่ไม่มีขอบนี้ แต่แล้ว G มีอย่างน้อยสองเส้นทางที่เชื่อมต่อ u และ v ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข (2)

(3) (4): ให้บริการแก่ผู้อ่าน (ดูปัญหา 9.4)

(4) (5): หาก G มีวงจรและเชื่อมต่ออยู่ เมื่อถอดขอบใดๆ ออกจากวงจร การเชื่อมต่อไม่ควรขาด แต่ขอบยังคงอยู่ |E|= V -2 และโดยปัญหา 9.4(a ) กราฟที่เชื่อมต่อต้องมีอย่างน้อย V -1 ซี่โครง ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นแสดงให้เห็นว่าไม่มีวัฏจักรใน G และเงื่อนไข (5) เป็นที่พอใจ

(5) (6): สมมติว่าการเพิ่มขอบ (u,v) ให้กับ E ไม่ได้ส่งผลให้เกิดวงจร จากนั้นจุดยอด u และ v ใน G จะอยู่ในองค์ประกอบที่เชื่อมต่อต่างกัน เนื่องจาก |E|= V -1 ดังนั้นหนึ่งในองค์ประกอบเหล่านี้ ปล่อยให้มันเป็น (V 1 ,E 1) จำนวนขอบและจำนวนจุดยอดเท่ากัน: |E 1 |=|V 1 |. แต่แล้วก็มีวงจร (ดูปัญหา 9.4 (b)) ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า G เป็นวงกลม

(6) (1): หากไม่ได้เชื่อมต่อ G ก็จะมีจุดยอดสองจุด u และ v จากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อต่างกัน จากนั้นการเพิ่มขอบ (u,v) ให้กับ E จะไม่ทำให้เกิดวัฏจักรซึ่งขัดแย้งกับ (6) ดังนั้น G จึงเชื่อมต่อและเป็นต้นไม้

สำหรับต้นไม้โดยตรง มักจะสะดวกที่จะใช้คำจำกัดความอุปนัยต่อไปนี้

คำจำกัดความ 10.3เรากำหนดโดยการเหนี่ยวนำคลาสของกราฟกำกับที่เรียกว่าต้นไม้ ในเวลาเดียวกัน เรากำหนดจุดยอดที่เลือกไว้ - รูทสำหรับแต่ละรายการ

ข้าว. 10.2แสดงให้เห็นคำจำกัดความนี้

ข้าว. 10.2.คำนิยามอุปนัยของต้นไม้โดยตรง

ทฤษฎีบท 10.2คำจำกัดความของต้นไม้กำกับ 10.2 และ 10.3 เทียบเท่า

การพิสูจน์ให้กราฟ G=(V,E) เป็นไปตามเงื่อนไขของคำจำกัดความ 10.2 ให้เราแสดงโดยการเหนี่ยวนำจำนวนจุดยอด |V| that

ถ้า |V|=1 จุดยอดเดียว v V คือรากของต้นไม้ตามคุณสมบัติ (1) นั่นคือ ไม่มีขอบในกราฟนี้: E = . แล้ว .

สมมติว่ากราฟใดๆ ที่มีจุดยอด n จุดซึ่งตรงตามข้อกำหนด 10.2 รวมอยู่ใน ให้กราฟ G=(V,E) ที่มีจุดยอด (n+1)-ตรงตามเงื่อนไขของคำจำกัดความ 10.2 ตามเงื่อนไข (1) มีจุดยอดรูต r 0 ให้ขอบ k โผล่ออกมาจาก r 0 และนำไปสู่จุดยอด r 1 , … , r k (k 1) แสดงโดย G i ,(i=1, …, k) กราฟที่มีจุดยอด V i =( v V|v \textit( เข้าถึงได้จาก )r i ) และขอบ E i E เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน มองเห็นได้ง่าย ที่ G i เป็นไปตามเงื่อนไขเงื่อนไขของคำจำกัดความ 10.2 อันที่จริง ri ไม่มีขอบนั่นคือ จุดยอดนี้เป็นรากของ G i จุดยอดแต่ละจุดจาก V i มีขอบเดียว เช่นเดียวกับ G ถ้า v V i สามารถเข้าถึงได้จาก root r i โดยนิยามของกราฟ G i ตั้งแต่ |วีไอ | n แล้วตามสมมติฐานอุปนัย จากนั้นกราฟ G ได้มาจากกฎอุปนัย (2) ของคำจำกัดความ 10.3 จากต้นไม้ G 1 , …, G k และดังนั้นจึงเป็นของคลาส

⇐ หากกราฟบางกราฟ G=(V,E) เป็นของคลาส ดังนั้นการปฏิบัติตามเงื่อนไข (1)-(3) ของคำจำกัดความ 10.2 สำหรับกราฟนั้นสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการเหนี่ยวนำในคำจำกัดความ 10.2 เราฝากสิ่งนี้ให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัด

มีคำศัพท์ที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับต้นไม้ที่เน้นต้นไม้ซึ่งมาจากสองแหล่ง: พฤกษศาสตร์และสาขาความสัมพันธ์ในครอบครัว

รากคือจุดยอดเดียวที่ไม่มีขอบ ใบไม้คือจุดยอดที่ไม่มีขอบ เส้นทางจากรากถึงใบเรียกว่ากิ่งก้านของต้นไม้ ความสูงของต้นไม้คือความยาวสูงสุดของกิ่งก้าน ความลึกของจุดยอดคือความยาวของเส้นทางจากรากถึงจุดยอดนั้น สำหรับจุดยอด v V กราฟย่อยของต้นไม้ T=(V,E) ซึ่งรวมถึงจุดยอดทั้งหมดที่เข้าถึงได้จาก v และขอบจาก E ที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน จะสร้างแผนผังย่อย T v ของต้นไม้ T ที่มีรูต v (ดู ปัญหาที่ 10.3 ). ความสูงของ v คือความสูงของต้นไม้ T v . กราฟที่เป็นการรวมตัวของต้นไม้ที่ไม่ตัดกันหลายต้นเรียกว่าป่า

ถ้าขอบนำจากจุดยอด v ไปยังจุดยอด w จะเรียกว่า v พ่อ w และ w - ลูกชาย v (เมื่อเร็ว ๆ นี้มีการใช้คำศัพท์ที่ไม่อาศัยเพศในวรรณคดีภาษาอังกฤษ: parent - child) เป็นไปตามคำจำกัดความของต้นไม้โดยตรงที่จุดยอดทุกต้นมีพ่อที่มีเอกลักษณ์เฉพาะนอกเหนือจากราก ถ้าเส้นทางนำจากจุดยอด v ไปยังจุดยอด w ดังนั้น v จะถูกเรียกว่าบรรพบุรุษของ w และ w จะถูกเรียกว่าเป็นทายาทของ v จุดยอดที่มีพ่อร่วมกันเรียกว่า พี่น้องหรือ น้องสาว.

เราแยกหมวดหมู่ของกราฟอีกหนึ่งกลุ่มที่สรุปแผนผังต้นไม้ - แบบวนซ้ำที่กำหนดทิศทาง กราฟที่มีป้ายกำกับดังกล่าวสองประเภทจะถูกใช้ด้านล่างเพื่อแสดงฟังก์ชันบูลีน กราฟเหล่านี้สามารถมีรากได้หลายราก - จุดยอดที่ไม่มีขอบ และแต่ละจุดยอดสามารถมีได้หลายขอบ และไม่ใช่จุดเดียว เช่นเดียวกับในต้นไม้

คอมพิวเตอร์ เทคโนโลยี, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โปรแกรม ... 2009 ของปีโรงเรียนประถมเป็นสถานที่ทดลอง บนการแนะนำของ Federal สถานะ ...

M ONITORING MEDIA ความทันสมัยของอาชีวศึกษา มีนาคม - สิงหาคม 2554

สรุป

ยูไนเต็ด สถานะข้อสอบ" บนทางเลือก": ข้อมูล คอมพิวเตอร์เทคโนโลยีชีววิทยาและวรรณคดี. โดยวิธีการนี้ ปีใช้... คำถาม“ผลการดำเนินการ โปรแกรมการพัฒนามหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติใน 2009 -2010 ปีที่". ...

โครงการพัฒนาเชิงกลยุทธ์ตเวียร์ 2011

โปรแกรม

ที่ 2009 ปี. สังเกตการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างในปี2010 ปีบนต่อ 2009 , ... อย่างมืออาชีพ – มุ่งเน้นภาษาต่างประเทศ”, “การศึกษาสมัยใหม่ เทคโนโลยี". ในแต่ละ โปรแกรมโมดูลการฝึกอบรมขั้นสูง " สถานะ ...

คำนิยาม: อนุญาต เป็นกราฟกำกับ กราฟความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง
สำหรับ มีจุดยอดมากมาย และขอบชุดต่อไป
ในคอลัมน์ ยอด และ เข้าถึงกันได้

ตามเมทริกซ์กราฟความสามารถในการเข้าถึง
ง่ายต่อการสร้างเมทริกซ์
กราฟของความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง อันที่จริง มันเป็นไปตามคำจำกัดความของความสามารถในการเข้าถึงได้โดยตรงและความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่งซึ่งสำหรับคู่ทั้งหมด
,
, ค่าองค์ประกอบ
เท่ากับ 1 ก็ต่อเมื่อทั้งสององค์ประกอบ
และ
เท่ากับ 1 กล่าวคือ

โดย matrix
เราสามารถแยกแยะส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาของกราฟได้ ด้วยวิธีต่อไปนี้:

ทำซ้ำขั้นตอนที่สองจนกว่าจุดยอดทั้งหมดจะถูกกระจายระหว่างส่วนประกอบต่างๆ

ในตัวอย่างของเราสำหรับกราฟ ตัวอย่าง 14.1. โดย matrix
เราได้รับเมทริกซ์ต่อไปนี้ของกราฟของความสามารถในการเข้าถึงที่แข็งแกร่ง

โดยใช้ขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น เราจะพบว่าจุดยอดของกราฟ แบ่งออกเป็น 4 ส่วนเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา:
,
,
,
. ในชุดของส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนา เรายังกำหนดความสัมพันธ์ในการเข้าถึงได้

คำนิยาม: ปล่อยให้เป็น
และ
เป็นองค์ประกอบที่เชื่อมโยงกันอย่างมากของกราฟ . ส่วนประกอบ
ทำได้จากส่วนประกอบ
, ถ้า
หรือมีสองจุดยอดดังกล่าว
และ
, อะไร เข้าถึงได้จาก .
ทำได้โดยเคร่งครัดจาก
, ถ้า
และ
เข้าถึงได้จาก
. ส่วนประกอบ
เรียกว่าน้อยที่สุดหากไม่สามารถเข้าถึงได้จากส่วนประกอบใด ๆ อย่างเคร่งครัด

เล็มมา: ความสัมพันธ์ในการเข้าถึงที่เข้มงวดคือความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อบางส่วน กล่าวคือ มันเป็นสารต้านการสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยา

ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงเป็นกราฟกำกับ จุดยอดที่เป็นส่วนประกอบ และขอบ
หมายความว่า
ทำได้โดยเคร่งครัดจาก
. กราฟส่วนประกอบสำหรับตัวอย่าง 14.1 แสดงอยู่ด้านล่าง

ในกรณีนี้มีองค์ประกอบขั้นต่ำหนึ่งองค์ประกอบ
.

คำนิยาม: ปล่อยให้เป็น
เป็นกราฟกำกับ เซตย่อยของจุดยอด
เรียกว่า กำเนิดถ้ามาจากจุดยอด
สามารถไปถึงจุดยอดใดก็ได้ของกราฟ เซตย่อยของจุดยอด
เรียกว่าฐานของกราฟหากมีการสร้าง แต่ไม่มีส่วนย่อยที่เหมาะสมของกราฟกำลังสร้าง

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ช่วยให้ค้นหาฐานทั้งหมดของกราฟได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ทฤษฎีบท: ปล่อยให้เป็น
เป็นกราฟกำกับ เซตย่อยของจุดยอด
เป็นฐาน ถ้าหากว่ามีจุดยอดหนึ่งจุดจากแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาที่สุด และไม่มีจุดยอดอื่นๆ

การพิสูจน์: พึงสังเกตว่าแต่ละจุดยอดของกราฟสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดที่เป็นขององค์ประกอบที่น้อยที่สุด ดังนั้น เซตของจุดยอด
มีการสร้างจุดยอดหนึ่งจุดจากแต่ละองค์ประกอบที่น้อยที่สุด และเมื่อจุดยอดใด ๆ ถูกลบออกจากจุดยอด จุดยอดจากองค์ประกอบขั้นต่ำที่เกี่ยวข้องจะไม่สามารถเข้าถึงได้ ดังนั้น
เป็นฐาน

ในทางกลับกัน ถ้า
เป็นฐาน ดังนั้นจะต้องมีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดจากส่วนประกอบที่น้อยที่สุดแต่ละส่วน มิฉะนั้น จุดยอดขององค์ประกอบที่น้อยที่สุดนั้นจะไม่สามารถเข้าถึงได้ ไม่มียอดอื่น
ไม่สามารถบรรจุได้ เนื่องจากแต่ละจุดสามารถเข้าถึงได้จากจุดยอดที่รวมไว้แล้ว