กราฟฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของข้อสอบ

สวัสดีเพื่อน! ในบทความนี้เราจะดูงานสำหรับแอนติเดริเวทีฟ งานเหล่านี้รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ แม้ว่าส่วนต่างๆ เอง - การสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ - ค่อนข้างกว้างขวางในหลักสูตรพีชคณิตและต้องการแนวทางที่รับผิดชอบในการทำความเข้าใจ แต่งานเองซึ่งรวมอยู่ใน เปิดธนาคารการมอบหมายงานทางคณิตศาสตร์จะง่ายมากในการสอบ Unified State และสามารถแก้ไขได้ในหนึ่งหรือสองขั้นตอน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญของแอนติเดริเวทีฟและโดยเฉพาะอย่างยิ่งความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัล ให้เราพิจารณารากฐานทางทฤษฎีโดยย่อ

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัล

สั้นๆ เกี่ยวกับอินทิกรัล เราสามารถพูดได้ว่า อินทิกรัลคือพื้นที่

คำจำกัดความ: ให้กราฟของฟังก์ชันบวก f ที่กำหนดบนเซ็กเมนต์นั้นอยู่บนระนาบพิกัด กราฟย่อย (หรือสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง) คือรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งเป็นเส้นตรง x = a และ x = b และแกน x

คำจำกัดความ: ให้ฟังก์ชันบวก f ถูกกำหนดไว้บนเซกเมนต์จำกัด อินทิกรัลของฟังก์ชัน f บนเซ็กเมนต์คือพื้นที่ของกราฟย่อย

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว F′(x) = f (x)เราจะสรุปอะไรได้บ้าง?

มันง่ายมาก เราต้องพิจารณาว่ามีจุดอยู่กี่จุด แผนภูมินี้โดยที่ F′(x) = 0 เรารู้ว่า ณ จุดที่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน x เรามาแสดงจุดเหล่านี้ในช่วงเวลา [–2;4]:

นี่คือจุดปลายสุดของฟังก์ชันที่กำหนด F (x) มีสิบคน

คำตอบ: 10

323078 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y = f (x) (รังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นร่วม) ใช้รูปนี้คำนวณ F (8) – F (2) โดยที่ F (x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x)

ให้เราเขียนทฤษฎีบทของนิวตัน–ไลบ์นิซอีกครั้ง:ให้ฉ ฟังก์ชั่นนี้, F คือแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจ แล้ว

และตามที่ได้กล่าวไปแล้วคือพื้นที่ของกราฟย่อยของฟังก์ชัน

ดังนั้นปัญหาจึงลงมาที่การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (ช่วง 2 ถึง 8):

การคำนวณตามเซลล์ไม่ใช่เรื่องยาก เราได้ 7 เครื่องหมายเป็นบวก เนื่องจากรูปอยู่เหนือแกน x (หรือในระนาบครึ่งบวกของแกน y)

อินอีกด้วย ในกรณีนี้อาจกล่าวได้ว่า: ความแตกต่างของค่าของแอนติเดริเวทีฟที่จุดคือพื้นที่ของรูป

คำตอบ: 7

323079 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y = f (x) ฟังก์ชัน F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1.875 เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y= f (x) หาพื้นที่ของร่างที่แรเงา

ตามที่ได้กล่าวไปแล้ว ทางเรขาคณิตอินทิกรัลคือพื้นที่ของรูปที่จำกัดโดยกราฟของฟังก์ชัน f (x), เส้นตรง x = a และ x = b และแกน ox

ทฤษฎีบท (นิวตัน–ไลบ์นิซ):

ดังนั้นงานจึงลงมาเพื่อคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาตั้งแต่ –11 ถึง –9 หรืออีกนัยหนึ่งเราจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างในค่าของแอนติเดริเวทีฟที่คำนวณที่จุดที่ระบุ:

คำตอบ: 6

323080 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y = f (x)

ฟังก์ชัน F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) หาพื้นที่ของร่างที่แรเงา

ทฤษฎีบท (นิวตัน–ไลบ์นิซ):

ปัญหาอยู่ที่การคำนวณอินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาตั้งแต่ –10 ถึง –8:

คำตอบ: 4 คุณสามารถดู .

กฎอนุพันธ์และการสร้างความแตกต่างก็มีอยู่ใน จำเป็นต้องรู้จักพวกเขาไม่เพียงแต่เพื่อแก้ไขงานดังกล่าวเท่านั้น

คุณยังสามารถดูได้ ข้อมูลพื้นฐานบนเว็บไซต์และ.

ชมวิดีโอสั้น ๆ นี่เป็นข้อความที่ตัดตอนมาจากภาพยนตร์เรื่อง “The Blind Side” เราสามารถพูดได้ว่านี่คือภาพยนตร์เกี่ยวกับการศึกษา เกี่ยวกับความเมตตา เกี่ยวกับความสำคัญของการประชุมที่ "สุ่ม" ในชีวิตของเรา... แต่คำพูดเหล่านี้ยังไม่เพียงพอ ฉันแนะนำให้ดูหนังเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำอย่างยิ่ง

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

เนื้อหา

องค์ประกอบเนื้อหา

อนุพันธ์ แทนเจนต์ แอนติเดริเวทีฟ กราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์

อนุพันธ์ให้ฟังก์ชัน \(f(x)\) ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด \(x_0\)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่จุด \(x_0\)เรียกว่าขีดจำกัด

\(f"(x_0)=\lim_(x\ลูกศรขวา x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ตารางอนุพันธ์

การทำงาน	อนุพันธ์
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(อี^x\)	\(อี^x\)
\(ก^x\)	\(มี^x\cdot \ln(ก)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(ก))\)
\(\บาป x\)	\(\คอส x\)
\(\คอส x\)	\(-\บาป x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\บาป^2x)\)

กฎของความแตกต่าง\(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร \(x\); \(c\) เป็นตัวเลข

2) \((c\cdot ฉ)"=c\cdot ฉ"\)

3) \((f+g)"= ฉ"+g"\)

4) \((f\cdot ก)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการของเส้น- ไม่ขนานกับแกน \(Oy\) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ \(y=kx+b\) สัมประสิทธิ์ \(k\) ในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับแทนเจนต์ มุมเอียงเส้นตรงนี้

มุมตรง- มุมระหว่างทิศทางบวกของแกน \(Ox\) กับเส้นตรงนี้ วัดในทิศทางของมุมบวก (นั่นคือ ในทิศทางของการหมุนที่เล็กที่สุดจากแกน \(Ox\) ถึง \ (โอ้\) แกน)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: \(f"(x_0)=\tg\ อัลฟ่า.\)

ถ้า \(f"(x_0)=0\) แล้วค่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) จะขนานกับแกน \(Ox\)

สมการแทนเจนต์

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชันถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกที่ทุกจุดของช่วงเวลา ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบทุกจุดของช่วงเวลา ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

จุดต่ำสุด จุดสูงสุด และจุดเปลี่ยนเว้า เชิงบวกบน เชิงลบณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน \(f\)

ถ้าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องกันที่จุด \(x_0\) และค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ \(f"\) เปลี่ยนแปลงด้วย เชิงลบบน เชิงบวกณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน \(f\)

จุดที่อนุพันธ์ \(f"\) เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่า จุดวิกฤติ ฟังก์ชั่น \(ฉ\)

จุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน \(f(x)\) ซึ่ง \(f"(x)=0\) อาจเป็นจุดต่ำสุด สูงสุด หรือจุดเปลี่ยนเว้าก็ได้

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและพิกัดของมันเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย \(x=x(t)\) ดังนั้น ความเร็วของจุดนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา:

ความเร่งของจุดวัสดุเท่ากับอนุพันธ์ของความเร็วของจุดนี้เทียบกับเวลา:

\(a(t)=v"(t).\)

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ค้นหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ ซึ่งก็คือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) (ซึ่งเป็นเส้นแบ่งที่ประกอบด้วยส่วนตรงสามส่วน) ใช้รูปนี้คำนวณ F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x)

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ตามสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ผลต่าง F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัด โดยกราฟของฟังก์ชัน y=f(x), เส้นตรง y=0 , x=9 และ x=5 จากกราฟ เราพบว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ระบุนั้นเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานเท่ากับ 4 และ 3 และความสูง 3

พื้นที่ของมันเท่ากัน \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-4; 10) ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง f(x) ในคำตอบของคุณ ระบุความยาวของที่ใหญ่ที่สุด

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชัน f(x) จะลดลงในช่วงเวลาเหล่านั้น ณ แต่ละจุดที่อนุพันธ์ f"(x) น้อยกว่าศูนย์ เมื่อพิจารณาว่าจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด จึงมีสามช่วงดังกล่าวคือ แตกต่างจากรูปโดยธรรมชาติ: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9)

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขา - (5; 9) คือ 4

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-8; 7) ค้นหาจำนวนคะแนนสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่เป็นของ ช่วงเวลา [-6; -2]

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

กราฟแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ f"(x) ของฟังก์ชัน f(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ที่จุดดังกล่าวจะมีค่าสูงสุด) ที่จุดหนึ่งพอดี (ระหว่าง -5 ถึง -4) จากช่วงเวลา [ -6; -2 ] ดังนั้นจึงมีจุดสูงสุดหนึ่งจุดในช่วง [-6; -2]

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ที่จุดหนึ่งถึงศูนย์หมายความว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดนี้ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้ว 5 จุด

คำตอบ

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 ค่าสัมประสิทธิ์ความชัน- ดังนั้นเราจึงพบค่า x_0 โดยที่ =-2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และจุด -6, -1, 1, 4 ถูกทำเครื่องหมายไว้บน abscissa จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่เล็กที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ