กำหนดกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง รูปที่ 37

51. รูปแสดงกราฟ y=f "(x)- ฟังก์ชันอนุพันธ์ ฉ(x),กำหนดไว้บนช่วงเวลา (− 4; 6) ค้นหา abscissa ของจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ขนานกับเส้นตรง y=3xหรือตรงกับมัน

คำตอบ: 5

52. รูปแสดงกราฟ y=F(x) เอฟ(x) เอฟ(x)เชิงบวก?

คำตอบ: 7

53. รูปแสดงกราฟ y=F(x)หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันบางอย่าง ฉ(x) และแปดจุดถูกทำเครื่องหมายบนแกน x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.ทำหน้าที่ได้กี่จุด เอฟ(x)เชิงลบ?

คำตอบ: 3

54. รูปแสดงกราฟ y=F(x)หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันบางอย่าง เอฟ(x)และสิบจุดบนแกน x ถูกทำเครื่องหมาย: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. ทำหน้าที่ได้กี่จุด เอฟ(x)เชิงบวก?

คำตอบ: 6

55. รูปแสดงกราฟ y=F(x ฉ(x),กำหนดไว้บนช่วงเวลา (− 7; 5) ใช้รูปหาจำนวนคำตอบของสมการ f(x)=0บนช่วงเวลา [− 5; 2].

คำตอบ: 3

56. รูปแสดงกราฟ y=F(x)หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันบางตัว f (x),กำหนดไว้บนช่วงเวลา (− 8; 7) ใช้รูปหาจำนวนคำตอบของสมการ f(x)= 0 ในช่วงเวลา [− 5; 5].

คำตอบ: 4

57. รูปแสดงกราฟ y=F(x) หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันบางอย่าง ฉ(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา (1;13) ใช้รูปหาจำนวนคำตอบของสมการ ฉ (x)=0 ในส่วน

คำตอบ: 4

58. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y=f(x)(สองคานที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน) ใช้ตัวเลขคำนวณ F(-1)−F(−8),ที่ไหน เอฟ(x) ฉ(x).

คำตอบ: 20

59. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y=f(x) (รังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน) ใช้ตัวเลขคำนวณ F(-1)−F(−9),ที่ไหน เอฟ(x)- หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x).

คำตอบ: 24

60. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y=f(x). การทำงาน

-หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x).หาพื้นที่ของรูปแรเงา.

คำตอบ: 6

61. รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y=f(x).การทำงาน

หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x). หาพื้นที่ของรูปแรเงา.

คำตอบ: 14.5

ขนานกับแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

คำตอบ: 0.5

ค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ

คำตอบ: -1

สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน

หา ค.

คำตอบ: 20

สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน

หา เอ.

คำตอบ: 0.125

สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน

หา ขโดยที่ abscissa ของจุดสัมผัสมีค่ามากกว่า 0

คำตอบ: -33

67. จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

ที่ไหน x t- เวลาเป็นวินาที วัดตั้งแต่เริ่มเคลื่อนไหว ความเร็วของเธอเท่ากับ 96 m/s ในช่วงเวลาใด (เป็นวินาที)

คำตอบ: 18

68. จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

ที่ไหน x- ระยะทางจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t- เวลาเป็นวินาที วัดตั้งแต่เริ่มเคลื่อนไหว ความเร็วของเธอเท่ากับ 48 m/s ณ เวลาใด (เป็นวินาที)

คำตอบ: 9

69. จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

ที่ไหน x t t=6 กับ.

คำตอบ: 20

70. จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

ที่ไหน x- ระยะทางจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t- เวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นการเคลื่อนไหว จงหาความเร็วของมัน (เป็น m/s) ณ เวลานั้น t=3 กับ.

คำตอบ: 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

เนื้อหา

องค์ประกอบเนื้อหา

อนุพันธ์ แทนเจนต์ แอนติเดริเวทีฟ กราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์

อนุพันธ์ให้ฟังก์ชัน \(f(x)\) ถูกกำหนดในบริเวณใกล้เคียงของจุด \(x_0\)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ณ จุด \(x_0\)เรียกว่าลิมิต

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

หากมีขีดจำกัดนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด

ตารางอนุพันธ์

การทำงาน	อนุพันธ์
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(อี^x\)	\(อี^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\บาปx\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

กฎการสร้างความแตกต่าง\(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร \(x\); \(c\) เป็นตัวเลข

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการของเส้นตรง- แกนไม่ขนาน \(Oy\) สามารถเขียนเป็น \(y=kx+b\) สัมประสิทธิ์ \(k\) ในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง. เท่ากับแทนเจนต์ มุมเอียงเส้นตรงนี้

มุมตรง- มุมระหว่างทิศทางบวกของแกน \(Ox\) กับเส้นตรงที่กำหนด ซึ่งวัดในทิศทางของมุมบวก (นั่นคือ ในทิศทางที่การหมุนน้อยที่สุดจากแกน \(Ox\) ถึง \ (Oy\) แกน).

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด: \(f"(x_0)=\tg \อัลฟ่า.\)

ถ้า \(f"(x_0)=0\) แล้วแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) จะขนานกับแกน \(Ox\)

สมการแทนเจนต์

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ณ จุด \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

ฟังก์ชัน monotonicityหากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นค่าบวกทุกจุดในช่วงเวลา แสดงว่าฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานั้น

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเป็นลบทุกจุดในช่วงเวลา แสดงว่าฟังก์ชันนั้นลดลงในช่วงเวลานั้น

จุดต่ำสุด สูงสุด และจุดเปลี่ยน เชิงบวกบน เชิงลบณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน \(f\)

หากฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x_0\) และค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ \(f"\) เปลี่ยนจาก เชิงลบบน เชิงบวกณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน \(f\)

จุดที่อนุพันธ์ \(f"\) เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่า จุดวิกฤตฟังก์ชั่น \(f\)

จุดภายในของพื้นที่นิยามฟังก์ชัน \(f(x)\) โดยที่ \(f"(x)=0\) สามารถเป็นจุดต่ำสุด สูงสุด หรือจุดเปลี่ยน

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์หากจุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและพิกัดเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย \(x=x(t)\) ความเร็วของจุดนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของเวลาของพิกัด:

ความเร่งของจุดวัสดุเท่ากับอนุพันธ์ของความเร็วของจุดนี้เทียบกับเวลา:

\(a(t)=v"(t).\)

เส้น y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ค้นหา b เนื่องจาก abscissa ของจุดสัมผัสมีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ให้ x_0 เป็น abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่าน

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสเป็นของทั้งกราฟของฟังก์ชันและ แทนเจนต์ เช่น -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายความว่า x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขของ abscissa จุดสัมผัสมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

ตอบ

สภาพ

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) (ซึ่งเป็นเส้นที่ขาดซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามส่วน) จากรูป คำนวณ F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ตามสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ผลต่าง F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขอบโค้ง โดยกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) เส้นตรง y=0 , x=9 และ x=5 จากกราฟ เราพิจารณาว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ระบุเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานเท่ากับ 4 และ 3 และสูง 3

พื้นที่ของมันเท่ากับ \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

สภาพ

รูปแสดงกราฟของ y \u003d f "(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้บนช่วง (-4; 10) ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันการลด f (x) ในคำตอบของคุณ ระบุความยาวของที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขา

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ดังที่คุณทราบ ฟังก์ชัน f (x) จะลดลงในช่วงเวลาเหล่านั้น ในแต่ละจุดที่อนุพันธ์ f "(x) มีค่าน้อยกว่าศูนย์ พิจารณาว่าจำเป็นต้องหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุดสามช่วงดังกล่าว มีความโดดเด่นตามธรรมชาติจากรูป: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขา - (5; 9) เท่ากับ 4

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

สภาพ

รูปแสดงกราฟของ y \u003d f "(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ซึ่งกำหนดไว้บนช่วงเวลา (-8; 7) ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f (x) ที่เป็นของ ถึงช่วง [-6; -2]

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

กราฟแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ f "(x) ของฟังก์ชัน f (x) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (จะมีค่าสูงสุดที่จุดดังกล่าว) ที่จุดเดียว (ระหว่าง -5 ถึง -4) จากช่วง [ -6; -2 ดังนั้นจึงมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวในช่วงเวลา [-6;-2]

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

สภาพ

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

หากอนุพันธ์ที่จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดนี้จะขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่แทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมี 5 จุดสุดขั้ว

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

สภาพ

เส้น y=-3x+4 ขนานกับแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ความชันของเส้นตรงไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 คือ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5, ดังนั้น y"(x_0)=- 2x_0+5 สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขคือ -3.เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ดังนั้น เราพบค่าดังกล่าว x_0 ที่ =-2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

สภาพ

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และจุด -6, -1, 1, 4 บนแกน x ที่จุดเหล่านี้มีค่าของอนุพันธ์ที่น้อยที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

สวัสดีเพื่อน! ในบทความนี้ เราจะพิจารณางานเบื้องต้น งานเหล่านี้รวมอยู่ในการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ แม้ว่าที่จริงแล้วส่วนต่างๆ เอง - ความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกันนั้นค่อนข้างกว้างขวางในวิชาพีชคณิตและต้องการแนวทางที่รับผิดชอบในการทำความเข้าใจงานเองซึ่งรวมอยู่ในธนาคารเปิดของงานในวิชาคณิตศาสตร์และจะง่ายมากในการสอบ จะได้รับการแก้ไขในหนึ่งหรือสองขั้นตอน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญของแอนติเดริเวทีฟ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัล พิจารณาพื้นฐานทางทฤษฎีโดยสังเขป

ความหมายทางเรขาคณิตของปริพันธ์

โดยสังเขปเกี่ยวกับอินทิกรัล เราสามารถพูดได้ว่า อินทิกรัลคือพื้นที่

คำนิยาม: ให้กราฟของฟังก์ชันบวก f ที่กำหนดในช่วงเวลาอยู่บนระนาบพิกัด กราฟย่อย (หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงโค้ง) คือภาพที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน f เส้นตรง x \u003d a และ x \u003d b และแกน x

คำนิยาม: ให้ฟังก์ชันบวก f กำหนดในช่วงเวลาจำกัด อินทิกรัลของฟังก์ชัน f บนเซ็กเมนต์คือพื้นที่ของกราฟย่อย

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว F (x) = f (x)เราสามารถสรุปอะไรได้บ้าง?

เขาเป็นคนเรียบง่าย เราจำเป็นต้องกำหนดจำนวนจุดบนกราฟนี้ โดยที่ F′(x) = 0 เรารู้ว่าจุดเหล่านั้นที่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นขนานกับแกน x มาแสดงจุดเหล่านี้ในช่วงเวลา [–2;4]:

นี่คือจุดสุดขั้วของฟังก์ชันที่กำหนด F(x) มีสิบคน

คำตอบ: 10

323078 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y = f (x) (รังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน) จากรูป คำนวณ F(8) – F(2) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

มาเขียนทฤษฎีบทนิวตัน-ไลบนิซใหม่กัน:ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนด F เป็นแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจ แล้ว

และนี่คือพื้นที่ของกราฟย่อยของฟังก์ชันดังที่ได้กล่าวไปแล้ว

ดังนั้นงานจะลดลงเพื่อค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (ช่วง 2 ถึง 8):

การคำนวณด้วยเซลล์ไม่ใช่เรื่องยาก เราได้ 7 เครื่องหมายเป็นค่าบวก เนื่องจากรูปนั้นอยู่เหนือแกน x (หรือในระนาบบวกของแกน y)

ในกรณีนี้ เราสามารถพูดได้ว่า: ความแตกต่างในค่าของแอนติเดริเวทีฟที่จุดคือพื้นที่ของรูป

คำตอบ: 7

323079 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y = f (x) ฟังก์ชัน F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1.875 เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) หาพื้นที่ของรูปแรเงา.

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิตของปริพันธ์ นี่คือพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน f (x) เส้นตรง x \u003d a และ x \u003d b และแกน วัว.

ทฤษฎีบท (นิวตัน–ไลบนิซ):

ดังนั้นงานจะลดลงเป็นการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลาตั้งแต่ -11 ถึง -9 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟที่คำนวณ ณ จุดที่ระบุ:

คำตอบ: 6

323080 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง y = f (x)

ฟังก์ชัน F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) หาพื้นที่ของรูปแรเงา.

ทฤษฎีบท (นิวตัน–ไลบนิซ):

ปัญหาจะลดลงเหลือการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลาตั้งแต่ –10 ถึง –8:

คำตอบ: 4 คุณสามารถดู .

อนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างยังคงอยู่ จำเป็นต้องรู้จักพวกเขา ไม่เพียงแต่เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวเท่านั้น

คุณยังสามารถดูข้อมูลความช่วยเหลือบนเว็บไซต์และ

ดูวิดีโอสั้น ๆ นี่เป็นข้อความที่ตัดตอนมาจากภาพยนตร์เรื่อง "The Blind Side" เราสามารถพูดได้ว่านี่เป็นภาพยนตร์เกี่ยวกับการศึกษาเกี่ยวกับความเมตตาเกี่ยวกับความสำคัญของการประชุม "สุ่ม" ในชีวิตของเรา ... แต่คำพูดเหล่านี้จะไม่เพียงพอฉันแนะนำให้ดูหนังเรื่องนี้เองฉันขอแนะนำอย่างยิ่ง

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์