Długość odcinka na osi współrzędnych określa wzór:
Długość odcinka w płaszczyźnie współrzędnych oblicza się ze wzoru:
Aby znaleźć długość odcinka w trójwymiarowym układzie współrzędnych, użyj następującego wzoru:
Współrzędne środka odcinka (dla osi współrzędnych stosuje się tylko pierwszy wzór, dla płaszczyzny współrzędnych - dwa pierwsze wzory, dla trójwymiarowego układu współrzędnych - wszystkie trzy wzory) oblicza się za pomocą wzorów:
Funkcjonować– jest to zgodność formy y= F(X) pomiędzy wielkościami zmiennymi, dzięki czemu każda rozważana wartość jakiejś zmiennej wielkości X(argument lub zmienna niezależna) odpowiada określonej wartości innej zmiennej, y(zmienna zależna, czasami tę wartość nazywa się po prostu wartością funkcji). Należy pamiętać, że funkcja przyjmuje wartość jednego argumentu X może odpowiadać tylko jedna wartość zmiennej zależnej Na. Jednak ta sama wartość Na można uzyskać różnymi X.
Dziedzina funkcji– są to wszystkie wartości zmiennej niezależnej (argument funkcji, zwykle this X), dla którego zdefiniowano funkcję, tj. jego znaczenie istnieje. Wskazany jest obszar definicji D(y). Ogólnie rzecz biorąc, znasz już tę koncepcję. Dziedzina definicji funkcji nazywana jest inaczej dziedziną wartości dopuszczalnych lub VA, którą już dawno udało ci się znaleźć.
Zakres funkcji są wszystkimi możliwymi wartościami zmiennej zależnej danej funkcji. Wyznaczony mi(Na).
Funkcja wzrasta na przedziale, w którym większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji. Funkcja jest malejąca na przedziale, w którym większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.
Przedziały znaku stałego funkcji- są to przedziały zmiennej niezależnej, w których zmienna zależna zachowuje swój znak dodatni lub ujemny.
Zera funkcji– są to wartości argumentu, przy których wartość funkcji jest równa zeru. W tych punktach wykres funkcji przecina oś odciętych (oś OX). Bardzo często potrzeba znalezienia zer funkcji oznacza konieczność prostego rozwiązania równania. Często też potrzeba znalezienia przedziałów stałości znaku oznacza konieczność prostego rozwiązania nierówności.
Funkcjonować y = F(X) są nazywane nawet X
Oznacza to, że dla dowolnych przeciwnych wartości argumentu wartości funkcji parzystej są równe. Wykres funkcji parzystej jest zawsze symetryczny względem osi rzędnych wzmacniacza operacyjnego.
Funkcjonować y = F(X) są nazywane dziwne, jeśli jest zdefiniowany na zbiorze symetrycznym i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość zachodzi:
Oznacza to, że dla dowolnych przeciwnych wartości argumentu wartości funkcji nieparzystej są również przeciwne. Wykres funkcji nieparzystej jest zawsze symetryczny względem początku.
Suma pierwiastków funkcji parzystych i nieparzystych (punktów przecięcia osi x OX) jest zawsze równa zeru, ponieważ dla każdego pierwiastka dodatniego X ma pierwiastek ujemny - X.
Ważne jest, aby pamiętać: niektóre funkcje nie muszą być parzyste lub nieparzyste. Istnieje wiele funkcji, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Takie funkcje nazywane są funkcje ogólne, i dla nich żadna z podanych powyżej równości ani właściwości nie jest spełniona.
Funkcja liniowa jest funkcją, którą można wyrazić wzorem:
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą i w ogólnym przypadku wygląda tak (podano przykład dla przypadku, gdy k> 0, w tym przypadku funkcja jest rosnąca; z okazji k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Wykres funkcji kwadratowej (Parabola)
Wykres paraboli jest określony funkcją kwadratową:
Funkcja kwadratowa, jak każda inna funkcja, przecina oś OX w punktach będących jej pierwiastkami: ( X 1 ; 0) i ( X 2; 0). Jeśli nie ma pierwiastków, funkcja kwadratowa nie przecina osi OX, jeśli jest tylko jeden pierwiastek, to w tym punkcie ( X 0 ; 0) funkcja kwadratowa dotyka tylko osi OX, ale jej nie przecina. Funkcja kwadratowa przecina zawsze oś OY w punkcie o współrzędnych: (0; C). Wykres funkcji kwadratowej (paraboli) może wyglądać następująco (na rysunku przedstawiono przykłady, które nie wyczerpują wszystkich możliwych typów paraboli):
W której:
- jeśli współczynnik A> 0, w funkcji y = topór 2 + bx + C, wówczas gałęzie paraboli są skierowane w górę;
- Jeśli A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Współrzędne wierzchołka paraboli można obliczyć za pomocą poniższych wzorów. Szczyty X (P- na zdjęciach powyżej) parabole (czyli punkt, w którym trójmian kwadratowy osiąga największą lub najmniejszą wartość):
Igrek górą (Q- na rysunkach powyżej) paraboli lub maksimum, jeśli ramiona paraboli są skierowane w dół ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), wartość trójmianu kwadratowego:
Wykresy pozostałych funkcji
Funkcja zasilania
Oto kilka przykładów wykresów funkcji potęgowych:
Odwrotnie proporcjonalny jest funkcją określoną wzorem:
W zależności od znaku liczby k Wykres zależności odwrotnie proporcjonalny może mieć dwie podstawowe opcje:
Asymptota jest linią, do której wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale się nie przecina. Asymptotami wykresów odwrotnej proporcjonalności pokazanych na powyższym rysunku są osie współrzędnych, do których wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale ich nie przecina.
Funkcja wykładnicza z bazą A jest funkcją określoną wzorem:
A Wykres funkcji wykładniczej może mieć dwie podstawowe opcje (podajemy również przykłady, patrz poniżej):
Funkcja logarytmiczna jest funkcją określoną wzorem:
W zależności od tego, czy liczba jest większa, czy mniejsza od jedności A Wykres funkcji logarytmicznej może mieć dwie podstawowe opcje:
Wykres funkcji y = |X| następująco:
Wykresy funkcji okresowych (trygonometrycznych).
Funkcjonować Na = F(X) jest nazywany okresowy, jeśli istnieje taka liczba różna od zera T, Co F(X + T) = F(X), dla kazdego X z dziedziny funkcji F(X). Jeśli funkcja F(X) jest okresowy z kropką T, to funkcja:
Gdzie: A, k, B są liczbami stałymi, oraz k nierówny zeru, także okresowy z kropką T 1, co określa się wzorem:
Większość przykładów funkcji okresowych to funkcje trygonometryczne. Przedstawiamy wykresy głównych funkcji trygonometrycznych. Poniższy rysunek przedstawia część wykresu funkcji y= grzech X(cały wykres ciągnie się w nieskończoność w lewo i w prawo), wykres funkcji y= grzech X zwany sinusoida:
Wykres funkcji y=co X zwany cosinus. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Ponieważ wykres sinusoidalny przebiega w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo:
Wykres funkcji y= tg X zwany styczna. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Podobnie jak wykresy innych funkcji okresowych, ten wykres powtarza się w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo.
I na koniec wykres funkcji y=ctg X zwany kotangentoid. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Podobnie jak wykresy innych funkcji okresowych i trygonometrycznych, ten wykres powtarza się w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo.
Pomyślne, sumienne i odpowiedzialne wdrożenie tych trzech punktów pozwoli Ci pokazać doskonały wynik na CT, maksimum tego, do czego jesteś zdolny.
Znalazłeś błąd?
Jeśli uważasz, że znalazłeś błąd w materiałach szkoleniowych, napisz o tym mailem. Możesz także zgłosić błąd w sieci społecznościowej (). W piśmie podaj temat (fizyka lub matematyka), nazwę lub numer tematu lub testu, numer zadania lub miejsce w tekście (stronie), w którym Twoim zdaniem znajduje się błąd. Opisz również, na czym polega podejrzewany błąd. Twój list nie pozostanie niezauważony, błąd zostanie poprawiony lub zostaniesz wyjaśniony, dlaczego nie jest to błąd.
Narodowy Uniwersytet Badawczy
Katedra Geologii Stosowanej
Streszczenie o matematyce wyższej
Na temat: „Podstawowe funkcje elementarne,
ich właściwości i wykresy”
Zakończony:
Sprawdzony:
nauczyciel
Definicja. Funkcja określona wzorem y=a x (gdzie a>0, a≠1) nazywana jest funkcją wykładniczą o podstawie a.
Sformułujmy główne właściwości funkcji wykładniczej:
1. Dziedziną definicji jest zbiór (R) wszystkich liczb rzeczywistych.
2. Rozstęp - zbiór (R+) wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych.
3. Dla a > 1 funkcja rośnie wzdłuż całej osi liczbowej; o 0<а<1 функция убывает.
4. Jest funkcją o postaci ogólnej.
, na przedziale xО [-3;3]
, na przedziale xО [-3;3] Funkcję w postaci y(x)=x n, gdzie n jest liczbą ОR, nazywamy funkcją potęgową. Liczba n może przyjmować różne wartości: zarówno całkowite, jak i ułamkowe, parzyste i nieparzyste. W zależności od tego funkcja mocy będzie miała inną postać. Rozważmy przypadki szczególne, które są funkcjami potęgowymi i odzwierciedlają podstawowe właściwości tego typu krzywych w następującej kolejności: funkcja potęgowa y=x² (funkcja o wykładniku parzystym - parabola), funkcja potęgowa y=x3 (funkcja o wykładniku nieparzystym - parabola sześcienna) i funkcja y=√x (x do potęgi ½) (funkcja z wykładnikiem ułamkowym), funkcja z ujemnym wykładnikiem całkowitym (hiperbola).
Funkcja zasilania y=x²
1. D(x)=R – funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej;
2. E(y)= i zwiększa się w przedziale
Funkcja zasilania y=x³
1. Wykres funkcji y=x³ nazywa się parabolą sześcienną. Funkcja potęgowa y=x³ ma następujące właściwości:
2. D(x)=R – funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze swojej dziedziny definicji;
4. Gdy x=0 y=0 – funkcja przechodzi przez początek współrzędnych O(0;0).
5. Funkcja rośnie w całym obszarze definicji.
6. Funkcja jest nieparzysta (symetryczna względem początku).
, na przedziale xО [-3;3] W zależności od współczynnika liczbowego przed x³, funkcja może być stroma/płaska i rosnąca/malejąca.
Funkcja potęgowa z ujemnym wykładnikiem całkowitym:
Jeśli wykładnik n jest nieparzysty, wówczas wykres takiej funkcji potęgowej nazywa się hiperbolą. Funkcja potęgowa z wykładnikiem całkowitym ujemnym ma następujące właściwości:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) dla dowolnego n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jeśli n jest liczbą nieparzystą; E(y)=(0;∞), jeśli n jest liczbą parzystą;
3. Funkcja maleje w całym zakresie definicji, jeśli n jest liczbą nieparzystą; funkcja rośnie w przedziale (-∞;0) i maleje w przedziale (0;∞), jeśli n jest liczbą parzystą.
4. Funkcja jest nieparzysta (symetryczna względem początku), jeśli n jest liczbą nieparzystą; funkcja jest nawet wtedy, gdy n jest liczbą parzystą.
5. Funkcja przechodzi przez punkty (1;1) i (-1;-1), jeśli n jest liczbą nieparzystą, oraz przez punkty (1;1) i (-1;1), jeśli n jest liczbą parzystą.
, na przedziale xО [-3;3] Funkcja potęgowa z wykładnikiem ułamkowym
Funkcja potęgowa z wykładnikiem ułamkowym (obrazek) ma wykres funkcji pokazanej na rysunku. Funkcja potęgowa z wykładnikiem ułamkowym ma następujące właściwości: (obrazek)
1. D(x) ОR, jeśli n jest liczbą nieparzystą i D(x)= 
, na przedziale xО 
, na przedziale xО [-3;3]
Funkcja logarytmiczna y = log a x ma następujące właściwości:
1. Dziedzina definicji D(x)О (0; + ∞).
2. Zakres wartości E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta (w postaci ogólnej).
4. Funkcja rośnie na przedziale (0; + ∞) dla a > 1, maleje na (0; + ∞) dla 0< а < 1.
Wykres funkcji y = log a x można otrzymać z wykresu funkcji y = a x stosując transformację symetrii względem prostej y = x. Rysunek 9 przedstawia wykres funkcji logarytmicznej dla a > 1, a rysunek 10 dla 0< a < 1.
; na przedziale xО 
; na przedziale xО Funkcje y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x nazywane są funkcjami trygonometrycznymi.
Funkcje y = sin x, y = tan x, y = ctg x są nieparzyste, a funkcja y = cos x jest parzysta.
Funkcja y = sin(x).
1. Dziedzina definicji D(x) ОR.
2. Zakres wartości E(y) О [ - 1; 1].
3. Funkcja jest okresowa; główny okres wynosi 2π.
4. Funkcja jest nieparzysta.
5. Funkcja rośnie na przedziałach [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] i maleje w przedziałach [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Wykres funkcji y = sin (x) pokazano na rysunku 11.
1. Ułamkowa funkcja liniowa i jej wykres
Funkcję w postaci y = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, nazywa się ułamkową funkcją wymierną.
Prawdopodobnie znasz już pojęcie liczb wymiernych. Podobnie funkcje racjonalne to funkcje, które można przedstawić jako iloraz dwóch wielomianów.
Jeżeli ułamkowa funkcja wymierna jest ilorazem dwóch funkcji liniowych - wielomianów pierwszego stopnia, tj. funkcja formy
y = (ax + b) / (cx + d), wówczas nazywa się to linią ułamkową.
Zauważmy, że w funkcji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (w przeciwnym razie funkcja staje się liniowa y = ax/d + b/d) oraz że a/c ≠ b/d (w przeciwnym razie funkcja jest stała). Liniowa funkcja ułamkowa jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = -d/c. Wykresy ułamkowych funkcji liniowych nie różnią się kształtem od znanego Ci wykresu y = 1/x. Krzywą będącą wykresem funkcji y = 1/x nazywa się hiperbola. Przy nieograniczonym wzroście x wartości bezwzględnej funkcja y = 1/x maleje w sposób nieograniczony w wartości bezwzględnej i obie gałęzie wykresu zbliżają się do odciętej: prawa od góry, lewa od dołu. Linie, do których zbliżają się gałęzie hiperboli, nazywane są jej asymptoty.
Przykład 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Rozwiązanie.
Wybierzmy całą część: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Teraz łatwo zauważyć, że wykres tej funkcji otrzymuje się z wykresu funkcji y = 1/x poprzez następujące przekształcenia: przesunięcie o 3 odcinki jednostkowe w prawo, rozciągnięcie wzdłuż osi Oy 7 razy i przesunięcie o 2 segmenty jednostkowe w górę.
Dowolny ułamek y = (ax + b) / (cx + d) można zapisać w podobny sposób, podkreślając „część całkowitą”. W konsekwencji wykresy wszystkich ułamkowych funkcji liniowych są hiperbolami, przesuniętymi w różny sposób wzdłuż osi współrzędnych i rozciągniętymi wzdłuż osi Oy.
Aby skonstruować wykres dowolnej funkcji ułamkowo-liniowej, wcale nie jest konieczne przekształcanie ułamka definiującego tę funkcję. Skoro wiemy, że graf jest hiperbolą, wystarczy znaleźć proste, do których zbiegają się jego gałęzie – asymptoty hiperboli x = -d/c i y = a/c.
Przykład 2.
Znajdź asymptoty wykresu funkcji y = (3x + 5)/(2x + 2).
Rozwiązanie.
Funkcja nie jest zdefiniowana, przy x = -1. Oznacza to, że prosta x = -1 służy jako asymptota pionowa. Aby znaleźć asymptotę poziomą, dowiedzmy się, do czego zbliżają się wartości funkcji y(x), gdy argument x rośnie do wartości bezwzględnej.
Aby to zrobić, podziel licznik i mianownik ułamka przez x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Gdy x → ∞ ułamek będzie miał tendencję do 3/2. Oznacza to, że asymptotą poziomą jest linia prosta y = 3/2.
Przykład 3.
Naszkicuj funkcję y = (2x + 1)/(x + 1).
Rozwiązanie.
Wybierzmy „całą część” ułamka:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Teraz łatwo zauważyć, że wykres tej funkcji otrzymuje się z wykresu funkcji y = 1/x poprzez następujące przekształcenia: przesunięcie o 1 jednostkę w lewo, symetryczne przedstawienie względem Ox i przesunięcie o 2 segmenty jednostkowe w górę wzdłuż osi Oy.
Dziedzina D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Zakres wartości E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Punkty przecięcia z osiami: c Oy: (0; 1); c Wół: (-1/2; 0). Funkcja rośnie w każdym przedziale dziedziny definicji.
Odpowiedź: Rysunek 1.
2. Ułamkowa funkcja wymierna
Rozważmy ułamkową funkcję wymierną postaci y = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami stopnia wyższego niż pierwszy.
Przykłady takich funkcji wymiernych:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) lub y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jeśli funkcja y = P(x) / Q(x) reprezentuje iloraz dwóch wielomianów o stopniu wyższym od pierwszego, to jej wykres będzie z reguły bardziej złożony i czasami może być trudno go dokładnie skonstruować , ze wszystkimi szczegółami. Często jednak wystarczy zastosować techniki podobne do tych, które przedstawiliśmy już powyżej.
Niech ułamek będzie ułamkiem właściwym (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Oczywiście wykres ułamkowej funkcji wymiernej można otrzymać jako sumę wykresów ułamków elementarnych.
Rysowanie wykresów ułamkowych funkcji wymiernych
Rozważmy kilka sposobów konstruowania wykresów ułamkowej funkcji wymiernej.
Przykład 4.
Narysuj wykres funkcji y = 1/x 2 .
Rozwiązanie.
Korzystając z wykresu funkcji y = x 2, konstruujemy wykres y = 1/x 2 i stosujemy technikę „dzielenia” wykresów.
Dziedzina D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Zakres wartości E(y) = (0; +∞).
Nie ma punktów przecięcia z osiami. Funkcja jest parzysta. Zwiększa się dla wszystkich x z przedziału (-∞; 0), maleje dla x od 0 do +∞.
Odpowiedź: Rysunek 2.
Przykład 5.
Naszkicuj funkcję y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Rozwiązanie.
Dziedzina D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Tutaj zastosowaliśmy technikę faktoryzacji, redukcji i redukcji do funkcji liniowej.
Odpowiedź: Rysunek 3.
Przykład 6.
Naszkicuj funkcję y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Rozwiązanie.
Dziedziną definicji jest D(y) = R. Ponieważ funkcja jest parzysta, wykres jest symetryczny względem rzędnej. Zanim zbudujemy wykres, przekształćmy wyrażenie jeszcze raz, podkreślając całą część:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Należy pamiętać, że izolowanie części całkowitej we wzorze ułamkowej funkcji wymiernej jest jedną z głównych podczas konstruowania wykresów.
Jeśli x → ±∞, to y → 1, tj. linia prosta y = 1 jest asymptotą poziomą.
Odpowiedź: Rysunek 4.
Przykład 7.
Rozważmy funkcję y = x/(x 2 + 1) i spróbujmy dokładnie znaleźć jej największą wartość, tj. najwyższy punkt w prawej połowie wykresu. Aby dokładnie skonstruować ten wykres, dzisiejsza wiedza nie wystarczy. Oczywiście nasza krzywa nie może „wznieść się” bardzo wysoko, ponieważ mianownik szybko zaczyna „przewyższać” licznik. Zobaczmy, czy wartość funkcji może być równa 1. Aby to zrobić, musimy rozwiązać równanie x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Równanie to nie ma pierwiastków rzeczywistych. Oznacza to, że nasze założenie jest błędne. Aby znaleźć największą wartość funkcji, musisz dowiedzieć się, przy jakim największym A równanie A = x/(x 2 + 1) będzie miało rozwiązanie. Zastąpmy pierwotne równanie równaniem kwadratowym: Ax 2 – x + A = 0. Równanie to ma rozwiązanie, gdy 1 – 4A 2 ≥ 0. Stąd znajdujemy największą wartość A = 1/2. 
Odpowiedź: Rysunek 5, max y(x) = ½.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak wykreślić funkcje?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Definicja: Funkcja numeryczna to zgodność, która wiąże każdą liczbę x z pewnego zbioru z pojedynczą liczbą y.
Przeznaczenie:
gdzie x jest zmienną niezależną (argumentem), y jest zmienną zależną (funkcją). Zbiór wartości x nazywany jest dziedziną funkcji (oznaczoną jako D(f)). Zbiór wartości y nazywany jest zakresem wartości funkcji (oznaczonym E(f)). Wykresem funkcji jest zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, f(x))
Metody określania funkcji.
- metoda analityczna (przy użyciu wzoru matematycznego);
- metoda tabelaryczna (przy użyciu tabeli);
- metoda opisowa (z wykorzystaniem opisu słownego);
- metoda graficzna (za pomocą wykresu).
Podstawowe własności funkcji.
1. Parzyste i nieparzyste
Funkcja jest wywoływana nawet jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
f(-x) = f(x)
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi 0 lat
Funkcja nazywa się nieparzystą, jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
– dla dowolnego x z dziedziny definicji f(-x) = –f(x)
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.
2. Częstotliwość
Funkcję f(x) nazywamy okresową z kropką, jeśli dla dowolnego x z dziedziny definicji f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Wykres funkcji okresowej składa się z nieskończenie powtarzających się identycznych fragmentów.
3. Monotonia (rosnąca, malejąca)
Funkcja f(x) rośnie na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1
Funkcja f(x) maleje na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1 f(x 2) .
4. Skrajności
Punkt X max nazywamy punktem maksymalnym funkcji f(x), jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia X max jest spełniona nierówność f(x) f(X max).
Wartość Ymax =f(Xmax) nazywana jest maksimum tej funkcji.
X max – punkt maksymalny
Maksymalnie - maksymalnie
Punkt X min nazywa się punktem minimalnym funkcji f(x), jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia X min jest spełniona nierówność f(x) f(X min).
Wartość Y min = f(X min) nazywana jest minimum tej funkcji.
X min – punkt minimalny
Y min – minimalna
X min , X max – punkty ekstremalne
Y min , Y max – ekstrema.
5. Zera funkcji
Zero funkcji y = f(x) to wartość argumentu x, przy której funkcja przyjmuje wartość zero: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 – zera funkcji y = f(x).
Zadania i testy na temat „Podstawowe właściwości funkcji”
- Właściwości funkcji - Funkcje numeryczne 9. klasa
Lekcje: 2 Zadania: 11 Testy: 1
- Własności logarytmów - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasa 11
Lekcje: 2 Zadania: 14 Testy: 1
- Funkcja pierwiastkowa, jej własności i wykres - Funkcja pierwiastka kwadratowego. Właściwości pierwiastka kwadratowego stopnia 8
Lekcje: 1 Zadania: 9 Testy: 1
- Funkcje - Ważne tematy do przeglądu Unified State Examination z matematyki
Zadania: 24
- Funkcje potęgowe, ich własności i wykresy - Stopnie i korzenie. Funkcje mocy klasa 11
Lekcje: 4 Zadania: 14 Testy: 1
Po przestudiowaniu tego tematu powinieneś potrafić znaleźć dziedzinę definicji różnych funkcji, wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji za pomocą wykresów oraz zbadać funkcje pod kątem parzystości i nieparzystości. Rozważmy rozwiązanie podobnych problemów na podstawie poniższych przykładów.
Przykłady.
1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.
Rozwiązanie: dziedzinę definicji funkcji wyznacza się z warunku
zatem funkcja f(x) jest parzysta.
Odpowiedź: nawet
D(f) = [-1; 1] – symetryczny względem zera.
| 2) |
stąd funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Odpowiedź: ani równe, ani nierówne.
