Уравнения
Как се решават уравнения?
В този раздел ще си припомним (или ще изучим, в зависимост от вас) най-елементарните уравнения. И така, какво е уравнението? На човешки език това е някакъв вид математически израз, където има знак за равенство и неизвестно. Което обикновено се обозначава с буквата "Х". Решете уравнението- това е да се намерят такива стойности на x, които, когато се заместват в оригиналенизраз ще ни даде правилната идентичност. Позволете ми да ви напомня, че идентичността е израз, който е извън съмнение дори за човек, който абсолютно не е обременен с математически знания. Като 2=2, 0=0, ab=ab и т.н. И така, как да решаваме уравнения?Нека да го разберем.
Има всякакви уравнения (изненадан съм, нали?). Но цялото им безкрайно разнообразие може да бъде разделено само на четири вида.
4. друго.)
Всичко останало, разбира се, най-вече, да...) Това включва кубични, експоненциални, логаритмични, тригонометрични и всякакви други. Ние ще работим в тясно сътрудничество с тях в съответните раздели.
Веднага ще кажа, че понякога уравненията първите трите ще излъжат типовете толкова много, че дори няма да ги познаете... Нищо. Ще се научим как да ги развиваме.
И защо имаме нужда от тези четири вида? И тогава какво линейни уравнениярешен по един начин квадратдруги, дробни рационални числа - трето,А ПочивкаИзобщо не смеят! Е, не че изобщо не могат да решат, а че сгреших с математиката.) Просто те имат свои собствени специални техники и методи.
Но за всеки (повтарям - за всякакви!) уравненията предоставят надеждна и безопасна база за решаване. Работи навсякъде и винаги. Тази основа - Звучи страшно, но е много проста. И много (Много!)важно.
Всъщност решението на уравнението се състои именно от тези трансформации. 99% Отговор на въпроса: " Как се решават уравнения?" се крие точно в тези трансформации. Ясен ли е намекът?)
Тъждествени преобразувания на уравнения.
IN всякакви уравненияЗа да намерите неизвестното, трябва да трансформирате и опростите оригиналния пример. И така, че когато външният вид се промени същността на уравнението не се е променила.Такива трансформации се наричат идентиченили еквивалентно.
Имайте предвид, че тези трансформации се прилагат специално за уравненията.В математиката също има трансформации на идентичността изрази.Това е друга тема.
Сега ще повторим всички, всички, всички основни идентични трансформации на уравнения.
Основни, защото могат да бъдат приложени към всякаквиуравнения - линейни, квадратни, дробни, тригонометрични, експоненциални, логаритмични и др. и така нататък.
Първа трансформация на идентичността: можете да добавяте (изваждате) към двете страни на всяко уравнение всякакви(но едно и също!) число или израз (включително израз с неизвестно!). Това не променя същността на уравнението.
Между другото, вие постоянно сте използвали тази трансформация, просто сте мислили, че прехвърляте някои членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака. Тип:
Случаят е познат, местим двата надясно и получаваме:
Всъщност вие отнетот двете страни на уравнението е две. Резултатът е същият:
х+2 - 2 = 3 - 2
Преместването на термини наляво и надясно с промяна на знака е просто съкратена версия на първата трансформация на идентичността. И защо се нуждаем от толкова дълбоки познания? - ти питаш. Нищо в уравненията. За бога, търпи го. Само не забравяйте да смените знака. Но при неравенствата навикът за пренасяне може да доведе до задънена улица...
Втора трансформация на идентичността: и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещо ненулевчисло или израз. Тук вече се появява разбираемо ограничение: умножаването по нула е глупаво, а делението е напълно невъзможно. Това е трансформацията, която използвате, когато решавате нещо готино като
Ясно е х= 2. Как го намерихте? По избор? Или просто ти светна? За да не избирате и да не чакате прозрение, трябва да разберете, че сте справедливи раздели двете страни на уравнениетос 5. При разделяне на лявата страна (5x), петицата беше намалена, оставяйки чисто X. Което е точно това, от което се нуждаехме. И когато разделим дясната страна на (10) на пет, резултатът, разбира се, е две.
Това е всичко.
Смешно е, но тези две (само две!) еднакви трансформации са в основата на решението всички уравнения на математиката.Еха! Има смисъл да разгледаме примери за това какво и как, нали?)
Примери за тъждествени преобразувания на уравнения. Основни проблеми.
Да започнем с първитрансформация на идентичността. Трансфер наляво-надясно.
Пример за по-младите.)
Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:
3-2x=5-3x
Да си спомним заклинанието: "с Х - наляво, без Х - надясно!"Това заклинание е инструкция за използване на първата трансформация на самоличността.) Какъв израз с X е отдясно? 3x? Отговорът е неверен! От дясната ни страна - 3x! Минустри х! Следователно, когато се движите наляво, знакът ще се промени на плюс. Ще се окаже:
3-2x+3x=5
И така, X-овете бяха събрани на купчина. Да влезем в числата. Вляво има тройка. С какъв знак? Отговорът „с нито един“ не се приема!) Пред трите наистина нищо не е нарисувано. А това означава, че преди трите има плюс.Така че математиците се съгласиха. Нищо не е написано, което означава плюс.Следователно тройката ще бъде прехвърлена от дясната страна с минус.Получаваме:
-2x+3x=5-3
Остават само дреболии. Отляво - донесете подобни, отдясно - пребройте. Отговорът идва веднага:
В този пример беше достатъчна една трансформация на идентичността. Второто не беше необходимо. Ми добре.)
Пример за по-големи деца.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Уравнението е равенство, съдържащо буква, чиято стойност трябва да бъде намерена.
В уравненията неизвестното обикновено се представя с малка буква латиница. Най-често използваните букви са “x” [ix] и “y” [y].
- Корен на уравнението- това е стойността на буквата, при която се получава правилното числово равенство от уравнението.
- Решете уравнението- означава да намерите всичките му корени или да се уверите, че няма корени.
След като решим уравнението, винаги записваме проверка след отговора.
Информация за родителите
Уважаеми родители, обръщаме внимание на факта, че начално училищеи в 5 клас децата НЕ знаят темата “Отрицателни числа”.
Следователно те трябва да решават уравнения, като използват само свойствата на събиране, изваждане, умножение и деление. Методите за решаване на уравнения за 5 клас са дадени по-долу.
Не се опитвайте да обяснявате решението на уравненията, като прехвърляте цифри и букви от една част на уравнението в друга с промяна на знака.
Можете да освежите понятията, свързани със събиране, изваждане, умножение и деление в урока „Закони на аритметиката“.
Решаване на уравнения за събиране и изваждане
Как да намерим неизвестното
срок
Как да намерим неизвестното
съкратено
Как да намерим неизвестното
субтрахенд
За да намерите неизвестния член, трябва да извадите известния член от сумата.
За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата.
За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното.
х + 9 = 15
x = 15 − 9
х=6
Преглед
x − 14 = 2
x = 14 + 2
х = 16
Преглед
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − x = 3
x = 5 − 3
х = 2
Преглед
Решаване на уравнения за умножение и деление
Как да намерим неизвестен
фактор
Как да намерим неизвестното
дивидент
Как да намерим неизвестен
разделител
За да намерите неизвестен множител, трябва да разделите продукта на известния множител.
За да намерите неизвестния дивидент, трябва да умножите частното по делителя.
За да намерите неизвестен делител, трябва да разделите дивидента на частното.
y 4 = 12
y=12:4
y=3
Преглед
y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Преглед
8:y=4
y=8:4
y=2
Преглед
Уравнението е равенство, съдържащо буква, чийто знак трябва да се намери. Решението на уравнение е набор от буквени стойности, който превръща уравнението в истинско равенство:
Спомнете си това, за да решите уравнениетрябва да прехвърлите членовете с неизвестното в едната част на равенството, а числовите членове в другата, да донесете подобни и да получите следното равенство:
От последното равенство определяме неизвестното според правилото: „един от множителите е равен на частното, разделено на втория множител“.
Тъй като рационалните числа a и b могат да имат еднакви и различни знаци, тогава знакът на неизвестното се определя от правилата за деление на рационални числа.
Процедура за решаване на линейни уравнения
Линейното уравнение трябва да бъде опростено чрез отваряне на скобите и извършване на операциите от втората стъпка (умножение и деление).
Преместете неизвестните от едната страна на знака за равенство, а числата от другата страна на знака за равенство, като получите равенство, идентично на даденото,
Донесете подобни отляво и отдясно на знака за равенство, като получите равенство на формата брадва = b.
Изчислете корена на уравнението (намерете неизвестното хот равенството х = b : а),
Проверете, като замените неизвестното в даденото уравнение.
Ако получим идентичност в числово равенство, тогава уравнението е решено правилно.
Частни случаи на решаване на уравнения
- Ако уравнениетодадено произведение, равно на 0, тогава, за да го решим, използваме свойството на умножението: „произведението е равно на нула, ако един от факторите или двата фактора са равни на нула.“
- Разгънете скобите, ако има такива;
- Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
- Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
- Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.
- Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
- Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.
- На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
- След това комбинирайте подобни
- Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата - условията, в които се съдържа - от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.
- Разгънете скобите, ако има такива.
- Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
- Представяме подобни условия.
- Разделяме всичко на коефициента „х“.
- Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
- Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.
- Отделни променливи.
- Отървете се от дробите.
- Отворете скобите.
- Донесете подобни.
- Разделете на съотношението.
- Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
- Възможност за отваряне на скоби.
- Не се притеснявайте, ако видите квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще намалеят.
- Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.
- Ирационално уравнение: научаване за решаване чрез метода на изолиране на корена
- Как да решим биквадратно уравнение
- Тест към урока “Сложни изрази с дроби” (лесен)
- Пробен единен държавен изпит 2012 от 7 декември. Вариант 1 (без логаритми)
- Видео урок по задачи C2: разстояние от точка до равнина
- Учител по математика: къде да намеря ученици?
27 (х - 3) = 0
27 не е равно на 0, което означава х - 3 = 0
Вторият пример има две решения на уравнението, тъй като
това е уравнение от втора степен:
Ако коефициентите на уравнението са обикновени дроби, тогава първо трябва да се отървем от знаменателите. За това:
Намерете общия знаменател;
Определете допълнителни фактори за всеки член на уравнението;
Умножете числителите на дроби и цели числа с допълнителни множители и запишете всички членове на уравнението без знаменатели (общият знаменател може да бъде изхвърлен);
Преместете членовете с неизвестни от едната страна на уравнението, а числовите членове от другата от знака за равенство, като получите еквивалентно равенство;
Доведете подобни членове;
Основни свойства на уравненията
Във всяка част от уравнението можете да добавите подобни членове или да отворите скоби.
Всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от една част на уравнението в друга чрез промяна на знака му на противоположния.
И двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също число, с изключение на 0.
В примера по-горе всички негови свойства са използвани за решаване на уравнението.
Правило за решаване на прости уравнения
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много „не много. »
И за тези, които „много. ")
Линейни уравнения.
Линейните уравнения не са най-много сложна тема училищна математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)
Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:
Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: „където a и b са произволни числа“. И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са някакви числа?), тогава се оказва смешно изражение:
Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,А b=5,Това се оказва нещо съвсем необичайно:
Което е стресиращо и подкопава доверието в математиката, да.) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази вие също трябва да намерите X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.
Как да намерите линейно уравнение по външен вид? Зависи какво външен вид.) Номерът е, че не само уравненията от формата се наричат линейни уравнения брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)
В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:
Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението
не може да се нарече линеен. Тук X-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.
Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме радва.)
Решаване на линейни уравнения. Примери.
Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.
Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.
Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.
За да направите това, трябва да прехвърлите — 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, и — 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравнения.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно.) Получаваме:
Ето подобни, считаме:
Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Да се отървете от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:
Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.
Например, ето уравнението:
Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. Малки стъпки по дълъг път. Или можете да го направите веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.
Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?
95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:
Забележка! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:
Разгънете останалите скоби:
Не е пример, но чисто удоволствие!) Сега нека си спомним заклинанието от младши класове: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:
И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:
Това е всичко. Отговор: х=0,16
Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод ляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо досадно повтарям за тези идентични трансформации през цялото време.)
Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.
Но. В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че те могат да ви вкарат в силен ступор.) За щастие може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.
Специални случаи при решаване на линейни уравнения.
Първа изненада.
Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:
Леко отегчени се движим с Х наляво, без Х - надясно. Със смяната на знака всичко е наред. Получаваме:
Ние мислим и опа. Получаваме:
Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?В противен случай решението не се брои, нали.) Безизходица?
Спокоен! В такива съмнителни случаи ще ви спасят най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.
Но имаме истинско равенство вечесе случи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?Хайде?)
да X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.
Ето вашия отговор: x - произволно число.
Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.
Втора изненада.
Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:
След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:
Като този. Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. От гледна точка на математиката, имаме фалшиво равенство.И говорене на прост език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решениеуравнения.)
Отново мислим въз основа на Общи правила. Какво х ще ни дадат, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)
Ето вашия отговор: няма решения.
Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.
Като този. Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)
Сега, след като се справихме с всички клопки в линейни уравнения, има смисъл да ги разрешите.
Ще бъдат ли на Единния държавен изпит? – Чувам въпроса на практичните хора. Аз отговарям. IN чиста форма- Не. Твърде основно. Но в GIA или при решаване на проблеми в Единния държавен изпит определено ще ги срещнете! И така, сменяме мишката с писалка и решаваме.
Отговорите са дадени подредени: 2,5; няма решения; 51; 17.
Се случи?! Честито! Имате добри шансове на изпитите.)
Отговорите не съвпадат? Хммм. Това не ме прави щастлив. Това не е тема, без която можете. Препоръчвам да посетите раздел 555. Той е описан много подробно, Каквотрябва да се направи и какнаправете това, за да не се объркате в решението. Използвайки тези уравнения като пример.
А как се решават уравненияпо-хитри - това е в следващата тема.
Ако харесвате този сайт.
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Тук можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
А тук можете да се запознаете с функции и производни.
Решаване на линейни уравнения 7 клас
За решаване на линейни уравненияизползвайте две основни правила (свойства).
Имот No1
или
правило за прехвърляне
Когато се прехвърля от една част на уравнението в друга, член на уравнението променя знака си на противоположния.
Нека разгледаме правилото за прехвърляне с помощта на пример. Да предположим, че трябва да решим линейно уравнение.
Спомнете си, че всяко уравнение има лява и дясна страна.
Нека преместим числото "3" от лявата страна на уравнението вдясно.
Тъй като числото „3“ имаше знак „+“ от лявата страна на уравнението, това означава, че „3“ ще бъде прехвърлено в дясната страна на уравнението със знак „−“.
получено числова стойност"x = 2" се нарича корен на уравнението.
Не забравяйте да запишете отговора след решаването на всяко уравнение.
Нека разгледаме друго уравнение.
Съгласно правилото за прехвърляне, преместваме "4x" от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака на противоположния.
Въпреки че няма знак пред "4x", разбираме, че има знак "+" пред "4x".
Сега нека дадем подобни и да решим уравнението докрай.
Имот No2
или
правило за деление
Във всяко уравнение можете да разделите лявата и дясната страна на едно и също число.
Но не можете да се разделите на неизвестното!
Нека да разгледаме пример как да използваме правилото за деление при решаване на линейни уравнения.
Числото „4“, което означава „х“, се нарича числов коефициент на неизвестното.
Между числовия коефициент и неизвестното винаги има действие на умножение.
За да решите уравнението, трябва да се уверите, че „x“ има коефициент „1“.
Нека си зададем въпроса: “На какво трябва да разделим “4”, за да
получи "1"? Отговорът е очевиден, трябва да разделите на „4“.
Използваме правилото за разделяне и разделяме лявата и дясната страна на уравнението на „4“. Не забравяйте, че трябва да разделите лявата и дясната част.
Нека използваме редукция на дроби и решим линейното уравнение до края.
Как да решим уравнение, ако "x" е отрицателно
Често в уравненията има ситуация, при която „x“ има отрицателен коефициент. Като в уравнението по-долу.
За да решим такова уравнение, отново си задаваме въпроса: „На какво трябва да разделим „−2“, за да получим „1“?“ Трябва да разделите на „−2“.
Решаване на прости линейни уравнения
В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат най-простите.
Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?
Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.
Най-простото уравнение означава конструкцията:
Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:
Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:
Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.
Примери за решаване на уравнения
Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.
Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:
След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.
На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.
Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, със самото прости задачи.
Схема за решаване на прости линейни уравнения
Първо, позволете ми отново да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:
Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.
Решаване на реални примери на прости линейни уравнения
Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че ги пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:
Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:
Така че получихме отговора.
Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:
И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:
В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.
Третото линейно уравнение е по-интересно:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:
Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:
Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:
Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения
Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:
Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.
Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.
Разбирайки това прост фактще ви позволи да избегнете глупави и обидни грешки в гимназията, когато извършването на такива действия се приема за даденост.
Решаване на сложни линейни уравнения
Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.
Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:
Сега нека да разгледаме поверителността:
Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:
Извършваме същите действия. Първа стъпка:
Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:
Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:
или няма корени.
Нюанси на решението
И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.
Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:
Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.
И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.
Правим същото с второто уравнение:
Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно изпълнение прости стъпкиводи до факта, че гимназисти идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.
Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.
Решаване на още по-сложни линейни уравнения
Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]
Нека умножим всички елементи от първата част:
Нека направим малко поверителност:
Нека завършим последната стъпка:
Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:
Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:
Нека преместим термините с „X“ наляво, а тези без – надясно:
Ето подобни термини:
За пореден път получихме окончателния отговор.
Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.
За алгебричната сума
С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.
Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.
И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.
Решаване на уравнения с дроби
За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:
Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.
Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:
Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.
Нека се отървем от дробите в това уравнение:
Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]
Изключваме променливата:
Извършваме намаляване на подобни условия:
\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]
Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.
Тук извършваме всички същите действия:
Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.
Ключови точки
Основните констатации са:
Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!
За да гледате видеото, въведете имейла си и щракнете върху бутона „Стартиране на обучението“.
- Преподавател с 12 години опит
- Видеозапис на всеки урок
- Единична цена на класовете - 3000 рубли за 60 минути
- стойността на променлива, която превръща знаменателя в 0, не може да бъде корен;
- Не можете да разделите или умножите уравнение по израза =0.
- Разгънете скобите, ако има такива;
- Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
- Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
- Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.
- Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
- Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.
- На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
- След това комбинирайте подобни
- Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата – термините, в които се съдържа – от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.
- Разгънете скобите, ако има такива.
- Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
- Представяме подобни условия.
- Разделяме всичко на коефициента „х“.
- Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
- Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.
- Отворете скобите.
- Отделни променливи.
- Донесете подобни.
- Разделете на съотношението.
- Отървете се от дробите.
- Отворете скобите.
- Отделни променливи.
- Донесете подобни.
- Разделете на съотношението.
- Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
- Възможност за отваряне на скоби.
- Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще бъдат намалени в процеса на по-нататъшни трансформации.
- Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.
Линейни уравнения. Решение, примери.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Линейни уравнения.
Линейните уравнения не са най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)
Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:
брадва + b = 0 Където а и б– всякакви числа.
2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2
Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:
Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,А b=5,Това се оказва нещо съвсем необичайно:
Което е досадно и подкопава доверието в математиката, да...) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази вие също трябва да намерите X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.
Как да разпознаем линейно уравнение по външния му вид? Зависи от външния вид.) Номерът е, че линейните уравнения не са само уравнения на формата брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)
В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:
Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението
не може да се нарече линеен. Тук X-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.
Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме радва.)
Решаване на линейни уравнения. Примери.
Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.
Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.
x - 3 = 2 - 4x
Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.
За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, и - 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравнения.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно ...) Получаваме:
x + 4x = 2 + 3
Ето подобни, считаме:
Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Да се отървете от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:
Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.
Например, ето уравнението:
Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. Малки стъпки по дълъг път. Или можете да го направите веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.
Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?
95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:
Разширяване на скобите:
Забележка! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:
Разгънете останалите скоби:
Не пример, а чисто удоволствие!) Сега нека си спомним едно заклинание от началното училище: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:
Ето някои подобни:
И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:
Това е всичко. Отговор: х=0,16
Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод ляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо досадно повтарям за тези идентични трансформации през цялото време.)
Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.
Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви вкарат в силен ступор...) За щастие, може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.
Специални случаи при решаване на линейни уравнения.
Първа изненада.
Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Леко отегчени го местим с X наляво, без X - надясно... Със смяна на знака всичко е перфектно... Получаваме:
2x-5x+3x=5-2-3
Броим, и... опа!!! Получаваме:
Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?Иначе решението не се брои, нали...) Deadlock?
Спокоен! В такива съмнителни случаи ще ви спасят най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.
Но имаме истинско равенство вечесе случи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?Хайде?)
Да!!! X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.
Ето вашия отговор: x - произволно число.
Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.
Втора изненада.
Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:
Като този. Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. От гледна точка на математиката, имаме фалшиво равенство.Но с прости думи това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решение на уравнението.)
Отново мислим въз основа на общи правила. Какво х ще ни дадат, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)
Ето вашия отговор: няма решения.
Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.
Като този. Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)
Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Решаване на уравнения с дробиНека да разгледаме примерите. Примерите са прости и илюстративни. С тяхна помощ ще можете да разберете по най-разбираемия начин.
Например, трябва да решите простото уравнение x/b + c = d.
Уравнение от този тип се нарича линейно, т.к Знаменателят съдържа само числа.
Решението се извършва чрез умножаване на двете страни на уравнението по b, след което уравнението приема формата x = b*(d – c), т.е. знаменателят на дробта от лявата страна се съкращава.
Например как да се реши дробно уравнение:
х/5+4=9
Умножаваме двете страни по 5. Получаваме:
х+20=45
х=45-20=25
Друг пример, когато неизвестното е в знаменателя:
Уравненията от този тип се наричат дробно-рационални или просто дробни.
Бихме решили дробно уравнение, като се отървем от дробите, след което това уравнение най-често се превръща в линейно или квадратно уравнение, което се решава по обичайния начин. Просто трябва да вземете предвид следните точки:
Тук влиза в сила концепцията за областта на допустимите стойности (ADV) - това са стойностите на корените на уравнението, за които уравнението има смисъл.
По този начин, когато решавате уравнението, е необходимо да намерите корените и след това да ги проверите за съответствие с ODZ. Тези корени, които не отговарят на нашето ОДЗ, са изключени от отговора.
Например, трябва да решите дробно уравнение:
Въз основа на горното правило x не може да бъде = 0, т.е. ОДЗ в в такъв случай: x – всяка стойност, различна от нула.
Отърваваме се от знаменателя, като умножим всички членове на уравнението по x
И решаваме обичайното уравнение
5x – 2x = 1
3x = 1
х = 1/3
Отговор: x = 1/3
Нека решим едно по-сложно уравнение:
ODZ присъства и тук: x -2.
Когато решаваме това уравнение, няма да преместим всичко на една страна и да приведем дробите към общ знаменател. Веднага ще умножим двете страни на уравнението по израз, който ще съкрати всички знаменатели наведнъж.
За да намалите знаменателите, трябва да умножите лявата страна по x+2 и дясната страна по 2. Това означава, че и двете страни на уравнението трябва да се умножат по 2(x+2):
Това е най-често срещаното умножение на дроби, което вече разгледахме по-горе.
Нека напишем същото уравнение, но малко по-различно
Лявата страна се редуцира с (x+2), а дясната с 2. След редукцията се получава обичайното линейно уравнение:
x = 4 – 2 = 2, което отговаря на нашето ОДЗ
Отговор: x = 2.
Решаване на уравнения с дробине е толкова трудно, колкото може да изглежда. В тази статия сме показали това с примери. Ако имате затруднения с как се решават уравнения с дроби, след което се отпишете в коментарите.
В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат най-простите.
Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?
Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.
Най-простото уравнение означава конструкцията:
Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:
Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:
Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.
Примери за решаване на уравнения
Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.
Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:
След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.
На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.
Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.
Схема за решаване на прости линейни уравнения
Първо, позволете ми отново да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:
Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.
Решаване на реални примери на прости линейни уравнения
Задача No1
Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:
Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Така че получихме отговора.
Задача No2
Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:
И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:
Ето някои подобни:
В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.
Задача No3
Третото линейно уравнение е по-интересно:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:
Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Нека направим сметката:
Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения
Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:
Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.
Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.
Разбирането на този прост факт ще ви помогне да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.
Решаване на сложни линейни уравнения
Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.
Пример №1
Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:
Сега нека да разгледаме поверителността:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Ето някои подобни:
Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:
\[\varnothing\]
или няма корени.
Пример №2
Извършваме същите действия. Първа стъпка:
Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:
Ето някои подобни:
Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:
\[\varnothing\],
или няма корени.
Нюанси на решението
И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.
Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:
Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.
И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.
Правим същото с второто уравнение:
Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.
Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.
Решаване на още по-сложни линейни уравнения
Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.
Задача No1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Нека умножим всички елементи от първата част:
Нека направим малко поверителност:
Ето някои подобни:
Нека завършим последната стъпка:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.
Задача No2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:
Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:
Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Ето подобни термини:
За пореден път получихме окончателния отговор.
Нюанси на решението
Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.
За алгебричната сума
С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.
Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.
И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.
Решаване на уравнения с дроби
За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:
Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.
Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:
Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.
Пример №1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Нека се отървем от дробите в това уравнение:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Сега нека разширим:
Изключваме променливата:
Извършваме намаляване на подобни условия:
\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.
Пример №2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Тук извършваме всички същите действия:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Проблемът е решен.
Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.
Ключови точки
Основните констатации са:
Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!
