Към youtube канала на сайта ни, за да сте наясно с всички нови видео уроци.

Първо, нека си припомним основните формули за степени и техните свойства.

Продукт на число асе случва само по себе си n пъти, можем да запишем този израз като a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Степен или експоненциални уравнения- това са уравнения, в които променливите са в степени (или експоненти), а основата е число.

Примери за експоненциални уравнения:

В този пример числото 6 е основата, винаги е отдолу и променливата хстепен или мярка.

Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Сега нека да разгледаме как се решават експоненциалните уравнения?

Да вземем едно просто уравнение:

2 х = 2 3

Такъв пример може да бъде решен дори в ума. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека видим как трябва да се вземе това решение:

2 х = 2 3
х = 3

За да решим това уравнение, ние го премахнахме същите основания(тоест двойки) и написах каквото е останало, това са степени. Получихме отговора, който търсихме.

Сега нека обобщим нашето решение.

Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери същотодали основите на уравнението отдясно и отляво. Ако основанията не са еднакви, търсим варианти за решаване на този пример.
2. След като основите са еднакви, приравнявамстепен и решете полученото ново уравнение.

Сега нека решим няколко примера:

Да започнем просто.

Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да изравним техните степени.

x+2=4 Получи се най-простото уравнение.
х=4 - 2
х=2
Отговор: x=2

В следващия пример можете да видите, че основите са различни, това са 3 и 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Като начало прехвърляме деветката в дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=3 2 . Нека използваме формулата за мощност (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Получаваме 9 x + 8 = (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 сега е ясно, че основите от лявата и дясната страна са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги изхвърлим и да изравним градусите.

3x=2x+16 получава най-простото уравнение
3x-2x=16
х=16
Отговор: x=16.

Нека да разгледаме следния пример:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

На първо място, разглеждаме основите, основите са различни две и четири. И ние трябва да сме същите. Преобразуваме четворката по формулата (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Добавете към уравнението:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадохме пример по същите причини. Но ни пречат други числа 10 и 24. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна повтаряме 2 2x, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Нека изчислим израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Разделяме цялото уравнение на 6:

Представете си 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 основи са еднакви, изхвърлете ги и приравнете степените.
2x \u003d 2 се оказа най-простото уравнение. Разделяме го на 2, получаваме
х = 1
Отговор: х = 1.

Нека решим уравнението:

9 x - 12*3 x +27= 0

Нека трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Нашите основи са еднакви, равни на 3. В този пример е ясно, че първата тройка има степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на заместване. Числото с най-малка степен се заменя с:

Тогава 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Заменяме всички степени с x в уравнението с t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Получаваме квадратно уравнение. Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Обратно към променлива х.

Взимаме t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Това е,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Един корен беше намерен. Търсим втория, от t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 х = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 \u003d 2; х 2 = 1.

На сайта можете в секцията ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ ​​да зададете въпроси, които ви интересуват, ние определено ще ви отговорим.

Присъединете се към група

Оборудване:

• компютър,
• мултимедиен проектор,
• екран,
• Приложение 1(слайд презентация в PowerPoint) „Методи за решаване на експоненциални уравнения“
• Приложение 2(Решение на уравнение като „Три различни основи на степени“ в Word)
• Приложение 3(разпечатка в Word за практическа работа).
• Приложение 4(раздаване в Word за домашна работа).

По време на занятията

1. Организационен етап

• съобщение на темата на урока (написано на дъската),
• необходимостта от обобщаващ урок в 10-11 клас:

Етапът на подготовка на учениците за активно усвояване на знания

Повторение

Определение.

Експоненциалното уравнение е уравнение, съдържащо променлива в експонента (ученикът отговаря).

Бележка на учителя. Експоненциалните уравнения принадлежат към класа на трансцендентните уравнения. Това трудно за произнасяне име подсказва, че такива уравнения, най-общо казано, не могат да бъдат решени под формата на формули.

Те могат да бъдат решени само с приблизително числени методи на компютри. Но какво да кажем за изпитните въпроси? Целият трик е, че проверяващият съставя проблема по такъв начин, че той просто допуска аналитично решение. С други думи, можете (и трябва!) да правите такива идентични трансформации, които редуцират даденото експоненциално уравнение до най-простото експоненциално уравнение. Това е най-простото уравнение и се нарича: най-простото експоненциално уравнение. Решено е логаритъм.

Ситуацията с решението на експоненциално уравнение наподобява пътуване през лабиринт, което е специално измислено от компилатора на задачата. От тези много общи съображения следват доста конкретни препоръки.

За да решите успешно експоненциални уравнения, трябва:

1. Не само активно познавайте всички експоненциални идентичности, но и намирайте набори от стойности на променливата, върху която са дефинирани тези идентичности, така че при използването на тези идентичности човек да не придобива ненужни корени и още повече да не губи решения на уравнението.

2. Познавайте активно всички експоненциални идентичности.

3. Ясно, подробно и без грешки, извършвайте математически трансформации на уравнения (прехвърляйте членове от една част на уравнението в друга, без да забравяте да промените знака, да намалите дроба до общ знаменател и т.н.). Това се нарича математическа култура. В същото време самите изчисления трябва да се извършват автоматично с ръце, а главата трябва да мисли за общата водеща нишка на решението. Необходимо е трансформациите да се правят възможно най-внимателно и подробно. Само това ще гарантира правилно решение без грешки. И запомнете: малка аритметична грешка може просто да създаде трансцендентно уравнение, което по принцип не може да бъде решено аналитично. Оказва се, че сте загубили пътя си и сте се натъкнали на стената на лабиринта.

4. Познайте методите за решаване на проблеми (тоест познайте всички пътища през лабиринта на решението). За правилна ориентация на всеки етап ще трябва (съзнателно или интуитивно!):

• дефинирай тип уравнение;
• запомнете съответния тип метод на решениезадачи.

Етапът на обобщаване и систематизиране на изучавания материал.

Учителят, заедно с учениците, с участието на компютър провежда обзорно повторение на всички видове експоненциални уравнения и методи за тяхното решаване и съставя обща схема. (Използва се учебната компютърна програма на Л. Я. Боревски „Курс по математика – 2000 г.“, автор на презентацията на PowerPoint е Т. Н. Купцова.)

Ориз. един.Фигурата показва обща схема на всички видове експоненциални уравнения.

Както може да се види от тази диаграма, стратегията за решаване на експоненциални уравнения е да се сведе това експоненциално уравнение до уравнението, преди всичко, със същите основи , а след това - и със същите показатели.

След като сте получили уравнение със същите основи и експоненти, вие заменяте тази степен с нова променлива и получавате просто алгебрично уравнение (обикновено дробно рационално или квадратно) по отношение на тази нова променлива.

Чрез решаване на това уравнение и извършване на обратна замяна, вие получавате набор от прости експоненциални уравнения, които могат да бъдат решени като цяло с помощта на логаритъм.

Отделно се открояват уравненията, в които се срещат само продукти на (частни) правомощия. Използвайки експоненциални тъждества, е възможно тези уравнения незабавно да се приведат в една база, по-специално към най-простото експоненциално уравнение.

Помислете как се решава експоненциално уравнение с три различни основи на степените.

(Ако учителят има учебна компютърна програма от Л. Я. Боревски "Курс по математика - 2000 г.", тогава естествено работим с диска, ако не, можете да разпечатате този тип уравнение за всяка бюро от него, представено по-долу .)

Ориз. 2.План за решение на уравнение.

Ориз. 3.Започваме да решаваме уравнението

Ориз. 4.Краят на решението на уравнението.

Извършване на практическа работа

Определете вида на уравнението и го решете.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Обобщаване на урока

Оценяване на урок.

края на урока

За учителя

Схема на практическите отговори на работата.

Упражнение:от списъка с уравнения изберете уравненията от посочения тип (поставете номера на отговора в таблицата):

1. Три различни бази
2. Две различни основи - различни степени
3. Основи на степените - степени на едно число
4. Едни и същи основи, различни експоненти
5. Същите експонентни основи - същите експоненти
6. Продукт на правомощията
7. Две различни основи на градусите - едни и същи показатели
8. Най-простите експоненциални уравнения

1. (продукт на силите)

2. (същите основи - различни експоненти)

Решение на експоненциални уравнения. Примери.

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Какво експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което са неизвестните (x) и изразите с тях индикаторинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 x 2 x = 8 x + 3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само числа. AT индикаториградуси (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с x. Ако изведнъж в уравнението се появи x някъде, различно от индикатора, например:

това ще бъде уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаване. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се справим с решение на експоненциални уравненияв най-чистата му форма.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги са ясно решени. Но има определени видове експоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Това са видовете, които ще разгледаме.

Решение на най-простите експоненциални уравнения.

Нека започнем с нещо много основно. Например:

Дори и без никаква теория, чрез проста селекция става ясно, че x = 2. Нищо повече, нали!? Няма други хвърляния на x стойност. И сега нека разгледаме решението на това сложно експоненциално уравнение:

какво направихме? Ние всъщност просто изхвърлихме едни и същи дъна (тройки). Напълно изхвърлен. И това, което радва, уцели целта!

Наистина, ако в експоненциалното уравнение отляво и отдясно са същоточисла във всяка степен, тези числа могат да бъдат премахнати и равни експоненти. Математиката позволява. Остава да се реши много по-просто уравнение. Хубаво е, нали?)

Все пак нека си припомним иронично: можете да премахнете базите само когато базовите номера са отляво и отдясно в страхотна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , или

Не можете да премахнете двойки!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от лоши експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Ето ги тези времена! - ти каза. "Кой ще даде такъв примитив на контролни и изпити!?"

Принуден да се съгласи. Никой няма. Но сега знаете къде да отидете, когато решавате объркващи примери. Необходимо е да го напомним, когато едно и също базово число е отляво - отдясно. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класиката на математиката. Вземаме оригиналния пример и го трансформираме в желаното насум. По правилата на математиката, разбира се.

Помислете за примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги доведете до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Решение на прости експоненциални уравнения. Примери.

При решаването на експоненциални уравнения основните правила са действия с правомощия.Без познаване на тези действия нищо няма да работи.

Към действията с степени трябва да се добави лично наблюдение и изобретателност. Имаме ли нужда от еднакви основни числа? Така че ние ги търсим в примера в изричен или криптиран вид.

Да видим как се прави това на практика?

Нека ни дадем пример:

2 2x - 8 x+1 = 0

Първи поглед към основания.Те... Различни са! Две и осем. Но е твърде рано да се обезкуражаваме. Време е да си спомним това

Двама и осем са роднини по степен.) Напълно възможно е да се запише:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ако си припомним формулата от действия с правомощия:

(a n) m = a nm ,

като цяло работи страхотно:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Оригиналният пример изглежда така:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ние прехвърляме 2 3 (x+1)вдясно (никой не е отменил елементарните действия на математиката!), получаваме:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Това е практически всичко. Премахване на основи:

Решаваме това чудовище и получаваме

Това е правилният отговор.

В този пример познаването на силите на двама ни помогна. ние идентифициранв осмицата, криптираната двойка. Тази техника (кодиране на общи бази под различни числа) е много популярен трик в експоненциалните уравнения! Да, дори в логаритми. Човек трябва да може да разпознава степените на други числа в числа. Това е изключително важно за решаването на експоненциални уравнения.

Факт е, че вдигането на произволно число на всяка степен не е проблем. Умножете, дори на лист хартия, и това е всичко. Например всеки може да вдигне 3 на пета степен. 243 ще се окаже, ако знаете таблицата за умножение.) Но в експоненциалните уравнения много по-често е необходимо да не се повишава на степен, а обратното ... какъв номер до каква степенсе крие зад числото 243 или, да речем, 343... Никой калкулатор няма да ви помогне тук.

Трябва да знаете силите на някои числа наглед, да... Да се ​​упражняваме?

Определете какви степени и какви числа са числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Отговори (в бъркотия, разбира се!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ако се вгледате внимателно, можете да видите странен факт. Има повече отговори, отколкото въпроси! Е, случва се... Например 2 6 , 4 3 , 8 2 е всичко 64.

Да приемем, че сте си взели под внимание информацията за запознаване с числата.) Нека ви напомня, че за решаване на експоненциални уравнения прилагаме цялотозапас от математически знания. Включително и от долните средни класове. Не си отишъл направо в гимназията, нали?

Например, когато решавате експоненциални уравнения, поставянето на общия множител извън скоби много често помага (здравейте на 7-ми клас!). Да видим пример:

3 2x+4 -11 9 x = 210

И отново, първият поглед - на основание! Основите на степените са различни... Три и девет. И ние искаме те да бъдат същите. Е, в този случай желанието е напълно осъществимо!) Защото:

9 x = (3 2) x = 3 2x

По същите правила за действия със степени:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Това е страхотно, можете да напишете:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Дадохме пример по същите причини. И така, какво следва!? Тройки не могат да се изхвърлят ... Безизходица?

Въобще не. Запомнете най-универсалното и мощно правило за вземане на решения всичкоматематически задачи:

Ако не знаете какво да правите, направете каквото можете!

Гледаш, всичко е оформено).

Какво има в това експоненциално уравнение могаправя? Да, лявата страна директно пита за скоби! Общият фактор 3 2x ясно загатва за това. Нека опитаме и тогава ще видим:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Примерът става все по-добър и по-добър!

Припомняме, че за да премахнем основите, се нуждаем от чиста степен, без никакви коефициенти. Числото 70 ни притеснява. И така, разделяме двете страни на уравнението на 70, получаваме:

Оп-па! Всичко е било наред!

Това е окончателният отговор.

Случва се обаче да се получи рулиране на същото основание, но не и тяхното ликвидиране. Това се случва в експоненциални уравнения от друг тип. Да вземем този тип.

Промяна на променлива при решаване на експоненциални уравнения. Примери.

Нека решим уравнението:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Първо - както обикновено. Да преминем към основата. Към двойката.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Получаваме уравнението:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

И тук ще висим. Предишните трикове няма да работят, както и да го завъртите. Ще трябва да вземем от арсенала на друг мощен и гъвкав начин. Нарича се променлива замяна.

Същността на метода е изненадващо проста. Вместо една сложна икона (в нашия случай 2 x), пишем друга, по-проста (например t). Такава привидно безсмислена замяна води до невероятни резултати!) Всичко просто става ясно и разбираемо!

Така че нека

Тогава 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Заменяме в нашето уравнение всички степени с x с t:

Е, светва ли?) Още ли не сте забравили квадратните уравнения? Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:

Тук основното е да не спираме, както се случва ... Това все още не е отговорът, имаме нужда от x, а не t. Връщаме се към Xs, т.е. извършване на подмяна. Първо за t 1:

Това е,

Един корен беше намерен. Търсим втория, от t 2:

Хм... Ляво 2 х, Дясно 1... Закачване? Да, изобщо не! Достатъчно е да запомните (от действия със степени, да ...), че е единство всякаквичисло до нула. Всякакви. Каквото ви трябва, ние ще го поставим. Трябва ни двойка. означава:

Това е всичко. Имам 2 корена:

Това е отговорът.

В решаване на експоненциални уравнениянакрая понякога се получава някакъв неудобен израз. Тип:

От седемте, двойка до проста степен не работи. Те не са роднини... Как мога да бъда тук? Някой може да се обърка ... Но човекът, който прочете на този сайт темата "Какво е логаритъм?" , само се усмихнете пестеливо и запишете с твърда ръка абсолютно верния отговор:

Не може да има такъв отговор в задачи "Б" на изпита. Изисква се конкретен номер. Но в задачи "C" - лесно.

Този урок предоставя примери за решаване на най-често срещаните експоненциални уравнения. Нека подчертаем основното.

Практически съвети:

1. На първо място, ние разглеждаме основанияградуси. Да видим дали не могат да се направят същото.Нека се опитаме да направим това чрез активно използване действия с правомощия.Не забравяйте, че числата без x също могат да се превърнат в градуси!

2. Опитваме се да приведем експоненциалното уравнение до вида, когато лявото и дясното са същоточисла до всякаква степен. Ние използваме действия с правомощияи факторизация.Това, което може да се брои в числа - ние броим.

3. Ако вторият съвет не работи, се опитваме да приложим заместването на променливата. Резултатът може да бъде уравнение, което лесно се решава. Най-често - квадрат. Или дробно, което също се свежда до квадрат.

4. За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете степените на някои числа „на очи“.

Както обикновено, в края на урока сте поканени да решите малко.) Сами. От просто към сложно.

Решете експоненциални уравнения:

По-трудно:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Намерете произведение на корените:

2 3-x + 2 x = 9

Се случи?

Е, тогава най-сложният пример (решен обаче е в ума...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Какво е по-интересно? Тогава ето ви лош пример. Доста издърпващо при повишена трудност. Ще намекна, че в този пример изобретателността и най-универсалното правило за решаване на всички математически задачи спестяват.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Примерът е по-прост, за релаксация):

9 2 x - 4 3 x = 0

И за десерт. Намерете сумата от корените на уравнението:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Да да! Това е уравнение от смесен тип! Което не разгледахме в този урок. И какво да ги разгледаме, те трябва да бъдат решени!) Този урок е напълно достатъчен за решаване на уравнението. Е, нужна е изобретателност... И да, седми клас ще ви помогне (това е намек!).

Отговори (в безпорядък, разделени с точка и запетая):

един; 2; 3; 4; няма решения; 2; -2; -5; 4; 0

Всичко успешно ли е? Глоба.

Има проблем? Няма проблем! В специален раздел 555 всички тези експоненциални уравнения се решават с подробни обяснения. Какво, защо и защо. И, разбира се, има допълнителна ценна информация за работата с всякакви експоненциални уравнения. Не само с тези.)

Един последен забавен въпрос за разглеждане. В този урок работихме с експоненциални уравнения. Защо не казах и дума за ОДЗ тук?В уравненията това е много важно нещо, между другото ...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Лекция: "Методи за решаване на експоненциални уравнения."

1 . експоненциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни в експонентата, се наричат ​​експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a > 0 и a ≠ 1.

1) За б< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) За b > 0, използвайки монотонността на функцията и коренната теорема, уравнението има един корен. За да го намерим, b трябва да се представи като b = aс, ax = bс ó x = c или x = logab.

Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават по следните методи:

1) метод за намаляване на една база;

2) метод на оценка;

3) графичен метод;

4) методът за въвеждане на нови променливи;

5) метод на факторизация;

6) експоненциални - степенни уравнения;

7) експоненциална с параметър.

2 . Метод на редукция до една основа.

Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и техните основи са равни, тогава техните експоненти са равни, т.е., уравнението трябва да се опита да се сведе до вида

Примери. Решете уравнението:

1 . 3x=81;

Нека представим дясната страна на уравнението във формата 81 = 34 и напишем уравнението, еквивалентно на оригиналното 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> и преминете към уравнението за експоненти 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Отговор: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 са степени на 5. Нека се възползваме от това и трансформираме оригиналното уравнение, както следва:

, откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.

5. 3x = 5. По дефиниция на логаритъма, x = log35. Отговор: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Нека пренапишем уравнението като 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т.е.png" width="181" height="49 src="> Оттук x - 4 =0, x = 4. Отговор: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във вида e. x+1 = 2, x =1. Отговор: 1.

Банка със задачи No1.

Решете уравнението:

Тест номер 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) без корени
	1) 7;1 2) без корени 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) без корени 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод за оценка.

Теорема за корена: ако функцията f (x) се увеличава (намалява) на интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f на този интервал, тогава уравнението f (x) = a има един корен на интервала I.

При решаване на уравнения по метода на оценка се използва тази теорема и свойствата на монотонността на функцията.

Примери. Решаване на уравнения: 1. 4x = 5 - x.

Решение. Нека пренапишем уравнението като 4x + x = 5.

1. ако x = 1, тогава 41 + 1 = 5, 5 \u003d 5 е вярно, тогава 1 е коренът на уравнението.

Функцията f(x) = 4x се увеличава на R и g(x) = x се увеличава на R => h(x)= f(x)+g(x) се увеличава на R като сума от нарастващи функции, така че x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 – x. Отговор: 1.

2.

Решение. Пренаписваме уравнението във формата .

1. ако x = -1, тогава , 3 = 3-вярно, така че x = -1 е коренът на уравнението.

2. докаже, че е уникален.

3. Функцията f(x) = - намалява на R, а g(x) = - x - намалява на R => h(x) = f(x) + g(x) - намалява на R, като сумата на намаляващи функции. Така че според коренната теорема x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.

Банка от задачи No2. реши уравнението

а) 4x + 1 = 6 - x;

б)

в) 2x – 2 =1 – x;

4. Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът е описан в раздел 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Помислете за примери.

Примери. Ряж уравнение: 1. .

Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т.е.png" width="210" височина = "45">

Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин:

Обозначете https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не е подходящо.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> е ирационално уравнение. Имайте предвид, че

Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, така че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата и разделим двете страни на 56x+6 ≠ 0. Получаваме уравнението

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, така че..png" width="118" height="56">

Корените на квадратното уравнение - t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение . Пренаписваме уравнението във формата

и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.

Разделете уравнението на 42x, получаваме

Заменете https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Отговор: 0; 0,5

Банка със задачи №3. реши уравнението

б)

ж)

Тест №3 с избор на отговори. Минимално ниво.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) няма корени 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) няма корени 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест №4 с избор на отговори. Общо ниво.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) без корени

5. Метод на факторизация.

1. Решете уравнението: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Решение..png" width="169" height="69"> , откъде

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Решение. Нека извадим 6x от лявата страна на уравнението и 2x от дясната страна. Получаваме уравнението 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Тъй като 2x >0 за всички x, можем да разделим двете страни на това уравнение на 2x, без да се страхуваме, че ще загубим решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Решаваме уравнението чрез разлагане на множители.

Избираме квадрата на бинома

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 е коренът на уравнението.

Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест №6 Общо ниво.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Експоненциално – степенни уравнения.

Към експоненциалните уравнения се присъединяват т. нар. уравнения с експоненциална степен, т.е. уравнения от вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ако е известно, че f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнението, подобно на експоненциалното, се решава чрез уравнение на експонентите g(x) = f(x).

Ако условието не изключва възможността за f(x)=0 и f(x)=1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи при решаването на уравнението на експоненциалната степен.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Решение. x2 +2x-8 - има смисъл за всяко x, тъй като е полином, така че уравнението е еквивалентно на множеството

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Експоненциални уравнения с параметри.

1. За какви стойности на параметъра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) има еднозначно решение?

Решение. Нека въведем промяната 2x = t, t > 0, тогава уравнение (1) ще приеме формата t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминантът на уравнение (2) е D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.

1. Ако D = 0, тоест p = 1, тогава уравнение (2) ще приеме формата t2 – 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно, уравнение (1) има еднозначно решение x = 0.

2. Ако p1, тогава 9(p – 1)2 > 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p – 3. Множеството от системи удовлетворява условието на задачата

Замествайки t1 и t2 в системите, имаме

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Решение. Нека бъде тогава уравнение (3) ще приеме формата t2 – 6t – a = 0. (4)

Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) удовлетворява условието t > 0.

Нека представим функцията f(t) = t2 – 6t – a. Възможни са следните случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Случай 2. Уравнение (4) има уникално положително решение, ако

D = 0, ако a = – 9, тогава уравнение (4) ще приеме вида (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не отговаря на неравенството t > 0. Това е възможно, ако

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Така при a 0 уравнението (4) има единичен положителен корен . Тогава уравнение (3) има уникално решение

За< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ако< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = – 9, тогава x = – 1;

ако a  0, тогава

Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Забележете, че при решаването на уравнение (1) е сведено до квадратно уравнение, чийто дискриминант е пълен квадрат; по този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени по формулата на корените на квадратното уравнение и след това бяха направени заключения относно тези корени. Уравнение (3) е сведено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно при решаване на уравнение (3) е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен тричлен и графичен модел. Забележете, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.

Нека решаваме по-сложни уравнения.

Задача 3. Решете уравнението

Решение. ODZ: x1, x2.

Нека представим заместител. Нека 2x = t, t > 0, тогава в резултат на трансформации уравнението ще приеме формата t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Намерете стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Отговор: ако a > - 13, a  11, a  5, тогава ако a - 13,

a = 11, a = 5, тогава няма корени.

Библиография.

1. Гузеев основи на образователната технология.

2. Технология на Гузеев: от рецепция до философия.

М. „Ръководител” No4, 1996г

3. Гузеев и организационни форми на обучение.

4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.

М. "Народно образование", 2001г

5. Гузеев от формите на урока - семинар.

Математика в ОУ No2, 1987 г., с. 9 - 11.

6. Селевко образователни технологии.

М. "Народно образование", 1998г

7. Епишива ученици учат математика.

М. "Просвещение", 1990г

8. Иванов да подготви уроци – работилници.

Математика в ОУ No6, 1990 г., с. 37-40.

9. Смирнов модел на обучение по математика.

Математика в ОУ No1, 1997 г., с. 32-36.

10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.

Математика в ОУ No1, 1993 г., с. 27 - 28.

11. За един от видовете индивидуална работа.

Математика в ОУ No2, 1994, с. 63 - 64.

12. Хазанкин творчески способности на учениците.

Математика в ОУ No2, 1989 г., с. десет.

13. Сканави. Издател, 1997 г

14. и др. Алгебра и началото на анализа. Дидактически материали за

15. Кривоногов задачи по математика.

М. "Първи септември", 2002г

16. Черкасов. Наръчник за гимназисти и

влизане в университети. "A S T - пресшкола", 2002г

17. Жевняк за кандидатстващи в университети.

Минск и RF "Преглед", 1996 г

18. Писмено Г. Подготовка за изпита по математика. М. Ролф, 1999 г

19. и др.Учене за решаване на уравнения и неравенства.

М. "Интелект - център", 2003г

20. и др. Образователни и обучителни материали за подготовка за ЕГЕ.

М. "Интелект - център", 2003 и 2004г

21 и др. Варианти на CMM. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г

22. Уравнения на Голдберг. „Квант” No3, 1971г

23. Волович М. Как успешно се преподава математика.

Математика, 1997 No3.

24 Окунев за урока, деца! М. Просвещение, 1988

25. Якиманска - ориентирано обучение в училище.

26. Liimets работа на урока. М. Знание, 1975

Уравненията се наричат ​​експоненциални, ако неизвестното се съдържа в експонентата. Най-простото експоненциално уравнение има формата: a x \u003d a b, където a> 0 и 1, x е неизвестно.

Основните свойства на степените, с помощта на които се преобразуват експоненциалните уравнения: a>0, b>0.

При решаване на експоненциални уравнения се използват и следните свойства на експоненциалната функция: y = a x , a > 0, a1:

За представяне на число като степен се използва основното логаритмично тъждество: b = , a > 0, a1, b > 0.

Задачи и тестове по темата "Експоненциални уравнения"

• експоненциални уравнения

  Уроци: 4 Задачи: 21 Тестове: 1

• експоненциални уравнения - Важни теми за повтаряне на изпита по математика

  Задачи: 14

• Системи от експоненциални и логаритмични уравнения - Експоненциални и логаритмични функции 11 клас

  Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1

• §2.1. Решение на експоненциални уравнения

  Уроци: 1 Задачи: 27

• §7 Експоненциални и логаритмични уравнения и неравенства - Раздел 5. Експоненциални и логаритмични функции 10 клас

  Уроци: 1 Задачи: 17

За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете основните свойства на степените, свойствата на експоненциална функция и основната логаритмична идентичност.

При решаване на експоненциални уравнения се използват два основни метода:

1. преход от уравнението a f(x) = a g(x) към уравнението f(x) = g(x);
2. въвеждане на нови линии.

Примери.

1. Свеждане на уравнения до най-простото. Те се решават чрез привеждане на двете страни на уравнението в степен с една и съща основа.

3x = 9x - 2.

решение:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
х=4.

Отговор: 4.

2. Уравнения, решени чрез поставяне на общия множител в скоби.

решение:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 х - 2 = 3
х - 2 = 1
х=3.

Отговор: 3.

3. Уравнения, решени чрез промяна на променлива.

решение:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Означаваме 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
а) 2 x = - 4. Уравнението няма решения, т.к 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Отговор:дневник 2 3.

4. Уравнения, съдържащи степени с две различни (несводими една към друга) бази.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Отговор: 2.

5. Уравнения, които са хомогенни по отношение на a x и b x .

Обща форма:.

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

решение:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Означете (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Отговор:дневник 3/2 2; - дневник 3/2 2.