Ако сравните кръгове с различни размери, ще забележите следното: размерите на различните кръгове са пропорционални. Това означава, че когато диаметърът на една окръжност се увеличи с определен брой пъти, дължината на тази окръжност също се увеличава със същия брой пъти. Математически това може да се запише така:

° С 1		° С 2
	=
д 1		д 2	(1)

където C1 и C2 са дължините на две различни окръжности, а d1 и d2 са техните диаметри.
Тази връзка работи при наличието на коефициент на пропорционалност - вече познатата ни константа π. От съотношението (1) можем да заключим: дължината на окръжност C е равна на произведението от диаметъра на тази окръжност и коефициент на пропорционалност π, независим от окръжността:

C = π d.

Тази формула може да бъде написана и в друга форма, изразяваща диаметъра d през радиуса R на дадена окръжност:

С = 2π R.

Именно тази формула е пътеводител в света на кръговете за седмокласниците.

От древни времена хората са се опитвали да установят стойността на тази константа. Например, жителите на Месопотамия изчисляват площта на кръг, използвайки формулата:

Откъде идва π = 3?

IN древен Египетстойността за π беше по-точна. През 2000-1700 г. пр. н. е. писар на име Ахмес съставя папирус, в който намираме рецепти за решаване на различни практически проблеми. Така например, за да намери площта на кръг, той използва формулата:

			8			2
С	=	(		д	)
			9

Поради какви причини е стигнал до тази формула? – Неизвестен. Вероятно въз основа на неговите наблюдения обаче, както са правили други древни философи.

По стъпките на Архимед

Кое от двете числа е по-голямо от 22/7 или 3,14?
– Те са равни.
- Защо?
- Всеки от тях е равен на π.
А. А. Власов. От картата за преглед.

Някои хора смятат, че дробта 22/7 и числото π са идентично равни. Но това е погрешно схващане. В допълнение към горния неверен отговор на изпита (виж епиграфа), можете да добавите и един много забавен пъзел към тази група. Задачата гласи: „подредете едно съвпадение, така че равенството да стане истина“.

Решението би било следното: трябва да оформите „покрив“ за двете вертикални съвпадения отляво, като използвате един от вертикалните съвпадения в знаменателя вдясно. Ще се получи визуален образбукви π.

Много хора знаят, че приближението π = 22/7 е определено от древногръцкия математик Архимед. В чест на това това приближение често се нарича „архимедово“ число. Архимед успява не само да установи приблизителна стойност за π, но и да намери точността на това приближение, а именно да намери тесен цифров интервал, към който принадлежи стойността π. В едно от произведенията си Архимед доказва верига от неравенства, която по съвременен начин би изглеждала така:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

може да се напише по-просто: 3 140 909< π < 3,1 428 265...

Както виждаме от неравенствата, Архимед е намерил доста точна стойностс точност до 0,002. Най-изненадващото е, че той намери първите два знака след десетичната запетая: 3,14... Това е стойността, която най-често използваме в прости изчисления.

Практическа употреба

Двама души пътуват във влак:
- Вижте, релсите са прави, колелата са кръгли.
Откъде идва почукването?
- От къде? Колелата са кръгли, но площта
кръг пи ер квадрат, това е квадратът, който чука!

По правило те се запознават с това невероятно число в 6-7 клас, но го изучават по-задълбочено до края на 8-ми клас. В тази част на статията ще представим основните и най-важни формули, които ще ви бъдат полезни при решаването на геометрични задачи, но за начало ще се съгласим да приемем π като 3,14 за по-лесно изчисляване.

Може би най-известната формула сред учениците, която използва π, е формулата за дължината и площта на кръг. Първата, формулата за площта на кръг, се записва, както следва:

	π д 2
S=π R 2 =
	4

където S е площта на кръга, R е неговият радиус, D е диаметърът на кръга.

Обиколката на кръг или, както понякога се нарича, периметър на кръг, се изчислява по формулата:

С = 2 π R = π d,

където C е обиколката, R е радиусът, d е диаметърът на окръжността.

Ясно е, че диаметърът d е равен на два радиуса R.

От формулата за обиколка можете лесно да намерите радиуса на окръжността:

където D е диаметърът, C е обиколката, R е радиусът на кръга.

Това са основни формули, които всеки ученик трябва да знае. Също така понякога е необходимо да се изчисли площта не на целия кръг, а само на неговата част - сектора. Затова ви я представяме - формула за изчисляване на площта на сектор от кръг. Тя изглежда така:

			α
С	=	π R 2
			360 ˚

където S е площта на сектора, R е радиусът на окръжността, α е централният ъгъл в градуси.

Толкова мистериозен 3.14

Наистина е мистериозно. Защото в чест на тези магически числаорганизират празници, правят филми, провеждат обществени събития, пишат поезия и много други.

Например през 1998 г. излезе филмът на американския режисьор Дарън Аронофски, наречен „Пи“. Филмът получи много награди.

Всяка година на 14 март в 1:59:26 ч. хората, които се интересуват от математика, празнуват „Деня на Пи“. За празника хората приготвят кръгла питка, сядат да кръгла масаи обсъждайте Пи и решавайте проблеми и пъзели, свързани с Пи.

Поетите също обърнаха внимание на това невероятно число; неизвестен човек написа:
Просто трябва да се опитате да запомните всичко както е - три, четиринадесет, петнадесет, деветдесет и две и шест.

Хайде да се позабавляваме!

Предлагаме ви интересни пъзели с числото Пи. Разгадайте думите, които са криптирани по-долу.

1. π Р

2. π Л

3. π к

Отговори: 1. Празник; 2. Файл; 3. Скърцане.

Днес е рожденият ден на Пи, който по инициатива на американски математици се чества на 14 март в 1 час и 59 минути следобед. Това е свързано с по-точна стойност на Pi: всички сме свикнали да считаме тази константа за 3.14, но числото може да бъде продължено по следния начин: 3, 14159... Превеждайки това в календарна дата, получаваме 03.14, 1: 59.

Снимка: АиФ/ Надежда Уварова

Професор в катедрата по математика и функционален анализЮжноуралският държавен университет Владимир Заляпин казва, че „денят Пи“ все още трябва да се счита за 22 юли, тъй като в европейския формат на датата този ден се записва като 22/7 и стойността на тази дроб е приблизително равна на стойността на Пи.

„Историята на числото, което дава съотношението на обиколката към диаметъра на кръга, датира от древни времена“, казва Заляпин. - Още шумерите и вавилонците са знаели, че това отношение не зависи от диаметъра на кръга и е постоянно. Едно от първите споменавания на числото Пи може да се намери в текстовете Египетски писар Ахмес(около 1650 г. пр.н.е.). Древните гърци, които са заимствали много от египтяните, са допринесли за развитието на това мистериозно количество. Според легендата, Архимедбеше толкова увлечен от изчисленията, че не забеляза как римските войници го взеха роден градСиракуза. Когато римският войник се приближил до него, Архимед извикал на гръцки: „Не пипай моите кръгове!“ В отговор войникът го намушкал с меч.

Платонполучава доста точна стойност на Пи за времето си – 3,146. Лудолф ван Цайленизразходвани повечетопрез целия си живот работеше върху изчисленията на първите 36 знака след десетичната запетая на Пи и те бяха гравирани върху надгробния му камък след смъртта му."

Ирационално и ненормално

Според професора през цялото време стремежът към изчисляване на нови десетични знаци се е определял от желанието да се получи точната стойност на това число. Предполагаше се, че Пи е рационално и следователно може да бъде изразено като проста дроб. И това е фундаментално погрешно!

Числото Пи е популярно и защото е мистично. От древни времена съществува религия на поклонници на константата. Освен това традиционно значениеПи е математическа константа (3,1415...), изразяваща съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър; има много други значения на числото. Такива факти са интересни. В процеса на измерване на размерите на Голямата пирамида в Гиза се оказа, че тя има същото съотношение на височина към периметъра на основата си като радиуса на окръжност към нейната дължина, тоест ½ Pi.

Ако изчислите дължината на екватора на Земята с помощта на Pi до деветия знак след десетичната запетая, грешката в изчисленията ще бъде само около 6 mm. Тридесет и девет знака след десетичната запетая в Пи са достатъчни, за да се изчисли обиколката на окръжността около известни космически обекти във Вселената, с грешка не по-голяма от радиуса на водороден атом!

Изучаването на Пи включва и математически анализ. Снимка: АиФ/ Надежда Уварова

Хаос в числата

Според професор по математика през 1767г Ламбъртустанови ирационалността на числото Пи, тоест невъзможността да се представи като съотношение на две цели числа. Това означава, че последователността от десетични знаци на Пи е хаос, въплътен в числа. С други думи, „опашката“ от десетични знаци съдържа всяко число, всяка последователност от числа, всякакви текстове, които са били, са и ще бъдат, но просто не е възможно да се извлече тази информация!

„Невъзможно е да се знае точната стойност на Пи“, продължава Владимир Илич. - Но тези опити не са изоставени. През 1991г Чудновскипостигна нови 2260000000 знака след десетичната запетая на константата, а през 1994 г. - 4044000000. След това броят на правилните цифри на Пи се увеличи лавинообразно.

Китайецът държи световен рекорд по запомняне на Пи Лиу Чао, който успя да запомни 67 890 знака след десетичната запетая без грешка и да ги възпроизведе в рамките на 24 часа и 4 минути.

За "златното сечение"

Между другото, връзката между "пи" и друга невероятна величина - златното сечение - всъщност никога не е била доказана. Хората отдавна са забелязали, че "златната" пропорция - известна още като числото Фи - и числото Пи, разделено на две, се различават едно от друго с по-малко от 3% (1,61803398... и 1,57079632...). За математиката обаче тези три процента са твърде значителна разлика, за да се считат тези стойности за идентични. По същия начин можем да кажем, че числото Пи и числото Фи са роднини на друга добре позната константа - числото на Ойлер, тъй като коренът му е близо до половината от числото Пи. Едната половина на Пи е 1,5708, Фи е 1,6180, коренът на Е е 1,6487.

Това е само част от стойността на Пи. Снимка: Екранна снимка

Рожденият ден на Пи

В Южен Урал държавен университетРожден ден на Констант празнуват всички учители и ученици по математика. Винаги е било така - не може да се каже, че интересът се е проявявал само към последните години. Числото 3.14 се приветства дори от специални празничен концерт!

Таблица със стойности тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за указване корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, показваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от степенна мяркаъгъл. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез пи)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), това означава, че когато дадена стойностГрадусната мярка на ъглова функция няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Едно от най-мистериозните числа познати на човечеството, разбира се, е числото Π (чете се - pi). В алгебрата това число отразява съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. Преди това това количество се наричаше числото на Лудолф. Как и откъде идва числото Pi не е известно със сигурност, но математиците разделят цялата история на числото Π на 3 етапа: древен, класически и епоха цифрови компютри.

Числото P е ирационално, тоест не може да бъде представено като проста дроб, където числителят и знаменателят са цели числа. Следователно такова число няма край и е периодично. Ирационалността на P е доказана за първи път от I. Lambert през 1761 г.

В допълнение към това свойство, числото P не може също да бъде корен на който и да е полином и следователно свойството число, когато беше доказано през 1882 г., сложи край на почти свещения спор между математиците „за квадратурата на окръжността“, който продължи за 2500 години.

Известно е, че британецът Джоунс е първият, който въвежда обозначението на това число през 1706 г. След появата на трудовете на Ойлер използването на тази нотация става общоприето.

За да разберем подробно какво е числото Pi, трябва да се каже, че използването му е толкова широко разпространено, че е трудно дори да се назове област на науката, която би се справила без него. Един от най-простите и познати училищна програмастойности е обозначение на геометричния период. Съотношението на дължината на кръга към дължината на диаметъра му е постоянно и равно на 3,14. Тази стойност вече беше известна на най-древните математицив Индия, Гърция, Вавилон, Египет. Най-ранната версия на изчисляването на съотношението датира от 1900 г. пр.н.е. д. По-близо до съвременно значение P е изчислен от китайския учен Лю Хуей, освен това той изобретил и бърз начинтакова изчисление. Стойността му остава общоприета почти 900 години.

Класическият период в развитието на математиката е белязан от факта, че за да установят какво точно е числото Пи, учените започват да използват методи на математически анализ. През 1400 г. индийският математик Мадхава използва теорията на редовете, за да изчисли и определи периода на P с точност до 11 знака след десетичната запетая. Първият европеец след Архимед, който изучава числото P и има значителен принос за неговото обосноваване, е холандецът Лудолф ван Зейлен, който вече определя 15 цифри след десетичната запетая и в завещанието си пише много забавни думи: „. .. който го интересува, нека продължи напред.” Именно в чест на този учен числото P получи първото си и единствено име в историята.

Ерата на компютърните изчисления донесе нови детайли в разбирането на същността на числото P. И така, за да разберете какво е числото Pi, през 1949 г. за първи път беше използван компютърът ENIAC, един от разработчиците на който беше бъдещият „баща” на теорията на съвременните компютри, Дж. Първото измерване е извършено над 70 часа и дава 2037 цифри след десетичната запетая в периода на числото P. Милионната цифра е достигната през 1973 г. Освен това през този период бяха установени други формули, които отразяват числото P. Така братята Чудновски успяха да намерят такава, която направи възможно изчисляването на 1 011 196 691 цифри от периода.

Като цяло трябва да се отбележи, че за да се отговори на въпроса: „Какво е Пи?“, Много изследвания започнаха да приличат на състезания. Днес суперкомпютрите вече работят върху въпроса какво е истинското число Пи. Интересни фактиИдеите, свързани с тези изследвания, проникват в почти цялата история на математиката.

Днес например се провеждат световни първенства по запомняне на числото P и се записват световни рекорди, като последният е на китаеца Лиу Чао, който назова 67 890 знака за малко повече от ден. В света дори има празник на числото P, който се празнува като „Денят на Пи“.

Към 2011 г. вече са установени 10 трилиона цифри от числовия период.

Наскоро в Хабре в една статия те споменаха въпроса „Какво би станало със света, ако числото Пи беше равно на 4?“ Реших да помисля малко по тази тема, използвайки някои (макар и не най-обширните) познания в съответните области на математиката. Ако някой се интересува, моля вижте кат.

За да си представите такъв свят, трябва математически да реализирате пространство с различно съотношение на обиколката на кръг към неговия диаметър. Това се опитах да направя.

Опит No1.

Нека кажем веднага, че ще разглеждам само двумерни пространства. Защо? Тъй като окръжността всъщност е дефинирана в двумерно пространство (ако вземем предвид размерността n>2, тогава отношението на мярката на (n-1)-мерната окръжност към нейния радиус дори няма да бъде константа) .
И така, като начало се опитах да измисля поне някакво пространство, където Pi не е равно на 3,1415... За да направя това, взех метрично пространство с метрика, в която разстоянието между две точки е равно на максимума между модулите на координатната разлика (т.е. разстоянието Чебишев).

Каква форма ще има единичната окръжност в това пространство? Нека вземем точката с координати (0,0) за център на тази окръжност. Тогава множеството от точки, разстоянието (в смисъла на дадена метрика) от които до центъра е 1, е 4 сегмента, успоредни на координатните оси, образуващи квадрат със страна 2 и център в нула.

Да, в някаква метрика това е кръг!

Нека изчислим Пи тук. Радиусът е равен на 1, тогава диаметърът, съответно, е равен на 2. Можете също така да разгледате дефиницията на диаметъра като най-голямото разстояние между две точки, но въпреки това е равно на 2. Остава да се намери дължината на нашия „кръг“ в този показател. Това е сумата от дължините на всичките четири сегмента, които в този показател имат дължина max(0,2)=2. Това означава, че обиколката е 4*2=8. Е, тогава Пи тук е равно на 8/2=4. Се случи! Но трябва ли да сме много щастливи? Този резултат е практически безполезен, тъй като въпросното пространство е абсолютно абстрактно, в него дори не са дефинирани ъгли и завои. Можете ли да си представите свят, в който ротацията всъщност не е дефинирана и където кръгът е квадрат? Опитах, честно казано, но не ми стигна въображението.

Радиусът е 1, но има някои трудности при намирането на дължината на тази „окръжност“. След известно търсене в Интернет стигнах до извода, че в псевдоевклидовото пространство такова понятие като „Пи“ изобщо не може да бъде дефинирано, което със сигурност е лошо.

Ако някой в ​​коментарите ми каже как формално да изчисля дължината на крива в псевдоевклидово пространство, ще се радвам много, защото познанията ми по диференциална геометрия, топология (както и усърдното търсене в Гугъл) не бяха достатъчни за това.

Изводи:

Не знам дали е възможно да пиша за заключенията след такива краткосрочни проучвания, но може да се каже нещо. Първо, когато се опитах да си представя пространство с различно число пи, разбрах, че би било твърде абстрактно, за да бъде модел на реалния свят. Второ, когато, ако се опитате да излезете с по-успешен модел (подобен на нашия, реалния свят), се оказва, че Pi ще остане непроменено. Ако приемем за даденост възможността за отрицателно квадратно разстояние (което за обикновен човек- просто абсурдно), тогава Пи изобщо няма да бъде дефинирано! Всичко това предполага, че може би свят с различно число Пи изобщо не би могъл да съществува? Не напразно Вселената е точно такава, каквато е. Или може би това е реално, но обикновената математика, физика и човешкото въображение не са достатъчни за това. Какво мислиш?

АктуализацияРазбрах със сигурност. Дължината на крива в псевдоевклидово пространство може да бъде определена само върху някои от нейните евклидови подпространства. Тоест, по-специално, за „обиколката“, получена при опит N3, такова понятие като „дължина“ изобщо не е дефинирано. Съответно Пи не може да се изчисли и там.