Как да докажем, че пирамидата е правилен триъгълник. Пирамида. Правилна пирамида. Събиране и използване на лична информация

Пирамида- това е многостен, в който едното лице е основата на пирамидата - произволен многоъгълник, а останалите са странични лица - триъгълници с общ връх, наречен връх на пирамидата. Перпендикулярът, пуснат от върха на пирамидата към нейната основа, се нарича височина на пирамидата. Пирамидата се нарича триъгълна, четириъгълна и т.н., ако основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълник - петоъгълник и др.

Пирамида, Пресечена пирамида

Правилна пирамида

Ако основата на пирамидата е правилен многоъгълник, а височината пада до центъра на основата, тогава пирамидата е правилна. В правилната пирамида всички странични ръбове са равни, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на триъгълника на страничната повърхност на правилната пирамида се нарича - апотема на правилната пирамида.

Пресечена пирамида

Разрез, успореден на основата на пирамидата, разделя пирамидата на две части. Частта от пирамидата между нейната основа и този участък е пресечена пирамида . Това сечение за пресечена пирамида е една от нейните основи. Разстоянието между основите на пресечена пирамида се нарича височина на пресечената пирамида. Пресечената пирамида се нарича правилна, ако пирамидата, от която е получена, е правилна. Всички странични стени на правилната пресечена пирамида са равни равнобедрени трапеци. Височината на трапеца на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се нарича - апотема на правилна пресечена пирамида.

Определение

Пирамидае полиедър, съставен от многоъгълник \(A_1A_2...A_n\) и \(n\) триъгълници с общ връх \(P\) (не лежащ в равнината на многоъгълника) и страни срещу него, съвпадащи с страни на многоъгълника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\) .
Пример: петоъгълна пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Триъгълници \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) и др. са наречени странични лицапирамиди, сегменти \(PA_1, PA_2\) и др. – странични ребра, многоъгълник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – база, точка \(P\) – Горна част.

Височинапирамидите са перпендикуляр, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Нарича се пирамида с триъгълник в основата тетраедър.

Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и е изпълнено едно от следните условия:

\((a)\) страничните ръбове на пирамидата са равни;

\((b)\) височината на пирамидата минава през центъра на окръжността, описана близо до основата;

\((c)\) страничните ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.

\((d)\) страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.

Правилен тетраедъре триъгълна пирамида, чиито лица са равни равностранни триъгълници.

Теорема

Условия \((a), (b), (c), (d)\) са еквивалентни.

Доказателство

Нека намерим височината на пирамидата \(PH\) . Нека \(\alpha\) е равнината на основата на пирамидата.

1) Нека докажем, че от \((a)\) следва \((b)\) . Нека \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

защото \(PH\perp \alpha\), тогава \(PH\) е перпендикулярен на всяка права, лежаща в тази равнина, което означава, че триъгълниците са правоъгълни. Това означава, че тези триъгълници са равни по общ катет \(PH\) и хипотенуза \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Това означава \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Това означава, че точките \(A_1, A_2, ..., A_n\) са на едно и също разстояние от точката \(H\), следователно, те лежат на една и съща окръжност с радиус \(A_1H\) . Тази окръжност, по дефиниция, е описана около многоъгълника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Нека докажем, че \((b)\) предполага \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоъгълна и равна на два крака. Това означава, че техните ъгли също са равни, следователно, \(\ъгъл PA_1H=\ъгъл PA_2H=...=\ъгъл PA_nH\).

3) Нека докажем, че \((c)\) предполага \((a)\) .

Подобно на първата точка, триъгълници \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоъгълен както по крака, така и под остър ъгъл. Това означава, че техните хипотенузи също са равни, тоест \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Нека докажем, че \((b)\) предполага \((d)\) .

защото в правилен многоъгълник центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат (най-общо казано, тази точка се нарича център на правилен многоъгълник), тогава \(H\) е центърът на вписаната окръжност. Нека начертаем перпендикуляри от точката \(H\) към страните на основата: \(HK_1, HK_2\) и т.н. Това са радиусите на вписаната окръжност (по дефиниция). След това, според TTP (\(PH\) е перпендикуляр на равнината, \(HK_1, HK_2\) и т.н. са проекции, перпендикулярни на страните) наклонени \(PK_1, PK_2\) и т.н. перпендикулярно на страните \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.н. съответно. И така, по дефиниция \(\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H\)равни на ъглите между страничните стени и основата. защото триъгълници \(PK_1H, PK_2H, ...\) са равни (като правоъгълни от двете страни), тогава ъглите \(\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H, ...\)са равни.

5) Нека докажем, че \((d)\) предполага \((b)\) .

Подобно на четвъртата точка, триъгълниците \(PK_1H, PK_2H, ...\) са равни (като правоъгълни по крака и остър ъгъл), което означава, че сегментите \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) са равен. Това означава, че по дефиниция \(H\) е центърът на окръжност, вписана в основата. Но защото За правилните многоъгълници центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат, тогава \(H\) е центърът на описаната окръжност. Chtd

Последица

Страничните стени на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници.

Определение

Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотема.
Апотемите на всички странични стени на правилната пирамида са равни една на друга и също са медиани и ъглополовящи.

Важни бележки

1. Височината на правилна триъгълна пирамида попада в точката на пресичане на височините (или ъглополовящите, или медианите) на основата (основата е правилен триъгълник).

2. Височината на правилна четириъгълна пирамида попада в точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е квадрат).

3. Височината на правилна шестоъгълна пирамида попада в точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е правилен шестоъгълник).

4. Височината на пирамидата е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в основата.

Определение

Пирамидата се нарича правоъгълен, ако един от страничните му ръбове е перпендикулярен на равнината на основата.

Важни бележки

1. В правоъгълна пирамида ръбът, перпендикулярен на основата, е височината на пирамидата. Тоест \(SR\) е височината.

2. Защото Тогава \(SR\) е перпендикулярна на която и да е права от основата \(\триъгълник SRM, \триъгълник SRP\)– правоъгълни триъгълници.

3. Триъгълници \(\триъгълник SRN, \триъгълник SRK\)- също правоъгълни.
Тоест всеки триъгълник, образуван от този ръб и диагоналът, излизащ от върха на този ръб, лежащ в основата, ще бъде правоъгълен.

\[(\Large(\text(Обем и повърхност на пирамидата)))\]

Теорема

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината на пирамидата: \

Последствия

Нека \(a\) е страната на основата, \(h\) е височината на пирамидата.

1. Обемът на правилна триъгълна пирамида е \(V_(\текст(десен триъгълник.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Обемът на правилна четириъгълна пирамида е \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Обемът на правилна шестоъгълна пирамида е \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Обемът на правилния тетраедър е \(V_(\текст(дясно тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на полупродукта на периметъра на основата и апотемата.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Определение

Да разгледаме произволна пирамида \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Нека начертаем равнина, успоредна на основата на пирамидата през определена точка, разположена на страничния ръб на пирамидата. Тази равнина ще раздели пирамидата на два полиедъра, единият от които е пирамида (\(PB_1B_2...B_n\)), а другият се нарича пресечена пирамида(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Пресечената пирамида има две основи - многоъгълници \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\), които са подобни един на друг.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, прекаран от някаква точка на горната основа към равнината на долната основа.

Важни бележки

1. Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецовидни.

2. Сегментът, свързващ центровете на основите на правилна пресечена пирамида (т.е. пирамида, получена чрез напречно сечение на правилна пирамида), е височината.

Нека да разгледаме какви свойства имат пирамидите, в които страничните стени са перпендикулярни на основата.

Ако две съседни странични стени на пирамидата са перпендикулярни на основата, Че общият страничен ръб на тези лица е височината на пирамидата. Ако проблемът казва това ръбът на пирамидата е нейната височина, тогава говорим за този тип пирамида.

Лицата на пирамидата, перпендикулярни на основата, са правоъгълни триъгълници.

Ако основата на пирамидата е триъгълник

В общия случай, ние търсим страничната повърхност на такава пирамида като сбор от площите на всички странични лица.

Основата на пирамидата е ортогоналната проекция на лицето, а не перпендикулярна на основата (в този случай SBC). Това означава, че според теоремата за площта на ортогоналната проекция площта на основата е равна на произведението на площта на това лице и косинуса на ъгъла между него и равнината на основата .

Ако основата на пирамидата е правоъгълен триъгълник

В такъв случай всички лица на пирамидата са правоъгълни триъгълници.

Триъгълниците SAB и SAC са правоъгълни, тъй като SA е височината на пирамидата. Триъгълникът ABC е правоъгълен.

Фактът, че триъгълникът SBC е правоъгълен, следва от теоремата за трите перпендикуляра (AB е проекцията на наклонената SB върху равнината на основата. Тъй като AB е перпендикулярен на BC по условие, тогава SB е перпендикулярен на BC).

Ъгълът между страничната повърхност на SBC и основата в този случай е ъгъл ABS.

Площта на страничната повърхност е равна на сумата от площите на правоъгълни триъгълници:

Тъй като в този случай

Ако основата на пирамидата е равнобедрен триъгълник

В този случай ъгълът между страничната равнина BCS и основната равнина е ъгъл AFS, където AF е надморската височина, медианата и ъглополовящата на равнобедрения триъгълник ABC.

По същия начин, ако в основата на пирамидата има равностранен триъгълник ABC.

Ако основата на пирамидата е успоредник

В този случай основата на пирамидата е ортогонална проекция на страничните лица, които не са перпендикулярни на основата.

Ако разделим основата на два триъгълника, тогава

където α и β са съответно ъглите между равнините ADS и CDS и основната равнина.

Ако BF и BK са височините на успоредника, тогава ъгъл BFS е ъгълът на наклона на страничната страна CDS към равнината на основата, а ъгъл BKS е ъгълът на наклона на страната ADS.

(чертежът е направен за случая, когато B е тъп ъгъл).

Ако основата на пирамидата е ромб ABCD, то ъглите BFS и BKS са равни. Триъгълниците ABS и CBS, както и ADS и CDS, също са равни в този случай.

Ако основата на пирамидата е правоъгълник

В този случай ъгълът между страничната лицева равнина SAD и основната равнина е ъгъл SAB,

и ъгълът между равнината на страничната повърхност SCD и равнината на основата е ъгъл SCB

(по теоремата за трите перпендикуляра).

Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение. Нека да разгледаме какво е правилна пирамида и какви свойства има. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.

В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение.

Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точката П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точките Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. Получаваме нтриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи така нататък.

Определение. Многостен RA 1 A 2 ...A n, съставена от н-квадрат A 1 A 2...A nИ нтриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се извиква н- въглищна пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).

Р- върха на пирамидата.

ABCD- основата на пирамидата.

RA- странично ребро.

AB- основно ребро.

От точка Рнека изпуснем перпендикуляра RNкъм базовата равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.

Ориз. 2

Пълната повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, т.е. площта на всички странични лица и площта на основата:

S пълен = S страничен + S основен

Пирамидата се нарича правилна, ако:

• основата му е правилен многоъгълник;
• сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.

Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида

Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).

Р- върха на пирамидата. Основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка ОТНОСНО, точката на пресичане на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.

Ориз. 3

Обяснение: в правилното нВ триъгълника центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът е проектиран в центъра.

Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемаи е обозначен з а.

1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;

2. Страничните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

Ще дадем доказателство за тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.

дадени: PABCD- правилна четириъгълна пирамида,

ABCD- квадрат,

RO- височина на пирамидата.

Докажи:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Вижте фиг. 4.

Ориз. 4

Доказателство.

RO- височина на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕлежи в него. Значи триъгълници ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.

Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = VO = CO = НАПРАВЕТЕ.

След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕса равни, което означава, че тези триъгълници са равни от двете страни. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = RS = PD.Точка 1 е доказана.

Сегменти ABИ слънцеса равни, защото са страни на един и същи квадрат, RA = PB = RS. Значи триъгълници AVRИ VSR -равнобедрен и равен от три страни.

По подобен начин намираме, че триъгълниците ABP, VCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, както се изисква да се докаже в параграф 2.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:

За да докажем това, нека изберем правилна триъгълна пирамида.

дадени: RAVS- правилна триъгълна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- височина.

Докажи: . Вижте фиг. 5.

Ориз. 5

Доказателство.

RAVS- правилна триъгълна пирамида. Това е AB= AC = BC. Позволявам ОТНОСНО- център на триъгълника ABC, Тогава ROе височината на пирамидата. В основата на пирамидата лежи равностранен триъгълник ABC. забележи това .

Триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълна пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е доказана.

Радиусът на кръг, вписан в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 м, височината на пирамидата е 4 м. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.

дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,

ABCD- квадрат,

r= 3 м,

RO- височина на пирамидата,

RO= 4 м.

намирам: S страна. Вижте фиг. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според доказаната теорема,.

Нека първо намерим страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.

След това, m.

Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:

Помислете за триъгълник BCD. Позволявам М- средата на страната DC. защото ОТНОСНО- средно BD, Че (м).

Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. Това е, RM- медиана, и следователно височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.

RO- височина на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен ОМ, лежейки в него. Да намерим апотемата RMот правоъгълен триъгълник ROM.

Сега можем да намерим страничната повърхност на пирамидата:

Отговор: 60 м2.

Радиусът на кръга, описан около основата на правилна триъгълна пирамида, е равен на м. Площта на страничната повърхност е 18 м 2. Намерете дължината на апотемата.

дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 м2.

намирам: . Вижте фиг. 7.

Ориз. 7

Решение.

В правоъгълен триъгълник ABCДаден е радиусът на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник, използвайки закона на синусите.

Познавайки страната на правилен триъгълник (m), намираме неговия периметър.

По теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. Тогава:

Отговор: 4 м.

И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида и доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.

Библиография

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И.Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал "Yaklass" ()
2. Интернет портал „Фестивал на педагогическите идеи „Първи септември“ ()
3. Интернет портал “Slideshare.net” ()

Домашна работа

1. Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете, че несвързаните ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
3. Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
4. RAVS- правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.

), четириъгълна и т.н. Пирамидата е частен случай на конус.

История на развитието на пирамидата в геометрията

Геометрията на пирамидите започва в Древен Египет и Вавилон, но се развива активно в Древна Гърция. Обемът на пирамидата е бил известен на древните египтяни. Първият гръцки математик, който установява обема на пирамидата, е Демокрит и това е доказано от Евдокс от Книд. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите „Елементи“, а също така извежда първото определение на пирамидата: физическа фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка(Книга XI, Определение 12).

Пирамидални елементи

Пирамидално развитие

Измитанее плоска фигура, получена чрез комбиниране на повърхността на геометрично тяло с една равнина (без наслагване на лица или други повърхностни елементи един върху друг). Когато започвате да изучавате развитието на повърхността, препоръчително е последната да се разглежда като гъвкав, неразтеглив филм. Някои от повърхнините, представени по този начин, могат да бъдат комбинирани с равнина чрез огъване. Освен това, ако част от повърхността може да се комбинира с равнина без разкъсване или залепване, тогава такава повърхност се нарича развиваща се, а получената плоска фигура е нейното развитие.

Свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, Че:

• може да се опише кръг около основата на пирамидата, като върхът на пирамидата е проектиран в нейния център;
• страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата;
• обратното също е вярно, т.е. ако страничните ръбове образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата, като върхът на пирамидата е проектиран в нейния център, тогава всички страничните ръбове на пирамидата са равни.

Ако страничните стени са наклонени към основната равнина под същия ъгъл, Че:

• в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата да се проектира в нейния център;
• височините на страничните лица са равни;
• Площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

Теореми, свързващи пирамидата с други геометрични тела

Описание на сферата около правилна пирамида:
SD е височината на пирамидата.
AD е радиусът на окръжността, описваща основата.
B - средата на ръба на страничната повърхност
C е пресечната точка на равнините, минаващи през средата на ребрата, перпендикулярни на тях.
AC=CS - радиус на сферата, описваща пирамидата

Сфера, вписана в правилна пирамида:
D - основен център
SF - апотема
ASD - ъглополовяща равнина на ъгъла между страничните стени
BCE - ъглополовяща равнина на ъгъла между основата и страничната страна
C - пресечната точка на всички ъглополовящи равнини
CK=CD - радиус на сфера, вписана в пирамида

Сфера

Конус

Цилиндър

• Цилиндърът се нарича вписан в пирамида, ако едната му основа съвпада с окръжността на равнина, вписана в сечението на пирамидата, успоредна на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата.
• Казва се, че цилиндър е описан близо до пирамида, ако върхът на пирамидата принадлежи на една от нейните основи, а другата му основа е описана близо до основата на пирамидата. Освен това е възможно да се опише цилиндър близо до пирамида само ако в основата на пирамидата има вписан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

Формули, свързани с пирамидата

• Обемът на пирамидата може да се изчисли по формулата:

V = 1 3 S h , (\displaystyle V=(\frac (1)(3))Sh,)Където S (\displaystyle \S)- основна площ и h (\displaystyle\h)- височина; V = 1 6 V p , (\displaystyle V=(\frac (1)(6))V_(p),)Където V p (\displaystyle \V_(p))- обем на паралелепипеда; V = 1 6 a 1 a 2 d sin ⁡ φ , (\displaystyle V=(\frac (1)(6))a_(1)a_(2)d\sin \varphi ,)Където a 1 , a 2 (\displaystyle a_(1),a_(2))- кръстосани ребра, d (\displaystyle d)- разстоянието между и , φ (\displaystyle \varphi )- ъгъл между a 1 (\displaystyle a_(1))И a 2 (\displaystyle a_(2));

• Страничната повърхност е сумата от площите на страничните повърхности:

S b = ∑ i S i (\displaystyle S_(b)=\sum _(i)^()S_(i))

• Общата повърхност е сумата от страничната повърхност и площта на основата:

S p = S b + S o (\displaystyle \ S_(p)=S_(b)+S_(o))

• За да намерите площта на страничната повърхност в правилна пирамида, можете да използвате формулите:

S b = 1 2 P a = n 2 b 2 sin ⁡ α (\displaystyle S_(b)=(\frac (1)(2))Pa=(\frac (n)(2))b^(2) \sin \alpha )Където a (\displaystyle a)- апотема, P (\displaystyle \P) -