องค์ประกอบ N ทั้งหมด และไม่มีการทำซ้ำ ดังนั้นนี่คือปัญหาของจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน การแก้ปัญหาสามารถพบได้ง่าย องค์ประกอบ N ใดๆ สามารถเกิดขึ้นได้ในตำแหน่งแรกในแถว ดังนั้นจึงได้รับตัวเลือก N อันดับที่สอง - ใด ๆ ยกเว้นอันที่ถูกใช้ไปแล้วเป็นที่หนึ่ง ดังนั้น สำหรับแต่ละตัวเลือก N ที่พบแล้ว จะมีตัวเลือกที่สอง (N - 1) และจำนวนรวมของชุดค่าผสมจะกลายเป็น N*(N - 1)
สามารถทำซ้ำได้เช่นเดียวกันสำหรับองค์ประกอบที่เหลือของซีรีส์ สำหรับสถานที่สุดท้าย เหลือเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น - องค์ประกอบสุดท้ายที่เหลืออยู่ สำหรับรอบสุดท้าย - สองตัวเลือกและอื่น ๆ
ดังนั้น สำหรับชุดขององค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกัน N การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้จะเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง N ผลิตภัณฑ์นี้เรียกว่าแฟกทอเรียลของ N และเขียนแทนด้วย N! (อ่านว่า "en factorial")
ในกรณีก่อนหน้านี้ จำนวนองค์ประกอบที่เป็นไปได้และจำนวนตำแหน่งในซีรีส์ใกล้เคียงกัน และจำนวนของพวกมันเท่ากับ N แต่สถานการณ์จะเป็นไปได้เมื่อมีที่ในซีรีส์น้อยกว่าองค์ประกอบที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนองค์ประกอบในตัวอย่างเท่ากับจำนวน M และ M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
ขั้นแรก อาจจำเป็นต้องนับจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถจัดเรียงองค์ประกอบ M จาก N ได้เป็นแถว วิธีดังกล่าวเรียกว่าตำแหน่ง
ประการที่สอง ผู้วิจัยอาจสนใจในจำนวนวิธีที่สามารถเลือกองค์ประกอบ M จาก N ได้ ในกรณีนี้ ลำดับขององค์ประกอบไม่สำคัญอีกต่อไป แต่สองตัวเลือกใดๆ จะต้องแตกต่างกันอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ . วิธีการดังกล่าวเรียกว่าการรวมกัน
ในการหาจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ M จาก N เราสามารถใช้วิธีการให้เหตุผลแบบเดียวกับในกรณีของการเรียงสับเปลี่ยน ในตอนแรก ยังสามารถมีองค์ประกอบ N ได้ ส่วนที่สอง (N-1) และอื่นๆ แต่สำหรับอันดับสุดท้าย จำนวนตัวเลือกที่เป็นไปได้ไม่ใช่หนึ่งตัวเลือก แต่ (N - M + 1) เพราะเมื่อวางตำแหน่งเสร็จแล้วจะยังมีองค์ประกอบที่ไม่ได้ใช้ (N - M)
ดังนั้น จำนวนตำแหน่งบนองค์ประกอบ M จาก N จึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ (N - M + 1) ถึง N หรือเทียบเท่ากับผลหาร N!/(N - M)!
เห็นได้ชัดว่าจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ M จาก N จะน้อยกว่าจำนวนตำแหน่ง สำหรับทุกชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ มี M! ตำแหน่งที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับลำดับขององค์ประกอบของชุดค่าผสมนี้ ดังนั้น ในการหาตัวเลขนี้ คุณต้องหารจำนวนตำแหน่งบนองค์ประกอบ M จาก N ด้วย N! กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนการรวมองค์ประกอบ M จาก N คือ N!/(M!*(N - M)!)
Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนชุดค่าผสมต่างๆ ที่สามารถสร้างได้จากวัตถุที่กำหนด โดยขึ้นอยู่กับเงื่อนไขบางประการ พื้นฐานของ combinatorics มีความสำคัญมากสำหรับการประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเพราะ มันคือสิ่งที่ทำให้สามารถคำนวณจำนวนสถานการณ์ที่เป็นไปได้โดยพื้นฐานสำหรับการพัฒนาเหตุการณ์
สูตรผสมพื้นฐาน
ให้มีองค์ประกอบ k กลุ่ม และกลุ่มที่ i ประกอบด้วยองค์ประกอบ n i มาเลือกองค์ประกอบหนึ่งจากแต่ละกลุ่ม จากนั้นจำนวนทั้งหมด N ของวิธีที่สามารถเลือกได้จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k
ตัวอย่าง 1ให้เราอธิบายกฎนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ให้มีองค์ประกอบสองกลุ่ม กลุ่มแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ n 1 และองค์ประกอบที่สองขององค์ประกอบ n 2 จากสองกลุ่มนี้สามารถสร้างองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้กี่คู่เพื่อให้ทั้งคู่มีองค์ประกอบเดียวจากแต่ละกลุ่ม สมมติว่าเรานำองค์ประกอบแรกจากกลุ่มแรกและผ่านคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยไม่เปลี่ยน โดยเปลี่ยนเฉพาะองค์ประกอบจากกลุ่มที่สอง มี n 2 คู่ดังกล่าวสำหรับองค์ประกอบนี้ จากนั้นเรานำองค์ประกอบที่สองจากกลุ่มแรกและสร้างคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วย จะมีอีก n 2 คู่ดังกล่าว เนื่องจากในกลุ่มแรกมีเพียง n 1 องค์ประกอบ จึงมีตัวเลือกที่เป็นไปได้ n 1 *n 2 ตัว
ตัวอย่าง 2เลขคู่สามหลักสร้างจากหลัก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ได้กี่หลักคะ?
วิธีการแก้: n 1 \u003d 6 (เนื่องจากคุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 1, 2, 3, 4, 5, 6 เป็นหลักแรก), n 2 \u003d 7 (เนื่องจากคุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้จาก 0 เป็นตัวเลขที่สอง , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (เนื่องจากคุณสามารถใช้หลักใดก็ได้จาก 0, 2, 4, 6 เป็นหลักที่สาม)
ดังนั้น N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168
ในกรณีที่ทุกกลุ่มมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน กล่าวคือ n 1 =n 2 =...n k =n เราสามารถสรุปได้ว่าแต่ละตัวเลือกถูกสร้างขึ้นจากกลุ่มเดียวกัน และองค์ประกอบจะกลับสู่กลุ่มหลังจากตัวเลือก จากนั้นจำนวนวิธีการเลือกทั้งหมดจะเท่ากับ n k . วิธีการเลือกแบบผสมผสานนี้เรียกว่า ส่งคืนตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 3จากตัวเลข 1, 5, 6, 7, 8 สามารถสร้างตัวเลขสี่หลักได้กี่ตัว?
วิธีการแก้.มีความเป็นไปได้ห้าหลักสำหรับแต่ละหลักของตัวเลขสี่หลัก ดังนั้น N=5*5*5*5=5 4 =625
พิจารณาชุดที่ประกอบด้วย n องค์ประกอบ ชุดนี้ใน combinatorics เรียกว่า ประชากรทั่วไป.
จำนวนตำแหน่งจากองค์ประกอบ n โดย m
คำจำกัดความ 1ที่พักจาก นองค์ประกอบโดย มในคอมบิเนทอริกเรียกว่า ใดๆ สั่งชุดจาก มองค์ประกอบต่างๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรทั่วไปใน นองค์ประกอบ
ตัวอย่างที่ 4การจัดเรียงที่แตกต่างกันของสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) สองต่อสองจะเป็นชุด (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2) ). ตำแหน่งอาจแตกต่างกันทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ
จำนวนตำแหน่งใน combinatorics แสดงโดย A n m และคำนวณโดยสูตร:
ความคิดเห็น: n!=1*2*3*...*n (อ่านว่า "en factorial") นอกจากนี้ยังถือว่า 0!=1
ตัวอย่างที่ 5. มีเลขสองหลักกี่ตัวที่หลักสิบกับหลักหน่วยต่างกันและเป็นคี่
วิธีการแก้:เพราะ มีเลขคี่ห้าหลักคือ 1, 3, 5, 7, 9 ปัญหานี้จึงลดเหลือเพียงการเลือกและวางตัวเลขที่แตกต่างกันสองในห้าหลักในสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ตัวเลขที่กำหนดจะเป็น:
คำจำกัดความ 2. การรวมกันจาก นองค์ประกอบโดย มในคอมบิเนทอริกเรียกว่า ใดๆ ชุดไม่เรียงลำดับจาก มองค์ประกอบต่างๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรทั่วไปใน นองค์ประกอบ
ตัวอย่างที่ 6. สำหรับชุด (1, 2, 3) ชุดค่าผสมคือ (1, 2), (1, 3), (2, 3)
จำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ n โดย m
จำนวนชุดค่าผสมแสดงโดย C n m และคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง 7ผู้อ่านสามารถเลือกหนังสือสองเล่มจากทั้งหมดหกเล่มได้กี่วิธี?
วิธีการแก้:จำนวนวิธีเท่ากับจำนวนหนังสือหกเล่มคูณสองเช่น เท่ากับ:
การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n
คำจำกัดความ 3. การเรียงสับเปลี่ยนจาก นองค์ประกอบเรียกว่า any สั่งชุดองค์ประกอบเหล่านี้
ตัวอย่างที่ 7ก.พีชคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตประกอบด้วยสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) คือ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
จำนวนของการเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ n แสดงโดย P n และคำนวณโดยสูตร P n =n!
ตัวอย่างที่ 8หนังสือเจ็ดเล่มโดยผู้แต่งต่างกันสามารถจัดเรียงเป็นแถวบนหิ้งได้กี่วิธี?
วิธีการแก้:ปัญหานี้เกี่ยวกับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของหนังสือเจ็ดเล่มที่แตกต่างกัน มี P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 วิธีจัดเรียงหนังสือ
การอภิปราย.เราเห็นว่าจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สามารถคำนวณได้ตามกฎที่แตกต่างกัน (การเรียงสับเปลี่ยน ชุดค่าผสม ตำแหน่ง) และผลลัพธ์จะแตกต่างกันเนื่องจาก หลักการนับและสูตรต่างกัน เมื่อพิจารณาจากคำจำกัดความอย่างละเอียด คุณจะเห็นว่าผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายประการในเวลาเดียวกัน
ประการแรก เราสามารถรวมเซตขององค์ประกอบได้จากจำนวนองค์ประกอบ (จำนวนประชากรทั่วไปขององค์ประกอบนั้นมากเพียงใด)
ประการที่สอง ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับขนาดของชุดองค์ประกอบที่เราต้องการ
สุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าลำดับขององค์ประกอบในชุดมีความสำคัญสำหรับเราหรือไม่ ให้เราอธิบายปัจจัยสุดท้ายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 9มี 20 คนในการประชุมผู้ปกครอง องค์ประกอบของคณะกรรมการผู้ปกครองมีกี่ทางเลือก หากรวม 5 คนเข้าด้วยกัน
วิธีการแก้:ในตัวอย่างนี้ เราไม่สนใจลำดับรายชื่อคณะกรรมการ หากเป็นผลให้คนเดียวกันปรากฏในองค์ประกอบของมันแล้วในแง่ของความหมายสำหรับเรานี่คือตัวเลือกเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรคำนวณตัวเลขได้ ชุดค่าผสมจาก 20 องค์ประกอบ 5
สิ่งต่าง ๆ จะแตกต่างกันหากสมาชิกแต่ละคนของคณะกรรมการรับผิดชอบงานเฉพาะด้านในขั้นต้น จากนั้นด้วยเงินเดือนเดียวกันของคณะกรรมการ 5 คนก็เป็นไปได้! ตัวเลือก พีชคณิตเรื่องที่. จำนวนตัวเลือกที่แตกต่างกัน (ทั้งในแง่ขององค์ประกอบและพื้นที่ความรับผิดชอบ) ในกรณีนี้จะพิจารณาจากจำนวน ตำแหน่งจาก 20 องค์ประกอบ 5
งานสำหรับการทดสอบตัวเอง
1. เลขคู่สามหลักสร้างจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ได้กี่ตัว?
เพราะ เลขคู่ในหลักที่สามสามารถเป็น 0, 2, 4, 6, i.e. สี่หลัก ตำแหน่งที่สองสามารถเป็นตัวเลขเจ็ดหลักใดก็ได้ ตำแหน่งแรกสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ในเจ็ดหลัก ยกเว้นศูนย์ นั่นคือ 6 ความเป็นไปได้ ผลลัพธ์ =4*7*6=168.
2. มีตัวเลขห้าหลักที่อ่านแบบเดียวกันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายกี่ตัว?
ตำแหน่งแรกสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ ยกเว้น 0 นั่นคือ 9 ความเป็นไปได้ อันดับ 2 จะเป็นตัวเลขอะไรก็ได้ เช่น 10 ความเป็นไปได้ อันดับที่สามสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้เช่น 10 ความเป็นไปได้ ตัวเลขที่สี่และห้าถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า โดยจะตรงกับตัวแรกและตัวที่สอง ดังนั้น จำนวนของตัวเลขดังกล่าวคือ 9*10*10=900
3. มีสิบวิชาในชั้นเรียนและห้าบทเรียนต่อวัน คุณสามารถจัดตารางเวลาสำหรับหนึ่งวันได้กี่วิธี?
4. สามารถเลือกผู้เข้าร่วมประชุมได้ 4 คนในการประชุมหากมี 20 คนในกลุ่ม?
n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. สามารถใส่ตัวอักษรที่แตกต่างกันแปดตัวในซองจดหมายที่แตกต่างกันแปดฉบับได้กี่วิธีหากใส่จดหมายเพียงฉบับเดียวในแต่ละซองจดหมาย?
ในซองแรก คุณสามารถใส่ 1 ในแปดตัวอักษร ในหนึ่งในสองของเจ็ดตัวอักษรที่เหลือ ในหนึ่งในสามของหก ฯลฯ n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320
6. จากนักคณิตศาสตร์สามคนและนักเศรษฐศาสตร์สิบคน จำเป็นต้องสร้างคณะกรรมการซึ่งประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สองคนและนักเศรษฐศาสตร์หกคน สามารถทำได้กี่วิธี?
COMBINATORICS
Combinatorics เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาในการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบจากชุดพื้นฐานบางชุดตามกฎที่กำหนด สูตรและหลักการของ combinatorics ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มและเพื่อให้ได้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม ในทางกลับกัน ทำให้สามารถศึกษากฎของปรากฏการณ์สุ่มมวล ซึ่งสำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจกฎทางสถิติที่ถูกต้องซึ่งแสดงออกในธรรมชาติและเทคโนโลยี
กฎสำหรับการบวกและการคูณใน combinatorics
กฎผลรวม หากการกระทำสองอย่าง A และ B ไม่เกิดร่วมกัน และการกระทำ A สามารถทำได้ใน m วิธี และ B ใน n วิธี ดังนั้นการกระทำอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ (A หรือ B) สามารถทำได้ใน n + m วิธี
ตัวอย่าง 1
มีเด็กชาย 16 คนและเด็กหญิง 10 คนในชั้นเรียน สามารถแต่งตั้งผู้ดูแลได้กี่วิธี?
วิธีการแก้
คุณสามารถแต่งตั้งเด็กชายหรือเด็กหญิงให้ปฏิบัติหน้าที่ได้เช่น เด็กชายคนใดคนหนึ่งจากทั้งหมด 16 คนหรือเด็กหญิง 10 คนสามารถปฏิบัติหน้าที่ได้
ตามกฎผลรวมเราได้รับว่าเจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่หนึ่งคนสามารถมอบหมายได้ 16+10=26 วิธี
กฎผลิตภัณฑ์ ให้ต้องดำเนินการตามลำดับ k ถ้าการกระทำแรกสามารถทำได้ใน n 1 วิธี, การกระทำที่สองใน n 2 วิธี, ที่สามใน n 3 วิธีและอื่น ๆ จนถึงการกระทำที่ k ที่สามารถทำได้ใน n k ดังนั้นการกระทำ k ทั้งหมดสามารถเป็นได้ ดำเนินการ:
วิธี
ตัวอย่าง 2
มีเด็กชาย 16 คนและเด็กหญิง 10 คนในชั้นเรียน สามารถแต่งตั้งพนักงานเสิร์ฟสองคนได้กี่วิธี?
วิธีการแก้
คนแรกที่ปฏิบัติหน้าที่อาจเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงก็ได้ เพราะ มีเด็กชาย 16 คนและเด็กหญิง 10 คนในชั้นเรียน จากนั้นคุณสามารถแต่งตั้งเจ้าหน้าที่หน้าที่แรกได้ 16 + 10 = 26 วิธี
หลังจากที่เราเลือกเจ้าหน้าที่หน้าที่ที่หนึ่งแล้ว เราก็สามารถเลือกคนที่สองจากอีก 25 คนที่เหลือคือ 25 วิธี
โดยทฤษฎีบทการคูณ สามารถเลือกผู้เข้าร่วมได้สองคนใน 26*25=650 วิธี
ชุดค่าผสมที่ไม่มีการทำซ้ำ การผสมผสานกับการทำซ้ำ
ปัญหาคลาสสิกของ combinatorics คือปัญหาของจำนวนชุดค่าผสมที่ไม่มีการซ้ำซ้อน เนื้อหาซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก เมตร จาก n รายการที่แตกต่างกัน?
ตัวอย่างที่ 3
คุณต้องเลือกหนังสือ 4 เล่มจาก 10 เล่มที่มีให้เป็นของขวัญ สามารถทำได้กี่วิธี?
วิธีการแก้
เราต้องเลือกหนังสือ 4 ใน 10 เล่ม และลำดับการเลือกไม่สำคัญ ดังนั้น คุณต้องหาจำนวนชุดค่าผสม 10 องค์ประกอบด้วย 4:
.
พิจารณาปัญหาของจำนวนชุดค่าผสมที่มีการทำซ้ำ: มี r วัตถุที่เหมือนกันของแต่ละ n ประเภทที่แตกต่างกัน เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก m() ของ เหล่านี้ (n*r) รายการ?
.
ตัวอย่างที่ 4
ร้านขนมขายเค้ก 4 ประเภท ได้แก่ นโปเลียน เอแคลร์ ชอร์ตเบรด และพัฟ ซื้อเค้ก 7 ชิ้นได้กี่วิธี?
วิธีการแก้
เพราะ ในบรรดาเค้ก 7 ชิ้นสามารถมีเค้กที่มีความหลากหลายเหมือนกันได้จากนั้นจำนวนวิธีที่สามารถซื้อเค้กได้ 7 ชิ้นนั้นพิจารณาจากจำนวนชุดค่าผสมที่มีการทำซ้ำตั้งแต่ 7 ถึง 4
.
ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ ตำแหน่งที่มีการซ้ำซ้อน
ปัญหาคลาสสิกของ combinatorics คือปัญหาของจำนวนตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ เนื้อหาสามารถแสดงคำถามได้ดังนี้ เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก และ สถานที่ บน เมตรแตกต่างกัน สถานที่ เมตร จาก ไม่ต่างกัน รายการ?
ตัวอย่างที่ 5
หนังสือพิมพ์บางฉบับมี 12 หน้า จำเป็นต้องวางรูปถ่ายสี่รูปบนหน้าหนังสือพิมพ์ฉบับนี้ สามารถทำได้หลายวิธีถ้าไม่มีหน้าใดในหนังสือพิมพ์ควรมีรูปถ่ายมากกว่าหนึ่งรูป?
วิธีการแก้.
ในปัญหานี้ เราไม่เพียงแค่เลือกรูปถ่ายเท่านั้น แต่วางไว้บนหน้าหนังสือพิมพ์บางหน้า และหนังสือพิมพ์แต่ละหน้าไม่ควรมีภาพถ่ายมากกว่าหนึ่งภาพ ดังนั้น ปัญหาจะลดลงเป็นปัญหาคลาสสิกในการกำหนดจำนวนตำแหน่งโดยไม่มีการซ้ำซ้อนจาก 12 องค์ประกอบ 4 องค์ประกอบ:
ดังนั้น 4 รูปใน 12 หน้าสามารถจัดเรียงได้ 11880 วิธี
นอกจากนี้งานคลาสสิกของ combinatorics ยังเป็นปัญหาของจำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำซึ่งเนื้อหาสามารถแสดงด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ คุณขกองทัพ และ สถานที่ บน เมตรแตกต่างกัน สถานที่ เมตร จาก n รายการกับredi ที่ มี เหมือน?
ตัวอย่างที่ 6
เด็กชายมีแสตมป์ที่มีหมายเลข 1, 3 และ 7 จากชุดสำหรับเกมกระดาน เขาตัดสินใจที่จะใช้แสตมป์เหล่านี้เพื่อใส่ตัวเลขห้าหลักในหนังสือทั้งหมด - เพื่อรวบรวมแคตตาล็อก เด็กชายสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักได้กี่ตัว?
พีชคณิตโดยไม่ต้องทำซ้ำ. พีชคณิตที่มีการทำซ้ำ
ปัญหาคลาสสิกของ combinatorics คือปัญหาของจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่มีการซ้ำซ้อน ซึ่งเนื้อหาดังกล่าวสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ สถานที่ น หลากหลาย รายการ บน ไม่ต่างกัน สถานที่?
ตัวอย่าง 7
"คำ" สี่ตัวอักษรสามารถสร้างจากตัวอักษรของคำว่า "การแต่งงาน" ได้กี่ตัว?
วิธีการแก้
ชุดทั่วไปคือ 4 ตัวอักษรของคำว่า "การแต่งงาน" (b, p, a, k) จำนวน "คำ" ถูกกำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษร 4 ตัวนี้ กล่าวคือ
สำหรับกรณีที่เหมือนกันในองค์ประกอบ n ที่เลือก (การเลือกพร้อมผลตอบแทน) ปัญหาของจำนวนพีชคณิตที่มีการทำซ้ำสามารถแสดงได้โดยคำถาม: สามารถจัดเรียงวัตถุ n ชิ้นใน n ตำแหน่งที่แตกต่างกันได้กี่วิธี ถ้าใน n วัตถุมี k ประเภทที่แตกต่างกัน (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
ตัวอย่างที่ 8
จากตัวอักษรของคำว่า "มิสซิสซิปปี้" สามารถสร้างชุดตัวอักษรที่แตกต่างกันได้กี่ชุด
วิธีการแก้
มี 1 ตัวอักษร "m" 4 ตัวอักษร "i" 3 ตัวอักษร "c" และ 1 ตัวอักษร "p" รวม 9 ตัวอักษร ดังนั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่มีการทำซ้ำคือ
สรุปความเป็นมาในส่วน "COMBINATORICS"
เพื่อน! เนื่องจากฉันมีสมุดบันทึกที่เสียแล้ว ฉันจึงใช้มันเพื่อถามปัญหาที่นักฟิสิกส์สามคน นักเศรษฐศาสตร์สองคน คนหนึ่งมาจากโปลีเทคนิค และอีกคนหนึ่งมาจากมนุษยศาสตร์ต้องเจอปัญหาเมื่อวานนี้ เราทำลายสมองทั้งหมดของเราและได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง อาจมีโปรแกรมเมอร์และอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ในหมู่คุณ นอกจากนั้น ปัญหามักจะอยู่ที่โรงเรียนและง่ายมาก เราแค่ไม่มีสูตรสำเร็จ เพราะเราละทิ้งวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน และด้วยเหตุผลบางอย่าง เราจึงเขียนหนังสือและวาดรูป เสียใจ.
ดังนั้น เบื้องหลัง.
ฉันได้รับบัตรธนาคารใบใหม่ และตามปกติ ฉันเดารหัสพินได้อย่างง่ายดาย แต่ไม่ติด. ฉันหมายถึง สมมติว่ารหัสพินคือ 8794 และฉันโทรไปที่ 9748 นั่นคือ ฉันอย่างมีชัย เดาตัวเลขทั้งหมดอยู่ในตัวเลขสี่หลักที่กำหนด ก็ใช่ ไม่ใช่แค่ตัวเลขแต่เพียงแค่ ส่วนประกอบที่สงสัย. แต่ตัวเลขทั้งหมดเป็นความจริง! หมายเหตุ - ฉันสุ่มตัวอย่างนั่นคือฉันไม่ต้องใส่ตัวเลขที่รู้จักแล้วในลำดับที่ถูกต้องฉันเพิ่งทำในจิตวิญญาณ: ที่นี่มีตัวเลขสี่ตัวที่ฉันไม่รู้จักและฉันเชื่อว่าในหมู่พวกเขาอาจมี เป็น 9, 7, 4 และ 8 และลำดับไม่สำคัญเราก็ถามตัวเองทันที ฉันมีตัวเลือกกี่ตัว(น่าจะเข้าใจนะว่าเด็ดแค่ไหนที่เอามาเดา) นั่นคือฉันต้องเลือกตัวเลขสี่ตัวรวมกันกี่ตัว? และแน่นอน นรกก็ได้เริ่มต้นขึ้น หัวของเราระเบิดทุกเย็นและทุกคนก็มีคำตอบที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง! ฉันยังเริ่มเขียนชุดค่าผสมเหล่านี้ทั้งหมดในสมุดบันทึกติดต่อกันเมื่อเพิ่มขึ้น แต่เมื่ออายุได้สี่ร้อยฉันก็รู้ว่ามีมากกว่าสี่ร้อยชุด (ไม่ว่าในกรณีใด สิ่งนี้เป็นการหักล้างคำตอบของ Thrash นักฟิสิกส์ที่รับรองกับฉันว่า มีสี่ร้อยชุด แต่ก็ยังไม่ชัดเจน) - และยอมแพ้
จริงๆ แล้ว, สาระสำคัญของคำถามความน่าจะเป็นที่จะเดา (ตามลำดับ) ตัวเลขสี่ตัวที่อยู่ในตัวเลขสี่หลักเป็นเท่าใด
หรือไม่ มาจัดรูปแบบใหม่กันเถอะ (ฉันเป็นนักมนุษยนิยม ขออภัย แม้ว่าฉันจะมีจุดอ่อนทางคณิตศาสตร์อย่างใหญ่หลวง) เพื่อให้ชัดเจนและชัดเจนยิ่งขึ้น ยังไง ไม่เกิดซ้ำการรวมกันของตัวเลขที่มีอยู่ในชุดของตัวเลขลำดับตั้งแต่ 0 ถึง 9999? ( โปรดอย่าสับสนกับคำถามที่ว่า "กี่ชุดค่าผสม ไม่เกิดซ้ำเบอร์"!!! ตัวเลขซ้ำได้! ฉันหมายถึง 2233 และ 3322 เป็นชุดเดียวกันในกรณีนี้!!)
หรือเจาะจงมากขึ้น ฉันต้องเดาหนึ่งในสิบสี่ครั้ง แต่ไม่ติด.
เอ๊ะ หรืออย่างอื่น โดยทั่วไป คุณจำเป็นต้องค้นหาจำนวนตัวเลือกสำหรับชุดค่าผสมตัวเลขที่ฉันมี ซึ่งสร้างรหัสพินของการ์ด ช่วยด้วยคนดี! ได้โปรดช่วยอย่าเริ่มเขียนทันทีว่ามี 9999 ตัวเลือกสำหรับสิ่งเหล่านี้(เมื่อวานก็นึกถึงทุกคนในตอนแรก) เพราะมันไร้สาระ - ในมุมมองที่ทำให้เรากังวล หมายเลข 1234 หมายเลข 3421 หมายเลข 4312 เป็นต้น หนึ่งเดียว! ใช่ ตัวเลขสามารถทำซ้ำได้ เพราะมีรหัสพิน 1111 หรือที่นั่น เช่น 0007 คุณสามารถจินตนาการถึงหมายเลขรถแทนที่จะเป็นรหัสพิน สมมติว่า ความน่าจะเป็นที่จะเดาเลขหลักเดียวทั้งหมดที่ประกอบเป็นหมายเลขรถเป็นเท่าใด หรือเพื่อขจัดทฤษฎีความน่าจะเป็นทั้งหมด - ฉันต้องเลือกชุดค่าผสมตัวเลขกี่ชุด?
โปรดสำรองคำตอบและการใช้เหตุผลของคุณด้วยสูตรที่แน่นอน เพราะเมื่อวานเราเกือบจะเสียสติไปแล้ว ขอบคุณมากล่วงหน้าสำหรับทุกคน!
ป.ล. คนฉลาดคนหนึ่ง โปรแกรมเมอร์ ศิลปิน และนักประดิษฐ์ เพียงแนะนำวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ทำให้ฉันอารมณ์ดีไม่กี่นาที: " วิธีแก้ปัญหาคือ: เธอเป็นโรคย้ำคิดย้ำทำ การรักษาคือ แต่งงานและพ่นมะเขือเทศ ถ้าฉันอยู่ในตำแหน่งของเธอ ฉันจะไม่กังวลมากขึ้นกับคำถามที่ว่า "ความน่าจะเป็นคืออะไร" แต่กับคำถามที่ว่า "ฉันใส่ใจกับตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด" หรือไม่?โดยทั่วไปแล้วไม่มีอะไรจะเพิ่ม :)
เครื่องคิดเลขด้านล่างได้รับการออกแบบมาเพื่อสร้างชุดค่าผสมทั้งหมดขององค์ประกอบ n คูณ m
จำนวนของชุดค่าผสมดังกล่าวสามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องคำนวณ Elements of Combinatorics พีชคณิต ตำแหน่ง ชุดค่าผสม
คำอธิบายของอัลกอริทึมการสร้างภายใต้เครื่องคิดเลข
อัลกอริทึม
ชุดค่าผสมถูกสร้างขึ้นในลำดับพจนานุกรม อัลกอริธึมทำงานร่วมกับดัชนีลำดับขององค์ประกอบของชุด
ลองพิจารณาอัลกอริทึมด้วยตัวอย่าง
เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ ให้พิจารณาชุดองค์ประกอบห้าตัวที่มีดัชนีขึ้นต้นด้วย 1 ได้แก่ 1 2 3 4 5
จำเป็นต้องสร้างชุดค่าผสมทั้งหมดของขนาด m = 3
ขั้นแรก การรวมกันครั้งแรกของขนาด m ที่กำหนดจะถูกเริ่มต้น - ดัชนีในลำดับจากน้อยไปมาก
1 2 3
ถัดไป ตรวจสอบองค์ประกอบสุดท้าย นั่นคือ i = 3 หากค่าน้อยกว่า n - m + i จะเพิ่มขึ้น 1
1 2 4
องค์ประกอบสุดท้ายจะถูกตรวจสอบอีกครั้งและจะเพิ่มขึ้นอีกครั้ง
1 2 5
ตอนนี้ค่าขององค์ประกอบเท่ากับค่าสูงสุดที่เป็นไปได้: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5 องค์ประกอบก่อนหน้าที่มี i = 2 จะถูกตรวจสอบ
หากค่าน้อยกว่า n - m + i จะเพิ่มขึ้น 1 และสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดที่ตามมา ค่าจะเท่ากับค่าขององค์ประกอบก่อนหน้าบวก 1
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
จากนั้นเราตรวจสอบอีกครั้งสำหรับ i = 3
1 3 5
จากนั้น - ตรวจสอบ i = 2
1 4 5
แล้วก็ถึงเทิร์น i = 1
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
และต่อไป,
2 3 5
2 4 5
3 4 5
- ชุดค่าผสมสุดท้ายเนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ n - m + i
แม้ว่า PIN จะมีบทบาทสำคัญในโครงสร้างพื้นฐานของโลก แต่ยังไม่มีการวิจัยทางวิชาการเกี่ยวกับวิธีที่ผู้คนเลือก PIN จริงๆ
นักวิจัยจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ Sören Preibusch และ Ross Anderson ได้แก้ไขสถานการณ์ด้วยการเผยแพร่การวิเคราะห์เชิงปริมาณครั้งแรกของโลกเกี่ยวกับความยากในการคาดเดา PIN ของธนาคาร 4 หลัก
นักวิจัยพบว่าผู้ใช้เลือกใช้รหัส PIN อย่างจริงจังมากกว่าการเลือกรหัสผ่านสำหรับเว็บไซต์ โดยส่วนใหญ่แล้วรหัสจะมีชุดตัวเลขสุ่ม อย่างไรก็ตาม ในข้อมูลเบื้องต้นมีทั้งชุดค่าผสมและวันเกิดที่เรียบง่าย กล่าวคือ หากโชคดี ผู้โจมตีสามารถเดารหัสที่ต้องการได้
จุดเริ่มต้นของการศึกษาคือชุดลำดับรหัสผ่าน 4 หลักจากฐานข้อมูล RockYou (1.7 ล้าน) และฐานข้อมูล 200,000 รหัส PIN จากโปรแกรมล็อกหน้าจอ iPhone (ฐานข้อมูลจัดทำโดยนักพัฒนาแอปพลิเคชัน Daniel Amitay) . กราฟที่สร้างจากข้อมูลนี้แสดงรูปแบบที่น่าสนใจ เช่น วันที่ ปี ตัวเลขซ้ำ หรือแม้แต่รหัส PIN ที่ลงท้ายด้วย 69 จากการสังเกตเหล่านี้ นักวิทยาศาสตร์ได้สร้างแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นที่ประเมินความนิยมของ PIN แต่ละรายการโดยขึ้นอยู่กับปัจจัย 25 ประการ เช่น รหัสเป็นวันที่ในรูปแบบ DDMM ไม่ว่าจะเป็นลำดับจากน้อยไปหามาก เป็นต้น เงื่อนไขทั่วไปเหล่านี้เป็นไปตาม 79% และ 93% ของรหัส PIN ในแต่ละชุด
ดังนั้น ผู้ใช้จึงเลือกรหัส 4 หลักโดยพิจารณาจากปัจจัยง่ายๆ เพียงไม่กี่ข้อ หากเลือกรหัส PIN ของธนาคารด้วยวิธีนี้ 8-9% สามารถเดาได้ในสามครั้ง! แต่แน่นอนว่าผู้คนให้ความสนใจกับรหัสธนาคารมากกว่า ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลธนาคารจริงจำนวนมาก นักวิจัยได้สัมภาษณ์ผู้คนมากกว่า 1,300 คนเพื่อประเมินว่ารหัส PIN จริงแตกต่างจากที่พิจารณาแล้วอย่างไร เมื่อพิจารณาจากความเฉพาะเจาะจงของการศึกษาแล้ว ผู้ตอบจะไม่ถูกถามเกี่ยวกับตัวรหัสเอง แต่จะถามเกี่ยวกับการปฏิบัติตามปัจจัยใดๆ ข้างต้นเท่านั้น (การเพิ่มขึ้น รูปแบบ DDMM เป็นต้น)
ปรากฎว่าผู้คนระมัดระวังในการเลือกรหัส PIN ของธนาคารมากขึ้น ประมาณหนึ่งในสี่ของผู้ตอบแบบสอบถามใช้ PIN แบบสุ่มที่สร้างโดยธนาคาร มากกว่าหนึ่งในสามเลือก PIN โดยใช้หมายเลขโทรศัพท์เก่า หมายเลขประจำตัวนักเรียน หรือชุดตัวเลขอื่นๆ ที่ดูสุ่ม จากผลการวิจัยพบว่าผู้ถือบัตร 64% ใช้รหัส PIN แบบสุ่มหลอก ซึ่งมากกว่า 23-27% ในการทดลองครั้งก่อนที่ใช้รหัสที่ไม่ใช่ธนาคาร อีก 5% ใช้รูปแบบตัวเลข (เช่น 4545) และ 9% ชอบรูปแบบแป้นพิมพ์ (เช่น 2684) โดยทั่วไปแล้ว ผู้โจมตีที่พยายามหกครั้ง (สามครั้งด้วย ATM และสามครั้งด้วยเครื่องชำระเงิน) มีโอกาสน้อยกว่า 2% ที่จะคาดเดารหัส PIN ของบัตรของคนอื่น
ปัจจัย | ตัวอย่าง | ร็อคคุณ | iPhone | สัมภาษณ์ |
---|---|---|---|---|
วันที่ | ||||
DDMM | 2311 | 5.26 | 1.38 | 3.07 |
DMYY | 3876 | 9.26 | 6.46 | 5.54 |
MMDD | 1123 | 10.00 | 9.35 | 3.66 |
mmyy | 0683 | 0.67 | 0.20 | 0.94 |
ปปปป | 1984 | 33.39 | 7.12 | 4.95 |
ทั้งหมด | 58.57 | 24.51 | 22.76 | |
รูปแบบแป้นพิมพ์ | ||||
ที่เกี่ยวข้อง | 6351 | 1.52 | 4.99 | - |
สี่เหลี่ยม | 1425 | 0.01 | 0.58 | - |
มุม | 9713 | 0.19 | 1.06 | - |
ข้าม | 8246 | 0.17 | 0.88 | - |
เส้นทแยงมุม | 1590 | 0.10 | 1.36 | - |
เส้นแนวนอน | 5987 | 0.34 | 1.42 | - |
คำ | 5683 | 0.70 | 8.39 | - |
เส้นแนวตั้ง | 8520 | 0.06 | 4.28 | - |
ทั้งหมด | 3.09 | 22.97 | 8.96 | |
รูปแบบดิจิทัล | ||||
ลงท้ายด้วย 69 | 6869 | 0.35 | 0.57 | - |
เฉพาะตัวเลข 0-3 | 2000 | 3.49 | 2.72 | - |
เฉพาะตัวเลข 0-6 | 5155 | 4.66 | 5.96 | - |
คู่รักที่เกิดซ้ำ | 2525 | 2.31 | 4.11 | - |
ตัวเลขเดียวกัน | 6666 | 0.40 | 6.67 | - |
ลำดับจากมากไปน้อย | 3210 | 0.13 | 0.29 | - |
ลำดับจากน้อยไปมาก | 4567 | 3.83 | 4.52 | - |
ทั้งหมด | 15.16 | 24.85 | 4.60 | |
ชุดเลขสุ่ม | 23.17 | 27.67 | 63.68 |
ทุกอย่างจะเรียบร้อยดี แต่น่าเสียดายที่ส่วนสำคัญของผู้ตอบแบบสอบถาม (23%) เลือกรหัส PIN ในรูปแบบของวันที่ และเกือบหนึ่งในสามของพวกเขาใช้วันเกิดของพวกเขา สิ่งนี้ทำให้เกิดความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากผู้ตอบแบบสอบถามเกือบทั้งหมด (99%) ตอบว่าพวกเขาเก็บบัตรประจำตัวต่างๆ ไว้ในกระเป๋าเงินด้วยบัตรธนาคาร ซึ่งวันที่นี้จะถูกพิมพ์ หากผู้โจมตีรู้วันเกิดของผู้ถือบัตร ด้วยวิธีที่เหมาะสม ความน่าจะเป็นในการเดารหัส PIN จะเพิ่มขึ้นเป็น 9%
PIN ยอดนิยม 100 อันดับแรก
0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.
ป.ล.แน่นอนว่าในทางปฏิบัติ ผู้โจมตีสามารถสอดแนม PIN ของคุณได้ง่ายกว่าการเดา แต่คุณสามารถป้องกันตัวเองจากการแอบดูได้ แม้จะดูเหมือนในสถานการณ์ที่สิ้นหวัง: