ข้อใดเป็นกลไกที่เหมาะสมที่สุดในการค้นหาสารละลายสมดุล สู่การศึกษาสมดุลของกลไก การขยายเกมแบบผสม

คำจำกัดความพื้นฐานของทฤษฎีความเป็นคู่.

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นแต่ละปัญหาสามารถเชื่อมโยงกับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นอีกปัญหาหนึ่งได้ เมื่อหนึ่งในนั้นได้รับการแก้ไขแล้ว อีกปัญหาหนึ่งก็จะได้รับการแก้ไขโดยอัตโนมัติ ปัญหาดังกล่าวเรียกว่าเป็นคู่กัน เรามาแสดงวิธีการใช้ปัญหาที่กำหนด (เราจะเรียกมันว่าปัญหาดั้งเดิม) เพื่อสร้างปัญหาคู่

พิจารณาปัญหาของการวางแผนการผลิต

เอฟ=3 เอ็กซ์ 1 + 5เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์ 3 + 5เอ็กซ์ 4 → สูงสุด
5x 1 +0.4x 2 +2x 3 +0.5x 4 ≤400
5x 2 +x 3 +x 4 ≤300
x 1 + x 3 + x 4 ≤100
x 1 ≥0, x 2 ≥0, x 3 ≥0, x 4 ≥0

กฎทั่วไปสำหรับการเขียนปัญหาคู่:

ตรง	คู่
ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (สูงสุด)	ด้านขวาของข้อจำกัด
ด้านขวาของข้อจำกัด	ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (ขั้นต่ำ)
เอ - เมทริกซ์ข้อ จำกัด	เอ ที - เมทริกซ์ข้อ จำกัด
ข้อจำกัดที่ i: ≤ 0, (≥ 0)	ตัวแปร y ฉัน ≥ 0, (≤ 0)
ข้อจำกัดที่ i: = 0	ตัวแปร y ฉัน ≠ 0
ตัวแปร x เจ ≥ 0 (≤ 0)
ตัวแปร x เจ ≠ 0	ข้อจำกัดที่ j: = 0

สูงสุด → นาที

ตรง	คู่
ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (ขั้นต่ำ)	ด้านขวาของข้อจำกัด
ด้านขวาของข้อจำกัด	ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (สูงสุด)
เอ - เมทริกซ์ข้อ จำกัด	เอ ที - เมทริกซ์ข้อ จำกัด
ข้อจำกัดที่ i: ≥ 0, (≤ 0)	ตัวแปร y ฉัน ≥ 0, (≤ 0)
ข้อจำกัดที่ i: = 0	ตัวแปร y ฉัน ≠ 0
ตัวแปร x เจ ≥ 0 (≤ 0)	ข้อจำกัด j: ≤ 0 (≥ 0)
ตัวแปร x เจ ≠ 0	ข้อจำกัดที่ j: = 0

ให้เราสร้างปัญหาคู่ของมันตามกฎต่อไปนี้

1. จำนวนตัวแปรในปัญหาคู่เท่ากับจำนวนอสมการในปัญหาเดิม
2. เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของปัญหาคู่จะถูกย้ายไปยังเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของปัญหาเดิม
3. คอลัมน์เงื่อนไขอิสระของปัญหาเดิมคือแถวของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์คู่ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ในปัญหาหนึ่งถูกขยายให้ใหญ่สุด ส่วนอีกปัญหาหนึ่งถูกย่อให้เล็กสุด
4. เงื่อนไขของการไม่เป็นเชิงลบของตัวแปรของปัญหาเดิมนั้นสอดคล้องกับข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรคู่ ซึ่งมุ่งไปในทิศทางอื่น และในทางกลับกัน ความไม่เท่าเทียมกัน-ข้อจำกัดในต้นฉบับสอดคล้องกับเงื่อนไขของการไม่เชิงลบในความเป็นคู่

โปรดทราบว่าแถวของเมทริกซ์ของงาน I คือคอลัมน์ของเมทริกซ์ของงาน II ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y i ในปัญหา II จึงเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่เท่าเทียมกัน i ในปัญหา I ตามลำดับ
ผลลัพธ์ที่ได้คือแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ของปัญหาที่เป็นคู่กับปัญหาโดยตรง

ความไม่เท่าเทียมกันที่เชื่อมต่อด้วยลูกศรจะเป็น เรียกคอนจูเกต.
การกำหนดปัญหาคู่อย่างมีความหมาย: ค้นหาชุดราคา (ประมาณการ) ของทรัพยากร Y = (y 1, y 2 ..., y m) ซึ่งต้นทุนรวมของทรัพยากรจะน้อยที่สุดโดยมีเงื่อนไขว่าต้นทุนทรัพยากรในการผลิตแต่ละประเภท ของผลิตภัณฑ์จะต้องไม่น้อยกว่ากำไร (รายได้) จากการขายผลิตภัณฑ์เหล่านี้
ราคาของทรัพยากร y 1, y 2 ..., y m ได้รับชื่อต่าง ๆ ในวรรณกรรมเศรษฐศาสตร์: การบัญชี, โดยนัย, เงา ความหมายของชื่อเหล่านี้ก็คือราคาเหล่านี้เป็นราคา "ปลอม" ที่มีเงื่อนไข ตรงกันข้ามกับราคา "ภายนอก" c 1, c 2 ..., c n สำหรับผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็นที่รู้จักตามกฎก่อนเริ่มการผลิตราคาทรัพยากร c 1, c 2 ..., c n เป็นแบบภายในเนื่องจาก ไม่ได้ถูกกำหนดจากภายนอก แต่ถูกกำหนดโดยตรงจากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา ดังนั้นจึงมักเรียกว่าการประมาณทรัพยากร
ความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาโดยตรงและปัญหาคู่นั้นอยู่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในความจริงที่ว่าวิธีแก้ปัญหาของปัญหาหนึ่งสามารถรับได้โดยตรงจากวิธีแก้ปัญหาของอีกปัญหาหนึ่ง

ทฤษฎีบทความเป็นคู่

ความเป็นคู่เป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ผลลัพธ์หลักของทฤษฎีบทความเป็นคู่มีอยู่ในสองทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทความเป็นคู่

ทฤษฎีบทความเป็นคู่ข้อแรก.

หากหนึ่งในคู่ของปัญหาคู่ I และ II สามารถแก้ไขได้ปัญหาอื่น ๆ ก็สามารถแก้ไขได้และค่าของวัตถุประสงค์จะทำหน้าที่ในแผนการที่เหมาะสมที่สุดตรงกัน เอฟ(x*) = ช(ย*) โดยที่ x *, y * เป็นแนวทางแก้ไขปัญหา I และ II ที่ดีที่สุด

ทฤษฎีบทความเป็นคู่ที่สอง.

แผน x * และ y * นั้นเหมาะสมที่สุดในปัญหา I และ II ถ้าหากเมื่อแทนที่พวกมันเข้าสู่ระบบข้อจำกัดของปัญหา I และ II ตามลำดับ อสมการคอนจูเกตอย่างน้อยหนึ่งคู่ใด ๆ จะกลายเป็นความเท่าเทียมกัน
นี้ ทฤษฎีบทความเป็นคู่พื้นฐาน. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า x * และ y * เป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาโดยตรงและปัญหาคู่ และถ้า c T x * = b T y * ดังนั้น x * และ y * จึงเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาคู่

ทฤษฎีบทความเป็นคู่ที่สาม. ค่าของตัวแปร y i ในวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาคู่คือการประมาณอิทธิพลของเงื่อนไขอิสระ b i ของระบบข้อ จำกัด - ความไม่เท่าเทียมกันของปัญหาโดยตรงต่อค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหานี้:
Δf(x) = ข ฉัน ฉัน

ด้วยการแก้ ZLP โดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ เราจะแก้ ZLP คู่ไปพร้อมๆ กัน ค่าของตัวแปรของปัญหาคู่ y i ในแผนการที่เหมาะสมที่สุดเรียกว่าการกำหนดอย่างเป็นกลางหรือการประมาณค่าแบบคู่ ในปัญหาที่ประยุกต์ การประมาณการแบบคู่ของ y i มักเรียกว่า ราคาซ่อนเร้น ราคาเงา หรือการประมาณทรัพยากรส่วนเพิ่ม

คุณสมบัติของปัญหาคู่ซึ่งกันและกัน

1. ในปัญหาหนึ่ง การหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้น อีกปัญหาหนึ่งคือค่าต่ำสุด
2. ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันเชิงเส้นของปัญหาหนึ่งเป็นสมาชิกอิสระของระบบข้อจำกัดในอีกปัญหาหนึ่ง
3. แต่ละปัญหาจะได้รับในรูปแบบมาตรฐาน และในปัญหาการขยายใหญ่สุด ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของรูปแบบ ≤ และในปัญหาการลดขนาด ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของรูปแบบ ≥
4. เมทริกซ์สัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในระบบข้อจำกัดของปัญหาทั้งสองจะถูกย้ายซึ่งกันและกัน:
5. จำนวนความไม่เท่าเทียมกันในระบบข้อจำกัดของปัญหาหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนตัวแปรในอีกปัญหาหนึ่ง
6. เงื่อนไขของการไม่เป็นลบของตัวแปรมีอยู่ในปัญหาทั้งสอง

ทฤษฎีบทสมดุล

ปัญหาที่ 2
เขียนปัญหาคู่ให้เป็นปัญหา 1. หามันให้เจอ การแก้ปัญหาโดยทฤษฎีบทสมดุล.
3x 1 +x 2 ≥12
x 1 +2x 2 ≥14
4x 1 +11x 2 ≥68

ทฤษฎีบทสมดุล . ให้ X*=(x 1 *,...,x n *) และ Y*=(y 1 *,...,y n *) เป็นแผนที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาคู่หนึ่งในรูปแบบสมมาตร แผนเหล่านี้จะเหมาะสมที่สุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขความหย่อนเสริมต่อไปนี้ได้รับการตอบสนอง:


ทฤษฎีบทที่ 4 ช่วยให้เราสามารถกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาคู่หนึ่งจากปัญหาคู่หนึ่งโดยการแก้ปัญหาอีกปัญหาหนึ่ง หากข้อจำกัดของปัญหาหนึ่ง เมื่อแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด กลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ตัวแปรคู่ที่สอดคล้องกันในวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาคู่จะเท่ากับ 0 หากในแผนที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาหนึ่ง ตัวแปรบางตัวเป็นค่าบวก ดังนั้นข้อจำกัดที่สอดคล้องกันของปัญหาคู่ก็คือสมการ
ให้เราตีความทางเศรษฐศาสตร์เกี่ยวกับเงื่อนไขของความไม่เข้มงวดเสริมกัน หากในการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดวัตถุดิบใด ๆ มีคะแนนแตกต่างจาก 0 แสดงว่าวัตถุดิบนั้นจะถูกใช้ไปจนหมด (ทรัพยากรมีน้อย) หากวัตถุดิบไม่ได้ใช้จนหมด (เกิน) ค่าประมาณจะเป็น 0 ดังนั้นเราจึงพบว่าการประมาณค่าแบบคู่เป็นการวัดความขาดแคลนวัตถุดิบ การประมาณการแสดงมูลค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่จะเพิ่มขึ้นเมื่อสต็อกของวัตถุดิบที่เกี่ยวข้องเพิ่มขึ้น 1 หน่วย หากมีผลิตภัณฑ์บางประเภทรวมอยู่ในแผนการผลิต ต้นทุนการผลิตจะตรงกับต้นทุนของผลิตภัณฑ์ที่ผลิต หากต้นทุนการผลิตผลิตภัณฑ์ประเภทใดสูงกว่าต้นทุนของผลิตภัณฑ์ก็จะไม่มีการผลิตผลิตภัณฑ์
หากหนึ่งในคู่ของปัญหาคู่ประกอบด้วยตัวแปรสองตัว ก็สามารถแก้ไขได้ด้วยภาพกราฟิก จากนั้นจึงหาวิธีแก้ปัญหาของปัญหาคู่ได้โดยใช้ทฤษฎีบท 3 และ 4 ในกรณีนี้ อาจมี 3 กรณีเกิดขึ้น: ปัญหาทั้งสองมีวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ มีเพียงปัญหาเดียวเท่านั้นที่มีวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ ปัญหาทั้งสองไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

ตัวอย่างที่ 2
เขียนปัญหาคู่และหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทสมดุล
x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5 ≤4
-2x 1 -2x 2 +2x 3 +2x 4 +x 5 ≥2
x ผม ≥0, ผม=1.5
Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → สูงสุด หากทราบวิธีแก้ไขปัญหาเดิม: Zmax=(3;4;0;0;0)
มาสร้างปัญหาคู่กัน ให้เราประสานสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกับเป้าหมายของปัญหาเดิม

Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → สูงสุด
ปัญหาคู่:

W=4ปี 1 -2ปี 2 → นาที
ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาคู่โดยใช้ทฤษฎีบทสมดุล ให้เราเขียนเงื่อนไขสำหรับความไม่เข้มงวดเสริม
y 1 (4-(x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5))=0
y 2 (-2-(2x 1 -2x 2 -2x 3 -2x 4 -x 5))=0
x 1 (-2y 2 -10)=0
x 2 (ป 1 -2ป 2 +9)=0
x 3 (-2y 1 -2y 2 +19)=0
x 4 (2ปี 1 -2ปี 2 +13)=0
x 5 (-2y 1 -y 2 +11)=0
ให้เราแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาเดิมลงในระบบที่คอมไพล์แล้ว: x 1 =3, x 2 =4, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =0
y 1 (4-(4-2 0+2 0-2 0))=0
y 2 (-2-(2 3-2 4-2 0-2 0-0))=0 W(y 1 , y 2 , y 3)=12y 1 +31y 2 +18y 3 → สูงสุด ตามทฤษฎีบท 3 Zmax=Wmin=100000
สุดท้าย Wmin=W(0; 4000/7; 32000/21) = 100000

การประยุกต์หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้นั้นมีประสิทธิภาพมากในการศึกษาสมดุลของกลไกระนาบเช่น ผู้ที่มีการเชื่อมโยงเคลื่อนที่ในระนาบขนานกับระนาบคงที่ ด้วยวิธีง่ายๆ เราสามารถสรุปได้ว่าจุดและลิงก์ทั้งหมดเคลื่อนที่ไปตามระนาบของการวาดนั้นเอง

เมื่อพิจารณาว่าการเชื่อมต่อทั้งหมดของการเชื่อมโยงของกลไกตลอดจนการเชื่อมต่อภายนอกนั้นเหมาะสมที่สุด เราจึงแยกปฏิกิริยาของพวกเขาออกจากการพิจารณา สิ่งนี้จะกำหนดข้อดีของหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการทางเรขาคณิตสถิตยศาสตร์ (สมการสมดุล)

ละเลยแรงเสียดทาน จงหาความสัมพันธ์ระหว่างแรง ปและ ถามโดยที่กลไกข้อเหวี่ยง-สไลเดอร์จะอยู่ในสภาวะสมดุลหากแรงตั้งฉาก โอเอ(รูปที่ 2.8)

โดยแจ้งกลไกการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ และเทียบผลรวมของการทำงานของกำลังให้เป็นศูนย์ ปและ ถามจากการเคลื่อนไหวนี้ เราได้รับ

ป× ดีเอสบี – Q×ดีเอสเอ = 0,

ที่ไหน ดีเอส เอและ ดีเอส บี– โมดูลการเคลื่อนไหวของจุดที่เป็นไปได้ กและ ใน.

การย้าย ดีเอส เอตั้งฉาก โอเอ, ดีเอส บีกำกับเป็นเส้นตรง โอ.บี.เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ระหว่าง ดีเอส บีและ ดีเอส เอมาหา MCS ของลิงค์กัน เอบี. มันอยู่ที่จุดตัดของตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ของจุดที่เป็นไปได้ กและ ใน. การเคลื่อนไหวเหล่านี้มีความสัมพันธ์เดียวกันกับความเร็วของจุด กและ ใน, เช่น.

โดยใส่สัญลักษณ์มุม เจและ ยจากทฤษฎีบทของไซน์ที่เราพบ

การพึ่งพาระหว่างการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ ดีเอส เอและ ดีเอส บีสามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพความเร็วจุด กและ บีโดยตรง เอบี. การใช้ทฤษฎีบทนี้เราสามารถเขียนได้:

ดีเอส เอคอส = ดีเอส บี× อบอุ่นสบาย,

ปัญหาที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีสถิตศาสตร์แบบเข้มงวด ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องสร้างสมการสมดุลสำหรับแต่ละกลไกของกลไก (crank โอเอ,ก้านสูบ เอบี, สไลเดอร์ ใน); ในกรณีนี้ จำเป็นต้องคำนึงถึงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบของการเชื่อมต่อ (ปฏิกิริยาในบานพับ กและ ในและปฏิกิริยาของตัวกั้นที่สไลด์เคลื่อนที่)

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ ข้อดีของหลักการของการกระจัดที่อาจเกิดขึ้นนั้นชัดเจน วิธีนี้ช่วยให้คุณแยกปฏิกิริยาพันธะที่ไม่รู้จักออกจากการพิจารณาได้ เพราะ ปฏิกิริยาเหล่านี้ไม่รวมอยู่ในสภาวะสมดุลของระบบ ซึ่งแสดงโดยหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้

2.6. การประยุกต์หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

เพื่อกำหนดปฏิกิริยาพันธะ

ในการกำหนดหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ แรงปฏิกิริยาจะไม่ปรากฏ อย่างไรก็ตาม หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้สามารถนำไปใช้อย่างมีประสิทธิผลในการกำหนดแรงเหล่านี้ และยิ่งการออกแบบซับซ้อนมากขึ้นเท่าใด ข้อดีของหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการที่ใช้ในสถิติทางเรขาคณิต (การวาดและการแก้สมการสมดุล)

โครงสร้างแบบคงที่ (โครงสร้าง) มีระดับความคล่องตัวเป็นศูนย์เช่น อยู่ในสมดุลเนื่องจากมีการเชื่อมต่อภายนอกและภายใน การเชื่อมต่อในรูปแบบของการผนึกที่แข็งแรงซึ่งกำหนดไว้บนตัวเครื่องจะจำกัดการเคลื่อนไหวใดๆ ของมัน ดังนั้นเราจึงแสดงปฏิกิริยาในรูปแบบขององค์ประกอบสองชิ้นที่พุ่งไปตามแกนพิกัดและโมเมนต์ปฏิกิริยา ส่วนรองรับแบบบานพับคงที่จำกัดการเคลื่อนไหวของร่างกายในสองทิศทางที่ตั้งฉากกันปฏิกิริยาของมันจะแสดงในรูปแบบของสององค์ประกอบตามแกนพิกัด

ด้วยการใช้หลักการปลดปล่อยจากพันธะ คุณสามารถละทิ้งการเชื่อมต่อเดียวที่จำกัดการเคลื่อนไหวของวัตถุในทิศทางเดียว และแทนที่ด้วยแรงปฏิกิริยา

ในกรณีที่การเชื่อมต่อป้องกันไม่ให้ร่างกายเคลื่อนที่ไปหลายทิศทาง (ส่วนรองรับแบบบานพับคงที่ การฝังแบบแข็ง) จะถูกแทนที่ด้วยการเชื่อมต่อประเภทอื่นที่ช่วยให้สามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางของปฏิกิริยาที่เราต้องการกำหนด

เพื่อกำหนดโมเมนต์ปฏิกิริยาในการปิดผนึกที่เข้มงวด จะถูกแทนที่ด้วยส่วนรองรับบานพับคงที่และโมเมนต์ปฏิกิริยาที่ต้องการ (รูปที่ 2.9)

ในการกำหนดองค์ประกอบแนวนอนหรือแนวตั้งของปฏิกิริยาการฝังแบบแข็งจะถูกแทนที่ด้วยการเชื่อมต่อแบบแท่งในตัวกั้นและปฏิกิริยาที่ต้องการ (รูปที่ 2.10, 2.11)

ด้วยวิธีนี้ ปฏิกิริยาของพันธะทั้งหมดจึงสามารถกำหนดตามลำดับได้ ในกรณีนี้ แต่ละครั้งการเชื่อมต่อที่ต้องพิจารณาปฏิกิริยาจะถูกละทิ้ง และระบบกลไกจะได้รับอิสระระดับหนึ่ง

ในกรณีที่การเชื่อมต่อป้องกันการเคลื่อนไหวของร่างกายในหลายทิศทาง (ส่วนรองรับแบบบานพับคงที่, การฝังแบบแข็ง) จะไม่ถูกทิ้งทั้งหมด แต่จะถูกแทนที่ด้วยแบบที่ง่ายกว่าเท่านั้น วิธีการทำแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.12.

เราจะแสดงตัวเลือกสำหรับการเปลี่ยนส่วนรองรับแบบบานพับเมื่อพิจารณาปฏิกิริยา

ลองดูตัวอย่างการพิจารณาปฏิกิริยาสนับสนุนของส่วนประกอบต่างๆ
การออกแบบ

ด้วยการรวมเส้นอุปสงค์และอุปทานไว้ในกราฟเดียว เราจะได้การแสดงสมดุลในพิกัดแบบกราฟิก พี คิว(รูปที่ 2.6) จุดตัดของเส้นมีพิกัด (ป*,ถาม*),ที่ไหน ร* -ราคาสมดุล ถาม*- ปริมาณการผลิตและการบริโภคที่สมดุล

ความสมดุลของตลาด- นี่คือสถานะของตลาดที่สำหรับระดับราคาที่กำหนด ปริมาณความต้องการจะเท่ากับปริมาณอุปทาน

อยู่ที่จุดสมดุลเท่านั้น อีตลาดมีความสมดุล ไม่มีตัวแทนตลาดคนใดมีแรงจูงใจที่จะเปลี่ยนแปลงสถานการณ์ ซึ่งหมายความว่าความสมดุลของตลาดมีคุณสมบัติ ความมั่นคง -ในกรณีที่สภาวะไม่สมดุล ตัวแทนตลาดจะถูกกระตุ้นให้ทำให้ตลาดกลับสู่สภาวะสมดุล เพื่อพิสูจน์ความเสถียร โดยปกติจะใช้ตรรกะของ L. Walras หรือ A. Marshall

ตามที่ L. Walras กล่าว เมื่อราคาสูงเกินไป ก็จะมีอุปทานส่วนเกิน - การผลิตมากเกินไป (segment เอ-บีในรูป 2.6i) ตลาดดังกล่าวมีชื่อว่า ตลาดของผู้ซื้อเนื่องจากผู้ซื้อมีโอกาสที่จะเรียกร้องการลดราคาเมื่อทำธุรกรรม ในสถานการณ์เช่นนี้ ผู้ขายไม่ได้สนใจเป็นหลัก เนื่องจากเขาถูกบังคับให้ลดราคาและลดปริมาณการผลิต เมื่อราคาลดลง ปริมาณที่ต้องการก็จะเพิ่มขึ้นตามแต่ละส่วน เอ-บีหดตัวจนกลายเป็นจุดสมดุล อี.

ในราคาที่ต่ำความต้องการส่วนเกินเกิดขึ้น - การขาดดุล (ส่วน CFna รูปที่ 2.6a) พัฒนาขึ้น ตลาดของผู้ขายผู้ซื้อถูกบังคับ

เมื่อบุคคลตัดสินใจที่จะลดการบริโภคและจ่ายเงินมากเกินไปสำหรับผลิตภัณฑ์ที่หายาก ตามราคาที่เพิ่มขึ้น ปริมาณอุปทานจะเพิ่มขึ้น การขาดดุลจะลดลง จนกว่าตลาดจะถึงจุดสมดุล

อ้างอิงจาก A. Marshall (รูปที่. 2.66), เมื่อมีปริมาณการผลิตน้อย ราคาความต้องการจะสูงกว่าราคาของผู้ขาย และปริมาณมากก็กลับกัน ไม่ว่าในกรณีใด สถานการณ์ความไม่สมดุลจะกระตุ้นให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของราคาหรือปริมาณอุปสงค์และอุปทานไปสู่ความสมดุล สมดุล (ก)ตามคำกล่าวของ Walras - ราคาควบคุมความไม่สมดุลของอุปสงค์และอุปทาน (ข)ตามข้อมูลของ Marshall - การเปลี่ยนแปลงในปริมาณความสมดุลของราคาผู้ซื้อและผู้ขาย

ข้าว. 2.6. การสร้างสมดุลของตลาด: c) ตามข้อมูลของ L. Walras; b) ตามคำกล่าวของ A. Marshall

การเปลี่ยนแปลงอุปสงค์หรืออุปทานของตลาดนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในความสมดุล (รูปที่ 2.7) ตัวอย่างเช่น หากความต้องการของตลาดเพิ่มขึ้น เส้นอุปสงค์จะเลื่อนไปทางขวา จากนั้นราคาและปริมาณสมดุลจะเพิ่มขึ้น หากอุปทานในตลาดลดลง เส้นอุปทานจะเคลื่อนไปทางซ้าย ทำให้ราคาเพิ่มขึ้นและปริมาณลดลง

โมเดลตลาดนี้เป็นแบบคงที่ เนื่องจากเวลาไม่ปรากฏอยู่ในนั้น

โมเดล "แมงมุม"

เพื่อเป็นตัวอย่างของแบบจำลองแบบไดนามิกของความสมดุลของตลาด เราจะให้แบบจำลอง "รูปแบบเว็บ" ที่ง่ายที่สุด สมมติว่าปริมาณที่ต้องการขึ้นอยู่กับระดับราคาของงวดปัจจุบัน เสื้อและปริมาณอุปทาน - จากราคาของช่วงก่อนหน้า t-1:

Q d i = Q d i (P t) , Q s i = Q s i (P t -1) ,

โดยที่ t = 0.1….T คือค่าที่ไม่ต่อเนื่องของช่วงเวลา

ข้าว. 2.7. การเปลี่ยนแปลงในสมดุลของตลาด:

ก) เนื่องจากความต้องการเพิ่มขึ้น ข)เนื่องจากการลดลง

ข้อเสนอ

ราคาตลาด ปตอาจไม่ตรงกับราคาดุลยภาพ ร*,และมีไดนามิกที่เป็นไปได้สามประการ ปต(รูปที่ 2.8)

ตัวเลือกวิถีการพัฒนาในรุ่นนี้ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความชันของเส้นอุปสงค์และอุปทาน

ข้าว. 2.8. โมเดล "ใยแมงมุม" ของความสมดุลของตลาด:

ก) การเบี่ยงเบนจากสมดุลลดลง 5) ส่วนเบี่ยงเบน

เพิ่มขึ้นจากความสมดุล (แบบจำลอง “ภัยพิบัติ”) ค) ตลาด

แกว่งไปมารอบจุดสมดุล แต่อยู่ในสภาวะสมดุล

เรามาศึกษากลไกในการสร้างสมดุลของตลาดเมื่อตลาดออกจากสถานะภายใต้อิทธิพลของการเปลี่ยนแปลงของอุปสงค์หรืออุปทาน ความไม่สมดุลระหว่างอุปสงค์และอุปทานมีสองประเภทหลัก: ส่วนเกินและการขาดแคลนสินค้า

ส่วนเกิน(ส่วนเกิน) ของผลิตภัณฑ์ - นี่คือสถานการณ์ในตลาดเมื่อปริมาณอุปทานของผลิตภัณฑ์ในราคาที่กำหนดเกินปริมาณความต้องการ ในกรณีนี้ การแข่งขันเกิดขึ้นระหว่างผู้ผลิต ซึ่งเป็นการต่อสู้เพื่อผู้ซื้อ ผู้ชนะคือผู้ที่เสนอเงื่อนไขที่ดีกว่าสำหรับการขายสินค้า ดังนั้นตลาดจึงมุ่งมั่นที่จะกลับสู่สภาวะสมดุล

ปัญหาการขาดแคลนสินค้า - ในกรณีนี้ ปริมาณที่ต้องการสำหรับสินค้าในราคาที่กำหนดเกินปริมาณที่จัดหาของสินค้า ในสถานการณ์เช่นนี้ การแข่งขันเกิดขึ้นระหว่างผู้ซื้อเพื่อโอกาสในการซื้อสินค้าที่หายาก ผู้ที่เสนอราคาสูงสุดสำหรับผลิตภัณฑ์ที่กำหนดจะเป็นผู้ชนะ ราคาที่เพิ่มขึ้นดึงดูดความสนใจของผู้ผลิตที่เริ่มขยายการผลิตซึ่งจะเป็นการเพิ่มอุปทานของสินค้า ส่งผลให้ระบบกลับสู่สภาวะสมดุล

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เราได้ข้อสรุปว่าราคาทำหน้าที่สร้างความสมดุล กระตุ้นการขยายตัวของการผลิตและอุปทานของสินค้าในช่วงที่สินค้าขาดแคลนและควบคุมอุปทาน ขจัดตลาดที่เกินดุล

บทบาทที่สมดุลของราคาจะขึ้นอยู่กับทั้งอุปสงค์และอุปทาน

เราจะดำเนินการต่อจากสมมติฐานที่ว่าความสมดุลที่เกิดขึ้นในตลาดของเราถูกรบกวน - ภายใต้อิทธิพลของปัจจัยบางประการ (เช่น การเติบโตของรายได้) ทำให้ความต้องการเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เส้นโค้งเปลี่ยนจาก D1วี D2(รูปที่ 4.3 ก) แต่ข้อเสนอยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

หากราคาของผลิตภัณฑ์ที่ระบุไม่เปลี่ยนแปลงทันทีหลังจากการเปลี่ยนแปลงของเส้นอุปสงค์ จากนั้นตามความต้องการที่เพิ่มขึ้น สถานการณ์จะเกิดขึ้นที่ราคาเดียวกัน ป1ปริมาณสินค้าที่ผู้ซื้อแต่ละรายสามารถทำได้ในขณะนี้ ซื้อ (คิวดี)เกินกว่าปริมาณที่ผู้ผลิตสามารถเสนอได้ในราคาที่กำหนด สินค้า (คำพูดคำจา). จำนวนความต้องการจะเกินปริมาณอุปทานของผลิตภัณฑ์นี้ ซึ่งหมายความว่า การขาดแคลนสินค้าในอัตราของ Df = QD – Qsในตลาดนี้

ดังที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่าการขาดแคลนสินค้าทำให้เกิดการแข่งขันระหว่างผู้ซื้อเพื่อโอกาสในการซื้อผลิตภัณฑ์นี้ซึ่งนำไปสู่การเพิ่มขึ้นของราคาในตลาด เมื่อใช้ร่วมกับกฎการจัดหา ปฏิกิริยาของผู้ขายต่อการเพิ่มขึ้นของราคาจะเป็นการเพิ่มปริมาณสินค้าที่จัดหา บนแผนภูมิ ϶ιι จะแสดงโดยการย้ายจุดสมดุลของตลาด E1ไปตามเส้นอุปทานจนกระทั่งตัดกับเส้นอุปสงค์ใหม่ D2ซึ่งจะสร้างความสมดุลใหม่ของตลาดนี้ E2 สปริมาณสินค้าที่สมดุล ไตรมาสที่ 2และราคาสมดุล ป2.

ข้าว. 4.3. การเปลี่ยนแปลงของจุดราคาดุลยภาพ

ให้เราศึกษาสถานการณ์เมื่อสภาวะสมดุลถูกรบกวนในด้านอุปทาน

เราจะดำเนินการต่อจากสมมติฐานที่ว่าภายใต้อิทธิพลของปัจจัยบางประการมีอุปทานเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เส้นโค้งของมันเลื่อนไปทางขวาจากตำแหน่ง S1วี เอส2และอุปสงค์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (รูปที่ 4.3 b)

โดยมีเงื่อนไขว่าราคาตลาดยังคงอยู่ที่ระดับเดิม (P1)อุปทานที่เพิ่มขึ้นจะนำไปสู่ ส่วนเกินสินค้ามีขนาด Sp = Qs – QDส่งผลให้มี การแข่งขันผู้ขายส่งผลให้ราคาตลาดลดลง (ด้วย ป1ก่อน ป2)และการเติบโตของปริมาณสินค้าที่ขาย บนกราฟ ϶ει จะถูกสะท้อนโดยการย้ายจุดสมดุลของตลาด E1ไปตามเส้นอุปสงค์จนตัดกับเส้นอุปทานใหม่ซึ่งจะนำไปสู่การสร้างสมดุลใหม่ E2พร้อมพารามิเตอร์ ไตรมาสที่ 2และ ป2.

ในทำนองเดียวกัน มีความเป็นไปได้ที่จะระบุผลกระทบต่อราคาดุลยภาพและปริมาณดุลยภาพของสินค้าจากอุปสงค์ที่ลดลงและอุปทานที่ลดลง

วรรณกรรมด้านการศึกษากำหนดกฎสี่ข้อสำหรับการโต้ตอบของอุปสงค์และอุปทาน

ความต้องการที่เพิ่มขึ้นทำให้ราคาสมดุลและปริมาณสินค้าสมดุลเพิ่มขึ้น

ความต้องการที่ลดลงทำให้ทั้งราคาดุลยภาพและปริมาณสมดุลของสินค้าลดลง

อุปทานที่เพิ่มขึ้นส่งผลให้ราคาดุลยภาพลดลงและปริมาณสินค้าสมดุลเพิ่มขึ้น

อุปทานที่ลดลงส่งผลให้ราคาดุลยภาพเพิ่มขึ้นและปริมาณสมดุลของสินค้าลดลง

เป็นเรื่องที่คุ้มที่จะบอกว่าการใช้กฎเหล่านี้ คุณจะพบจุดสมดุลสำหรับการเปลี่ยนแปลงของอุปสงค์และอุปทาน

การคืนราคาสู่ระดับสมดุลของตลาดอาจถูกขัดขวางโดยสถานการณ์ต่อไปนี้:

กฎระเบียบด้านการบริหารราคา

การผูกขาดผู้ผลิตหรือผู้บริโภค ทำให้พวกเขารักษาราคาผูกขาดซึ่งอาจสูงหรือต่ำเทียมได้

เมื่อเริ่มแก้ไขปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดจำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบที่พิจารณา (โดยเฉพาะกลไก) ตามจำนวนการเคลื่อนไหวหรือพิกัดที่เป็นอิสระที่เป็นไปได้ของระบบ

ในกลไกแบบแบน สามารถกำหนดจำนวนระดับความอิสระได้ดังต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่ากลไกกำลังเคลื่อนไหว หากโดยการหยุดการเคลื่อนที่ในการแปลหรือการหมุนของลิงก์ใดลิงก์หนึ่ง เราก็หยุดกลไกทั้งหมดไปพร้อมๆ กัน กลไกดังกล่าวจะมีอิสระในระดับหนึ่ง ถ้าหลังจากส่วนนี้ของกลไกสามารถเคลื่อนที่ต่อไปได้ แต่เมื่อการเคลื่อนที่ของส่วนอื่น ๆ หยุดแล้ว กลไกนั้นก็หยุด มันก็จะมีระดับความอิสระสองระดับ เป็นต้น ในทำนองเดียวกัน ถ้าเรากำหนดตำแหน่งของกลไกโดยบางส่วน ประสานงานและเมื่อคงที่กลไกจะไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ - มีอิสระระดับหนึ่ง หากหลังจากนี้ส่วนหนึ่งของกลไกสามารถเคลื่อนที่ได้ พิกัดที่สองจะถูกเลือก เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเรขาคณิต เมื่อระบบมีอิสระระดับหนึ่ง จำเป็น: 1) แสดงถึงแรงกระทำทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ; 2) แจ้งระบบของการกระจัดที่เป็นไปได้และแสดงในรูปของการกระจัดเบื้องต้นของจุดที่ใช้แรงหรือมุม 69 การหมุนเบื้องต้นของร่างกายที่แรงกระทำ (สำหรับการกระจัดเบื้องต้นเราจะระบุในการวาดภาพโมดูลของพวกเขาซึ่ง เข้าสู่สภาวะสมดุลโดยตรง) 3) คำนวณงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดในการกระจัดที่กำหนดโดยใช้สูตร:

และสร้างเงื่อนไข (99); 4) สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกัน (99) และแสดงปริมาณเหล่านี้ผ่านทางค่าใดค่าหนึ่ง ซึ่งสามารถทำได้เสมอสำหรับระบบที่มีระดับความเป็นอิสระระดับหนึ่ง

หลังจากแทนที่ปริมาณทั้งหมดด้วยความเท่าเทียมกัน (99) ทีละรายการ เราจะได้สมการที่ใช้ค้นหาปริมาณหรือการพึ่งพาที่ต้องการในปัญหาได้

การพึ่งพาระหว่างสามารถพบได้: ก) จากความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกัน (ปัญหา 164, 169); b) จากความสัมพันธ์จลนศาสตร์ เมื่อพิจารณาว่าระบบกำลังเคลื่อนที่ และกำหนดสำหรับตำแหน่งที่กำหนดของระบบ การขึ้นต่อกันระหว่างความเร็วเชิงเส้นหรือเชิงมุมของจุดหรือส่วนต่างๆ ของระบบที่สอดคล้องกัน จากนั้นจึงสมมติว่าสิ่งนี้เป็นจริง เนื่องจากการเคลื่อนไหวจริงที่ได้รับจากจุดหรือวัตถุในช่วงเวลา dt จะอยู่ที่จุดเชื่อมต่อคงที่เป็นหนึ่งในการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ (ไม่เช่นนั้น ในที่นี้เราสามารถพิจารณาการขึ้นต่อกันระหว่างการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ทันทีให้เหมือนกับระหว่างความเร็วที่สอดคล้องกัน ดูปัญหา 165, 166 ฯลฯ)

สำหรับระบบที่มีระดับความเป็นอิสระหลายระดับ ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยการสร้างเงื่อนไข (99) ให้กับแต่ละการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้อย่างเป็นอิสระของระบบ และเปลี่ยนรูปแบบในลักษณะเดียวกัน เป็นผลให้ระบบจะมีสภาวะสมดุลมากเท่าที่มีระดับความเป็นอิสระ วิธีการแก้ปัญหาอื่นที่นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันได้อธิบายไว้ในมาตรา 144

ด้วยวิธีการคำนวณเชิงวิเคราะห์ สภาวะสมดุลจะถูกเขียนในรูปแบบ (100) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกแกนพิกัดที่เกี่ยวข้องกับร่างกาย ซึ่งยังคงไม่เคลื่อนไหวในระหว่างการเคลื่อนไหวของระบบที่เป็นไปได้ จากนั้นจะคำนวณการฉายภาพของแรงที่ใช้งานทั้งหมดบนแกนที่เลือกและพิกัดของจุดที่ใช้แรงเหล่านี้ โดยแสดงพิกัดทั้งหมดผ่านพารามิเตอร์บางตัว (เช่น มุม) หลังจากนี้ จะพบปริมาณโดยการแยกพิกัดตามพารามิเตอร์นี้

หากไม่สามารถแสดงพิกัดทั้งหมดผ่านพารามิเตอร์ตัวเดียวได้ในคราวเดียว คุณจะต้องป้อนพารามิเตอร์หลายตัวแล้วสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์เหล่านั้น

ขอให้เราสังเกตโดยสรุปว่าเงื่อนไข (99) หรือ (100) สามารถใช้แก้ปัญหาเมื่อมีแรงเสียดทานได้ รวมถึงแรงเสียดทานระหว่างแรงกระทำด้วย ในทำนองเดียวกันเราสามารถค้นหาปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อได้หากทิ้งการเชื่อมต่อแล้วแทนที่ด้วยปฏิกิริยาที่เกี่ยวข้องรวมอันหลังไว้ในจำนวนแรงที่ใช้งานอยู่และคำนึงว่าหลังจากละทิ้งการเชื่อมต่อแล้วระบบจะมีใหม่ ระดับความเป็นอิสระ

ปัญหา 164 ในกลไกที่แสดงในรูปที่ 1 354 จงหาความสัมพันธ์ระหว่างแรง P และ Q ที่จุดสมดุล

วิธีแก้ไข: ระบบมีอิสระระดับหนึ่ง หากคุณบอกระบบการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ เส้นทแยงมุมทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากแท่งจะยาวขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน แล้ว .

การเขียนสมการ (99) เราได้รับ:

ที่ไหน . ผลลัพธ์นั้นง่ายมาก

ปัญหา 165 น้ำหนักของท่อนไม้คือ Q น้ำหนักของลูกกลิ้งทรงกระบอกทั้งสองลูกกลิ้งที่วางอยู่คือ P จงพิจารณาว่าต้องใช้แรง F เท่าใดกับท่อนไม้เพื่อรักษาสมดุลบนระนาบเอียงที่ มุมเอียงที่กำหนด a (รูปที่ 355) การเสียดสีของลูกกลิ้งกับเครื่องบินและท่อนไม้ช่วยให้มั่นใจได้ว่าไม่มีการลื่นไถล

สารละลาย. หากเราละเลยความต้านทานการหมุน ระนาบสำหรับลูกกลิ้งจะเป็นการเชื่อมต่อที่เหมาะสมที่สุด เมื่อกลิ้งโดยไม่เลื่อน ระบบจะมีอิสระระดับหนึ่ง โดยแจ้งระบบความเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้จะได้ตามเงื่อนไข (99)

การเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของท่อนไม้อยู่ที่ไหนซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของจุด B

จุดสัมผัส K คือจุดศูนย์กลางความเร็วของลูกกลิ้งทันที ดังนั้นหากเราพิจารณา , แทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า เราก็จะพบในที่สุด

ปัญหา 166 ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ M ของคู่ที่กระทำต่อข้อเหวี่ยงของกลไกข้อเหวี่ยง - สไลเดอร์ (รูปที่ 356) และแรงกด P บนลูกสูบที่จุดสมดุล ถ้า

สารละลาย. กลไกนี้มีอิสระระดับหนึ่ง จากสภาวะสมดุล (99) ถ้าเราใส่ลงไป เราจะได้:

วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างปัญหาจลนศาสตร์นี้ได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ (ดู§ 57 ปัญหา 63) เราพบโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ

ปัญหา 167 สำหรับกระปุกเกียร์ที่พิจารณาในปัญหา 83 (ดูมาตรา 70) ให้ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างแรงบิดที่ใช้กับเพลาขับ A และโมเมนต์ความต้านทานที่ใช้กับเพลาขับเคลื่อน B เมื่อเพลาทั้งสองหมุนสม่ำเสมอ

สารละลาย. เมื่อหมุนสม่ำเสมอ อัตราส่วนระหว่างจะเท่ากับที่จุดสมดุล ดังนั้นตามเงื่อนไข (99) ถ้าเราใส่จะได้:

จากตรงนี้ เราพบโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับในปัญหาที่ 83

ปัญหา 168. ความสัมพันธ์ของรูปแบบระหว่างแรง P และ Q ในกลไกการยกซึ่งชิ้นส่วนถูกซ่อนอยู่ในกล่อง K (รูปที่ 357) หากทราบว่าในแต่ละรอบของด้ามจับ สกรู D จะเคลื่อนออกตามจำนวน

สารละลาย. เมื่อเขียนเงื่อนไขสมดุล (99) ที่เราได้รับ

สันนิษฐานว่าเมื่อหมุนด้ามจับสม่ำเสมอ เกลียวก็จะคลายเกลียวเท่าๆ กันเช่นกัน

เราพบการแทนที่ค่านี้ให้เป็นความเท่าเทียมกันก่อนหน้า

โปรดทราบว่าปัญหาง่ายๆ นี้ไม่สามารถแก้ไขได้เลยด้วยวิธีเรขาคณิตสถิตศาสตร์ เนื่องจากไม่ทราบรายละเอียดของกลไก

ปัญหาที่แก้ไขแล้วแสดงให้เห็นว่า (โดยหลักการ) ความสามารถของวิธีการที่ประยุกต์คืออะไร แต่ด้วยการคำนวณทางวิศวกรรมเฉพาะของกลไกดังกล่าว แน่นอนว่าจำเป็นต้องคำนึงถึงแรงเสียดทานระหว่างส่วนต่าง ๆ ซึ่งคุณจะต้องรู้ว่ากลไกนั้นคืออะไร

ปัญหา 169. ลำแสงที่ประกอบด้วยคานสองอันเชื่อมต่อกันด้วยบานพับ C รับน้ำหนัก P (รูปที่ 358, a) ขนาดของลำแสงและตำแหน่งของส่วนรองรับแสดงไว้ในภาพวาด กำหนดแรงกดบนส่วนรองรับ B ที่เกิดจากโหลดที่กำหนด

สารละลาย. เราละทิ้งการสนับสนุน B และแทนที่ด้วยปฏิกิริยา N ใน ซึ่งเท่ากับตัวเลขของแรงกดที่ต้องการ (รูปที่ 358, b) เมื่อแจ้งระบบการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ (ตอนนี้มีอิสระระดับหนึ่งแล้ว) เราจึงสร้างเงื่อนไข (99)

เราพบความเชื่อมโยงระหว่างสัดส่วน:

เพราะฉะนั้น,

เมื่อใช้วิธีการทางเรขาคณิตสถิตยศาสตร์ การแก้ปัญหาจะใช้เวลานานกว่า (จำเป็นต้องพิจารณาสมดุลของส่วนต่างๆ ของลำแสงและแนะนำปฏิกิริยาเพิ่มเติมของการเชื่อมต่ออื่น ๆ จากนั้นแยกปฏิกิริยาเหล่านี้ออกจากระบบสมการสมดุลที่เป็นผลลัพธ์) .

ปัญหา 170 คานแนวนอน 1 ที่มีน้ำหนักคงที่ที่จุด A ด้วยบานพับ (รูปที่ 359) เชื่อมต่อด้วยบานพับ B กับคาน 2 ที่มีน้ำหนักที่ปลาย C ลำแสงวางอยู่บนพื้นแนวนอนสร้างมุม a ด้วย มัน. พิจารณาว่าแรงเสียดทานของคานบนพื้นมีค่าเท่าใด ระบบจะอยู่ในสภาวะสมดุล

สารละลาย. เราพรรณนาถึงแรงที่กระทำต่อระบบและแรงเสียดทาน F รวมถึงแรงที่กระทำต่อระบบด้วย ในกรณีนี้ เราจะแยกแรงออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนเท่ากันและใช้ที่จุด B และ C (ให้ความสนใจกับเทคนิคนี้ ซึ่งช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณงานที่เป็นไปได้อย่างมาก)

การเขียนเงื่อนไขสมดุล (99) และคำนึงถึงสูตรบัญชี (101) เราได้รับการแสดงแทน

แต่โดยการเปรียบเทียบกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการฉายความเร็วของจุดสองจุดบนร่างกาย ที่ไหน . จากนั้นและในที่สุด

โปรดทราบว่าการใช้วิธีเรขาคณิตสถิตยศาสตร์ในปัญหานี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสมการเพียงสมการเดียวซึ่งสามารถหา F ได้ในทันที

ปัญหา 171 ในกลไกของดาวเคราะห์ที่มีเฟืองท้าย (ดู§ 70) เฟือง 1 ที่มีรัศมีและข้อเหวี่ยง AB ซึ่งมีแกน B ของเฟือง 2 ที่มีรัศมีจะถูกติดตั้งบนแกน A โดยแยกจากกัน (รูปที่ 360) ข้อเหวี่ยงถูกกระทำโดยแรงบิด M และเกียร์ 1 และ 2 ถูกกระทำโดยโมเมนต์ความต้านทาน ค้นหาค่าเมื่อกลไกอยู่ในภาวะสมดุล