Oblicz w przybliżeniu z dokładnością. Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem szeregów

W tym miejscu warto pamiętać o rozwinięciach szeregów potęgowych funkcji podanych w poprzednim akapicie e x , shx, chx, sinx, cosx, (1+x) m , ln(1+x), arctgx.

Skutecznym wzorem do obliczania logarytmów jest

Szereg po prawej stronie równości jest zbieżny tym szybciej, im bardziej T.

Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji k(x) w jego rozwinięciu w szereg potęgowy, pierwsze z nich zostają zachowane P członkowie (P--wartość końcowa), a pozostałe terminy odrzuca się. Aby oszacować błąd znalezionej wartości przybliżonej, należy oszacować sumę odrzuconych składników. Jeżeli dany szereg ma znak stały, to szereg złożony z odrzuconych wyrazów porównuje się z nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. W przypadku szeregu przemiennego, którego członkowie spełniają kryterium Leibniza, stosuje się estymację < gdzie jest pierwszym z odrzuconych wyrazów szeregu.

403.

0 < x < n+1

∆ Błąd tej przybliżonej równości jest określony przez sumę następujących wyrazów x p/p! w rozkładzie były:

Zastąpienie każdego z czynników n+2, n+3, n+4, ... mniejsza wartość n+1, otrzymujemy nierówność

te. ▲

404 . Oblicz z dokładnością do 0,00001.

∆ Korzystanie z rozszerzenia były z rzędu dostajemy

Ustalmy liczbę N tak, że błąd przybliżonej równości

nie przekroczyła 0,00001. Skorzystajmy z oszacowania błędu podanego w poprzednim przykładzie. Wierzymy x=1/2; Następnie

te.

Poprzez selekcję określamy, przy jakiej wartości n nierówność zostanie spełniona R str< 0,00001. Zakładając, że np. n= 3, otrzymujemy R 3< 1/(8 6 7) , tj. R 3< 1/336. Niech dalej, n=5; stąd R 5< 1/(32·120·11), tj. R 5< 1/42240. Niech w końcu n= 6; stąd R6< 1/(64·720·13) , tj. R6< 1/100000. Zatem zaakceptujmy P= 6:

Podsumujmy warunki:

0,020833 (6 razy mniej niż poprzedni wyraz)
0,002604 („8” „ „”)

0,000260 („ 10 ” „ „ ”)

0,000022 („12” „ „”)

Oznacza, Każdy wyraz obliczyliśmy z dokładnością do 0,000001, tak aby podczas sumowania nie uzyskać błędu przekraczającego 0,00001.

405. Oblicz z dokładnością do 0,00001.
∆ Mamy

Skorzystajmy z przybliżonej równości

Przyjęliśmy 5 wyrazów, ponieważ szereg przemienny spełnia warunki kryterium Leibniza, a zatem błąd dopuszczalny wartości bezwzględnej powinien wynosić mniej niż pierwszy od odrzuconych członków serii. Pierwszym usuniętym wyrazem jest 1/(5!5 5). Łatwo zauważyć, że 1/(5!5 5)< 0,00001.

Po przeprowadzeniu obliczeń wynik jest taki . ▲

406. Korzystanie z rozkładu cosx z rzędu, oblicz cos 18° z dokładnością do 0,0001.

cos 18°= ;

Wystarczy wziąć trzy wyrazy szeregu, gdyż (1/6!) - (π/10) 6< 0,0001. Тогда

. ▲

407. Oblicz z dokładnością do 0,0001.

∆ Skorzystajmy z rozwinięcia (1+x)m z rzędu, zakładając x = 0,1, m = 1/5.

Odrzucamy czwarty i kolejne wyrazy, ponieważ czwarty wyraz jest mniejszy niż 0,0001. Więc, ▲

408. Oblicz z dokładnością do 0,001.

∆ Ponieważ 5 3 jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej liczbie 130, zaleca się przedstawienie liczby 130 jako sumy dwóch wyrazów: 130 = 5 3 + 5. Wtedy

Czwarty wyraz jest mniejszy niż 0,001, zatem można go odrzucić i następujące po nim wyrazy. Zatem 5 + 0,0667-0,0009, tj. 5,066. ▲

409. Oblicz ln1,04 z dokładnością do 0,0001.
∆ Skorzystajmy z rozwinięcia ln(1+ X) z rzędu:

skąd ln1,04≈ 0,0392. ▲

410. W trójkącie prostokątnym nogi są równe 1 i 5 cm Ustal ostry róg trójkąt leżący naprzeciwko mniejszej nogi, z dokładnością do 0,001 radiana.

∆ Ponieważ tgα=1/5, to α=arctg(1,5). Skorzystajmy z rozwinięcia

skąd α ≈ 0,2-0,0027, tj. α ≈ 0,197. ▲

411. Oszacuj błąd przybliżonej równości

∆ Problem sprowadza się do oszacowania sumy reszty szeregu

Zastępując każdy z czynników 2n+3, 2n + 5, 2n+7, ... mniejszą liczbą 2n+1 otrzymujemy nierówność

Podsumujmy nieskończenie malejące postęp geometryczny w nawiasach kwadratowych:

te. ▲

412. Oblicz ln2 z dokładnością do 0,0001.

∆ We wzorze na wyznaczenie ln(t + 1) i nierówności do oszacowania R str Wierzymy t= 1:

Poprzez wybór określamy P tak aby nierówność zachodzi Rn< 0,0001. Jeśli n= 2, to R2< 1/(4∙5∙3 3); R2< 1/540; jeśli n = 3, to R 3< 1(4∙7∙3 5); R 3 < 1/6804; если n= 4, то R 4< 1/(4∙9∙3 7); R 4 < 1/10000.

Zatem n = 4 i aby obliczyć ln 2, otrzymujemy przybliżoną równość
w rozszerzeniu arctg x.

Wykład 57

ROZSZERZENIE FUNKCJI W SERII POWER

Dowolna funkcja, która jest nieskończenie różniczkowalna w przedziale, tj.
, można rozszerzyć w tym przedziale na zbiegające się do niego prawo nieskończonej potęgi Seria Taylora

jeśli warunek jest spełniony w tym przedziale
, Gdzie
jest resztą wyrazu wzoru Taylora.

Na
otrzymujemy tzw szereg Maclaurina:.

Jeśli w pewnym przedziale zawierającym punkt , dla każdego nierówność zachodzi
, Gdzie
jest zatem stałą dodatnią
i funkcja
Rozwińmy to do szeregu Taylora.

Przedstawmy rozwinięcia w szereg Taylora następujących funkcji:

8) szereg dwumianowy:

To ostatnie rozszerzenie ma zastosowanie w następujących przypadkach:

Na
Jeśli

Na
Jeśli
.

Generalnie rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe opiera się na wykorzystaniu szeregów Taylora lub Maclaurina. W praktyce szeregi potęgowe wielu funkcji można znaleźć formalnie za pomocą szeregów (1-8) lub wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego. Czasami przy dekompozycji przydatne jest różnicowanie wyraz po wyrazie lub całkowanie szeregów. W przedziale zbieżności szereg zbiega się do odpowiednich funkcji.

1. Rozwiń się w potęgę różnicy
funkcjonować
.

Rozwiązanie. Aby skorzystać ze wzoru Taylora na
, znaleźliśmy:

itp.

Stąd,

2. Rozłóż
w kolejności potęg
.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z równości
. Prawą stronę tej równości można uznać za sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem
i mianownik
. Stąd dostajemy

Ponieważ
, To

3. Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina

Rozwiązanie. Rozwińmy tę funkcję na sumę prostych ułamków wymiernych:

Ponieważ

To

Od serii
zbiega się o godz
i serial
zbiega się o godz
, potem seria
zbiega się do tej funkcji, gdy
.

4. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy
.

Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w

Ponieważ
, a następnie na stałe istnieje nierówność
w ogóle . Dlatego funkcję można przedstawić jako sumę szeregu Taylora:

W tym przypadku

To rozwinięcie można uzyskać w inny sposób: wystarczy w rozwinięciu
zastępować NA
.

5. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy

.

Rozwiązanie. W zaniku

zastępować NA
, otrzymujemy

6. Rozłóż
w kolejności potęg
.

Rozwiązanie. W zaniku

zastępować NA
, otrzymujemy

7. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy
.

Rozwiązanie. Zauważ, że
.Rozważ serię

Szereg ten zbiega się w godz
, co oznacza, że można go całkować wyraz po wyrazie w dowolnym przedziale
. Stąd,

, czyli otrzymaliśmy szereg zbieżny do tej funkcji przy

8. Ułóż według stopni
wielomian

9. Ułóż według stopni
funkcjonować
i znajdź obszar zbieżności otrzymanego szeregu.

Odpowiedź:

10. Ułóż według stopni
funkcjonować
i znajdź obszar zbieżności tego szeregu.

11. Ułóż według stopni
funkcjonować
. Znajdź obszar zbieżności tego szeregu.

Odpowiedź

Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina
. Wskaż obszar zbieżności otrzymanego szeregu do tej funkcji.

12.
. Odpowiedź:

13.
Odpowiedź:
.

14.
. Odpowiedź:
.

15.
. Odpowiedź:

16.
Odpowiedź:
.

17.
. Odpowiedź:
.

18.
Odpowiedź:

19.
.Odpowiedź:
.

6.16. Zastosowanie szeregów potęgowych w obliczeniach przybliżonych

Obliczanie wartości funkcji. Niech będzie dany szereg potęgowy funkcji
. Zadanie obliczenia wartości tej funkcji polega na znalezieniu sumy szeregu dla danej wartości argumentu. Ograniczając się do określonej liczby wyrazów szeregu, wartość funkcji wyznaczamy z dokładnością, którą można ustalić, szacując resztę szeregu liczbowego lub resztę wyrazu
Wzory Taylora lub Maclaurina. Jeżeli dany szereg ma znak stały, to szereg złożony z odrzuconych wyrazów porównuje się z nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. W przypadku szeregu przemiennego stosuje się estymację
, Gdzie
- pierwszy z odrzuconych członków serii.

Przykład 1. Oblicz wartość ln1,1 z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie.

Aby obliczyć przybliżone wartości funkcji z określoną dokładnością, wygodnie jest użyć szeregów w przypadku, gdy odpowiednia seria ma znak naprzemienny; dla przemiennego szeregu zbieżnego łatwo oszacować błąd przybliżonej wartości sumy - jest on mniejszy od wartości bezwzględnej pierwszego z odrzuconych wyrazów.

Weźmy szereg dla funkcji ln(1+x):

Co zbiega się do ln(1+x) w przedziale (-1,1] i przy założeniu x=0,1 otrzymujemy szereg do obliczenia ln1,1 z dowolną dokładnością.

Wartość bezwzględna czwartego wyrazu tego szeregu jest mniejsza niż 0,0001. Zatem zgodnie z właściwością naprzemiennego szeregu zbieżnego, aby obliczyć przybliżoną wartość ln1,1 z dokładnością do 0,0001, wystarczy wziąć sumę pierwsze trzy członkowie pewnej liczby

Dokładność: 0,001.

W zagadnieniach stosowanych ważne jest oszacowanie błędu aproksymacji.

Definicja: Dokładność obliczeń nie przekracza pierwszego z odrzuconych elementów szeregu.

1.Oszacuj błąd przybliżonej równości

Rozwiązanie. Błąd tej przybliżonej równości jest określony przez sumę następujących wyrazów
w rozkładzie :

Zastąpienie każdego z czynników
,...mniejsza wartość
, otrzymujemy nierówność

Podsumujmy nieskończenie malejący postęp geometryczny i otrzymajmy:

, tj.

2. Oblicz
z dokładnością do 0,00001.

Rozwiązanie. Korzystanie z rozkładu z rzędu dostajemy

Ustalmy liczbę tak, że błąd przybliżonej równości

nie przekroczyła 0,00001. Skorzystajmy z oszacowania błędu podanego w poprzednim przykładzie. Wierzymy
, Następnie:

te.
.

Poprzez wybór określamy, przy jakiej wartości nierówność zostanie spełniona
. Pozwalać
, Następnie
, tj.
. Pozwalać
, Następnie
, tj.
. Akceptujemy
..

Każdy wyraz obliczamy z dokładnością do 0,000001, dzięki czemu przy sumowaniu nie otrzymamy błędu przekraczającego 0,00001. Wreszcie dostajemy
.

3. Oblicz
z dokładnością do 0,00001.

Rozwiązanie. Mamy

Otrzymano naprzemienny ciąg znaków, który spełnia warunki zbieżności testu Leibniza, zatem błąd dopuszczalny wartości bezwzględnej musi być mniejszy niż pierwszy z odrzuconych wyrazów szeregu. Nie jest trudno to zobaczyć
, więc pierwszy z usuniętych wyrazów jest równy
I
. Obliczamy kwotę i otrzymujemy
.

4. Korzystanie z rozwinięcia
z rzędu, oblicz
z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie. .

Wystarczy wziąć trzy wyrazy szeregu, ponieważ Wtedy

5. Oblicz
z dokładnością do 0,0001.

z rzędu, zakładając
. Mamy

Odrzucamy czwarty i kolejne wyrazy, ponieważ czwarty wyraz jest mniejszy niż 0,0001. Więc

6. Oblicz
z dokładnością do 0,001.

Rozwiązanie. Ponieważ jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej liczbie 130, wówczas zaleca się przedstawienie liczby 130 jako sumy dwóch wyrazów:
. Następnie

Czwarty termin jest krótszy
, więc to i następujące po nim terminy można odrzucić. Więc, tj.
.

7. Oblicz
z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia
z rzędu:

lub skąd

Oblicz określoną wartość w przybliżeniu z zadaną dokładnością , wykorzystując rozwinięcie szeregu potęgowego odpowiednio wybranej funkcji.

8.
. Odpowiedź: 3.017.

9.
Odpowiedź: 0,340.

10.
. Odpowiedź: 0,84147.

11.
. Odpowiedź: 1,3956.

12.
,
. Odpowiedź: 1,140.

13.
Odpowiedź: 0,302.

14.
Odpowiedź: 0,464.

15.
Odpowiedź: 1,0986.

16.
,
Odpowiedź: 0,999.

17.
Odpowiedź: 0,3679.

Obliczanie całek. Ponieważ szeregi potęgowe zbiegają się równomiernie na dowolnym odcinku znajdującym się w ich przedziale zbieżności, stosując rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe, można znaleźć całki nieoznaczone w postaci szeregów potęgowych i w przybliżeniu obliczyć odpowiadające im całki oznaczone.

18. Oblicz
z precyzją

Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia. Wymiana NA , otrzymujemy serię.

Szereg ten zbiega się na całej osi liczbowej, więc można go całkować wszędzie. Stąd,

ponieważ trzeci wyraz powstałego szeregu naprzemiennego jest już mniejszy

19. Znajdź całkę
w postaci szeregu potęgowego i wskazać obszar jego zbieżności.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia i otrzymajmy szereg dla całki

Zbiega się na całej osi liczbowej i dlatego można ją całkować termin po wyrazie:

Ponieważ przy całkowaniu szeregu potęgowego jego przedział zbieżności się nie zmienia, wynikowy szereg również zbiega się na całej osi liczbowej.

Korzystając z rozwinięcia całki w szereg potęgowy, oblicz określoną całkę oznaczoną z dokładnością do:
.

20.
. Odpowiedź: 0,070.

21.
. Odpowiedź: 0,223.

22.
. Odpowiedź: 0,162.

23.
. Odpowiedź: 0,480.

24.
. Odpowiedź: 0,054.

25.
. Odpowiedź: 0,484.

26.
. Odpowiedź: 0,487.

27.
. Odpowiedź: 0,156.

28.
. Odpowiedź: 0,059.

29.
Odpowiedź: 0,103.

Przybliżone rozwiązanie równań różniczkowych .

W przypadku, gdy nie jest możliwe dokładne całkowanie równania różniczkowego za pomocą funkcji elementarnych, wygodnie jest szukać jego rozwiązania w postaci szeregu potęgowego, na przykład szeregu Taylora lub Maclaurina.

Podczas rozwiązywania problemu Cauchy’ego
, stosuje się szereg Taylora
, gdzie i pozostałe pochodne
można znaleźć poprzez kolejne różniczkowanie równania
i podstawienie danych początkowych do wyrażeń dla tych pochodnych.

Rozwiązanie problemu Cauchy'ego
równanie różniczkowe można też szukać w postaci rozwinięcia szeregu potęgowego

z niepewnymi współczynnikami
.

30. Znajdź pięć pierwszych wyrazów rozwinięcia rozwiązania w szereg potęgowy
, Jeśli
.

Rozwiązanie. Z tego równania dowiadujemy się, że
. Zróżniczkujmy pierwotne równanie:

itp. Podstawiając znalezione wartości pochodnych do szeregu Taylora, otrzymujemy

Rozważmy problem rozwinięcia pewnej funkcji w szereg potęgowy.

Niech będzie dana funkcja, która ma pochodne wszystkich rzędów na pewnym odcinku, to można ją rozwinąć na tym segmencie w szereg postaci

który jest nazywany Następny jest Taylor. Tutaj -- podany numer.

Formalnie szereg Taylora można zapisać dla dowolnej funkcji znajdującej się w sąsiedztwie punktu ma pochodne dowolnego rzędu. Jednakże szereg ten będzie zbieżny z funkcją, która go wygenerowała, tylko dla tych wartości , dla którego reszta szeregu dąży do zera:

Pozostała część szeregu Taylora jest zapisana w formie Lagrange'a w następujący sposób:

Gdzie zawarta pomiędzy I .

Jeśli
, wówczas otrzymujemy szczególny przypadek szeregu Taylora, który nazywa się w pobliżu Maclaurina:

Rozważmy szereg Maclaurina dla niektórych funkcji elementarnych.

ten szereg nazywa się dwumianem, ponieważ z naturalnym
z tego otrzymujemy dwumian Newtona.

Podkreślamy, że szeregi potęgowe funkcji zbiegają się do odpowiednich funkcji, gdy
i szeregi potęgowe dla funkcji
I
zbiegają się tylko wtedy, gdy
.

Zadanie nr 1.
.

Rozwiązanie. Jako wzór początkowy przyjmujemy rozwinięcie szeregu Maclaurina

Funkcje
:

Wymienimy NA :

Odpowiedź:

Zadanie nr 2. Napisz rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy
.

Rozwiązanie. Zapiszmy szereg dwumianowy

i dokonaj w nim zamiany
:

Według warunku
, podstaw tę wartość do poprzedniego wzoru:

Szeregi potęgowe są szeroko stosowane w obliczeniach przybliżonych. Rozważmy zastosowanie szeregu Taylora do przybliżonego obliczania wartości funkcji, wartości całek oznaczonych i przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych.

Zadanie nr 3. Oblicz

Rozwiązanie. Dla kazdego zachodzi następująca formuła:

Na dostajemy

Oszacujmy błąd obliczeniowy, korzystając z reszty w postaci Lagrange'a:

Gdzie kłamstwa pomiędzy I .

Na mamy

Gdzie
.

Biorąc pod uwagę, że
, otrzymujemy

Zatem, aby osiągnąć wymaganą dokładność, wystarczy wziąć
(albo więcej):

Każdy wyraz obliczamy z jednym dodatkowym miejscem po przecinku, aby do naszego błędu nie dodawały się błędy zaokrągleń:

Odpowiedź: z dokładnością do 0,0001
.

Zadanie nr 4. Oblicz
w przybliżeniu z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie. Liczyć
użyjemy szeregu dwumianowego, który jest zbieżny tylko wtedy, gdy
, więc najpierw przekształcamy ten pierwiastek:

W szeregu dwumianowym umieściliśmy
:

Ten szereg liczb przemiennych jest szeregiem Leibniza. Aby określić, ile pierwszych wyrazów szeregu należy wziąć do obliczenia
z dokładnością do 0,0001 obliczamy sekwencyjnie kilka pierwszych wyrazów szeregu:

Zgodnie z właściwością szeregu Leibniza, jeśli opuścisz pierwsze trzy wyrazy, błąd w pożądanej przybliżonej wartości pierwiastka będzie mniejszy
:

stąd,

Odpowiedź: z dokładnością do 0,0001

z jakiejś funkcji
, którego funkcja pierwotna nie jest obliczana w funkcje elementarne. Dlatego nie można zastosować wzoru Newtona-Leibniza. Jeśli
można rozwinąć w szereg potęgowy w segmencie
, należący do obszaru zbieżności szeregu, wówczas całkę można obliczyć w przybliżeniu. Czasami wystarczające są przybliżone obliczenia, nawet jeśli takowe istnieją funkcja pierwotna. Aby rozwiązać ten problem, stosuje się szeregi Taylora. Spójrzmy na przykłady.

Zadanie nr 5.
z dokładnością 0,01.

Rozwiązanie. Należy zauważyć, że ta powszechnie stosowana całka nie jest wyrażona w funkcjach elementarnych.

W szeregu Maclaurina dla funkcji
zrobimy zastępstwo
:

Teraz skorzystamy z twierdzenia, że szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie po dowolnym segmencie należącym do przedziału zbieżności. Szereg ten zbiega się na całej osi liczbowej, dlatego można go zintegrować po dowolnym segmencie, w tym segmencie
:

Otrzymaliśmy szereg liczbowy równy wartości całki oznaczonej.

Oszacujmy błąd obliczeniowy. Szereg ten jest szeregiem Leibniza, zatem błąd obliczeniowy nie przekracza w wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego wyrazu szeregu. Dlatego przy obliczaniu wyrazów szeregu w kolejności odrzucimy najpierw ten, którego wartość bezwzględna jest mniejsza niż określona dokładność:

Następnie 024=0,743.

Odpowiedź:
0,743.

Zadanie nr 6. Oblicz całkę oznaczoną
z dokładnością do 0,001.

Rozwiązanie. Obliczenie tej całki ze wzoru Newtona-Leibniza jest niemożliwe, ponieważ funkcja pierwotna jest funkcją pierwotną
nie jest wyrażona w funkcjach elementarnych. Do rozwiązania problemu używamy szeregu potęgowego. Zapiszmy rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina
:

Dokonajmy podstawienia w tym wzorze
:

Szereg ten można zintegrować termin po wyrazie w segmencie
:

Zatem obliczona całka oznaczona jest równa sumie naprzemiennego szeregu liczbowego spełniającego warunki kryterium Leibniza, zatem błąd obliczeniowy nie przekracza modułu pierwszego z odrzuconych wyrazów szeregu.

,
.

Dlatego, aby osiągnąć określoną dokładność, konieczne jest pozostawienie pierwszych 3 terminów.

Odpowiedź:
.

Zadanie nr 7.. Oblicz całkę oznaczoną
z dokładnością do 0,001.

Rozwiązanie. Napiszmy szereg Maclaurina dla tej funkcji
.

Podzielmy lewą i prawą stronę wzoru przez :

. Powstały szereg potęgowy można całkować termin po wyrazie w segmencie
.

Otrzymany szereg liczbowy jest zbieżny zgodnie z kryterium Leibniza, zatem odrzucamy pierwszy wyraz, który jest mniejszy od deklarowanej dokładności:

,
.

Odpowiedź:
.

Rozważmy inne zastosowanie szeregów potęgowych do przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych. Rozwiązanie równania różniczkowego nie zawsze można wyrazić w funkcjach elementarnych. Całki wielu równań różniczkowych można przedstawić jako szereg potęgowy, który zbiega się w pewnym zakresie wartości zmiennej niezależnej. W tym przypadku szereg będący rozwiązaniem równania różniczkowego można znaleźć za pomocą szeregu Taylora.

Niech będzie konieczne znalezienie szczególnego rozwiązania równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych, tj. rozwiązać problem Cauchy’ego.

Zilustrujmy rozwiązanie przykładem.

Zadanie nr 8. Znajdź pierwsze pięć wyrazów rozwinięcia szeregu potęgowego rozwiązania równania różniczkowego

Rozwiązanie. Szczególnego rozwiązania równania różniczkowego będziemy szukać w postaci szeregu

Wybraliśmy rozwinięcie szeregu Maclaurina, ponieważ w zadaniu problemu podano wartości pożądanej funkcji i jej pierwszą pochodną w punkcie
. Aby znaleźć przybliżoną wartość funkcji
, musimy znać wartości jego drugiej, trzeciej i czwartej pochodnej w tym punkcie
. Wartości samej funkcji i pierwszej pochodnej przy zera podaje się zgodnie z warunkiem.

Wartość drugiej pochodnej przy
z równania różniczkowego dowiadujemy się, zastępując warunki początkowe:

Aby znaleźć trzecią pochodną, różniczkujemy to równanie różniczkowe:

Trzeba to wziąć pod uwagę -- to jest funkcja, oraz -- zmienna niezależna:

Teraz możemy obliczyć wartość trzeciej pochodnej w tym punkcie
:

W podobny sposób obliczymy wartość czwartej pochodnej:

, Lub

Podstawienie wartości do znalezionej równości

Pozostaje wstawić obliczone w danym punkcie wartości pochodnych do szeregu Maclaurina:

Odpowiedź:
.

Zadanie nr 9. Znajdź pierwsze cztery wyrazy rozwinięcia szeregu potęgowego rozwiązania równania różniczkowego
, spełniając warunki początkowe

Rozwiązanie. Warunki początkowe są określone w punkcie
, więc będziemy szukać rozwiązania w postaci szeregu Taylora:

Wartości samej funkcji i jej pierwszej pochodnej podano w opisie problemu. Druga pochodna w punkcie
z równania różniczkowego dowiadujemy się:

Obliczmy trzecią pochodną różniczkując równanie różniczkowe:

Lub

Wtedy wartość trzeciej pochodnej wynosi

Pozostaje zapisać wymaganą serię.

Szeregi potęgowe są szeroko stosowane w obliczeniach przybliżonych. Za ich pomocą, z zadaną dokładnością, można obliczyć wartości pierwiastków, funkcje trygonometryczne, logarytmy liczb, całki oznaczone. Szeregów używa się także przy całkowaniu równań różniczkowych.

Przybliżone obliczanie wartości funkcji

Rozważmy rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy:

Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji w danym punkcie X, należące do obszaru zbieżności wskazanego szeregu, w jego rozwinięciu pozostają pierwsze N członkowie ( N– liczba skończona), a pozostałe wyrazy odrzucamy:

Aby oszacować błąd otrzymanej wartości przybliżonej, należy oszacować resztę odrzuconą r n(X). Aby to zrobić, użyj następujących technik:

- jeżeli wynikowy szereg jest naprzemienny, wówczas stosuje się następującą właściwość: w przypadku szeregu przemiennego spełniającego warunki Leibniza pozostała część szeregu w wartości bezwzględnej nie przekracza pierwszego odrzuconego wyrazu.

Jeżeli dany szereg ma znak stały, to szereg złożony z odrzuconych wyrazów porównuje się z nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.

W ogólnym przypadku, aby oszacować resztę szeregu Taylora, można skorzystać ze wzoru Lagrange'a: (Lub X ).

Przykład 1 . Korzystanie z rozwinięcia szeregu sin X, oblicz sin20 o z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie. Aby móc skorzystać ze wzoru (2), konieczne jest wyrażenie wartości argumentu w radianach. Dostajemy . Podstawiając tę wartość do wzoru, otrzymujemy

Powstały szereg ma przemienny znak i spełnia warunki Leibniza. Ponieważ , to ten i wszystkie kolejne wyrazy ciągu można odrzucić, ograniczając się do pierwszych dwóch wyrazów. Zatem,

Przykład 2 . Oblicz z dokładnością do 0,01.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia gdzie (patrz przykład 5 w poprzednim temacie):

Sprawdźmy, czy resztę po pierwszych trzech wyrazach rozwinięcia możemy odrzucić; w tym celu obliczymy to za pomocą sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:

.

Możemy więc odrzucić tę resztę i otrzymać

.

Przykład 3 . Oblicz z dokładnością do 0,0001.

Rozwiązanie. Skorzystajmy z szeregu dwumianowego. Ponieważ 5 3 jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej 130, zaleca się reprezentowanie liczby 130 jako 130 = 5 3 +5.

gdyż już czwarty wyraz powstałego szeregu przemiennego spełniający kryterium Leibniza jest mniejszy od wymaganej dokładności:

, więc to i następujące po nim terminy można odrzucić.

Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

Wielu praktycznie niezbędnych całek oznaczonych lub niewłaściwych nie można obliczyć za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, ponieważ jego zastosowanie wiąże się ze znalezieniem funkcji pierwotnej, która często nie ma wyrażenia w funkcjach elementarnych. Zdarza się również, że znalezienie funkcji pierwotnej jest możliwe, ale jest niepotrzebnie pracochłonne. Jeżeli jednak funkcję całkową rozwiniemy w szereg potęgowy, a granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu, wówczas możliwe jest przybliżone obliczenie całki z zadaną dokładnością.

Przykład 4 : Oblicz całkę z dokładnością do 0,00001.

Rozwiązanie. Odpowiednia całka nieoznaczona nie może być wyrażona w funkcjach elementarnych, tj. reprezentuje „całkę nietrwałą”. Nie można tu zastosować wzoru Newtona-Leibniza. Obliczmy całkę w przybliżeniu.

Dzielenie wyraz po wyrazie serii grzechu X NA X, otrzymujemy:

Całkując ten szereg wyraz po wyrazie (jest to możliwe, gdyż granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu), otrzymujemy:

Otrzymany szereg spełnia bowiem warunki Leibniza i wystarczy suma dwóch pierwszych wyrazów, aby otrzymać pożądaną wartość z zadaną dokładnością.

W ten sposób znajdujemy

.

Przykład 5 . Oblicz całkę z dokładnością do 0,001.

Sprawdźmy, czy uda nam się odrzucić resztę po drugim wyrazie wynikowego szeregu.

Stąd, .

Przybliżone rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla zwykłego

Równanie różniczkowe

W częstych przypadkach, gdy ODE nie można rozwiązać w postaci ogólnej, problem Cauchy'ego można dla niego rozwiązać w przybliżeniu w postaci kilku pierwszych wyrazów rozwinięcia rozwiązania w szereg Taylora (w sąsiedztwie danego punktu)

Przykład Znajdź pierwsze 3 wyrazy rozwinięcia szeregu rozwiązania problemu Cauchy'ego

Rozwiązanie: Będziemy szukać rozwiązania problemu w formularzu

Współczynnik Na(1)=2 jest warunkiem początkowym problemu Cauchy’ego.

Współczynnik z równania znajdziemy podstawiając do niego warunki początkowe:

Zróżniczkujmy obie strony tego równania, aby znaleźć:

Zatem,

Decydować : Oblicz w przybliżeniu z określoną dokładnością:

A 1) do 0,0001 2) do 0,0001 3) do 0,01 4) ln6 do 0,01

5) do 0,001 6) do 0,001 7) do 0,01

8) do 0,001 9) do 0,001 10) do 0,001

11) do 0,001 12) do 0,01 13) do 0,001

14) do 0,001 15) do 0,001 16) do 0,001

B Znajdź kilka pierwszych wyrazów rozwinięcia w szereg rozwiązania problemu Cauchy'ego:

17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 wyrazy) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 terminy)

19) y¢¢=e y przytulny¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 terminów)

20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 wyrazów)

Szereg Fouriera

W pobliżu Fouriera Funkcje F(X) w przerwie (-p;p)

, Gdzie

W pobliżu Fouriera Funkcje F(X) w przerwie (-l;l) nazywa się szeregiem trygonometrycznym postaci:

, Gdzie

Szereg Fouriera odcinkowo ciągły, odcinkowo monotoniczny i ograniczony przedziałem (- l;l) funkcji zbiega się na całej osi liczbowej.

Suma szeregu Fouriera S(X):

Jest funkcją okresową z okresem 2 l

W przedziale (- l;l) pokrywa się z funkcją F(X), z wyjątkiem punktów przerwania

W punktach nieciągłości (pierwszego rodzaju, ponieważ funkcja jest ograniczona) funkcje F(X), a na końcach przedziału przyjmuje wartości średnie:

Mówią, że funkcja rozwija się w szereg Fouriera na przedziale (- l;l): .

Jeśli F(X) jest funkcją parzystą, to w jej rozwinięciu biorą udział tylko funkcje parzyste, tj b n=0.

Jeśli F(X) jest funkcją nieparzystą, to w jej rozwinięciu biorą udział tylko funkcje nieparzyste oraz n=0

W pobliżu Fouriera Funkcje F(X) w przerwie (0;l) przez cosinusy wielu łuków wiersz nazywa się:

, Gdzie .

W pobliżu Fouriera Funkcje F(X) w przerwie (0;l) przez sinusy wielu łuków wiersz nazywa się:

, Gdzie .

Suma szeregu Fouriera po cosinusach wielu łuków jest parzystą funkcją okresową z okresem 2 l, zbiega się z F(X) w przedziale (0; l) w punktach ciągłości.

Suma szeregu Fouriera po sinusach wielu łuków jest nieparzystą funkcją okresową z okresem 2 l, zbiega się z F(X) w przedziale (0; l) w punktach ciągłości.

Szereg Fouriera dla danej funkcji na danym przedziale ma właściwość niepowtarzalności, to znaczy, jeśli rozwinięcie uzyskuje się w inny sposób niż za pomocą wzorów, np. poprzez dobór współczynników, to współczynniki te pokrywają się ze współczynnikami obliczonymi ze wzorów .

Przykłady.

1. Rozwiń funkcję f(X)=1:

a) w pełnym szeregu Fouriera na tym przedziale(-p;p) ;

b) w szeregu wzdłuż sinusów wielu łuków w przedziale(0;p); wykreśl wynikowy szereg Fouriera

Rozwiązanie:

a) Rozwinięcie szeregu Fouriera na przedziale (-p;p) ma postać:

,

i wszystkie współczynniki b n=0, ponieważ ta funkcja jest parzysta; Zatem,

Oczywiście równość zostanie spełniona, jeśli przyjmiemy

A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0

Ze względu na właściwość jednoznaczności są to wymagane współczynniki. Zatem wymagany rozkład: lub po prostu 1=1.

W tym przypadku, gdy szereg identycznie pokrywa się ze swoją funkcją, wykres szeregu Fouriera pokrywa się z wykresem funkcji na całej osi liczbowej.

b) Rozwinięcie przedziału (0;p) w postaci sinusów wielokrotnych łuków ma postać:

Niemożliwym jest oczywiście taki dobór współczynników, aby równość zachodziła identycznie. Skorzystajmy ze wzoru do obliczenia współczynników:

Zatem nawet N (N=2k) mamy b n=0, dla nieparzystego ( N=2k-1) -

Wreszcie, .

Narysujmy wynikowy szereg Fouriera, wykorzystując jego właściwości (patrz wyżej).

Na początek budujemy wykres tej funkcji na zadanym przedziale. Następnie, wykorzystując nieparzystość sumy szeregu, kontynuujemy wykres symetrycznie do początku:

Szeregi potęgowe są szeroko stosowane w obliczeniach przybliżonych. Za ich pomocą można z zadaną dokładnością obliczyć wartości pierwiastków, funkcji trygonometrycznych, logarytmów liczb i całek oznaczonych. Szeregów używa się także przy całkowaniu równań różniczkowych.
1. Przybliżone obliczanie wartości funkcji
Rozważmy rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy:
Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji w danym punkcie X, należące do obszaru zbieżności wskazanego szeregu, w jego rozwinięciu pozostają pierwsze N członkowie ( N– liczba skończona), a pozostałe wyrazy odrzucamy:
Aby oszacować błąd otrzymanej wartości przybliżonej, należy oszacować resztę odrzuconą R N (X). Aby to zrobić, użyj następujących technik:

Przykład 1 . Korzystanie z rozwinięcia szeregu sin X, oblicz sin20 o z dokładnością do 0,0001.
Rozwiązanie. Aby móc skorzystać ze wzoru (2), konieczne jest wyrażenie wartości argumentu w radianach. Dostajemy
. Podstawiając tę wartość do wzoru, otrzymujemy
Powstały szereg ma przemienny znak i spełnia warunki Leibniza. Ponieważ
, to ten i wszystkie kolejne wyrazy ciągu można odrzucić, ograniczając się do pierwszych dwóch wyrazów. Zatem,
Przykład 2 . Oblicz
z dokładnością 0,01.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia
, Gdzie (patrz przykład 5 w poprzednim temacie):
Sprawdźmy, czy resztę po pierwszych trzech wyrazach rozwinięcia możemy odrzucić; w tym celu obliczymy to za pomocą sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:
.
Możemy więc odrzucić tę resztę i otrzymać
.
Przykład 3 . Oblicz
z dokładnością do 0,0001.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z szeregu dwumianowego. Ponieważ 5 3 jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej 130, zaleca się reprezentowanie liczby 130 jako 130 = 5 3 +5.
gdyż już czwarty wyraz powstałego szeregu przemiennego spełniający kryterium Leibniza jest mniejszy od wymaganej dokładności:
, więc to i następujące po nim terminy można odrzucić.
2. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych
Wielu praktycznie niezbędnych całek oznaczonych lub niewłaściwych nie można obliczyć za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, ponieważ jego zastosowanie wiąże się ze znalezieniem funkcji pierwotnej, która często nie ma wyrażenia w funkcjach elementarnych. Zdarza się również, że znalezienie funkcji pierwotnej jest możliwe, ale jest niepotrzebnie pracochłonne. Jeżeli jednak funkcję całkową rozwiniemy w szereg potęgowy, a granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu, wówczas możliwe jest przybliżone obliczenie całki z zadaną dokładnością.
Przykład 4 : Oblicz całkę
z dokładnością do 0,00001.
Rozwiązanie. Odpowiednia całka nieoznaczona
nie można wyrazić w funkcjach elementarnych, tj. reprezentuje „całkę nietrwałą”. Nie można tu zastosować wzoru Newtona-Leibniza. Obliczmy całkę w przybliżeniu.
Dzielenie wyraz po wyrazie serii grzechu X NA X, otrzymujemy:
Całkując ten szereg wyraz po wyrazie (jest to możliwe, gdyż granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu), otrzymujemy:
Otrzymany szereg spełnia bowiem warunki Leibniza i wystarczy suma dwóch pierwszych wyrazów, aby otrzymać pożądaną wartość z zadaną dokładnością.
W ten sposób znajdujemy
.
Przykład 5 . Oblicz całkę z dokładnością do 0,001.
Sprawdźmy, czy uda nam się odrzucić resztę po drugim wyrazie wynikowego szeregu.
Stąd,
.