Problemy z postępem arytmetycznym istniały od czasów starożytnych. Pojawili się i zażądali rozwiązania, ponieważ mieli praktyczną potrzebę.
Tak więc w jednym z papirusów starożytnego Egiptu, który ma treść matematyczną - papirus Rhinda (XIX w. p.n.e.) - zawiera następujące zadanie: podzielić dziesięć miar chleba na dziesięć osób, pod warunkiem, że różnica między nimi wynosi jeden ósma miary.
A w pracach matematycznych starożytnych Greków są eleganckie twierdzenia związane z postępem arytmetycznym. Tak więc Hypsicles z Aleksandrii (II wiek, który zebrał wiele interesujących problemów i dodał czternastą księgę do "Elementów" Euklidesa), sformułował ideę: "W ciągu arytmetycznym o parzystej liczbie członków suma członków drugiej połowy jest większa niż suma członków pierwszego o kwadrat 1/2 członków.
Sekwencja an jest oznaczona. Numery ciągu nazywane są jego członkami i są zwykle oznaczane literami z indeksami wskazującymi numer seryjny tego członka (a1, a2, a3 ... brzmi: „a 1”, „a 2”, „a 3 ” i tak dalej).
Sekwencja może być nieskończona lub skończona.
Co to jest postęp arytmetyczny? Rozumie się przez to otrzymanie przez dodanie poprzedniego wyrazu (n) o tej samej liczbie d, która jest różnicą progresji.
Jeśli d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, to taki postęp uważa się za rosnący.
Mówi się, że postęp arytmetyczny jest skończony, jeśli weźmie się pod uwagę tylko kilka jego pierwszych członów. Przy bardzo dużej liczbie członków jest to już nieskończony postęp.
Każdy postęp arytmetyczny jest przedstawiony według następującego wzoru:
an =kn+b, podczas gdy b i k to niektóre liczby.
Stwierdzenie, które jest odwrotne, jest absolutnie prawdziwe: jeśli ciąg jest podany podobnym wzorem, to jest to dokładnie ciąg arytmetyczny, który ma właściwości:
- Każdy członek progresji jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego członka.
- Wręcz przeciwnie: jeżeli począwszy od drugiego, każdy wyraz jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego, tj. jeśli warunek jest spełniony, to podana sekwencja jest ciągiem arytmetycznym. Równość ta jest jednocześnie oznaką progresji, dlatego zwykle nazywana jest charakterystyczną właściwością progresji.
W ten sam sposób twierdzenie, które odzwierciedla tę właściwość, jest prawdziwe: ciąg jest postępem arytmetycznym tylko wtedy, gdy ta równość jest prawdziwa dla któregokolwiek z członków ciągu, zaczynając od drugiego.
Charakterystyczną właściwość dla dowolnych czterech liczb postępu arytmetycznego można wyrazić wzorem an + am = ak + al, jeśli n + m = k + l (m, n, k są liczbami postępu).
W ciągu arytmetycznym każdy niezbędny (N-ty) wyraz można znaleźć, stosując następujący wzór:
Na przykład: pierwszy składnik (a1) w ciągu arytmetycznym jest dany i wynosi trzy, a różnica (d) wynosi cztery. Musisz znaleźć czterdziesty piąty termin tego progresji. a45 = 1+4(45-1)=177
Formuła an = ak + d(n - k) pozwala wyznaczyć n-ty element ciągu arytmetycznego przez dowolny k-ty element, pod warunkiem, że jest znany.
Suma członków progresji arytmetycznej (przy założeniu, że 1. n członków progresji końcowej) jest obliczana w następujący sposób:
Sn = (a1+an) n/2.
Jeśli znany jest również pierwszy termin, do obliczenia wygodna jest inna formuła:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Suma progresji arytmetycznej, która zawiera n wyrazów, jest obliczana w następujący sposób:
Wybór formuł do obliczeń zależy od warunków zadania i danych początkowych.
Szereg naturalny dowolnych liczb, takich jak 1,2,3,...,n,... jest najprostszym przykładem postępu arytmetycznego.
Oprócz postępu arytmetycznego istnieje również ciąg geometryczny, który ma swoje własne właściwości i cechy.
Postęp arytmetyczny nazwij ciąg liczb (członków progresji)
W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego terminem stalowym, zwanym również różnica kroku lub progresji.
Tak więc, ustalając krok progresji i jej pierwszy termin, możesz znaleźć dowolny z jej elementów za pomocą wzoru
Własności postępu arytmetycznego
1) Każdy element progresji arytmetycznej, począwszy od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego elementu progresji
Odwrotność też jest prawdziwa. Jeżeli średnia arytmetyczna sąsiednich nieparzystych (parzystych) członów progresji jest równa członowi znajdującemu się między nimi, to ten ciąg liczb jest ciągiem arytmetycznym. Dzięki temu stwierdzeniu bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.
Również dzięki własności postępu arytmetycznego powyższy wzór można uogólnić do następującego
Łatwo to zweryfikować, jeśli zapiszemy wyrazy po prawej stronie znaku równości
Jest często używany w praktyce do uproszczenia obliczeń w problemach.
2) Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru
Zapamiętaj dobrze wzór na sumę postępu arytmetycznego, jest niezbędny w obliczeniach i jest dość powszechny w prostych sytuacjach życiowych.
3) Jeśli potrzebujesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu, zaczynając od jego k -tego członu, przyda ci się następujący wzór sumy
4) Praktycznie interesujące jest znalezienie sumy n członków postępu arytmetycznego, zaczynając od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły
Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzimy do rozwiązywania często spotykanych w praktyce problemów.
Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...
Rozwiązanie:
Zgodnie z warunkiem mamy
Określ krok progresji
Zgodnie ze znaną formułą znajdujemy czterdziesty wyraz progresji
Przykład2. Postęp arytmetyczny podaje trzeci i siódmy członek. Znajdź pierwszy termin progresji i sumę dziesięciu.
Rozwiązanie:
Poszczególne elementy progresji zapisujemy według wzorów
Pierwsze równanie odejmujemy od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji
Znaleziona wartość jest podstawiona do dowolnego równania, aby znaleźć pierwszy wyraz postępu arytmetycznego
Oblicz sumę pierwszych dziesięciu warunków progresji
Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane wartości.
Przykład 3. Postęp arytmetyczny podaje mianownik i jeden z jego elementów. Znajdź pierwszy termin progresji, sumę jego 50 terminów, począwszy od 50, oraz sumę pierwszych 100.
Rozwiązanie:
Napiszmy wzór na setny element progresji
i znajdź pierwszy
Na podstawie pierwszego znajdujemy 50. termin progresji
Znalezienie sumy części progresji
i suma pierwszych 100
Suma progresji to 250.
Przykład 4
Znajdź liczbę członków progresji arytmetycznej, jeśli:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Rozwiązanie:
Piszemy równania w kategoriach pierwszego terminu i kroku progresji i definiujemy je
Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru sumy, aby określić liczbę wyrazów w sumie
Dokonywanie uproszczeń
i rozwiąż równanie kwadratowe
Z dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 jest odpowiednia dla stanu problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu terminów progresji wynosi 111.
Przykład 5
Rozwiązać równanie
1+3+5+...+x=307.
Rozwiązanie: To równanie jest sumą postępu arytmetycznego. Piszemy jego pierwszy termin i znajdujemy różnicę w progresji
Przykłady postępu arytmetycznego i geometrycznego zaczerpnięty z „Zebrania zadań dla kandydatów. Matematyka” wydanego przez Wołyński Uniwersytet Państwowy im. Lesji Ukrainki w 2001 r. Przeczytaj uważnie odpowiedzi i wybierz najbardziej potrzebne dla siebie.
Grupa A (poziom 1)
Przykład 1. Oblicz szósty wyraz ciągu arytmetycznego 21.3; 22,4; … ,
Rozwiązanie: Znajdź różnicę (krok) progresji
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22,4-21,3 \u003d 1,1.
Następnie obliczamy szósty wyraz progresji arytmetycznej
a 6 \u003d a 1 + (6-1) d \u003d 21,3 + 5 * 1,1 \u003d 26,8.
Przykład 2. Oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego 5; dziesięć; 20; ...
Rozwiązanie: Znajdź mianownik postępu geometrycznego
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
Obliczamy szósty wyraz postępu geometrycznego
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.
Przykład 3. W ciągu arytmetycznym 1 \u003d 2,1 a 10 \u003d 12,9. Oblicz różnicę progresji.
Rozwiązanie: Przedstawmy dziesiąty termin progresji jako formułę
a 10 \u003d 1 + (10-1) d \u003d 1 + 9d.
Zastąp znane wartości i rozwiąż
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Odpowiedź: różnica progresji d=1,2.
Przykład 4. W postępie geometrycznym b 1 = 2,56; b 4 \u003d 4,42368. Oblicz mianownik progresji.
Rozwiązanie: Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4,42368/2,56 \u003d 1,728.
Nie możesz się tutaj obejść bez kalkulatora.
Odpowiedź: mianownik progresji to q=1.728.
Przykład 5. W postępie arytmetycznym a 1 \u003d 20,1, d \u003d 1,3. Oblicz sumę pierwszych ośmiu warunków progresji.
Rozwiązanie: suma postępu arytmetycznego znajduje się ze wzoru
Wykonywanie obliczeń
S 8 \u003d (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8 / 2 \u003d 197,2.
Odpowiedź: S 8 \u003d 197,2.
Przykład 6 . W postępie geometrycznym b 1 = 1,5; q=1,2. Oblicz sumę pierwszych czterech warunków progresji.
Rozwiązanie: sumę postępu geometrycznego oblicza się ze wzoru
Znalezienie sumy progresji 
Odpowiedź: S 8 \u003d 8,052.
Przykład 7 . W postępie arytmetycznym a 1 \u003d 1,35 d \u003d -2,4. Oblicz liczbę terminu progresji, równą -25,05.
Rozwiązanie: Element ciągu arytmetycznego znajduje się według wzoru
n \u003d 1 + (n-1) d.
Pod warunkiem, że wszystko oprócz liczby porządkowej jest znane, znajdziemy to
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4); 
Odpowiedź: n=12.
Przykład 8. Oblicz siódmy termin progresji 23,5; 24,82; 26.14; ...
Rozwiązanie: Ponieważ warunek nie określa, która progresja jest ustawiona, najpierw musisz ją ustawić. Zdobądź tę arytmetykę
d=a2-a1 = 24,82-23,5=1,32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26,14-24,82 \u003d 1,32.
Znalezienie siódmego terminu progresji
a 7 \u003d a 1 + (7-1) d \u003d 23,5 + 6 * 1,32 \u003d 31,42.
Odpowiedź: 7 \u003d 31,42.
Przykład 9. Oblicz liczbę członka progresji 2.1; 3.3; 4,5; ... równa 11,7 .
Rozwiązanie: Łatwo jest sprawdzić, czy podano postęp arytmetyczny. Znalezienie różnicy progresji
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3,3-2,1 \u003d 1,2.
Zgodnie z formułą terminu progresji
a n \u003d a 1 + (n-1) d
znajdź numer
11,7=2,1+(n-1)*1,2; 
Odpowiedź: n= 9 .
Przykład 10. Oblicz czwarty termin progresji 1.5; 1,8; 2.16; ... .
Rozwiązanie: Bez sprawdzania możemy powiedzieć, że progresja jest geometryczna. Znajdź jego mianownik
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,5 \u003d 1,2.
Oblicz czwarty element postępu geometrycznego za pomocą wzoru
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1,5 * 1,2 3 \u003d 2,592.
Odpowiedź: b 4 \u003d 2,592.
Przykład 11. Oblicz liczbę członków progresji 1,2; 1,8; 2.16; ... równa 4,05.
Rozwiązanie: Mamy postęp geometryczny. Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,2 \u003d 1,5.
Znajdź numer progresji z zależności
b n = b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5n-1;
1,5 n-1 \u003d 4,05 / 1,2 \u003d 3,375 \u003d 1,5 3;
n-1=3; n=4.
Odpowiedź: n=4.
Przykład 12. W ciągu arytmetycznym 5 \u003d 14,91 a 9 \u003d 20,11. Oblicz 1 .
Rozwiązanie: Wyrażamy dziewiąty termin progresji przez 5
a 9 \u003d 5 + (9-5) d
i znajdź krok progresji
20,11=14,91+4 dni;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Wyrażamy piąty termin progresji w kategoriach 1 i obliczamy pierwszy
a 5 = 1 + 4d;
14,91 \u003d 1 + 5,2;
a 1 \u003d 14,91-5,2 \u003d 9,71.
Odpowiedź: 1 \u003d 9,71.
Przykład 13 . W postępie arytmetycznym 7 \u003d 12,01; 11 \u003d 17,61. Oblicz różnicę progresji.
Rozwiązanie: Wyrażamy 11 warunków progresji do 7
a 11 \u003d 7 + (11-7) d.
Stąd obliczamy krok progresji
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Odpowiedź: d=1,4.
Przykład 14. W postępie geometrycznym b 5 =64; b 8 =1. Oblicz b 3 .
Rozwiązanie: 8. termin progresji wyrażamy w postaci 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
Stąd znajdujemy mianownik progresji
1=64q3;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
Podobnie znajdujemy b 3 do b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
Odpowiedź: b 3 \u003d 1024.
Przykład 15. W ciągu arytmetycznym 9 + 15 \u003d 14,8. Oblicz 12
Rozwiązanie: W tym przykładzie należy zauważyć, że dwunasty członek progresji znajduje się pośrodku między liczbą 9 a 15. Dlatego sąsiednie wyrazy progresji (9, 15 ) można wyrazić w postaci 12 w następujący sposób:
a 9 \u003d 12 - (12-9) d;
15 \u003d 12 + (15-9) d;
9 \u003d 12 -3d;
15 = 12 + 3d.
Podsumujmy skrajne warunki progresji
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
Stąd znajdujemy 12. semestr progresji
a 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14,8 / 2 \u003d 7,4.
Odpowiedź: 12 \u003d 7,4.
Przykład 16. Wykładniczo b 10 * b 14 = 289. Oblicz moduł 12 terminu progresji | b 12 |.
Rozwiązanie: Algorytm rozwiązania problemu jest zawarty w poprzednim przykładzie. Konieczne jest wyrażenie 10 i 14 członów postępu geometrycznego przez 12. Na podstawie właściwości postępu geometrycznego otrzymujemy
b 10 \u003d b 12 / q 2; b14 = b12*q2.
Łatwo zauważyć, że kiedy działają, znak postępu znika.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
Stąd znajdujemy moduł | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Odpowiedź: | b 12 |=17.
Przykład 17. Wykładniczo b 8 = 1,3. Oblicz b 6 * b 10 .
Rozwiązanie: Schemat obliczeń jest podobny do poprzedniego przykładu - wyrażamy 6 i 10 członków progresji do 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b10 = b8*q2.
Po pomnożeniu mianowniki są zmniejszane i otrzymujemy kwadrat znanego członu progresji
b 6 * b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1,3 2 \u003d 1,69.
Odpowiedź: b 6 * b 10 \u003d 1,69.
Przykład 18. W ciągu arytmetycznym 10 \u003d 3,6: 12 \u003d 8. Oblicz 8
Rozwiązanie: Zapiszmy elementy progresji w serii a 8 , a 10 , a 12 . Między nimi ten sam krok, znajdźmy go
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d 12 - 10 \u003d 8-3,6 \u003d 4,4.
W ten sam sposób znajdujemy 8
a 10 = a 8 +2d;
8 \u003d 10-2d \u003d 3,6-4,4 \u003d -0,8.
Oto kilka prostych obliczeń.
Odpowiedź: 8 \u003d -0,8.
Przykład 19. Wykładniczo b 14 = 8; b 16 =2. Oblicz b 12 .
Rozwiązanie: Pomijając szczegółowe wyjaśnienia, zapisujemy iloczyn 14 i 16 warunków progresji
b 14 * b 16 = (b 12) 2 .
Odpowiada to średniej geometrycznej. Znajdując pierwiastek iloczynu wyrażeń, otrzymujemy pożądaną wartość
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 =4.
Odpowiedź: b 12 \u003d 4.
Przykład 20. W ciągu arytmetycznym 5 \u003d 3,4; 11 \u003d 6,9. Oblicz 17 .
Rozwiązanie: Od 5,11 do 17 członków progresji to ten sam krok i jest równy 6d. Dlatego ostateczne rozwiązanie można zapisać jako
a 17 \u003d 11 + 6d \u003d 11 + (a 11 - a 5) \u003d 2 * 6,9-3,4 \u003d 10,4.
Myślę, że rozumiesz, dlaczego taki rekord. Jeśli nie – spróbuj namalować 11 terminów progresji do 5 i odwróć 6d.
Odpowiedź: 17 \u003d 10,4.
Przykład 21. Oblicz szósty element ciągu geometrycznego 3; 12;... .
Rozwiązanie: Znajdź mianownik progresji
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
Posłużmy się ogólnym wzorem terminu postępu geometrycznego
bn = b1*qn-1.
Stąd otrzymujemy
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Jak widać, najważniejsze w zapisie jest to, że suma indeksu (2) i stopnia (4) odpowiada liczbie porządkowej członka progresji (6). Wykonywanie obliczeń
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
Mamy dużą liczbę, ale postęp geometryczny różni się tym, że jego członkowie albo szybko rosną, albo maleją.
Odpowiedź: b 6 \u003d 3072.
Przykład 22. W ciągu arytmetycznym 3 \u003d 48; a 5 =42. Oblicz 7 .
Rozwiązanie: Skoro różnica między progresją pomiędzy podanymi członkami a pożądanym, stała się i jest równa 2d, to wzór na 7 członka progresji będzie wyglądał następująco
7 \u003d 5 + 2d \u003d 5 + (a 5 - 3);
i 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Odpowiedź: 7 \u003d 36.
Progresje arytmetyczne i geometryczne
Informacje teoretyczne
Informacje teoretyczne
Postęp arytmetyczny |
Postęp geometryczny |
|
Definicja |
Postęp arytmetyczny jakiś wywoływana jest sekwencja, z której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy członowi poprzedniemu, dodanemu o tym samym numerze d (d- różnica progresji) |
postęp geometryczny b n wywoływany jest ciąg liczb niezerowych, z których każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę q (q- mianownik progresji) |
Powtarzająca się formuła |
Dla każdego naturalnego n |
Dla każdego naturalnego n |
formuła n-tego terminu |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| charakterystyczna właściwość |  |
|
| Suma pierwszych n wyrazów |  |
 |
Przykłady zadań z komentarzami
Ćwiczenie 1
W postępie arytmetycznym ( jakiś) 1 = -6, 2
Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21d
Według warunku:
1= -6, więc 22= -6 + 21 dni.
Konieczne jest znalezienie różnicy progresji:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odpowiadać : 22 = -48.
Zadanie 2
Znajdź piąty wyraz postępu geometrycznego: -3; 6;....
Pierwszy sposób (przy użyciu formuły n-terminowej)
Zgodnie ze wzorem n-tego elementu ciągu geometrycznego:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Dlatego b 1 = -3,
Drugi sposób (przy użyciu formuły rekurencyjnej)
Ponieważ mianownik progresji wynosi -2 (q = -2), to:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odpowiadać : b 5 = -48.
Zadanie 3
W postępie arytmetycznym ( a n) 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty termin tego progresji.
Dla ciągu arytmetycznego właściwość charakterystyczna ma postać 
.
W związku z tym:
.
Zastąp dane we wzorze:
Odpowiedź: 95.
Zadanie 4
W postępie arytmetycznym ( za n ) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.
Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:
.
Który z nich jest wygodniejszy do zastosowania w tym przypadku?
Pod warunkiem znana jest formuła n-tego członka oryginalnej progresji ( jakiś) jakiś= 3n - 4. Można go znaleźć natychmiast i 1, oraz 16 bez znajdowania d . Dlatego używamy pierwszej formuły.
Odpowiedź: 368.
Zadanie 5
W postępie arytmetycznym jakiś) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi termin progresji.
Zgodnie ze wzorem n-tego terminu:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21d.
Według stanu, jeśli 1= -6, to 22= -6 + 21 dni. Konieczne jest znalezienie różnicy progresji:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odpowiadać : 22 = -48.
Zadanie 6
Rejestrowanych jest kilka kolejnych wyrazów postępu geometrycznego:
Znajdź termin progresji, oznaczony literą x .
Przy rozwiązywaniu posługujemy się wzorem na n-ty wyraz b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 dla postępów geometrycznych. Pierwszy członek progresji. Aby znaleźć mianownik progresji q, musisz wziąć dowolny z tych warunków progresji i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możesz wziąć i podzielić przez. Otrzymujemy to q \u003d 3. Zamiast n podstawiamy 3 we wzorze, ponieważ konieczne jest znalezienie trzeciego członu danego postępu geometrycznego.
Podstawiając znalezione wartości do formuły, otrzymujemy:
.
Odpowiadać : .
Zadanie 7
Z ciągów arytmetycznych podanych wzorem n-tego członu wybierz ten, dla którego warunek jest spełniony 27 > 9:
Ponieważ określony warunek musi być spełniony w 27. semestrze progresji, podstawiamy 27 zamiast n w każdej z czterech progresji. W 4 progresji otrzymujemy:
.
Odpowiedź: 4.
Zadanie 8
W postępie arytmetycznym 1= 3, d = -1,5. Podaj największą wartość n, dla której zachodzi nierówność jakiś > -6.
Ktoś ostrożnie traktuje słowo „postęp” jako bardzo złożone pojęcie z działów matematyki wyższej. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca licznika taksówek (gdzie nadal pozostają). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku podstawowych pojęć.
Sekwencja liczb matematycznych
Zwyczajowo nazywa się sekwencję liczbową serią liczb, z których każda ma swój własny numer.
a 1 jest pierwszym elementem sekwencji;
a 2 jest drugim elementem sekwencji;
a 7 jest siódmym elementem sekwencji;
in jest n-tym elementem sekwencji;
Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw cyfr i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego elementu jest powiązana z jego liczbą porządkową poprzez zależność, którą można jasno sformułować matematycznie. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest pewną funkcją n.
a - wartość elementu ciągu liczbowego;
n to jego numer seryjny;
f(n) to funkcja, w której liczba porządkowa w sekwencji numerycznej n jest argumentem.
Definicja
Postęp arytmetyczny jest zwykle nazywany ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty element ciągu arytmetycznego jest następujący:
a n - wartość bieżącego elementu postępu arytmetycznego;
a n+1 - wzór na następną liczbę;
d - różnica (pewna liczba).
Łatwo określić, że jeśli różnica jest dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki ciąg arytmetyczny będzie się zwiększał.
Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywana jest „rosnącą”.
W przypadkach, w których różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Wartość określonego członka
Niekiedy konieczne jest wyznaczenie wartości jakiegoś dowolnego wyrazu an ciągu arytmetycznego. Możesz to zrobić, obliczając kolejno wartości wszystkich członków progresji arytmetycznej, od pierwszego do pożądanego. Jednak ten sposób nie zawsze jest akceptowalny, jeśli na przykład konieczne jest wyznaczenie wartości pięciotysięcznej lub ośmiomilionowej kadencji. Tradycyjna kalkulacja zajmie dużo czasu. Jednak określony ciąg arytmetyczny można zbadać za pomocą określonych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego członka progresji arytmetycznej można określić jako sumę pierwszego członka progresji z różnicą progresji, pomnożoną przez liczbę pożądanego członka, minus jeden .
Formuła jest uniwersalna do zwiększania i zmniejszania progresji.
Przykład obliczenia wartości danego pręta
Rozwiążmy następujący problem ze znalezieniem wartości n-tego elementu ciągu arytmetycznego.
Warunek: istnieje ciąg arytmetyczny o parametrach:
Pierwszym elementem sekwencji jest 3;
Różnica w serii liczb wynosi 1,2.
Zadanie: trzeba znaleźć wartość 214 terminów
Rozwiązanie: do określenia wartości danego pręta posługujemy się wzorem:
a(n) = a1 + d(n-1)
Podstawiając dane z opisu problemu do wyrażenia mamy:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpowiedź: 214. członek ciągu jest równy 258,6.
Zalety tej metody obliczeniowej są oczywiste - całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 wiersze.
Suma podanej liczby terminów
Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym wymagane jest określenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Nie trzeba też obliczać wartości poszczególnych terminów, a następnie je sumować. Ta metoda ma zastosowanie, jeśli liczba terminów, których suma musi zostać znaleziona, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest skorzystać z poniższej formuły.
Suma elementów postępu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego elementu pomnożonej przez liczbę n i podzielonej przez dwa. Jeżeli we wzorze zastąpimy wartość n-tego elementu wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:
Przykład obliczenia
Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:
Pierwszym wyrazem ciągu jest zero;
Różnica wynosi 0,5.
W zadaniu należy określić sumę wyrazów szeregu od 56 do 101.
Rozwiązanie. Wykorzystajmy wzór na określenie sumy progresji:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najpierw określamy sumę wartości 101 członków progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., konieczne jest odjęcie S 55 od S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Zatem suma postępu arytmetycznego dla tego przykładu to:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1 782,5
Przykład praktycznego zastosowania progresji arytmetycznej
Na końcu artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w akapicie pierwszym - taksometr (licznik taksówek). Rozważmy taki przykład.
Wsiadanie do taksówki (która obejmuje 3 km) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr jest płatny w wysokości 22 rubli / km. Odległość podróży 30 km. Oblicz koszt podróży.
1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.
30 - 3 = 27 km.
2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analiza serii liczb arytmetycznych.
Numer członkowski to liczba przejechanych kilometrów (minus trzy pierwsze).
Wartość członka to suma.
Pierwszy termin w tym zadaniu będzie równy 1 = 50 rubli.
Różnica progresji d = 22 pkt.
interesująca nas liczba - wartość (27+1) członu progresji arytmetycznej - odczyt licznika na końcu 27. kilometra - 27.999...=28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na formułach opisujących pewne ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od źródła światła. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem wykorzystywane w statystyce i innych stosowanych działach matematyki.
Innym rodzajem ciągu liczb jest ciąg geometryczny
Postęp geometryczny charakteryzuje się dużym, w porównaniu z arytmetycznym, tempem zmian. To nie przypadek, że w polityce, socjologii, medycynie często, aby pokazać szybkie tempo rozprzestrzeniania się określonego zjawiska, na przykład choroby podczas epidemii, mówią, że proces ten rozwija się wykładniczo.
N-ty członek geometrycznej serii liczb różni się od poprzedniego tym, że jest pomnożony przez pewną stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy element to 1, mianownik to odpowiednio 2, a następnie:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - wartość bieżącego członka postępu geometrycznego;
b n+1 - wzór następnego członu postępu geometrycznego;
q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczby stałej).
Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to geometryczny rysuje nieco inny obraz:
Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego członka. Dowolny n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonego o jeden:
Przykład. Mamy postęp geometryczny z pierwszym wyrazem równym 3 i mianownikiem progresji równym 1,5. Znajdź piąty termin progresji
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875
Suma danej liczby członków jest również obliczana za pomocą specjalnego wzoru. Suma pierwszych n elementów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego elementu progresji i jego mianownika oraz pierwszego elementu progresji, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:
Jeśli b n zostanie zastąpione za pomocą omówionego powyżej wzoru, wartość sumy pierwszych n elementów rozpatrywanego szeregu liczbowego przyjmie postać:
Przykład. Postęp geometryczny zaczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest równy 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.
s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
