Kontynuując rozmowę o potędze liczby, logiczne jest wymyślenie, jak znaleźć wartość tej potęgi. Proces ten nazywa się potęgowanie. W tym artykule przeanalizujemy, jak przeprowadzane jest potęgowanie, dotykając wszystkich możliwych wykładników - naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Zgodnie z tradycją szczegółowo rozważymy rozwiązania przykładów podnoszenia liczb do różnych potęg.
Nawigacja strony.
Co oznacza „potęgowanie”?
Zacznijmy od wyjaśnienia, co nazywa się potęgowaniem. Oto odpowiednia definicja.
Definicja.
Potęgowanie- to jest znalezienie wartości potęgi liczby.
Zatem znalezienie wartości potęgi liczby a z wykładnikiem r i podniesienie liczby a do potęgi r to to samo. Na przykład, jeśli zadanie brzmi „obliczyć wartość potęgi (0,5) 5”, można je przeformułować w następujący sposób: „Podnieś liczbę 0,5 do potęgi 5”.
Teraz możesz przejść bezpośrednio do reguł, według których przeprowadzane jest potęgowanie.
Podnoszenie liczby do potęgi naturalnej
W praktyce równość oparta na jest zwykle stosowana w postaci . Oznacza to, że podnosząc liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, najpierw bierze się n-ty pierwiastek z liczby a, po czym wynikowy wynik podnosi się do potęgi całkowitej m.
Przyjrzyjmy się rozwiązaniom przykładów podniesienia do potęgi ułamkowej.
Przykład.
Oblicz wartość stopnia.
Rozwiązanie.
Pokażemy dwa rozwiązania.
Pierwszy sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Obliczamy wartość stopnia pod pierwiastkiem, a następnie wyodrębniamy pierwiastek sześcienny: 
.
Drugi sposób. Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i w oparciu o właściwości pierwiastków prawdziwe są następujące równości: 
. Teraz wyodrębniamy korzeń 
na koniec podnosimy go do potęgi całkowitej 
.
Oczywiście uzyskane wyniki podniesienia do potęgi ułamkowej są zbieżne.
Odpowiedź:
Należy pamiętać, że wykładnik ułamkowy można zapisać jako ułamek dziesiętny lub liczbę mieszaną, w takich przypadkach należy go zastąpić odpowiednim ułamkiem zwykłym, a następnie podnieść do potęgi.
Przykład.
Oblicz (44,89) 2.5.
Rozwiązanie.
Zapiszmy wykładnik w postaci ułamka zwykłego (jeśli to konieczne, zobacz artykuł): 
. Teraz wykonujemy podnoszenie do potęgi ułamkowej: 
Odpowiedź:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Należy również powiedzieć, że podnoszenie liczb do potęg wymiernych jest procesem dość pracochłonnym (zwłaszcza gdy licznik i mianownik wykładnika ułamkowego zawierają wystarczająco duże liczby), który zwykle przeprowadza się przy użyciu technologii komputerowej.
Podsumowując ten punkt, skupimy się na podniesieniu liczby zero do potęgi ułamkowej. Potędze ułamkowej zera nadaliśmy następujące znaczenie: kiedy mamy 
, a przy zera do potęgi m/n nie jest określona. Zatem zero do ułamkowej potęgi dodatniej wynosi zero, na przykład 
. A zero w ułamkowej potędze ujemnej nie ma sensu, na przykład wyrażenia 0 -4,3 nie mają sensu.
Wzniesienie do irracjonalnej potęgi
Czasami konieczne staje się ustalenie wartości potęgi liczby z niewymiernym wykładnikiem. W takim przypadku ze względów praktycznych zwykle wystarcza uzyskanie wartości stopnia z dokładnością do określonego znaku. Od razu zauważmy, że w praktyce wartość tę oblicza się za pomocą komputerów elektronicznych, gdyż ręczne podniesienie jej do potęgi niewymiernej wymaga dużej liczby uciążliwych obliczeń. Ale nadal będziemy opisywać ogólnie istotę działań.
Aby otrzymać przybliżoną wartość potęgi liczby a z wykładnikiem niewymiernym, należy przyjąć przybliżenie dziesiętne wykładnika i obliczyć wartość potęgi. Wartość ta jest przybliżoną wartością potęgi liczby a z niewymiernym wykładnikiem. Im dokładniejsze będzie przybliżenie dziesiętne liczby na początku, tym dokładniejsza będzie wartość stopnia na końcu.
Jako przykład obliczmy przybliżoną wartość potęgi 2 1,174367... . Przyjmijmy następujące dziesiętne przybliżenie niewymiernego wykładnika: . Teraz podnosimy 2 do potęgi wymiernej 1,17 (istotę tego procesu opisaliśmy w poprzednim akapicie), otrzymujemy 2 1,17 ≈2,250116. Zatem, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jeśli na przykład przyjmiemy dokładniejsze przybliżenie dziesiętne wykładnika niewymiernego, otrzymamy dokładniejszą wartość wykładnika pierwotnego: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
- Kołmogorow A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
Czas się zapoznać podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi. Ta operacja na ułamkach algebraicznych w sensie stopnia sprowadza się do pomnożenia identycznych ułamków. W tym artykule podamy odpowiednią regułę i przyjrzymy się przykładom podnoszenia ułamków algebraicznych do potęgi naturalnej.
Nawigacja strony.
Zasada podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, jej dowód
Zanim zaczniemy mówić o podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi, nie zaszkodzi przypomnieć sobie, jaki jest iloczyn identycznych czynników u podstawy potęgi, a ich liczbę określa wykładnik. Na przykład 2 3 =2·2·2=8.
Przypomnijmy sobie teraz zasadę podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi – w tym celu należy osobno podnieść licznik do określonej potęgi i osobno mianownik. Np, . Zasada ta dotyczy podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej.
Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej daje nowy ułamek, którego licznik zawiera wskazany stopień licznika pierwotnego ułamka, a mianownik - stopień mianownika. W formie dosłownej reguła ta odpowiada równości , gdzie a i b są dowolnymi wielomianami (w szczególnych przypadkach jednomianami lub liczbami), b jest wielomianem niezerowym, a n oznacza .
Dowód podanej reguły podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi opiera się na definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym oraz na tym, jak zdefiniowaliśmy mnożenie ułamków algebraicznych: 
.
Przykłady, rozwiązania
Reguła uzyskana w poprzednim akapicie sprowadza podniesienie ułamka algebraicznego do potęgi do podniesienia licznika i mianownika ułamka pierwotnego do tej potęgi. A ponieważ licznikiem i mianownikiem pierwotnego ułamka algebraicznego są wielomiany (w konkretnym przypadku jednomiany lub liczby), pierwotne zadanie sprowadza się do podniesienia wielomianów do potęgi. Po wykonaniu tej czynności otrzymany zostanie nowy ułamek algebraiczny, identycznie równy określonemu stopniowi pierwotnego ułamka algebraicznego.
Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.
Przykład.
Kwadrat ułamka algebraicznego.
Rozwiązanie.
Zapiszmy stopień. Przejdźmy teraz do zasady podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, daje nam to równość 
. Pozostaje przekształcić powstały ułamek do postaci ułamka algebraicznego, podnosząc jednomiany do potęgi. Więc 
.
Zwykle przy podnoszeniu ułamka algebraicznego do potęgi rozwiązanie nie jest wyjaśniane, ale jest ono krótko zapisywane. Nasz przykład odpowiada wpisowi 
.
Odpowiedź:
.
Jeżeli w liczniku i/lub mianowniku ułamka algebraicznego znajdują się wielomiany, zwłaszcza dwumiany, to przy podnoszeniu go do potęgi wskazane jest zastosowanie odpowiednich skróconych wzorów na mnożenie.
Przykład.
Konstruuj ułamek algebraiczny 
do drugiego stopnia.
Rozwiązanie.
Zgodnie z zasadą podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi mamy 
.
Aby przekształcić wynikowe wyrażenie w licznik, używamy wzór na różnicę kwadratową, a w mianowniku - wzór na kwadrat sumy trzech wyrazów: 
Odpowiedź:
Podsumowując, zauważamy, że jeśli podniesiemy nieredukowalny ułamek algebraiczny do potęgi naturalnej, wówczas wynikiem będzie również ułamek nieredukowalny. Jeżeli ułamek pierwotny jest redukowalny, to przed podniesieniem go do potęgi wskazane jest wykonanie redukcji ułamka algebraicznego, aby nie przeprowadzać redukcji po podniesieniu do potęgi.
Bibliografia.
- Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.
Prawa autorskie należą do mądrych studentów
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i wygląd, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.
Ułamek to stosunek licznika do mianownika, a mianownik nie może być równy zero, a licznik może być dowolny.
Podnosząc dowolny ułamek do dowolnej potęgi, musimy osobno podnieść licznik i mianownik ułamka do tej potęgi, po czym musimy policzyć te potęgi i w ten sposób otrzymać ułamek podniesiony do potęgi.
Na przykład:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3
Stopień ujemny
Jeśli mamy do czynienia ze stopniem ujemnym, to najpierw należy „Odwrócić ułamek”, a dopiero potem podnieść go do stopnia zgodnie z zasadą zapisaną powyżej.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Stopień literowy
Podczas pracy z wartościami dosłownymi, takimi jak „x” i „y”, potęgowanie odbywa się według tej samej zasady, co poprzednio.
Możemy się także sprawdzić podnosząc ułamek ½ do potęgi 3, w wyniku czego otrzymujemy ½ * ½ * ½ = 1/8, co w zasadzie jest takie samo jak
(1/2)^3 = 1/8.
Dosłowne potęgowanie x^y
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych z potęgami
Jeśli pomnożymy potęgi o tych samych podstawach, to sama podstawa pozostanie taka sama, a wykładniki dodamy. Jeśli podzielimy stopnie o tych samych podstawach, wówczas podstawa stopnia również pozostanie taka sama, a wykładniki stopni zostaną odjęte.
Można to bardzo łatwo pokazać na przykładzie:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
To samo moglibyśmy uzyskać, gdybyśmy po prostu podnieśli mianownik i licznik oddzielnie do potęgi 3 i 4.
Podnoszenie ułamka z potęgą do innej potęgi
Podnosząc ułamek, który jest już do potęgi, ponownie do potęgi, musimy najpierw wykonać potęgowanie wewnętrzne, a następnie przejść do zewnętrznej części potęgowania. Innymi słowy, możemy po prostu pomnożyć te potęgi i podnieść ułamek do otrzymanej potęgi.
Na przykład:
(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8
Podniesione do jednego, pierwiastek kwadratowy
Nie wolno nam też zapominać, że podniesienie absolutnie dowolnego ułamka do potęgi zerowej da nam 1, tak jak każdej innej liczby, podniesione do potęgi równej zero otrzymamy 1.
Zwykły pierwiastek kwadratowy można również wyrazić jako potęgę ułamka zwykłego
Pierwiastek kwadratowy 3 = 3^(1/2)
Jeśli mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym, pod którym znajduje się ułamek, to możemy sobie wyobrazić ten ułamek, w którego liczniku będzie pierwiastek kwadratowy drugiego stopnia (ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy)
A mianownik będzie również zawierał pierwiastek kwadratowy, tj. innymi słowy, zobaczymy związek dwóch pierwiastków, może to być przydatne do rozwiązania niektórych problemów i przykładów.
Jeśli podniesiemy ułamek pod pierwiastkiem kwadratowym do drugiej potęgi, otrzymamy ten sam ułamek.
Iloczyn dwóch ułamków o tej samej mocy będzie równy iloczynowi tych dwóch ułamków, z których każdy osobno będzie miał własną moc.
Pamiętaj: nie możesz dzielić przez zero!
Nie zapomnij też o bardzo ważnej uwadze, że ułamek taki, że mianownik nie powinien być równy zero. W przyszłości w wielu równaniach będziemy stosować to ograniczenie zwane ODZ – zakres wartości dopuszczalnych
Porównując dwa ułamki o tej samej podstawie, ale różnych mocach, większy będzie ułamek, którego moc jest większa, a mniejszy będzie ułamkiem o mniejszej mocy, jeśli nie tylko podstawy, ale i potęgi są równe; ułamek uważa się za taki sam.
Przykłady:
na przykład: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6
6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6
Ułamek to stosunek licznika do mianownika, a mianownik nie może być równy zero, a licznik może być dowolny.
Podnosząc dowolny ułamek do dowolnej potęgi, musimy osobno podnieść licznik i mianownik ułamka do tej potęgi, po czym musimy policzyć te potęgi i w ten sposób otrzymać ułamek podniesiony do potęgi.
Na przykład:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3
Stopień ujemny
Jeśli mamy do czynienia ze stopniem ujemnym, to najpierw należy „odwrócić ułamek”, a dopiero potem podnieść go do stopnia zgodnie z zasadą zapisaną powyżej.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Stopień literowy
Podczas pracy z wartościami dosłownymi, takimi jak „x” i „y”, potęgowanie odbywa się według tej samej zasady, co poprzednio.
Możemy się także sprawdzić podnosząc ułamek ½ do potęgi 3, w wyniku czego otrzymujemy ½ * ½ * ½ = 1/8, co w zasadzie jest takie samo jak
Dosłowne potęgowanie x^y
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych z potęgami
Jeśli pomnożymy potęgi o tych samych podstawach, to sama podstawa pozostanie taka sama i dodamy wykładniki. Jeśli dzielimy stopnie o tych samych podstawach, wówczas podstawa stopnia również pozostaje taka sama, a wykładniki stopni są odejmowane.
Można to bardzo łatwo pokazać na przykładzie:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
To samo moglibyśmy uzyskać, gdybyśmy po prostu podnieśli mianownik i licznik oddzielnie do potęgi 3 i 4.
Podnoszenie ułamka z potęgą do innej potęgi
Podnosząc ułamek, który jest już do potęgi, ponownie do potęgi, musimy najpierw wykonać potęgowanie wewnętrzne, a następnie przejść do zewnętrznej części potęgowania. Innymi słowy, możemy po prostu pomnożyć te potęgi i podnieść ułamek do otrzymanej potęgi.
Na przykład:
(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8
Podniesione do jednego, pierwiastek kwadratowy
Nie wolno nam też zapominać, że podniesienie absolutnie dowolnego ułamka do potęgi zerowej da nam 1, tak jak każdej innej liczby, podniesione do potęgi równej zero otrzymamy 1.
Zwykły pierwiastek kwadratowy można również wyrazić jako potęgę ułamka zwykłego
Pierwiastek kwadratowy 3 = 3^(1/2)
Jeśli mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym, pod którym znajduje się ułamek, to możemy sobie wyobrazić ten ułamek, w którego liczniku będzie pierwiastek kwadratowy drugiego stopnia (ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy)
A mianownik będzie również zawierał pierwiastek kwadratowy, tj. innymi słowy, zobaczymy związek dwóch pierwiastków, może to być przydatne do rozwiązania niektórych problemów i przykładów.
Jeśli podniesiemy ułamek pod pierwiastkiem kwadratowym do drugiej potęgi, otrzymamy ten sam ułamek.
Iloczyn dwóch ułamków o tej samej mocy będzie równy iloczynowi tych dwóch ułamków, z których każdy osobno będzie miał własną moc.
Pamiętaj: nie możesz dzielić przez zero!
Nie zapomnij też o bardzo ważnej uwadze, że ułamek taki, że mianownik nie powinien być równy zero. W przyszłości w wielu równaniach będziemy stosować to ograniczenie zwane ODZ – zakresem wartości dopuszczalnych
Porównując dwa ułamki o tej samej podstawie, ale różnych mocach, większy będzie ułamek, którego moc jest większa, a mniejszy będzie ułamkiem o mniejszej mocy, jeśli nie tylko podstawy, ale i potęgi są równe; ułamek uważa się za taki sam.
Temat sprowadza się do tego, że musimy pomnożyć równe ułamki zwykłe. W tym artykule dowiesz się, jakiej reguły należy użyć, aby poprawnie podnieść ułamki algebraiczne do potęgi naturalnej.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Zasada podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, jej dowód
Zanim zaczniesz podnosić do potęgi, musisz pogłębić swoją wiedzę za pomocą artykułu na temat potęgi z wykładnikiem naturalnym, gdzie istnieje iloczyn identycznych czynników będących podstawą potęgi, a ich liczba jest wyznaczana przez wykładnik. Na przykład liczba 2 3 = 2 2 2 = 8.
Podnosząc do potęgi najczęściej korzystamy z reguły. Aby to zrobić, podnieś licznik i mianownik oddzielnie do potęgi. Spójrzmy na przykład 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9. Zasada dotyczy podniesienia ułamka do potęgi naturalnej.
Na podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi naturalnej otrzymujemy nowy, w którym licznik ma moc ułamka pierwotnego, a mianownik ma moc mianownika. Wszystko to wygląda jak a b n = a n b n , gdzie a i b są dowolnymi wielomianami, b jest różne od zera, a n jest liczbą naturalną.
Dowód tej reguły zapisuje się w postaci ułamka zwykłego, który należy podnieść do potęgi, w oparciu o samą definicję z wykładnikiem naturalnym. Następnie otrzymujemy mnożenie ułamków postaci a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = za n b n
Przykłady, rozwiązania
Regułę podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi przeprowadza się sekwencyjnie: najpierw licznik, potem mianownik. Gdy w liczniku i mianowniku znajdzie się wielomian, to samo zadanie sprowadzi się do podniesienia danego wielomianu do potęgi. Po czym wskazany zostanie nowy ułamek, który będzie równy pierwotnemu.
Przykład 1
Podnieś ułamek do kwadratu x 2 3 · y · z 3.
Rozwiązanie
Konieczne jest ustalenie stopnia x 2 3 · y · z 3 2 . Korzystając z reguły podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi, otrzymujemy równość postaci x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Teraz konieczne jest przekształcenie powstałego ułamka w formę algebraiczną, podnosząc go do potęgi. Następnie otrzymujemy wyrażenie formy
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Wszystkie przypadki potęgowania nie wymagają szczegółowego wyjaśnienia, dlatego samo rozwiązanie ma krótki zapis. To znaczy, rozumiemy to
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Odpowiedź: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .
Jeśli licznik i mianownik mają wielomiany, wówczas należy podnieść cały ułamek do potęgi, a następnie w celu uproszczenia zastosować skrócone wzory na mnożenie.
Przykład 2
Podnieś do kwadratu ułamek 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.
Rozwiązanie
Z reguły mamy to
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
Aby przekształcić wyrażenie, należy użyć wzoru na kwadrat sumy trzech wyrazów w mianowniku, a w liczniku - kwadrat różnicy, co uprości wyrażenie. Otrzymujemy:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 lata - 6 x y 2
Odpowiedź: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
Zauważ, że gdy podnosimy ułamek, którego nie możemy sprowadzić do potęgi naturalnej, otrzymujemy również ułamek nieredukowalny. Nie ułatwia to późniejszego rozwiązania. Gdy dany ułamek da się zredukować, to podnosząc do potęgi stwierdzamy, że należy dokonać redukcji ułamka algebraicznego, aby uniknąć redukcji po podniesieniu do potęgi.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
