Przykłady rozwiązywania logarytmów są proste. Zamiana wyrażeń z logarytmami, przykłady, rozwiązania

Wymienione równości podczas konwersji wyrażeń z logarytmami są używane zarówno od prawej do lewej, jak i od lewej do prawej.

Warto zauważyć, że nie trzeba zapamiętywać konsekwencji właściwości: dokonując przekształceń można sobie poradzić z podstawowymi właściwościami logarytmów i innymi faktami (np. dla b≥0), z których odpowiednie następują konsekwencje. „Skutkiem ubocznym” takiego podejścia jest tylko to, że rozwiązanie będzie trochę dłuższe. Na przykład, aby obejść się bez konsekwencji, które wyraża formuła , a wychodząc tylko z podstawowych własności logarytmów, będziesz musiał przeprowadzić łańcuch przekształceń o następującej postaci: .

To samo można powiedzieć o ostatniej właściwości z powyższej listy, która odpowiada formule , ponieważ wynika to również z podstawowych własności logarytmów. Najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że zawsze jest możliwe, aby stopień liczby dodatniej z logarytmem w wykładniku zamienił podstawę stopnia i liczbę pod znakiem logarytmu. Uczciwie zauważamy, że przykłady realizacji tego rodzaju przekształceń są w praktyce rzadkie. Poniżej podamy kilka przykładów.

Konwersja wyrażeń numerycznych za pomocą logarytmów

Przypomnieliśmy sobie właściwości logarytmów, teraz czas nauczyć się ich praktycznego zastosowania do przekształcania wyrażeń. Naturalnie zaczyna się od przekształcenia wyrażeń liczbowych, a nie wyrażeń ze zmiennymi, ponieważ wygodniej i łatwiej jest nauczyć się ich podstaw. Tak więc zrobimy to i zaczniemy od bardzo prostych przykładów, aby nauczyć się, jak wybrać pożądaną właściwość logarytmu, ale stopniowo będziemy komplikować przykłady, aż do momentu, gdy kilka właściwości będzie musiało zostać zastosowanych w jednym wiersz, aby uzyskać wynik końcowy.

Wybór żądanej własności logarytmów

Własności logarytmów nie jest tak mało i jasne jest, że trzeba umieć wybrać z nich odpowiednią, co w tym konkretnym przypadku doprowadzi do pożądanego rezultatu. Zwykle nie jest to trudne, porównując formę logarytmu lub konwertowanego wyrażenia z typami lewej i prawej części formuł wyrażających właściwości logarytmów. Jeśli lewa lub prawa strona jednej z formuł odpowiada danemu logarytmowi lub wyrażeniu, to najprawdopodobniej ta właściwość powinna być zastosowana podczas transformacji. Poniższe przykłady wyraźnie to pokazują.

Zacznijmy od przykładów przekształcania wyrażeń przy użyciu definicji logarytmu, która odpowiada formule a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Przykład.

Oblicz, jeśli to możliwe: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (-7) , e).

Decyzja.

W przykładzie litera a) wyraźnie pokazuje strukturę a log a b , gdzie a=5 , b=4 . Liczby te spełniają warunki a>0 , a≠1 , b>0 , więc możesz bezpiecznie użyć równości a log a b =b . Mamy 5 log 5 4=4 .

b) Tutaj a=10 , b=1+2 π , warunki a>0 , a≠1, b>0 są spełnione. W tym przypadku zachodzi równość 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) W tym przykładzie mamy do czynienia z stopniem postaci a log a b , gdzie i b=ln15 . Więc .

Pomimo przynależności do tej samej postaci a log a b (tu a=2 , b=−7 ), wyrażenie pod literą d) nie może być przekształcone przez formułę a log a b =b . Powodem jest to, że nie ma to sensu, ponieważ zawiera liczbę ujemną pod znakiem logarytmu. Ponadto liczba b=−7 nie spełnia warunku b>0 , co uniemożliwia uciekanie się do formuły a log a b =b , ponieważ wymaga spełnienia warunków a>0 , a≠1 , b>0 . Nie możemy więc mówić o obliczaniu wartości 2 log 2 (−7) . W takim przypadku zapisanie 2 log 2 (-7) = -7 byłoby błędem.

Podobnie w przykładzie pod literą e) nie da się podać rozwiązania postaci , ponieważ oryginalne wyrażenie nie ma sensu.

Odpowiedź:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) wyrażenia nie mają sensu.

Często przydatne jest przekonwertowanie liczby dodatniej na potęgę pewnej liczby dodatniej niejednoznacznej z logarytmem w wykładniku. Opiera się na tej samej definicji logarytmu a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , ale wzór stosuje się od prawej do lewej, czyli w postaci b=a log a b . Na przykład 3=e ln3 lub 5=5 log 5 5 .

Przejdźmy do wykorzystania właściwości logarytmów do przekształcania wyrażeń.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Decyzja.

W przykładach pod literami a), b) i c) podano wyrażenia log-2 1 , log 1 1 , log 0 1, które nie mają sensu, gdyż podstawa logarytmu nie powinna zawierać liczby ujemnej , zero lub jeden, ponieważ zdefiniowaliśmy logarytm tylko dla dodatniej i niejednostkowej podstawy. Dlatego w przykładach a) - c) nie może być mowy o znalezieniu wartości wyrażenia.

We wszystkich innych zadaniach podstawy logarytmów zawierają oczywiście liczby dodatnie i niejednostkowe odpowiednio 7 , e , 10 , 3,75 i 5 π 7 , a jednostki są wszędzie pod znakami logarytmów. I znamy własność logarytmu jedności: log a 1=0 dla dowolnego a>0 , a≠1 . Zatem wartości wyrażeń b) - f) są równe zeru.

Odpowiedź:

a), b), c) wyrażenia nie mają sensu, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Przykład.

Oblicz: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log -3 (-3) , f) log 1 1 .

Decyzja.

Jasne jest, że musimy użyć własności logarytmu bazy, która odpowiada formule log a a=1 dla a>0 , a≠1 . Rzeczywiście, w zadaniach pod wszystkimi literami liczba pod znakiem logarytmu pokrywa się z jego podstawą. Dlatego chcę od razu powiedzieć, że wartość każdego z podanych wyrażeń wynosi 1 . Nie spiesz się jednak z wnioskami: w zadaniach pod literami a) - d) wartości wyrażeń są naprawdę równe jeden, a w zadaniach e) i f) oryginalne wyrażenia nie mają sensu, więc nie może można powiedzieć, że wartości tych wyrażeń są równe 1.

Odpowiedź:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) wyrażenia nie mają sensu.

Przykład.

Znajdź wartość: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log -10 (-10) 6 .

Decyzja.

Oczywiście pod znakami logarytmów kryją się pewne stopnie podstawy. Na tej podstawie rozumiemy, że właściwość stopnia podstawy jest tutaj użyteczna: log a a p =p, gdzie a>0, a≠1 ip to dowolna liczba rzeczywista. Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy następujące wyniki: a) log 3 3 11 =11 , b) , w) . Czy można zapisać podobną równość dla przykładu pod literą d) postaci log -10 (-10) 6 =6? Nie, nie możesz, ponieważ log -10 (-10) 6 nie ma sensu.

Odpowiedź:

a) log 3 3 11 =11, b) , w) d) wyrażenie nie ma sensu.

Przykład.

Wyraź wyrażenie jako sumę lub różnicę logarytmów w tej samej podstawie: a) , b) , c) log((-5) (-12)) .

Decyzja.

a) Iloczyn znajduje się pod znakiem logarytmu i znamy właściwość logarytmu iloczynu log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . W naszym przypadku liczba w podstawie logarytmu oraz liczby w iloczynie są dodatnie, czyli spełniają warunki wybranej właściwości, dlatego możemy ją bezpiecznie zastosować: .

b) Tutaj używamy własności logarytmu ilorazu , gdzie a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . W naszym przypadku podstawą logarytmu jest liczba dodatnia e, licznik i mianownik π są dodatnie, co oznacza, że ​​spełniają warunki własności, więc mamy prawo zastosować wybraną formułę: .

c) Po pierwsze, zauważ, że wyrażenie lg((−5) (−12)) ma sens. Ale jednocześnie nie mamy prawa stosować wzoru na logarytm iloczynu log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , ponieważ liczby -5 i -12 są ujemne i nie spełniają warunków x>0 , y>0 . Oznacza to, że niemożliwe jest przeprowadzenie takiej transformacji: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Ale co robić? W takich przypadkach oryginalne wyrażenie należy wstępnie przekształcić, aby uniknąć liczb ujemnych. Porozmawiamy szczegółowo o podobnych przypadkach konwersji wyrażeń z liczbami ujemnymi pod znakiem logarytmu w jednym z nich, ale na razie podamy rozwiązanie tego przykładu, które jest z góry jasne i bez wyjaśnienia: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Odpowiedź:

a) , b) , c) Ig((-5) (-12))=Ig5+Ig12.

Przykład.

Uprość wyrażenie: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Decyzja.

Tutaj pomogą nam te same właściwości logarytmu iloczynu i logarytmu ilorazu, których użyliśmy w poprzednich przykładach, tylko teraz zastosujemy je od prawej do lewej. Oznacza to, że przeliczamy sumę logarytmów na logarytm iloczynu, a różnicę logarytmów na logarytm ilorazu. Mamy
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Odpowiedź:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Przykład.

Pozbądź się stopnia pod znakiem logarytmu: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (-5) 6 .

Decyzja.

Łatwo zauważyć, że mamy do czynienia z wyrażeniami typu log a b p . Odpowiednią własnością logarytmu jest log a bp = p log a b , gdzie a>0 , a≠1 , b>0 , p jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oznacza to, że w warunkach a>0 , a≠1 , b>0 z logarytmu stopnia log a bp możemy przejść do iloczynu p·log a b . Przeprowadźmy tę transformację za pomocą podanych wyrażeń.

a) W tym przypadku a=0,7, b=5 i p=11. Więc log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Tutaj warunki a>0 , a≠1 , b>0 są spełnione. Więc

c) Wyrażenie log 3 (-5) 6 ma taką samą strukturę log a bp , a=3 , b=-5 , p=6 . Ale dla b warunek b>0 nie jest spełniony, co uniemożliwia zastosowanie formuły log a bp =p log a b . Więc dlaczego nie możesz wykonać swojej pracy? Jest to możliwe, ale wymagana jest wstępna transformacja wyrażenia, którą szczegółowo omówimy poniżej w akapicie pod nagłówkiem . Rozwiązanie będzie takie: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Odpowiedź:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (-5) 6 = 6 log 3 5 .

Dość często wzór na logarytm stopnia podczas przeprowadzania przekształceń musi być stosowany od prawej do lewej w postaci p log a b \u003d log a b p (wymaga to tych samych warunków dla a, b i p). Na przykład 3 ln5=ln5 3 i lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Przykład.

a) Oblicz wartość log 2 5, jeśli wiadomo, że lg2≈0,3010 i lg5≈0,6990. b) Zapisz ułamek jako logarytm o podstawie 3.

Decyzja.

a) Wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu pozwala nam przedstawić ten logarytm jako stosunek logarytmów dziesiętnych, których wartości są nam znane: . Pozostaje tylko wykonać obliczenia, które mamy .

b) Tutaj wystarczy użyć wzoru na przejście do nowej bazy i zastosować go od prawej do lewej, czyli w formie . dostajemy .

Odpowiedź:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Na tym etapie dość skrupulatnie rozważyliśmy przekształcenie najprostszych wyrażeń przy użyciu podstawowych własności logarytmów i definicji logarytmu. W tych przykładach musieliśmy użyć jednej właściwości i nic więcej. Teraz z czystym sumieniem można przejść do przykładów, których przekształcenie wymaga użycia kilku własności logarytmów i innych dodatkowych przekształceń. Zajmiemy się nimi w następnym akapicie. Ale wcześniej zastanówmy się pokrótce nad przykładami zastosowania konsekwencji z podstawowych własności logarytmów.

Przykład.

a) Pozbądź się korzenia pod znakiem logarytmu. b) Przekształć ułamek na logarytm o podstawie 5. c) Pozbądź się mocy spod znaku logarytmu i u jego podstawy. d) Oblicz wartość wyrażenia . e) Zastąp wyrażenie potęgą o podstawie 3.

Decyzja.

a) Jeśli przypomnimy sobie następstwo z własności logarytmu stopnia , możesz od razu odpowiedzieć: .

b) Tutaj używamy wzoru od prawej do lewej mamy .

c) W tym przypadku formuła prowadzi do wyniku . dostajemy .

d) I tu wystarczy zastosować następstwo, któremu odpowiada formuła . Więc .

e) Własność logarytmu pozwala nam osiągnąć pożądany rezultat: .

Odpowiedź:

a) . b) . w) . G) . mi) .

Konsekwentne stosowanie wielu właściwości

Rzeczywiste zadania przekształcania wyrażeń przy użyciu właściwości logarytmów są zwykle bardziej skomplikowane niż te, z którymi mieliśmy do czynienia w poprzednim akapicie. W nich z reguły wynik nie jest uzyskiwany w jednym kroku, ale rozwiązanie polega już na sekwencyjnym stosowaniu jednej właściwości po drugiej, wraz z dodatkowymi identycznymi przekształceniami, takimi jak otwieranie nawiasów, zmniejszanie wyrazów podobnych, zmniejszanie ułamków itp. . Zbliżmy się więc do takich przykładów. Nie ma w tym nic skomplikowanego, najważniejsze jest ostrożne i konsekwentne działanie, przestrzeganie kolejności wykonywania czynności.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Decyzja.

Różnicę logarytmów w nawiasach o własność logarytmu ilorazu można zastąpić logarytmem log 3 (15:5) , a następnie obliczyć jego wartość log 3 (15:5)=log 3 3=1 . A wartość wyrażenia 7 log 7 5 według definicji logarytmu wynosi 5 . Podstawiając te wyniki do oryginalnego wyrażenia, otrzymujemy (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Oto rozwiązanie bez wyjaśnienia:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5 = 1 5 = 5 .

Odpowiedź:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Przykład.

Jaka jest wartość wyrażenia liczbowego log 3 log 2 2 3 −1 ?

Decyzja.

Przekształćmy najpierw logarytm, który jest pod znakiem logarytmu, zgodnie ze wzorem na logarytm stopnia: log 2 2 3 =3. Czyli log 3 log 2 2 3 = log 3 3 a następnie log 3 3=1 . Czyli log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Odpowiedź:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Przykład.

Uprość wyrażenie.

Decyzja.

Formuła konwersji na nową podstawę logarytmu pozwala na przedstawienie stosunku logarytmów do jednej podstawy jako log 3 5 . W takim przypadku oryginalne wyrażenie przyjmie postać . Z definicji logarytmu 3 log 3 5 =5 , czyli , a wartość otrzymanego wyrażenia, na mocy tej samej definicji logarytmu, jest równa dwa.

Oto krótka wersja rozwiązania, która zwykle jest podawana: .

Odpowiedź:

.

Aby płynnie przejść do informacji z następnego akapitu, spójrzmy na wyrażenia 5 2+log 5 3 i lg0.01 . Ich struktura nie pasuje do żadnej właściwości logarytmów. A co się stanie, jeśli nie można ich przekonwertować za pomocą właściwości logarytmów? Jest to możliwe, jeśli wykonasz wstępne przekształcenia, które przygotowują te wyrażenia do zastosowania własności logarytmów. Więc 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, i lg0,01=lg10 -2 = -2 . Dalej zrozumiemy szczegółowo, jak odbywa się takie przygotowanie wyrażeń.

Przygotowywanie wyrażeń do zastosowania własności logarytmów

Logarytmy w wyrażeniu konwertowanym bardzo często różnią się budową zapisu od lewej i prawej części formuł, które odpowiadają właściwościom logarytmów. Ale równie często przekształcenie tych wyrażeń wiąże się z wykorzystaniem właściwości logarytmów: ich użycie wymaga jedynie wstępnego przygotowania. A to przygotowanie polega na przeprowadzeniu pewnych identycznych przekształceń, które sprowadzają logarytmy do postaci dogodnej do zastosowania właściwości.

Gwoli sprawiedliwości zauważamy, że prawie każda transformacja wyrażeń może działać jako transformacje wstępne, od banalnej redukcji podobnych terminów po użycie formuł trygonometrycznych. Jest to zrozumiałe, ponieważ przekonwertowane wyrażenia mogą zawierać dowolne obiekty matematyczne: nawiasy, moduły, ułamki, pierwiastki, stopnie itp. W związku z tym należy być przygotowanym na wykonanie dowolnej wymaganej transformacji, aby móc dalej korzystać z właściwości logarytmów.

Powiedzmy od razu, że w tym akapicie nie stawiamy sobie za zadanie klasyfikowania i analizowania wszystkich wyobrażalnych przekształceń wstępnych, które pozwolą nam w przyszłości zastosować własności logarytmów lub definicję logarytmu. Tutaj skupimy się tylko na czterech z nich, które są najbardziej charakterystyczne i najczęściej spotykane w praktyce.

A teraz szczegółowo o każdym z nich, po czym w ramach naszego tematu pozostaje tylko zajmować się transformacją wyrażeń ze zmiennymi pod znakami logarytmów.

Dobór potęg pod znakiem logarytmu i w jego podstawie

Zacznijmy od razu od przykładu. Miejmy logarytm. Oczywiście w tej postaci jego struktura nie sprzyja wykorzystywaniu własności logarytmów. Czy można to wyrażenie jakoś przekształcić, aby je uprościć, a nawet lepiej obliczyć jego wartość? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przyjrzyjmy się bliżej liczbom 81 i 1/9 w kontekście naszego przykładu. Łatwo tu zauważyć, że liczby te można przedstawić jako potęgę 3 , w rzeczywistości 81=3 4 i 1/9=3 -2 . W tym przypadku oryginalny logarytm jest prezentowany w postaci i możliwe staje się zastosowanie wzoru . Więc, .

Analiza analizowanego przykładu nasuwa następującą myśl: jeśli to możliwe, można spróbować wyróżnić stopień pod znakiem logarytmu i u jego podstawy, aby zastosować własność logarytmu stopnia lub jego konsekwencji. Pozostaje tylko dowiedzieć się, jak wyróżnić te stopnie. Podamy kilka zaleceń w tej sprawie.

Czasami jest dość oczywiste, że liczba pod znakiem logarytmu i/lub w jego podstawie reprezentuje pewną potęgę całkowitą, jak w przykładzie omówionym powyżej. Prawie ciągle masz do czynienia z potęgami dwóch, które są dobrze znane: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 512=29, 1024=210. To samo można powiedzieć o stopniach trójki: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Ogólnie nie boli, jeśli jest tabela potęg liczb naturalnych w ciągu dziesięciu. Praca z potęgami całkowitymi dziesięciu, stu, tysięcy itd. również nie jest trudna.

Przykład.

Oblicz wartość lub uprość wyrażenie: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Decyzja.

a) Oczywiście 216=6 3 , więc log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Tablica potęg liczb naturalnych pozwala nam przedstawić liczby 343 i 1/243 jako potęgi odpowiednio 7 3 i 3 -4. W związku z tym możliwa jest następująca transformacja danego logarytmu:

c) Skoro 0,000001=10 -6 i 0,001=10 -3, to log 0,000001 0,001=log 10 -6 10 -3 =(-3)/(-6)=1/2.

Odpowiedź:

a) log 6 216=3, b) c) log 0,000001 0,001 = 1/2.

W bardziej skomplikowanych przypadkach, aby podkreślić potęgę liczb, trzeba się do nich odwołać.

Przykład.

Zmień wyrażenie na prostszą formę log 3 648 log 2 3 .

Decyzja.

Zobaczmy, jaki jest rozkład liczby 648 na czynniki pierwsze:

Czyli 648=2 3 3 4 . Zatem, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Teraz przeliczamy logarytm iloczynu na sumę logarytmów, po czym stosujemy własności logarytmu stopnia:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Na mocy następstwa własności logarytmu stopnia, który odpowiada formule , produkt log32 log23 to produkt i wiadomo, że jest równy jeden. Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Odpowiedź:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Dość często wyrażenia pod znakiem logarytmu iw jego podstawie są iloczynami lub stosunkami pierwiastków i/lub potęg niektórych liczb, np. , . Podobne wyrażenia można przedstawić jako stopień. Aby to zrobić, przeprowadza się przejście od korzeni do stopni i stosuje się je. Przekształcenia te pozwalają wybrać stopnie pod znakiem logarytmu iw jego podstawie, a następnie zastosować właściwości logarytmów.

Przykład.

Oblicz: a) , b).

Decyzja.

a) Wyrażenie o podstawie logarytmu jest iloczynem potęg o tych samych podstawach, przez odpowiednią własność potęg, które mamy 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Przeliczmy teraz ułamek pod znakiem logarytmu: przejdźmy od pierwiastka do stopnia, po czym użyjemy własności stosunku stopni o tych samych podstawach: .

Pozostaje zamienić uzyskane wyniki na oryginalne wyrażenie, użyj wzoru i zakończ transformację:

b) Ponieważ 729=3 6 i 1/9=3 -2 , oryginalne wyrażenie można przepisać jako .

Następnie zastosuj własność pierwiastka wykładnika, przejdź od pierwiastka do wykładnika i użyj własności ilorazu potęg do przekształcenia podstawy logarytmu na potęgę: .

Biorąc pod uwagę ostatni wynik, mamy .

Odpowiedź:

a) , b).

Jasne jest, że w ogólnym przypadku, aby uzyskać uprawnienia pod znakiem logarytmu i jego podstawy, mogą być wymagane różne przekształcenia różnych wyrażeń. Podajmy kilka przykładów.

Przykład.

Jaka jest wartość wyrażenia: a) , b) .

Decyzja.

Dalej zauważamy, że dane wyrażenie ma postać log A B p , gdzie A=2 , B=x+1 i p=4 . Przekształciliśmy tego rodzaju wyrażenia liczbowe zgodnie z właściwością logarytmu stopnia log a b p \u003d p log a b, dlatego przy danym wyrażeniu chcę zrobić to samo i przejść od log 2 (x + 1) 4 do 4 log 2 (x + 1). A teraz obliczmy wartość oryginalnego wyrażenia i wyrażenia otrzymanego po przekształceniu, na przykład z x=−2 . Mamy log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 i 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- bezsensowna ekspresja. Rodzi to uzasadnione pytanie: „Co zrobiliśmy źle”?

A powód jest następujący: wykonaliśmy przekształcenie log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , na podstawie wzoru log a b p = p log a b , ale mamy prawo stosować tylko ten wzór jeśli warunki a >0 , a≠1 , b>0 , p - dowolna liczba rzeczywista. Oznacza to, że dokonana przez nas transformacja zachodzi, jeśli x+1>0 , czyli to samo x>−1 (dla A i p warunki są spełnione). Jednak w naszym przypadku ODZ zmiennej x dla pierwotnego wyrażenia składa się nie tylko z przedziału x> −1 , ale również z przedziału x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Konieczność uwzględnienia ODZ

Kontynuujmy analizę transformacji wybranego wyrażenia log 2 (x+1) 4, a teraz zobaczmy, co dzieje się z ODZ po przejściu do wyrażenia 4 log 2 (x+1) . W poprzednim akapicie znaleźliśmy ODZ oryginalnego wyrażenia - jest to zbiór (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Znajdźmy teraz obszar dopuszczalnych wartości zmiennej x dla wyrażenia 4 log 2 (x+1) . Jest to określone przez warunek x+1>0 , który odpowiada zbiorowi (−1, +∞) . Oczywistym jest, że przechodząc od log 2 (x+1) 4 do 4·log 2 (x+1) zakres dopuszczalnych wartości zawęża się. I zgodziliśmy się uniknąć reform, które prowadzą do zawężenia ODZ, ponieważ może to prowadzić do różnych negatywnych konsekwencji.

Tutaj warto dla siebie zauważyć, że warto kontrolować ODZ na każdym etapie transformacji i nie dopuszczać do jej zawężania. A jeśli nagle na jakimś etapie transformacji nastąpiło zawężenie ODZ, to warto bardzo dokładnie przyjrzeć się, czy ta transformacja jest dopuszczalna i czy mieliśmy prawo ją przeprowadzić.

Uczciwie mówimy, że w praktyce zwykle musimy pracować z wyrażeniami, w których ODZ zmiennych jest taka, że ​​pozwala nam bez ograniczeń korzystać z własności logarytmów w znanej nam już postaci, zarówno od lewej do prawej, jak i od od prawej do lewej podczas przeprowadzania transformacji. Szybko się do tego przyzwyczajasz i przekształcenia zaczynasz przeprowadzać mechanicznie, nie zastanawiając się, czy było to możliwe. I w takich momentach, jak miałby szczęście, przemykają się bardziej złożone przykłady, w których niedokładne zastosowanie własności logarytmów prowadzi do błędów. Musisz więc zawsze być w pogotowiu i upewnić się, że nie ma zwężenia ODZ.

Nie zaszkodzi osobno podkreślić główne przekształcenia oparte na właściwościach logarytmów, które należy przeprowadzić bardzo ostrożnie, co może prowadzić do zwężenia DPV, a w rezultacie do błędów:

Niektóre przekształcenia wyrażeń zgodnie z właściwościami logarytmów mogą również prowadzić do czegoś przeciwnego - rozszerzenia ODZ. Na przykład przejście od 4 log 2 (x+1) do log 2 (x+1) 4 rozszerza ODZ ze zbioru (−1, +∞) do (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Takie przekształcenia mają miejsce, jeśli pozostaniesz w ODZ dla oryginalnego wyrażenia. Zatem wspomniana transformacja 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 odbywa się na zmiennej ODZ x dla oryginalnego wyrażenia 4 log 2 (x+1) , czyli gdy x+1> 0 , czyli to samo co (−1, +∞) .

Teraz, gdy omówiliśmy niuanse, na które należy zwrócić uwagę podczas konwersji wyrażeń ze zmiennymi przy użyciu właściwości logarytmów, pozostaje dowiedzieć się, jak te konwersje powinny być przeprowadzane poprawnie.

X+2>0 . Czy to działa w naszym przypadku? Aby odpowiedzieć na to pytanie, spójrzmy na DPV zmiennej x. Decyduje o tym system nierówności , który jest równoważny warunku x+2>0 (jeśli to konieczne, zobacz artykuł rozwiązywanie systemów nierówności). W ten sposób możemy bezpiecznie zastosować własność logarytmu stopnia.

Mamy
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Możesz działać inaczej, ponieważ ODZ pozwala to zrobić, na przykład tak:

Odpowiedź:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

A co zrobić, gdy warunki związane z właściwościami logarytmów nie są spełnione na ODZ? Zajmiemy się tym na przykładach.

Musimy uprościć wyrażenie lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Przekształcenie tego wyrażenia, w przeciwieństwie do wyrażenia z poprzedniego przykładu, nie pozwala na swobodne korzystanie z własności logarytmu stopnia. Czemu? ODZ zmiennej x w tym przypadku jest sumą dwóch przedziałów x>−2 i x<−2 . При x>-2 możemy bezpiecznie zastosować własność logarytmu stopnia i postępować jak w powyższym przykładzie: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ale ODZ zawiera kolejny przedział x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 i dalej, ze względu na właściwości mocy lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Otrzymane wyrażenie można przekształcić zgodnie z właściwością logarytmu stopnia, ponieważ |x+2|>0 dla dowolnych wartości zmiennej. Mamy log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Teraz możesz pozbyć się modułu, ponieważ wykonał swoje zadanie. Ponieważ przekształcamy w x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Rozważmy jeszcze jeden przykład, który przybliży nam pracę z modułami. Pomyślmy z wyrażenia przejść do sumy i różnicy logarytmów dwumianów liniowych x−1 , x−2 i x−3 . Najpierw znajdujemy ODZ:

Na przedziale (3, +∞) wartości wyrażeń x−1 , x−2 i x−3 są dodatnie, więc możemy bezpiecznie zastosować własności logarytmu sumy i różnicy:

A na przedziale (1, 2) wartości wyrażenia x−1 są dodatnie, a wartości wyrażeń x−2 i x−3 są ujemne. Dlatego na rozważanym przedziale reprezentujemy x−2 i x−3 za pomocą modulo jako −|x−2| oraz −|x−3| odpowiednio. W której

Teraz możemy zastosować własności logarytmu iloczynu i ilorazu, ponieważ na rozważanym przedziale (1, 2) wartości wyrażeń x−1 , |x−2| i |x−3| - pozytywne.

Mamy

Otrzymane wyniki można łączyć:

Ogólnie rzecz biorąc, podobne rozumowanie pozwala, na podstawie wzorów na logarytm iloczynu, stosunku i stopnia, uzyskać trzy praktycznie użyteczne wyniki, które są dość wygodne w użyciu:

• Logarytm iloczynu dwóch dowolnych wyrażeń X i Y postaci log a (X·Y) można zastąpić sumą logarytmów log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Specjalny logarytm log a (X:Y) można zastąpić różnicą logarytmów log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X i Y są dowolnymi wyrażeniami.
• Z logarytmu jakiegoś wyrażenia B do potęgi parzystej p postaci log a B p można przejść do wyrażenia p log a |B| , gdzie a>0 , a≠1 , p jest liczbą parzystą, a B jest dowolnym wyrażeniem.

Podobne wyniki podaje na przykład instrukcja rozwiązywania równań wykładniczych i logarytmicznych w zbiorze problemów matematycznych dla kandydatów na uniwersytety pod redakcją M. I. Skanavi.

Przykład.

Uprość wyrażenie .

Decyzja.

Dobrze byłoby zastosować własności logarytmu stopnia, sumy i różnicy. Ale czy możemy to zrobić tutaj? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy znać ODZ.

Zdefiniujmy to:

Jest całkiem oczywiste, że wyrażenia x+4 , x−2 i (x+4)13 na zakres możliwych wartości zmiennej x mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Dlatego będziemy musieli przejść przez moduły.

Właściwości modułu pozwalają na przepisanie jako , więc

Nic też nie stoi na przeszkodzie, aby skorzystać z własności logarytmu stopnia, a następnie wnieść podobne wyrażenia:

Kolejna sekwencja przekształceń prowadzi do tego samego wyniku:

a ponieważ wyrażenie x−2 może przyjmować zarówno dodatnie, jak i ujemne wartości na ODZ, przyjmując parzysty wykładnik 14

Nadal badamy logarytmy. W tym artykule porozmawiamy obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zajmiemy się obliczaniem logarytmów z definicji. Następnie zastanów się, w jaki sposób można znaleźć wartości logarytmów za pomocą ich właściwości. Następnie zajmiemy się obliczaniem logarytmów przez początkowo podane wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmicznych. Cała teoria opatrzona jest przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie logarytmów z definicji

W najprostszych przypadkach możliwe jest szybkie i łatwe wykonanie znajdowanie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak przebiega ten proces.

Jego istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c , stąd z definicji logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że znalezienie logarytmu z definicji odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c .

Tak więc obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia takiej liczby c, że a c \u003d b, a sama liczba c jest pożądaną wartością logarytmu.

Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczba pod znakiem logarytmu jest podana w pewnym stopniu podstawy logarytmu, to można od razu wskazać, ile jest równy logarytmowi - jest równy wykładnikowi. Pokażmy przykłady.

Przykład.

Znajdź log 2 2 -3 , a także oblicz logarytm naturalny e 5.3 .

Decyzja.

Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 = −3 . Rzeczywiście, liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi -3.

Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 = 5,3.

Odpowiedź:

log 2 2 -3 = -3 i lne 5,3 = 5,3 .

Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest podana jako potęga podstawy logarytmu, to trzeba się zastanowić, czy możliwe jest przedstawienie liczby b w postaci a c . Często ta reprezentacja jest dość oczywista, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1 lub 2 lub 3, ...

Przykład.

Oblicz logarytmy log 5 25 i .

Decyzja.

Łatwo zauważyć, że 25=5 2 , to pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Przechodzimy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę 7: (patrz, jeśli to konieczne). Stąd, .

Zapiszmy trzeci logarytm w następującej postaci. Teraz możesz to zobaczyć , skąd wnioskujemy, że . Dlatego zgodnie z definicją logarytmu .

Krótko mówiąc, rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź:

log 5 25=2 , oraz .

Gdy pod znakiem logarytmu znajduje się dostatecznie duża liczba naturalna, nie zaszkodzi rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawić taką liczbę jako pewną potęgę podstawy logarytmu, a zatem obliczyć ten logarytm z definicji.

Przykład.

Znajdź wartość logarytmu.

Decyzja.

Niektóre właściwości logarytmów pozwalają na natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Własności te obejmują własność logarytmu jedności i własność logarytmu liczby o podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . To znaczy, gdy liczba 1 lub liczba a jest pod znakiem logarytmu, równa podstawie logarytmu, to w tych przypadkach logarytmy wynoszą odpowiednio 0 i 1.

Przykład.

Jakie są logarytmy i lg10 ?

Decyzja.

Ponieważ wynika to z definicji logarytmu .

W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się ze swoją podstawą, więc logarytm dziesiętny liczby dziesięć jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1 .

Odpowiedź:

I lg10=1 .

Zauważ, że obliczanie logarytmów z definicji (które omówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p =p , który jest jedną z właściwości logarytmów.

W praktyce, gdy liczbę pod logarytmem i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę pewnej liczby, bardzo wygodnie jest zastosować wzór , co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Rozważmy przykład znajdowania logarytmu, ilustrujący użycie tego wzoru.

Przykład.

Oblicz logarytm z .

Decyzja.

Odpowiedź:

.

W obliczeniach wykorzystywane są również właściwości logarytmów, które nie zostały wymienione powyżej, ale omówimy to w kolejnych akapitach.

Znajdowanie logarytmów pod względem innych znanych logarytmów

Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów w ich obliczeniach. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów są używane do wyrażenia pierwotnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Weźmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1.584963 , wtedy możemy znaleźć na przykład log 2 6 wykonując małą transformację przy użyciu własności logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej trzeba korzystać z szerszego arsenału własności logarytmów, aby obliczyć oryginalny logarytm w kategoriach podanych.

Przykład.

Oblicz logarytm z 27 do podstawy 60, jeśli wiadomo, że log 60 2=a i log 60 5=b .

Decyzja.

Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27=3 3 , a pierwotny logarytm, ze względu na własność logarytmu stopnia, można zapisać jako 3·log 60 3 .

Zobaczmy teraz, jak log 60 3 można wyrazić w postaci znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala na zapisanie logarytmu równości 60 60=1 . Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Na koniec obliczamy oryginalny logarytm: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odpowiedź:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Oddzielnie warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci . Pozwala na przejście od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub można je znaleźć. Zwykle od pierwotnego logarytmu, zgodnie ze wzorem przejścia, przełączają się na logarytmy w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tablice logarytmów, które pozwalają na obliczenie ich wartości z pewnym stopniem dokładności. W następnej sekcji pokażemy, jak to się robi.

Tablice logarytmów, ich zastosowanie

Do przybliżonego obliczenia wartości logarytmów można użyć tablice logarytmiczne. Najczęściej używane są tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmów naturalnych i tablica logarytmów dziesiętnych. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest używać tabeli logarytmów o podstawie dziesiątej. Z jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.

Przedstawiona tabela pozwala z dokładnością do jednej dziesięciotysięcznej znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1.000 do 9.999 (z trzema miejscami po przecinku). Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych na konkretnym przykładzie - jest jaśniejszy. Znajdźmy lg1,256 .

W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy dwie pierwsze cyfry liczby 1,256, czyli znajdujemy 1,2 (dla jasności ta liczba jest zakreślona na niebiesko). Trzecia cyfra liczby 1.256 (liczba 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnej linii (liczba ta jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra oryginalnej liczby 1.256 (liczba 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnej linii (liczba ta jest zakreślona na zielono). Teraz odnajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone na pomarańczowo). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Czy za pomocą powyższej tabeli można znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także wykraczają poza granice od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Obliczmy lg102.76332 . Najpierw musisz napisać numer w formie standardowej: 102,76332 = 1,0276332 10 2 . Następnie mantysę należy zaokrąglić do trzeciego miejsca po przecinku, mamy 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi z liczby wynikowej, czyli bierzemy lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Teraz zastosuj właściwości logarytmu: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Na koniec znajdujemy wartość logarytmu lg1.028 zgodnie z tablicą logarytmów dziesiętnych lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda tak: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy użyć wzoru przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.

Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tablicy logarytmów dziesiętnych znajdujemy lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Zatem, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Teraz przyjrzymy się transformacji wyrażeń zawierających logarytmy z ogólnego punktu widzenia. Tutaj przeanalizujemy nie tylko transformację wyrażeń przy użyciu właściwości logarytmów, ale rozważymy transformację wyrażeń z logarytmami ogólnymi, które zawierają nie tylko logarytmy, ale także potęgi, ułamki, pierwiastki itp. Jak zwykle wszystkie materiały dostarczymy z charakterystycznymi przykładami ze szczegółowymi opisami rozwiązań.

Nawigacja po stronach.

Wyrażenia z logarytmami i wyrażenia logarytmiczne

Wykonywanie akcji z ułamkami

W poprzednim akapicie zbadaliśmy główne przekształcenia, które są przeprowadzane na poszczególnych ułamkach zawierających logarytmy. Te przekształcenia można oczywiście przeprowadzić z każdym pojedynczym ułamkiem, który jest częścią bardziej złożonego wyrażenia, na przykład reprezentującego sumę, różnicę, iloczyn i iloraz podobnych ułamków. Ale oprócz pracy z poszczególnymi ułamkami, przekształcenie tego rodzaju wyrażeń często wiąże się z wykonywaniem odpowiednich działań na ułamkach. Następnie rozważymy zasady, według których przeprowadzane są te działania.

Od klas 5-6 znamy zasady, według których . W artykule ogólny widok operacji na ułamkach rozszerzyliśmy te reguły ze zwykłych ułamków do ułamków ogólnej postaci A/B , gdzie A i B to pewne liczbowe, dosłowne lub wyrażenia ze zmiennymi, a B jest identycznie niezerowe. Jasne jest, że ułamki z logarytmami są szczególnymi przypadkami ułamków ogólnych. I pod tym względem jasne jest, że akcje z ułamkami zawierającymi logarytmy w swoich zapisach są przeprowadzane zgodnie z tymi samymi zasadami. Mianowicie:

• Aby dodać lub odjąć dwa ułamki o tych samych mianownikach, dodaj lub odejmij odpowiednio liczniki i pozostaw mianownik bez zmian.
• Aby dodać lub odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach, musisz zbliżyć je do wspólnego mianownika i wykonać odpowiednie czynności zgodnie z poprzednią zasadą.
• Aby pomnożyć dwa ułamki, musisz napisać ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników pierwotnych ułamków, a mianownik jest iloczynem mianowników.
• Aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć ułamek podzielny przez odwrotność dzielnika, czyli przez ułamek z przestawionymi licznikiem i mianownikiem.

Oto kilka przykładów wykonywania akcji na ułamkach zawierających logarytmy.

Przykład.

Wykonuj akcje z ułamkami zawierającymi logarytmy: a), b) , w) , G) .

Decyzja.

a) Mianowniki dodanych frakcji są oczywiście takie same. Dlatego zgodnie z zasadą dodawania ułamków o tych samych mianownikach dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian: .

b) Tutaj mianowniki są różne. Dlatego najpierw potrzebujesz doprowadź ułamki do tego samego mianownika. W naszym przypadku mianowniki są już przedstawione jako iloczyny i pozostaje nam wziąć mianownik pierwszego ułamka i dodać do niego brakujące czynniki z mianownika drugiego ułamka. Czyli otrzymujemy wspólny mianownik formy . W tym przypadku odejmowane ułamki są redukowane do wspólnego mianownika za pomocą dodatkowych współczynników w postaci odpowiednio logarytmu i wyrażenia x 2 ·(x+1). Następnie pozostaje odjąć ułamki o tych samych mianownikach, co nie jest trudne.

Rozwiązaniem jest więc:

c) Wiadomo, że wynikiem mnożenia ułamków jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników, zatem

Łatwo zauważyć, że da się redukcja frakcji przez dwa i przez logarytm dziesiętny, w wyniku mamy .

d) Przechodzimy od dzielenia ułamków do mnożenia, zastępując dzielnik ułamka jego odwrotnością. Więc

Licznik otrzymanego ułamka można przedstawić jako , z którego wyraźnie widać wspólny dzielnik licznika i mianownika - czynnik x, można o niego pomniejszyć ułamek:

Odpowiedź:

a), b) , w) , G) .

Należy pamiętać, że akcje z ułamkami są wykonywane z uwzględnieniem kolejności wykonywania akcji: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie, a jeśli są nawiasy, to najpierw wykonywane są akcje w nawiasach.

Przykład.

Wykonuj akcje z ułamkami .

Decyzja.

Najpierw wykonujemy dodawanie ułamków w nawiasach, po czym wykonujemy mnożenie:

Odpowiedź:

W tym momencie pozostaje powiedzieć głośno trzy dość oczywiste, ale jednocześnie ważne punkty:

Konwersja wyrażeń przy użyciu własności logarytmów

Najczęściej transformacja wyrażeń logarytmami polega na użyciu tożsamości wyrażających definicję logarytmu i

Wyrażenia logarytmiczne, rozwiązanie przykładów. W tym artykule rozważymy problemy związane z rozwiązywaniem logarytmów. Zadania podnoszą kwestię znalezienia wartości wyrażenia. Należy zauważyć, że pojęcie logarytmu jest używane w wielu zadaniach i niezwykle ważne jest zrozumienie jego znaczenia. Jeśli chodzi o USE, logarytm jest używany w rozwiązywaniu równań, w problemach stosowanych, a także w zadaniach związanych z badaniem funkcji.

Oto przykłady pozwalające zrozumieć samo znaczenie logarytmu:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Własności logarytmów, o których zawsze trzeba pamiętać:

*Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

* * *

* Logarytm ilorazu (ułamka) jest równy różnicy logarytmów czynników.

* * *

* Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu jego podstawy.

* * *

*Przejście do nowej bazy

* * *

Więcej właściwości:

* * *

Obliczanie logarytmów jest ściśle związane z używaniem właściwości wykładników.

Wymieniamy niektóre z nich:

Istotą tej własności jest to, że przy przenoszeniu licznika do mianownika i odwrotnie, znak wykładnika zmienia się na przeciwny. Na przykład:

Konsekwencja tej właściwości:

* * *

Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, ale wykładniki są mnożone.

* * *

Jak widać, sama koncepcja logarytmu jest prosta. Najważniejsze, że potrzebna jest dobra praktyka, która daje pewną umiejętność. Z pewnością znajomość formuł jest obowiązkowa. Jeśli nie wykształci się umiejętność przeliczania elementarnych logarytmów, to przy rozwiązywaniu prostych zadań można łatwo popełnić błąd.

Ćwicz, najpierw rozwiąż najprostsze przykłady z kursu matematyki, a następnie przejdź do bardziej złożonych. W przyszłości na pewno pokażę, jak rozwiązywane są „brzydkie” logarytmy, takich na egzaminie nie będzie, ale są ciekawe, nie przegap tego!

To wszystko! Powodzenia!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

wywodzi się z jego definicji. A więc logarytm liczby b z powodu a zdefiniowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a zdobyć numer b(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenia x=log a b, jest równoważne rozwiązaniu równania topór=b. Na przykład, log 2 8 = 3 ponieważ 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=a c, to logarytm liczby b z powodu a równa się z. Jasne jest również, że temat logarytmu jest ściśle związany z tematem potęgi liczby.

Z logarytmami, tak jak z dowolnymi liczbami, możesz wykonać operacje dodawania, odejmowania i przekształcać się w każdy możliwy sposób. Ale biorąc pod uwagę fakt, że logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, które są nazywane podstawowe właściwości.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

Weź dwa logarytmy o tej samej podstawie: log x oraz zaloguj się. Następnie usuń możliwe jest wykonywanie operacji dodawania i odejmowania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

zaloguj się(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + zaloguj a x k.

Od twierdzenia o logarytmie ilorazowym można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Powszechnie wiadomo, że log a 1= 0, zatem

dziennik a 1 /b= log a 1 - log b= -log b.

Więc jest równość:

log a 1 / b = - log a b.

Logarytmy dwóch wzajemnie odwrotnych liczb na tej samej podstawie będą się różnić od siebie jedynie znakiem. Więc:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.