Определение 1

Скаларното произведение на векторите се нарича число, равно на произведението на дините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях.

Записването на произведението на вектори a → и b → има формата a → , b → . Нека преобразуваме във формулата:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → и b → означават дължините на векторите, a → , b → ^ означават ъгъла между дадените вектори. Ако поне един вектор е нула, тоест има стойност 0, тогава резултатът ще бъде нула, a → , b → = 0

Когато умножаваме вектор сам по себе си, получаваме квадрата на неговата дина:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Определение 2

Скаларното умножение на вектор сам по себе си се нарича скаларен квадрат.

Изчислено по формулата:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Записването на a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → показва, че n p b → a → е числова проекция на a → върху b → , n p a → a → - проекция на b → съответно върху a →.

Формулираме дефиницията на продукта за два вектора:

Скаларното произведение на два вектора a → по b → се нарича произведението на дължината на вектора a → от проекцията на b → по посока a → или произведението на дължината на b → от проекцията на a →, съответно.

Точков продукт в координати

Изчисляването на скаларния продукт може да се извърши чрез координатите на векторите в дадена равнина или в пространството.

Скаларното произведение на два вектора в равнина в триизмерно пространство се нарича сума от координатите на дадените вектори a → и b → .

При изчисляване на равнината на точковото произведение на дадени вектори a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) в декартовата система, използвайте:

a → , b → = a x b x + a y b y,

за триизмерно пространство е приложим изразът:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Всъщност това е третото определение на точковия продукт.

Нека го докажем.

Доказателство 1

За да го докажем, използваме a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y за вектори a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) на декартова система.

Векторите трябва да бъдат отложени

O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .

Тогава дължината на вектора A B → ще бъде равна на A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Да разгледаме триъгълник O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) е вярно, въз основа на косинусовата теорема.

По условие може да се види, че O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , така че пишем формулата за намиране на ъгъла между векторите по различен начин

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Тогава от първото определение следва, че b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , така че (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Прилагайки формулата за изчисляване на дължината на векторите, получаваме:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Нека докажем равенствата:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– съответно за вектори на триизмерно пространство.

Скаларното произведение на вектори с координати казва, че скаларният квадрат на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати в пространството и съответно в равнината. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) и (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Точков продукт и неговите свойства

Има свойства на точков продукт, които се прилагат за a → , b → и c → :

1. комутативност (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. дистрибутивност (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , в →) ;
3. асоциативно свойство (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - произволно число;
4. скаларният квадрат винаги е по-голям от нула (a → , a →) ≥ 0 , където (a → , a →) = 0, когато a → нула.

Пример 1

Свойствата се обясняват с определението на точковото произведение в равнината и със свойствата на събиране и умножение на реални числа.

Докажете свойството на комутативност (a → , b →) = (b → , a →) . От дефиницията имаме, че (a → , b →) = a y b y + a y b y и (b → , a →) = b x a x + b y a y .

По свойството на комутативност равенствата a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y са верни, така че a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

От това следва, че (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Дистрибутивността е валидна за всякакви числа:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

и (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

следователно имаме

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Точков продукт с примери и решения

Всеки проблем на такъв план се решава с помощта на свойствата и формулите относно скаларния продукт:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y или (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Нека разгледаме някои примери за решения.

Пример 2

Дължината на a → е 3, дължината на b → е 7. Намерете точковото произведение, ако ъгълът е 60 градуса.

Решение

По условие имаме всички данни, така че изчисляваме по формулата:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Отговор: (a → , b →) = 21 2 .

Пример 3

Дадени вектори a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Какво е скаларното произведение.

Решение

В този пример се разглежда формулата за изчисляване на координатите, тъй като те са посочени в формулировката на проблема:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Отговор: (a → , b →) = - 9

Пример 4

Намерете вътрешното произведение на A B → и A C → . В координатната равнина са дадени точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Решение

Като начало се изчисляват координатите на векторите, тъй като координатите на точките са дадени от условие:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Замествайки във формулата с помощта на координати, получаваме:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Отговор: (A B → , A C →) = 28 .

Пример 5

Дадени вектори a → = 7 m → + 3 n → и b → = 5 m → + 8 n → , намерете тяхното произведение. m → е равно на 3 и n → е равно на 2 единици, те са перпендикулярни.

Решение

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Прилагайки разпределителното свойство, получаваме:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Изваждаме коефициента извън знака на произведението и получаваме:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Чрез свойството на комутативност преобразуваме:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

В резултат на това получаваме:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Сега прилагаме формулата за скаларното произведение с ъгъла, определен от условието:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Отговор: (a → , b →) = 411

Ако има числова проекция.

Пример 6

Намерете вътрешното произведение на a → и b → . Векторът a → има координати a → = (9 , 3 , - 3) , проекцията b → има координати (- 3 , - 1 , 1) .

Решение

По условие векторите a → и проекцията b → са противоположно насочени, тъй като a → = - 1 3 n p a → b → → , така че проекцията b → съответства на дължината n p a → b → → , а с „-“ знак:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Замествайки във формулата, получаваме израза:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Отговор: (a → , b →) = - 33 .

Задачи с известно скаларен продукт, при които е необходимо да се намери дължината на вектор или числова проекция.

Пример 7

Каква стойност трябва да вземе λ за даден скаларен продукт a → \u003d (1, 0, λ + 1) и b → \u003d (λ, 1, λ) ще бъде равен на -1.

Решение

От формулата се вижда, че е необходимо да се намери сумата от произведенията на координатите:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

В дадено имаме (a → , b →) = - 1 .

За да намерим λ , изчисляваме уравнението:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , следователно λ = - 1 .

Отговор: λ = - 1 .

Физическото значение на скаларното произведение

Механиката разглежда приложението на точковия продукт.

Когато работите A с постоянна сила F → движещо се тяло от точка M до N, можете да намерите произведението на дължините на векторите F → и M N → с косинуса на ъгъла между тях, което означава, че работата е равна към произведението на векторите на силата и преместването:

A = (F → , M N →) .

Пример 8

Преместването на материална точка с 3 метра под действието на сила, равна на 5 Nton, е насочена под ъгъл от 45 градуса спрямо оста. Намери си .

Решение

Тъй като работата е продукт на вектора на силата и преместването, тогава въз основа на условието F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 °, получаваме A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Отговор: A = 15 2 2 .

Пример 9

Материалната точка, движеща се от M (2, - 1, - 3) до N (5, 3 λ - 2, 4) под силата F → = (3, 1, 2), работи, равна на 13 J. Изчислете дължината на движението.

Решение

За дадени координати на вектора M N → имаме M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

По формулата за намиране на работа с вектори F → ​​= (3 , 1 , 2) и M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) получаваме A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

По условие се дава, че A = 13 J, което означава 22 + 3 λ \u003d 13. Това означава λ = - 3 , следователно M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

За да намерим дължината на движение M N → , прилагаме формулата и заместваме стойностите:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Отговор: 158 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Лекция: Векторни координати; точково произведение на вектори; ъгъл между векторите

Векторни координати

И така, както беше споменато по-рано, векторът е насочен сегмент, който има собствено начало и край. Ако началото и краят са представени от някои точки, тогава те имат свои собствени координати в равнината или в пространството.

Ако всяка точка има свои собствени координати, тогава можем да получим координатите на целия вектор.

Да предположим, че имаме вектор, чието начало и край на вектора имат следните обозначения и координати: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)

За да получите координатите на този вектор, е необходимо да извадите съответните начални координати от координатите на края на вектора:

За да определите координатите на вектор в пространството, използвайте следната формула:

Точково произведение на вектори

Има два начина за дефиниране на концепцията за точков продукт:

• Геометричен начин. Според него скаларният продукт е равен на произведението от стойностите на тези модули и косинуса на ъгъла между тях.

• алгебрично значение. От гледна точка на алгебрата, скаларното произведение на два вектора е определена стойност, която е резултат от сбора на произведенията на съответните вектори.

Ако векторите са дадени в пространство, тогава трябва да използвате подобна формула:

Имоти:

• Ако умножите два еднакви вектора скаларно, тогава техният скаларен продукт ще бъде неотрицателен:

• Ако скаларното произведение на два еднакви вектора се окаже равно на нула, тогава тези вектори се считат за нула:

• Ако определен вектор се умножи сам по себе си, тогава скаларното произведение ще бъде равно на квадрата на неговия модул:

• Скаларният продукт има комуникативно свойство, тоест скаларният продукт няма да се промени от пермутация на вектори:

• Скаларното произведение на ненулеви вектори може да бъде нула само ако векторите са перпендикулярни един на друг:

• За скаларното произведение на векторите комутативният закон е валиден в случай на умножение на един от векторите по число:

• С точково произведение можете също да използвате разпределителното свойство на умножението:

Ъгъл между векторите

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Ако в задачата както дължините на векторите, така и ъгъла между тях са представени „на сребърен поднос“, тогава условието на задачата и нейното решение изглеждат така:

Пример 1Дадени са вектори. Намерете скаларното произведение на векторите, ако техните дължини и ъгълът между тях са представени от следните стойности:

Валидна е и друга дефиниция, която е напълно еквивалентна на дефиниция 1.

Определение 2. Скаларното произведение на векторите е число (скалар), равно на произведението на дължината на един от тези вектори и проекцията на друг вектор върху оста, определена от първия от тези вектори. Формула според дефиниция 2:

Ще решим проблема, използвайки тази формула след следващия важен теоретичен момент.

Дефиниране на скаларното произведение на векторите по координати

Същото число може да се получи, ако умножените вектори са дадени по техните координати.

Определение 3.Точковото произведение на векторите е числото, равно на сбора от двойните произведения на съответните им координати.

На повърхността

Ако два вектора и в равнината са определени от техните два Декартови координати

тогава точковото произведение на тези вектори е равно на сумата от двойните произведения на съответните им координати:

.

Пример 2Намерете числовата стойност на проекцията на вектора върху оста, успоредна на вектора.

Решение. Намираме скаларното произведение на векторите, като добавим двойните произведения на техните координати:

Сега трябва да приравним получения скаларен продукт към произведението на дължината на вектора и проекцията на вектора върху ос, успоредна на вектора (в съответствие с формулата).

Намираме дължината на вектора като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати:

.

Напишете уравнение и го решете:

Отговор. Желаната числова стойност е минус 8.

В космоса

Ако два вектора и в пространството са определени от техните три декартови правоъгълни координати

,

тогава скаларното произведение на тези вектори също е равно на сумата от двойните произведения на съответните им координати, само че вече има три координати:

.

Задачата за намиране на скаларното произведение по разглеждания начин е след анализиране на свойствата на скаларното произведение. Защото в задачата ще е необходимо да се определи какъв ъгъл образуват умножените вектори.

Свойства на точковото произведение на векторите

Алгебрични свойства

1. (комутативно свойство: стойността на техния скаларен продукт не се променя от промяна на местата на умножените вектори).

2. (асоциативно свойство по отношение на числов фактор: скаларното произведение на вектор, умножено по някакъв фактор и друг вектор, е равно на скаларното произведение на тези вектори, умножено по същия фактор).

3. (разпределително свойство по отношение на сумата от вектори: скаларното произведение на сбора на два вектора по третия вектор е равно на сумата от скаларните произведения на първия вектор по третия вектор и втория вектор по третия вектор).

4. (скаларен квадрат на вектор, по-голям от нула) if е ненулев вектор и , if е нулев вектор.

Геометрични свойства

В определенията на изследваната операция вече засегнахме понятието ъгъл между два вектора. Време е да изясним тази концепция.

На фигурата по-горе се виждат два вектора, които са доведени до общо начало. И първото нещо, на което трябва да обърнете внимание: има два ъгъла между тези вектори - φ 1 и φ 2 . Кой от тези ъгли фигурира в определенията и свойствата на скаларното произведение на векторите? Сборът от разглежданите ъгли е 2 π и следователно косинусите на тези ъгли са равни. Дефиницията на точковото произведение включва само косинус на ъгъла, а не стойността на неговия израз. Но само един ъгъл се разглежда в имотите. И това е единият от двата ъгъла, който не надвишава π тоест 180 градуса. Този ъгъл е показан на фигурата като φ 1 .

1. Извикват се два вектора ортогонална и ъгълът между тези вектори е прав (90 градуса или π /2 ) ако скаларното произведение на тези вектори е нула :

.

Ортогоналността във векторната алгебра е перпендикулярността на два вектора.

2. Два ненулеви вектора се образуват остър ъгъл (от 0 до 90 градуса или, което е същото, по-малко π точков продукт е положителен .

3. Два ненулеви вектора се образуват тъп ъгъл (от 90 до 180 градуса, или, каквото е същото - повече π /2 ) ако и само ако точковото произведение е отрицателно .

Пример 3Векторите са дадени в координати:

.

Изчислете точковите произведения на всички двойки дадени вектори. Какъв ъгъл (остър, прав, тъп) образуват тези двойки вектори?

Решение. Ще изчислим, като добавим произведенията на съответните координати.

Получихме отрицателно число, така че векторите образуват тъп ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

Получихме нула, така че векторите образуват прав ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус на ъгъла между тях .

Пример 4Като се имат предвид дължините на два вектора и ъгълът между тях:

.

Определете при каква стойност на числото векторите и са ортогонални (перпендикулярни).

Решение. Умножаваме векторите според правилото за умножение на полиноми:

Сега нека изчислим всеки член:

.

Нека да съставим уравнение (равенство на продукта на нула), да дадем подобни термини и да решим уравнението:

Отговор: получихме стойността λ = 1.8 , при което векторите са ортогонални.

Пример 5Докажете, че векторът ортогонално (перпендикулярно) на вектора

Решение. За да проверим ортогоналността, умножаваме векторите и като полиноми, замествайки вместо него израза, даден в условието на задачата:

.

За да направите това, трябва да умножите всеки член (член) от първия полином по всеки член на втория и да добавите получените продукти:

.

В резултат на това дължимата фракция се намалява. Получава се следният резултат:

Заключение: в резултат на умножението получихме нула, следователно, ортогоналността (перпендикулярността) на векторите е доказана.

Решете проблема сами и след това вижте решението

Пример 6Като се имат предвид дължините на векторите и , И ъгълът между тези вектори е π /4 . Определете на каква стойност μ вектори и са взаимно перпендикулярни.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус на ъгъла между тях .

Матрично представяне на скаларното произведение на векторите и произведението на n-мерните вектори

Понякога за по-голяма яснота е изгодно да се представят два умножени вектора под формата на матрици. Тогава първият вектор се представя като матрица на редове, а вторият - като матрица на колони:

Тогава скаларното произведение на векторите ще бъде произведението на тези матрици :

Резултатът е същият като този, получен по метода, който вече разгледахме. Получихме едно единствено число, а произведението на матричния ред от колоната на матрицата също е едно единствено число.

В матрична форма е удобно да се представи произведението на абстрактни n-мерни вектори. И така, продуктът на два четириизмерни вектора ще бъде продукт на матрица на ред с четири елемента от матрица на колона също с четири елемента, продуктът на два петизмерни вектора ще бъде продукт на матрица на ред с пет елемента от колонна матрица също с пет елемента и т.н.

Пример 7Намерете точкови произведения на двойки вектори

,

с помощта на матрично представяне.

Решение. Първата двойка вектори. Представяме първия вектор като матрица на редове, а втория като матрица на колоните. Намираме скаларното произведение на тези вектори като произведение на матрицата на редовете от матрицата на колоните:

По подобен начин представяме втората двойка и намираме:

Както можете да видите, резултатите са същите като за същите двойки от пример 2.

Ъгъл между два вектора

Извеждането на формулата за косинус на ъгъла между два вектора е много красиво и сбито.

За изразяване на точковото произведение на векторите

(1)

в координатна форма първо намираме скаларното произведение на ортовете. Скаларното произведение на вектор със себе си е по дефиниция:

Това, което е написано във формулата по-горе, означава: скаларното произведение на вектор със себе си е равно на квадрата на неговата дължина. Косинусът на нула е равен на единица, така че квадратът на всеки орт ще бъде равен на единица:

Тъй като векторите

са по двойки перпендикулярни, то произведените по двойки на ортовете ще бъдат равни на нула:

Сега нека извършим умножението на векторни полиноми:

Заместваме в дясната страна на равенството стойностите на съответните скаларни произведения на ортовете:

Получаваме формулата за косинус на ъгъла между два вектора:

Пример 8Дадени са три точки А(1;1;1), Б(2;2;1), ° С(2;1;2).

Намерете ъгъл.

Решение. Намираме координатите на векторите:

,

.

Използвайки формулата за косинус на ъгъл, получаваме:

Следователно, .

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус на ъгъла между тях .

Пример 9Дадени са два вектора

Намерете сумата, разликата, дължината, произведението и ъгъла между тях.

2.Разлика

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениразгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте дошли на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да се ръководите в термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за векторите и да може да решава елементарни задачи. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типичните задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА работа.. Опитайте се да не пропускате примерите, те са придружени от полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате обхванатия материал и да "вземете ръка" за решаване на често срещани задачи на аналитичната геометрия.

Добавяне на вектори, умножаване на вектор по число... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече разгледаните действия има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, кръстосано произведение на вектории смесен продукт на вектори. Скаларният продукт на векторите ни е познат от училище, другите два продукта традиционно са свързани с курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е стереотипен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО И НАведнъж. Това важи особено за манекените, повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математика, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, да „усвоят“ липсващите знания, за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

И накрая, нека отворим малко вратата и да погледнем какво се случва, когато два вектора се срещнат един друг...

Дефиниране на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече. Помислете за свободни ненулеви вектори и . Ако отложим тези вектори от произволна точка, тогава получаваме картина, която мнозина вече са представили мислено:

Признавам си, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от строга дефиниция на ъгъла между векторите, моля, вижте учебника, но за практически задачи ние по принцип не се нуждаем от него. Също ТУК И ПО-НАТАНА, понякога ще игнорирам нулевите вектори поради ниската им практическа значимост. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат за теоретичната непълнота на някои от следните твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (от 0 до радиани) включително. Аналитично този факт се записва като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата иконата за ъгъл често се пропуска и се пише просто.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху основната информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто .

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Умножете вектор по вектор, за да получите число. Всъщност, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъла е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Стойностите на косинус могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще се изисква в почти всички секции на кулата и ще се изисква много пъти.

Чисто от математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в този случай е просто число и това е всичко. От гледна точка на проблемите на физиката, скаларното произведение винаги има определено физическо значение, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничният пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно точково произведение). Работата на сила се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например.

Пример 2

Намерете ако , а ъгълът между векторите е .

Това е пример за самостоятелно решение, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точков продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказа положително, а в пример 2 - отрицателно. Нека разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За по-добро разбиране на информацията по-долу е по-добре да проучите косинусовата графика в ръководството Свойства на графики и функции. Вижте как се държи косинусът на сегмента.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира вътре и са възможни следните случаи:

1) Ако инжекциямежду векторите пикантно: (от 0 до 90 градуса), след това , и точков продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула, а скаларният продукт също ще бъде положителен. Тъй като , тогава формулата е опростена: .

2) Ако инжекциямежду векторите тъп: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковото произведение е отрицателно: . Специален случай: ако векторите насочени противоположно, тогава се разглежда ъгълът между тях разгърнат: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са копосочени.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са насочени противоположно.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако инжекциямежду векторите прав: (90 градуса) след това и точковото произведение е нула: . Обратното също е вярно: ако , тогава . Компактното изявление е формулирано, както следва: Скаларното произведение на два вектора е нула, ако и само ако дадените вектори са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : повторете основите на математическата логика: иконата на двустранно логическо следствие обикновено се чете "ако и само тогава", "ако и само ако". Както виждате, стрелките са насочени и в двете посоки – „от това следва това, и обратното – от това следва това“. Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Претенции за икона само чече "от това следва това", а не фактът, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че иконата не може да се използва в този случай. В същото време вместо иконата могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, разбрахме, че сме стигнали до заключението, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай е от голямо практическо значение., тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим този проблем във втория раздел на урока.

Свойства на точковия продукт

Да се ​​върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , и формулата на скаларното произведение приема формата: .

Какво се случва, ако векторът се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е съвместно насочен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се извиква скаларен квадратвектор и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор:

Макар че изглежда неясно, но задачите на урока ще поставят всичко на мястото си. За да решим проблемите, ние също се нуждаем свойства на точковия продукт.

За произволни вектори и произволно число следните свойства са верни:

1) - преместваем или комутативнискаларен продукт закон.

2) - разпространение или разпределителенскаларен продукт закон. Просто казано, можете да отваряте скоби.

3) - комбинация или асоциативенскаларен продукт закон. Константата може да бъде извадена от скаларното произведение.

Често всички видове имоти (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужен боклук, който трябва само да бъде запомнен и безопасно забравен веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че продуктът не се променя от пермутация на факторите:. Трябва да ви предупредя, че във висшата математика с такъв подход е лесно да се объркат нещата. Така например комутативното свойство не е валидно за алгебрични матрици. Не е вярно за кръстосано произведение на вектори. Ето защо е по-добре да се задълбочите във всички свойства, които ще срещнете в курса на висшата математика, за да разберете какво може и не може да се направи.

Пример 3

.

решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. за какво става дума? Сумата от векторите и е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори може да се намери в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сумата от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работната формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но в условието подобни параметри са дадени за вектори, така че ще отидем по другия начин:

(1) Ние заместваме изрази на вектори.

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарна скороговорка може да се намери в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Ние имаме право.

(3) В първия и последния член ние записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме коммутируемостта на скаларното произведение: .

(4) Ето подобни термини: .

(5) В първия член използваме формулата на скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат, съответно, работи същото: . Вторият член се разширява по стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателната стойност на точковото произведение посочва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Задачата е типична, ето пример за независимо решение:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на векторите и , Ако е известно, че .

Сега друга обща задача, само за новата формула за дължина на вектора. Обозначенията тук ще се припокриват малко, така че за по-голяма яснота ще го пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора if .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме векторния израз.

(2) Използваме формулата за дължина: , докато имаме целочислен израз като вектор "ve".

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Обърнете внимание как любопитно работи тук: - всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Желаещите могат да пренаредят векторите на места: - оказа се същото до пренареждане на термините.

(4) Това, което следва, вече е познато от двата предишни проблема.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размера - "единици".

Пример 6

Намерете дължината на вектора if .

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от скаларното произведение. Нека отново да разгледаме нашата формула . По правилото за пропорция нулираме дължините на векторите към знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какво е значението на тази формула? Ако са известни дължините на два вектора и тяхното скаларен продукт, тогава е възможно да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и следователно самият ъгъл.

Скаларното произведение число ли е? номер. Числа ли са векторните дължини? Числа. Така че дробът също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и , Ако е известно, че .

решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията беше използвана техника - елиминиране на ирационалността в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , тогава:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени чрез тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия много по-често се появява някаква тромава мечка, а стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с калкулатор. Всъщност ще виждаме тази картина отново и отново.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерността - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „премахна всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако, разбира се, по условие се изисква отговорът да се представи само в радиани или само в градуси).

Сега ще можете сами да се справите с по-трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгъла между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото многопосочна.
Нека анализираме алгоритъма на решението:

1) Според условието е необходимо да се намери ъгълът между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намираме скаларното произведение (виж Примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте Примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самия ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същия точков продукт. Координати. Ще бъде дори по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
дадено от координати в ортонормирана основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на векторите и if

Това е пример "направи си сам". Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката от скаларния продукт и да го умножите последно. Решение и отговор в края на урока.

В края на параграфа, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължини на векторите , ако

решение:отново методът от предишния раздел се подсказва сам: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Тук скаларното произведение изобщо не е от значение!

Колко извън бизнеса е при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Защо да не се възползвате от очевидното свойство за дължина на вектор? Какво може да се каже за дължината на вектор? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектор:
- знакът на модула "изяжда" възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формулата за косинуса на ъгъла между векторите, които са дадени от координати

Сега имаме пълна информация, за да изразим предварително получената формула за косинус на ъгъла между векторите по отношение на координатите на векторите:

Косинус на ъгъла между равнинни вектории , дадени в ортонормирана основа , се изразява с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, дадено в ортонормирана основа , се изразява с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на връх).

решение:По условие чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Веднага си припомняме училищното обозначение на ъгъла: - специално внимание към среденбуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост може да се напише и просто.

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и , с други думи: .

Желателно е да се научите как да извършвате анализа, извършен мислено.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус на ъгъл:

Именно този ред на задачата препоръчвам на манекените. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията "на един ред":

Ето пример за "лоша" стойност на косинус. Получената стойност не е окончателна, така че няма много смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Да намерим ъгъла:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За да проверите ъгъла може да се измери и с транспортир. Не повреждайте покритието на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяйте това попита за ъгъла на триъгълника(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: намерен с калкулатор.

Тези, които са се насладили на процеса, могат да изчислят ъглите и да се уверят, че каноничното равенство е вярно

Пример 17

Триъгълникът е даден в пространството от координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока

Малък последен раздел ще бъде посветен на прогнозите, в които скаларното произведение също е "замесен":

Проекция на вектор върху вектор. Векторна проекция върху координатни оси.
Косинуси на векторна посока

Помислете за вектори и:

Проектираме вектора върху вектора, за това пропускаме началото и края на вектора перпендикулярина вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че лъчите на светлината падат перпендикулярно върху вектор. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде "сянка" на вектора. В този случай проекцията на вектор върху вектор е ДЪЛЖИНАТА на сегмента. Тоест ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: , "голям вектор" означава вектор КОЙТОпроект, "малък индексен вектор" означава вектора НАкоето се предвижда.

Самият запис гласи така: „проекцията на вектор „a” върху вектор „be””.

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде кратък"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И векторът "а" вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "бъди", просто - на права линия, съдържаща вектора "be". Същото ще се случи, ако векторът "а" бъде отделен в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху линията, съдържаща вектора "be".

Ако ъгълътмежду векторите пикантно(както на снимката), тогава

Ако векторите ортогонална, тогава (проекцията е точка, чиито размери се приемат за нула).

Ако ъгълътмежду векторите тъп(на фигурата пренаредете мислено стрелката на вектора), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Отделете тези вектори от една точка:

Очевидно, когато се движи вектор, неговата проекция не се променя

Векторът и точковият продукт улесняват изчисляването на ъгъла между векторите. Нека са дадени два вектора $\overline(a)$ и $\overline(b)$, ориентираният ъгъл между тях е равен на $\varphi$. Нека изчислим стойностите $x = (\overline(a),\overline(b))$ и $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Тогава $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, където $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ и $\varphi$ е желаното ъгъл, тоест точката $(x, y)$ има полярен ъгъл, равен на $\varphi$, и следователно $\varphi$ може да се намери като atan2(y, x).

Площ на триъгълник

Тъй като векторният продукт съдържа произведението на две дължини на вектора и косинуса на ъгъла между тях, векторният продукт може да се използва за изчисляване на площта на триъгълник ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Точка, принадлежаща на права

Нека са дадени точка $P$ и права $AB$ (дадени от две точки $A$ и $B$). Необходимо е да се провери дали дадена точка принадлежи на правата $AB$.

Една точка принадлежи на правата $AB$ тогава и само ако векторите $AP$ и $AB$ са колинеарни, тоест ако $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Принадлежност на точка към лъч

Нека са дадени точка $P$ и лъч $AB$ (даден от две точки - началото на лъча $A$ и точка от лъча $B$). Необходимо е да се провери дали точката принадлежи на лъча $AB$.

Към условието трябва да се добави допълнително условие, че точката $P$ принадлежи на правата $AB$ - векторите $AP$ и $AB$ са копосочени, тоест са колинеарни и скаларното им произведение е неотрицателно, тоест $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Точка, принадлежаща на сегмент

Нека са дадени точка $P$ и отсечка $AB$. Необходимо е да се провери дали точката принадлежи на отсечката $AB$.

В този случай точката трябва да принадлежи както на лъча $AB$, така и на лъча $BA$, така че трябва да се проверят следните условия:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Разстояние от точка до линия

Нека са дадени точка $P$ и права $AB$ (дадени от две точки $A$ и $B$). Необходимо е да се намери разстоянието от точката на правата $AB$.

Помислете за триъгълник ABP. От една страна, неговата площ е $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

От друга страна, неговата площ е $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, където $h$ е височината от $P$, т.е. разстоянието от $P$ до $ AB $. Оттук $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Разстояние от точка до лъч

Нека са дадени точка $P$ и лъч $AB$ (даден от две точки - началото на лъча $A$ и точка от лъча $B$). Необходимо е да се намери разстоянието от точката до лъча, тоест дължината на най-късия сегмент от точката $P$ до която и да е точка от лъча.

Това разстояние е равно или на дължината $AP$, или на разстоянието от точката $P$ до правата $AB$. Кой от случаите се случва, може лесно да се определи от относителното положение на лъча и точката. Ако ъгълът PAB е остър, т.е. $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, тогава отговорът е разстоянието от точката $P$ до правата $AB$, в противен случай отговорът е дължината на сегмента $AB$.

Разстояние от точка до линия

Нека са дадени точка $P$ и отсечка $AB$. Необходимо е да се намери разстоянието от $P$ до сегмента $AB$.

Ако основата на перпендикуляра, спусната от $P$ до правата $AB$, попада върху отсечката $AB$, което може да се провери от условията

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

тогава отговорът е разстоянието от точката $P$ до правата $AB$. В противен случай разстоянието ще бъде равно на $\min(AP, BP)$.