Концепцията за двустенен ъгъл
За да въведем концепцията за двустенен ъгъл, първо си припомняме една от аксиомите на стереометрията.
Всяка равнина може да се раздели на две полуравнини на правата $a$, лежащи в тази равнина. В този случай точките, лежащи в една и съща полуравнина, са от една и съща страна на правата $a$, а точките, лежащи в различни полуравнини, са от противоположните страни на правата $a$ (фиг. 1 ).
Снимка 1.
Принципът за конструиране на двустенен ъгъл се основава на тази аксиома.
Определение 1
Фигурата се нарича двустенен ъгълако се състои от права и две полуравнини на тази права, които не принадлежат на една и съща равнина.
В този случай се наричат полуравнините на двустенния ъгъл лица, а правата линия, разделяща полуравнините - двустенен ръб(Фиг. 1).
Фигура 2. Двустенен ъгъл
Градусна мярка на двустенен ъгъл
Определение 2
Избираме произволна точка $A$ на ръба. Ъгълът между две прави, лежащи в различни полуравнини, перпендикулярни на ръба и пресичащи се в точката $A$, се нарича линеен ъгъл двустен ъгъл(фиг. 3).
Фигура 3
Очевидно всеки двустенен ъгъл има безкраен брой линейни ъгли.
Теорема 1
Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са равни един на друг.
Доказателство.
Да разгледаме два линейни ъгъла $AOB$ и $A_1(OB)_1$ (фиг. 4).
Фигура 4
Тъй като лъчите $OA$ и $(OA)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\alpha $ и са перпендикулярни на една права линия, те са съпосочни. Тъй като лъчите $OB$ и $(OB)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\beta $ и са перпендикулярни на една права линия, те са съпосочни. Следователно
\[\ъгъл AOB=\ъгъл A_1(OB)_1\]
Поради произволността на избора на линейни ъгли. Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са равни един на друг.
Теоремата е доказана.
Определение 3
Градусната мярка на двустенен ъгъл е градусната мярка на линеен ъгъл на двустенен ъгъл.
Примерни задачи
Пример 1
Нека са ни дадени две неперпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $m$. Точката $A$ принадлежи на равнината $\beta $. $AB$ е перпендикулярът на правата $m$. $AC$ е перпендикулярна на равнината $\alpha $ (точка $C$ принадлежи на $\alpha $). Докажете, че ъгълът $ABC$ е линеен ъгъл на двустенния ъгъл.
Доказателство.
Нека начертаем картина според условието на задачата (фиг. 5).
Фигура 5
За да докажем това, си припомняме следната теорема
Теорема 2:Права линия, минаваща през основата на наклонена, перпендикулярна на нея, е перпендикулярна на нейната проекция.
Тъй като $AC$ е перпендикуляр на равнината $\alpha $, тогава точката $C$ е проекцията на точката $A$ върху равнината $\alpha $. Следователно $BC$ е проекцията на наклонената $AB$. Съгласно теорема 2, $BC$ е перпендикуляр на ребро на двустенен ъгъл.
Тогава ъгълът $ABC$ удовлетворява всички изисквания за дефиниране на линейния ъгъл на двустенен ъгъл.
Пример 2
Двустенният ъгъл е $30^\circ$. Върху едното лице лежи точката $A$, която е на разстояние $4$ см от другото лице.Намерете разстоянието от точката $A$ до ръба на двустенния ъгъл.
Решение.
Нека да разгледаме фигура 5.
По предположение имаме $AC=4\ cm$.
По дефиниция на градусната мярка на двустенен ъгъл имаме, че ъгълът $ABC$ е равен на $30^\circ$.
Триъгълник $ABC$ е правоъгълен триъгълник. По определение на синуса на остър ъгъл
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
Тема на урока: "Двустенен ъгъл".Целта на урока: въвеждане на понятието двустенен ъгъл и неговия линеен ъгъл.
Задачи:
Образователни: да обмислят задачи за прилагане на тези понятия, да формират конструктивно умение за намиране на ъгъла между равнините;
Разработване: развитие на творческото мислене на учениците, личностно саморазвитие на учениците, развитие на речта на учениците;
Образователни: възпитание на културата на умствения труд, комуникативна култура, рефлексивна култура.
Тип урок: урок за усвояване на нови знания
Методи на обучение: обяснителни и илюстративни
Оборудване: компютър, интерактивна дъска.
Литература:
Геометрия. 10-11 клас: учебник. за 10-11 клетки. общо образование институции: основни и профилни. нива / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] - 18 изд. - М. : Образование, 2009. - 255 с.
План на урока:
Организационен момент (2 мин.)
Актуализиране на знанията (5 мин.)
Научаване на нов материал (12 минути)
Затвърдяване на изучения материал (21 мин.)
Домашна работа (2 мин.)
Обобщаване (3 мин.)
По време на часовете:
1. Организационен момент.
Включва поздрав от учителя на класа, подготовка на стаята за урока, проверка на отсъстващите.
2. Актуализиране на опорни знания.
Учител: В последния урок написахте самостоятелна работа. Като цяло работата беше добре написана. Сега да повторим малко. Какво се нарича ъгъл на равнина?
Студент: Ъгълът в равнината е фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка.
Учител: Как се нарича ъгълът между правите в пространството?
Студент: Ъгълът между две пресичащи се прави в пространството е най-малкият от ъглите, образувани от лъчите на тези прави с върха в точката на тяхното пресичане.
Студент: Ъгълът между пресичащите се линии е ъгълът между пресичащите се линии, съответно успоредни на данните.
Учител: Как се нарича ъгълът между права и равнина?
Студент: Ъгъл между права и равнинаВсеки ъгъл между права линия и нейната проекция върху тази равнина се нарича.
3. Изучаване на нов материал.
Учител: В стереометрията, наред с такива ъгли, се разглежда и друг вид ъгли - двустенни ъгли. Вероятно вече се досещате каква е темата на днешния урок, така че отворете тетрадките си, запишете днешната дата и темата на урока.
Писане на дъската и в тетрадките:
10.12.14.
Двустенен ъгъл.
Учител : За да се въведе концепцията за двустенен ъгъл, трябва да се припомни, че всяка права линия, начертана в дадена равнина, разделя тази равнина на две полуравнини(фиг. 1а)
Учител : Представете си, че сме огънали равнината по права линия, така че две полуравнини с границата вече не лежат в една и съща равнина (фиг. 1, b). Получената фигура е двустенният ъгъл. Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия и две полуравнини с обща граница, които не принадлежат на една и съща равнина. Полуравнините, образуващи двустенен ъгъл, се наричат негови лица. Двустенният ъгъл има две лица, откъдето идва и името - двустенен ъгъл. Правата - общата граница на полуравнините - се нарича ръб на двустенния ъгъл. Запишете определението в тетрадката си.
Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия и две полуравнини с обща граница, които не принадлежат на една и съща равнина.
Учител : В ежедневието често срещаме предмети, които имат формата на двустенен ъгъл. Дай примери.
Студент : Наполовина отворена папка.
Студент : Стената на стаята заедно с пода.
Студент : Двускатни покриви на сгради.
Учител : Правилно. И има много такива примери.
Учител : Както знаете, ъглите в равнината се измерват в градуси. Вероятно имате въпрос, но как се измерват двустенните ъгли? Това става по следния начин.Маркираме някаква точка на ръба на двустенния ъгъл и във всяко лице от тази точка начертаваме лъч, перпендикулярен на ръба. Ъгълът, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл. Начертайте в тетрадките си.
Писане на дъската и в тетрадките.
О ∈ а, АО ⊥ a, VO ⊥ а, SABD- двустенен ъгъл,∠ AOBе линейният ъгъл на двустенния ъгъл.
Учител : Всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни. Направете си нещо подобно.
Учител : Нека го докажем. Помислете за два линейни ъгъла AOB иPQR. Лъчи OA иQPлежат на едно лице и са перпендикулярниOQ, което означава, че са подравнени. По същия начин лъчите OB иQRсъвместно режисиран. означава,∠ AOB= ∠ PQR(като ъгли със съпосочни страни).
Учител : Е, сега отговорът на нашия въпрос е как се измерва двустенният ъгъл.Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл. Пречертайте чертежите на остър, прав и тъп двустенен ъгъл от учебника на стр. 48.
4. Затвърдяване на изучения материал.
Учител : Направете рисунки за задачи.
№ 1 . Дадено: ΔABC, AC = BC, AB лежи в равнинатаα, CD ⊥ α, C∉ а. Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгълCABD.
Студент : Решение:СМ ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - желан.
№ 2. Дадено: ΔABC, ∠ ° С= 90°, BC лежи равнинаα, AO⊥ α, А∈ α.
Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгълAVSO.
Студент : Решение:AB ⊥ пр.н.е, АД⊥ Sun означава OS⊥ слънце∠ ACO - желан.
№ 3 . Дадено: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB лежи в равнинатаα, CD⊥ α, C∉ а. Изгражданелинеен двустенен ъгълDABC.
Студент : Решение: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ АБ означава∠ DKC - желан.
№ 4
. дадени:DABC- тетраедър,НАПРАВЕТЕ⊥
ABC.Построете линейния ъгъл на двустенния ъгълABCD.
Студент : Решение:DM ⊥ слънце,НАПРАВЕТЕ ⊥ BC означава OM⊥ слънце;∠ OMD - желан.
5. Обобщаване.
Учител: Какво ново научихте в урока днес?
Ученици : Какво се нарича двустенен ъгъл, линеен ъгъл, как се измерва двустенният ъгъл.
Учител : Какво повтори?
Ученици : Какво се нарича ъгъл на равнина; ъгъл между линиите.
6. Домашна работа.
Писане на дъската и в дневниците: т.22, №167, №170.
Двустенен ъгъл. Линеен ъгъл на двустенен ъгъл. Двустенният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини, които не принадлежат на една и съща равнина и имат обща граница - права линия a. Полуравнините, които образуват двустенния ъгъл, се наричат негови лица, а общата граница на тези полуравнини се нарича ръб на двустенния ъгъл. Линейният ъгъл на двустенния ъгъл е ъгълът, чиито страни са лъчите, по които лицата на двустенния ъгъл се пресичат с равнина, перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл. Всеки двустенен ъгъл има колкото желаете линейни ъгли: през всяка точка на ръба може да се начертае равнина, перпендикулярна на този ръб; лъчите, по които тази равнина пресича лицата на двустенния ъгъл, и образуват линейни ъгли.
Всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни един на друг. Нека докажем, че ако двустенните ъгли, образувани от равнината на основата на пирамидата KABC и равнините на нейните странични стени, са равни, тогава основата на перпендикуляра, изтеглен от върха K, е центърът на окръжността, вписана в триъгълника ABC.
Доказателство. Първо, изграждаме линейни ъгли на равни двустенни ъгли. По дефиниция равнината на линейния ъгъл трябва да е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл. Следователно ръбът на двустенния ъгъл трябва да е перпендикулярен на страните на линейния ъгъл. Ако KO е перпендикулярна на равнината на основата, тогава можем да начертаем OP перпендикулярно на AC, OR перпендикулярно на CB, OQ на перпендикуляра AB и след това да свържем точки P, Q, R с точка K. Така ще изградим проекция на наклонени RK, QK, RK, така че ръбовете AC, CB, AB да са перпендикулярни на тези проекции. Следователно тези ръбове също са перпендикулярни на наклонените. И следователно равнините на триъгълниците ROK, QOK, ROK са перпендикулярни на съответните ръбове на двустенния ъгъл и образуват тези равни линейни ъгли, които са посочени в условието. Правоъгълните триъгълници ROK, QOK, ROK са равни (тъй като имат общ катет OK и ъглите срещу този катет са равни). Следователно ИЛИ = ИЛИ = OQ. Ако начертаем окръжност с център O и радиус OP, тогава страните на триъгълника ABC са перпендикулярни на радиусите OP, OR и OQ и следователно са допирателни към тази окръжност.
Перпендикулярност на равнината. Равнините алфа и бета се наричат перпендикулярни, ако линейният ъгъл на един от двустенните ъгли, образуван при тяхното пресичане, е 90". Признаци за перпендикулярност на две равнини Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.
Фигурата показва правоъгълен паралелепипед. Основите му са правоъгълници ABCD и A1B1C1D1. А страничните ръбове AA1 BB1, CC1, DD1 са перпендикулярни на основите. От това следва, че AA1 е перпендикулярна на AB, т.е. страничната страна е правоъгълник. По този начин е възможно да се обосноват свойствата на кубоида: В кубоида всичките шест лица са правоъгълници. В кубоид всичките шест лица са правоъгълници. Всички двустенни ъгли на кубоид са прави ъгли. Всички двустенни ъгли на кубоид са прави ъгли.
Теорема Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения. Нека се обърнем отново към фигурата и ще докажем, че AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Тъй като ръбът CC1 е перпендикулярен на основата ABCD, тогава ъгълът AC1 е прав. От правоъгълния триъгълник ACC1 според Питагоровата теорема се получава AC12=AC2+CC12. Но AC е диагоналът на правоъгълника ABCD, така че AC2 = AB2+AD2. Освен това CC1 = AA1. Следователно AC12=AB2+AD2+AA12 Теоремата е доказана.
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
ТЕКСТ ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:
В планиметрията основните обекти са линии, отсечки, лъчи и точки. Лъчите, излизащи от една точка, образуват една от техните геометрични фигури - ъгъл.
Знаем, че линейният ъгъл се измерва в градуси и радиани.
В стереометрията към обектите се добавя равнина. Фигурата, образувана от правата a и две полуравнини с обща граница a, които не принадлежат на една и съща равнина в геометрията, се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините са лицата на двустенния ъгъл. Правата a е ръбът на двустенния ъгъл.
Двустенният ъгъл, подобно на линеен ъгъл, може да бъде назован, измерен, построен. Това е, което ще разберем в този урок.
Намерете двустенния ъгъл върху модела на тетраедър ABCD.
Двустенен ъгъл с ръб AB се нарича CABD, където точките C и D принадлежат на различни лица на ъгъла, а ръбът AB се нарича в средата
Около нас има много обекти с елементи под формата на двустенен ъгъл.
В много градове в парковете са поставени специални пейки за помирение. Пейката е направена под формата на две наклонени равнини, събиращи се към центъра.
При строителството на къщи често се използва така нареченият двускатен покрив. Покривът на тази къща е направен под формата на двустенен ъгъл от 90 градуса.
Двустенният ъгъл също се измерва в градуси или радиани, но как да го измерим.
Интересно е да се отбележи, че покривите на къщите лежат върху гредите. А щайгата на гредите образува два покривни наклона под определен ъгъл.
Нека прехвърлим изображението върху чертежа. На чертежа, за да се намери двустенен ъгъл, на ръба му се отбелязва точка B. От тази точка се изтеглят две греди BA и BC, перпендикулярни на ръба на ъгъла. Ъгълът ABC, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл.
Градусната мярка на двустенния ъгъл е равна на градусната мярка на неговия линеен ъгъл.
Нека измерим ъгъла AOB.
Градусната мярка на даден двустенен ъгъл е шестдесет градуса.
Линейни ъгли за двустенен ъгъл могат да бъдат начертани в безкраен брой, важно е да знаете, че всички те са равни.
Да разгледаме два линейни ъгъла AOB и A1O1B1. Лъчите OA и O1A1 лежат в едно лице и са перпендикулярни на правата OO1, така че са еднакво насочени. Лъчите OB и O1B1 също са еднакво насочени. Следователно ъгълът AOB е равен на ъгъла A1O1B1 като ъгли със съпосочни страни.
Така че двустенният ъгъл се характеризира с линеен ъгъл, а линейните ъгли са остри, тъпи и прави. Разгледайте модели на двустенни ъгли.
Тъп ъгъл е този, чийто линеен ъгъл е между 90 и 180 градуса.
Прав ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е 90 градуса.
Остър ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е между 0 и 90 градуса.
Нека докажем едно от важните свойства на линейния ъгъл.
Равнината на линейния ъгъл е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл.
Нека ъгълът AOB е линейният ъгъл на дадения двустенен ъгъл. По построение лъчите AO и OB са перпендикулярни на правата a.
Равнината AOB минава през две пресичащи се прави AO и OB съгласно теоремата: Една равнина минава през две пресичащи се прави и освен това само една.
Правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, което означава, че по знака на перпендикулярността на правата и равнината правата a е перпендикулярна на равнината AOB.
За решаване на задачи е важно да можете да построите линеен ъгъл на даден двустенен ъгъл. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл с ръба AB за тетраедъра ABCD.
Говорим за двустенен ъгъл, който се образува, първо, от ръба AB, едната страна ABD, втората повърхност ABC.
Ето един начин за изграждане.
Нека начертаем перпендикуляр от точка D към равнината ABC, отбелязваме точката M като основа на перпендикуляра. Припомнете си, че в тетраедър основата на перпендикуляра съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на тетраедъра.
Начертайте наклон от точка D перпендикулярно на ръба AB, маркирайте точка N като основа на наклона.
В триъгълника DMN отсечката NM ще бъде проекцията на наклонената DN върху равнината ABC. Според теоремата за трите перпендикуляра ръбът AB ще бъде перпендикулярен на проекцията NM.
Това означава, че страните на ъгъла DNM са перпендикулярни на ръба AB, което означава, че построеният ъгъл DNM е търсеният линеен ъгъл.
Помислете за пример за решаване на задачата за изчисляване на двустенния ъгъл.
Равнобедреният триъгълник ABC и правилният триъгълник ADB не лежат в една равнина. Отсечката CD е перпендикулярна на равнината ADB. Намерете двустенния ъгъл DABC, ако AC=CB=2cm, AB=4cm.
Двустенният ъгъл DABC е равен на своя линеен ъгъл. Нека построим този ъгъл.
Нека начертаем наклонена SM перпендикулярна на ръба AB, тъй като триъгълникът ACB е равнобедрен, тогава точката M ще съвпадне със средата на ръба AB.
Правата CD е перпендикулярна на равнината ADB, което означава, че е перпендикулярна на правата DM, лежаща в тази равнина. А отсечката MD е проекцията на наклонената SM върху равнината ADB.
По построение правата AB е перпендикулярна на наклонената CM, което означава, че по теоремата за трите перпендикуляра е перпендикулярна на проекцията MD.
И така, два перпендикуляра CM и DM са открити към ръба AB. Така те образуват линеен ъгъл СMD на двустенен ъгъл DABC. И остава да го намерим от правоъгълния триъгълник СDM.
Тъй като отсечката SM е медианата и височината на равнобедрения триъгълник ASV, то според Питагоровата теорема катетът на SM е 4 cm.
От правоъгълен триъгълник DMB според Питагоровата теорема катетът DM е равен на два корена от три.
Косинусът на ъгъл от правоъгълен триъгълник е равен на отношението на съседния катет MD към хипотенузата CM и е равен на три корена от три по две. Така че ъгълът CMD е 30 градуса.
