51. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x)- pochodna funkcji f(x), zdefiniowany na przedziale (− 4; 6). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) równolegle do linii y=3x lub zbiega się z nim.
Odpowiedź: 5
52. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) k(x) k(x) pozytywny?
Odpowiedź: 7
53. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji f(x), a na osi x zaznaczono osiem punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. W ilu z tych punktów znajduje się funkcja k(x) negatywny?
Odpowiedź: 3
54. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji k(x) a na osi x zaznaczono dziesięć punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. W ilu z tych punktów znajduje się funkcja k(x) pozytywny?
Odpowiedź: 6
55. Rysunek przedstawia wykres y=F(x f(x), zdefiniowany na przedziale (− 7; 5). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [− 5; 2].
Odpowiedź: 3
56. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji f (X), zdefiniowany na przedziale (− 8; 7). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f(x)= 0 w przedziale [− 5; 5].
Odpowiedź: 4
57. Rysunek przedstawia wykres y=F(X) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji F(X), zdefiniowanych na przedziale (1;13). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania F (X)=0 w segmencie .
Odpowiedź: 4
58. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x)(dwa promienie ze wspólnym punktem początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F(−1)−F(−8), Gdzie F(x) f(x).
Odpowiedź: 20
59. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x) (dwa promienie ze wspólnym punktem początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F(−1)−F(−9), Gdzie F(x)- jedna z funkcji pierwotnych f(x).
Odpowiedź: 24
60. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcjonować
-jedna z prymitywnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury.
Odpowiedź: 6
61. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcjonować
Jedna z prymitywnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury.
Odpowiedź: 14,5
równolegle do stycznej do wykresu funkcji
Odpowiedź:0,5
Znajdź odciętą punktu stycznego.
Odpowiedź 1
jest styczna do wykresu funkcji
Znajdować C.
Odpowiedź: 20
jest styczna do wykresu funkcji
Znajdować A.
Odpowiedź:0,125
jest styczna do wykresu funkcji
Znajdować B, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest większa niż 0.
Odpowiedź: -33
67. Punkt materialny porusza się zgodnie z prawem prostoliniowo
Gdzie X T- czas w sekundach liczony od momentu rozpoczęcia ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 96 m/s?
Odpowiedź: 18
68. Punkt materialny porusza się zgodnie z prawem prostoliniowo
Gdzie X- odległość od punktu odniesienia w metrach, T- czas w sekundach liczony od momentu rozpoczęcia ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 48 m/s?
Odpowiedź: 9
69. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem
Gdzie X T T=6 Z.
Odpowiedź: 20
70. Punkt materialny porusza się zgodnie z prawem prostoliniowo
Gdzie X- odległość od punktu odniesienia w metrach, T- czas w sekundach mierzony od rozpoczęcia ruchu. Znajdź jego prędkość (w m/s) w danym momencie T=3 Z.
Odpowiedź: 59
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
TreśćElementy treści
Pochodna, tangens, funkcja pierwotna, wykresy funkcji i pochodne.
Pochodna Niech funkcja \(f(x)\) będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu \(x_0\).
Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) zwany limitem
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
jeśli taki limit istnieje.
Pochodna funkcji w punkcie charakteryzuje szybkość zmian tej funkcji w danym punkcie.
Tabela instrumentów pochodnych
| Funkcjonować | Pochodna |
| \(stała\) | \(0\) |
| \(X\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\grzech x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\grzech x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Zasady różnicowania\(f\) i \(g\) są funkcjami zależnymi od zmiennej \(x\); \(c\) jest liczbą.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - pochodna funkcji zespolonej
Geometryczne znaczenie pochodnej Równanie prostej- nierównolegle do osi \(Oy\) można zapisać w postaci \(y=kx+b\). Nazywa się współczynnik \(k\) w tym równaniu nachylenie linii prostej. Jest równa tangensowi kąt nachylenia tę linię prostą.
Kąt prosty- kąt pomiędzy dodatnim kierunkiem osi \(Ox\) a tą prostą, mierzony w kierunku dodatnich kątów (czyli w kierunku najmniejszego obrotu od osi \(Ox\) do \ (Oy\) oś).
Pochodna funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)
Jeżeli \(f"(x_0)=0\), to styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równoległa do osi \(Ox\).
Równanie styczne
Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotoniczność funkcji Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia we wszystkich punktach przedziału, to funkcja rośnie w tym przedziale.
Jeżeli pochodna funkcji jest ujemna we wszystkich punktach przedziału, to funkcja maleje w tym przedziale.
Minimum, maksimum i punkty przegięcia pozytywny NA negatywny w tym momencie \(x_0\) jest maksymalnym punktem funkcji \(f\).
Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\), a wartość pochodnej tej funkcji \(f"\) zmienia się wraz z negatywny NA pozytywny w tym momencie \(x_0\) jest minimalnym punktem funkcji \(f\).
Nazywa się punkty, w których pochodna \(f"\) jest równa zeru lub nie istnieje punkt krytyczny funkcje \(f\).
Punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji \(f(x)\), w której \(f"(x)=0\) mogą być minimum, maksimum lub punktami przegięcia.
Fizyczne znaczenie pochodnej Jeżeli punkt materialny porusza się prostoliniowo i jego współrzędna zmienia się w czasie zgodnie z prawem \(x=x(t)\), to prędkość tego punktu jest równa pochodnej współrzędnej po czasie:
Przyspieszenie punktu materialnego jest równe pochodnej prędkości tego punktu po czasie:
\(a(t)=v"(t).\)
Prosta y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10. Znajdź b, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest mniejsza od zera.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez który przechodzi styczna do tego wykresu.
Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcja i tangens, czyli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)
Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.
Odpowiedź
Stan
Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa polu ograniczonego trapezu krzywoliniowego poprzez wykres funkcji y=f(x), proste y=0 , x=9 i x=5. Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3.
Jego pole jest równe \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Stan
Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-4; 10). Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi: wskaż długość największego z nich.
Rozwiązanie
Jak wiadomo, funkcja f(x) maleje na tych przedziałach, w każdym punkcie, w którym pochodna f”(x) jest mniejsza od zera. Biorąc pod uwagę konieczność znalezienia długości największego z nich, wyznaczamy trzy takie przedziały naturalnie odróżnione od figury: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Długość największego z nich - (5; 9) wynosi 4.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Stan
Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-8; 7). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do przedział [-6; -2].
.png)
Rozwiązanie
Z wykresu wynika, że pochodna f”(x) funkcji f(x) zmienia znak z plusa na minus (w takich punktach będzie maksimum) dokładnie w jednym punkcie (pomiędzy -5 a -4) z przedziału [ -6; -2 ] Zatem na przedziale [-6; -2] znajduje się dokładnie jeden punkt maksymalny.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Stan
Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2; 8). Wyznacz liczbę punktów, w których pochodna funkcji f(x) jest równa 0.
Rozwiązanie
Równość pochodnej w punkcie do zera oznacza, że styczna do wykresu funkcji narysowanej w tym punkcie jest równoległa do osi Ox. Znajdujemy zatem punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Wółu. NA ten wykres takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieje 5 punktów ekstremalnych.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Stan
Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7. Znajdź odciętą punktu stycznego.
Pokaż rozwiązanieRozwiązanie
Współczynnik kątowy prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 w dowolnym punkcie x_0 jest równy y"(x_0). Ale y"=-2x+5, co oznacza y" (x_0)=-2x_0+5 Kątowy współczynnik prostej y=-3x+4 podany w warunku jest równy -3 Linie równoległe mają takie same stoki. Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że =-2x_0 +5=-3.
Otrzymujemy: x_0 = 4.
Odpowiedź
Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.
Stan
Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), a na odciętej zaznaczono punkty -6, -1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Cześć przyjaciele! W tym artykule przyjrzymy się zadaniom dla funkcji pierwotnych. Zadania te wchodzą w skład Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Choć same sekcje – różniczkowanie i całkowanie – są na kursie algebry dość pojemne i wymagają odpowiedzialnego podejścia do zrozumienia, to jednak same zadania, które są zawarte w otwarty bank zadania matematyczne na egzaminie Unified State Exam będą niezwykle proste i można je rozwiązać w jednym lub dwóch krokach.
Ważne jest dokładne zrozumienie istoty funkcji pierwotnej, a w szczególności geometrycznego znaczenia całki. Przyjrzyjmy się pokrótce podstawom teoretycznym.
Geometryczne znaczenie całki
Krótko o całce możemy powiedzieć tak: całka to pole.
Definicja: Niech wykres funkcji dodatniej f określonej na odcinku będzie dany na płaszczyźnie współrzędnych. Podgraf (lub trapez krzywoliniowy) to figura ograniczona wykresem funkcji f, liniami x = a i x = b oraz osią x.
Definicja: Niech będzie dana funkcja dodatnia f, określona na skończonym odcinku. Całką funkcji f na segmencie jest obszar jej podgrafu.
Jak już powiedziano F′(x) = f(x).Co możemy stwierdzić?
To proste. Musimy wyznaczyć, ile jest na tym wykresie punktów, w których F′(x) = 0. Wiemy, że w tych punktach, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi x. Pokażmy te punkty na przedziale [–2;4]:
Są to ekstrema danej funkcji F(x). Jest ich dziesięć.
Odpowiedź: 10
323078. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x) (dwa promienie o wspólnym punkcie początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F (8) – F (2), gdzie F (x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f (x).
Zapiszmy jeszcze raz twierdzenie Newtona-Leibniza:Niech f tę funkcję, F jest jego dowolną funkcją pierwotną. Następnie
A to, jak już powiedziano, jest obszarem podgrafu funkcji.
Zatem problem sprowadza się do znalezienia pola trapezu (przedział od 2 do 8):
Obliczenie tego za pomocą komórek nie jest trudne. Otrzymujemy 7. Znak jest dodatni, ponieważ liczba znajduje się powyżej osi x (lub w dodatniej półpłaszczyźnie osi y).
Także w w tym przypadku można powiedzieć tak: różnica wartości funkcji pierwotnych w punktach to obszar figury.
Odpowiedź: 7
323079. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x). Funkcja F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji y = f (x). Znajdź obszar zacienionej figury.
Jak już powiedziano o zmysł geometryczny Całką jest obszar figury ograniczony wykresem funkcji f (x), liniami prostymi x = a i x = b oraz osią wołu.
Twierdzenie (Newtona – Leibniza):
Zadanie sprowadza się zatem do obliczenia całki oznaczonej danej funkcji na przedziale od –11 do –9, czyli inaczej mówiąc musimy znaleźć różnicę wartości funkcji pierwotnych obliczonych we wskazanych punktach:
Odpowiedź: 6
323080. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x).
Funkcja F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f (x). Znajdź obszar zacienionej figury.
Twierdzenie (Newtona – Leibniza):
Problem sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej danej funkcji w przedziale od –10 do –8:
Odpowiedź: 4 Możesz obejrzeć .
Instrumenty pochodne i zasady różnicowania są również dostępne w . Trzeba je znać, nie tylko po to, żeby rozwiązywać takie zadania.
Możesz też popatrzeć informacje podstawowe na stronie internetowej i.
Obejrzyj krótki film, to fragment filmu „The Blind Side”. Można powiedzieć, że to film o wychowaniu, o miłosierdziu, o znaczeniu rzekomo „przypadkowych” spotkań w naszym życiu… Ale te słowa nie wystarczą, sam film polecam obejrzeć, gorąco polecam.
Życzę Ci sukcesu!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
