Първо ниво

експоненциални уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

Здравейте! Днес ще обсъдим с вас как да решавате уравнения, които могат да бъдат както елементарни (и се надявам, че след като прочетете тази статия, почти всички ще бъдат такива за вас), така и тези, които обикновено се дават "запълване". Явно, за да заспя напълно. Но ще се опитам да дам всичко от себе си, така че сега да не си навлечете проблеми, когато се сблъскате с този тип уравнение. Вече няма да се заобикалям, но веднага ще разкрия една малка тайна: днес ще учим експоненциални уравнения.

Преди да пристъпя към анализ на начините за решаването им, веднага ще очертая за вас кръг от въпроси (доста малък), които трябва да повторите, преди да се втурнете да щурмувате тази тема. Така че, за най-добри резултати, моля повтарям:

свойства и
Решение и уравнения

Повтаря се? Чудесен! Тогава няма да ви е трудно да забележите, че коренът на уравнението е число. Сигурен ли си, че разбираш как го направих? Истина? След това продължаваме. А сега ми отговорете на въпроса колко е равно на трета степен? Ти си абсолютно прав: . Каква степен на две е осем? Точно така - третият! защото. Е, сега нека се опитаме да решим следната задача: Нека умножа числото само по себе си веднъж и да получа резултата. Въпросът е колко пъти съм умножил по себе си? Разбира се, можете да проверите това директно:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( подравнявам)

Тогава можете да заключите, че съм умножил пъти сам по себе си. Как иначе може да се провери това? И ето как: директно по дефиницията на степента: . Но трябва да признаете, че ако попитам колко пъти трябва да се умножи две по себе си, за да се получи, да речем, ще ми кажете: няма да се заблуждавам и да се умножа по себе си, докато не посинееш. И би бил абсолютно прав. Защото как можеш запишете всички действия накратко(и краткостта е сестрата на таланта)

където - това е самото "времена"когато умножите по себе си.

Мисля, че знаете (и ако не знаете, спешно, много спешно повторете степените!), че тогава проблемът ми ще бъде написан във формата:

Как можете разумно да заключите, че:

И така, тихо, записах най-простото експоненциално уравнение:

И дори го намери корен. Не мислите ли, че всичко е доста тривиално? Точно това мисля и аз. Ето още един пример за вас:

Но какво да се прави? В крайна сметка не може да се напише като степен на (разумно) число. Нека не се отчайваме и да отбележим, че и двете числа са перфектно изразени по отношение на степента на едно и също число. Какво? Вдясно: . След това оригиналното уравнение се трансформира във формата:

Откъде, както вече разбрахте,. Да не дърпаме повече и да записваме определение:

В нашия случай с вас: .

Тези уравнения се решават чрез редуцирането им до формата:

с последващо решение на уравнението

Ние всъщност направихме това в предишния пример: получихме това. И решихме най-простото уравнение с вас.

Изглежда, че няма нищо сложно, нали? Нека първо се упражняваме върху най-простия. примери:

Отново виждаме, че дясната и лявата страна на уравнението трябва да бъдат представени като степен на едно число. Вярно, това вече е направено отляво, но отдясно има номер. Но в крайна сметка всичко е наред и моето уравнение по чудо се трансформира в това:

Какво трябваше да правя тук? Какво правило? Правило от власт към власткойто гласи:

Какво ако:

Преди да отговорим на този въпрос, нека попълним с вас следната таблица:

Лесно е да забележим, че колкото по-малко, толкова по-малка е стойността, но въпреки това всички тези стойности са по-големи от нула. И ВИНАГИ ЩЕ Е ТАКА!!! Същото свойство е вярно ЗА ВСЯКА БАЗА С ВСЯКАКЪВ ИНДЕКС!! (за всякакви и). Тогава какво можем да заключим за уравнението? И ето едно: то няма корени! Точно както всяко уравнение няма корени. Сега нека практикуваме и Нека решим няколко прости примера:

Да проверим:

1. Тук не се изисква нищо от вас, освен да знаете свойствата на степените (които, между другото, ви помолих да повторите!) По правило всичко води до най-малката база: , . Тогава оригиналното уравнение ще бъде еквивалентно на следното: Всичко, от което се нуждая, е да използвам свойствата на степените: при умножение на числа с еднаква основа степените се събират, а при деление се изваждат.Тогава ще получа: Е, сега с чиста съвест ще премина от експоненциалното уравнение към линейното: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\край (подравняване)

2. Във втория пример трябва да сте по-внимателни: проблемът е, че от лявата страна също не можем да представим същото число като степен. В този случай понякога е полезно представят числата като произведение на степени с различни основи, но еднакви показатели:

Лявата страна на уравнението ще приеме формата: Какво ни даде това? И ето какво: Числата с различни основи, но една и съща степен могат да бъдат умножени.В този случай основите се умножават, но степента не се променя:

Приложено към моята ситуация, това ще даде:

\начало(подравняване)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\край (подравняване)

Не е лошо, нали?

3. Не ми харесва, когато имам два члена от едната страна на уравнението и нито един от другата (понякога, разбира се, това е оправдано, но сега не е така). Преместете минус члена надясно:

Сега, както преди, ще напиша всичко чрез силите на тройката:

Добавям степените отляво и получавам еквивалентно уравнение

Можете лесно да намерите неговия корен:

4. Както в пример три, членът с минус - място от дясната страна!

Отляво почти всичко ми е наред, с изключение на какво? Да, "грешната степен" на двойката ме притеснява. Но мога лесно да поправя това, като напиша: . Еврика - отляво всички основи са различни, но всички степени са еднакви! Размножаваме се бързо!

Тук отново всичко е ясно: (ако не сте разбрали как магически получих последното равенство, починете си за минута, починете си и прочетете отново много внимателно свойствата на степента. Кой каза, че можете да пропуснете степен с отрицателен показател? Е, тук съм почти същият като никой). Сега ще получа:

\начало(подравняване)
& ((2)^(4\наляво((x) -9 \надясно)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\край (подравняване)

Ето и задачите за упражнения, на които ще дам само отговорите (но в „смесен” вид). Решете ги, проверете и ние ще продължим нашето проучване!

Готов? Отговорикато тези:

произволен брой

Добре, добре, пошегувах се! Ето очертанията на решенията (някои са доста кратки!)

Не мислите ли, че неслучайно една дроб отляво е "обърната" друга? Би било грях да не използваме това:

Това правило се използва много често при решаване на експоненциални уравнения, запомнете го добре!

Тогава първоначалното уравнение става:

Решавайки това квадратно уравнение, ще получите следните корени:

2. Друго решение: разделяне на двете части на уравнението на израза отляво (или отдясно). Ще разделя на това, което е отдясно, тогава ще получа:

Къде (защо?!)

3. Дори не искам да се повтарям, всичко вече е "сдъвкано" толкова много.

4. еквивалентно на квадратно уравнение, корените

5. Трябва да използвате формулата, дадена в първата задача, тогава ще получите, че:

Уравнението се превърна в тривиално тъждество, което е вярно за всеки. Тогава отговорът е всяко реално число.

Е, ето ви и се упражнихте да решавате най-простите експоненциални уравнения.Сега искам да ви дам няколко примера от живота, които ще ви помогнат да разберете защо са необходими по принцип. Тук ще дам два примера. Единият от тях е съвсем ежедневен, но другият представлява повече научен, отколкото практически интерес.

Пример 1 (меркантилен)Нека имате рубли, но искате да ги превърнете в рубли. Банката Ви предлага да вземе тези пари от Вас при годишен лихвен процент с месечна капитализация на лихвата (месечно начисляване). Въпросът е за колко месеца трябва да отворите депозит, за да съберете желаната крайна сума? Доста светска задача, нали? Независимо от това, неговото решение е свързано с изграждането на съответното експоненциално уравнение: Нека - първоначалната сума, - крайната сума, - лихвеният процент за периода, - броят на периодите. Тогава:

В нашия случай (ако процентът е годишен, тогава се изчислява на месец). Защо е разделена на? Ако не знаете отговора на този въпрос, запомнете темата ""! Тогава получаваме следното уравнение:

Това експоненциално уравнение вече може да се реши само с калкулатор (появата му подсказва това, а това изисква познаване на логаритмите, с които ще се запознаем малко по-късно), което ще направя: ... Така, за да получим милион, трябва да направим вноска за един месец (не много бързо, нали?).

Пример 2 (по-скоро научен).Въпреки неговата, известна "изолация", препоръчвам да му обърнете внимание: той редовно "се подхлъзва на изпита!! (задачата е взета от “реалния” вариант) При разпадането на радиоактивен изотоп масата му намалява по закона, където (mg) е началната маса на изотопа, (min.) е времето, изминало от начален момент, (мин.) е полуживотът. В началния момент масата на изотопа е mg. Неговият полуживот е мин. След колко минути масата на изотопа ще бъде равна на mg? Всичко е наред: просто вземаме и заместваме всички данни във формулата, предложена ни:

Нека разделим двете части на "с надеждата", че отляво ще получим нещо смилаемо:

Е, ние сме големи късметлии! Стои отляво, тогава нека преминем към еквивалентното уравнение:

Където мин.

Както можете да видите, експоненциалните уравнения имат много реално приложение на практика. Сега искам да обсъдя с вас друг (прост) начин за решаване на експоненциални уравнения, който се основава на изваждане на общия множител извън скоби и след това групиране на членовете. Не се страхувайте от думите ми, вие вече сте се сблъсквали с този метод в 7 клас, когато сте учили полиноми. Например, ако трябва да факторизирате израза:

Нека групираме: първия и третия член, както и втория и четвъртия. Ясно е, че първото и третото са разликата на квадратите:

а второто и четвъртото имат общ множител три:

Тогава оригиналният израз е еквивалентен на това:

Къде да извадите общия фактор вече не е трудно:

Следователно,

Приблизително така ще действаме, когато решаваме експоненциални уравнения: потърсете „общност“ сред термините и я извадете от скобите, а след това - каквото и да стане, вярвам, че ще имаме късмет =)) Например:

Отдясно е далеч от степента на седем (проверих!) И отляво - малко по-добре, можете, разбира се, да „отрежете“ фактора a от първия термин и от втория и след това да се справите с получената, но нека постъпим по-предпазливо с вас. Не искам да се занимавам с фракциите, които неизбежно се произвеждат от „подбора“, така че не трябва ли да е по-добре да издържа? Тогава няма да имам дроби: както се казва, и вълците са сити, и овцете са в безопасност:

Пребройте израза в скоби. Магически, магически се оказва така (изненадващо, но какво друго да очакваме?).

След това намаляваме двете страни на уравнението с този коефициент. Получаваме: къде.

Ето един по-сложен пример (доста малко, наистина):

Тук е бедата! Тук нямаме допирни точки! Не е съвсем ясно какво да правим сега. И нека направим каквото можем: първо ще преместим „четворките“ в една посока, а „петиците“ в другата:

Сега нека премахнем "общото" отляво и отдясно:

И сега какво? Каква е ползата от такова тъпо групиране? На пръв поглед изобщо не се вижда, но нека погледнем по-дълбоко:

Е, сега нека направим така, че отляво да имаме само израза c, а отдясно - всичко останало. Как можем да го направим? И ето как: Разделете двете страни на уравнението първо на (така че да се отървем от показателя отдясно), а след това разделете и двете страни на (така че да се отървем от числовия фактор отляво). Накрая получаваме:

Невероятен! Отляво имаме израз, а отдясно – просто. Тогава веднага заключаваме, че

Ето още един пример за засилване:

Ще дам неговото кратко решение (без да си правя труда да обяснявам), опитайте се да разберете сами всички „тънкости“ на решението.

Сега окончателното консолидиране на покрития материал. Опитайте се да разрешите следните проблеми сами. Ще дам само кратки препоръки и съвети за решаването им:

Нека извадим общия множител извън скобите:
Представяме първия израз във формата: , разделяме двете части на и получаваме това
, тогава оригиналното уравнение се преобразува във формата: Е, сега подсказка - потърсете къде вие и аз вече сме решили това уравнение!
Представете си как, как, ах, добре, след това разделете двете части на, така че да получите най-простото експоненциално уравнение.
Извадете го от скоби.
Извадете го от скоби.

ЕКСПОЗИЦИОННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Предполагам, че след като прочетох първата статия, която разказа какво представляват експоненциалните уравнения и как се решават, вие сте усвоили необходимия минимум от знания, необходими за решаване на най-простите примери.

Сега ще анализирам друг метод за решаване на експоненциални уравнения, това е

"метод за въвеждане на нова променлива" (или заместване).Той решава повечето от "трудните" задачи, по темата за показателните уравнения (и не само уравнения). Този метод е един от най-често използваните в практиката. Първо, препоръчвам ви да се запознаете с темата.

Както вече разбрахте от името, същността на този метод е да се въведе такава промяна на променливата, че вашето експоненциално уравнение по чудо да се трансформира в такова, което вече можете лесно да решите. Всичко, което ви остава след решаването на това много „опростено уравнение“ е да направите „обратна замяна“: тоест да се върнете от замененото към замененото. Нека илюстрираме това, което току-що казахме, с много прост пример:

Пример 1:

Това уравнение се решава чрез „просто заместване“, както пренебрежително го наричат математиците. Наистина, заместването тук е най-очевидно. Това просто трябва да се види

Тогава първоначалното уравнение става:

Ако допълнително си представим как, тогава е съвсем ясно какво трябва да бъде заменено: разбира се, . Какво тогава става оригиналното уравнение? И ето какво:

Можете лесно да намерите корените му сами:. Какво да правим сега? Време е да се върнете към първоначалната променлива. Какво забравих да включа? А именно: при замяна на определена степен с нова променлива (т.е. при замяна на тип) ще се интересувам от само положителни корени!Вие сами можете лесно да отговорите защо. По този начин ние не се интересуваме от вас, но вторият корен е доста подходящ за нас:

Тогава къде.

Отговор:

Както можете да видите, в предишния пример замяната искаше нашите ръце. За съжаление не винаги е така. Нека обаче не преминаваме направо към тъжното, а се упражняваме върху още един пример с доста проста замяна

Пример 2

Ясно е, че най-вероятно ще е необходимо да се замени (това е най-малката от мощностите, включени в нашето уравнение), но преди да се въведе замяна, нашето уравнение трябва да бъде „подготвено“ за това, а именно: , . След това можете да замените, като резултат ще получа следния израз:

О, ужас: кубично уравнение с абсолютно ужасни формули за неговото решение (добре, казано в общи линии). Но да не се отчайваме веднага, а да помислим какво трябва да направим. Ще предложа измама: знаем, че за да получим „красив“ отговор, трябва да влезем във формата на някаква степен на три (защо така, а?). И нека се опитаме да отгатнем поне един корен от нашето уравнение (ще започна да гадая от степени на три).

Първо предположение. Не е корен. Уви и ах...

.
Лявата страна е равна.
Дясна част: !
Има! Познах първия корен. Сега нещата ще станат по-лесни!

Знаете ли за схемата за разделяне на "ъгъл"? Разбира се, че знаете, че го използвате, когато разделяте едно число на друго. Но малко хора знаят, че същото може да се направи и с полиноми. Има една чудесна теорема:

Приложимо към моята ситуация, той ми казва на какво се дели без остатък. Как се извършва разделянето? Ето как:

Гледам кой моном трябва да умножа, за да получа Clear, след което:

Изваждам получения израз от, получавам:

Сега, какво трябва да умножа, за да получа? Ясно е, че на, тогава ще получа:

и отново извадете получения израз от останалия:

Е, последната стъпка, умножавам по и изваждам от останалия израз:

Ура, разделението приключи! Какво натрупахме насаме? От само себе си: .

Тогава получихме следното разширение на оригиналния полином:

Нека решим второто уравнение:

Има корени:

Тогава първоначалното уравнение:

има три корена:

Ние, разбира се, изхвърляме последния корен, тъй като той е по-малък от нула. И първите две след обратната замяна ще ни дадат два корена:

Отговор: ..

С този пример изобщо не исках да ви плаша, а по-скоро се стремях да покажа, че въпреки че имахме доста проста замяна, все пак това доведе до доста сложно уравнение, чието решение изисква някои специални умения от нас . Е, никой не е имунизиран от това. Но промяната в този случай беше доста очевидна.

Ето един пример с малко по-малко очевидно заместване:

Изобщо не е ясно какво трябва да направим: проблемът е, че в нашето уравнение има две различни основи и едната база не може да бъде получена от другата чрез повдигането й на каквато и да е (разумна, естествено) степен. Какво обаче виждаме? И двете бази се различават само по знака, а произведението им е разликата на квадратите, равна на единица:

определение:

По този начин числата, които са бази в нашия пример, са спрегнати.

В такъв случай разумният ход би бил умножете двете страни на уравнението по спрегнатото число.

Например, на, тогава лявата страна на уравнението ще стане равна, а дясната страна. Ако направим замяна, тогава нашето първоначално уравнение с вас ще стане така:

неговите корени, тогава, но като си спомним това, разбираме това.

Отговор: , .

По правило методът на заместване е достатъчен за решаване на повечето "училищни" експоненциални уравнения. Следните задачи са взети от Единния държавен изпит С1 (повишено ниво на трудност). Вече сте достатъчно грамотни, за да решите тези примери сами. Ще дам само необходимата замяна.

Решете уравнението:
Намерете корените на уравнението:
Решете уравнението: . Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента:

Сега за някои бързи обяснения и отговори:

Тук е достатъчно да се отбележи, че и. Тогава първоначалното уравнение ще бъде еквивалентно на това: Това уравнение се решава чрез замяна Направете следните изчисления сами. В крайна сметка задачата ви ще се сведе до решаване на най-простия тригонометричен (в зависимост от синуса или косинуса). Ще обсъдим решението на такива примери в други раздели.
Тук дори можете да направите без замяна: достатъчно е да прехвърлите субтрахенда надясно и да представите двете основи чрез мощности на две: и след това веднага да преминете към квадратното уравнение.
Третото уравнение също се решава по доста стандартен начин: представете си как. След това, замествайки, получаваме квадратно уравнение: тогава,
Знаете ли вече какво е логаритъм? Не? Тогава спешно прочетете темата!

Първият корен, очевидно, не принадлежи на сегмента, а вторият е неразбираем! Но много скоро ще разберем! Тъй като тогава (това е свойство на логаритъма!) Нека сравним:

Извадете от двете части, тогава получаваме:

Лявата страна може да бъде представена като:

умножете двете страни по:

може да се умножи по, тогава

Тогава нека сравним:

от тогава:

Тогава вторият корен принадлежи на желания интервал

Отговор:

Както виждаш, изборът на корените на експоненциалните уравнения изисква доста задълбочено познаване на свойствата на логаритмите, така че ви съветвам да бъдете възможно най-внимателни при решаването на експоненциални уравнения. Както знаете, в математиката всичко е взаимосвързано! Както казваше моят учител по математика: „Математиката е като историята, не можеш да я прочетеш за една нощ“.

Като правило всички трудността при решаването на задачи C1 е именно изборът на корените на уравнението.Нека практикуваме с друг пример:

Ясно е, че самото уравнение се решава доста просто. След като сме направили заместването, редуцираме първоначалното си уравнение до следното:

Нека първо разгледаме първия корен. Сравнете и: от тогава. (свойство на логаритмичната функция, at). Тогава е ясно, че първият корен също не принадлежи на нашия интервал. Сега вторият корен: . Ясно е, че (тъй като функцията нараства). Остава да сравним и

тъй като, тогава, по същото време. Така мога да "забия колче" между и. Това колче е число. Първият израз е по-малко от, а вторият е по-голямо от. Тогава вторият израз е по-голям от първия и коренът принадлежи на интервала.

Отговор: .

В заключение, нека да разгледаме друг пример за уравнение, където заместването е доста нестандартно:

Нека започнем веднага с това какво можете да направите и какво - по принцип можете, но е по-добре да не го правите. Възможно е - да се представи всичко чрез степените на три, две и шест. Накъде води? Да, и няма да доведе до нищо: смесица от степени, от някои от които ще бъде доста трудно да се отървете. Какво тогава е необходимо? Нека отбележим, че a И какво ще ни даде? И фактът, че можем да намалим решението на този пример до решението на сравнително просто експоненциално уравнение! Първо, нека пренапишем нашето уравнение като:

Сега разделяме двете страни на полученото уравнение на:

Еврика! Сега можем да заменим, получаваме:

Е, сега е ваш ред да решавате задачи за демонстрация, а аз ще дам само кратки коментари към тях, за да не се заблудите! Късмет!

1. Най-трудното! Да видиш заместник тук е о, колко грозно! Въпреки това, този пример може да бъде напълно разрешен с помощта на избор на пълен квадрат. За да го разрешим, достатъчно е да отбележим, че:

Ето го вашият заместител:

(Имайте предвид, че тук, с нашата замяна, не можем да отхвърлим отрицателния корен!!! И защо, какво мислите?)

Сега, за да решите примера, трябва да решите две уравнения:

И двете се решават чрез "стандартната замяна" (но втората в един пример!)

2. Забележете това и направете заместване.

3. Разгънете числото на взаимно прости множители и опростете получения израз.

4. Разделете числителя и знаменателя на дробта на (или ако предпочитате) и направете заместването или.

5. Забележете, че числата и са спрегнати.

ЕКСПОЗИЦИОННИ УРАВНЕНИЯ. НАПРЕДНАЛО НИВО

В допълнение, нека да разгледаме друг начин - решение на експоненциални уравнения по логаритмичния метод. Не мога да кажа, че решаването на експоненциални уравнения по този метод е много популярно, но в някои случаи само той може да ни доведе до правилното решение на нашето уравнение. Особено често се използва за решаване на т.нар. смесени уравнения': т.е. тези, където има функции от различни типове.

Например уравнение като:

в общия случай може да се реши само чрез вземане на логаритъм на двете части (например по основа), при което първоначалното уравнение се превръща в следното:

Нека разгледаме следния пример:

Ясно е, че ни интересува само ODZ на логаритмичната функция. Това обаче следва не само от ОДЗ на логаритъма, но и по друга причина. Мисля, че няма да ви е трудно да познаете кое.

Нека вземем логаритъма на двете страни на нашето уравнение към основата:

Както можете да видите, вземането на логаритъм на нашето първоначално уравнение бързо ни доведе до правилния (и красив!) отговор. Нека практикуваме с друг пример:

Тук също няма за какво да се притесняваме: вземаме логаритъма на двете страни на уравнението по отношение на основата, след което получаваме:

Да направим замяна:

Нещо обаче пропуснахме! Забелязахте ли къде направих грешка? В крайна сметка тогава:

което не отговаря на изискването (помислете откъде идва!)

Отговор:

Опитайте се да запишете решението на експоненциалните уравнения по-долу:

Сега проверете решението си с това:

1. Логаритмуваме двете части към основата, като се има предвид, че:

(вторият корен не ни подхожда поради замяната)

2. Логаритъм към основата:

Нека трансформираме получения израз в следния вид:

ЕКСПОЗИЦИОННИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ОПИСАНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

експоненциално уравнение

Тип уравнение:

Наречен най-простото експоненциално уравнение.

Свойства на степента

Подходи за решение

Намаляване до същата база
Намаляване до същия показател
Променливо заместване
Опростете израза и приложете едно от горните.

На етапа на подготовка за окончателното тестване учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „Експоненциални уравнения“. Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва внимателно да овладеят теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. Научили се да се справят с този тип задачи, абитуриентите ще могат да разчитат на високи резултати при полагане на изпита по математика.

Пригответе се за изпитното тестване заедно с Школково!

При повтаряне на преминатите материали много ученици се сблъскват с проблема с намирането на формулите, необходими за решаване на уравненията. Училищният учебник не винаги е под ръка, а изборът на необходимата информация по дадена тема в Интернет отнема много време.

Образователният портал Школково кани учениците да използват нашата база от знания. Внедряваме изцяло нов метод за подготовка за финалния тест. Изучавайки на нашия сайт, вие ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание точно на онези задачи, които причиняват най-големи трудности.

Учителите на "Школково" събраха, систематизираха и представиха всички материали, необходими за успешното полагане на изпита в най-простата и достъпна форма.

Основните определения и формули са представени в раздел "Теоретичен справочник".

За по-добро усвояване на материала ви препоръчваме да практикувате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете със задачите в секция "Каталози". Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.

Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към "Любими". Така че можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с учителя.

За да преминете успешно изпита, учете на портала Школково всеки ден!

Този урок е предназначен за тези, които тепърва започват да учат експоненциални уравнения. Както винаги, нека започнем с определение и прости примери.

Ако четете този урок, тогава подозирам, че вече имате поне минимално разбиране на най-простите уравнения - линейни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ и т.н. Да можете да решавате такива конструкции е абсолютно необходимо, за да не „увиснете“ в темата, която ще обсъдим сега.

И така, експоненциални уравнения. Нека ви дам няколко примера:

\[((2)^(x))=4;\квад ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\квад ((9)^(x))=- 3\]

Някои от тях може да ви изглеждат по-сложни, някои от тях, напротив, са твърде прости. Но всички те са обединени от една важна характеристика: те съдържат експоненциална функция $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Така въвеждаме определението:

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, което съдържа експоненциална функция, т.е. израз във формата $((a)^(x))$. В допълнение към посочената функция, такива уравнения могат да съдържат всякакви други алгебрични конструкции - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.

Добре тогава. Разбрах определението. Сега въпросът е: как да разрешим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.

Нека започнем с добрата новина: от моя опит с много студенти мога да кажа, че за повечето от тях експоненциалните уравнения са много по-лесни от същите логаритми и още повече тригонометрията.

Но има и лоша новина: понякога компилаторите на задачи за всякакви учебници и изпити са посетени от „вдъхновение“ и техният възпален от наркотици мозък започва да произвежда толкова брутални уравнения, че става проблематично не само за студентите да ги решават - дори много учители се забиват в такива проблеми.

Все пак да не говорим за тъжни неща. И да се върнем към тези три уравнения, които бяха дадени в самото начало на историята. Нека се опитаме да разрешим всеки от тях.

Първо уравнение: $((2)^(x))=4$. Е, на каква степен трябва да се повдигне числото 2, за да се получи числото 4? Може би второто? В края на краищата $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — и сме получили правилното числово равенство, т.е. наистина $x=2$. Е, благодаря, капаче, но това уравнение беше толкова просто, че дори моята котка можеше да го реши. :)

Нека разгледаме следното уравнение:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но тук е малко по-трудно. Много ученици знаят, че $((5)^(2))=25$ е таблицата за умножение. Някои също подозират, че $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ по същество е дефиницията на отрицателни показатели (подобно на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

И накрая, само няколко избрани предполагат, че тези факти могат да бъдат комбинирани и изходът е следният резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Така нашето първоначално уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Дясна стрелка ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

И сега това вече е напълно решено! От лявата страна на уравнението има експоненциална функция, от дясната страна на уравнението има експоненциална функция, никъде другаде няма нищо освен тях. Следователно е възможно да „изхвърлите“ базите и глупаво да приравните показателите:

Получихме най-простото линейно уравнение, което всеки ученик може да реши само с няколко реда. Добре, в четири реда:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ако не разбирате какво се е случило в последните четири реда, не забравяйте да се върнете към темата „линейни уравнения“ и да я повторите. Защото без ясна асимилация на тази тема е твърде рано да се заемете с експоненциални уравнения.

\[((9)^(x))=-3\]

Е, как решавате? Първа мисъл: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано по следния начин:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

След това си спомняме, че при повишаване на степен до степен индикаторите се умножават:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

И за такова решение получаваме честно заслужена двойка. Защото ние, с хладнокръвието на покемон, изпратихме знака минус пред тройката на степен на тази тройка. И не можете да направите това. И ето защо. Разгледайте различните сили на тройката:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Компилирайки тази таблетка, не се извратих веднага щом го направих: взех под внимание положителни степени, отрицателни и дори дробни ... е, къде е поне едно отрицателно число тук? Той не е! И не може да бъде, защото експоненциалната функция $y=((a)^(x))$, първо, винаги приема само положителни стойности (без значение колко умножавате едно или делите на две, пак ще бъде положително число), и второ, основата на такава функция, числото $a$, по дефиниция е положително число!

Е, как тогава да решим уравнението $((9)^(x))=-3$? Не, няма корени. И в този смисъл експоненциалните уравнения са много подобни на квадратните - също може да няма корени. Но ако в квадратните уравнения броят на корените се определя от дискриминанта (дискриминантът е положителен - 2 корена, отрицателен - без корени), тогава в експоненциалните уравнения всичко зависи от това какво е вдясно от знака за равенство.

Така формулираме ключовия извод: най-простото експоненциално уравнение от вида $((a)^(x))=b$ има корен тогава и само ако $b>0$. Познавайки този прост факт, можете лесно да определите дали предложеното ви уравнение има корени или не. Тези. струва ли си изобщо да го решавате или веднага да запишете, че няма корени.

Това знание ще ни помогне многократно, когато трябва да решаваме по-сложни задачи. Междувременно достатъчно текстове - време е да изучим основния алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения.

Как се решават експоненциални уравнения

И така, нека формулираме проблема. Необходимо е да се реши експоненциалното уравнение:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Според "наивния" алгоритъм, който използвахме по-рано, е необходимо да представим числото $b$ като степен на числото $a$:

Освен това, ако има израз вместо променливата $x$, ще получим ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Стрелка надясно ((3)^(-x))=((3)^(4))\Стрелка надясно -x=4\Стрелка надясно x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Дясна стрелка ((5)^(2x))=((5)^(3))\Дясна стрелка 2x=3\Дясна стрелка x=\frac(3)( 2). \\\край (подравняване)\]

И колкото и да е странно, тази схема работи в около 90% от случаите. Какво ще кажете за останалите 10% тогава? Останалите 10% са леко "шизофренични" експоненциални уравнения от формата:

\[((2)^(x))=3;\квад ((5)^(x))=15;\квад ((4)^(2x))=11\]

На каква степен трябва да повишите 2, за да получите 3? В първия? Но не: $((2)^(1))=2$ не е достатъчно. Във втория? Нито едно от двете: $((2)^(2))=4$ не е твърде много. Какво тогава?

Знаещите студенти вероятно вече са се досетили: в такива случаи, когато е невъзможно да се реши „красиво“, „тежката артилерия“ е свързана със случая - логаритми. Позволете ми да ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на всяко друго положително число (с изключение на едно):

Помните ли тази формула? Когато разказвам на учениците си за логаритми, винаги ви предупреждавам: тази формула (тя е и основното логаритмично тъждество или, ако желаете, дефиницията на логаритъм) ще ви преследва много дълго време и ще „изплува“ в най-много неочаквани места. Е, тя изплува. Нека да разгледаме нашето уравнение и тази формула:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ако приемем, че $a=3$ е нашето първоначално число отдясно и $b=2$ е самата основа на експоненциалната функция, до която толкова искаме да редуцираме дясната страна, получаваме следното:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Стрелка надясно x=( (\log )_(2))3. \\\край (подравняване)\]

Получихме малко странен отговор: $x=((\log )_(2))3$. В някоя друга задача с такъв отговор мнозина биха се усъмнили и започнали да проверяват решението си: ами ако някъде има грешка? Бързам да ви зарадвам: тук няма грешка и логаритмите в корените на експоненциалните уравнения са доста типична ситуация. Така че свиквай. :)

Сега решаваме по аналогия останалите две уравнения:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Стрелка надясно ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Стрелка надясно 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Между другото, последният отговор може да бъде написан по различен начин:

Ние въведохме множителя в аргумента на логаритъма. Но никой не ни пречи да добавим този фактор към основата:

Освен това и трите варианта са правилни - те са просто различни форми на запис на едно и също число. Кое да изберете и запишете в това решение зависи от вас.

Така се научихме да решаваме всякакви експоненциални уравнения от вида $((a)^(x))=b$, където числата $a$ и $b$ са строго положителни. Въпреки това, суровата реалност на нашия свят е такава, че такива прости задачи ще ви срещнат много, много рядко. По-често ще срещнете нещо подобно:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Е, как решавате? Може ли това изобщо да се разреши? И ако е така, как?

Без паника. Всички тези уравнения бързо и просто се свеждат до онези прости формули, които вече разгледахме. Просто трябва да знаете, за да запомните няколко трика от курса по алгебра. И разбира се, тук няма правила за работа с дипломи. Сега ще говоря за всичко това. :)

Трансформация на експоненциални уравнения

Първото нещо, което трябва да запомните, е, че всяко експоненциално уравнение, независимо колко сложно може да бъде, по един или друг начин трябва да бъде сведено до най-простите уравнения - същите тези, които вече разгледахме и които знаем как да решим. С други думи, схемата за решаване на всяко експоненциално уравнение изглежда така:

Запишете първоначалното уравнение. Например: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Направи някоя глупост. Или дори някакви глупости, наречени "трансформиране на уравнението";
На изхода вземете най-простите изрази като $((4)^(x))=4$ или нещо друго подобно. Освен това едно начално уравнение може да даде няколко такива израза наведнъж.

С първата точка всичко е ясно - дори моята котка може да напише уравнението на лист. С третата точка също изглежда, че е повече или по-малко ясно - вече сме решили цял куп такива уравнения по-горе.

Но какво да кажем за втората точка? Какви са трансформациите? Какво да конвертирате в какво? И как?

Е, нека да го разберем. На първо място искам да отбележа следното. Всички експоненциални уравнения са разделени на два вида:

Уравнението е съставено от експоненциални функции с една и съща основа. Пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Формулата съдържа експоненциални функции с различни основи. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Да започнем с уравненията от първия тип – те са най-лесни за решаване. И в тяхното решение ще ни помогне такава техника като избора на стабилни изрази.

Подчертаване на стабилен израз

Нека да разгледаме това уравнение отново:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

какво виждаме Четирите са издигнати на различни степени. Но всички тези степени са прости сборове на променливата $x$ с други числа. Ето защо е необходимо да запомните правилата за работа със степени:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\край (подравняване)\]

Просто казано, събирането на степени може да се преобразува в произведение на степени, а изваждането лесно се преобразува в деление. Нека се опитаме да приложим тези формули към степените от нашето уравнение:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\край (подравняване)\]

Пренаписваме оригиналното уравнение, като вземаме предвид този факт, и след това събираме всички членове отляво:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -единадесет; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\край (подравняване)\]

Първите четири члена съдържат елемента $((4)^(x))$ — нека го извадим от скобите:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\край (подравняване)\]

Остава да разделим двете части на уравнението на дробта $-\frac(11)(4)$, т.е. по същество умножете по обърнатата дроб - $-\frac(4)(11)$. Получаваме:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Намалихме първоначалното уравнение до най-простото и получихме крайния отговор.

В същото време, в процеса на решаване, ние открихме (и дори извадихме от скобата) общия множител $((4)^(x))$ - това е стабилният израз. Тя може да бъде обозначена като нова променлива или можете просто да я изразите точно и да получите отговор. Във всеки случай основният принцип на решението е следният:

Намерете в оригиналното уравнение стабилен израз, съдържащ променлива, която лесно се разграничава от всички експоненциални функции.

Добрата новина е, че почти всяко експоненциално уравнение допуска такъв стабилен израз.

Но има и лоша новина: подобни изрази могат да бъдат много трудни и може да бъде доста трудно да ги различите. Така че нека да разгледаме друг проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Може би сега някой ще има въпрос: „Паша, убит ли си? Тук има различни бази - 5 и 0,2. Но нека опитаме да преобразуваме степен с основа 0,2. Например, нека се отървем от десетичната дроб, като я доведем до обичайното:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Както можете да видите, числото 5 все пак се появи, макар и в знаменателя. В същото време индикаторът беше пренаписан като отрицателен. И сега си припомняме едно от най-важните правила за работа със степени:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тук, разбира се, изневерих малко. Тъй като за пълно разбиране формулата за премахване на отрицателните показатели трябваше да бъде написана, както следва:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ надясно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

От друга страна, нищо не ни попречи да работим само с една дроб:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ дясно))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Но в този случай трябва да можете да повишите една степен до друга степен (напомням ви: в този случай показателите се сумират). Но не трябваше да „преобръщам“ дробите - може би за някой ще бъде по-лесно. :)

Във всеки случай първоначалното експоненциално уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\край (подравняване)\]

Така се оказва, че първоначалното уравнение е дори по-лесно за решаване от разгледаното по-рано: тук дори не е необходимо да отделяте стабилен израз - всичко е намалено от само себе си. Остава само да запомним, че $1=((5)^(0))$, откъдето получаваме:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение! Получихме крайния отговор: $x=-2$. В същото време бих искал да отбележа един трик, който значително опрости всички изчисления за нас:

В експоненциалните уравнения не забравяйте да се отървете от десетичните дроби, преведете ги в обикновени. Това ще ви позволи да видите едни и същи основи на градусите и значително ще опрости решението.

Сега нека преминем към по-сложни уравнения, в които има различни основи, които обикновено не се свеждат една към друга с помощта на степени.

Използване на свойството експонента

Нека ви напомня, че имаме още две особено сурови уравнения:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Основната трудност тук е, че не е ясно какво и на каква база да се води. Къде са фиксираните изрази? Къде са общите основания? Няма нищо от това.

Но нека се опитаме да тръгнем по друг начин. Ако няма готови еднакви бази, можете да се опитате да ги намерите чрез факторизиране на наличните бази.

Да започнем с първото уравнение:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\край (подравняване)\]

Но в края на краищата можете да направите обратното - съставете числото 21 от числата 7 и 3. Особено лесно е да направите това отляво, тъй като индикаторите на двете степени са еднакви:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Извадихте експонентата от продукта и веднага получихте красиво уравнение, което може да се реши в няколко реда.

Сега нека разгледаме второто уравнение. Тук всичко е много по-сложно:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

В този случай дробите се оказаха нередуцируеми, но ако нещо може да се намали, не забравяйте да го намалите. Това често ще доведе до интересни основания, с които вече можете да работите.

За съжаление не сме измислили нищо. Но виждаме, че показателите отляво в продукта са противоположни:

Нека ви напомня: за да се отървете от знака минус в експонента, просто трябва да „обърнете“ дробта. Така че нека пренапишем оригиналното уравнение:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\край (подравняване)\]

Във втория ред ние просто сложихме в скоби общата сума от продукта според правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, а в последния просто умножиха числото 100 по дроб.

Сега имайте предвид, че числата отляво (в основата) и отдясно са донякъде сходни. как? Да, очевидно: те са степени на едно и също число! Ние имаме:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \десен))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Така нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

В същото време вдясно можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно просто да „обърнете“ фракцията:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Накрая нашето уравнение ще приеме формата:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение. Основната му идея се свежда до факта, че дори и с различни основания, ние се опитваме да сведем тези основания до едно и също. В това ни помагат елементарни трансформации на уравнения и правилата за работа със степени.

Но какви правила и кога да използвате? Как да разберем, че в едно уравнение трябва да разделите двете страни на нещо, а в друго - да факторизирате основата на експоненциалната функция?

Отговорът на този въпрос ще дойде с опита. Първо опитайте ръката си с прости уравнения и след това постепенно усложнете задачите - и много скоро вашите умения ще бъдат достатъчни, за да решите всяко експоненциално уравнение от същото USE или всяка независима / тестова работа.

И за да ви помогна в тази трудна задача, предлагам да изтеглите набор от уравнения на моя уебсайт за независимо решение. Всички уравнения имат отговори, така че винаги можете да проверите сами.

Към youtube канала на сайта ни, за да сте наясно с всички нови видео уроци.

Първо, нека си припомним основните формули на степените и техните свойства.

Произведение на число асе случва сам по себе си n пъти, можем да напишем този израз като a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Степенни или експоненциални уравнения- това са уравнения, в които променливите са в степен (или степен), а основата е число.

Примери за експоненциални уравнения:

В този пример числото 6 е основата, винаги е в долната част и променливата хстепен или мярка.

Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 х *5=10
16x-4x-6=0

Сега нека да разгледаме как се решават експоненциални уравнения?

Нека вземем едно просто уравнение:

2 x = 2 3

Такъв пример може да бъде решен дори в ума. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека да видим как трябва да се вземе това решение:

2 x = 2 3
х = 3

За да решим това уравнение, премахнахме същите основания(тоест двойки) и записах това, което остана, това са степени. Получихме отговора, който търсехме.

Сега нека обобщим нашето решение.

Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери същотодали основите на уравнението отдясно и отляво. Ако основанията не са същите, търсим варианти за решаване на този пример.
2. След като основите са еднакви, приравнявамстепен и решете полученото ново уравнение.

Сега нека решим няколко примера:

Да започнем просто.

Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да приравним техните степени.

x+2=4 Получи се най-простото уравнение.
х=4 - 2
х=2
Отговор: x=2

В следващия пример можете да видите, че базите са различни, това са 3 и 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Като начало прехвърляме деветте от дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=3 2 . Нека използваме формулата за степен (a n) m = a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Получаваме 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 сега е ясно, че основите от лявата и дясната страна са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги отхвърлим и да приравним степените.

3x=2x+16 получи най-простото уравнение
3x-2x=16
х=16
Отговор: x=16.

Нека разгледаме следния пример:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Първо, разглеждаме основите, базите са различни две и четири. И ние трябва да сме същите. Трансформираме четворката по формулата (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Добавете към уравнението:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадохме пример по същите причини. Но ни пречат други числа 10 и 24. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна повтаряме 2 2x, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Нека изчислим израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Разделяме цялото уравнение на 6:

Представете си 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 основи са еднакви, изхвърлете ги и приравнете степените.
2x \u003d 2 се оказа най-простото уравнение. Разделяме го на 2, получаваме
х = 1
Отговор: x = 1.

Нека решим уравнението:

9 x - 12*3 x +27= 0

Нека трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Основите ни са еднакви, равни на 3. В този пример е ясно, че първата тройка има степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на заместване. Числото с най-малка степен се заменя с:

Тогава 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Заменяме всички степени с x в уравнението с t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Получаваме квадратно уравнение. Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Обратно към Променлива х.

Взимаме t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Това е,

3 х = 9
3 x = 3 2
х 1 = 2

Намерен е един корен. Търсим втория, от t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 \u003d 2; х 2 = 1.

На сайта можете в раздела ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ да задавате въпроси, които ви интересуват, ние определено ще ви отговорим.

Присъединете се към група

Оборудване:

компютър,
мултимедиен проектор,
екран,
Приложение 1(слайд презентация в PowerPoint) „Методи за решаване на експоненциални уравнения“
Приложение 2(Решение на уравнение като „Три различни основи на градуси“ в Word)
Приложение 3(раздавателен материал в Word за практическа работа).
Приложение 4(раздавателен материал в Word за домашна работа).

По време на часовете

1. Организационен етап

съобщение на темата на урока (написано на дъската),
необходимостта от обобщаващ урок в 10-11 клас:

Етапът на подготовка на учениците за активно усвояване на знания

Повторение

Определение.

Експоненциалното уравнение е уравнение, съдържащо променлива в степента (учащият отговаря).

Бележка на учителя. Експоненциалните уравнения принадлежат към класа на трансцендентните уравнения. Това трудно за произнасяне име подсказва, че такива уравнения, най-общо казано, не могат да бъдат решени под формата на формули.

Те могат да бъдат решени само с приблизително числени методи на компютри. Но какво да кажем за изпитните въпроси? Целият трик е, че проверяващият композира проблема по такъв начин, че той просто допуска аналитично решение. С други думи, можете (и трябва!) да правите такива идентични трансформации, които редуцират даденото експоненциално уравнение до най-простото експоненциално уравнение. Това е най-простото уравнение и се нарича: най-простото експоненциално уравнение. Решено е логаритъм.

Ситуацията с решението на експоненциално уравнение прилича на пътуване през лабиринт, който е специално измислен от компилатора на проблема. От тези много общи съображения следват доста конкретни препоръки.

За да решите успешно експоненциални уравнения, трябва:

1. Не само активно познавайте всички експоненциални идентичности, но също така намерете набори от стойности на променливата, върху която са дефинирани тези идентичности, така че когато използвате тези идентичности, човек не придобива ненужни корени и още повече, че не губи решения на уравнението.

2. Активно познаване на всички експоненциални тъждества.

3. Ясно, подробно и без грешки, извършете математически трансформации на уравнения (прехвърлете термини от една част на уравнението в друга, като не забравяте да промените знака, сведете дроба до общ знаменател и т.н.). Това се нарича математическа култура. В същото време самите изчисления трябва да се извършват автоматично на ръце, а главата трябва да мисли за общата водеща нишка на решението. Необходимо е трансформациите да се извършват възможно най-внимателно и подробно. Само това ще гарантира правилното решение без грешки. И помнете: малка аритметична грешка може просто да създаде трансцендентно уравнение, което по принцип не може да бъде решено аналитично. Оказва се, че сте се объркали и сте се натъкнали на стената на лабиринта.

4. Познавайте методите за решаване на проблеми (т.е. познавайте всички пътища през лабиринта на решението). За правилна ориентация на всеки етап ще трябва (съзнателно или интуитивно!):

дефинирам тип уравнение;
запомнете съответния тип метод на решениезадачи.

Етапът на обобщаване и систематизиране на изучения материал.

Учителят, заедно с учениците, с помощта на компютър, провежда обзорно повторение на всички видове показателни уравнения и методи за тяхното решаване и съставя обща схема. (Използва се учебната компютърна програма на Л. Я. Боревски "Курс по математика - 2000", авторът на презентацията на PowerPoint е Т. Н. Купцова.)

Ориз. един.Фигурата показва обща схема на всички видове експоненциални уравнения.

Както може да се види от тази диаграма, стратегията за решаване на експоненциални уравнения е да се намали това експоненциално уравнение до уравнението, на първо място, със същите основи , а след това - и със същите показатели.

След като сте получили уравнение със същите бази и експоненти, вие замествате тази степен с нова променлива и получавате просто алгебрично уравнение (обикновено дробно-рационално или квадратно) по отношение на тази нова променлива.

Чрез решаване на това уравнение и извършване на обратно заместване, вие завършвате с набор от прости експоненциални уравнения, които могат да бъдат решени като цяло с помощта на логаритъм.

Отделно стоят уравненията, в които се срещат само продукти на (частни) мощности. Използвайки експоненциални тъждества, е възможно да доведем тези уравнения веднага до една основа, по-специално до най-простото експоненциално уравнение.

Помислете как се решава експоненциално уравнение с три различни основи от степени.

(Ако учителят има учебна компютърна програма от Л. Я. Боревски "Курс по математика - 2000", тогава естествено работим с диска, ако не, можете да отпечатате този тип уравнение за всяка маса от него, представено по-долу .)