Дължината на сегмента върху координатната ос се определя по формулата:
Дължината на сегмент в координатната равнина се намира по формулата:
За да намерите дължината на сегмент в триизмерна координатна система, използвайте следната формула:
Координатите на средата на сегмента (за координатната ос се използва само първата формула, за координатната равнина - първите две формули, за триизмерна координатна система - и трите формули) се изчисляват по формулите:
функция– това е съответствие на формуляра г= f(х) между променливи величини, поради което всяка разглеждана стойност на някаква променлива величина х(аргумент или независима променлива) съответства на определена стойност на друга променлива, г(зависима променлива, понякога тази стойност се нарича просто стойност на функцията). Имайте предвид, че функцията приема тази стойност на един аргумент хможе да съответства само една стойност на зависимата променлива при. Въпреки това, същата стойност приможе да се получи с различни х.
Функционален домейн– това са всички стойности на независимата променлива (аргумент на функцията, обикновено this х), за които е дефинирана функцията, т.е. значението му съществува. Областта на дефиниция е посочена д(г). Като цяло вече сте запознати с тази концепция. Домейнът на дефиниране на функция иначе се нарича домейн на допустимите стойности или VA, които отдавна сте успели да намерите.
Функционален диапазонса всички възможни стойности на зависимата променлива на дадена функция. Определен д(при).
Функцията се увеличававърху интервала, в който по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Функцията намалявавърху интервала, в който на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията.
Интервали на постоянен знак на функция- това са интервалите на независимата променлива, през които зависимата променлива запазва своя положителен или отрицателен знак.
Функционални нули– това са стойностите на аргумента, при които стойността на функцията е равна на нула. В тези точки графиката на функцията пресича абсцисната ос (ост OX). Много често необходимостта да се намерят нулите на функция означава необходимостта просто да се реши уравнението. Също така често необходимостта да се намерят интервали на постоянство на знака означава необходимостта просто да се реши неравенството.
функция г = f(х) са наречени дори х
Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на четната функция са равни. Графиката на четната функция винаги е симетрична по отношение на ординатната ос на операционния усилвател.
функция г = f(х) са наречени странно, ако е дефинирано на симетрично множество и за всяко хот областта на дефиницията важи равенството:
Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на нечетната функция също са противоположни. Графиката на нечетна функция винаги е симетрична спрямо началото.
Сумата от корените на четните и нечетните функции (пресечните точки на оста x OX) винаги е равна на нула, т.к. за всеки положителен корен хима отрицателен корен - х.
Важно е да се отбележи, че някои функции не трябва да бъдат четни или нечетни. Има много функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такива функции се наричат общи функции, и за тях нито едно от дадените по-горе равенства или свойства не е изпълнено.
Линейна функцияе функция, която може да бъде дадена с формулата:
Графиката на линейна функция е права линия и в общия случай изглежда така (даден е пример за случая, когато к> 0, в този случай функцията е нарастваща; за случая к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Графика на квадратична функция (парабола)
Графиката на парабола е дадена от квадратична функция:
Квадратната функция, както всяка друга функция, пресича оста OX в точките, които са нейните корени: ( х 1 ; 0) и ( х 2 ; 0). Ако няма корени, тогава квадратичната функция не пресича оста OX; ако има само един корен, тогава в тази точка ( х 0 ; 0) квадратичната функция само докосва оста OX, но не я пресича. Квадратната функция винаги пресича оста OY в точка с координати: (0; ° С). Графиката на квадратична функция (парабола) може да изглежда така (фигурата показва примери, които не изчерпват всички възможни видове параболи):
при което:
- ако коеф а> 0, във функция г = брадва 2 + bx + ° С, тогава клоните на параболата са насочени нагоре;
- ако а < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Координатите на върха на парабола могат да бъдат изчислени с помощта на следните формули. X топове (стр- на снимките по-горе) параболи (или точката, в която квадратният трином достига своята най-голяма или най-малка стойност):
Игрек топове (р- на фигурите по-горе) параболи или максимум, ако клоновете на параболата са насочени надолу ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), стойността на квадратния трином:
Графики на други функции
Силова функция
Ето няколко примера за графики на степенни функции:
Обратно порпорционалене функция, дадена от формулата:
В зависимост от знака на числото кГрафиката на обратно пропорционалната зависимост може да има две основни опции:
Асимптотае линия, до която графиката на функция се приближава безкрайно близо, но не се пресича. Асимптотите за графиките на обратната пропорционалност, показани на фигурата по-горе, са координатните оси, към които графиката на функцията се приближава безкрайно близо, но не ги пресича.
Експоненциална функцияс основа Ае функция, дадена от формулата:
аГрафиката на експоненциална функция може да има две основни опции (даваме и примери, вижте по-долу):
Логаритмична функцияе функция, дадена от формулата:
В зависимост от това дали числото е по-голямо или по-малко от едно аГрафиката на логаритмична функция може да има две основни опции:
Графика на функция г = |х| както следва:
Графики на периодични (тригонометрични) функции
функция при = f(х) е наречен периодичен, ако има такова различно от нула число T, Какво f(х + T) = f(х), за всеки хот областта на функцията f(х). Ако функцията f(х) е периодичен с период T, тогава функцията:
Където: А, к, bса постоянни числа и кне равна на нула, също периодична с период T 1, което се определя по формулата:
Повечето примери за периодични функции са тригонометричните функции. Представяме графики на основните тригонометрични функции. Следващата фигура показва част от графиката на функцията г= грях х(цялата графика продължава неограничено наляво и надясно), графика на функцията г= грях хНаречен синусоида:
Графика на функция г=cos хНаречен косинус. Тази графика е показана на следващата фигура. Тъй като синусовата графика продължава безкрайно по оста OX наляво и надясно:
Графика на функция г= tg хНаречен тангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.
И накрая, графиката на функцията г=ctg хНаречен котангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични и тригонометрични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.
Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.
Намерихте грешка?
Ако смятате, че сте открили грешка в учебните материали, моля, пишете за това по имейл. Можете също да съобщите за грешка в социалната мрежа (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.
Национален изследователски университет
Катедра Приложна геология
Реферат по висша математика
По темата: „Основни елементарни функции,
техните свойства и графики"
Завършено:
Проверено:
учител
Определение. Функцията, дадена с формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.
Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:
1. Областта на дефиниция е множеството (R) от всички реални числа.
2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.
3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.
4. Е функция от общ вид.
, на интервала xО [-3;3]
, на интервала xО [-3;3] Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).
Силова функция y=x²
1. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;
2. E(y)= и расте на интервала
Силова функция y=x³
1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:
2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;
3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;
4. При x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).
5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.
6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).
, на интервала xО [-3;3] В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.
Степенна функция с цяло отрицателно число:
Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;
3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.
4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.
5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.
, на интервала xО [-3;3] Степенна функция с дробен показател
Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)
1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)= 
, на интервала xО 
, на интервала xО [-3;3]
Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:
1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).
2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).
4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.
Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.
; на интервала xО 
; на интервала xО Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат тригонометрични функции.
Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.
Функция y = sin(x).
1. Област на дефиниция D(x) ОР.
2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].
3. Функцията е периодична; главният период е 2π.
4. Функцията е нечетна.
5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.
1. Дробна линейна функция и нейната графика
Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.
Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.
Ако една дробна рационална функция е частното на две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата
y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.
Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се доближават до абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат нейни асимптоти.
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.
Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертава „цялата част“. Следователно графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.
За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем до какво се приближават стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.
За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.
Пример 3.
Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Нека изберем "цялата част" на фракцията:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.
Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.
Отговор: Фигура 1.
2. Дробна рационална функция
Да разгледаме дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.
Примери за такива рационални функции:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.
Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.
Построяване на графики на дробни рационални функции
Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.
Пример 4.
Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .
Решение.
Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.
Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).
Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.
Отговор: Фигура 2.
Пример 5.
Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.
Отговор: Фигура 3.
Пример 6.
Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Решение.
Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Имайте предвид, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.
Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.
Отговор: Фигура 4.
Пример 7.
Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете при какво най-голямо A ще има решение уравнението A = x/(x 2 + 1). Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 – x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2. 
Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.
Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Определение: Числовата функция е съответствие, което свързва всяко число x от даден набор с едно число y.
Обозначаване:
където x е независимата променлива (аргумент), y е зависимата променлива (функция). Наборът от стойности на x се нарича домейн на функцията (обозначава се D(f)). Наборът от стойности на y се нарича диапазон от стойности на функцията (обозначен с E(f)). Графиката на функция е набор от точки в равнината с координати (x, f(x))
Методи за задаване на функция.
- аналитичен метод (с използване на математическа формула);
- табличен метод (с помощта на таблица);
- описателен метод (с използване на словесно описание);
- графичен метод (с помощта на графика).
Основни свойства на функцията.
1. Четни и нечетни
Функция се извиква дори ако
– областта на дефиниране на функцията е симетрична спрямо нулата
f(-x) = f(x)
Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста 0 г
Функция се нарича странна ако
– областта на дефиниране на функцията е симетрична спрямо нулата
– за всяко x от областта на дефиницията f(-x) = –f(x)
Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
2. Честота
Функция f(x) се нарича периодична с период if за всяко x от областта на дефиниция f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Графиката на периодична функция се състои от неограничено повтарящи се идентични фрагменти.
3. Монотонност (нарастваща, намаляваща)
Функцията f(x) нараства върху множеството P, ако за всяко x 1 и x 2 от това множество, така че x 1
Функцията f(x) намалява в множеството P ако за всяко x 1 и x 2 от това множество, така че x 1 f(x 2) .
4. Крайности
Точката X max се нарича максимална точка на функцията f(x), ако за всички x от някаква околност на X max неравенството f(x) f(X max) е изпълнено.
Стойността Y max =f(X max) се нарича максимум на тази функция.
X max – максимална точка
На макс - максимум
Точка X min се нарича минимална точка на функцията f(x), ако за всички x от някакъв околност на X min е изпълнено неравенството f(x) f(X min).
Стойността Y min =f(X min) се нарича минимум на тази функция.
X min – минимална точка
Y min – минимум
X min , X max – точки на екстремум
Y min , Y max – екстремуми.
5. Нули на функцията
Нулата на функция y = f(x) е стойността на аргумента x, при която функцията става нула: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 – нули на функцията y = f(x).
Задачи и тестове по темата "Основни свойства на функция"
- Функционални свойства - Числени функции 9 клас
Уроци: 2 Задачи: 11 Тестове: 1
- Свойства на логаритмите - Експоненциални и логаритмични функции 11 клас
Уроци: 2 Задачи: 14 Тестове: 1
- Функция квадратен корен, нейните свойства и графика - Функция квадратен корен. Свойства на корен квадратен 8 клас
Уроци: 1 Задачи: 9 Тестове: 1
- Функции - Важни теми за преглед на Единния държавен изпит по математика
Задачи: 24
- Степенни функции, техните свойства и графики - Степени и корени. Степенни функции 11 клас
Уроци: 4 Задачи: 14 Тестове: 1
След като сте изучавали тази тема, трябва да можете да намерите областта на дефиниране на различни функции, да определите интервалите на монотонност на функция с помощта на графики и да изследвате функциите за четност и нечетност. Нека разгледаме решаването на подобни проблеми, като използваме следните примери.
Примери.
1. Намерете областта на дефиниция на функцията.
Решение:областта на дефиниране на функцията се намира от условието
следователно функцията f(x) е четна.
Отговор:дори
D(f) = [-1; 1] – симетричен спрямо нулата.
| 2) |
следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
Отговор: нито четен, нито нечетен.
