През декември 1963 г. по американския телевизионен канал NBCпрограма, пусната за първи път Хаиде да направим сделка(„Да сключим сделка!“), в която състезатели, избрани от публиката в студиото, се пазареха помежду си и с водещия, играеха малки игри или просто гадаеха отговора на въпрос. В края на излъчването участниците можеха да играят „сделката на деня“. Пред тях имаше три врати, за които се знаеше, че зад една от тях е Голямата награда (например кола), а зад другите две има по-малко ценни или напълно абсурдни подаръци (например живи кози) . След като играчът направи своя избор, Монти Хол, водещият на програмата, отвори една от двете останали врати, показвайки, че зад нея няма награда и остави участника да се радва, че има шанс да спечели.
През 1975 г. ученият от Калифорнийския университет в Лос Анджелис Стив Селвин се чудеше какво ще се случи, ако в този момент, след като отвори вратата без награда, участникът бъде помолен да промени избора си. Ще се променят ли шансовете на играча да получи наградата в този случай и ако да, в каква посока? Той изпрати съответния въпрос като брой на списанието Американският статистик("The American Statistician"), а също и на самия Монти Хол, който му дава доста любопитен отговор. Въпреки този отговор (или може би поради него), проблемът стана популярен под името "проблемът на Монти Хол".
Задача
Попаднахте в шоуто на Монти Хол като участник - и в последния момент, отваряйки вратата с коза, водещият предложи да промените избора си. Ще повлияе ли вашето решение - съгласие или не - върху вероятността да спечелите?
Улика
Опитайте се да вземете предвид хора, които са избрали различни врати в един и същ случай (тоест, когато наградата е например зад врата номер 1). Кой ще спечели от промяна на избора си и кой не?
Решение
Както е предложено в подсказката, помислете за хората, които са направили различен избор. Да приемем, че Наградата е зад врата №1, а зад врати №2 и №3 има кози. Да предположим, че имаме шест души и всяка врата е избрана от двама души и от всяка двойка единият впоследствие промени решението, а другият не.
Имайте предвид, че Домакинът, който избере врата № 1, ще отвори една от двете врати по свой вкус, докато независимо от това, колата ще бъде получена от този, който не промени избора си, а този, който промени първоначалния си избор ще остане без Наградата. Сега нека да разгледаме тези, които са избрали врати №2 и №3. Тъй като зад врата № 1 има кола, Домакинът не може да я отвори, което не му оставя избор - той отваря съответно врати № 3 и № 2 за тях. В същото време този, който промени решението във всяка двойка, ще избере наградата като резултат, а този, който не промени, ще остане без нищо. Така от трима души, които променят решението си, двама ще получат наградата, а един ще получи козата, докато от тримата, оставили непроменен първоначалния си избор, само един ще получи наградата.
Трябва да се отбележи, че ако колата беше зад врата №2 или №3, резултатът би бил същият, само конкретните победители ще се променят. Така, ако приемем, че първоначално всяка врата е избрана с еднаква вероятност, получаваме, че тези, които променят избора си, печелят Наградата два пъти по-често, тоест вероятността за победа в този случай е по-голяма.
Нека да разгледаме този проблем от гледна точка на математическата теория на вероятностите. Ще приемем, че вероятността за първоначалния избор на всяка от вратите е една и съща, както и вероятността за намиране на Колата зад всяка от вратите. Освен това е полезно да се направи резервация, че лидерът, когато може да отвори две врати, избира всяка от тях с еднаква вероятност. Тогава се оказва, че след първото решение вероятността наградата да е зад избраната врата е 1/3, докато вероятността да е зад една от другите две врати е 2/3. В същото време, след като Домакинът отвори една от двете „неизбрани“ врати, цялата вероятност от 2/3 пада само върху една от останалите врати, като по този начин създава основа за промяна на решението, което ще увеличи вероятността за победа с 2 пъти. Което, разбира се, изобщо не го гарантира в един конкретен случай, но ще доведе до по-успешни резултати при многократно повторение на експеримента.
Послеслов
Проблемът на Монти Хол не е първата известна формулировка на този проблем. По-специално, през 1959 г. Мартин Гарднър публикува в списанието Scientific Americanподобен проблем „за трима затворници“ (Three Prisoners problem) със следната формулировка: „ От тримата затворници един трябва да бъде помилван, а двама да бъдат екзекутирани. Затворник А убеждава пазача да му каже името на този от другите двама, които ще бъдат екзекутирани (или ако и двамата бъдат екзекутирани), след което, след като получи името Б, той смята, че вероятността за собственото му спасение е станала не 1/3, но 1/2. В същото време затворник С твърди, че вероятността за бягството му е станала 2/3, докато за А нищо не се е променило. Кой от тях е прав?»
Гарднър обаче не е първият, тъй като през 1889 г., в своето Изчисление на вероятностите, френският математик Джоузеф Бертран (да не се бърка с англичанина Бертран Ръсел!) предлага подобен проблем (вижте парадокса на кутията на Бертран): „ Има три кутии, всяка от които съдържа две монети: две златни в първата, две сребърни във втората и две различни в третата. От произволно избрана кутия на случаен принцип беше извадена монета, която се оказа златна. Каква е вероятността останалата монета в кутията да е златна?»
Ако разбирате решенията и на трите проблема, е лесно да забележите сходството на техните идеи; математически всички те са обединени от понятието условна вероятност, т.е. вероятността от събитие А, ако е известно, че събитие Б е настъпило. Най-простият пример: вероятността единица да падне на обикновен зар е 1/6; обаче, ако се знае, че хвърленото число е нечетно, тогава вероятността то да е едно вече е 1/3. Проблемът на Монти Хол, подобно на другите два цитирани проблема, показва, че с условните вероятности трябва да се работи внимателно.
Тези проблеми също често се наричат парадокси: парадоксът на Монти Хол, парадоксът на кутията на Бертран (последният не трябва да се бърка с истинския парадокс на Бертран, даден в същата книга, който доказва неяснотата на понятието за вероятност, съществуващо по това време) - което предполага известно противоречие (например в „парадокса на лъжеца“ фразата „това твърдение е невярно“ противоречи на закона за изключената среда). В този случай обаче няма противоречие със строгите твърдения. Но има явно противоречие с "общественото мнение" или просто "очевидното решение" на проблема. Всъщност повечето хора, разглеждайки проблема, вярват, че след отваряне на една от вратите, вероятността да се намери Наградата зад някоя от двете останали затворени е 1/2. По този начин те твърдят, че няма значение дали са съгласни или не да променят решението си. Освен това на много хора им е трудно да разберат отговор, различен от този, дори след като им е казано подробното решение.
Представете си, че определен банкер ви предлага да изберете една от три затворени кутии. В единия от тях 50 цента, в другия - един долар, в третия - 10 хиляди долара. Който и да изберете, ще го получите като награда.
Избирате на случаен принцип, кажете кутия номер 1. И тогава банкерът (който, разбира се, знае къде е всичко) точно пред очите ви отваря кутия с един долар (да кажем, че това е № 2), след което ви предлага да смените първоначално избраната кутия №. 1 към кутия №3.
Трябва ли да промените решението си? Това ще увеличи ли шансовете ви да получите 10 хиляди?
Това е парадоксът на Монти Хол - проблем на теорията на вероятностите, чието решение на пръв поглед противоречи на здравия разум. Хората си блъскат главите по този проблем от 1975 г.
Парадоксът е кръстен на водещия на популярното американско телевизионно предаване Let's Make a Deal. Това телевизионно шоу имаше подобни правила, само че участниците избираха врати, две от които криеха кози, а третата беше кадилак.
Повечето играчи разсъждаваха, че след като има две затворени врати и има Cadillac зад една от тях, тогава шансовете да го получите са 50 на 50. Очевидно, когато домакинът отвори една врата и ви покани да промените решението си, той започва нова игра. Независимо дали промените решението си или не, шансовете ви пак ще бъдат 50 процента. Толкова правилно?
Оказва се, че не е така. Всъщност, променяйки решението си, вие удвоявате шансовете си за успех. Защо?
Най-простото обяснение на този отговор е следното съображение. За да спечели кола, без да променя избора си, играчът трябва веднага да познае вратата, зад която стои колата. Вероятността за това е 1/3. Ако играчът първоначално удари вратата с коза зад нея (и вероятността за това събитие е 2/3, тъй като има две кози и само една кола), тогава той определено може да спечели колата, като промени решението си, тъй като колата и остава една коза, а домакинът вече е отворил вратата с козата.
Така, без да променя избора си, играчът остава с първоначалната си вероятност да спечели 1/3, а при промяна на първоначалния избор играчът обръща в своя полза два пъти оставащата вероятност, че не е познал правилно в началото.
Освен това може да се направи интуитивно обяснение чрез размяна на двете събития. Първото събитие е решението на играча да промени вратата, второто събитие е отварянето на допълнителна врата. Това е приемливо, тъй като отварянето на допълнителна врата не дава на играча никаква нова информация (вижте тази статия за доказателство). Тогава проблемът може да се сведе до следната формулировка. В първия момент от време играчът разделя вратите на две групи: в първата група има една врата (тази, която е избрал), във втората група има две останали врати. В следващия момент играчът прави избор между групите. Очевидно е, че за първата група вероятността за победа е 1/3, за втората група 2/3. Играчът избира втората група. Във втората група той може да отвори и двете врати. Единият се отваря от домакина, а вторият от самия играч.
Нека се опитаме да дадем "най-разбираемото" обяснение. Нека преформулираме проблема: честен домакин обявява на играча, че зад една от трите врати има кола и го кани първо да посочи една от вратите и след това да избере едно от две действия: да отвори посочената врата (в старата формулировка, това се нарича „не променяйте избора си“) или отворете другите две (в старата формулировка това би било просто „променете избора“. Помислете за това, това е ключът към разбирането!). Ясно е, че играчът ще избере второто от двете действия, тъй като вероятността да получи кола в този случай е два пъти по-висока. И малкото нещо, че лидерът дори преди да избере действието „показа коза“, не помага и не пречи на избора, защото зад една от двете врати винаги има коза и водачът определено ще я покаже по всяко време по време на играта, така че играчът може на тази коза и не гледа. Задачата на играча, ако е избрал второто действие, е да каже „благодаря“ на домакина, че му е спестил труда сам да отвори едната от двете врати и да отвори другата. Е, или дори по-лесно. Нека си представим тази ситуация от гледна точка на домакина, който прави подобна процедура с десетки играчи. Тъй като той знае отлично какво има зад вратите, тогава средно в два от три случая той вижда предварително, че играчът е избрал „грешната“ врата. Следователно за него определено няма парадокс, че правилната стратегия е да промените избора след отваряне на първата врата: в края на краищата, в същите два случая от три, играчът ще напусне студиото в нова кола.
И накрая, най-"наивното" доказателство. Нека този, който отстоява избора си, се нарича "Упорит", а този, който следва инструкциите на водача, - "Внимателен". Тогава Упоритият печели, ако първоначално е познал колата (1/3), а Внимателният - ако първо е пропуснал и е уцелил козата (2/3). В крайна сметка само в този случай той ще посочи вратата с колата.
Монти Хол, продуцент и водещ на шоуто Хаиде да направим сделкаот 1963 до 1991 г.
През 1990 г. този проблем и неговото решение са публикувани в американското списание Parade. Публикацията предизвика вълна от възмутени отзиви от читатели, много от които имаха научни степени.
Основното оплакване беше, че не всички условия на проблема са посочени и всеки нюанс може да повлияе на резултата. Например домакинът може да предложи промяна на решението само ако играчът избере кола на първия ход. Очевидно промяната на първоначалния избор в такава ситуация ще доведе до гарантирана загуба.
Въпреки това, през цялото съществуване на телевизионното шоу на Монти Хол, хората, които са променили мнението си, печелят два пъти по-често:
От 30 играча, които промениха решението си, Cadillac спечели 18 - т.е. 60%
От 30 играчи, останали с избора си, Кадилак спечели 11 - тоест приблизително 36%
Така че мотивите в решението, колкото и нелогични да изглеждат, се потвърждават от практиката.
Увеличаване на броя на вратите
За да разберем по-лесно същността на случващото се, можем да разгледаме случая, когато играчът вижда не три врати пред себе си, а например сто. В същото време зад една от вратите има кола, а зад другите 99 - кози. Играчът избира една от вратите, докато в 99% от случаите ще избере вратата с коза, а шансовете веднага да избере вратата с кола са много малки - те са 1%. След това домакинът отваря 98 врати с кози и моли играча да избере оставащата врата. В този случай в 99% от случаите колата ще бъде зад тази оставаща врата, тъй като шансовете играчът веднага да избере правилната врата са много малки. Ясно е, че в тази ситуация един рационално мислещ играч винаги трябва да приеме предложението на лидера.
Когато разглеждаме увеличения брой врати, често възниква въпросът: ако в първоначалния проблем лидерът отваря една врата от три (т.е. 1/3 от общия брой врати), тогава защо трябва да приемем, че в случая от 100 врати лидерът ще отвори 98 врати с кози, а не 33? Това съображение обикновено е една от значимите причини парадоксът на Монти Хол да противоречи на интуитивното възприятие на ситуацията. Би било правилно да приемем отварянето на 98 врати, тъй като основното условие на проблема е наличието на само един алтернативен избор за играча, който се предлага от домакина. Следователно, за да са сходни задачите, при 4 врати лидерът трябва да отвори 2 врати, при 5 врати - 3 и т.н., така че винаги да има една неотворена врата, различна от тази които играчът първоначално е избрал. Ако фасилитаторът отвори по-малко врати, тогава задачата вече няма да бъде подобна на оригиналната задача на Monty Hall.
Трябва да се отбележи, че в случай на много врати, дори ако домакинът не остави една врата затворена, а няколко, и предложи на играча да избере една от тях, тогава при промяна на първоначалния избор шансовете на играча да спечели колата ще бъдат все още нарастват, макар и не толкова. Например, помислете за ситуация, при която играч избира една врата от сто, а след това фасилитаторът отваря само една от останалите врати, канейки играча да промени избора си. В същото време шансовете колата да е зад първоначално избраната от играча врата остават същите - 1/100, а за останалите врати шансовете се променят: общата вероятност колата да е зад една от оставащите врати ( 99/100) сега се разпределя не на 99 врати, а на 98. Следователно вероятността да се намери кола зад всяка от тези врати няма да бъде 1/100, а 99/9800. Увеличението на вероятността ще бъде приблизително 1%.
Дърво на възможните решения на играча и домакина, показващо вероятността за всеки резултат По-формално, сценарият на играта може да бъде описан с помощта на дърво на решенията. В първите два случая, когато играчът първо е избрал вратата, зад която е козата, промяната на избора води до печалба. В последните два случая, когато играчът първо избра вратата с колата, промяната на избора води до загуба.
Ако пак не разбираш, плюй на формулите и простопроверете всичко статистически. Друго възможно обяснение:
- Играч, чиято стратегия би била да сменя избраната врата всеки път, би загубил само ако първоначално избере вратата, зад която се намира колата.
- Тъй като вероятността да се избере кола при първия опит е едно към три (или 33%), шансът да не се избере кола, ако играчът промени избора си, също е едно към три (или 33%).
- Това означава, че играчът, който е използвал стратегията за смяна на вратата, ще спечели с вероятност от 66% или две към три.
- Това ще удвои шансовете за победа на играч, чиято стратегия не е да променя избора си всеки път.
Все още не вярвате? Да приемем, че сте избрали врата №1. Ето всички възможни варианти какво може да се случи в този случай.
Хората са свикнали да приемат това, което е очевидно, за правилно. Поради това те често се забъркват в неприятности, преценяват погрешно ситуацията, доверяват се на интуицията си и не отделят време да обмислят критично своя избор и последствията от него.
Монти е ясна илюстрация на неспособността на човек да прецени шансовете си за успех в лицето на избора на благоприятен изход при наличието на повече от един неблагоприятен.
Твърдение за парадокса на Монти Хол
И така, какво е това животно? За какво точно говорим? Най-известният пример за парадокса на Монти Хол е популярното в Америка телевизионно предаване в средата на миналия век, наречено Да се обзаложим! Между другото, именно благодарение на домакина на този тест парадоксът на Монти Хол впоследствие получи името си.
Играта се състоеше в следното: на участника бяха показани три врати, които изглеждаха абсолютно еднакви. Зад един от тях обаче скъпа нова кола чакаше играча, но зад другите двама нетърпеливо лелееше коза. Както обикновено се случва в телевизионните викторини, това, което беше зад вратата, избрано от състезателя, стана негова печалба.
Каква е уловката?
Но не всичко е толкова просто. След като изборът беше направен, водещият, знаейки къде е скрита главната награда, отвори една от останалите две врати (разбира се, тази, зад която дебнеше парнокопитният) и след това попита играча дали иска да промени решението си.
Парадоксът на Монти Хол, формулиран от учени през 1990 г., е, че противно на интуицията, че няма разлика във вземането на водещо решение въз основа на въпрос, човек трябва да се съгласи да промени избора си. Ако искате да получите страхотна кола, разбира се.
Как работи?
Има няколко причини, поради които хората не искат да се откажат от избора си. Интуицията и простата (но неправилна) логика казват, че нищо не зависи от това решение. Освен това не всеки иска да следва примера на друг - това е истинска манипулация, нали? Не, не като това. Но ако всичко беше веднага интуитивно ясно, тогава те нямаше да го нарекат. Няма нищо странно в съмненията. Когато този пъзел беше публикуван за първи път в едно от големите списания, хиляди читатели, включително признати математици, изпратиха писма до редактора, в които твърдяха, че отговорът, отпечатан в броя, не е верен. Ако съществуването на теорията на вероятностите не беше новина за човек, който влезе в шоуто, тогава може би той щеше да успее да реши този проблем. И по този начин увеличава шансовете за печалба. Всъщност обяснението на парадокса на Монти Хол се свежда до проста математика.
Първото обяснение е по-сложно
Вероятността наградата да е зад първоначално избраната врата е едно към три. Шансът да го намерите зад един от двамата останали е две от три. Логично, нали? Сега, след като една от тези врати е отворена и зад нея се намери коза, остава само една опция във втория комплект (тази, която съответства на 2/3 шанс за успех). Стойността на тази опция остава същата и е равна на две от три. Така става очевидно, че като промени решението си, играчът ще удвои вероятността да спечели.
Обяснение номер две, по-просто
След подобно тълкуване на решението, мнозина все още настояват, че няма смисъл от този избор, защото има само две опции и едната от тях определено печели, а другата определено води до поражение.
Но теорията на вероятностите има свой собствен поглед върху този проблем. И това става още по-ясно, ако си представим, че първоначално не е имало три врати, а, да кажем, сто. В този случай способността да познаете къде наградата, първият път, е само едно към деветдесет и девет. Сега състезателят прави своя избор и Монти елиминира деветдесет и осем кози врати, оставяйки само две, една от които играчът е избрал. По този начин първоначално избраната опция запазва коефициентите за печалба 1/100, докато втората предложена опция е 99/100. Изборът трябва да е очевиден.
Има ли опровержения?
Отговорът е прост: не. Няма нито едно достатъчно обосновано опровержение на парадокса на Монти Хол. Всички "откровения", които могат да бъдат намерени в мрежата, се свеждат до неразбиране на принципите на математиката и логиката.
За всеки, който е добре запознат с математическите принципи, неслучайността на вероятностите е абсолютно очевидна. Само тези, които не разбират как работи логиката, могат да не се съгласят с тях. Ако всичко по-горе все още звучи неубедително - обосновката на парадокса е тествана и потвърдена в известната програма MythBusters и на кого друг да вярваме, ако не на тях?
Способността да се вижда ясно
Добре, нека всички звучат убедително. Но това е само теория, възможно ли е по някакъв начин да се разгледа работата на този принцип в действие, а не само на думи? Първо, никой не е отменил живите хора. Намерете партньор, който ще поеме ролята на лидер и ще ви помогне да играете горния алгоритъм в действителност. За удобство можете да вземете кутии, кутии или дори да рисувате на хартия. След като повторите процеса няколко десетки пъти, сравнете броя на печалбите в случай на промяна на първоначалния избор с това колко победи са донесли упоритостта и всичко ще стане ясно. А можете да направите още по-лесно и да използвате интернет. В мрежата има много симулатори на парадокса на Монти Хол, в които можете да проверите всичко сами и без излишни подпори.
Каква е ползата от това знание?
Може да изглежда, че това е просто още един пъзел, предназначен да натоварва мозъка и служи само за развлекателни цели. Парадоксът на Монти Хол обаче намира своето практическо приложение предимно в хазартните игри и различните лотарии. Тези, които имат богат опит, са добре запознати с често срещаните стратегии за увеличаване на шансовете за намиране на стойностен залог (от английската дума value, която буквално означава "стойност" - такава прогноза, която ще се сбъдне с по-голяма вероятност от оценката на букмейкърите) . И една такава стратегия директно засяга парадокса на Монти Хол.
Пример за работа с тоте
Спортният пример ще се различава малко от класическия. Да кажем, че има три отбора от първа дивизия. В следващите три дни всеки от тези отбори трябва да изиграе по един решаващ мач. Този, който събере повече точки в края на мача от другите двама, ще остане в първа дивизия, а останалите ще я напуснат принудително. Офертата на букмейкъра е проста: трябва да заложите за запазване на позициите на един от тези футболни клубове, като коефициентите на залозите са равни.
За удобство се приемат такива условия, при които съперниците на клубовете, участващи в селекцията, са приблизително еднакви по сила. Така няма да може еднозначно да се определи фаворит преди началото на игрите.
Тук трябва да си спомните историята за козите и колата. Всеки отбор има шанс да остане на мястото си в един случай от три. Всеки от тях се избира, на него се прави залог. Нека да е "Балтика". Според резултатите от първия ден, един от клубовете губи, а два все още не играят. Това е същата "Балтика" и, да речем, "Шинник".
Мнозинството ще запази първоначалния си дял - Балтика ще остане в първа дивизия. Но трябва да се помни, че нейните шансове останаха същите, но шансовете на „Шинник“ се удвоиха. Ето защо е логично да направите още един залог, по-голям, за победата на „Шинник“.
На следващия ден идва и мачът с участието на "Балтика" е равен. Следва "Шинник", като неговият мач завършва с победа с 3:0. Оказва се, че той ще остане в първа дивизия. Следователно, въпреки че първият залог на Baltika е загубен, тази загуба се покрива от печалбата от новия залог на Shinnik.
Може да се предположи и мнозинството ще го направи, че победата на "Шинник" е просто случайност. Всъщност приемането на вероятността за шанс е най-голямата грешка за човек, който участва в спортни лотарии. В крайна сметка професионалистът винаги ще каже, че всяка вероятност се изразява предимно в ясни математически модели. Ако знаете основите на този подход и всички нюанси, свързани с него, тогава рисковете от загуба на пари ще бъдат сведени до минимум.
Полезност при прогнозиране на икономически процеси
Така че в спортните залагания парадоксът на Монти Хол е просто необходимо да се знае. Но обхватът на неговото приложение не се ограничава до една лотария. Теорията на вероятностите винаги е тясно свързана със статистиката, следователно в политиката и икономиката разбирането на принципите на парадокса е не по-малко важно.
В условията на икономическа несигурност, с която анализаторите често се сблъскват, трябва да се помни следното заключение, произтичащо от решението на даден проблем: не е необходимо да се знае точно единственото правилно решение. Шансовете за успешна прогноза винаги се увеличават, ако знаете какво точно няма да се случи. Всъщност това е най-полезното заключение от парадокса на Монти Хол.
Когато светът е на ръба на икономически сътресения, политиците винаги се опитват да отгатнат правилния курс на действие, за да минимизират последиците от кризата. Връщайки се към предишните примери, в областта на икономиката задачата може да се опише по следния начин: пред лидерите на страните има три врати. Едното води до хиперинфлация, второто до дефлация, а третото до желания умерен растеж на икономиката. Но как да намерите правилния отговор?
Политиците твърдят, че по един или друг начин техните действия ще доведат до повече работни места и растеж на икономиката. Но водещи икономисти, опитни хора, включително дори носители на Нобелова награда, ясно им демонстрират, че един от тези варианти определено няма да доведе до желания резултат. Ще променят ли избора си политиците след това? Малко вероятно е, тъй като в това отношение те не се различават много от същите участници в телевизионното шоу. Следователно вероятността от грешка само ще се увеличи с увеличаване на броя на съветниците.
С това ли се изчерпва информацията по темата?
Всъщност досега тук беше разгледана само „класическата“ версия на парадокса, тоест ситуацията, в която водещият знае точно зад коя врата е наградата и отваря вратата само с козата. Но има и други механизми на поведение на лидера, в зависимост от които принципът на алгоритъма и резултатът от неговото изпълнение ще се различават.
Влиянието на поведението на лидера върху парадокса
И така, какво може да направи лидерът, за да промени хода на събитията? Нека имаме различни варианти.
Така нареченият "Devil Monty" е ситуация, в която домакинът винаги ще предложи на играча да промени избора си, при условие че първоначално е бил прав. В този случай промяната на решението винаги ще доведе до поражение.
Напротив, "Angelic Monty" се нарича подобен принцип на поведение, но в случай, че изборът на играча първоначално е бил неправилен. Логично е, че в такава ситуация промяната на решението ще доведе до победа.
Ако домакинът отвори вратите на случаен принцип, без да има представа какво се крие зад всяка от тях, тогава шансовете за печалба винаги ще бъдат равни на петдесет процента. В този случай зад отворената водеща врата може да има и кола.
Домакинът може 100% да отвори вратата с коза, ако играчът е избрал кола, и с 50% вероятност, ако играчът е избрал коза. С този алгоритъм от действия, ако играчът промени избора си, той винаги ще спечели в един случай от два.
Когато играта се повтаря отново и отново и вероятността определена врата да бъде печеливша винаги е произволна (както и коя врата ще отвори домакинът, докато знае къде се крие колата и винаги отваря вратата с коза и предлага да промените избора) - шансът за печалба винаги ще бъде едно към три. Това се нарича равновесие на Наш.
Както и в същия случай, но при условие, че домакинът изобщо не е длъжен да отваря една от вратите, вероятността за печалба пак ще бъде 1/3.
Докато класическата схема е сравнително лесна за тестване, много по-трудно е да се експериментира с други възможни алгоритми за поведение на лидер на практика. Но при дължимата педантичност на експериментатора и това е възможно.
И все пак за какво е всичко това?
Разбирането на механизмите на действие на всякакви логически парадокси е много полезно за човек, неговия мозък и разбирането как всъщност може да работи светът, колко неговата структура може да се различава от обичайната представа на индивида за него.
Колкото повече човек знае как работи това, което го заобикаля в ежедневието и за какво изобщо не е свикнал да мисли, толкова по-добре работи съзнанието му и толкова по-ефективен може да бъде в своите действия и стремежи.
Чието решение на пръв поглед противоречи на здравия разум.
Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
Задачаформулиран като описание игрина базата на американския ТВ игра„Да сключим сделка“ и е кръстен на водещия на това предаване. Най-честата формулировка на този проблем, публикувана в 1990 гВ списанието Списание Парад, звучи така:
Представете си, че сте станали участник в игра, в която трябва да изберете една от три врати. Зад една от вратите е автомобил, зад две други врати - кози. Избирате една от вратите, например номер 1, след което домакинът, който знае къде е колата и къде са козите, отваря една от останалите врати, например номер 3, зад която има коза. След това той ви пита - искате ли да промените избора си и да изберете врата номер 2? Ще си шансовеспечелите кола, ако приемете офертата на домакина и промените избора си? След публикацията веднага стана ясно, че проблемът е формулиран неправилно: не са посочени всички условия. Например, фасилитаторът може да следва стратегията на „адския Монти“: да предложи промяна на избора, ако и само ако играчът е избрал кола на първия ход. Очевидно промяната на първоначалния избор ще доведе до гарантирана загуба в такава ситуация (виж по-долу).
Най-популярна е задачата с допълнително условие - участникът в играта знае предварително следните правила:
- колата е еднакво вероятно да бъде поставена зад която и да е от трите врати;
- във всеки случай домакинът е длъжен да отвори вратата с козата (но не тази, която играчът е избрал) и да предложи на играча да промени избора;
- ако лидерът има избор коя от двете врати да отвори, той избира всяка от тях със същата вероятност.
Следващият текст обсъжда проблема Монти Хол в тази формулировка.
Разбор
За печелившата стратегия е важно следното: ако промените избора на вратата след действията на лидера, тогава печелите, ако първоначално сте избрали губещата врата. Вероятно е да се случи 2 ⁄ 3 , тъй като първоначално можете да изберете губеща врата по 2 начина от 3.
Но често, когато решават този проблем, те твърдят нещо подобно: домакинът винаги премахва една губеща врата в крайна сметка и тогава вероятностите колата да се появи зад две неотворени стават равни на ½, независимо от първоначалния избор. Но това не е вярно: въпреки че наистина има две възможности за избор, тези възможности (като се вземе предвид фона) не са еднакво вероятни! Това е вярно, защото първоначално всички врати имаха еднакъв шанс за победа, но след това имаше различни вероятности да бъдат елиминирани.
За повечето хора това заключение противоречи интуитивенвъзприемане на ситуацията, а поради несъответствието между логическия извод и отговора, към което клони интуитивното мнение, задачата се нарича парадоксМонти Хол.
Ситуацията с вратите става още по-очевидна, ако си представим, че няма 3 врати, а да речем 1000 и след избора на играча водещият премахва 998 допълнителни, оставяйки 2 врати: тази, която играчът е избрал и още едно. Изглежда по-очевидно, че вероятностите за намиране на награда зад тези врати са различни и не са равни на ½. Ако променим вратата, тогава губим само ако първо сме избрали вратата с наградата, вероятността за което е 1:1000. Ние печелим, ако нашият първоначален избор беше такъв неправилно и вероятността за това е 999 от 1000. При 3 врати логиката се запазва, но вероятността за печалба при промяна на решението е съответно по-ниска, т.е. 2 ⁄ 3 .
Друг начин за разсъждение е да се замени условието с еквивалентно. Нека си представим, че вместо играчът да направи първоначалния избор (нека винаги да е врата №1) и след това да отвори вратата с козата сред останалите (т.е. винаги между №2 и №3), нека си представим, че играчът трябва да познае вратата от първия опит, но той е информиран предварително, че зад врата № 1 може да има кола с първоначална вероятност (33%), а сред останалите врати се посочва за коя от вратите колата определено не изостава (0%). Съответно последната врата винаги ще представлява 67% и стратегията за нейния избор е за предпочитане.
Друго лидерско поведение
Класическата версия на парадокса на Монти Хол гласи, че домакинът ще подкани играча да смени вратата, независимо дали е избрал колата или не. Но е възможно и по-сложно поведение на хоста. Тази таблица описва накратко няколко поведения.
Възможно лидерско поведение Поведение на домакините Резултат „Infernal Monty“: Домакинът предлага да се промени, ако вратата е правилна. Промяната винаги ще даде коза. „Ангелски Монти“: Домакинът предлага да се промени, ако вратата не е наред. Промяната винаги ще даде кола. „Невежият Монти“ или „Монти Бух“: домакинът пада по невнимание, вратата се отваря и се оказва, че зад нея няма кола. С други думи, самият домакин не знае какво има зад вратите, отваря вратата напълно произволно и само случайно зад нея няма кола. Промяната дава печалба в ½ от случаите.
Така е подредено американското шоу „Сделка или не“ - обаче самият играч отваря произволна врата и ако зад нея няма кола, водещият предлага да я промени.Домакинът избира една от козите и я отваря, ако играчът е избрал друга врата. Промяната дава печалба в ½ от случаите. Домакинът винаги отваря козата. Ако е избрана кола, лявата коза се отваря с вероятност стри точно с вероятност р=1−стр. Ако лидерът отвори лявата врата, смяната дава печалба с вероятност 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Ако правото 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Субектът обаче не може да повлияе на вероятността правилната врата да бъде отворена - независимо от неговия избор, това ще се случи с вероятност 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))). Един и същ, стр=р= ½ (класически случай). Промяната дава печалба с вероятност 2 ⁄ 3 . Един и същ, стр=1, р=0 ("безсилен Монти" - умореният водещ стои на лявата врата и отваря козата, която е по-близо). Ако водещият отвори правилната врата, промяната дава гарантирана печалба. Ако остане - вероятност ½. Домакинът винаги отваря козата, ако е избрана кола, и с вероятност ½ в противен случай. Промяната дава печалба с вероятност ½. Общ случай: играта се повтаря многократно, вероятността да скриете колата зад една или друга врата, както и да отворите тази или онази врата е произволна, но домакинът знае къде е колата и винаги предлага промяна, като отвори една от козите. Равновесието на Наш: това е парадоксът на Монти Хол в неговата класическа форма, който е най-полезен за домакина (вероятността за победа 2 ⁄ 3 ). Колата се крие зад някоя от вратите с вероятност ⅓; ако има избор, отворете всяка коза на случаен принцип. Същото, но домакинът може изобщо да не отвори вратата. Равновесието на Наш: за домакина е полезно да не отваря вратата, вероятността за печалба е ⅓. Вижте също
Бележки
- Тиърни, Джон (21 юли 1991 г.), „Зад вратите на Монти Хол: пъзел, дебат и отговор? ", Ню Йорк Таймс,
