ความยาวของส่วนบนแกนพิกัดถูกกำหนดโดยสูตร:
พบความยาวของส่วนบนระนาบพิกัดโดยใช้สูตร:
หากต้องการค้นหาความยาวของส่วนในระบบพิกัดสามมิติ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:
พิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน (สำหรับแกนพิกัดจะใช้เฉพาะสูตรแรกเท่านั้นสำหรับระนาบพิกัด - สองสูตรแรกสำหรับระบบพิกัดสามมิติ - ทั้งสามสูตร) คำนวณโดยใช้สูตร:
การทำงาน– นี่คือการโต้ตอบของแบบฟอร์ม ย= ฉ(x) ระหว่างปริมาณแปรผัน เนื่องจากแต่ละค่าพิจารณาค่าของปริมาณแปรผันบางค่า x(อาร์กิวเมนต์หรือตัวแปรอิสระ) สอดคล้องกับค่าหนึ่งของตัวแปรอื่น ย(ตัวแปรตาม บางครั้งค่านี้เรียกง่ายๆ ว่าค่าของฟังก์ชัน) โปรดทราบว่าฟังก์ชันจะถือว่าค่าอาร์กิวเมนต์หนึ่งค่า เอ็กซ์ตัวแปรตามสามารถสอดคล้องได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่- แต่มีค่าเท่ากัน ที่สามารถรับได้ต่างกัน เอ็กซ์.
โดเมนฟังก์ชัน– นี่คือค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน โดยปกติจะเป็นเช่นนี้ เอ็กซ์) ซึ่งมีการกำหนดฟังก์ชันไว้ เช่น ความหมายของมันมีอยู่จริง มีการระบุพื้นที่คำจำกัดความ ดี(ย- โดยทั่วไปแล้ว คุณคุ้นเคยกับแนวคิดนี้อยู่แล้ว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเรียกอีกอย่างว่าโดเมนของค่าที่อนุญาตหรือ VA ซึ่งคุณสามารถหาได้มานานแล้ว
ช่วงฟังก์ชันคือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรตามของฟังก์ชันที่กำหนด กำหนด อี(ที่).
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ฟังก์ชันกำลังลดลงในช่วงเวลาซึ่งค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน
ช่วงของสัญญาณคงที่ของฟังก์ชัน- นี่คือช่วงเวลาของตัวแปรอิสระที่ตัวแปรตามคงเครื่องหมายบวกหรือลบไว้
ฟังก์ชันศูนย์– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ ที่จุดเหล่านี้ กราฟฟังก์ชันจะตัดแกนแอบซิสซา (แกน OX) บ่อยครั้ง ความจำเป็นในการค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันหมายถึงความจำเป็นในการแก้สมการ นอกจากนี้ บ่อยครั้งความจำเป็นในการหาช่วงความคงที่ของเครื่องหมายหมายถึงความจำเป็นในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
การทำงาน ย = ฉ(x) ถูกเรียก สม่ำเสมอ เอ็กซ์
ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าตรงข้ามของอาร์กิวเมนต์ ค่าของฟังก์ชันคู่จะเท่ากัน กราฟของฟังก์ชันคู่จะสมมาตรเสมอเมื่อเทียบกับแกนพิกัดของออปแอมป์
การทำงาน ย = ฉ(x) ถูกเรียก แปลกหากถูกกำหนดไว้บนเซตสมมาตรและสำหรับใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:
ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าตรงข้ามของอาร์กิวเมนต์ ค่าของฟังก์ชันคี่ก็จะตรงกันข้ามเช่นกัน กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดเสมอ
ผลรวมของรากของฟังก์ชันคู่และคี่ (จุดตัดของแกน x OX) จะเท่ากับศูนย์เสมอ เพราะ สำหรับทุก ๆ รากที่เป็นบวก เอ็กซ์มีรากเป็นลบ - เอ็กซ์.
สิ่งสำคัญที่ควรทราบ: บางฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นเลขคู่หรือคี่ มีฟังก์ชันมากมายที่ไม่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ฟังก์ชั่นทั่วไปและสำหรับพวกเขาแล้ว ไม่มีความเท่าเทียมกันหรือคุณสมบัติใดๆ ที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นที่พอใจ
ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้จากสูตร:
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง และในกรณีทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ (มีตัวอย่างสำหรับกรณีเมื่อ เค> 0 ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น สำหรับโอกาสนี้ เค < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)
กราฟของพาราโบลาถูกกำหนดโดยฟังก์ชันกำลังสอง:
ฟังก์ชันกำลังสองก็เหมือนกับฟังก์ชันอื่นๆ ที่ตัดแกน OX ที่จุดที่เป็นจุดราก: ( x 1 ; 0) และ ( x 2 ; 0) หากไม่มีราก ฟังก์ชันกำลังสองจะไม่ตัดแกน OX หากมีเพียงรากเดียว ณ จุดนี้ ( x 0 ; 0) ฟังก์ชันกำลังสองสัมผัสเฉพาะแกน OX แต่ไม่ได้ตัดกัน ฟังก์ชันกำลังสองจะตัดแกน OY ที่จุดที่มีพิกัดเสมอ: (0; ค- กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา) อาจมีลักษณะเช่นนี้ (รูปแสดงตัวอย่างที่ไม่รวมพาราโบลาที่เป็นไปได้ทุกประเภท):
โดยที่:
- ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ก> 0 อยู่ในฟังก์ชัน ย = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + คจากนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น
- ถ้า ก < 0, то ветви параболы направлены вниз.
พิกัดของจุดยอดของพาราโบลาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ เอ็กซ์ ท็อป (พี- ในภาพด้านบน) พาราโบลา (หรือจุดที่ตรีโกณมิติกำลังสองถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด):
ท็อปส์ซูอิเกรก (ถาม- ในรูปด้านบน) พาราโบลาหรือค่าสูงสุดหากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง ( ก < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ก> 0) ค่าของตรีโกณมิติกำลังสอง:
กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ
ฟังก์ชั่นพลังงาน
นี่คือตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลัง:
สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:
ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของหมายเลข เคกราฟการพึ่งพาตามสัดส่วนผกผันอาจมีสองตัวเลือกพื้นฐาน:
เส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์แต่ไม่ได้ตัดกัน เส้นกำกับสำหรับกราฟสัดส่วนผกผันที่แสดงในรูปด้านบนคือแกนพิกัดที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อย่างไม่สิ้นสุด แต่ไม่ได้ตัดกัน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีฐาน กเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:
กกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถมีได้ 2 ตัวเลือกพื้นฐาน (เรายังยกตัวอย่างให้ดูด้านล่างด้วย):
ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:
ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนนั้นมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง กกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมสามารถมีได้สองตัวเลือกพื้นฐาน:
กราฟของฟังก์ชัน ย = |x| ดังต่อไปนี้:
กราฟของฟังก์ชันคาบ (ตรีโกณมิติ)
การทำงาน ที่ = ฉ(x) ถูกเรียก เป็นระยะๆถ้ามีเลขไม่เป็นศูนย์เช่นนั้น ต, อะไร ฉ(x + ต) = ฉ(x) สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์จากโดเมนของฟังก์ชัน ฉ(x- ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) เป็นคาบกับคาบ ตจากนั้นฟังก์ชัน:
ที่ไหน: ก, เค, ขเป็นตัวเลขคงที่ และ เคไม่เท่ากับศูนย์ และมีคาบเป็นงวดด้วย ต 1 ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร:
ตัวอย่างของฟังก์ชันคาบส่วนใหญ่เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก รูปต่อไปนี้แสดงส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป x(กราฟทั้งหมดดำเนินต่อไปทางซ้ายและขวาอย่างไม่มีกำหนด) กราฟของฟังก์ชัน ย= บาป xเรียกว่า ไซนัสอยด์:
กราฟของฟังก์ชัน ย=คอส xเรียกว่า โคไซน์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เนื่องจากกราฟไซน์ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ ตามแนวแกน OX ไปทางซ้ายและขวา:
กราฟของฟังก์ชัน ย= ทีจี xเรียกว่า แทนเจนตอยด์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันคาบอื่นๆ กราฟนี้จะวนซ้ำไปเรื่อยๆ ตามแกน OX ไปทางซ้ายและขวา
และสุดท้ายคือกราฟของฟังก์ชัน ย=กะทิ xเรียกว่า โคแทนเจนตอยด์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันคาบและตรีโกณมิติอื่นๆ กราฟนี้จะวนซ้ำไปเรื่อยๆ ตามแกน OX ไปทางซ้ายและขวา
การดำเนินการตามสามประเด็นนี้อย่างประสบความสำเร็จ ขยัน และมีความรับผิดชอบจะช่วยให้คุณสามารถแสดงผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมที่ CT ได้มากเท่ากับความสามารถของคุณ
พบข้อผิดพลาด?
หากคุณคิดว่าคุณพบข้อผิดพลาดในเอกสารการฝึกอบรม โปรดเขียนแจ้งทางอีเมล คุณยังสามารถรายงานข้อผิดพลาดบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก () ในจดหมาย ให้ระบุหัวเรื่อง (ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์) ชื่อหรือหมายเลขหัวข้อหรือแบบทดสอบ จำนวนปัญหา หรือสถานที่ในข้อความ (หน้า) ซึ่งในความเห็นของคุณมีข้อผิดพลาด อธิบายด้วยว่าข้อผิดพลาดที่น่าสงสัยคืออะไร จดหมายของคุณจะไม่มีใครสังเกตเห็น ข้อผิดพลาดจะได้รับการแก้ไข หรือคุณจะได้รับการอธิบายว่าทำไมจึงไม่ใช่ข้อผิดพลาด
มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ
ภาควิชาธรณีวิทยาประยุกต์
บทคัดย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง
ในหัวข้อ: “ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น
คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา"
สมบูรณ์:
ตรวจสอบแล้ว:
ครู
คำนิยาม. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=a x (โดยที่ a>0, a≠1) เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a
ให้เรากำหนดคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซต (R) ของจำนวนจริงทั้งหมด
2. พิสัย - เซต (R+) ของจำนวนจริงบวกทั้งหมด
3. สำหรับ a > 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามเส้นจำนวนทั้งหมด เวลา 0<а<1 функция убывает.
4. เป็นฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป
, ในช่วงเวลา xО [-3;3]
, ในช่วงเวลา xО [-3;3] ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y(x)=x n โดยที่ n คือตัวเลข ОR เรียกว่าฟังก์ชันยกกำลัง จำนวน n สามารถใช้กับค่าที่แตกต่างกันได้ ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ทั้งเลขคู่และคี่ ฟังก์ชันกำลังจะมีรูปแบบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ลองพิจารณากรณีพิเศษที่เป็นฟังก์ชันกำลังและสะท้อนถึงคุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโค้งประเภทนี้ตามลำดับต่อไปนี้: ฟังก์ชันกำลัง y=x² (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเลขคู่ - พาราโบลา) ฟังก์ชันกำลัง y=x³ (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังคี่ - ลูกบาศก์พาราโบลา) และฟังก์ชัน y=√x (x ยกกำลัง ½) (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน) ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ (ไฮเปอร์โบลา)
ฟังก์ชั่นพลังงาน ย=x²
1. D(x)=R – ฟังก์ชันถูกกำหนดบนแกนตัวเลขทั้งหมด
2. E(y)= และเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา
ฟังก์ชั่นพลังงาน y=x³
1. กราฟของฟังก์ชัน y=x³ เรียกว่าลูกบาศก์พาราโบลา ฟังก์ชันกำลัง y=x³ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
2. D(x)=R – ฟังก์ชันถูกกำหนดบนแกนตัวเลขทั้งหมด
3. E(y)=(-∞;∞) – ฟังก์ชันรับค่าทั้งหมดในโดเมนของคำจำกัดความ
4. เมื่อ x=0 y=0 – ฟังก์ชันจะผ่านจุดกำเนิดของพิกัด O(0;0)
5. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
6. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ (สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด)
, ในช่วงเวลา xО [-3;3] ขึ้นอยู่กับปัจจัยตัวเลขที่อยู่ด้านหน้า x³ ฟังก์ชันสามารถชัน/คงที่ และเพิ่ม/ลดได้
ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ:
ถ้าเลขชี้กำลัง n เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันยกกำลังจะเรียกว่าไฮเปอร์โบลา ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็มมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) สำหรับ n ใดๆ;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) ถ้า n เป็นเลขคี่ E(y)=(0;∞) ถ้า n เป็นเลขคู่
3. ฟังก์ชันจะลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา (-∞;0) และลดลงในช่วงเวลา (0;∞) ถ้า n เป็นเลขคู่
4. ฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่ (สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด) ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันจะเป็นแม้ว่า n จะเป็นเลขคู่ก็ตาม
5. ฟังก์ชันจะส่งผ่านจุด (1;1) และ (-1;-1) ถ้า n เป็นเลขคี่ และผ่านจุด (1;1) และ (-1;1) ถ้า n เป็นเลขคู่
, ในช่วงเวลา xО [-3;3] ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังเศษส่วน
ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (รูปภาพ) มีกราฟของฟังก์ชันดังแสดงในรูป ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: (รูปภาพ)
1. D(x) ОR ถ้า n เป็นเลขคี่ และ D(x)= 
ในช่วงเวลา xO 
, ในช่วงเวลา xО [-3;3]
ฟังก์ชันลอการิทึม y = log a x มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. โดเมนของคำจำกัดความ D(x)О (0; + ∞)
2. ช่วงค่า E(y) О (- ∞; + ∞)
3. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ (ในรูปแบบทั่วไป)
4. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา (0; + ∞) สำหรับ a > 1 ลดลง (0; + ∞) สำหรับ 0< а < 1.
กราฟของฟังก์ชัน y = log a x สามารถหาได้จากกราฟของฟังก์ชัน y = a x โดยใช้การแปลงสมมาตรรอบเส้นตรง y = x รูปที่ 9 แสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับ a > 1 และรูปที่ 10 สำหรับ 0< a < 1.
- ในช่วงเวลาxО 
- ในช่วงเวลาxО ฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน y = sin x, y = tan x, y = ctg x เป็นเลขคี่ และฟังก์ชัน y = cos x เป็นเลขคู่
ฟังก์ชัน y = บาป(x)
1. โดเมนของคำจำกัดความ D(x) ОR
2. ช่วงของค่า E(y) О [ - 1; 1].
3. ฟังก์ชั่นเป็นระยะ คาบหลักคือ 2π
4. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] และลดลงตามช่วง [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z
กราฟของฟังก์ชัน y = sin (x) แสดงในรูปที่ 11
1. ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบเศษส่วนและกราฟ
ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม เรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
คุณคงคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะอยู่แล้ว เช่นเดียวกัน ฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันที่สามารถแสดงเป็นผลหารของพหุนามสองตัวได้
หากฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนเป็นผลหารของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน - พหุนามของดีกรีแรกคือ ฟังก์ชั่นของแบบฟอร์ม
y = (ax + b) / (cx + d) จากนั้นเรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้น
โปรดทราบว่าในฟังก์ชัน y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (ไม่เช่นนั้นฟังก์ชันจะกลายเป็นเส้นตรง y = ax/d + b/d) และ a/c ≠ b/d (มิฉะนั้น ฟังก์ชันคงที่) ฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = -d/c กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบเศษส่วนไม่มีรูปร่างแตกต่างจากกราฟ y = 1/x ที่คุณทราบ เส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x เรียกว่า อติพจน์- เมื่อค่าสัมบูรณ์เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ฟังก์ชัน y = 1/x จะลดลงอย่างไม่จำกัดในค่าสัมบูรณ์ และกิ่งทั้งสองของกราฟจะเข้าใกล้เส้น Abscissa เส้นทางขวาเข้าหาจากด้านบน และเส้นซ้ายจากด้านล่าง เส้นตรงที่เรียกว่ากิ่งก้านของแนวทางไฮเปอร์โบลา เส้นกำกับ.
ตัวอย่างที่ 1
y = (2x + 1) / (x – 3)
สารละลาย.
ลองเลือกทั้งส่วน: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3)
ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: เลื่อนไป 3 ส่วนหน่วยไปทางขวา ยืดไปตามแกน Oy 7 ครั้ง และเลื่อนไป 2 ส่วนของหน่วยขึ้นไป
เศษส่วนใดๆ y = (ax + b) / (cx + d) สามารถเขียนได้ในลักษณะเดียวกัน โดยเน้นที่ "ส่วนจำนวนเต็ม" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนทั้งหมดจึงเป็นไฮเปอร์โบลา ซึ่งเลื่อนไปในรูปแบบต่างๆ ตามแกนพิกัด และยืดไปตามแกน Oy
ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันเศษส่วน-เชิงเส้นใดๆ ก็ตาม ไม่จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนที่กำหนดฟังก์ชันนี้เลย เนื่องจากเรารู้ว่ากราฟเป็นไฮเปอร์โบลา จึงเพียงพอที่จะหาเส้นตรงที่กิ่งก้านของกราฟเข้าใกล้ นั่นคือเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา x = -d/c และ y = a/c
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน y = (3x + 5)/(2x + 2)
สารละลาย.
ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ที่ x = -1 ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x = -1 ทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ในการค้นหาเส้นกำกับแนวนอน เรามาดูกันว่าค่าของฟังก์ชัน y(x) เข้าใกล้ค่าใดเมื่ออาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นเป็นค่าสัมบูรณ์
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x)
เมื่อ x → ∞ เศษส่วนจะมีแนวโน้มเป็น 3/2 ซึ่งหมายความว่าเส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = 3/2
ตัวอย่างที่ 3
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (2x + 1)/(x + 1)
สารละลาย.
เรามาเลือก “ทั้งหมด” ของเศษส่วนกัน:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1)
ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: การเลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย การแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ Ox และการเปลี่ยนแปลงโดย แบ่งหน่วย 2 หน่วยขึ้นไปตามแกน Oy
โดเมน D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞)
ช่วงของค่า E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞)
จุดตัดด้วยแกน: c Oy: (0; 1); ค อ็อกซ์: (-1/2; 0) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงของโดเมนคำจำกัดความ
คำตอบ: รูปที่ 1
2. ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าค่าแรก
ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะดังกล่าว:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) หรือ y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)
หากฟังก์ชัน y = P(x) / Q(x) แทนค่าผลหารของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีสูงกว่าฟังก์ชันแรก ตามกฎแล้วกราฟของมันจะซับซ้อนกว่า และบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากที่จะสร้างมันให้แม่นยำ พร้อมรายละเอียดทั้งหมด อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เทคนิคที่คล้ายกับที่เราได้แนะนำไปแล้วข้างต้น
ให้เศษส่วนเป็นเศษส่วนแท้ (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (ม. 1 x + N 1) / (x 2 +p เสื้อ x + q เสื้อ) m1 + … + (ม. ม.1 x + N ม.1) / (x 2 +พี เสื้อ x + q เสื้อ)
แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันเศษส่วนเชิงตรรกศาสตร์สามารถหาได้จากผลรวมของกราฟของเศษส่วนเบื้องต้น
การพล็อตกราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
ลองพิจารณาหลายวิธีในการสร้างกราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 4
วาดกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x 2
สารละลาย.
เราใช้กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 เพื่อสร้างกราฟที่มี y = 1/x 2 และใช้เทคนิค "หาร" กราฟ
โดเมน D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞)
ช่วงของค่า E(y) = (0; +∞)
ไม่มีจุดตัดกับแกน ฟังก์ชันเป็นคู่ เพิ่มขึ้นสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา (-∞; 0) ลดลงสำหรับ x จาก 0 ถึง +∞
คำตอบ: รูปที่ 2
ตัวอย่างที่ 5
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x)
สารละลาย.
โดเมน D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞)
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
ในที่นี้เราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบ การลดลง และการลดลงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
คำตอบ: รูปที่ 3
ตัวอย่างที่ 6
สร้างกราฟฟังก์ชัน y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1)
สารละลาย.
โดเมนของคำจำกัดความคือ D(y) = R เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ กราฟจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด ก่อนที่จะสร้างกราฟ มาแปลงนิพจน์อีกครั้งโดยเน้นส่วนทั้งหมด:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1)
โปรดทราบว่าการแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากสูตรของฟังก์ชันเศษส่วนเป็นเหตุผลหลักในการสร้างกราฟ
ถ้า x → ±∞ ดังนั้น y → 1 เช่น เส้นตรง y = 1 เป็นเส้นกำกับแนวนอน
คำตอบ: รูปที่ 4
ตัวอย่างที่ 7
ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = x/(x 2 + 1) แล้วลองค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดอย่างแม่นยำ เช่น จุดสูงสุดบนครึ่งขวาของกราฟ การสร้างกราฟนี้อย่างถูกต้องแม่นยำ ความรู้ในปัจจุบันยังไม่เพียงพอ แน่นอนว่าเส้นโค้งของเราไม่สามารถ "ขึ้น" สูงมากได้เพราะว่า ตัวส่วนเริ่ม "แซง" ตัวเศษอย่างรวดเร็ว ลองดูว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 ได้หรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราต้องแก้สมการ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 สมการนี้ไม่มีรากจริง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องหาว่าสมการ A = x/(x 2 + 1) มีค่าเท่าใดในสมการ A = x/(x 2 + 1) ลองแทนที่สมการเดิมด้วยสมการกำลังสอง: Ax 2 – x + A = 0 สมการนี้มีคำตอบเมื่อ 1 – 4A 2 ≥ 0 จากตรงนี้ เราจะพบค่าที่ใหญ่ที่สุด A = 1/2 
คำตอบ: รูปที่ 5, สูงสุด y(x) = ½
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
คำนิยาม: ฟังก์ชันตัวเลขคือการโต้ตอบที่เชื่อมโยงแต่ละจำนวน x จากเซตที่กำหนดเข้ากับตัวเลข y ตัวเดียว
การกำหนด:
โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์) y คือตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน) ชุดของค่า x เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน (แทนด้วย D(f)) ชุดของค่า y เรียกว่าช่วงของค่าของฟังก์ชัน (แสดงเป็น E(f)) กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดในระนาบที่มีพิกัด (x, f(x))
วิธีการระบุฟังก์ชัน
- วิธีวิเคราะห์ (ใช้สูตรทางคณิตศาสตร์)
- วิธีการแบบตาราง (ใช้ตาราง)
- วิธีการพรรณนา (ใช้คำอธิบายด้วยวาจา);
- วิธีกราฟิก (ใช้กราฟ)
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน
1. คู่และคี่
ฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้แม้ว่า
– โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
ฉ(-x) = ฉ(x)
กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน 0ปี
ฟังก์ชันเรียกว่าคี่ถ้า
– โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
– สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฉ(-x) = –ฉ(x)
กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
2. ความถี่
ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า คาบ ด้วยจุด ถ้าสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฉ(x) = ฉ(x+T) = ฉ(x-T) .
กราฟของฟังก์ชันคาบประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันซ้ำกันไม่จำกัด
3. ความซ้ำซากจำเจ (เพิ่มขึ้น ลดลง)
ฟังก์ชัน f(x) เพิ่มขึ้นบนเซต P หาก x 1 และ x 2 ใดๆ จากเซตนี้ โดยที่ x 1
ฟังก์ชัน f(x) จะลดลงบนเซต P หาก x 1 และ x 2 ใดๆ จากเซตนี้ โดยที่ x 1 f(x 2)
4. สุดขั้ว
จุด X สูงสุดเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หาก x ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงบางแห่งของ X max มีความไม่เท่าเทียมกัน f(x) f(X max)
ค่า Y max =f(X max) เรียกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้
X สูงสุด – จุดสูงสุด
ที่สูงสุด - สูงสุด
จุด X min เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) ถ้า x ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงของ X min เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน f(x) f(X min)
ค่า Y min =f(X min) เรียกว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้
X นาที – จุดต่ำสุด
ใช่ นาที – ขั้นต่ำ
X นาที , X สูงสุด – จุดสุดขั้ว
Y นาที , Y สูงสุด – สุดขีด
5. ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน
ศูนย์ของฟังก์ชัน y = f(x) คือค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์: f(x) = 0
X 1, X 2, X 3 – ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = f(x)
งานและการทดสอบในหัวข้อ "คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน"
- คุณสมบัติฟังก์ชัน - ฟังก์ชันตัวเลขชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
บทเรียน: 2 การมอบหมาย: 11 การทดสอบ: 1
- คุณสมบัติของลอการิทึม - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมเกรด 11
บทเรียน: 2 งานที่มอบหมาย: 14 การทดสอบ: 1
- ฟังก์ชันสแควร์รูท คุณสมบัติ และกราฟ - ฟังก์ชันรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองเกรด 8
บทเรียน: 1 การบ้าน: 9 แบบทดสอบ: 1
- ฟังก์ชั่น - หัวข้อสำคัญในการทบทวนการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
งาน: 24
- ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ - องศาและราก ฟังก์ชั่นพลังงานเกรด 11
บทเรียน: 4 การบ้าน: 14 การทดสอบ: 1
เมื่อศึกษาหัวข้อนี้แล้ว คุณควรจะสามารถค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่างๆ ได้ กำหนดช่วงความซ้ำซ้อนของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ และตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความสม่ำเสมอและความคี่ ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง.
1. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
สารละลาย:โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหาได้จากเงื่อนไข
ดังนั้นฟังก์ชัน f(x) จึงเป็นเลขคู่
คำตอบ:สม่ำเสมอ
ง(ฉ) = [-1; 1] – สมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
| 2) |
ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่เป็นคู่หรือคี่
คำตอบ: ไม่เท่ากันหรือไม่สม่ำเสมอ
